21.3_实际问题与一元二次方程(含解析答案)
21.3一元二次方程与实际问题
1、传播问题：公式：(a+x)n=M 其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M为最后得病总人数某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后，共有256个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌？2、某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？2、循环问题又可分为单循环问题1/2n(n-1)，双循环问题n(n-1)和复杂循环问题1/2n(n-3)a．参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？b.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？初三毕业晚会时每人互相送照片一张,一共要90张照片,有多少人?c.一个正多边形，它共有20条对角线，问是几边形？3、平均率问题M=a(1±x)n，n为增长或降低次数 , M为最后产量，a为基数，x为平均增长率或降低率4、商品销售问题常用关系式：售价—进价=利润一件商品的利润×销售量=总利润单价×销售量=销售额利润率= 利润÷进价b\某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售2件，如果商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？5、数字问题：（！）两个相邻偶数的积是168，求这两个偶数。
（2）一个两位数，十位上数字与个位上数字之和为5；把十位上的数字与个位上数字互换后再乘以原数得736，求原来两位数．例、在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为耕地，要使耕地面积为540米2，道路的宽应为多少？解法一、如图，矩形地面面积为，设道路的宽为x米，则横向的路面面积为纵向的路面面积为如图，设路宽为x米，横向路面为纵向路面面积为。
21.3 实际问题与一元二次方程(1)
新增： x(1+x)人
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.
x+1+x(x+1)=121
x1=10, x2=-12(舍)
分享用了
什么方法
解该方程？
答：每轮传染中平均一个人传染了10个人
思考1：如果按照该传染速度，经过三轮后有多少人受患流感?
121× + = ( + ) =
人教版.九年级上册
21.3 实际问题与一元二次方程
（第1课时）
复习引入
1.回顾应用题的解题过程，解决应用题有那些基本的步骤？
审、设、列、解、验、答
2.审题时，怎样才算审清题意？有那些辅助审题的方法？
三
知
1.知已知量和未知量
设未
知数
2.知各个量之间的关系
3.知等量关系
列方程
三
辅
1.列表法
2.画图
3.语言分析
多少个分支？
探究：利用收获的知识，分析问题并分享你的分析过程？
主干
1支
枝干
x支
小支干
总数：1+x+
支
解：每个枝干画出x个分支.
+ + =
x1=9, x2=-8(舍)
答：每个枝干画出9个分支
2.某种电脑病毒传播非常快，某学校有2台电脑被感染，经过
两轮感染后就会有50台电脑被感染，请你用学过的知识分析，
( + )
变式练习
变式1：若有3人患了流感,经过两轮传染后共有108人患了流感,
每轮传染中平均一个人传染了几个人?
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.
( + ) =
实际问题与一元二次方程-九年级数学人教版(上)(原卷版+解析版)
第二十一章一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某商品原价100元，连续两次涨价x%后售价为120元，则下面所列方程正确的是A．100（1+2x%）2=120 B．100（1+x2）2=120C．100（1−x%）2=120 D．100（1+x%）2=1202．为执行“均衡教育”政策，某区2016年投入教育经费2500万元，预计到2018年底三年累计投入1.2亿元，若每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，则下列方程正确的是A．2500(1+2x)=12000 B．2500(1+x)2=12000C．2500+2500(1+x)+2500(1+2x)=12000 D．2500+2500(1+x)+2500(1+x)2=120003．已知菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2−7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为A．16 B．12C．16或12 D．244．祁中初三（6）班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了930份留言．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为A．=930 B．=930C．x（x+1）=930 D．x（x−1）=9305．为改善办学条件，某县加大了专项资金投入，2016年投入房屋改造专项资金3000万元，预计2018年投入房屋改造专项资金5000万元．设投入房屋改造专项资金的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是A．3000（1+x）2=5000 B．3000x2=5000C．3000（1+x%）2=5000 D．3000（1+x）+3000（1+x）2=50006．现有一块长方形绿地，它的短边长为20 m，若将短边增大到与长边相等(长边不变)，使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加300 m2，设扩大后的正方形绿地边长为x m，下面所列方程正确的是A．x(x−20)=300 B．x(x+20)=300C．60(x+20)=300 D．60(x−20)=300二、填空题：请将答案填在题中横线上．7．某工厂两年内产值翻了一番，求该工厂产值年平均增长的百分率.若设该工厂产值年平均增长的百分率为x，则可列方程为________．8．如图，某小区有一块长为36 m，宽为24 m的矩形空地，计划在其中间修建两块形状相同的矩形绿地，它们的面积之和为600 m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为________m．9．某商品的原价为100元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是m，那么该商品现在的价格是________元（结果用含m的代数式表示）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．10．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少．．．．库存．．，商场决定采取适当的降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降低1元，商场平均每天可多售出2件．设衬衫的单价降了x元：（1）该商场降价后每件盈利___________元，每天可售出________件；（2）如果商场通过销售这批衬衫每天盈利1200元，那么衬衫的单价降了多少元？11．用如图所示矩形纸片的四个角都剪去一个边长为的正方形(阴影部分)．并制成一个长方体纸盒.（1）用a，b，x表示纸片剩余部分的面积和纸盒的底面积；（2）当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．12．果农田丰计划将种植的草莓以每千克15元的单价对外批发销售，由于部分果农盲目扩大种植，造成该草莓滞销．为了加快销售，减少损失，田丰对价格进行两次下调后，以每千克9.6元的单价对外批发销售．（1）如果每次价格下调的百分率相同，求田丰每次价格下调的百分率；（2）小李准备到田丰处购买3吨该草莓，因数量多，田丰准备再给予两种优惠方案供选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金400元．试问小李选择哪种方案最优惠？请说明理由．第二十一章一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某商品原价100元，连续两次涨价x%后售价为120元，则下面所列方程正确的是A．100（1+2x%）2=120 B．100（1+x2）2=120C．100（1−x%）2=120 D．100（1+x%）2=120【答案】D【名师点睛】本题主要考查的是一元二次方程的应用，属于基础题型．根据题意得出等量关系是解决这个问题的关键．2．为执行“均衡教育”政策，某区2016年投入教育经费2500万元，预计到2018年底三年累计投入1.2亿元，若每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，则下列方程正确的是A．2500(1+2x)=12000 B．2500(1+x)2=12000C．2500+2500(1+x)+2500(1+2x)=12000 D．2500+2500(1+x)+2500(1+x)2=12000【答案】D【解析】由题意可得：2500+2500(1+x)+2500(1+x)2=12000.【名师点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用—增长率问题，确定问题的等量关系是解题关键. 3．已知菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2−7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为A．16 B．12C．16或12 D．24【答案】A【解析】（x−3）（x−4）=0，x−3=0或x−4=0，所以x1=3，x2=4，∵菱形ABCD的一条对角线长为6，∴边AB的长是4，∴菱形ABCD的周长为16．4．祁中初三（6）班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了930份留言．