高中数学必修二第三章 3.2.3

3.2.3 直线的一般式方程学习目标 1.掌握直线的一般式方程.2.理解关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)都表示直线.3.会进行直线方程的五种形式之间的转化．知识点一 直线的一般式方程思考1 直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式这四种形式都能用Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)来表示吗？ 答案 能．思考2 关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)一定表示直线吗？ 答案 一定．思考3 当B ≠0时，方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)表示怎样的直线？B ＝0呢？ 答案 当B ≠0时，由Ax ＋By ＋C ＝0，得y ＝－A B x －C B ，所以该方程表示斜率为－AB ，在y 轴上截距为－CB的直线；当B ＝0时，A ≠0，由Ax ＋By ＋C ＝0，得x ＝－CA ，所以该方程表示一条垂直于x 轴的直线． 梳理 直线的一般式方程知识点二 直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系梳理类型一 直线的一般式方程 命题角度1 求直线的一般式方程例1 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率是3，且经过点A (5,3)； (2)斜率为4，在y 轴上的截距为－2； (3)经过点A (－1,5)，B (2，－1)两点； (4)在x 轴，y 轴上的截距分别为－3，－1. 解 (1)由直线方程的点斜式得y －3＝3(x －5)， 即3x －y －53＋3＝0.(2)由斜截式得直线方程为y ＝4x －2， 即4x －y －2＝0.(3)由两点式得y －5－1－5＝x －(－1)2－(－1)，即2x ＋y －3＝0.(4)由截距式得直线方程为x －3＋y－1＝1，即x ＋3y ＋3＝0.反思与感悟 (1)当A ≠0时，方程可化为x ＋B A y ＋C A ＝0，只需求B A ，CA 的值；若B ≠0，则方程化为A B x ＋y ＋C B ＝0，只需确定A B ，CB 的值，因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．跟踪训练1 根据条件写出下列直线的一般式方程：(1)斜率是－12，且经过点A (8，－6)的直线方程为________________；(2)经过点B (4,2)，且平行于x 轴的直线方程为________________； (3)在x 轴和y 轴上的截距分别是32和－3的直线方程为________________；(4)经过点P 1(3，－2)，P 2(5，－4)的直线方程为________________． 答案 (1)x ＋2y ＋4＝0 (2)y －2＝0 (3)2x －y －3＝0 (4)x ＋y －1＝0 命题角度2 由含参数的一般式求参数例2 设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x －(2m 2＋m －1)y ＋6－2m ＝0. (1)若直线l 在x 轴上的截距为－3，则m ＝________； (2)若直线l 的斜率为1，则m ＝________. 答案 (1)－53(2)－2解析 (1)令y ＝0，则x ＝2m －6m 2－2m －3，∴2m －6m 2－2m －3＝－3，得m ＝－53或m ＝3(舍去)．∴m ＝－53.(2)由直线l 化为斜截式方程 得y ＝m 2－2m －32m 2＋m －1x ＋6－2m 2m 2＋m －1，则m 2－2m －32m 2＋m －1＝1， 得m ＝－2或m ＝－1(舍去)． ∴m ＝－2.反思与感悟 (1)方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，需满足A ，B 不同时为0.(2)令x ＝0可得在y 轴上的截距．令y ＝0可得在x 轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式． (3)解分式方程注意验根．跟踪训练2 若方程(a 2＋5a ＋6)x ＋(a 2＋2a )y ＋1＝0表示一条直线，则实数a 满足______． 答案 a ≠－2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋5a ＋6＝0，a 2＋2a ＝0，得a ＝－2，∵方程(a 2＋5a ＋6)x ＋(a 2＋2a )y ＋1＝0表示一条直线， ∴a ≠－2.类型二 由直线方程的一般式研究直线的平行与垂直 命题角度1 利用两直线的位置关系求参数例3 (1)已知直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，求m 的值； (2)当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？