⑧数的整除性(教师版)
六年级秋季班-第9讲：期中复习-教师版
不需要填平的洞为： 600 60 1 11，所以需要填埋好的洞为： 3111 20 个． 【总结】考查种树问题，树的棵数=间隔数+1．
【例15】一个正整数被 4 除余 3，被 6 除余 5，被 9 除余 8，则这个数最小是多少？ 【难度】★★★ 【答案】35． 【解析】4、6、9 的最小公倍数是 36，则这个数为 35． 【总结】考查对最小公倍数的理解．
2.7 分数与小数互化
2.8 分数小数的四则混合运算
2.9 分数运算的应用
注意点
1、分数的概念和意义； 2、分数与除法的关系． 1、基本性质； 2、最简分数的概念与约分． 1、公分母与分数的通分； 2、分数比较大小的基本方法； 3、*分数比较大小的特殊方法． 1、分数加减法的计算法则； 2、真分数、假分数、带分数的概念及运算； 3、分数加减法的应用． 1、分数乘法的计算法则； 2、分数乘法的应用． 1、分数除法的计算法则； 2、倒数的概念； 3、分数除法的应用． 1、分数化为小数的方法； 2、可化为有限小数的分数的特征； 3、有限小数化为分数的方法； 4、循环小数的相关概念； 5、*循环小数化为分数的技巧． 1、分数小数混合运算时互化的原则； 2、常见的分数与小数的互化； 3、*速算与巧算． 1、一个数是另一个数的几分之几； 2、一个数的几分之几是多少； 3、已知一个数的几分之几，求这个数； 4、一个数比另一个数多（或）少几分之几； 5、*工程问题．
【例8】 从 0、1、2、5 四个数字中选三个数字组成的数字不重复的三位数，其中，偶数有 ______个，能被 5 整除的数有______个，能被 5 整除的偶数有______个．
第一章 数的整除性 第四节 最大公因数1
初等数论（4）（第一章数的整除性第四节最大公因数（1））定义1 整数a1，a2， ，a k的公共因数称为a1，a2， ，a k的公因数。
不全为零的整数a1，a2， ，a k的公因数中最大的一个叫做a1，a2， ，a k的最大公因数，记为（a1，a2， ，a k）。
由于每个非零整数的因数的个数是有限的，所以最大公因数是存在的，并且是正整数。
如果（a1，a2， ，a k）=1，则称a1，a2， ，a k是互质的；如果（a i , a j）=1，1 ≤i ≤k，1 ≤ j ≤k，i≠ j，则称a1，a2， ，a k是两两互质的。
显然，由a1，a2， ，a k两两互质可以推出（a1，a2， ，a k）= 1，反之则不然，例如（2，6，15）=1，但（2，6）= 2。
定理1 下面的等式成立：（ⅰ）（a1，a2， ，a k）=（|a1|，|a2|， ，|a k|）；（ⅱ）（a，1）=1，（a，0）=|a|，（a，a）=|a|；（ⅲ）（a，b）=（b，a）；（ⅳ）若p是质数，a是整数，则（p，a）=1或p∣a；（ⅴ）若a = bq + r，则（a，b）=（b，r）。
证明（ⅰ）我们先证明a1，a2， ，a k与|a1|，|a2|， ，|a k|的公因数相同。
设d是a1，a2， ，a k 任一公因数，由定义d∣ a i，i = 1，2，……，n。
因而d∣| a i | ，i = 1，2，……，n。
故d是|a1|，|a2|， ，|a k|的一个公因数,同样的方法可证|a1|，|a2|， ，|a k|的任一个公因数都是a1，a2， ，a k的一个公因数.即a1，a2， ，a k与|a1|，|a2|， ，|a k|的公因数相同。
由此可直接得（a1，a2， ，a k）=（|a1|，|a2|， ，|a k|）；（ⅱ）、（ⅲ）、（ⅳ）显然。
（ⅴ）如果d∣a，d∣b，则有d∣r = a -bq，反之，若d∣b，d∣r，则d∣a = bq + r。
五年级奥数题：数的整除性(2021年整理)
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数的整除性一、填空题1。
四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____。
2。
在“25□79这个数的□内填上一个数字，使这个数能被11整除，方格内应填_____。
3. 能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____。
4. 能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____.5. 1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____.6。
所有能被3整除的两位数的和是______.7. 已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位数是_____.8. 如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是_____。