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为A．=930 B．=930C．x（x+1）=930 D．x（x−1）=930【答案】D【名师点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程,其中x(x−1)不能和握手问题那样除以2,另外这类问题转化为一元二次方程求解时应注意考虑解的合理性,即考虑解的取舍.5．为改善办学条件，某县加大了专项资金投入，2016年投入房屋改造专项资金3000万元，预计2018年投入房屋改造专项资金5000万元．设投入房屋改造专项资金的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是A．3000（1+x）2=5000 B．3000x2=5000C．3000（1+x%）2=5000 D．3000（1+x）+3000（1+x）2=5000【答案】A【解析】设教育经费的年平均增长率为x，则2017的房屋改造专项资金为：3000×（1+x）万元，2018的房屋改造专项资金为：3000×（1+x）2万元，那么可得方程：3000×（1+x）2=5000．故选A．【名师点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律．6．现有一块长方形绿地，它的短边长为20 m，若将短边增大到与长边相等(长边不变)，使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加300 m2，设扩大后的正方形绿地边长为x m，下面所列方程正确的是A．x(x−20)=300 B．x(x+20)=300C．60(x+20)=300 D．60(x−20)=300【名师点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是弄清题意，并找到等量关系．二、填空题：请将答案填在题中横线上．7．某工厂两年内产值翻了一番，求该工厂产值年平均增长的百分率.若设该工厂产值年平均增长的百分率为x，则可列方程为________．【答案】（x＋1）2＝2【解析】设工厂产值年平均增长的百分率为x，原产值为a，由题意得：整理得：故答案为：8．如图，某小区有一块长为36 m，宽为24 m的矩形空地，计划在其中间修建两块形状相同的矩形绿地，它们的面积之和为600 m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为________m．【答案】2【解析】设人行道的宽度为x米，根据题意得，（36−3x）（24−2x）=600，化简整理得，（12−x）2=100．解得x1=2，x2=22（不合题意，舍去）．答：人行通道的宽度是2 m．故答案为：2.【名师点睛】本题考查了一元二次方程的应用，利用两块相同的矩形绿地面积之和为600 m2得出等式9．某商品的原价为100元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是m，那么该商品现在的价格是________元（结果用含m的代数式表示）．【答案】100（1−m）2三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．10．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少．．．．库存．．，商场决定采取适当的降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降低1元，商场平均每天可多售出2件．设衬衫的单价降了x元：（1）该商场降价后每件盈利___________元，每天可售出________件；（2）如果商场通过销售这批衬衫每天盈利1200元，那么衬衫的单价降了多少元？【答案】（1）（40−x），（20+2x）；(2)20【解析】（1）∵每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，∴每件衬衫降价x元，商场平均每天可多售出2x件，∵原来每件的利润为40元，现在降价x元，∴现在每件的利润为(40−x)元，每天可以售出件.故答案为：(40−x)，.（2）由题意，得(40−x)(20+2x)=1200，解得：x1=10 ，x2=20 ,为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，所以x的值应为20.答：如果商场通过销售这批衬衫每天盈利1200元，那么衬衫的单价降了20元.11．用如图所示矩形纸片的四个角都剪去一个边长为的正方形(阴影部分)．并制成一个长方体纸盒.（1）用a，b，x表示纸片剩余部分的面积和纸盒的底面积；（2）当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．【答案】（1）；；（2）【名师点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）利用长方形的面积减去四个正方形的面积，列出代数式；（2）根据剩余部分与减去部分面积间的关系，列出一元二次方程．12．果农田丰计划将种植的草莓以每千克15元的单价对外批发销售，由于部分果农盲目扩大种植，造成该草莓滞销．为了加快销售，减少损失，田丰对价格进行两次下调后，以每千克9.6元的单价对外批发销售．（1）如果每次价格下调的百分率相同，求田丰每次价格下调的百分率；（2）小李准备到田丰处购买3吨该草莓，因数量多，田丰准备再给予两种优惠方案供选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金400元．试问小李选择哪种方案最优惠？请说明理由．【答案】（1）田丰每次价格下调的百分率是20%；（2）小李选择方案一购买更优惠．【解析】（1）设田丰每次价格下调的百分率为x．由题意得：15（1−x）2=9.6．解这个方程，得：x1=0.2，x2=1.8．因为降价的百分率不可能大于1，所以x2=1.8不符合题意，符合题目要求的是x1=0.2=20%．答：田丰每次价格下调的百分率是20%．（2）小李选择方案一购买更优惠．理由：方案一所需费用为：9.6×0.9×3000=25920（元），方案二所需费用为：9.6×3000−400×3=27600（元）．∵25920＜27600，∴小李选择方案一购买更优惠．。
21.3 实际问题与一元二次方程 人教版九年级数学上册提升卷(含答案)
21.3 实际问题与一元二次方程（提升卷）-人教版九年级上册（含答案）一．选择题1．永州市2019年底城市绿地面积是144万平方米，计划到2021年底城市绿地面积提高到225万平方米，则平均每年的增长率为（ ）A．20%B．25%C．30%D．15%2．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，应邀请多少个队参加比赛．设应邀请x个队参加比赛，则x的值为（ ）A．7B．8C．9D．103．将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各自做成一个正方形，若两个正方形的面积之和为12.5cm2，则两段铁丝的长度是（ ）A．5cm，15cm B．12cm，8cm C．4cm，16cm D．10cm，10cm 4．如图是清朝李演攥写的《九章算术细草图说》中的“勾股圆方图”，四边形ABCD，四边形EBGF，四边形HNQD均为正方形，BG，NQ，BC是某个直角三角形的三边，其中BC是斜边，若HM：EM＝8：9，HD＝2，则AB的长为（ ）A．B．C．3D．25．新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快．已知有1个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169个人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染m人，则m的值为（ ）A．11B．12C．13D．146．某城市2018年底已有绿化面积500公顷，经过努力，绿化面积以相同的增长率逐年增加，到2020年底增加到605公顷．若按照这样的绿化速度，则该市2021年底绿化面积能达到（ ）A．657.5公顷B．665.5公顷C．673.5公顷D．681.5公顷7．某市2020年投入了教育专项经费7200万元，用于发展本市的教育，预计到2022年将投入教育专项经费9800万元，若每年增长率都为x，下列方程正确的是（ ）A．7200（1+x）＝9800B．7200（1+x）2＝9800C．7200（1+x）+7200（1+x）2＝9800D．7200x2＝98008．欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程x2+ax＝b2的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程x2+x﹣1＝0的一个正根．如图，一张边长为1的正方形的纸片ABCD，先折出AD、BC的中点G、H，再折出线段AN，然后通过沿线段AN折叠使AD落在线段AH上，得到点D的新位置P，并连接NP、NH，此时，在下列四个选项中，有一条线段的长度恰好是方程x2+x﹣1＝0的一个正根，则这条线段是（ ）A．线段BH B．线段DN C．线段CN D．线段NH9．如图，学校课外生物小组的试验园地是长20米，宽15米的长方形．为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵等宽的小道（如图），要使种植面积为252平方米，则小道的宽为（ ）A．5米B．1米C．2米D．3米10．如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒，则剪去的正方形的边长为（ ）A．1B．2C．3D．4二．填空题11．某地区加大教育投入，2020年投入教育经费2000万元，以后每年逐步增长，预计2022年，教育经费投入为2420万元，则年平均增长率为 ．12．某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两面靠现有墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两面用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．