2021中考数学图形的折叠问题专题复习(优秀)
中考数学折叠专项复习汇总
A
折叠与全等三角形
利用折叠构造全等三角形，从而证明线段或角 相等。
折叠与相似三角形
通过折叠构造相似三角形，利用相似三角 形的性质求解问题。
B
C
折叠与四边形
利用折叠构造特殊的四边形（如矩形、菱形 、正方形等），从而证明线段或角相等，或 者求解面积等问题。
折叠与最值问题
通过折叠找到某些量（如线段长度、角度大 小等）的最值，从而解决问题。
注意检查答案，确保准确无误
检查计算过程
在完成计算后，要仔细检查计算过程，确保每一步的计算都是正 确的。
验证答案是否符合题意
将计算得到的答案代入原题进行验证，确保答案符合题目的要求。
注意单位换算和精确度
在涉及长度、面积等物理量时，要注意单位换算和精确度的要求， 确保答案的准确性和规范性。
谢谢聆听
折叠与对称性的应用
02
折叠操作常常与图形的对称性相结合，通过对称性可以确定函
数图像的某些性质，如对称轴、对称中心等。
折叠在动态问题中的应用
03
在动态问题中，通过折叠操作可以建立动态的函数关系，进而
利用函数图像分析问题的变化趋势。
与几何图形结合的综合应用
折叠与三角形的应用
通过折叠操作，可以将三角形转化为 其他图形，或者利用三角形的性质解 决折叠问题。
对称性质
折叠后的图形关于折痕对称，因此可以利用对称性简化面积计算。
利用三角形面积公式求面积
底和高法
通过确定三角形的底和高，利用 公式$S = frac{1}{2} times text{ 底} times text{高}$计算面积。
相似三角形法
当两个三角形相似时，它们的面 积比等于对应边长的平方比。因 此，可以通过求解相似三角形的 边长比例来计算面积。
2021年中考数学重难点专项突破专题29 图形折叠中的直角三角形存在性问题(解析版)
①当∠CEB′=90°时，如图例 4-2 所示.
由折叠性质得：AB=AB′，四边形 ABE B′是矩形.
2
所以四边形 ABE B′是正方形.
此时，BE=AB=3.
②当∠CB′E=90°时，如图例 4-3 所示.
由折叠性质知，∠AB′C=90°，所以∠AB′C+∠CB′E=180°.
∴点 A、B′、C 共线
4
图例 6-1
图例 6-2
【答案】4 或 4 3
【解析】分两种情况讨论. ①当∠A’FE=90°时，如图例 6-2 所示. ∵D、E 分别为 AC、BC 的中点 ∴DE 是三角形 ABC 的中位线 即 DE∥BA ∴∠A’BA=90° ∴四边形 AB A’C 为矩形 由折叠得 AC=A’C ∴四边形 AB A’C 为正方形 即 AB=AC=4. ②当∠A’EF=90°时，如图例 6-3 所示. ∵∠A’EF= ∠ CDE=90° ∴A’E∥CD ∴∠DCE= ∠ CEA’ 由折叠知：∠DCE= ∠ A’CE
图例 5-3
3
2 +1
【答案】
或 1.
2
【解析】通过观察及分析可知，C 点不可能为直角顶点，分两种情况讨论.
①当∠CM B′=90°时，如图例 5-2 所示.
由折叠知：∠BMN= ∠ B′MB=45°，又因为∠B=45°，所以∠BNM=90°，∠MNB′=90°
即∠BNM+ ∠ MN B′=180°，所以 B、N、B′三点共线，此时 B′与点 A 重合.
3、如图例 5-1，在 Rt∆ABC 中，∠A = 90° ， AB = AC ， B=C 2 +1 ，点 M ， N 分别是边 BC ， AB 上
的动点，沿 MN 所在的直线折叠 ∠B ，使点 B 的对应点 B' 始终落在边 AC 上.若 ∆MB'C 为直角三角形，则
2021年中考数学总复习：专题33 中考几何折叠翻折类问题
2021年中考数学总复习：专题33 中考几何折叠翻折类问题1.轴对称（折痕）的性质：（1）成轴对称的两个图形全等。
（2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。
（3）对应点到对称轴的距离相等。
（4）对应点的连线互相平行。
也就是不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.对称的图形都全等.2.折叠或者翻折试题解决哪些问题（1）求角度大小；（2）求线段长度；（3）求面积；（4）其他综合问题。
3.解决折叠问题的思维方法（1）折叠后能够重合的线段相等，能够重合的角相等，能够重合的三角形全等，折叠前后的图形关于折痕对称，对应点到折痕的距离相等。
（2）折叠类问题中，如果翻折的直角，那么可以构造三垂直模型，利用三角形相似解决问题。
（3）折叠类问题中，如果有平行线，那么翻折后就可能有等腰三角形，或者角平分线。
这对解决问题有很大帮助。
（4）折叠类问题中，如果有新的直角三角形出现，可以设未知数，利用勾股定理构造方程解决。
（5）折叠类问题中，如果折痕经过某一个定点，往往用辅助圆解决问题。
一般试题考查点圆最值问题。
（6）折叠后的图形不明确，要分析可能出现的情况，一次分析验证可以利用纸片模型分析。
【例题1】（2020•哈尔滨）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（）A．10°B．20°C．30°D．40°【对点练习】（2019重庆）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AB=3，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AE=1，连接DE，将△AED沿直线沿直线AE翻折至△ABC所在的平面内，得到△AEF，连接DF，过点D作DG⊥DE交BE于点G.则四边形DFEG的周长为（）A.8B.23+.24 C.42+ D.22【例题2】（2020贵州黔西南）如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平，再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，已知BC＝2，则线段EG的长度为________．【对点练习】（2019四川内江）如图，在菱形ABCD中，simB＝，点E，F分别在边AD、BC上，将四边形AEFB沿EF翻折，使AB的对应线段MN经过顶点C，当MN⊥BC时，的值是．【例题3】（2020衢州模拟）如图1，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A′处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处．再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处．如图2．（1）求证：EG=CH；（2）已知AF=，求AD和AB的长．【对点练习】（2019徐州）如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，折痕为EF．求证：（1）∠ECB＝∠FCG；（2）△EBC≌△FGC．一、选择题1.（2020•青岛）如图，将矩形ABCD 折叠，使点C 和点A 重合，折痕为EF ，EF 与AC 交于点O ．若AE ＝5，BF ＝3，则AO 的长为（ ）A ．√5B ．32√5C ．2√5D ．4√52．（2020•枣庄）如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3，点E 在边BC 上，将△ABE 沿直线AE 折叠，点B 恰好落在对角线AC 上的点F 处，若∠EAC ＝∠ECA ，则AC 的长是（ ）A ．3√3B ．4C ．5D ．63．（2020•广东）如图，在正方形ABCD 中，AB ＝3，点E ，F 分别在边AB ，CD 上，∠EFD ＝60°．若将四边形EBCF 沿EF 折叠，点B 恰好落在AD 边上，则BE 的长度为（ ）A ．1B ．√2C ．√3D ．24．如图，三角形纸片ABC ，AB=AC ，∠BAC=90°，点E 为AB 中点．沿过点E 的直线折叠，使点B 与点A 重合，折痕现交于点F．已知EF=，则BC的长是（）A． B． C．3 D．5．如图，已知D为△ABC边AB的中点，E在AC上，将△ABC沿着DE折叠，使A点落在BC上的F处．若∠B=65°，则∠BDF等于（）A． 65° B． 50° C． 60° D． 57.5°6．如图，在矩形OABC中，OA=8，OC=4，沿对角线OB折叠后，点A与点D重合，OD与BC交于点E，则点D的坐标是（）A．（4，8） B．（5，8） C．（，） D．（，）7．（2019海南）如图，在▱ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若∠B ＝60°，AB＝3，则△ADE的周长为（）A．12 B．15 C．18 D．218．（2019桂林）将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG为折痕，若顶点A，C，D都落在点O处，且点B，O，G在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，则的值为（）A．B．C．D．二、填空题9．（2020•襄阳）如图，矩形ABCD中，E为边AB上一点，将△ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上，连接AF交DE于点N，连接BN．若BF•AD＝15，tan∠BNF=√52，则矩形ABCD的面积为．10．