高考创新题解答与评析(五)

高考创新题解答与评析（五）
五、及时定义型
近几年的高考试卷中，经常出现一类新的创新题----及时定义型，它给出一个“新意义”（如例1中新规定的运算），让考生按指定的要求解答问题，这类创新题突出考查学生学习理解、信息迁移的能力．
例1 （2007年广东8）设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a b S ∈，，对于有序元素对（a b ，），在S 中有唯一确定的元素*a b 与之对应）．若对任意的a b S ∈，，有()**a b a b =，则对任意的a b S ∈，，下列等式中不恒成立的是（ ）
A ．()**a b a a =
B ．[()]()****a b a a b a =
C ．()**b b b b =
D ．()[()]****a b b a b b =
注意：判断的是“不恒成立”的命题，我们逐一判断之．
解：先看A ．由已知，应有*(*)b a b a =，对于A 的左边有[](*)**(*)a b b a b ， ① 把①中的*a b 看作已知中的a ，则由①得 [](*)**(*)a b b a b b =，
(*)*a b a b ∴=．
当a b ≠时A 式不成立，即A 式不恒成立，故选A ．
说明：对于B ，C ，D 的判断如下：
考查B ：[]*(*)*(*)*(*)a b a a b b a b a ==，恒成立． 考查C ：显然恒成立．
考查D ：把D 中左边的*a b 看作已知中的a ，故恒成立．
例2 （2007年上海，理20）如果有穷数列123n a a a a ，，，，（n 为正整数）满足条件
n a a =1，12-=n a a ，…，1a a n =，即1+-=i n i a a （12i n = ，，，）
，我们称其为“对称数列”．例如，由组合数组成的数列01m
m m m C C C ，，，就是“对称数列”．
（1）设{}n b 是项数为7的“对称数列”，其中1234b b b b ，，，是等差数列，且21=b ，114=b ．依次写出{}n b 的每一项；
（2）设{}n c 是项数为12-k (正整数1>k )的“对称数列”，其中121k k k c c c +- ，，，是首项为
50，公差为4-的等差数列．记{}n c 各项的和为12-k S ．当k 为何值时，12-k S 取得最大值？
并求出12-k S 的最大值；
（3）对于确定的正整数1>m ，写出所有项数不超过m 2的“对称数列”，使得
2
1
1222
m - ，，，，依次是该数列中连续的项；当m 1500>时，求其中一个“对称数列”前2008
项的和2008S ．
点评：定义“对称数列”并作相关研究，是本题的亮点． 解：（1）123b b b ，，成等差数列，此等差数列公差41341
b b d -=
=-．
21235b b d ∴=+=+=，2128b b d =+=．
又{}n b 是项数为7的对称数列，
172b b ∴==，265b b ==，358b b ==．
∴{}n b 为2，5，8，11，8，5，2．
（2）由对称数列的定义可知：121121k k k k k c c c c c c c -+-++++=+++……，
211212()k k k k k S c c c c -+-∴=+++-…
(1)
250
(4)50
2
k k k -⎡
⎤=⨯+
⨯--⎢⎥⎣
⎦
2410450k k =-+-
2
4(13)626k =--+．
， ∴当13=k 时，12-k S 取得最大值626． （3）所求“对称数列”只可能是：
22122
122222221m m m --- ，，，，，，，，，，；（共21m -项） ①
22112
2
1222222221m m m m ---- ，，，，，，，
，，，，；（共2m 项） ②
1222222221222
2
m m m m ---
-
，，，，，，，，，
，；（共21m -项） ③ 12222
222211222
2
m m m m ---
-
，，，，，，，，，，
，．（共2m 项） ④ 下面选择①，求2008S ．
当2008m ≥时，122
2212008
200722008-=++++= S ． 当15002008m <<时，
20082
12220092008(122
2)(22)m m m m S ----=+++++++
共项
……
20082
12
1221112
m
m m --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥
⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
=-+
-
1
22009
212
2
m m m --=-++
1
22009
32
2
1m m --=⨯--．
回顾与反思：解题时，紧紧扣住“对称数列”特性，（1）与（2）不难解答．对于（3），注意写出所有．．项数不超过2m 的“对称数列”，共四组，在求2008S 时，注意分类讨论，下面给出②③④中的2008S ．
对于②，当2008m ≥时，1220082008-=S ． 当15002007m <<时，
2008S 1
2
22008
(2
2
2
)m m m m S ---=++++…220082122m m m -=-+-
12
2
2008
21
--=-+m m ．
对于③，当2008m ≥时，1220082008
200822222m m m m m S ----=+++=-…．
当15002008m <<时，
2008S 2
2008(222
)m
m S -=++++…
2008212(2
1)m
m -=-+-32
22009-+=-m
m
．
对于④，当2008m ≥时，2008
200822--=m m S （与③同）．
当15002008m <<时，2008S 22007(1222)m m S -=+++++…2222008-+=-m
m ．
练习题：
1．（2007年湖北理6）若数列{}n a 满足2
12n n
a p a +=（p 为正常数，n *
∈N ），则称{}n a 为
“等方比数列”．
甲：数列{}n a 是等方比数列；
乙：数列{}n a 是等比数列，则（ ）
A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C ．甲是乙的充要条件
D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
2．（2003年，全国）已知抛物线21:2C y x x =+和22:C y x a =-+，如果直线l 同时是1C 和2C 的切线，称l 是1C 和2C 的公切线，分切线上两个切点之间的线段，称为公切线段．
（1）a 取什么值时，1C 和2C 有且仅有一条公切线？写出公切线的方程； （2）若1C 和2C 有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分．
参考答案： 1．B
2．解：（1）函数22y x x =+的导数22y x '=+．
曲线1C 在点2111(2)P x x x +，的切线方程是2
1111(2)(22)()y x x x x x -+=+-，
即2
11(22)y x x x =+-． ①
函数2y x a =-+的导数2y x '=-．
曲线2C 在点222()Q x x a -+，
的切线方程是2
222()2()y x a x x x --+=--， 即2
222y x x x a =-++． ②
如果直线l 是过P 和Q 的公切线，则①式和②式都是l 的方程， 所以1222
121.
x x x x a +=-⎧⎨-=+⎩， 消去2x 得方程
2
112210x x a +++=． ③
若判别式442(1)0a ∆=-⨯+=时，即12
a =-时，解得112
x =-
，此时点P 与Q 重合．
即当12
a =-
时，1C 和2C 有且仅有一条公切线，由①得公切线方程为14
y x =-
．
（2）由（1）可知，当12
a <-
时，1C 和2C 有两条公切线．
设一条公切线上切点为11()P x y ，，22()Q x y ，，
其中P 在1C 上，Q 在2C 上，则由③有121x x +=-，
2
2
121122()y y x x x a ∴+=++-+
221112(1)x x x a =+-++ 1a =-+， 线段PQ 的中点为1122a -+⎛
⎫-
⎪⎝⎭
，． 同理，另一条公切线段P Q ''的中点也是1122a -+⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
，． 所以公切线段PQ 和P Q ''互相平分．。