解 方法一 (1)由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0， l 2：mx ＋3y －2＝0知：①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行． ②当m ≠0时，l 1∥l 2，需2m ＝m ＋13≠4－2.解得m ＝2或m ＝－3，∴m 的值为2或－3. (2)由题意知，直线l 1⊥l 2.①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0显然垂直． ②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直．③若1－a ≠0且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3.当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即(－a ＋21－a )·(－a －12a ＋3)＝－1，∴a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. 方法二 (1)令2×3＝m (m ＋1)， 解得m ＝－3或m ＝2.当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0， 显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0， 显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2. ∴m 的值为2或－3. (2)由题意知直线l 1⊥l 2，∴(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0， 解得a ＝±1，将a ＝±1代入方程，均满足题意． 故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.反思与感悟 对于由直线的位置关系求参数的问题，有下列结论：设直线l 1与l 2的方程分别为A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 1，B 1不同时为0)，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 2，B 2不同时为0)，则l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，B 1C 2－B 2C 1≠0或A 1C 2－A 2C 1≠0.l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.跟踪训练3 已知直线l 1：ax ＋2y －3＝0，l 2：3x ＋(a ＋1)y －a ＝0，求满足下列条件的a 的值． (1)l 1∥l 2；(2)l 1⊥l 2.解 (1)∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a (a ＋1)－3×2＝0，2×(－a )－(－3)(a ＋1)≠0，解得a ＝2.(2)a ×3＋2×(a ＋1)＝0，得a ＝－25.命题角度2 求平行、垂直的直线方程例4 已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求满足下列条件的直线l ′的方程： (1)过点(－1,3)，且与l 平行； (2)过点(－1,3)，且与l 垂直．解 方法一 (1)l 的方程可化为y ＝－34x ＋3，∴l 的斜率为－34.∵l ′与l 平行，∴l ′的斜率为－34.又∵l ′过点(－1,3)，由点斜式知方程为 y －3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y －9＝0.(2)∵l ′与l 垂直，∴l ′的斜率为43，又l ′过点(－1,3)，由点斜式可得方程为 y －3＝43(x ＋1)，即4x －3y ＋13＝0.方法二 (1)由l ′与l 平行，可设l ′的方程为3x ＋4y ＋m ＝0(m ≠－12)． 将(－1,3)代入上式得m ＝－9. ∴所求直线的方程为3x ＋4y －9＝0.(2)由l ′与l 垂直，可设l ′的方程为4x －3y ＋n ＝0. 将(－1,3)代入上式得n ＝13. ∴所求直线的方程为4x －3y ＋13＝0.反思与感悟 一般地，直线Ax ＋By ＋C ＝0中系数A 、B 确定直线的斜率，因此，与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0，与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋n ＝0.这是经常采用的解题技巧． 跟踪训练4 已知点A (2,2)和直线l ：3x ＋4y －20＝0. 求：(1)过点A 和直线l 平行的直线方程； (2)过点A 和直线l 垂直的直线方程．解 (1)将与直线l 平行的直线方程设为3x ＋4y ＋C 1＝0，又过点A (2,2)，所以3×2＋4×2＋C 1＝0，所以C 1＝－14. 所求直线方程为3x ＋4y －14＝0.(2)将与l 垂直的直线方程设为4x －3y ＋C 2＝0，又过点A (2,2)，所以4×2－3×2＋C 2＝0，所以C 2＝－2， 所以直线方程为4x －3y －2＝0.1．