（2020•牡丹江）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E在AC边上．将∠A沿直线BE翻折，点A落在点A'处，连接A'B，交AC于点F．若A'E⊥AE，cos A=45，则A′FBF=．11．（2020•安徽）在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD 沿过点A 的直线折叠，使得点B 落在CD 上的点Q 处．折痕为AP ；再将△PCQ ，△ADQ 分别沿PQ ，AQ 折叠，此时点C ，D 落在AP 上的同一点R 处．请完成下列探究：（1）∠PAQ 的大小为 °；（2）当四边形APCD 是平行四边形时，AB QR 的值为 ．12．（2019山东滨州）如图，对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上的N 点处，同时得到折痕BM ，BM 与EF 交与点H ，连接线段BN ，则EH 与HN 的比值是 ．13．〔2020上海模拟〕如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，点D 在AC 上，将△ADB 沿直线BD 翻折后，将点A 落在点E 处，如果AD ⊥ED ，那么线段DE 的长为________.14．（2019内蒙古通辽）如图，在边长为3的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边上的一点，且AM＝AD，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C．则A′C长度的最小值是．15．（2019辽宁抚顺）在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，E是AB边上一点，AE＝2，F是直线CD上一动点，将△AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为点A'，当点E、A'、C三点在一条直线上时，DF的长度为．16．如图，在菱形ABCD中，tanA=，M，N分别在边AD，BC上，将四边形AMNB沿MN翻折，使AB的对应线段EF经过顶点D，当EF⊥AD时，的值为．17.（2019•河南）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，点E在边BC上，且BE＝35a．连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上，则a的值为_______．18．（2019江苏淮安）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，H是AB的中点，将△CBH沿CH折叠，点B落在矩形内点P处，连接AP，则tan∠HAP＝．三、解答题19．（2020•金华）如图，在△ABC中，AB＝4√2，∠B＝45°，∠C＝60°．（1）求BC边上的高线长．（2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF．①如图2，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数．②如图3，连结AP，当PF⊥AC时，求AP的长．20．（2020湘潭模拟）如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．（1）求证：△BDE∽△BAC；（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．21.（2020牡丹江）如图，四边形ABCD是正方形，点E在直线BC上，连接AE．将△ABE沿AE所在直线折叠，点B的对应点是点B′，连接AB′并延长交直线DC于点F．（1）当点F与点C重合时如图（1），易证：DF+BE=AF（不需证明）；（2）当点F在DC的延长线上时如图（2），当点F在CD的延长线上时如图（3），线段DF、BE、AF有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．。
中考复习：折叠问题专题讲座(51PPT)
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小练习—学以致用 1、如图，矩形纸片ABCD中， AB＝2cm，点E在BC上，且
AE＝EC。若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点B/重合，
则AC＝ 4 cm。
A
D
2
2
B/ 2
B
E
C
2、把一张平行四边形纸片ABCD沿BD对折，使点C落
在点E处，BE与AD相交于点O，若∠DBC＝15°，则
∠BOD＝ 150° 。
C/
x＝5.8
答：DE长5.8cm。
〖例3〗将矩形一角沿AE翻折交AC边于F点，AB＝3， BC＝4，求BE的长。
解：设BE＝x， 则EF＝BE＝x
，EC＝4－x
由翻折可知： 则AF＝AB＝3 在Rt△ABC中，
AC2＝32＋42 ∴ AC＝5
A
D
F
3
2
x
B x E 4－x C
∴ FC＝5－3＝2
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成 。21.8.921.8.900:13:4200:13:42August 9, 2021
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14、谁要是自己还没有发展培养和教 育好， 他就不 能发展 培养和 教育别 人。2021年8月 9日星 期一上 午12时13分42秒00:13:4221.8.9
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15、一年之计，莫如树谷；十年之计 ，莫如 树木； 终身之 计，莫 如树人 。2021年8月上 午12时 13分21.8.900:13August 9, 2021
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16、提出一个问题往往比解决一个更 重要。 因为解 决问题 也许仅 是一个 数学上 或实验 上的技 能而已 ，而提 出新的 问题， 却需要 有创造 性的想 像力， 而且标 志着科 学的真 正进步 。2021年8月9日星期 一12时13分42秒00:13:429 August 2021
专题07 折叠问题(解析版) 2021年中考数学专题复习
决战2020年中考典型压轴题大突破模块二 中考压轴题几何变换综合专题考向导航在近几年的中考试题中，为了体现教育部关于中考命题改革的精神，出现了动手操作题。
动手操作题是让学生在通过实际操作的基础上设计有关的问题。
这类题对学生的能力有更高的要求，有利于培养学生的创新能力和实践能力，体现新课程理念。
此类试题的显著特点是以动手为基础的手脑并用的形式，有助于创新能力的培养和实践能力的提高，改变了以往一只笔一张纸的学习方式，是新课程改革的基本理念之，在中考中越来越受到关注。
常见的有折叠、旋转和平移操作。
操作型问题是指通过动手测量作图(象)、取值、计算等实验，猜想获得数学结论的探索研究性活动，这类活动完全模拟以动手为基础的手脑结合的科学研究形式，需要动手操作、合情合理和验证，不但有助于实践能力和创新能力的培养，更有助于养成实验研究的习惯，符合新课程标准，特别强调发现式学习、探究式学习和研究式学习，鼓励学生进行“微科研”活动，提倡要积极引导学生从事实验活动和实践活动，培养学生乐于动手、勤于实践的意识和习惯，切实提高学生的动手能力、实践能力的指导思想因此，实验操作问题将成为今后中考的热点题型。
专题07 动手折叠问题方法点拨此类题目考查学生动手操作能力，它包括裁剪、折叠、拼图，它既考查学生的动手能力，又考查学生的想象能力，住往与面积、对称性质联系在一起。
精典例题（2019•拱墅区二模）已知边长为3的正方形ABCD 中，点E 在射线BC 上，且BE ＝2CE ，连接AE 交射线DC 于点F ，若△ABE 沿直线AE 翻折，点B 落在点B 1处．（1）如图1，若点E 在线段BC 上，求CF 的长；（2）求sin ∠DAB 1的值；（3）如果题设中“BE ＝2CE ”改为“BE CE =x ”，其它条件都不变，试写出△ABE 翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y 与x 的关系式及自变量x 的取值范围（只要写出结论，不需写出解题过程）．【点睛】（1）利用平行线性质以及线段比求出CF 的值；（2）本题要分两种方法讨论：①若点E 在线段BC 上；②若点E 在边BC 的延长线上．需运用勾股定理求出与之相联的线段；（3）本题分两种情况讨论：若点E 在线段BC 上，y =9x 2x+2，x 的范围为x ＞0；若点E 在边BC 的延长线上，y =9x−92x ，x 的范围为x ＞1．【详解】解：（1）∵AB ∥DF ，∴AB CF =BE CE ，∵BE ＝2CE ，AB ＝3，∴3CF =2CE CE ，∴CF =32；（2）①若点E 在线段BC 上，如图1，设直线AB 1与DC 相交于点M ．由题意翻折得：∠1＝∠2．∵AB ∥DF ，∴∠1＝∠F ，∴∠2＝∠F ，∴AM ＝MF ．设DM ＝x ，则CM ＝3﹣x ．