若饲养场的面积为180平方米，则饲养场（矩形ABCD）的一边AB的长为 米．13．随着退耕还林政策的进一步落实，三岗村从2017年底到2019年底林地面积变化如图所示，则2018，2019这两年三岗村林地面积年平均增长的百分率为 ．14．某校为了在学生中进行党史教育，决定在操场举行“中国共产党历史知识展览”，需要一块面积为480平方米的矩形场地．若矩形场地的一边靠墙（墙的长度足够），另外三边由总长为60米的围绳围成，并且在垂直于墙的边上各设置了一个开口宽为1米的入口和出口（如图）．请根据方案计算出矩形场地的长 米．15．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s；同时，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s，则经过 s后，P，Q两点之间相距25cm．三．解答题16．2022年2月4日至20日，第24届冬奥会在北京和张家口举办，这是中国历史上第一次举办冬奥会，吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱．某厂家1月份生产10万个“冰墩墩”，1月底因市场对“冰墩墩“需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份开始扩大产量，3月份产量达到12.1万个．已知2月份和3月份产量的月平均增长率相同．（1）求“冰墩墩”产量的月平均增长率；（2）按照（1）中的月平均增长率，预计4月份的产量为多少个？17．如图，在Rt△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm．点P从点A出发，沿AB边以1cm/s的速度向点B移动；点Q从点B同时出发，沿BC边以2cm/s的速度向点C移动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．问经过几秒后，P，Q两点的距离是4 cm？18．某网店第一次用17500元购进一批医用外科口罩，很快销售一空，第二次又用40000元购进该医用外科口罩，但这次每盒的进价比第一次进价多5元，购进数量则是第一次的2倍．（1）第一次每盒医用外科口罩的进价是多少元？（2）该网店发现：每盒售价为60元时，每星期可卖300盒．为了便民利民，该网店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30盒．该网店某星期销售该款口罩获得了6480元的毛利润，该款口罩每盒成本为第二次的进价，那么该网店这星期销售该款口罩多少盒？[毛利润＝（售价﹣进价）×销售量]19．某中学计划租用客车送312名学生和8名教师集体外出活动，每辆客车上至少要有1名教师．现有甲、乙两种型号的客车，它们的载客量和租金如表所示．设租车总费用为y元，租用甲型客车x辆．甲型客车乙型客车载客量/（人/辆）4530租金/（元/辆）400280（1）共需租 辆客车；（2）若学校计划租车总费用在3200元的限额内，求y关于x的函数解析式，并求出自变量x的取值范围；（3）因燃油价格上涨，甲型客车每辆租金上调m元，乙型客车每辆租金上调2m元（m＞0），若租车的最低费用是3200元，求m的值．20．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了迎接“六一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润．据测算，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件．设每件童装降价x 元．（1）每天可销售多少件，每件盈利多少元？（用含x的代数式表示）（2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元．（3）平均每天盈利能否达到2000元，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：设每年平均增长的百分率是x，144（1+x）2＝225，解得x＝25%或x＝﹣225%（舍去）．即每年平均增长的百分率是25%．故选：B．2．【解答】解：设应邀请x个队参加比赛，则列方程为x（x﹣1）＝21，解这个方程，得x1＝7，x2＝﹣6（舍去）．即x的值为7．故选：A．3．【解答】解：设剪成两段后其中一段为xcm，则另一段为（20﹣x）cm，由题意得：（）2+（）2＝12.5．解得x1＝x2＝10．此时20﹣x＝10．所以两段铁丝的长度都是10cm．故选：D．4．【解答】解：∵HM：EM＝8：9，∴设HM＝8x，EM＝9x，∵四边形ABCD，四边形EBGF，四边形HNQD均为正方形，∴HD＝NQ＝2，BG＝BE，BC＝AD＝AB，由题意得，AH＝EM＝9x，AE＝HM＝8x，∴AB＝BC＝AD＝9x+2，∴BG＝BE＝AB﹣AE＝9x+2﹣8x＝x+2，∵BG，NQ，BC是某个直角三角形的三边，其中BC是斜边，∴BG2+NQ2＝BC2，∴（x+2）2+22＝（9x+2）2，解得：x＝（负值舍去），∴AB＝9×+2＝，故选：B．5．【解答】解：依题意，得：1+m+m（m+1）＝169，即（1+m）2＝169．解得：m1＝12，m2＝﹣14（不合题意，舍去）．故选：B．6．【解答】解：设每年绿化面积的平均增长率是x，根据题意得500（1+x）2＝605，解得：x1＝0.1，x2＝﹣2.1（不合题意舍去）．605×（1+10%）＝665.5（公顷）．即：该市2021年底绿化面积能达到665.5公顷．故选：B．7．【解答】解：依题意得：7200（1+x）2＝9800．故选：B．8．【解答】解：设DN＝m，则NC＝1﹣m．由题意可知：△ADN≌△APN，H是BC的中点，∴DN＝NP＝m，CH＝0.5．∵S正方形＝S△ABH+S△ADN+S△CHN+S ANH，∴1×1＝×1×+×1×m+××（1﹣m）+××m，∴m＝．∵x2+x﹣1＝0的解为：x＝﹣±，∴取正值为x＝．∴这条线段是线段DN．故选：B．9．【解答】解：设该小道的宽为x米，依题意得（20﹣2x）（15﹣x）＝252，整理得x2﹣25x+24＝0，即：（x﹣24）（x﹣1）＝0，解得x1＝24（舍去），x2＝1．即：该小道的宽为1米．故选：B．10．【解答】解：设正方形的边长为xcm，根据题意得：（10﹣2x）（6﹣x）＝24，整理得：x2﹣11x+18＝0，解得x＝2或x＝9（舍去），答；剪去的正方形的边长为2cm．故选：B．二．填空题11．【解答】解：设年平均增长率为x，根据题意得：2000（1+x）2＝2420，解得：x＝0.1＝10%，或x＝﹣2.1（不合题意舍去）．即：年平均增长率为10%．故答案是：10%．12．【解答】解：设饲养场（矩形ABCD）的一边AB长为x米，则饲养场另一边BC＝（总长+3个1米的门的宽度）﹣3x米＝（45+3）﹣3x＝（48﹣3x）（米），根据题意得：x（48﹣3x）＝180，解得x1＝6，x2＝10，0≤48﹣3x≤27，0≤x≤15，∴7≤x≤15，∴x＝10，答：饲养场（矩形ABCD）的一边AB的长为10米，故答案为：10．13．【解答】解：设2018，2019这两年三岗村林地面积年平均增长的百分率为x，由题意得：300（1+x）2＝363，解得x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．即：2018，2019这两年三岗村林地面积年平均增长的百分率为10%．故答案是：10%．14．【解答】解：设矩形场地的长为x米，则宽为（60+2﹣x），根据题意，得（60+2﹣x）•x＝480．解得x1＝30，x2＝32．所以矩形场地的长为30或32米．故答案是：30或32．15．【解答】解：设x秒后P、Q两点相距25cm，则CP＝2xcm，CQ＝（25﹣x）cm，由题意得，（2x）2+（25﹣x）2＝252，解得，x1＝10，x2＝0（舍去），则10秒后P、Q两点相距25cm．故答案是：10．三．解答题16．【解答】解：（1）设“冰墩墩”产量的月平均增长率为x，根据题意，得10（1+x）2＝12.1．解得x1＝﹣2.1（舍去），x2＝0.1＝10%，答：“冰墩墩”产量的月平均增长率为10%；（2）12.1×（1+0.1）＝13.31（万个）．答：预计4月份的产量为13.31万个．17．【解答】解：设经过t秒后，P，Q两点的距离是4cm，根据题意，得（2t）2+（6﹣t）2＝（4）2，整理，得（5t﹣2）（t﹣2）＝0，解得t1＝，t2＝2．当t＝2时，2t＝4＜8，符合题意，答：秒或2秒后，P，Q两点间的距离等于4cm．18．【解答】解：（1）设第一次每盒医用外科口罩进价x元，则第二次进价（x+5）元，根据题意，得，解得x＝35，经检验，x＝35是原方程的解，且符合题意，答：第一次每盒医用外科口罩的进价是35元．（2）设降价m元，第二次进价为35+5＝40（元），根据题意，得（60﹣40﹣m）（300+30m）＝6480，解得m＝8或m＝2，∵为了便民利民，∴m＝8，∴300+30×8＝540（盒），答：该网店这星期销售该款口罩540盒．19．【解答】解：（1）如果全部租用甲种客车，则需要（312+8）÷45＝7（辆），如果全部租用乙种客车，则需要（312+8）÷30＝10（辆），∵汽车辆数为整数，且有8名教师，每辆汽车上至少要有1名教师，∴共需租8辆汽车．故答案为：8；（2）设租用x辆甲种客车，则租用乙种客车（8﹣x）辆，则租车费用y＝400x+280（8﹣x）＝120x+2240，∵，解得5≤x≤8，∵x为整数，∴x＝6或7或8．故y关于x的函数解析式是y＝120x+2240，自变量x的取值范围是x＝6或7或8；（3）依题意有：（400+m）x+（280+2m）（8﹣x）＝3200，解得x＝8﹣，∵x为整数，∴m＝24或40或56．故m的值为24或40或56．20．【解答】解：（1）设每件童装降价x元时，每天可销售（20+2x）件，每件盈利（40﹣x）元，故答案为：（20+2x），（40﹣x）；（2）根据题意，得：（20+2x）（40﹣x）＝1200．解得：x1＝20，x2＝10，∵扩大销售量，增加利润，∴x＝20，答：每件童装降价20元，平均每天盈利1200元；（3）依题意，可列方程：（40﹣x）（20+2x）＝2000，化简，得x2﹣30x+600＝0，Δ＝（﹣30）2﹣4×1×600＝﹣1500＜0．故方程无实数根．故平均每天销售利润不能达到2000元．。
21.3 实际问题与一元二次方程(第3课时) 人教版数学九年级上册同步习题(含答案)
.