在直角坐标系中，直线x ＋3y －3＝0的倾斜角是( ) A ．30° B ．60° C ．150° D ．120° 答案 C解析 直线斜率k ＝－33，所以倾斜角为150°，故选C. 2．若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A 、B 应满足的条件为( ) A ．A ≠0 B ．B ≠0 C ．A ·B ≠0 D ．A 2＋B 2≠0答案 D解析 方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线的条件为A 、B 不能同时为0，即A 2＋B 2≠0. 3．已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限 D ．第二、三、四象限 答案 C解析 由ax ＋by ＝c ，得y ＝－a b x ＋c b ，∵ab <0，bc <0，∴直线的斜率k ＝－ab >0，直线在y 轴上的截距cb<0.由此可知直线通过第一、三、四象限．4．已知两直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0， (1)若l 1∥l 2，则m ＝________；(2)若l 1⊥l 2，则m ＝________. 答案 (1)－1 (2)12解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1×3－m (m －2)＝0，2m 2≠6×3，得m ＝－1.(2)由题意知1×(m －2)＋m ×3＝0， 得m ＝12.5．求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行，且过点(1,2)的直线l 的方程． 解 由题意，设l 的方程为3x ＋4y ＋C ＝0， 将点(1,2)代入l 的方程 3＋4×2＋C ＝0，得C ＝－11， ∴直线l 的方程为3x ＋4y －11＝0.1．根据两直线的一般式方程判定两直线平行的方法(1)判定斜率是否存在，若存在，化成斜截式后，则k 1＝k 2且b 1≠b 2；若都不存在，则还要判定不重合．(2)可直接采用如下方法：一般地，设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0，或A 1C 2－A 2C 1≠0.这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周而造成失误的可能性．2．根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法(1)若一个斜率为零，另一个不存在，则垂直；若两个都存在斜率，化成斜截式后，则k 1k 2＝－1.(2)一般地，设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.第二种方法可避免讨论，减小失误．课时作业一、选择题1．直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角为45°，则m 的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－3 D ．3 答案 D解析 由已知得m 2－4≠0，且2m 2－5m ＋2m 2－4＝1， 解得m ＝3或m ＝2(舍去)．2．直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，若直线l 过原点和二、四象限，则( ) A ．C ＝0，B >0 B ．A >0，B >0，C ＝0 C ．AB <0，C ＝0 D ．AB >0，C ＝0答案 D解析 通过直线的斜率和截距进行判断．3．已知直线ax ＋by －1＝0在y 轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线3x －y －3＝0的倾斜角的2倍，则a ，b 的值分别为( ) A.3，1 B.3，－1 C ．－3，1 D ．－3，－1 答案 D解析 原方程化为x 1a ＋y1b ＝1，∴1b＝－1，∴b ＝－1. 又∵ax ＋by －1＝0的斜率k ＝－ab ＝a ，且3x －y －3＝0的倾斜角为60°， ∴k ＝tan 120°，∴a ＝－3，故选D.4．两条直线mx ＋y －n ＝0和x ＋my ＋1＝0互相平行的条件是( ) A ．m ＝1B ．m ＝±1C.⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ≠－1 D.⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，n ≠－1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ≠1答案 D解析 令m ×m ＝1×1，得m ＝±1.当m ＝1时，要使x ＋y －n ＝0与x ＋y ＋1＝0平行，需n ≠－1. 当m ＝－1时，要使－x ＋y －n ＝0与x －y ＋1＝0平行，需n ≠1.5．把直线x －y ＋3－1＝0绕点(1，3)逆时针旋转15°后，所得直线l 的方程是( ) A ．y ＝－3x B ．y ＝3x C ．x －3y ＋2＝0 D ．