又∵CF ＝1.5，∴AM ＝MF =92−x ，在Rt △ADM 中，AD 2+DM 2＝AM 2，∴32+x 2＝（92−x ）2， ∴x =54，（1分）∴DM =54，AM =134，∴sin ∠DAB 1=DM AM =513；②若点E 在边BC 的延长线上，如图2，设直线AB 1与CD 延长线相交于点N ．同理可得：AN ＝NF ．∵BE ＝2CE ，∴BC ＝CE ＝AD ．∵AD ∥BE ，∴AD CE =DF FC ，∴DF ＝FC =32，设DN ＝x ，则AN ＝NF ＝x +32．在Rt △ADN 中，AD 2+DN 2＝AN 2，∴32+x 2＝（x +32）2，∴x =94．（1分）∴DN =94，AN =154sin ∠DAB 1=DN AN =35； （3）若点E 在线段BC 上，y =9x 2x+2，x 的范围x ＞0；若点E 在边BC 的延长线上，y =9x−92x ，x 的范围为x ＞1．巩固突破1．（2019•昆明三模）如图①，将一个矩形纸片OABC 放置在平面直角坐标系中，点A 坐标是（3，0），点C 坐标是（0，2），点O 的坐标是（0，0），点E 是AB 的中点，在OA 上取一点D ，将△BDA 沿BD 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处．（1）求点E 、F 的坐标；（2）如图2，若点P是线段DA上的一个动点（点P不与点D，A重合），过P作PH⊥DB于H，设OP的长为x，△DPH的面积为S，试用关于x的代数式表示S．【点睛】（1）由矩形的性质和折叠的性质，可得ABFD是正方形，再根据点的坐标，求出OD，AE即可写出E、F的坐标，（2）由题意可以得出△DHP是等腰直角三角形，只要用含有x的代数式表示HDPH即可，通过直角三角形的边角关系可以得到，然后用三角形的面积公式表示即可．【详解】解：（1）由折叠可得四边形ABFD是正方形，∵OABC是矩形，A（3，0），C（0，2），∴OA＝BC＝3，OC＝AB＝2＝BF＝FD＝DA，∴OD＝CF＝3﹣2＝1，∵E是AB的中点，∴AE＝EB=12AB＝1，答：E（3，1），F（1，2）（2）将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处，可得四边形ABFD是正方形，∴△ABD是等腰直角三角形，又∵PH⊥DB，∴△DPH也是等腰直角三角形，∴DH＝HP，设OP的长为x，则PD＝x﹣1，在Rt△PDH中，PH＝HD=√22PD=√22（x﹣1），∴S△DHP=12PH•HD=12×√22（x﹣1）×√22（x﹣1）=14（x﹣1）2，答：S△DHP=14（x﹣1）2．2．（2019•大庆三模）在矩形ABCD中，AB＝10，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B 的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F．（1）求证：BP＝BF；（2）当BP＝8时，求BE•EF的值．【点睛】（1）要证BP＝BF，只要得到所在的三角形中有两个角相等即可，要证这两个角相等，用直角三角形的两个锐角互余和等量代换可以得到，（2）要证比例线段，一般证明三角形相似，连接GF，证明△GEF∽△EAB，再利用等量代换可求出结果．【详解】解：（1）在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∵△BPC沿P折叠得到△GPC，∴∠PGC＝∠PBC＝90°，∠BPC＝∠GPC，∵BE⊥CG，∴BE∥GP，∴∠GPF＝∠PFB，∴∠BPF＝∠BFP，∴BP＝BF；（2）连接GF，∵∠GEF＝∠BAE＝90°，BF∥PG，BF＝PG，∴四边形BPGF是平行四边形，∵BP＝BF，∴平行四边形BPGF是菱形，∴BP∥GF，∴∠GFE ＝∠ABE ，∴△GEF ∽△EAB ，∴FE FG =AB BE ，∴BE •EF ＝AB •GF ＝10×8＝80．3．（2019•兴庆区校级二模）如图，在矩形ABCD 中，点E 在边CD 上，将该矩形沿AE 折叠，使点D 落在边BC 上的点F 处，过点F 作FG ∥CD ，交AE 于点G 连接DG ．（1）求证：四边形DEFG 为菱形；（2）若CD ＝8，CF ＝4，求CE DE 的值．【点睛】（1）根据折叠的性质，易知DG ＝FG ，ED ＝EF ，∠1＝∠2，由FG ∥CD ，可得∠1＝∠3，易证FG ＝FE ，故由四边相等证明四边形DEFG 为菱形；（2）在Rt △EFC 中，用勾股定理列方程即可CD 、CE ，从而求出CE DE 的值．【详解】（1）证明：由折叠的性质可知：DG ＝FG ，ED ＝EF ，∠1＝∠2，∵FG ∥CD ，∴∠2＝∠3，∴FG ＝FE ，∴DG ＝GF ＝EF ＝DE ，∴四边形DEFG 为菱形；（2）设DE ＝x ，根据折叠的性质，EF ＝DE ＝x ，EC ＝8﹣x ，在Rt △EFC 中，FC 2+EC 2＝EF 2，即42+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝5，CE＝8﹣x＝3，∴CEDE =35．4．（2019•南岗区校级二模）已知：在矩形ABCD中，E是AB上一点，连接CE，将△BCE沿CE翻折，使B落到F处，延长EF交CD延长线于G．（1）求证：EG＝CG；（2）若BC＝8，tan∠BEC＝2，求GF的长．【点睛】（1）证明∠ECG＝∠FEC，根据等角对等边可得：EG＝CG；（2）设GF＝x，则CG＝EG＝4+x，在Rt△GFC中，由勾股定理列方程可得x的值．【详解】证明：（1）由折叠得：∠FEC＝∠BEC，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠BEC＝∠ECG，∴∠ECG＝∠FEC，∴EG＝CG；（2）∵∠B＝90°，tan∠BEC＝2，∴BCBE=2，∵BC＝8，∴BE＝4，由折叠得：EF＝BE＝4，FC＝BC＝8，设GF＝x，则CG＝EG＝4+x，在Rt△GFC中，由勾股定理得：CG2＝GF2+CF2，（4+x）2＝82+x2，解得x＝6，∴GF＝6．5．（2019•长春四模）探究：如图①点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，连结AE、AF、EF，将△ABE、△ADF分别沿AE、AF折叠，折叠后的图形恰好能拼成与△AEF完全重合的三角形．若BE ＝2，DF＝3，求AB的长；拓展：如图②点E、F分别在四边形BACD的边BC、CD上，且∠B＝∠D＝90°．连结AE、AF、EF 将△ABE、△ADF分别沿AE、AF折叠，折叠后的图形恰好能拼成与△AEF完全重合的三角形．若∠EAF ＝30°，AB＝4，则△ECF的周长是．【点睛】探究：设：正方形的边长为a，则EC＝a﹣2，CF＝a﹣3，则由勾股定理得：EF2＝EC2+CF2，即可求解；拓展：证明△ABC≌△ADC，∠BAE+∠DAF＝∠EAF＝30°，则∠BAD＝60°，∠BAC＝∠DAC=12（∠BAD）＝30°，CD＝BC＝AB tan∠BAC，即可求解．【详解】解：探究：设：正方形的边长为a，则EC＝a﹣2，CF＝a﹣3，则EF＝BE+DF＝5，则EF2＝EC2+CF2，即：25＝（a﹣2）2+（a﹣3）2，解得：a＝6或﹣1（舍去﹣1），故AB＝6；拓展：由题意得：AB ＝CD ＝4，连接AC ，∵AB ＝AD ，AC ＝AC ，∴△ABC ≌△ADC ，∴BC ＝CD ，∠BAC ＝∠DAC ，∵点E 、F 分别在四边形BACD 的边BC 、CD 上，故：∠BAE +∠DAF ＝∠EAF ＝30°，则∠BAD ＝60°，∴∠BAC ＝∠DAC =12（∠BAD ）＝30°，CD ＝BC ＝AB tan ∠BAC ＝4×√33=4√33，△ECF 的周长＝EF +EC +FC ＝AE +FD +EC +FC ＝AC +CD ＝2CD =8√33， 故答案为：8√33． 6．（2019•临泽模拟）如图，将长方形纸片ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，折痕EF 分别与AB 、DC 交于点E 和点F ．（1）证明：△ADF ≌△AB ′E ；（2）若AD ＝12，DC ＝18，求△AEF 的面积．【点睛】（1）根据折叠的性质以及矩形的性质，运用ASA 即可判定△ADF ≌△AB ′E ；（2）先设F A ＝FC ＝x ，则DF ＝DC ﹣FC ＝18﹣x ，根据Rt △ADF 中，AD 2+DF 2＝AF 2，即可得出方程122+（18﹣x ）2＝x 2，解得x ＝13． 再根据AE ＝AF ＝13，即可得出S △AEF =12•AE •AD ＝78．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D ＝∠C ＝∠B ′＝90°，AD ＝CB ＝AB ′，∵∠DAF +∠EAF ＝90°，∠B ′AE +∠EAF ＝90°，∴∠DAF ＝∠B ′AE ，在△ADF 和△AB ′E 中，{∠D =∠B′AD =AB′∠DAF =∠B′AE，∴△ADF ≌△AB ′E （ASA ）．（2）由折叠性质得F A ＝FC ，设F A ＝FC ＝x ，则DF ＝DC ﹣FC ＝18﹣x ，在Rt △ADF 中，AD 2+DF 2＝AF 2，∴122+（18﹣x ）2＝x 2．解得x ＝13．∵△ADF ≌△AB ′E （已证），∴AE ＝AF ＝13，∴S △AEF =12AE •AD =12×12×13＝78．