答：2 秒后△PBQ 的面积等于 8cm2． 3、解：（1）设每件衬衫应降价 元.
则依题意，得：（40- ）（20+2 ）=1200，
整理，得
，解得:
.
∴若商场平均每天赢利 1200 元，每件衬衫应降价 10 元或 20 元． （2）设每件衬衫降价 元时，商场平均每天赢利最多为 y，
则 y=（40- ）（20+2 ）=
◆典例分析
一辆汽车以 20m/s 的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行 25m 后 停车． （1）从刹车到停车用了多少时间? （2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少? （3）刹车后汽车滑行到 15m 时约用了多少时间（精确到 0.1s）? 分析:本题涉及到物理学中的运动知识,具体分析如下: （1）刚刹车时时速还是 20m/s，以后逐渐减少，停车时时速为 0．因为刹车以后，其速度
∴ （20-4 ）=15,整理得：
,
解方程：得 =
,∴ ≈4.08（不合题意，舍去）， ≈0.9（s）.
∴刹车后汽车滑行到 15m 时约用了 0.9s.
◆课下作业
●拓展提高
1、为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的
人均约为
提高到
若每年的年增长率相同，则年增长率为（ ）
Q
AP
B
3、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件赢
利
40 元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发
现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出 2 件．
（1）若商场平均每天赢利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？
《21.3实际问题与一元二次方程》测试题(含答案解析)
一元二次方程的应用测试题时间：90分钟总分： 100题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是()A. 20(1+2x)=28.8B. 28.8(1+x)2=20C. 20(1+x)2=28.8D. 20+20(1+x)+20(1+x)2=28.82.有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是()A. 12x(x−1)=45 B. 12x(x+1)=45 C. x(x−1)=45 D. x(x+1)=453.如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，将其折叠使AB落在对角线AC上，得到折痕AE，那么BE的长度为()A. √2−12B. √3−12C. √5−12D. √6−124.公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长.设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为()A. (x+1)(x+2)=18B. x2−3x+16=0C. (x−1)(x−2)=18D. x2+3x+16=05.某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产钢铁1850吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为x，则可得方程()A. 560(1+x)2=1850B. 560+560(1+x)2=1850C. 560(1+x)+560(1+x)2=1850D. 560+560(1+x)+560(1+x)2=18506.某市计划经过两年时间，绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是()A. 19%B. 20%C. 21%D. 22%7.如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2.若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是()A. (32−2x)(20−x)=570B. 32x+2×20x=32×20−570C. (32−x)(20−x)=32×20−570D. 32x+2×20x−2x2=5708.一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元.设两次降价的百分率都为x，则x满足()A. 16(1+2x)=25B. 25(1−2x)=16C. 16(1+x)2=25 D. 25(1−x)2=169.某景点的参观人数逐年增加，据统计，2014年为10.8万人次，2016年为16.8万人次.设参观人次的平均年增长率为x，则()A. 10.8(1+x)=16.8B. 16.8(1−x)=10.8C. 10.8(1+x)2=16.8D. 10.8[(1+x)+(1+x)2]=16.810.如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1cm2，则它移动的距离AA′等于()A. 0.5cmB. 1cmC. 1.5cmD. 2cm二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）11.如图，一块矩形铁皮的长是宽的2倍，将这个铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，若盒子的容积是240cm3，则原铁皮的宽为______ cm．12.红米note手机连续两次降价，由原来的1299元降688元，设平均每次降价的百分率为x，则列方程为______ ．13.如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草.如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为______ 米.14.原价100元的某商品，连续两次降价后售价为81元，若每次降低的百分率相同，则降低的百分率为______ ．15.如图，在边长为6cm正方形ABCD中，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC和CD边向D点以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，其中一点到终点，另一点也随之停止.过了______ 秒钟后，△PBQ的面积等于8cm2．16.经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是______．17.如图，EF是一面长18米的墙，用总长为32米的木栅栏(图中的虚线)围一个矩形场地ABCD，中间用栅栏隔成同样三块.若要围成的矩形面积为60平方米，则AB的长为______ 米.18.为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10m2提高到12.1m2.若每年的年增长率相同且设为x，则列出的方程是______ ．19.去年2月“蒜你狠”风潮又一次来袭，某市蔬菜批发市场大蒜价格猛涨，原来单价4元/千克的大蒜，经过2月和3月连续两个月增长后，价格上升很快，物价部门紧急出台相关政策控制价格，4月大蒜价格下降了36%，恰好与涨价前的价格相同，则2月，3月的平均增长率为______ ．20.某种药品原来售价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是______．三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）21.商场某种新商品每件进价是40元，在试销期间发现，当每件商品售价50元时，每天可销售500件，当每件商品售价高于50元时，每涨价1元，日销售量就减少10件.据此规律，请回答：(1)当每件商品售价定为55元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？(2)在上述条件不变，商品销售正常的情况下，每件商品的销售定价为多少元时，商场日盈利可达到8000元？22.如图，在△ABC中，∠B=90∘，点P从点A开始，沿AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发：(1)几秒后四边形APQC的面积是31平方厘米；(2)若用S表示四边形APQC的面积，在经过多长时间S取得最小值？并求出最小值．23.如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为11米)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．(1)如果要围成面积为45平方米的花圃，那么AD的长为多少米？(2)能否围成面积为60平方米的花圃？若能，请求出AD的长；若不能，请说明理由．24.“白马服饰城”某服装柜的某款裤子每条的成本是50元，经市场调查发现，当销售单价是100元时，每天可以卖掉50条，每降低1元，可多卖5条．(1)要使每天的利润为4000元，裤子的定价应该是多少元？(2)如何定价可以使每天的利润最大？最大利润是多少？四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）25.为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6000万元.2016年投入教育经费8640万元.