9. 42□28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是_____。
10. 从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行，从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动,其余同学出列;然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的留下，其余同学出列；留下的同学第三次从左向右1至11报数,报到11的同学留下，其余同学出列,那么最后留下的同学中,从左边数第一个人的最初编号是_____号。
二、解答题11. 173□是个四位数字。
数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字,所得到的3个四位数，依次可被9、11、6整除。
"问:数学老师先后填入的3个数字的和是多少？12．在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、5、11整除,这个七位数最小值是多少？13．在“改革”村的黑市上,人们只要有心,总是可以把两张任意的食品票换成3张其他票券,也可以反过来交换。
数的整除(教师)
课前准备：数的整除一、基本概念和符号：1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。
2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“”；因为符号“∵”，所以的符号“∴”；二、整除判断方法：1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。
2. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
3. 能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
4. 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。
5. 能被7整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6. 能被11整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7. 能被13整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
三、整除的性质：1. 如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。
2. 如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。
3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。
4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。
例题讲解：能被2、3、5整除的数的典型例题例1．在下面的□里填数字，使这个数既能被5整除，又能被3整除．50□0；2□□5；11□2□．例2．从0、4、5、7四个数中，任意选三个数组成同时能被2、3、5整除的三位数．例3．在方框里填上适当的数使它能同时被2、3整除．415□例4．如果12345□□能被234整除，问□□应为哪两个数字？例:5：一个班50个学生，老师要学生1-50报数，然后要求报的数能被2整除的学生向后转，然后要求报的数能被3整除的同学向后转，再要报的数能被5整除的同学向后转，最后面向老师站着的学生有多少个？提示：最终面向老师站着的学生包括1.一次都没有转的学生 2。
高中数学数字整除问题教案
高中数学数字整除问题教案
教学目标：
1. 掌握整除的概念和判定方法。
2. 训练学生分析问题并运用整除性质进行解题。
3. 提高学生数学推理和逻辑思维能力。
教学重点：
1. 整除的定义和性质。
2. 数学问题中的整除运用。
教学难点：
1. 理解和掌握整除的应用。
2. 运用整除性质解决复杂问题。
教学准备：
1. 教师准备相关教学资料和教学案例。
2. 学生准备好纸笔进行课堂练习。
教学过程：
一、导入：
教师通过引导学生回顾整除的定义和判定方法，提出本节课要讨论整除问题，并引入相关实际问题。
二、讲解：