7．（2019•无锡模拟）已知边长为3的正方形ABCD 中，点E 在射线BC 上，且BE ＝2CE ，连结AE 交射线DC 于点F ，将△ABE 沿直线AE 翻折，点B 落在点B 1处．（1）如图1，若点E 在线段BC 上，求CF 的长；（2）求sin ∠DAB 1的值．【点睛】（1）利用平行线性质以及线段比求出CF 的值；（2）根据平行线分线段成比例定理得到AD CE =DF FC ，根据勾股定理和三角函数的定义即可得到结论． 【详解】解：（1）∵AB ∥DF ，∴AB CF =BE CE ，∵BE ＝2CE ，AB ＝3，∴3CF =2CE CE ，∴CF =32；（2）若点E 在边BC 上，延长AB 1交DC 于H ，∵∠BAE ＝∠B 1AE ＝∠DFE ，∴AH ＝FH ，AE =2+22=√13，EF AE =CE BE =12， 设DH ＝x ，CH ＝3﹣x ，∵CF ＝1，5，∴AH ＝FH =92−x ，∵AD 2+DH 2＝AH 2，∴32+x 2＝（92−x ）2， ∴x =54，∴DH =54，AH =134， ∴sin ∠DAB 1=DH AH =513； 若点E 在边BC 的延长线上，如图，设直线AB 1与CD 延长线相交于点N同理可得：AN ＝NF ．∵BE ＝2CE ，∴BC ＝CE ＝AD ．∵AD ∥BE ，∴AD CE =DF FC ，∴DF ＝FC =32，设DN＝x，则AN＝NF＝x+3 2．在Rt△ADN中，AD2+DN2＝AN2，∴32+x2＝（x+32）2，∴x=9 4．∴DN=94，AN=154，∴sin∠DAB1=DNAN=35．8．（2019•广陵区校级二模）如图，将矩形ABCD先过点A的直线L1翻折，点DA的对应点D′刚好落在边BC上，直线L1交DC于点F；再将矩形ABCD沿过点A的直线L2翻折，使点B的对应点G落在AD′上，EG的延长线交AD于点H．（1）当四边形AED′H是平行四边形时，求∠AD′H的度数．（2）当点H与点D刚好重合时，试判断△AEF的形状，并说明理由．【点睛】（1）如图1中，在RT△ABC中，由AD′＝2AB推出∠AD′B＝30°，再证明四边形AED′H 是菱形即可解决问题．（2）如图2中，先证明△DD′G≌△DD′C得出DG＝DC＝AB＝AG，发现△AGD、△GED′、△DEC 都是等腰直角三角形，再证明△ABE≌△ECF即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，∵四边形AED ′H 是平行四边形，∴AG ＝GD ，∵EH ⊥AD ，∴四边形AED ′H 是菱形，∴∠AD ′H ＝∠AD ′B ，∵△AEG 是由△AEB 翻折得到，∴AB ＝AG ＝D ′G ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝90°，∴∠AD ′B ＝30°，∴∠AD ′H ＝30°．（2）结论：△AEF 是等腰直角三角形．理由：如图2中，连接DD ′．∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∠ADD ′＝∠DD ′C ，AB ＝DC ，∠B ＝∠C ＝90°，∵AD ＝AD ′，∴∠ADD ′＝∠AD ′D ，∴∠DD ′A ＝∠DD ′C ，在△DD ′G 和△DD ′C 中，{∠DGD′=∠DCD′∠DD′G =∠DD′C DD′=DD′，∴△DD ′G ≌△DD ′C ，∴DG ＝DC ＝AB ＝AG ，∵∠AGD ＝90°，∴∠GAD ＝∠GDA ＝∠AD ′E ＝∠DED ′＝45°，∴EG ＝GD ′＝BE ＝CD ′，∵∠AD ′B +∠FD ′C ＝90°，∴∠FD ′C ＝′D ′FC ＝45°，∴CD ′＝CF ＝BE ，∵∠CED ＝∠CDE ＝45°，∴EC ＝CD ＝AB ，在△ABE 和△ECF 中，{AB =EC ∠B =∠C =90°BE =CF，∴△ABE ≌△ECF ，∴AE ＝EF ，∠BAE ＝∠CEF ，∵∠BAE +∠AEB ＝90°，∴∠AEB +∠CEF ＝90°，∴∠AEF ＝90°，∴△AEF 是等腰直角三角形．9．（2019•海州区期中）如图，在△ACB 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝75°，点D 是AB 的中点．将△ACD 沿CD 翻折得到△A ′CD ，连接A ′B ．（1）求证：CD ∥A ′B ；（2）若AB ＝4，求A ′B 2的值．【点睛】（1）依据直角三角形斜边上中线的性质可知CD ＝AD ，然后依据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠ADC ＝30°，由翻折的性质可知∠CDA ′＝30°，从而可求得∠A ′DB 的度数，然后依据DA ′＝DB 可求得∠DBA ′＝30°，从而可证明CD ∥A ′B ；（2）连结AA ′，先证明△ADA ′为等边三角形，从而可得到∠AA ′D ＝60°，然后可求得∠AA ′B ＝90°，最后依据勾股定理求解即可．【详解】解：（1）∵∠ACB＝90°，点D是AB的中点∴AD＝BD＝CD=12AB．∴∠ACD＝∠A＝75°．∴∠ADC＝30°．∵△A′CD由△ACD沿CD翻折得到，∴△A′CD≌△ACD．∴AD＝AD，∠A′DC＝∠ADC＝30°．∴AD＝A′D＝DB，∠ADA′＝60°．∴∠A′DB＝120°．∴∠DBA′＝∠DA′B＝30°．∴∠ADC＝∠DBA'．∴CD∥A′B．（2）连接AA′∵AD＝A′D，∠ADA′＝60°，∴△ADA′是等边三角形．∴AA′＝AD=12AB，∠DAA′＝60°．∴∠AA′B＝180°﹣∠A′AB﹣∠ABA′＝90°．∵AB＝4，∴AA′＝2．∴由勾股定理得：A′B2＝AB2﹣AA′2＝42﹣22＝12．10．（2019•广陵区校级模拟）发现（1）如图1，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点A’处，请你判断∠1+∠2与∠A有何数量关系，直接写出你的结论，不必说明理由思考（2）如图2，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC折叠，使点A与点I重合，若∠1+∠2＝100°，求∠BIC的度数；拓展（3）如图3，在锐角△ABC中，BF⊥AC于点F，CG⊥AB于点G，BF、CG交于点H，把△ABC 折叠使点A和点H重合，试探索∠BHC与∠1+∠2的关系，并证明你的结论．【点睛】（1）根据翻折变换的性质以及三角形内角和定理以及平角的定义求出即可；（2）根据三角形角平分线的性质得出∠IBC+∠ICB＝90°−12∠A，得出∠BIC的度数即可；（3）根据翻折变换的性质以及垂线的性质得出，∠AFH+∠AGH＝90°+90°＝180°，进而求出∠A=1 2（∠1+∠2），即可得出答案．【详解】解：（1）∠1+∠2＝2∠A；理由：根据翻折的性质，∠ADE=12（180°﹣∠1），∠AED=12（180°﹣∠2），∵∠A+∠ADE+∠AED＝180°，∴∠A+12（180﹣∠1）+12（180﹣∠2）＝180°，整理得2∠A＝∠1+∠2；（2）由（1）∠1+∠2＝2∠A，得2∠A＝100°，∴∠A＝50°∵IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，∴∠IBC+∠ICB=12（∠ABC+∠ACB）=12（180°﹣∠A）＝90°−12∠A，∴∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB）＝180°﹣（90°−12∠A）＝90°+12×50°＝115°；（3）∵BF⊥AC，CG⊥AB，∴∠AFH+∠AGH＝90°+90°＝180°，∠FHG+∠A＝180°，∴∠BHC＝∠FHG＝180°﹣∠A，由（1）知∠1+∠2＝2∠A，∴∠A=12（∠1+∠2），∴∠BHC＝180°−12（∠1+∠2）．11．（2019•铜山区期中）如图，长方形纸片ABCD中，AB＝8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的E 点处，折痕的一端G点在边BC上．（1）如图1，当折痕的另一端F在AB边上且AE＝4时，求AF的长（2）如图2，当折痕的另一端F在AD边上且BG＝10时，①求证：EF＝EG．②求AF的长．（3）如图3，当折痕的另一端F在AD边上，B点的对应点E在长方形内部，E到AD的距离为2cm，且BG＝10时，求AF的长．【点睛】（1）根据翻折的性质可得BF＝EF，然后用AF表示出EF，在Rt△AEF中，利用勾股定理列出方程求解即可；（2）①根据翻折的性质可得∠BGF＝∠EGF，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BGF＝∠EFG，从而得到∠EGF＝∠EFG，再根据等角对等边证明即可；②根据翻折的性质可得EG＝BG，HE＝AB，FH＝AF，然后在Rt△EFH中，利用勾股定理列式计算即可得解；（3）设EH与AD相交于点K，过点E作MN∥CD分别交AD、BC于M、N，然后求出EM、EN，在Rt△ENG中，利用勾股定理列式求出GN，再根据△GEN和△EKM相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出EK、KM，再求出KH，然后根据△FKH和△EKM相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．