假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．(1)求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；(2)若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2017年该县投入教育经费多少万元．26.如图所示，已知在△ABC中，∠B=90∘，AB=6cm，BC=12cm，点Q从点A开始沿AB边向点B以1cm/s 的速度移动，点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．(1)如果Q、P分别从A、B两点出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于8cm2？(2)在(1)中，△PBQ的面积能否等于10cm2试说明理由．答案和解析【答案】1. C2. A3. C4. C5. D6. B7. A8. D9. C10. B11. 1112. 1299×(1−x)2=1299−68813. 114. 10%15. 2或10316. 50(1−x)2=3217. 1218. 10(1+x)2=12.119. 25%20. 10%21. 解：(1)当每件商品售价为55元时，比每件商品售价50元高出5元，即55−50=5(元)，则每天可销售商品450件，即500−5×10=450(件)，商场可获日盈利为(55−40)×450=6750(元)．答：每天可销售450件商品，商场获得的日盈利是6750元；(2)设商场日盈利达到8000元时，每件商品售价为x元．则每件商品比50元高出(x−50)元，每件可盈利(x−40)元，每日销售商品为500−10(x−50)=1000−10x(件)．依题意得方程(1000−10x)(x−40)=8000，整理，得x2−140x+4800=0，解得x=60或80．答：每件商品售价为60或80元时，商场日盈利达到8000元．22. 解：(1)设经过x秒钟，可使得四边形APQC的面积是31平方厘米，根据题意得：12BP⋅BQ=12AB⋅BC−31，即12(6−x)⋅2x=12×6×12−31，整理得(x−1)(x−5)=0，解得：x1=1，x2=5．答：经过1或5秒钟，可使得四边形APQC的面积是31平方厘米；(2)依题意得，S四边形APQC=S△ABC−S△BPQ，即S=12AB⋅BC−12BP⋅BQ=12×6×12−12(6−x)⋅2x=(x−3)2+27(0<x<6)，当x−3=0，即x=3时，S最小=27．答：经过3秒时，S取得最小值27平方厘米．23. 解：(1)设AD的长为x米，则AB为(24−3x)米，根据题意列方程得，(24−3x)⋅x=45，解得x1=3，x2=5；当x=3时，AB=24−3x=24−9=15>11，不符合题意，舍去；当x=5时，AB=24−3x=9<11，符合题意；答：AD的长为5米．(2)不能围成面积为60平方米的花圃．理由：假设存在符合条件的长方形，设AD的长为y米，于是有(24−3y)⋅y=60，整理得y2−8y+20=0，∵△=(−8)2−4×20=−16<0，∴这个方程无实数根，∴不能围成面积为60平方米的花圃．24. 解：(1)设裤子的定价为每条x元，根据题意，得：(x−50)[50+5(100−x)]=4000，解得：x=70或x=90，答：裤子的定价应该是70元或90元；(2)销售利润y=(x−50)[50+5(100−x)]=(x−50)(−5x+550)=−5x2+800x−27500，=−5(x−80)2+4500，∵a=−5<0，∴抛物线开口向下．∵50≤x≤100，对称轴是直线x=80，∴当x=80时，y最大值=4500；答：定价为每条80元可以使每天的利润最大，最大利润是4500元．25. 解：(1)设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意得：6000(1+x)2=8640解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2(不合题意，舍去)，答：该县投入教育经费的年平均增长率为20%；(2)因为2016年该县投入教育经费为8640万元，且增长率为20%，所以2017年该县投入教育经费为：y=8640×(1+0.2)=10368(万元)，答：预算2017年该县投入教育经费10368万元．26. 解：(1)设t秒后，△PBQ的面积等于8cm2，根据题意得：1×2t(6−t)=8，2解得：t=2或4．答：2秒或4秒后，△PBQ的面积等于8cm2．(2)由题意得，1×2t(6−t)=10，2整理得：t2−6t+10=0，b2−4ac=36−40=−4<0，此方程无解，所以△PBQ的面积不能等于10cm2．【解析】1. 【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)增长的次数，一般形式为a(1+x)n=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量，n为增长的次数.设这两年观赏人数年均增长率为x，根据“2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次”，可得出方程．【解答】解：设观赏人数年均增长率为x，那么依题意得20(1+x)2=28.8．故选C．2. 解：∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，∴共比赛场数为12x(x−1)，∵共比赛了45场，∴12x(x−1)=45，故选：A．先列出x支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛12x(x−1)场，再根据题意列出方程为12x(x−1)=45．此题是由实际问题抽象出一元二次方程，主要考查了从实际问题中抽象出相等关系．3. 试题分析：根据对称性可知：BE=FE，∠AFE=∠ABE=90∘，又∠C=∠C，所以△CEF∽△CAB，根据相似的性质可得出：EFAB =CEAC，BE=EF=CEAC×AB，在△ABC中，由勾股定理可求得AC的值，AB=1，CE=2−BE，将这些值代入该式求出BE的值．设BE的长为x，则BE=FE=x、CE=2−x在Rt△ABC中，AC=√AB2+BC2=√5∵∠C=∠C，∠AFE=∠ABE=90∘∴△CEF∽△CAB(两对对应角相等的两三角形相似)∴EFAB =CEAC∴FE=x=CEAC ×AB=√5×1，x=√5−12，∴BE=x=√5−12，故选：C．4. 解：设原正方形的边长为xm，依题意有(x−1)(x−2)=18，故选：C．可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为(x−1)m，宽为(x−2)m.根据长方形的面积公式方程可列出．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，应熟记长方形的面积公式.另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键．5. 解：依题意得二月份的产量是560(1+x)，三月份的产量是560(1+x)(1+x)=560(1+x)2，∴560+560(1+x)+560(1+x)2=1850．故选D．增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，根据二、三月份平均每月的增长为x，则二月份的产量是560(1+x)吨，三月份的产量是560(1+x)(1+x)=560(1+x)2，再根据第一季度共生产钢铁1850吨列方程即可．能够根据增长率分别表示出各月的产量，这里注意已知的是一季度的产量，即三个月的产量之和．6. 解：设原来的绿地面积为a，两年平均每年绿地面积的增长率是x．a×(1+x)2=a×(1+44%)，解得：x=0.2或x=−2.2，∵x>0，∴x=0.2=20%，故选B．等量关系为：原来的绿地面积×(1+这两年平均每年绿地面积的增长率)2=原来的绿地面积×(1+绿地面积增加的百分数)，把相关数值代入即可求解．考查求平均变化率的方法.若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b．7. 解：设道路的宽为xm，根据题意得：(32−2x)(20−x)=570，故选：A．六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm，根据草坪的面积是570m2，即可列出方程．此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程．8. 解：第一次降价后的价格为：25×(1−x)；第二次降价后的价格为：25×(1−x)2；∵两次降价后的价格为16元，∴25(1−x)2=16．故选：D．等量关系为：原价×(1−降价的百分率)2=现价，把相关数值代入即可．本题考查求平均变化率的方法.若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b．9. 解：设参观人次的平均年增长率为x，由题意得：10.8(1+x)2=16.8，故选：C．设参观人次的平均年增长率为x，根据题意可得等量关系：10.8万人次×(1+增长率)2=16.8万人次，根据等量关系列出方程即可．本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2= b．10. 解：设AC交A′B′于H，∵∠A=45∘，∠D=90∘∴△A′HA是等腰直角三角形设AA′=x，则阴影部分的底长为x，高A′D=2−x∴x⋅(2−x)=1∴x=1即AA′=1cm．故选B．根据平移的性质，结合阴影部分是平行四边形，△AA′H与△HCB′都是等腰直角三角形，则若设AA′=x，则阴影部分的底长为x，高A′D=2−x，根据平行四边形的面积公式即可列出方程求解．