1. 整除的定义和性质：通过案例或实例讲解整除的概念和性质，引导学生理解整除乘法法则和整除性质。
2. 数学问题中的整除运用：通过实际问题讲解如何运用整除性质解决问题。
三、练习：
教师出示一些数字整除问题，让学生进行思考和运用整除性质解题，并进行课堂讲解和订正。
四、作业：
布置相关数字整除问题作业，让学生巩固所学知识。
五、总结：
通过课堂讨论和总结，引导学生理解整除的重要性和应用，并巩固整个内容。
教学延伸：
教师可以结合实际生活中的整除问题，引导学生思考和解决，提高学生数学推理和应用能力。
专题01 数的整除(专项培优训练)(教师版)
专题01 数的整除（专项培优训练）试卷满分：100分考试时间：120分钟难度系数：0.68一．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）1．（2分）（2020秋•浦东新区期末）能同时被2和5整除的最小两位数是 10 ．解：能被2整除的整数的尾数可为0，2，4，6，8；能被5整除的整数的尾数可为0，5；∴能同时被2和5整除的最小的两位数是10．故答案为：10．2．（2分）（2021秋•宝山区校级月考）能被2、3、5同时整除的最小的三位数是 120 ，最小的四位数是 1020 ．解：因为2、3、5的最小公倍数是2×3×5＝30，而100÷30＝3……10，1000÷30＝33……10，所以30×4＝120，30×34＝1020，即能被2、3、5同时整除的最小的三位数是120，最小的四位数是1020．故答案为：120，1020．3．（2分）（2019秋•徐汇区校级月考）写出一个能被7整除的最小偶数（正数） 14 ．解：7×2＝14，14为能被7整除的最小偶数．故答案为：14．4．（2分）（2019秋•嘉定区期中）将4、5、0这三个数排成一个三位数，能被5整除最大的是 540 ．解：因为将4、5、0这三个数排成一个三位数，可能是450，540，所以能被5整除最大的是540．故答案为：540．5．（2分）（2021秋•长宁区校级期中）能同时被2，3，5整除的最大三位数是 990 ．解：能被5整除的数的个位数字是5或0，能被2整除的数的尾数是0，2，4，6，8，所以这个三位数的个位数为0，因为数990中，9+9+0＝18，18是3的倍数，所以最大三位数是990，故答案为：990．6．（2分）（2022秋•徐汇区期末）既能被2整除，又能被5整除的最小正整数是 10 ．解：根据能被2，5整除的数的特征可知，既能被2整数，又能被5整除的最小正整数是：10．故答案为：10．7．（2分）（2020秋•浦东新区期中）两个合数的最大公因数是3，最小公倍数是30，则这两个数分别是： 6和15 ．解：30×3＝90，因为90＝6×15，所以这两个数分别为6和15；故答案为：6和15．8．（2分）（2014秋•浦东新区期中）商店开展有奖购物活动，一等奖的中奖号码是一个三位数，百位上的数字是最小的素数，十位上的数字是最小的自然数，个位数字上是最小的合数，这个一等奖的中奖号码是 204 ．解：最小的素数是2，最小的自然数是0，最小的合数是4，∵一等奖的中奖号码是一个三位数，百位上的数字是最小的素数，十位上的数字是最小的自然数，个位数字上是最小的合数，∴这个一等奖的中奖号码是 204；故答案为：204．9．（2分）（2021秋•嘉定区期末）一个长方形的周长为30厘米，且长和宽都是素数，这个长方形的面积是 26 平方厘米．解：长和宽的和是：30÷2＝15（厘米），∵15＝2+13，∴长方形的面积为13×2＝26（平方厘米）．故这个长方形的面积是26平方厘米．故答案为：26．10．（2分）（2021秋•金山区期末）如果A＝2×3×3×a，B＝2×2×3×a，且A、B的最小公倍数是180，那么a＝ 5 ．解：由题意得2×3×3×a×2＝180，解得：a＝5．故答案为：5．11．（2分）（2021秋•青浦区校级期末）定义新运算“*”如下：对于两个自然数a和b，它们的最大公因数与最小公倍数的和记为a*b，例如：6*8＝2+24＝26，根据上面的定义运算，12*15＝ 63 ．解：∵12＝2×2×3，15＝3×5，∴12和15的最大公约数是3，最小公倍数是2×3×2×5＝60，所以12*15＝3+60＝63；故答案为：63．12．（2分）（2021秋•宝山区校级月考）一个能被2和3整除的四位数，它的千位上的数是奇数又是合数，它的百位上的数不是素数也不是合数，它十位上的数是最小的素数，个位上的数是 6或0 ．解：∵它的千位上的数是奇数又是合数，∴千位是9，∵它的百位上的数不是素数也不是合数，∴百位是1，∵它十位上的数是最小的素数，∴十位是2，∵又能被2和3整除的四位数，∴个位数字是6或0，故答案为：6或0．二．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）13．