【详解】（1）解：∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，∴BF ＝EF ，∵AB ＝8，∴EF ＝8﹣AF ，在Rt △AEF 中，AE 2+AF 2＝EF 2，即42+AF 2＝（8﹣AF ）2，解得AF ＝3；（2）①证明：∵纸片折叠后顶点B 落在边AD 上的E 点处，∴∠BGF ＝∠EGF ，∵长方形纸片ABCD 的边AD ∥BC ，∴∠BGF ＝∠EFG ，∴∠EGF ＝∠EFG ，∴EF ＝EG ；②解：∵纸片折叠后顶点B 落在边AD 上的E 点处，∴EG ＝BG ＝10，HE ＝AB ＝8，FH ＝AF ，∴EF ＝EG ＝10，在Rt △EFH 中，FH =√EF 2−HE 2=√102−82=6，∴AF ＝FH ＝6；（3）解：法一：如图3，设EH 与AD 相交于点K ，过点E 作MN ∥CD 分别交AD 、BC 于M 、N ，∵E 到AD 的距离为2cm ，∴EM ＝2，EN ＝8﹣2＝6，在Rt △ENG 中，GN =√EG 2−EN 2=√102−62=8，∵∠GEN +∠KEM ＝180°﹣∠GEH ＝180°﹣90°＝90°，∠GEN +∠NGE ＝180°﹣90°＝90°，∴∠KEM ＝∠NGE ，又∵∠ENG ＝∠KME ＝90°，∴△GEN ∽△EKM ，∴EK EG =KM EN =EM GN ，即EK 10=KM 6=28， 解得EK =52，KM =32，∴KH ＝EH ﹣EK ＝8−52=112，∵∠FKH ＝∠EKM ，∠H ＝∠EMK ＝90°，∴△FKH ∽△EKM ，∴FH EM=KH KM ， 即FH 2=11232，解得FH =223，∴AF ＝FH =223． 法二：如图4，设EH 与AD 相交于点K ，过点E 作MN ∥CD 分别交AD 、BC 于M 、N ，过点K 作KL ∥CD 交BC 于点L ，连接GK ，∵E 到AD 的距离为2cm ，∴EM ＝2，EN ＝8﹣2＝6，在Rt △ENG 中，GN =√EG 2−EN 2=√102−62=8，设KM ＝a ，在△KME 中，根据勾股定理可得：KE 2＝KM 2+ME 2＝a 2+4，在△KEG 中，根据勾股定理可得：GK 2＝GE 2+KE 2＝102+a 2+4，在△GKL 中，根据勾股定理可得：GK 2＝GL 2+KL 2＝（8﹣a ）2+82，即102+a 2+4＝（8﹣a ）2+82，解得：a =32，故KE =52，∴KH ＝EH ﹣EK ＝8−52=112， 设FH ＝b ，在△KFH 中，根据勾股定理可得：KF 2＝KH 2+FH 2，∵KF ＝KA ﹣AF ＝BL ﹣AF ＝（BG +GN ﹣KM ）﹣AF ＝10+8−32−b =332−b ，即：（332−b ）2＝（112）2+b 2，解得：b=22 3，∴AF＝FH=22 3．12．（2019•道里区校级模拟）已知，如图1，在△ABC和△ADC中，AB＝2AC，∠ACD＝90°，AD＝BD，（1）求证：∠BAC＝2∠ABD．（2）如图2，当∠BAC＝120°时，设AD与BC的交点为O，将△ADC沿CD所在直线折叠，得到△EDC，连接OE，射线OM交DE于M，交BD的延长线于N，且∠EON＝∠ABD，若MN＝3，求：OE的长．【点睛】（1）作DH⊥AB于H．证明Rt△ADH≌Rt△ADC（HL）即可解决问题．（2）如图2中，连接EN，作MH⊥AD于H，MG⊥DN于G．想办法证明△OEN是等边三角形，MN：OM＝1：2即可解决问题．【详解】（1）证明：作DH⊥AB于H．∵DB＝DA，DH⊥AB，∴AH＝BH，∠DBA＝∠DAB，∵AB＝2AC，∵∠AHD＝∠ACD＝90°，AD＝AD，∴Rt△ADH≌Rt△ADC（HL），∴∠BAD＝∠CAD，∴∠BAC＝2∠ABD．（2）解：如图2中，连接EN，作MH⊥AD于H，MG⊥DN于G．∵∠BAC＝120°，由（1）可知：∠BAD＝∠DAC＝∠ABD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∵DC⊥AE，AC＝CE，∴DA＝DE，∴△ADE是等边三角形，∴∠ADB＝∠ADE＝∠EDN＝60°，∵∠EON＝∠ABD＝60°，∴∠EON＝∠EDN，∴E，O，D，N四点共圆，∵∠PODE＝∠EDN，∴EO＝EN，∵∠EON＝60°，∴△EON是等边三角形，∵∠AED＝∠OEN＝60°，∴∠AEO＝∠DEN，∵AE＝ED，EO＝EN，∴△AEO≌△DEN（SAS），∴OA＝DN，∴OA OD =AC BD =12， ∴DN ：OD ＝1：2，∵∠MDN ＝∠MDO ，MH ⊥OD ，MG ⊥DN ，∴MH ＝MG ，∵S △DMNS △DMO =NM MO =12⋅DN⋅MG 12⋅OD⋅MH =DN OD =12， ∵MN ＝3，∴OM ＝6，∴ON ＝OM +MN ＝6+3＝9，∴OE ＝9．13．（2019•大连模拟）在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D 在线段BC 上，∠EDB =12∠C ，交AB 于F ，BE ⊥DE 于E ，探究线段BE 与FD 的数量关系，并加以证明．小白的想法是，将△BDE 以直线DE 为对称轴翻折，再通过证明△GBH ≌△FDH 得到结论，请按照小白的想法完成此题解答．证明：延长BE 至点G ，使EG ＝EB ，连接GD 交AB 于点H ．【解决问题】△ABC 中，∠C ＝2∠B ，点E 是线段BC 的延长线上一点，CE ＝kBC ，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，EF ⊥AD 于F ，交AC 于G ，求CD CG 的值．【点睛】【探究】结论：DF ＝2BE ．如图1中，延长BE 至点G ，使EG ＝EB ，连接GD 交AB 于点H ．只要证明△BHG ≌△DHF 即可；【解决问题】延长AC 到H ，使得AB ＝AH ．只要证明CD ＝CH ，EF ∥BH ，即可解决问题；【详解】解：【探究】：结论：DF ＝2BE ．理由：如图1中，延长BE 至点G ，使EG ＝EB ，连接GD 交AB 于点H ．∵BE＝EG，DE⊥BG，∴DB＝DG，∠BDE＝∠GDE，∵∠EDB=12∠C，∴∠BDG＝∠C，∴DG∥AC，∴∠BHD＝∠A＝90°，∵∠BFE＝∠DFH，∠BEF＝∠DHF＝90°，∴∠GBH＝∠FDH，∵AB＝AC，∠A＝90°，∴∠ABC＝45°，∴BH＝DH，∵∠BHG＝∠DHF＝90°，∴△BHG≌△DHF，∴DF＝BG＝2BE．【解决问题】：延长AC到H，使得AB＝AH．∵∠DAB＝∠DAH，AD＝AD，AB＝AH，∴△DAB≌△DAH，∴∠ABD＝∠AHD，DB＝DH，∵∠ACB＝2∠ABD，∠ACB＝∠AHD+∠CDH，∴∠CDH＝∠CHD，∴CD＝CH，∵AB ＝AH ，DB ＝DH ，∴AD 垂直平分BH ，∵EF ⊥AD ，∴EF ∥BH ，∴△ECG ∽△BCH ，∴CH CG =BC EC =1k ， ∵CH ＝CD ，∴CD CG =1k ． 14．（2019•鞍山二模）如图，正方形ABCD 中，AD ＝8，点F 是AB 中点，点E 是AC 上一点，DE ⊥EF ，连接DF 交AC 于点G ．（1）求△DEF 的面积；（2）将△FEG 沿EF 翻折得到△EFM ，EF 交DM 于点N ．①求证：点M 在对角线BD 上；②求MN 的长度．【点睛】（1）如图，过E 作EP ⊥AP ，EQ ⊥AD ，利用角平分线的性质定理可得EQ ＝EP ，即可解决问题；（2）①过G 作GH ⊥AB ，过M 作MK ⊥AB ，过M 作ML ⊥AD ，通过计算证明DL ＝ML 即可解决问题； ②过N 作NI ⊥AB ，则NI ＝IB ，想办法求出BN 、BM 即可解决问题；【详解】解：（1）如图，过E 作EP ⊥AP ，EQ ⊥AD ，∵AC 是对角线，∴∠EAQ ＝∠EAP ＝45°，∴EP ＝EQ ，四边形APEQ 是正方形，∵∠QEP ＝∠DEF ＝90°，∴∠DEQ ＝∠FEP ，∵○EQD ＝∠EPF ＝90°∴△DQE ≌△FPE ，∴DE ＝EF ，DQ ＝FP ，且AP ＝EP ，设EP ＝x ，则DQ ＝8﹣x ＝FP ＝x ﹣4，解得x ＝6，所以PF ＝2，∴AE =√62+62=6√2，DE =√22+62=2√10，∴S △DEF =12×2√10×2√10=20．（2）①∵DC ∥AB ，∴△DGC ∽△FGA ，∴CG AG =DG FG =DC AF =2，∵AC ＝8√2，DF ＝4√5∴CG =23×8√2=16√23， ∴EG =16√23−2√2=10√23， AG =13AC =83√2，过G 作GH ⊥AB ，过M 作MK ⊥AB ，过M 作ML ⊥AD ，则易证△GHF ≌△FKM 全等，∴GH ＝FK =83，HF ＝MK =43，∵ML ＝AK ＝AF +FK ＝4+83=203，DL ＝AD ﹣MK ＝8−43=203，即DL ＝LM ，∴∠LDM ＝45°∴DM 在正方形对角线DB 上，②过N 作NI ⊥AB ，则NI ＝IB ，设NI ＝y ，∵NI ∥EP∴NI EP=FI FP ， ∴y 6=4−y 2， 解得y ＝3，所以FI＝4﹣y＝1，∴I为FP的中点，∴N是EF的中点，∴EN=12EF=√10，∵△BIN是等腰直角三角形，且BI＝NI＝3，∴BN＝3√2，BK＝AB﹣AK＝8−203=43，BM=4√23，MN＝BN﹣BM＝3√2−4√23=5√23，15．