解决本题关键是抓住平移后图形的特点，利用方程方法解题．11. 解：设这块铁片的宽为xcm，则铁片的长为2xcm，由题意，得3(2x−6)(x−6)=240解得x1=11，x2=−2(不合题意，舍去)答：这块铁片的宽为11cm．设这块铁片的宽为xcm，则铁片的长为2xcm，剪去一个边长为3cm的小方块后，组成的盒子的底面的长为(2x−6)cm、宽为(x−6)cm，盒子的高为3cm，所以该盒子的容积为3(2x−6)(x−6)，又知做成盒子的容积是240cm3，盒子的容积一定，以此为等量关系列出方程，求出符合题意的值即可．本题主要考查的是一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意找出等量关系，列出方程求出符合题意得解．12. 解：设平均每次降价的百分率为x，由题意得，1299×(1−x)2=1299−688．故答案为：1299×(1−x)2=1299−688．设平均每次降价的百分率为x，则可得：原价×(1−x)2=现价，据此列方程即可．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．13. 解：设小道进出口的宽度为x米，依题意得(30−2x)(20−x)=532，整理，得x2−35x+34=0．解得，x1=1，x2=34．∵34>30(不合题意，舍去)，∴x=1．答：小道进出口的宽度应为1米．故答案为：1．设小道进出口的宽度为x米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列出方程求解即可．本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据种植花草的面积为532m2找到正确的等量关系并列出方程．14. 解：设这两次的百分率是x，根据题意列方程得100×(1−x)2=81，解得x1=0.1=10%，x2=1.9(不符合题意，舍去)．答：这两次的百分率是10%．故答案为：10%．先设平均每次降价的百分率为x，得出第一次降价后的售价是原来的(1−x)，第二次降价后的售价是原来的(1−x)2，再根据题意列出方程解答即可．本题考查一元二次方程的应用，要掌握求平均变化率的方法.若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b．15. 解：设经过x秒，△PBQ的面积等于8cm2，当0<x<3秒时，Q点在BC上运动，P在AB上运动，PB=6−x，BQ=2x，所以S△PBQ=12PB⋅BQ=12×2x×(6−x)=8，解得x=2或4，又知x<3，故x=2符合题意，当3<x<6秒时，Q点在CD上运动，P在AB上运动，S△PBQ=12(6−x)×6=8，解得x=103．故答案为：2或103．设经过x秒，△PBQ的面积等于8cm2，分类讨论当0<x<3秒时，Q点在BC上运动，P在AB上运动，求出面积的表达式，求出一个值，当3<x<6秒时，Q点在CD上运动，P在AB上运动，根据条件列出一个一元一次方程，求出一个值．本题主要考查一元二次方程的应用的知识点，解答本题的关键是Q点的运动位置，此题很容易漏掉一种情况，此题难度一般．16. 解：由题意可得，50(1−x)2=32，故答案为：50(1−x)2=32．根据某药品经过连续两次降价，销售单价由原来50元降到32元，平均每次降价的百分率为x，可以列出相应的方程即可．本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．17. 解：∵与墙头垂直的边AD长为x米，四边形ABCD是矩形，∴BC=MN=PQ=x米，∴AB=32−AD−MN−PQ−BC=32−4x(米)，根据题意得：x(32−4x)=60，解得：x=3或x=5，当x=3时，AB=32−4x=20>18(舍去)；当x=5时，AB=32−4x=12(米)，∴AB的长为12米．故答案为：12．由与墙头垂直的边AD长为x米，四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，即可求得AB的长；根据题意可得方程x(32−4x)=60，解此方程即可求得x的值，又由AB=32−x(米)，即可求得AB的值，注意EF是一面长18米的墙，即AB<18米．考查了一元二次方程的应用中的围墙问题，正确列出一元二次方程，并注意解要符合实际意义．18. 解：设每年的增长率为x，根据题意得10(1+x)2=12.1，故答案为：10(1+x)2=12.1．如果设每年的增长率为x，则可以根据“住房面积由现在的人均约为10m2提高到12.1m2”作为相等关系得到方程10(1+x)2=12.1．本题考查数量平均变化率问题.原来的数量(价格)为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a(1±x)，再经过第二次调整就是a(1±x)(1±x)=a(1±x)2.增长用“+”，下降用“−”．19. 解：设2月，3月的平均增长率为x，根据题意得：4(1+x)2(1−36%)=4，解得：x=25%或x=−2.25(舍去)故答案为：25%．根据“原来单价4元/千克的大蒜，经过2月和3月连续两个月增长后，价格上升很快，物价部门紧急出台相关政策控制价格，4月大蒜价格下降了36%”可列出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论；本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能够根据增长率问题列出方程，难度不大．20. 解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得100×(1−x)2=81，解得x1=0.1=10%，x2=1.9(不符合题意，舍去)．答：这两次的百分率是10%．故答案为：10%．设平均每次降价的百分率为x，那么第一次降价后的售价是原来的(1−x)，那么第二次降价后的售价是原来的(1−x)2，根据题意列方程解答即可．本题考查一元二次方程的应用，要掌握求平均变化率的方法.若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b．21. (1)首先求出每天可销售商品数量，然后可求出日盈利；(2)设商场日盈利达到8000元时，每件商品售价为x元，根据每件商品的盈利×销售的件数=商场的日盈利，列方程求解即可．本题考查了一元二次方程的实际应用，根据每件商品的盈利×销售的件数=商场的日盈利，列出方程是关键．22. (1)设经过x秒钟，可使得四边形APQC的面积是31平方厘米，根据面积为31列出方程，求出方程的解即可得到结果；(2)根据题意列出S关于x的函数关系式，利用函数的性质来求最值．此题考查了一元二次方程的应用、二次函数的性质，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．23. (1)设出AD的长，表示出AB的长，利用长方形面积公式列方程解答，再据墙的最大可用长度为11米即可；(2)利用(1)中的方法列出方程解答，利用根的判别式进行判定即可．此题的关键是利用长方形的面积计算公式列方程解答问题，注意结合图形．24. (1)根据“利润=(售价−成本)×销售量”列出方程求解可得；(2)根据(1)中的相等关系列出二次函数解析式，再转化为顶点式，利用二次函数图象的性质进行解答．本题考查二次函数的实际应用.建立数学建模题，借助二次函数解决实际问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出函数关系式和方程．25. (1)设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据2014年该县投入教育经费6000万元和2016年投入教育经费8640万元列出方程，再求解即可；(2)根据2016年该县投入教育经费和每年的增长率，直接得出2017年该县投入教育经费为8640×(1+0.2)，再进行计算即可．此题考查了一元二次方程的应用，掌握增长率问题是本题的关键，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b．26. (1)分别表示出线段PB和线段BQ的长，然后根据面积为8列出方程求得时间即可；(2)根据面积为10列出方程，判定方程是否有解即可．本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积，能够表示出线段PB和QB的长是解答本题的关键．。
21.3 实际问题与一元二次方程
27
故上下边衬的宽度为: 左右边衬的宽度为:
要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝,正中 央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果 要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之 一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设 计四周边衬的宽度? 分析:这本书的长宽之比是9:7,正中央的 矩形两边之比也为9:7,由此判断上下边 衬与左右边衬的宽度之比也为9:7
人患流感？
第三轮的传染源有 共有
x+1 +x(x+1) 人，有〔 x+1 +x(x+1) 〕x 人被传染，
x+1 +x(x+1) +〔 x+1 +x(x+1) 〕x 人患流感？
x
1.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干 又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的 总数是91,每个支干长出多少小分支?
