专题一 函数图象与性质的综合应用

专题一 函数图象与性质的综合应用
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题7分，共35分)
1．下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是 ( )
A ．y ＝x 3＋x
B ．y ＝－log 2x
C ．y ＝3x
D ．y ＝－1
x
2．设函数f (x )是定义在R 上周期为3的奇函数，若f (1)<1，f (2)＝2a －1
a ＋1
，则
( )
A ．a <1
2且a ≠－1
B ．－1<a <0
C ．a <－1或a >0
D ．－1<a <2
3．由方程x |x |＋y |y |＝1确定的函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上是
( )
A ．增函数
B ．减函数
C ．先增后减
D ．先减后增
4．函数f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，则f (x )在区间(－5，－3)上( )
A ．先减后增
B ．先增后减
C ．单调递减
D ．单调递增
5．已知函数f (x )＝2x －2，则函数y ＝|f (|x |)|的图象可能是( )
二、填空题(每小题6分，共24分)
6． f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－cos πx ，x >0f (x ＋1)＋1，x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫
－43的值为________． 7．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
x 2＋x (x ≥0)，－x 2－x (x <0)， 则不等式f (x )＋2>0的解集是________．
8．设a >0，a ≠1，函数f (x )＝log a (x 2－2x ＋3)有最小值，则不等式log a (x －1)>0的解集为 ___________．
9．已知x 2
>13
x ，则实数x 的取值范围是________． 三、解答题(共41分)
10．(13分)已知a >0，且a ≠1，f (log a x )＝a a 2－1·
⎝⎛⎭
⎫
x －1x . (1)求f (x )；
(2)判断f (x )的单调性； (3)求f (x 2－3x ＋2)<0的解集．
11.(14分)设不等式2x －1>m (x 2－1)对满足|m |≤2的一切实数m 的取值都成立，求x 的取值范 围．
12．(14分)已知函数f (x )＝－x 2
＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2
x
(x >0)．
(1)若g (x )＝m 有实根，求m 的取值范围；
(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． 答案
1．A 2．C 3．B 4．D 5.A
6．3 7．(－2，＋∞) 8．(2，＋∞) 9．{x |x <0或x >1} 10．解 (1)令t ＝log a x (t ∈R )，则x ＝a t ，
且f (t )＝a
a 2－1⎝⎛⎭⎫a t －1a t . ∴f (x )＝a a 2－1(a x －a －
x ) (x ∈R )．
(2)当a >1时，a x －a －
x 为增函数，
又
a
a 2
－1
>0，∴f (x )为增函数； 当0<a <1时，a x －a －
x 为减函数， 又
a
a 2－1
<0，∴f (x )为增函数． ∴函数f (x )在R 上为增函数． (3)∵f (0)＝a
a 2－1(a 0－a 0)＝0，
∴f (x 2－3x ＋2)<0＝f (0)． 由(2)知：x 2－3x ＋2<0，∴1<x <2. ∴不等式的解集为{x |1<x <2}． 11．解 原不等式为(x 2－1)m －(2x －1)<0，
设f (m )＝(x 2－1)m －(2x －1)，则问题转化为求一次函数(或常数函数)f (m )的值在区间[－2,2]
内恒为负时应满足的条件，得⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)<0f (－2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧
2(x 2－1)－(2x －1)<0
－2(x 2
－1)－(2x －1)<0
， 解得x ∈⎝
⎛⎭
⎪
⎫7－12，3＋12. 12．解 (1)方法一 ∵g (x )＝x ＋e 2
x
≥2e 2＝2e ，
等号成立的条件是x ＝e. 故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，
因而只需m ≥2e ，则g (x )＝m 就有实根． 方法二 作出g (x )＝x ＋e 2
x 的图象如图：
可知若使g (x )＝m 有实根，则只需m ≥2e. 方法三 解方程由g (x )＝m ，得x 2－mx ＋e 2＝0. 此方程有大于零的根，故⎩⎪⎨⎪⎧
m 2>0
Δ＝m 2－4e 2≥0
等价于⎩
⎪⎨⎪
⎧
m >0m ≥2e 或m ≤－2e ，故m ≥2e.
(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )＝f (x )中函数g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，
作出g (x )＝x ＋e 2
x (x >0)的图象．
∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1 ＝－(x －e)2＋m －1＋e 2.
其对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2. 故当m －1＋e 2>2e ，即m >－e 2＋2e ＋1时， g (x )与f (x )有两个交点，
即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． ∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．。