（2019•江阴市）已知，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝3，点D为AB的中点，点E为线段BC上的点，连接DE，把△BDE沿着DE翻折得△B1DE．（1）当A、D、B1、C构成的四边形为平行四边形，求DE的长；（2）当DB1⊥AC时，求△DEB1和△ABC重叠部分的面积．【点睛】（1）分两种情形画出图形即可解决问题；（2）当DB1⊥AC时（如图3），设B1D、B1E分别与AC交于P、Q，根据S四边形PQED=S△DEB1−S△PQB1；【详解】解（1）如图1，若四边形为ACB1D的平行四边形，则有，DB1∥AC，且DB1＝AC＝3，由题意，∠B ＝30°，∠BDE ＝∠EDB 1=12∠BDB 1＝30°，∴DE ＝BE ，在Rt △ABC 中，∠A ＝60°，AC ＝3，∴AB ＝6，BD ＝3，过E 作EH ⊥DB 于H ．则DH ＝BH =32，在Rt △DEH 中，EH =12DE ，DH =32，∴DE 2＝（12DE ）2+（32）2， ∴DE =√3．如图2，若四边形为ACDB 1的平行四边形，则有，B 1D ∥AC ，且B 1D ＝AC ＝3，∵CD ＝AB ＝3，∠CAB ＝60°，∴四边形ACDB 1为含60°角的菱形，∵∠E B 1D ＝∠C B 1D ＝30°，∴E 与C 重合，∴DE ＝CD ＝3；综上所述，DE =√3或3．（2）当DB 1⊥AC 时（如图3），设B 1D 、B 1E 分别与AC 交于P 、Q ，则：Rt △ADP 中，∠A ＝60°，AD ＝3，∴AP =32，DP =3√32，Rt △B 1PQ 中，∠B 1＝∠B ＝30°，B 1P ＝3−3√32，∴PQ =√3−32，∴S △B 1PQ =12×B 1P ×PQ =12×（3−3√32）×（√3−32）=21√38−92， 又S △B 1DE ═12×DB 1×PC =12×3×32=94，∴△DE B 1和△ABC 重叠部分的面积=94−（21√38−92）=274−21√38． 16．（2019•宝应三模）将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D '处，折痕为EF ．（1）求证：△ABE ≌△AD 'F ；（2）连接CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论．【点睛】（1）根据折叠得性质得CD ＝AD ′，CE ＝AE ，DF ＝D ′F ，∠CEF ＝∠AEF ，再根据平行四边形的性质得AD ∥BC ，AD ＝BC ，AD ＝BC ，则AB ＝AD ′；由AD ∥BC 得到∠AFE ＝∠CEF ，则∠AFE ＝∠AEF ，所以AE ＝AF ，AF ＝CE ，DF ＝BE ，得到BE ＝FD ′，于是可利用“SSS ”判断△ABE ≌△AD ′F ；（2）由于AF ＝EC ，AF ∥EC ，则可判断四边形AECF 是平行四边形，加上EA ＝EC ，根据菱形的判定方法即可得到四边形AECF 是菱形．【详解】解：（1）∵平行四边形纸片ABCD 折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D ′处，折痕为EF ， ∴CD ＝AD ′，CE ＝AE ，DF ＝D ′F ，∠CEF ＝∠AEF∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，AB ＝CD ，∴AB ＝AD ′，∵AD ∥BC ，∴∠AFE ＝∠CEF ，∴∠AFE ＝∠AEF ，∴AE ＝AF ，∴AF ＝CE ，∴AD ﹣AF ＝BC ﹣CE ，∴DF ＝BE ，∴BE ＝FD ′，在△ABE 和△AD ′F 中，{AB =AD′AE =AF BE =D′F，∴△ABE ≌△AD ′F （SSS ）；（2）四边形AECF 是菱形．理由如下：如图，连接CF ，∵AF ＝EC ，AF ∥EC ，∴四边形AECF 是平行四边形，∵EA ＝EC ，∴四边形AECF 是菱形．17．（2019•深圳模拟）已知矩形纸片ABCD中，AB＝2，BC＝3．操作：将矩形纸片沿EF折叠，使点B落在边CD上．探究：（1）如图1，若点B与点D重合，你认为△EDA1和△FDC全等吗？如果全等，请给出证明，如果不全等，请说明理由；（2）如图2，若点B与CD的中点重合，请你判断△FCB1、△B1DG和△EA1G之间的关系，如果全等，只需写出结果，如果相似，请写出结果和相应的相似比；（3）如图2，请你探索，当点B落在CD边上何处，即B1C的长度为多少时，△FCB1与△B1DG全等．【点睛】（1）由四边形ABCD是矩形，可得∠A＝∠B＝∠C＝∠ADC＝90°，AB＝CD，由折叠的性质可得：∠A＝∠A1，∠B＝∠A1DF＝90°，CD＝A1D，然后利用同角的余角相等，可证得∠A1DE＝∠CDF，则可利用ASA证得△EDA1和△FDC全等；（2）易得△B1DG和△EA1G全等，△FCB1与△B1DG相似，然后设FC＝x，由勾股定理可得方程x2+12＝（3﹣x）2，解此方程即可求得答案；（3）设B1C＝a，则有FC＝B1D＝2﹣a，B1F＝BF＝1+a，在直角△FCB1中，可得（1+a）2＝（2﹣a）2+a2，解此方程即可求得答案．【详解】解：（1）全等．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠ADC＝90°，AB＝CD，由题意知：∠A＝∠A1，∠B＝∠A1DF＝90°，CD＝A1D，∴∠A 1＝∠C ＝90°，∠CDF +∠EDF ＝90°， ∴∠A 1DE ＝∠CDF ，在△EDA 1和△FDC 中，{∠A 1=∠CA 1D =CD ∠A 1DE =∠CDF，∴△EDA 1≌△FDC （ASA ）；（2）△B 1DG 和△EA 1G 全等，△FCB 1与△B 1DG 相似， 设FC ＝x ，则B 1F ＝BF ＝3﹣x ，B 1C =12DC ＝1， ∴x 2+12＝（3﹣x ）2，∴x =43，∴△FCB 1与△B 1DG 相似，相似比为4：3．（3）△FCB 1与△B 1DG 全等． 设B 1C ＝a ，则有FC ＝B 1D ＝2﹣a ，B 1F ＝BF ＝1+a ， 在直角△FCB 1中，可得（1+a ）2＝（2﹣a ）2+a 2， 整理得a 2﹣6a +3＝0，解得：a ＝3−√6（另一解舍去）， ∴当B 1C ＝3−√6时，△FCB 1与△B 1DG 全等．。
中考数学中的折叠问题专题复习
中考数学中的折叠问题专题复习一、教学目标1、基础知识目标：使学生进一步巩固掌握折叠图形的性质，会利用其性质进行有关的计算和证明。
2、能力训练目标：提升学生的空间想象能力、抽象思维能力、逻辑推理能力及综合运用数学知识解决问题的能力。
3、情感态度与价值观要求：鼓励学生积极参与数学学习活动，对数学证明有好奇心和求知欲。
二、教学重点、难点重点：会利用折叠图形的性质进行有关的计算和证明。
难点：综合运用所学数学知识进行有关的计算和证明。
三、教学方法讲、练、测相结合的教学方法，在老师的引导下，通过讲、练、测的有机结合，达到知识、技能、方法的全线突破。
四、教学程序及设想1、巧设情景，设疑引入观察与发现：小明将纸片ABC（AB>AC）沿过A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD,展开纸片；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF,展开纸片后得到AEF（如图1）。
小明认为AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由。
引出课题。
2、运用性质，折叠问题实质上就是轴对称变换归类探究。
归类一：折叠后求角的度数典例解析：将矩形纸片ABCD折叠，使得D点与B重合，点C落在点C'处，折痕为EF，如果∠ABE＝20°，则∠EFC'＝（??? ）? A. 125°??? B. 80°? C. 75°? D. 无法确定评析：本题只要抓住折叠的本质特征，折叠前后的两个图形全等，找出翻折前后的一些不变量，其次要注意利用矩形的性质，如矩形的每个角都是90°、对边互相平行等。
体验感悟：随后给学生一定的时间去感悟和体会这类题的解题思路和方法。
1、如图所示，把一张长方形纸条ABCD沿AF折叠，已知∠ADB=20°，那么，∠BAF为多少度时，才能使AB'∥BD？（∠BAF＝55°）利用折叠的性质求角的度数，当条件中有某些角的度数时，综合题中的其他条件，找已知角和未知角的关系，从而求的未知角的度数。
2021年中考数学专题图形折叠类问题