x ＋3y －2＝0答案 B 解析 如图，已知直线的斜率为1，则其倾斜角为45°， 则直线l 的倾斜角α＝45°＋15°＝60°. ∴l 的斜率k ＝tan α＝tan 60°＝3， ∴l 的方程为y －3＝3(x －1)，即y ＝3x .6．在同一直角坐标系中表示直线ax －y ＝0与x －y ＋a ＝0(a ≠0)正确的是( )答案 C解析 若a >0，直线y ＝x ＋a 与y 轴的交点在y 轴正半轴上，直线x －y ＋a ＝0过第一、二、三象限，而直线ax －y ＝0过定点(0,0)，倾斜角为锐角，此时各选项都不正确；若a <0，则直线y ＝x ＋a 与y 轴的交点在y 轴负半轴上，直线过第一、三、四象限，而直线y ＝ax 过定点(0,0)，且倾斜角为钝角，故C 正确．7．若直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则直线l 的斜率为( )A ．1B ．－1C ．－2或1D ．－1或2答案 D解析 当直线ax ＋y －2－a ＝0过原点时，可得a ＝－2.当直线ax ＋y －2－a ＝0不过原点时，由题意知，当a ＝0时，直线l 与x 轴无交点，当a ≠0时，直线l 在x 轴上的截距为2＋a a， 与在y 轴上的截距2＋a 相等，可得2＋a a＝2＋a ， 解得a ＝1，或a ＝－2.综上知，a ＝－2或1.所以直线l 的斜率为－1或2.二、填空题8．已知直线(a ＋2)x ＋(a 2－2a －3)y －2a ＝0在x 轴上的截距为3，则该直线在y 轴上的截距为________．答案 －415解析 把(3,0)代入已知方程，得(a ＋2)×3－2a ＝0，∴a ＝－6，∴直线方程为－4x ＋45y ＋12＝0，令x ＝0，得y ＝－415. 9．垂直于直线3x －4y －7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线l 的方程为________．答案 4x ＋3y －12＝0或4x ＋3y ＋12＝0解析 由题意可设与直线3x －4y －7＝0垂直的直线的方程为4x ＋3y ＋c ＝0，令y ＝0，得x ＝－c 4， 令x ＝0，得y ＝－c 3， 则S △＝12|－c 4·(－c 3)|＝6，得c 2＝122，c ＝±12，∴直线l 的方程为4x ＋3y －12＝0或4x ＋3y ＋12＝0.10．若直线mx －y ＋(2m ＋1)＝0恒过定点，则此定点是________．答案 (－2,1)解析 由y ＝mx ＋2m ＋1，得y －1＝m (x ＋2)，所以直线恒过定点(－2,1)．11．直角坐标平面上一机器人在行进中始终保持到两点A (a,0)(其中a ∈R )和B (0,1)的距离相等，且机器人也始终接触不到直线l ：y ＝x ＋1，则a 的值为________．答案 1解析 根据题意可知机器人在线段AB 的中垂线上运动，且轨迹与直线l ：y ＝x ＋1平行，由此可得AB ⊥l ，因此k AB ·k l ＝－1，即1－00－a×1＝－1，解得a ＝1. 三、解答题12．若方程(m 2－3m ＋2)x ＋(m －2)y －2m ＋5＝0表示直线．(1)求实数m 需满足的条件；(2)若该直线的斜率k ＝1，求实数m 的值．解 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋2≠0，m －2≠0，解得m ≠2. (2)由题意知，m ≠2，由－m 2－3m ＋2m －2＝1，解得m ＝0. 13．(1)已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0.①若这两条直线垂直，求k 的值；②若这两条直线平行，求k 的值．解 ①根据题意，得(k －3)×2(k －3)＋(4－k )×(－2)＝0，解得k ＝5±52. ∴若这两条直线垂直，则k ＝5±52. ②根据题意，得(k －3)×(－2)－2(k －3)×(4－k )＝0，解得k ＝3或k ＝5.经检验，均符合题意．∴若这两条直线平行，则k ＝3或k ＝5.(2)求平行于直线2x －y ＋3＝0，且与两坐标轴围成的直角三角形的面积为9的直线方程． 解 设直线方程为2x －y ＋c ＝0，设直线在x 轴与y 轴上的截距分别为－c 2和c ， ∴S △＝12×|－c 2|×|c |＝9，解得c ＝±6. ∴所求直线方程为2x －y －6＝0或2x －y ＋6＝0.四、探究与拓展14．已知坐标平面内两点A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是_____． 答案 3解析 由题可知直线AB 的方程为x 3＋y 4＝1， 若P 点坐标为(x ，y )，则x ＝3－34y ， ∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y )＝34[－(y －2)2＋4]≤3，故xy 的最大值为3. 15．经过点A (1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程．解 当截距为0时，设直线方程为y ＝kx ，又直线过点A (1,2)，则得斜率k ＝2，即y ＝2x ；当截距不为0时，设直线方程为x a ＋y a ＝1或x a ＋y －a＝1. ∵直线过点A (1,2)，则得a ＝3或a ＝－1.即x ＋y －3＝0或x －y ＋1＝0.这样的直线有3条：y ＝2x ，x ＋y －3＝0或x －y ＋1＝0.。