（2分）（2022秋•闵行区校级期中）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（ ）A．25和50B．42和3C．10和4D．9和1.5解：A，50÷25＝2，本选项符合题意；B，，本选项不符合题意；C，，本选项不符合题意；D，，本选项不符合题意；故选：A．14．（2分）（2022秋•徐汇区校级期中）下列说法中，正确的个数有（ ）①32能被4整除；②1.5能被0.5整除；③13能整除13；④0能整除5；⑤25不能被5整除；⑥0.3不能整除24．A．2个B．3个C．4个D．5个解：①32能被4整除，说法正确；②1.5不能被0.5整除，说法错误；③13能整除13，说法正确；④0不能整除5，说法错误；⑤25能被5整除，说法错误；⑥0.3不能整除24，说法正确．说法正确的有3个．故选：B．15．（2分）（2021秋•奉贤区期末）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（ ）A．3.6和1.2B．35和8C．27和3D．13.4和2解：A、3.6和1.2都不是整数，第一个数不能被第二个数整除，故此选项不符合题意；B、∵35÷8＝4…3，∴35不能被8整除，第一个数不能被第二个数整除，故此选项不符合题意；C、∵27÷3＝9，∴27能被3整除，第一个数能被第二个数整除，故此选项符合题意；D、13.4不是整数，第一个数不能被第二个数整除，故此选项不符合题意．故选：C．16．（2分）（2020秋•静安区期末）一个整数既能被6整除，又能被8整除，则它还一定能被（ ）整除．A．10B．12C．16D．18．解：因为6的因数是2和3，8的因数是2和4，所以一个数能被6整除，又能被8整除，所以这个数能被12整除．故选：B．17．（2分）（2022秋•杨浦区期中）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（ ）A．12和5B．4.5和1.5C．4和28D．36和9A．12÷5＝，不符合题意，故A错误；B．4.5和1.5不是整数，不符合题意，故B错误；C．4÷28＝，不符合题意，故C错误；D．36÷9＝4，符合题意，故D正确；故选：D．18．（2分）（2022秋•闵行区期末）下列说法正确的是（ ）A．因为10÷4＝2.5，所以10是4的倍数B．所有正整数，不是素数就是合数C．2既是偶数又是素数D．比3小的自然数只有1和2解：A．10÷4＝2.5，2.5不是整数，故此选项说法错误；B.1既不是素数也不是合数，此选项说法错误；C．2既是偶数又是素数，说法正确；D．比3小的自然数有0、1、2故选：C．三．简答题（共6小题，满分33分）19．（8分）（2021秋•宝山区校级月考）求下列各组数的最大公因数和最小公倍数：（1）8和9；（2）12和48；（3）13和104；（4）34和51．解：（1）8和9是互质数，互为质数的两个数的最大公因数是1，故8和9的最大公因数是1，互为质数的两个数的最小公倍数是它们的乘积，故8和9的最小公倍数是：8×9＝72：（2）12＝3×2×2和48＝2×2×2×2×3，故12和48的最大公因数是：2×2×3＝12，12和48的最小公倍数是：3×2×2×2×2＝48；（3）13和104＝13×8，故13和104的最大公因数是13，13和104的最小公倍数是：13×8＝104：（4）34＝17×2和51＝3×17，故34和51的最大公因数是17，34和51的最小公倍数是：17×3×2＝102．20．（4分）（2021秋•宝山区校级月考）分解素因数：（1）32；（2）150．解：（1）把32分解素因数：32＝2×2×2×2×2；（2）把150分解素因数：150＝2×5×3×5．21．（3分）（2021秋•长宁区校级期中）用短除法求54与144的最大公因数和最小公倍数．解：如图，用短除法把54和144分解质因数为：∴最大公因数＝2×3×3＝18，最小公倍数＝2×3×3×3×8＝432．22．（6分）（2020秋•浦东新区月考）在下面素数表内的空白处，填上适当的素数．100以内的素数 2 35711 13 17 1923293137 41 43475359 61 677173798389 97 ……解：根据质数的定义（一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，又叫做素数），得：100以内的素数2357111317192329313741434753596167717379838997……故答案为：2；13；17；41；61；97．23．（6分）（2020秋•徐汇区校级期中）在从五个数字0，1，5，6，7中取三个可以拼出的三位数中（直接写出答案）．