图形折叠类问题【考点综述评价】折叠操作就是将图形的一部分沿着一条直线翻折180°，使它与另一部分图形在这条直线的同旁与其重叠或不重叠，其中“折”是过程，“叠”是结果．折叠问题的实质是图形的轴对称变换，折叠更突出了轴对称问题的应用．折叠(或翻折)在三大图形变换中是比较重要的，考查得较多，无论是选择题、填空题，还是解答题都有以折叠为背景的试题．常常把矩形、正方形的纸片放置于直角坐标系中，与函数、直角三角形、相似形等知识结合，贯穿其他几何、代数知识来设题．根据轴对称的性质可以得到：折叠重合部分一定全等，折痕所在直线就是这两个全等形的对称轴；互相重合两点(对称点)之间的连线必被折痕垂直平分；对称两点与对称轴上任意一点连结所得的两条线段相等；对称线段所在的直线与对称轴的夹角相等. 在解题过程中要充分运用以上结论，借助辅助线构造直角三角形，结合相似形、锐角三角函数等知识来解决有关折叠问题．【考点分类总结】考点1：折叠后图形判断【典型例题】（2017贵州省遵义市）把一张长方形纸片按如图①，图②的方式从右向左连续对折两次后得到图③，再在图③中挖去一个如图所示的三角形小孔，则重新展开后得到的图形是（）A．B．C．D．【方法归纳】对折叠图形的判断，可以通过空间想象，找出相等的边与角，转化为角度的判断．【变式训练】（2017天门）如图，下列4×4网格图都是由16个相同小正方形组成，每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影，请在空白小正方形中，按下列要求涂上阴影．（1）在图1中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形；（2）在图2中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形．考点2：折叠后度数判断【典型例题】（2017内蒙古赤峰市）如图，将边长为4的菱形ABCD纸片折叠，使点A恰好落在对角线的交点O处，若折痕EF=23，则∠A=（）A．120°B．100°C．60°D．30°【方法归纳】在折叠问题中，利用对称性可得到相等的角和边．【变式训练】（2017宁夏）如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A'处．若∠1=∠2=50°，则∠A'为．考点3：折叠后线段长度判断【典型例题】（2017新疆乌鲁木齐市）如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为43且∠AFG=60°，GE=2BG，则折痕EF的长为（）A．1B．3C．2D．23【方法归纳】在折叠问题中，利用对称性可得到相等的线段，通过三角形相似、勾股定理列出方程求解．折叠问题转化为轴对称问题，利用勾股定理和相似求出未知线段，最后把所求的线段转化到直角三角形中去处理．【变式训练】（2017江苏省无锡市）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（）A．2B．54C．53D．75考点4：折叠后周长面积计算【典型例题】（2017重庆）如图，正方形ABCD中，AD=4，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E 作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB的中点，则△EMN的周长是．【方法归纳】在折叠问题中，利用对称性可得到相等的角、全等的图形和相等的面积．【变式训练】（2017山东省潍坊市）如图，将一张矩形纸片ABCD的边BC斜着向AD边对折，使点B落在AD边上，记为B′，折痕为CE，再将CD边斜向下对折，使点D落在B′C边上，记为D′，折痕为CG，B′D′=2，BE=13BC．则矩形纸片ABCD的面积为．考点5：折叠后结论探讨【典型例题】（2017南京）折纸的思考．【操作体验】用一张矩形纸片折等边三角形．第一步，对折矩形纸片ABCD（AB＞BC）（图①），使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平（图②）．第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点C落在EF上的P处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，折出PB，PC，得到△PBC．（1）说明△PBC是等边三角形．【数学思考】（2）如图④，小明画出了图③的矩形ABCD和等边三角形PBC，他发现，在矩形ABCD中把△PBC经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形，请描述图形变化的过程．（3）已知矩形一边长为3cm，另一边长为a cm，对于每一个确定的a的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形，请画出不同情形的示意图，并写出对应的a的取值范围．【问题解决】（4）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为cm．【方法归纳】解决折叠问题时，一是要对图形折叠有准确定位，抓住图形之间最本质的位置关系，从点、线、面三个方面入手，发现其中变化的和不变的量，发现图形中的数量关系；二是要把握折叠的变化规律，充分挖掘图形的几何性质，将其中的基本的数量关系用方程的形式表达出来．【变式训练】（2017济宁）实验探究：（1）如图1，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开；再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN，MN．请你观察图1，猜想∠MBN 的度数是多少，并证明你的结论．（2）将图1中的三角形纸片BMN剪下，如图2，折叠该纸片，探究MN与BM的数量关系，写出折叠方案，并结合方案证明你的结论．【新题好题训练】1．如图，将矩形纸片ABCD 沿BD 折叠，得到△BC ′D ，C ′D 与AB 交于点E ．若∠1=35°，则∠2的度数为（ ）A ．20B ．30C ．35D ．552．如图，E ，F 分别是▱ABCD 的边AD 、BC 上的点，EF =6，∠DEF =60°，将四边形EFCD 沿EF 翻折，得到EFC ′D ′，ED ′交BC 于点G ，则△GEF 的周长为（ ）A ．6B ．12C ．18D ．243．如图，平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 、OC 分别落在x 、y 轴上，点B 坐标为（6，4），反比例函数x y 6=的图象与AB 边交于点D ，与BC 边交于点E ，连结DE ，将△BDE 沿DE 翻折至△B 'DE 处，点B '恰好落在正比例函数y =kx 图象上，则k 的值是（ ）A ．52-B ．211-C ．51-D ．241-4．如图，在矩形AOBC中，O为坐标原点，OA、OB分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（0，33），∠ABO=30°，将△ABC沿AB所在直线对折后，点C落在点D处，则点D的坐标为（）A．（32，332）B．（2，332）C．（332，32）D．（32，3﹣332）5．如图1，把一张正方形纸片对折得到长方形ABCD，再沿∠ADC的平分线DE折叠，如图2，点C落在点C′处，最后按图3所示方式折叠，使点A落在DE的中点A′处，折痕是FG，若原正方形纸片的边长为6cm，则FG= cm．6．在矩形纸片ABCD中，AD=8，AB=6，E是边BC上的点，将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，连接FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为．7．如图，已知等边三角形OAB与反比例函数kyx（k＞0，x＞0）的图象交于A、B两点，将△OAB沿直线OB翻折，得到△OCB，点A的对应点为点C，线段CB交x轴于点D，则BDDC的值为．（已知sin1562）8．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=3cm，AD=5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF．（1）求证：四边形BFEP为菱形；（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动；①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长；②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．9．已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，D是AC边上的一个动点，将△ABD沿BD所在直线折叠，使点A落在点P处．（1）如图1，若点D是AC中点，连接PC．①写出BP，BD的长；②求证：四边形BCPD是平行四边形．（2）如图2，若BD=AD，过点P作PH⊥BC交BC的延长线于点H，求PH的长．10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223y x x =--交x 轴于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），将该抛物线位于x 轴上方曲线记作M ，将该抛物线位于x 轴下方部分沿x 轴翻折，翻折后所得曲线记作N ，曲线N 交y 轴于点C ，连接AC 、BC ．（1）求曲线N 所在抛物线相应的函数表达式；（2）求△ABC 外接圆的半径；（3）点P 为曲线M 或曲线N 上的一动点，点Q 为x 轴上的一个动点，若以点B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点Q 的坐标．。
中考数学中的折叠问题专题复习总结
中考数学中的折叠问题专题复习一、教学目标1、基础知识目标：使学生进一步巩固掌握折叠图形的性质，会利用其性质进行有关的计算和证明。
