2019年浙江版中考数学§9_4 操作探究型问题(试题部分)

30°,∴BC=B'C= AB ' =8.
cos 30
图④ 综上所述,BC的长度为4或6或8或12.
2.(2017岳阳,23,10分)问题背景:已知∠EDF的顶点D在△ABC的边AB上(不与A,B重合).DE交 AC所在直线于点M,DF交BC所在直线于点N.记△ADM的面积为S1,△BND的面积为S2.
的仍是轴对称图形,则小红折叠的矩形纸片的长宽之比为
;
拓展应用
(4)在图2中,若∠B=30°,AB=4 3 ,当△AB'D恰好为直角三角形时,BC的长度为
.
解析 解决问题 (1)①B'D∥AC(互相平行). ②菱形. (2)结论仍成立. ①∵∠DAC=∠BCA,∠BCA=∠ACB', ∴∠ACB'=∠DAC,∴AE=CE. ∵B'C=AD,AE=CE, ∴B'E=DE, ∴∠CB'D=∠ADB'.
∴ AH =3,
CH
设CH=x, ∴BH=AH=3x, ∵BC=4,
∴3x+x=4, ∴x=1, ∴AH=3,CH=1, 由旋转知,∠EHF=∠BHD=∠AHC=90°,EH=AH=3,CH=DH=FH,
∴∠EHA=∠FHC, EH = FH =1,
AH HC
∴△EHA∽△FHC, ∴∠EAH=∠C, ∴tan∠EAH=tan C=3, ∴HP=3AP,∵AH=EH,∴AE=2AP, 在Rt△AHP中,AP2+HP2=AH2, 即AP2+(3AP)2=9,
解析 (1)证明:在Rt△AHB中,∠ABC=45°, ∴AH=BH,
BH AH,
在△BHD和△AHC中, BHD AHC 90,∴△BHD≌△AHC(SAS),
DH CH ,
∴BD=AC. (2)(i)如图,过点H作HP⊥AE于点P. 在Rt△AHC中, ∵tan C=3,
拓展应用
(4)4或6或8或12(答对一个得1分). 详解:如图①,当∠B'AD=90°时,∠B=∠AB'E=∠ADC=30°,AB'=AB=CD, 在△B'AE和△CDE中,∠AB'E=∠EDC,∠B'EA=∠DEC,∴∠DCE=∠B'AE=90°,∴AE=AB'tan 30°
=4,ED= CD =8,∴BC=AD=AE+ED=12.
cos 30
图①
如图②,当∠B'AD=90°时,∵CD∥AB,AD∥BC,∴∠B+∠BAD=180°,∴∠BAD=150°,∴∠BAB'=
60°,∴∠BAC=∠B'AC=30°,∵∠ACD=∠BAC=30°,∴AE=CE,∴B'E=ED,∴AE= 1 ED= 1 CD=
23
4 3 ,∴BC=AD= AE =4.
在Rt△AMG中,MG=AM·sin A= 3 AM,∴S1= 1 AD·MG= 3 AM.同理,S2= 3 BN,∴S1·S2=3 AM·BN=
2
2
2
2
12.
(3)(i)过M,N分别作MG⊥AB,NH⊥AB,垂足为G,H.
由(2)可知, AD = AM ,
BN BD
∴BN·AM=ab,∵MG=AM·sin α,∴S1=1 AD·MG=1 a·AM·sin α.
∴AP= 3 10 , 10
∴AE= 3 10 . 5
(ii)EF=2HG.理由如下: 由(i)知,△AEH和△FHC都为等腰三角形, ∴∠GAH=∠HCG=30°,设CG与AH交点为Q, ∴△AGQ∽△CHQ,
∴ AQ = GQ , CQ HQ
∴ AQ = CQ , GQ HQ
∵∠AQC=∠GQH, ∴△AQC∽△GQH,
解决问题
(1)在图1中,
①B'D和AC的位置关系为
;
②将△AEC剪下后展开,得到的图形是
;ห้องสมุดไป่ตู้
(2)若图1中的矩形变为平行四边形时(AB≠BC),如图2所示,结论①和结论②是否成立,若成立,
请挑选其中的一个结论加以证明,若不成立,请说明理由;
(3)小红沿对角线折叠一张矩形纸片,发现所得图形是轴对称图形,沿对称轴再次折叠后,得到
2
2
同理,S2= 12 b·BN·sin α,
∴S1·S2=
1 4
a2b2
sin2α.