（1）写出能被9整除的所有三位数；（2）写出能同时被2，5，3整除的所有三位数；（3）写出能被33整除的所有三位数．解：（1）∵5+6+7＝18，18是9倍数，∴由5、6、7组成的三位数能被9整除，∴能被9整除的所有三位数有：567、576、657、675、756、765；（2）∵能同时被2，5，3整除的所有三位数必是30的倍数，∴本位数的个位为0，各个数位数字和是3的倍数，∴由0、1、5或0、5、7两组数字组成的个位为0的三位数才能被2，5，3整除，∴能同时被2，5，3整除的所有三位数的：150、510、570、750；（3）∵被33整除，∴各个数位数字和能被3整除；奇数位上的数字与偶数位上的数字之差能被11整除，∴能被33整除的所有三位数为：165、561．24．（6分）（2019秋•浦东新区期中）两百年前，德国数学家哥德巴赫发现：任何一个不小于6的偶数都可以写成两个奇素数（既是奇数又是素数）之和，简称：“l+1“．如6＝3+3，12＝5+7等等．众多数学家用很多偶数进行检验，都说明是正确的，但至今仍无法从理论上加以证明，也没找到一个反例．这就是世界上著名的哥德巴赫猜想．你能检验一下这个伟大的猜想吗？请把偶数42写成两个奇素数之和.42＝ 7 + 35 ，或者42＝ 13 + 29 ．你是否有更大的发现：把42写成4个奇素数之和？42＝ 3 + 7 + 15 + 17 ．解：根据题意得：42＝7+35或42＝13+29；42＝3+7+15+17（答案不唯一）；故答案为：7，35；13，29；3，7，15，17．四．解答题（共6小题，满分31分）25．（4分）（2022秋•松江区期中）一张长36厘米，宽20厘米的长方形纸片，把它裁成大小相等的正方形小纸片而没有剩余，裁出的正方形纸片最少有多少张？解：∵36＝2×2×3×3，20＝2×2×5，∴36、20的最大公因数为：2×2＝4，∴36×20÷（4×4）＝720÷16＝45（张），答：裁出的正方形纸片最少有45张．26．（4分）（2022秋•嘉定区期中）有三根绳子，分别长36米，54米，63米，现在要将它们裁成长度相等的短绳且没有剩余，每根短绳最长可以是几米？这样的短绳有几根？解：∵36＝2×3×2×3，54＝2×3×3×3，63＝3×3×7，∴36，54，63的最大公因数是9，4+6+7＝17，答：每根短绳最长可以是9米，这样的短绳有17根．27．（4分）（2022秋•闵行区校级期中）从运动场的一端到另一端全长100米，从一端起到另一端止每隔4米插一面小红旗．现在要改成每隔5米插一面小红旗，有多少面小红旗不用移动？解：5和4的最小公倍数是20，∴100÷20+1＝5+1＝6（面）．答：有6面小红旗不用移动．28．（6分）（2022秋•宝山区期中）如果两个相邻的奇数都是素数，就说它们是一组孪生素数．如11和13就是一组孪生素数，（1）请你举出除此之外的两组孪生素数；（2）如果三个相邻的奇数都是素数，就说它们是“三胞胎素数”，请写出一组“三胞胎素数”．（本题只需直接写出答案）解：（1）3和5是一组孪生素数，5和7是一组孪生素数；（2）3、5、7是“三胞胎素数”．29．（5分）（2021秋•宝山区校级月考）有两列公交车，宝山6路每30分钟发一次车，宝山8路每25分钟发一次车．请问：一位公交指挥员从早晨6点30分同时发车后，直到下午4点，这两班车在哪些时刻同时发车？解：，根据题意可得：30和25的最小公倍数是150，150÷60＝2.5，即两个半小时，∴从早晨6点30分同时发车后，再同时发车时间为9点，11点半，14点，∴两班车在上午9点，11点半，下午2点同时发车．30．（8分）（2022秋•徐汇区校级期中）“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”这是驰名中外的中国古代问题之一，它是我国古代的一本著名的数学名书《孙子算经》中的一道题目，人们把它称为“韩信点兵”．这道题目可以译为：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合条件的最小的数？这就是外国人所称的“中国剩余定理”，是数学史上极有名的问题．表示的具体解法是：先分别求出能被5和7整除而被3除余1的数（70），能被3和7整除而被5除余1的数（21），能被3和5整除而被7除余1的数（15），然后用被3、5、7除所得的余数（即2、3、2）分别去乘这三个数，再相加，也就是70×2+21×3+15×2＝233．最后从233中减去3、5、7的最小公倍数105，如果得出的差还是比105大，就再减去105，一直到得数比105小为止．233﹣105×2＝23．这就是适合条件的最小的数．同学们，你能不能用这样的方法来解答下面的题目呢？或许你有更好的办法！一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合条件的最小自然数．解：能被6和7整除而被5除余1的数（126），能被5和7整除而被6除余1的数（175），能被5和6整除而被7除余1的数（120），126×3+175×4+120×1＝378+700+120＝1198．1198﹣210×5＝1198﹣1050＝148．答：适合条件的最小自然数是148。