2、能力训练目标：提升学生的空间想象能力、抽象思维能力、逻辑推理能力及综合运用数学知识解决问题的能力。
3、情感态度与价值观要求：鼓励学生积极参与数学学习活动，对数学证明有好奇心和求知欲。
二、教学重点、难点重点：会利用折叠图形的性质进行有关的计算和证明。
难点：综合运用所学数学知识进行有关的计算和证明。
三、教学方法讲、练、测相结合的教学方法，在老师的引导下，通过讲、练、测的有机结合，达到知识、技能、方法的全线突破。
四、教学程序及设想1、巧设情景，设疑引入观察与发现：小明将纸片ABC（AB>AC）沿过A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD,展开纸片；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF,展开纸片后得到AEF（如图1）。
小明认为AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由。
引出课题。
2、运用性质，折叠问题实质上就是轴对称变换归类探究。
归类一：折叠后求角的度数典例解析：将矩形纸片ABCD折叠，使得D点与B重合，点C落在点C'处，折痕为EF，如果∠ABE＝20°，则∠EFC'＝（）A. 125°B. 80°C. 75°D. 无法确定评析：本题只要抓住折叠的本质特征，折叠前后的两个图形全等，找出翻折前后的一些不变量，其次要注意利用矩形的性质，如矩形的每个角都是90°、对边互相平行等。
体验感悟：随后给学生一定的时间去感悟和体会这类题的解题思路和方法。
1、如图所示，把一张长方形纸条ABCD沿AF折叠，已知∠ADB=20°，那么，∠BAF为多少度时，才能使AB'∥BD？（∠BAF＝55°）利用折叠的性质求角的度数，当条件中有某些角的度数时，综合题中的其他条件，找已知角和未知角的关系，从而求的未知角的度数。
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年份 2015 2014 2013 2012 2011
题号 15 15 15 15 —
分值 题型 3 填空题 3 填空题 3 填空题 3 填空题 ——
考点 图形的折叠 图形的折叠 图形的折叠 图形的折叠
—
考查内容
正方形的性质及折叠；等腰 三角形的判定；勾股定理
矩形的性质及折叠；角平分 线的性质；勾股定理
BD的长为___1_或___2___.
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10. （2015商丘模拟）如图，在菱形ABCD中，∠DAB = 45°，AB = 4，点 P 为线段AB上的一个动点，过点 P 作 PE⊥AB交AD于点E，将∠A沿PE折叠，点A落在F处，连接DF， CF，当△CDF为等腰三角形时，AP 的长为_2___2 _或__2_或__1__. 2
4
折痕为GH，点C所对应的点为F，EF交CD 于点N，则tan∠END的值为____1_8 5___.
答案
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5. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B = 90°，AB
= 2，BC = 4. P为线段BC上的一动点，且和点B，C不重合， 连接PA，过点P作PE⊥PA交CD所在直线于 点E，将△PEC沿PE翻折至△PEG位置， 连接AG. 若∠BAG = 90°，则线段BP的 长为__2__或___2_.
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12. （名师原创）如图，在△ABC中，∠ABC = 90°，AC
= 10，一条直角边为6，点M，N分别在边AB，BC所在的直线
上，沿直线MN将△BMN折叠，点B落在点P处，若AP∥BC且 AP = 4，则BN = __1 2 3__或__1_0____.
矩形的性质及折叠；直角三 角形的判定；勾股定理
三角形的折叠；直角三角形 的判定；相似三角形的判定
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考情总结
分析近 5 年河南中考真题可以看出，图形的折 叠问题在河南中招考试中除2011年外，其他 4 年均 有考查，常设置 1 道题，分值一般为 3 分，均以填 空题的形式出现. 本专题内容在考查中常涉及到特殊 平行四边形的折叠与性质、特殊三角形的判定、勾股 定理的运用，角平分线的性质等. 因此考生在复习中 应熟练掌握一些基本图形的性质和判定定理以及图形 折叠的性质.
长度的最小值是___1_____.
8. 如图，矩形ABCD中，AB = 6，BC = 8，点F为BC 边上的一个动点，把△ABF沿AF折叠. 当点B的对应点B′ 落在矩形ABCD的对称轴上时， 则BF的长为_2__3_或___9_.3 5
答案
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9. （2012河南）如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°， ∠B = 30°，BC = 3. 点D是BC边上一动点（不与点B，C重 合），过点D作DE⊥BC交AB边于点E，将∠B沿直线DE翻 折，点B落在射线BC上的点F处. 当△AEF为直角三角形时，
14. 投资知识是明智的，投资网络中的知识就更加明智。 13. 拿望远镜看别人，拿放大镜看自己。 7. 当一个小小的心念变成成为行为时，便能成了习惯;从而形成性格，而性格就决定你一生的成败。 6. 成功的人是跟别人学习经验，失败的人只跟自己学习经验。 14. 什么是人生最好的相逢?那是漫漫人生，我们遇到另一个人，我们互相的影响，一起去成长。我流泪、饮泣，然后我微笑。虽然不能终老，但我们曾经拥有最甜美的时光，他里面有我，我里面 也有他，永远相思。
63. 如图，矩形纸片ABCD中，AB = 4，AD = 6，点P是 边BC上的动点，现将纸片折叠，使点A与 点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E， F，要使折痕始终与边AB，AD有交点，则 BP的取值范围是_6___2__5___x__.4
答案
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7. （2015三明）如图，在△ABC中，∠ACB = 90°， AB = 5，BC = 3，P是AB边上的动点（不与 点B重合），将△BCP沿CP所在的直线 翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B
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3. （2015包头）如图，在边长为 3 ＋ 1的菱形ABCD中， ∠A = 60°，点E，F分别在AB，AD上，沿 EF折叠菱形，使点A落在BC边上的点G处， 且EG⊥BD于点M，则EG的长为____3____.
4. 如图，有一张正方形纸片ABCD，点E在边AD上，且 AE = 1 AD，将纸片按如图所示方式折叠，使点B与点E重合，
预计 2016 年河南中招考试中图形的折叠仍是重 点考查内容.
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典例精析
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【方法指导】 有关图形折叠的相关计算，首先要熟知折
叠是一种轴对称变换，即位于折痕两侧的图形关于折痕成轴 对称；然后根据图形折叠的性质，即折叠前、后图形的对应 边和对应角相等，对应点的连线被折痕垂直平分进行相关计 算.
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3. 空想会想出很多绝妙的主意，但却办不成任何事情。 8. 幸福，是一种人生的感悟，一种个人的体验。也许，幸福是你风尘仆仆走进家门时亲切的笑脸;也许，幸福是你卧病床上百无聊赖时温馨的问候;也许，幸福是你屡遭挫折心灰意冷时劝慰的话语; 也许，幸福是你历经艰辛获得成功时赞赏的掌声。关键的是，你要有一副热爱生活的心肠，要有一个积极奋进的目标，要有一种矢志不渝的追求。这样，你才能感受到幸福。
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11. （2015牡丹江）矩形纸片ABCD，AB = 9，BC = 6，在矩形边上有一点P，且DP = 3.将矩形纸片折叠，使 点B与点P重合，折痕所在直线交矩形两边于点E，F，则 EF长为_6__2__或__2_.1 0
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图形的折叠通常和动点问题结合在一起进行考查，常见 的问题类型有以下3种：（1）求线段的取值范围；（2）求 最值问题；（3）分类讨论线段长度. 其中第（3）种类型在 河南中招考试中为常考类型，解决此类型题，一般运用等量 代换，并结合勾股定理或相似三角形的性质来构造方程，进 而求解线段的长度.
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