(ii)S1·S2= 1 a2b2 sin2α.
4
3.(2016成都,27,10分)如图①,在△ABC中,∠ABC=45°,AH⊥BC于点H,点D在AH上,且DH=CH, 连接BD.
(1)求证:BD=AC; (2)将△BHD绕点H旋转,得到△EHF(点B,D分别与点E,F对应),连接AE. (i)如图②,当点F落在AC上时(F不与C重合),若BC=4,tan C=3,求AE的长; (ii)如图③,当△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到时,设射线CF与AE相交于点G,连接 GH,试探究线段GH与EF之间满足的等量关系,并说明理由.
∵∠AEC=∠B'ED,∠ACB'=∠CAD, ∴∠ADB'=∠DAC, ∴B'D∥AC. ②如图所示,设展开后点E的对应点为F(由题意知F在BC上). ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴CF∥AE, ∴∠DAC=∠ACF, 由折叠可得,∠ACE=∠ACF,CE=CF, ∴∠DAC=∠ACE, ∴AE=CE, ∴AE=CF,
∴ EF = AC = CQ = 1 =2, HG GH QH sin 30
即EF=2HG.
中考数学 (浙江专用)
第九章 实验操作型专题
§9.4 操作探究型问题
好题精练
1.(2018黑龙江齐齐哈尔,23)综合与实践 折纸是一项有趣的活动,同学们小时候都玩过折纸,可能折过小动物、小花、飞机、小船
等,折纸活动也伴随着我们初中数学的学习. 在折纸过程中,我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等,进一步发展空间观念, 在经历借助图形思考问题的过程中,我们会初步建立几何直观.折纸往往从矩形纸片开始,今 天,就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸,看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论. 实践操作 如图1,将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折,使点B'落在矩形ABCD所在平面内,B'C和AD相交于 点E,连接B'D.
3
tan 30
图② 如图③,当∠ADB'=90°时,∵B'D∥AC,∴∠DAC+∠ADB'=180°,∴∠DAC=90°,∵∠ADC=∠B=30°, ∴BC=AD=CD·cos 30°=6.
图③ 如图④,当∠AB'D=90°时,∵B'D∥AC,∴∠B'AC+∠AB'D=180°,∴∠B'AC=90°,∵∠AB'E=∠B=
解析 (1)12. (2)过M,N分别作MG⊥AB,NH⊥AB,垂足为G,H. ∵∠ADM+∠MDN+∠NDB=180°, ∠ADM+∠A+∠DMA=180°,∠EDF=∠A, ∴∠NDB=∠DMA,又∵∠A=∠B,
∴△NDB∽△DMA,∴ AD = AM .
BN BD
∵AB=6,AD=4,∴BD=2, ∴BN·AM=AD·BD=8.
(1)初步尝试:如图①,当△ABC是等边三角形,AB=6,∠EDF=∠A,且DE∥BC,AD=2时,则S1·S2= ;
(2)类比探究:在(1)的条件下,先将点D沿AB平移,使AD=4,再将∠EDF绕点D旋转至如图②所示
位置,求S1·S2的值; (3)延伸拓展:当△ABC为等腰三角形时,设∠B=∠A=∠EDF=α. (i)如图③,当点D在线段AB上运动时,设AD=a,BD=b,求S1·S2的表达式(用a,b和α 的三角函数表 示). (ii)如图④,当点D在BA的延长线上运动时,设AD=a,BD=b,直接写出S1·S2的表达式,不必写出解 答过程.
∴四边形AECF是菱形. (3)1∶1或 3 ∶1(答对一个得1分,写成“1或 3 ”也正常给分) 详解:如图,沿对角线AC折叠时,当AB在射线AD上时,可得∠BAC=∠DAC=45°,AB=AD,四边形 ABCD是正方形,矩形长宽之比为1∶1;
如图,沿对角线AC折叠时,当AB不在射线AD上时,依题意得∠DAC=∠FAE=30°,设EF=ED=a,则 AF=AB= 3 a,AE=2a,所以AD=AE+ED=3a,矩形长宽之比为 3∶1.