浅析吴正宪老师《复习课——数的整除性》
浅析吴宗宪老师《复习课——数的整除性》关键字：教学目标、学习理论、教学过程、作用摘要：吴正宪致力于小学数学教学改革，在教学中善于调动学生学习的主动性，激发学生的创造性思维，并取得显著效果。
因此有必要对吴老师的可进行分析和学习，以《复习课——数的整除性》为例，从教学目标，教学方法，教学过程等方面入手，有助于我们数学教师成长，提高数学教师的专业发展。
一、《数的整除性》的教学目标1. 通过整理复习，使学生更好地理解和掌握数的整除及其有关的概念，形成相关的知识链。
2. 在学习活动中，让学生亲历知识点及相关例子的收集、归类及概念的梳理、应用等过程，培养归纳整理的能力、解决问题的能力和积极探索、团结协作的精神，获得收获的成功感。
3.让学生感受到数学自身的美及数学与生活的密切联系，进一步激发学生学习数学的兴趣。
根据教学目标可知，本节课的教学重点：通过对主要概念进行整理和复习，深化理解，形成知识网络．教学难点：弄清概念间的联系和区别，理解易混淆的概念．二、教学方法与教学理论华罗庚曾说过：唯一推动自己学习的力量，就是兴趣与方便。
因为数学是充满了兴趣的科学，也是最便于自学的科学。
由此可见兴趣对于学习的重要性，而讲解法是一种单向性的信息交流方式，在一般情况下，听讲的学生很难干预教师传递知识的性质、速率和数量，只能被动的接受信息。
从课程的性质来谈，复习课不同于新授课，它主要目的就是要及时查漏补缺，更正以前不正确的认知，假设采用这种“教师讲，学生听”的讲解式教学法的话，容易使学生很快就对这堂课失去了兴趣，就会存在一种已经学过，没多大意义的心理。
复习课就在于稳固以前学的知识，再将这些知识串联起来，上这样的课，学生的兴趣是非常重要的。
所以，吴正宪老师老师采用了“启发式谈话法”，通过师生双方的及时交流，灵活的操作，重新建立新新旧知识之间的联系，本节课的内容意在复习以前听学的知识，将这些已有的零散的知识联系起来，老师通过引导使学生对此产生兴趣，从而自主的学习，而非被动的学习。
第一讲数的整除(教师版)
第一讲数的整除（教师版）奥数特训四年级下册教材91、在一条公路上，每隔100千米有一个仓库（如图），共有五个仓库。
一号仓库存有10吨货物，二号仓库存有20吨货物，五号仓库存有50吨货物，其余两个仓库是空的。
现在想将所有的货物集中存放在一个仓库里。
如果每吨货物运输1千米需要0.5元的运费，那么最少要花多少运费才行？2、有89吨货物要甲地运往乙地。
大卡车的载重量是7吨，小卡车的载重量是4吨。
大卡车与小卡车每车次的耗油量分别是14公升和9公升。
问如何选派车辆才能使运输耗油量最少？这时共需用油多少公升？3、某公司运输队每天有5辆汽车为7个工厂作循环运输任务。
每个工厂需配备的装卸工如图所示。
如果每个工厂固定的装卸工太多，会造成浪费，可让一部分装卸工跟车装卸。
这样，有人跟车，有人固定。
怎样合理安排才能使装卸工人数最少？-1-奥数特训四年级下册教材94、某工地A有20辆卡车。
要把60车渣土从A地运往B，把40车砖从C运到D（工地道路图如图所示）。
问如何调运最省油？5、把16拆成几个互不相同的自然数，使这些自然数的乘积最大。
解：拆成的数不能有1，而2＋3＋4＋5＋6＞16，所以16至多拆成4个互不相同的自然数。
这有两种拆法：16=2＋3＋5＋6=2＋3＋4＋7由于5某6＞4某7，所以拆成2＋3＋5＋62某3某5某6=180.6、把长239米的钢筋截成17米和24米长的钢筋，如何截法最省材料？解：239=17某7＋24某5所以应截成17米的7根，24米的5根。
7、把1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字填在九个方框中（每个数字只用一次），使三个三位数相乘的积最大。
□□□某□□□某□□□解：要使乘积最大，这三个三位数也要最大，首位是9、8、7，十位是6、5、4，个位是3、2、1。
又在和一定的情况下，两数差越小则积越大。
所以这三个三位数是941、852、763.8、兄弟俩骑车郊游，弟弟先出发，速度是每分钟行200米，5分钟后，哥哥带一条狗出发，以每分钟250米的速度去追弟弟。
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数的整除性
考点讲解
这一讲主要讲能被11整除的数的特征。
一个数从右边数起，第1，3，5，…位称为奇数位，第2，4，6，…位称为偶数位。