探究3
在长方形钢片上冲去一个长方形，制成一个四 周宽相等的长方形框。已知长方形钢片的长为30cm，宽 2 为20cm,要使制成的长方形框的面积为400cm ，求这个 长方形框的框边宽。 分析: 本题关键是如何用x的代数式表示这个长方形框的面积 解:设长方形框的边宽为xcm,依题意,得
30×20–(30–2x)(20–2x)=400 整理得 x2– 25x+100=0
3 9 x 7 x 27 21 依题意得 4 3 3 3 3 x2 (不合题意, 舍去) 解得 x1 2 2 33
2 54 27 3 1.8 2 4 3 3 21 7 21 7 x 42 21 3 2 1.4 2 2 4 27 9 x 2 27 9
X
21.3实际问题与一元二次方程——利润问题
思考：这两个根都可以取吗？
探究1 ：
某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销量， 增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果 每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件。若商场平均每天销售这种衬衫 的盈利要达到1200元，每件衬衫应降价多少元？
练习：
2、某童装大世界在销售中发现：“宝宝乐”牌童装平均每天可售出20
件，每件盈利40元. 为了迎接”六一”儿童节，尽快减少库存,商场决定
采取适当的降价措施经调查发现,如果每件童装降价0.5元，那么平均每
天就可多售出4件. 要想平均每天盈利1200元,那么每件童装应该降价多
少元?
每件童装降价1元，多售出
润为 500 元。
所用等量关系为 单件利润×数量=总利润 。
探究1 ：
某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销量， 增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果 每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件。若商场平均每天销售这种衬衫 的盈利要达到1200元，每件衬衫应降价多少元？
分析：每件衬衫降价0.5元，多售出5件，销售量为 （20+5）件；
每每件件衬衬衫衫降降价价1x元元，，多多售售出出05.55 =1x0件件，，销销售售量量为为（（2200++
5） 05.5x）
件 件
0.5
0.5
练习：
1、某童装大世界在销售中发现：“宝宝乐”牌童装平均每天可售出20
件，每件盈利40元. 为了迎接”六一”儿童节，尽快减少库存,商场决定
教学重点： 列一元二次方程解利润问题应用题.
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四川绵阳富乐国际学校2019年秋初中数学人教版九年级上册课堂练习试卷班级姓名21.2 解一元二次方程21.3 实际问题与一元二次方程一、选择题1.(2019山东济宁微山期中,9,★★☆)某工艺品进价为100元/件,标价130元/件售出,每天平均可售出100件.根据销售统计,该工艺品每降价1元出售,则每天可多售出5件,某店为减少库存量,同时使每天平均获得的利润为3 000元,每件需降价( )A.12元B.10元C.8元D.5元2.一个矩形的长比宽多3 cm,面积是25 cm2,求这个矩形的长和宽.设矩形的宽为x cm,则下面所列方程正确的是( )A.x2-3x+25=0B.x2-3x-25=0C.x2+3x-25=0D.x2+3x-50=03.(2019广东广州番禺期末)某公司2018年10月份的生产成本是400万元,由于改进技术,生产成本逐月下降,12月份的生产成本是361万元.若该公司这两月每个月生产成本的下降率都相同,则每个月生产成本的下降率是( )A.12%B.9%C.6%D.5%4.(2019四川自贡期末)某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映:每降价1元,每星期可多卖出20件,已知商品的进价为每件40元,在顾客获得实惠的前提下,商家还想获得6 080元利润,应将销售单价定为( )A.56元B.57元C.59元D.57元或59元5.(2019宁夏银川金凤期中)如图,在一块长为30 m,宽为24 m的矩形空地上,修建同样宽的两条互相垂直的小路,其余部分建成花园,已知小路的占地面积为53 m2,那么小路的宽为( )A.1 mB.1.5 mC.2 mD.2.5 m6.(2019江苏无锡滨湖期中)某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次,第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件,每件利润为6元,每提高一个档次,每件利润增加2元,但一天产量减少5件.若生产的产品某天的总利润为1 120元,且同一天所生产的产品为同一档次,则该天生产的产品的质量档次是( )A.6B.8C.10D.127.(2019江苏无锡模拟)商场将进价为2 000元/台的冰箱以2 400元/台售出,平均每天能售出8台.为了促销,商场决定采取适当的降价措施,调查表明:这种冰箱的售价每台每降低50元,平均每天就能多售出4台,商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4 800元,同时又要使消费者得到更多实惠,每台冰箱应降价( )A.100元B.200元C.300元D.400元8.如图是一张月历表,在此月历表上可以用一个矩形框任意圈出2×2个位置相邻的数(如2,3,9,10).如果圈出的4个数中最大数与最小数的积为128,故这4个数中最小的数是.9.如图所示,点阵M的层数用n表示,点数总和用S表示,当S=66时,n 的值为( )A.10B.11C.12D.1310.(2018新疆乌鲁木齐中考,9,★★☆)宾馆有50间房供游客居住.当每间房每天定价为180元时,宾馆会住满;当每间房每天的定价每增加10元时,就会空闲一间房.如果有游客居住,宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用.当房价定为多少元时,宾馆当天的利润为10 890元?设房价定为x元,则有( ))=10 890A.(180+x-20)(50−x10)=10 890B.(x-20)(50−x-18010C.x(50−x-18010)-50×20=10 890D.(x+180)(50−x10)-50×20=10 89011.台湾中考,15,★★☆)如图的六边形是由甲、乙两个长方形和丙、丁两个等腰直角三角形所组成的,其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和.若丙的一股长为2,且丁的面积比丙的面积小,则丁的一股长为何?( )A.12B.35C.2-√3D.4-2√3二、填空题12.(2019黑龙江齐齐哈尔克东期末)有一人患了流感,经过两轮传染后共有64人患了流感,那么每轮传染中平均一个人传染给个人.13.如图,把长为40 cm,宽为30 cm的长方形硬纸板剪掉2个小正方形和2个小长方形(阴影部分即剪掉的部分),把剩余部分折成一个有盖的长方体盒子,记剪掉的小正方形的边长为x cm(纸板的厚度忽略不计),若折成的长方体盒子的表面积为950 cm2,则此时长方体盒子的体积为.14.(陕西宝鸡渭滨期中)如图,在边长为6 cm的正方形ABCD中,点P 从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC和CD边向D点以2 cm/s的速度移动,如果点P、Q分别从A、B同时出发,其中一点到终点,另一点也随之停止.过了秒钟后,△PBQ的面积等于8 cm2.15.(2018重庆巫山期末)如图,A、B、C、D为矩形的四个顶点,AB=16 cm,AD=8 cm,动点P、Q分别从点A、C同时出发,点P以3 cm/s的速度向B移动,一直到达点B为止;点Q以2 cm/s的速度向D移动.当P、Q两点从出发开始到秒时,点P和点Q的距离是10 cm.16.(2019江苏扬州高邮月考,21,★★☆)如图,矩形花圃ABCD一面靠墙(墙足够长),另外三面用总长度是24 m的篱笆围成,当矩形花圃的面积是40 m2时,BC的长为.三、解答题17.每年暑假都有许多驴友骑自行车丈量中国最美公路川藏线.A、B两个驴友团队于同一天出发前往目的地拉萨.A队走317国道,结果30天到达.B队走318国道,总路程比A队少200 km,且路况更好,平均每天比A队多骑行20 km,结果B队比A队提前8天到达拉萨.