人教版八年级上册数学同步课件-第13章-13.3.2 第2课时 含30°角的直角三角形的性质

之间的数量关系吗？ A
B
C
分离 拼接
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新课引入 问题2 将一张等边三角形纸片沿一边上的高对折，如图所示， 你有什么发现？
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新课讲解
1 含30°角的直角三角形的性质
A 如图，△ADC是△ABC的轴对称图形， 因此AB=AD, ∠BAD=2×30°=60°，
从而△ABD是一个等边三角形. 再由AC⊥BD,
∴AD=2AE，∴AB=4AE，∴BE=3AE.
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含 30° 角的 直角 三角 形的 性质
内容
课堂总结
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半
使用 要点
找准30 °的角所对的直角边，点明斜边
注 意 前提条件：直角三角形中
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第十三章 轴对称
13.3.2 等边三角形
第2课时 含30°角的直角三角形的性质
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学习目标
1．探索含30°角的直角三角形的性质．（重点） 2．会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的 证明和计算．（难点）
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问题引入
问题1 如图，将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起， 你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB
22
即立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.
新课讲解
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新课讲解
例5 已知:等腰三角形的底角为15 °,腰长为20.求腰
上的高.
D A
B
)15 °
15 ° C
解:过C作CD⊥BA,交BA的延长线于点D.
∵∠B=∠ACB=15° (已知),
∴∠DAC= ∠B+ ∠ACB= 15°+15°=30°，
（4）直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍．√
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新课讲解
例1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝
30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的
长度是( D )
A．3cm
B．6cm
C．9cm D．12cm
解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝ 90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm. 在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的长度是12cm.故选D.
证明方法： 倍长法
A
延长BC 到D，使BD =AB，连结AD，
则△ABD 是等边三角形．
又∵AC⊥BD, ∴
1
BC =
BD．
2
1
∴ BC = AB．
2
B 数学课堂教学课件设计
C
D
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【证法2】 在BA上截取BE=BC，连结EC.
∵ ∠B= 60° ，BE=BC，
∴ △BCE是等边三角形，
∴ ∠BEC= 60°，BE=EC.
∴CD= 1 AC= 1×20=10. 22
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新课讲解
方法总结：在求三角形边长的一些问题中，可以构 造含30°角的直角三角形来解决．本题的关键是作 高，而后利用等腰三角形及外角的性质，得出30° 角，利用含30°角的直角三角形的性质解决问题.
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随堂即练
1.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒 下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高 度为( B ) A．6米 B．9米 C．12米 D．15米 2.某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空 地上种植草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草皮 每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要( B ) A．300a元 B．150a元 C．450a元 D．225a数元学课堂教学课件设计
1
可得BC=CD= 2 AB.
▼性质： 在直角三角形中，如果一 B
C
D
个锐角等于30°，那么它所对 的直角边等于斜边的一半.
你还能用其他 方法证明吗？
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新课讲解
已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°.
求证：BC = 1 AB． 2
【证法1】在△ABC 中，∵ ∠C =90°，∠A =30°, ∴ ∠B =60°．
∵ ∠A= 30°，
∴ ∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30° = 30°，
∴ AE=EC，
∴ AE=BE=BC，
∴ AB=AE+BE=2BC.
∴
1
BC =
AB．
B
2
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证明方法： 截半法 A
E
C
知识要点
★含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的 直角边等于斜边的一半.
▼应用格式：
A
∵ 在Rt△ABC 中，
∠C =90°，∠A =30°，
∴ BC = 1 AB． 2
B 数学课堂教学课件设计
C
判断下列说法是否正确：
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（1）直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角
边的一半.
（2）三角形中30°角所对的边等于最长边的一半.
（3）直角三角形中较短的直角边是斜边的一半。
新课讲解
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方法总结：含30°角的直角三角形的性质是表示线 段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探 究线段倍分关系的结论时，要联想此性质．
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例4 如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中
点，立柱BC、DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm，∠A
=30°，立柱BC、DE 要多长？
B D
A
E
C
想一想： 图中BC、DE 分别是哪个直角三角形的直角边？
它们所对的锐角分别是多少度？
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解：∵DE⊥AC,BC ⊥AC, ∠A=30 °，
∴BC= 1 AB, DE= 1 AD，
2
2
B
∴BC= 1 AB= 1 ×7.4=3.7(m). D
22
又AD=
1
AB,
2
A
EC
∴DE= 1 AD= 1 ×3.7=1.85 (m).
8
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随堂即练
6.在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的 垂直平分线，BE=5，则求AC的长．
解：连结AE.
∵DE是AB的垂直平分线，
∴BE=AE，
∴∠EAB=∠B=15°，
∴∠AEC=∠EAB+∠B=30°．
∵∠C=90°，
∴AC=
1
AE=
1 BE=2.5．
2
2 数学课堂教学课件设计
随堂即练
7.在 △ABC中 ，AB=AC，∠BAC=120° ，D是 BC的中点，DE⊥AB于E点，求证：BE=3EA. 证明：∵AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠B=∠C=30°.
∵ D是BC的中点，∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，∠BAD=∠DAC=60°，∴AB=2AD. ∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∴∠ADE=30°，
随堂即练
3.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是高， ∠A =30°，AB =4，则BD = 1 .
C B
B
D
第3题图
C
A
第5题图
4.在△ABC中,∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,若AB=10,则
BC = 5 .
5.如图，Rt△ABC中，∠A= 30°，AB+BC=12cm，
则AB=______.
∠CPO，∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝ ∠AOB＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP， PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5.故选C角三角形与角平分线、垂 直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构 造含30°角的直角三角形．
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例3 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的
平分线，过点D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分
线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由． 解：CD 1 DB.
2
理由如下：∵DE⊥AB， ∴∠AED＝∠BED＝90°. ∵DE是∠ADB的平分线， ∴∠ADE＝∠BDE. 又∵DE＝DE， ∴△AED≌△BED(ASA)，
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∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.
∵∠BAD＝∠CAD＝ 1 ∠BAC， 2
∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.
∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，
∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.
在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，
∴CD＝
1 2
AD＝
1 2
BD，即CD＝
1 2
DB.
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注意：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要
分清线段所在的直角三角形．
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例2 如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB
于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于C( )
A．3
B．2
E
C.1.5
D．1
解析：如图，过点P作PE⊥OB于E.∵PC∥OA，∴∠AOP＝