也就是说，个位、百位、万位……是奇数位，十位、千位、十万位……是偶数位。
例如9位数768325419中，奇数位与偶数位如下图所示：
能被11整除的数的特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大数减小数）如果能被11整除，那么这个数就能被11整除。
典型例题分析
例1判断七位数1839673能否被11整除。
分析与解：奇数位上的数字之和为1＋3＋6＋3=13，偶数位上的数字之和为8＋9＋7=24，因为24-13=11能被11整除，所以1839673能被11整除。
根据能被11整除的数的特征，也能求出一个数除以11的余数。
一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和减去偶数位上的数字之和所得的差除以11的余数相同。
如果奇数位上的数字之和小于偶数位上的数字之和，那么应在奇数位上的数字之和上再增加11的整数倍，使其大于偶数位上的数字之和。
例2 求下列各数除以11的余数：
（1）41873；（2）296738185。
分析与解：（1）[（4＋8＋3）－（1＋7）]÷11
=7÷11＝0……7，
所以41873除以11的余数是7。
（2）奇数位之和为2＋6＋3＋1＋5=17，偶数位之和为9＋7＋8＋8＝32。
因为17＜32，所以应给17增加11的整数倍，使其大于32。
（17+11×2）-32＝7，
所以296738185除以11的余数是7。
需要说明的是，当奇数位数字之和远远小于偶数位数字之和时，为了计算方便，也可以用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以11，所得余数与11的差即为所求。
如上题（2）中，（32-17）÷11＝1……4，所求余数是11-4=7。
例3求除以11的余数。
分析与解：奇数位是101个1，偶数位是100个9。
（9×100-1×101）÷11
=799÷11=72……7，
11-7=4，所求余数是4。
例3还有其它简捷解法，例如每个“19”奇偶数位上的数字相差9-1＝8，
奇数位上的数字和与偶数位上的数字和相差8×99=8×9×11，能被
11整除。
所以例3相当于求最后三位数191除以11的余数。
例4用3，3，7，7四个数码能排出哪些能被11整除的四位数？
解：只要奇数位和偶数位上各有一个3和一个7即可。
有3377，3773，7337，7733。
例5用1～9九个数码组成能被11整除的没有重复数字的最大九位数。
分析与解：最大的没有重复数字的九位数是987654321，由
（9＋7＋5＋3＋1）-（8＋6＋4＋2）＝5
知，987654321不能被11整除。
为了保证这个数尽可能大，我们尽量调整低位数字，只要使奇数位的数字和增加3（偶数位的数字和自然就减少3），奇数位的数字之和与偶数位的数字之和的差就变为5＋3×2=11，这个数就能被11整除。
调整“4321”，只要4调到奇数位，1调到偶数位，奇数位就比原来增大3，就可达到目的。
此时，4，3在奇数位，2，1在偶数位，后四位最大是2413。
所求数为987652413。
例6 六位数能被99整除，求A和B。
分析与解：由99=9×11，且9与11互质，所以六位数既能被9整除又能被11整除。
因为六位数能被9整除，所以
A+2+8+7+5+B
＝22+A+B
应能被9整除，由此推知A＋B＝5或14。
又因为六位数能被11整除，所以（A＋8＋5）－（2＋7＋B）
＝A-B＋4
应能被11整除，即
A-B+4=0或A-B+4=11。
化简得B-A＝4或A-B＝7。
因为A+B与A-B同奇同偶，所以有
在（1）中，A≤5与A≥7不能同时满足，所以无解。
在（2）中，上、下两式相加，得
（B＋A）＋（B-A）＝14＋4，
2B＝18，
B=9。
将B=9代入A＋B=14，得A＝5。
所以，A=5，B＝9。
课后作业
1．为使五位数6□295能被11整除，□内应当填几？
2．用1，2，3，4四个数码能排出哪些能被11整除的没有重复数字的四位数？
3．求能被11整除的最大的没有重复数字的五位数。
4．求下列各数除以11的余数：
（1）2485；（2）63582；（3）987654321。
5．求除以11的余数。
6．六位数5A634B能被33整除，求A+B。
7．七位数3A8629B是88的倍数，求A和B。
1.4。
2.1243，1342，2134，2431，3124，3421，4213，4312。
3.98736。
4.（1）10；（2）2；（3）5。
5.2。
6.12。
提示：由能被11整除推知A+B=1或12，再由能被3整除推知A+B=12。
7.A=4，B=6。
提示：由能被8整除，推知B=6；再由能被11整除，推知A=4。
学习顾问签字：教学主管签字：。