(1)求318国道全程为多少km;(2)骑行过程中,B队每人每天平均花费150元.A队开始有3个人同行,计划每人每天花费110元,后来又有几个人加入队伍,实际每增加1人,每人每天的平均花费就减少5元.若最终A、B两队骑行的人数相同(均不超过10人),两队共花费36 900元,求两个驴友团队各有多少人.18.(2019四川宜宾期末)元旦期间,某超市销售两种不同品牌的苹果,已知1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元.当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的利润分别为4元和2元时,陈老师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用82元.(1)求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元;(2)在(1)的情况下,超市平均每天可售出甲种苹果100千克和乙种苹果140千克,若将这两种苹果的售价各提高1元,则超市每天这两种苹果均少售出10千克,超市决定把这两种苹果的售价均提高x元,在不考虑其他因素的条件下,使超市销售这两种苹果共获利960元,求x的值.19.如图,某旅游景点要在长、宽分别为20米、12米的矩形水池的正中央建一个各边与矩形的边互相平行的正方形观赏亭,观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行且宽度相等的道路,已知道路的宽为正方形边长的14.若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的16,求道路的宽.20. (2019山东青岛城阳月考,12,★★☆)如图,在△ABC 中,AB=10 cm,BC=16 cm,∠B=90°,点P 从点A 开始沿着AB 边向点B 以1 cm/s 的速度移动(到B 停止),点Q 从点B 开始沿着BC 边向点C 以2 cm/s 的速度移动(到C 停止).如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发,经过几秒,△PBQ 的面积是△ABC 面积的310?参考答案和解析1.答案 B 设每件工艺品降价x元,则每天的销售量为(100+5x)件,根据题意得(130-100-x)(100+5x)=3 000,整理得x2-10x=0,解得x1=0,x2=10.∵要减少库存量,∴x=10.故选B.2.答案 C 由题意知该矩形的长为(x+3)cm,∴x(x+3)=25,整理得x2+3x-25=0,故选C.3.答案 D 设每个月生产成本的下降率为x,根据题意得400(1-x)2=361,解得x1=0.05=5%,x2=1.95(舍去).故选D.4.答案 A 设将销售单价定为x元,则每星期可卖出[20(60-x)+300]件,根据题意得(x-40)[20(60-x)+300]=6 080,整理得x2-115x+3304=0,解得x1=56,x2=59.∵要使顾客获得实惠,∴x=56.故选A.5.答案 A 设小路的宽为x m,由题意得(30-x)(24-x)=30×24-53,解得x=53(舍去)或x=1,即修建的小路的宽为1 m.故选A.6.答案 A 设该天生产的产品的质量档次是x,则该天的产量为[95-5(x-1)]件,每件的利润是[6+2(x-1)]元,根据题意得[6+2(x-1)][95-5(x-1)]=1 120,整理得x2-18x+72=0,解得x1=6,x2=12(不合题意,舍去).故选A.7.答案 B 设每台冰箱应降价x元,每台冰箱的利润是(2 400-2×4)台,列方程得(2 400-2 000-x)(8+000-x)元,每天卖(8+x50x 50×4)=4 800,整理得x 2-300x+20 000=0,解得x 1=200,x 2=100.因为要使消费者得到更多实惠,所以x=200.故选B.8.答案 8解析 设这4个数中最小的数是x,则最大的数为x+8,根据题意可得x(x+8)=128,整理得x 2+8x-128=0,(x-8)·(x+16)=0,解得x 1=8,x 2=-16(舍去),故这4个数中最小的数是8.9.答案 B 规律总结得S=12n(n+1).∵S=66,∴12n(n+1)=66,解得n 1=11,n 2=-12(不合题意,舍去).故选B.10.答案 B 因为房价定为x 元,所以根据“利润=房价的净利润×入住的房间数”得(x-20)(50−x -18010)=10 890.故选B.11.答案 D 设丁的一股长为a,且a<2,∵甲面积+乙面积=丙面积+丁面积,∴2a+2a=12×22+12×a 2, ∴4a=2+12a 2,∴a 2-8a+4=0, ∴a=8±√(-8)2-4×1×42=8±4√32=4±2√3, ∵4+2√3>2,不合题意,4-2√3<2,符合题意,∴a=4-2√3.故选D.12.答案 7解析 设每轮传染中平均一个人传染给x 个人,根据题意得1+x+x(1+x)=64,解得x 1=7,x 2=-9(不合题意,舍去),即每轮传染中平均一个人传染给7个人.13.答案 1 500 cm 3解析 如图,EF=(30-2x)cm,GH=(20-x)cm.根据题意,得40×30-2x 2-2×20x=950,解得x 1=5,x 2=-25(不合题意,舍去),所以长方体盒子的体积为x(30-2x)(20-x)=5×20×15=1 500(cm 3).14.答案 2或103 解析 设经过x 秒,△PBQ 的面积等于8 cm 2,当0<x ≤3时,Q 点在BC 上运动,P 在AB 上运动,PB=(6-x)cm,BQ=2x cm,所以S △PBQ =12PB ·BQ=12×(6-x)×2x=8,解得x=2或4.又0<x ≤3,故x=2;当3<x<6秒时,Q 点在CD 上运动,P 在AB 上运动,S △PBQ =12(6-x)×6=8,解得x=103.综上,x 的值为2或103. 15.答案 2或225 解析 设当P 、Q 两点从出发开始到x 秒时,点P 和点Q 的距离是10 cm,此时AP=3x cm,DQ=(16-2x)cm,根据题意得(16-2x-3x)2+82=102,解得x 1=2,x 2=225,即当P 、Q 两点从出发开始到2秒或225秒时,点P 和点Q 的距离是10 cm.16. 答案 4 m 或20 m解析 设BC 的长度为x m,则AB 的长度为24−x 2m. 由题意得x ·24−x 2=40,整理得x 2-24x+80=0,即(x-4)(x-20)=0,解得x 1=4,x 2=20,即BC 长为4 m 或20 m.17.解析 (1)设318国道全程为x km,则317国道全程为(x+200)km, 由题意得x 30−8-x+20030=20,解得x=2 200.答:318国道全程为2 200 km.(2)设后来加入A 队的有a 人,则两队骑行的人数均为3+a,而A 队实际每天的平均花费为(110-5a)元,由题意,得30(3+a)(110-5a)+(3+a)×150×(30-8)=36 900,解得a 1=3,a 2=38.∴两个队的人数为3+3=6或3+38=41.∵两队骑行人数均不超过10,∴两个驴友团队的人数均为6.答:两个驴友团队均有6人.18.解析 (1)设甲种苹果的进价为a 元/千克,乙种苹果的进价为b 元/千克,根据题意得{a +b =18,3(a +4)+4(b +2)=82,解得{a =10,b =8.答:甲种苹果的进价为10元/千克,乙种苹果的进价为8元/千克.(2)根据题意得(4+x)(100-10x)+(2+x)(140-10x)=960,整理得x 2-9x+14=0,解得x 1=2,x 2=7,经检验,x 1=2,x 2=7均符合题意.答:x 的值为2或7.19.解析 设道路的宽为x 米,则可列方程x(12-4x)+x(20-4x)+(4x)2=16×20×12, 即x 2+4x-5=0,解得x 1=1,x 2=-5(舍去).答:道路的宽为1米.20. 解析 设经过x 秒,△PBQ 的面积是△ABC 面积的310. 当0<x ≤8时,根据题意得12×2x ·(10-x)=12×10×16×310,整理得x 2-10x+24=0,解得x 1=4,x 2=6.当8<x ≤10时,12×16×(10-x)=12×10×16×310, 整理得16x=112,解得x=7(不合题意,舍去).答:经过4秒或6秒,△PBQ 的面积是△ABC 面积的310.。