相似三角形的性质及判定知识点总结+经典题型总结(学生版)学习资料
《相似三角形的性质》 知识清单
《相似三角形的性质》知识清单一、相似三角形的定义如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。
相似三角形对应边的比值叫做相似比。
二、相似三角形的判定1、两角分别相等的两个三角形相似。
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
3、三边成比例的两个三角形相似。
三、相似三角形的性质1、对应角相等相似三角形的对应角相等，这是相似三角形最基本的性质之一。
例如，若△ABC 与△A'B'C'相似，则∠A ＝∠A'，∠B ＝∠B'，∠C ＝∠C'。
2、对应边成比例相似三角形的对应边成比例，比例等于相似比。
设△ABC 与△A'B'C'的相似比为 k，则有：AB/A'B' ＝ BC/B'C' ＝ AC/A'C' ＝ k3、对应高的比等于相似比从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
相似三角形对应高的比等于相似比。
如图，若△ABC∽△A'B'C'，AD 和 A'D'分别是△ABC 和△A'B'C'的高，则 AD/A'D' ＝ k。
4、对应中线的比等于相似比连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
相似三角形对应中线的比等于相似比。
假设 BE 和 B'E'分别是△ABC 和△A'B'C'的中线，那么 BE/B'E' ＝ k 。
5、对应角平分线的比等于相似比三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
相似三角形对应角平分线的比等于相似比。
若 CF 和 C'F'分别是△ABC 和△A'B'C'的角平分线，那么 CF/C'F' ＝k 。
相似三角形的性质和判定知识点
相似三角形的性质和判定知识点相似三角形是初中数学中的重要概念，它在几何学中具有广泛的应用。
相似三角形的性质和判定是学习和解题的基础，本文将详细介绍相似三角形的性质和判定的知识点。
一、相似三角形的定义相似三角形是指具有相同形状但不同大小的三角形。
两个三角形相似的条件是它们对应角相等，即对应边的比例相等。
二、相似三角形的性质相似三角形有一些重要的性质，如下：1. 对应角相等性质：如果两个三角形相似，它们的对应角相等。
2. 对应边成比例性质：如果两个三角形相似，它们的对应边成比例，即对于第一个三角形的一条边与第二个三角形的相应边的比等于第一个三角形的另一条边与第二个三角形的相应边的比。
3. 半角性质：如果两个三角形相似，它们的角的一半也相等。
4. 高线成比例性质：如果两个三角形相似，它们的高线与底边之比等于相应边之比。
5. 中线成比例性质：如果两个三角形相似，它们的中线与底边之比等于相应边之比。
这些性质对于判断和解决相似三角形的问题非常有用。
三、相似三角形的判定判定两个三角形是否相似有几个常用的方法，如下：1. AAA相似判定：如果两个三角形的对应角相等，则它们相似。
2. AA相似判定：如果两个三角形的一个角相等，并且两个角分别对应两个角相等，则它们相似。
3. SSS相似判定：如果两个三角形的对应边成比例，则它们相似。
4. SAS相似判定：如果两个三角形的一个角相等，并且两个角的相邻边的比相等，则它们相似。
这些判定方法能够帮助我们快速确定两个三角形是否相似，从而解决相关问题。
四、相似三角形的实际应用相似三角形的概念和性质在几何学中有广泛的应用。
下面介绍一些实际应用的例子：1. 相似三角形的测量：通过测量一个三角形的边长和角度，可以利用相似三角形的性质计算出其他三角形的边长和角度。
2. 地图比例尺：地图上的比例尺是通过相似三角形的性质确定的。
通过观察地图上的两个相似三角形，可以计算出地图上的实际距离。
3. 光学测距：在实际测量中，通过利用相似三角形的性质可以测量较远距离的物体高度、距离等。
初中数学相似三角形知识库相似三角形知识点整理
初中数学相似三角形知识库相似三角形知识点整理一、定义
相似三角形是指两个三角形之间的几何关系，它们的边都是可以比拟的，只不过比例不同，这个比例就是相似比例。
二、定理
1、相似三角形定理：同一个平面中的两个三角形如果它们的两个角的对应边比例相等，那么这两个三角形就是相似的。
2、两相似三角形的比例定理：同一个平面上的两个相似三角形，只要知道它们两个角的对应边比例，那么它们其他的边的比例也可以由此求出。
三、性质
1、锐角相似三角形的性质：两个锐角相似的三角形，它们的锐角相同，其余两个角也相同。
2、直角相似三角形的性质：两个直角相似的三角形，它们的直角相同，其余两个角也相同。
3、相似三角形中边及面积之间的关系：两个三角形相似，那么它们的三个边比例也一定是相等的，两个三角形的面积之比等于它们两个侧面的比例之平方。
四、进一步推广
1、直线及平面之间的相似：两条线段之间也有相似性，即它们的比例也可以求出，同样的，两个平面也有相似性，它们的比例也可以求出。
2、圆锥及圆柱之间的相似：圆锥和圆柱是两种各有特点的几何体，它们之间当然也有相似性，它们的比例也可以求出。
3、圆面积的相似：圆的面积之比可以求出。
(完整版)相似三角形基本知识点+经典例题(完美打印版)
相似三角形知识点与经典题型知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念（1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nmb a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。
（2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b=．②()a ca b c d b d==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad =。
（3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB．即AC BC AB AC ==简记为：12长短＝＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。
黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）（1） 基本性质：①bc ad d c b a =⇔=::；②2::a b b c b a c =⇔=⋅．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d cb db a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 （3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d b da c=⇔=．（4）合、分比性质：a c abcd b d b d±±=⇔=．注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc dc b a b a c cd a a b d c b a 等等．（5）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nm f e d c b a ΛΛ，那么b an f d b m e c a =++++++++ΛΛ．注：①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：ba f db ec a f ed c b a fe d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ． 知识点4 比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或注：①重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边．．．．．．与原三角形三边．．．．．．对应成比例.②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.③平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等.注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。
《相似三角形的性质》 知识清单
《相似三角形的性质》知识清单相似三角形是初中数学中的重要知识点，具有许多独特的性质。
掌握这些性质对于解决相关的几何问题具有关键作用。
下面我们就来详细梳理一下相似三角形的性质。
一、相似三角形的定义如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形就叫做相似三角形。
二、相似三角形的判定方法1、两角对应相等的两个三角形相似。
2、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
3、三边对应成比例的两个三角形相似。
三、相似三角形的性质1、对应角相等相似三角形的对应角是相等的。
例如，如果三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'，那么∠A ＝∠A'，∠B ＝∠B'，∠C ＝∠C'。
2、对应边成比例相似三角形的对应边是成比例的。
即如果三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'，那么 AB/A'B' ＝ BC/B'C' ＝ AC/A'C'。
3、对应高的比等于相似比相似三角形对应高的比等于相似比。
设三角形 ABC 相似于三角形A'B'C'，AD 和 A'D'分别是它们的高，那么 AD/A'D' ＝相似比。
4、对应中线的比等于相似比相似三角形对应中线的比等于相似比。
中线是连接三角形一个顶点和它所对边中点的线段。
5、对应角平分线的比等于相似比相似三角形对应角平分线的比等于相似比。
角平分线将一个角平均分成两个相等的角。
6、周长的比等于相似比两个相似三角形的周长比等于它们的相似比。
若三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'，其相似比为 k，则三角形 ABC 的周长与三角形A'B'C'的周长之比也为 k。
7、面积的比等于相似比的平方相似三角形面积的比等于相似比的平方。
假设三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'，相似比为 k，那么它们面积的比为 k²。
相似三角形知识点整理精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版相似三角形知识点整理重点、难点分析：1、相似三角形的判定性质是本节的重点也是难点．2、利用相似三角形性质判定解决实际应用的问题是难点。
☆内容提要☆ 一、本章的两套定理第一套（比例的有关性质）：涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。
第二套：二、有关知识点： 1.相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。
3.相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。
4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三反比性质：cda b = 更比性质：dbc a a c bd ==或 合比性质：ddc b b a ±=± ⇒=⇔=bc ad d c b a （比例基本定理） ban d b m c a n d b n m d c b a =++++++⇒≠+++=== :)0(等比性质 相似基本定理 推论(骨干定理)平行线分线段成比例定理(基本定理)应用于△中 相似三角形定理1定理2 定理3 Rt △ 推论推论的逆定理推论角形相似。
5.相似三角形的判定定理：(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：类型斜三角形直角三角形全等三角形的判定SAS SSS AAS（ASA）HL相似三角形的判定两边对应成比例夹角相等三边对应成比例两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。
6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
《相似三角形》知识学习总结要点归纳
《相似三角形》知识点归纳
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所谓的相似三角形,就是它们的形状相同,但大小不一样,然而只要其形状相同,不论大小怎样改变他们都相似,所以就叫做相似三角形。
三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。
相似三角形的判定方法有：
平行与三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似，
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似，
如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似，
如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似，
直角三角形相似判定定理1：斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
直角三角形相似判定定理2：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。
射影定理
相似三角形的性质
.相似三角形的一切对应线段的比等于相似比。
2.相似三角形周长的比等于相似比。
3.相似三角形面积的比等于相似比的平方
以上就是xx教育网为大家带来的人教版初三数学，希望大家能够熟练掌握这些知识点，这样考试的时候就能熟练运用，从而取得好的成绩。
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中考复习相似三角形的性质与判定
中考复习相似三角形的性质与判定相似三角形是中考数学中的重要内容之一。
在几何学中，相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的两个或多个三角形。
掌握相似三角形的性质与判定方法对于解题有着重要的作用。
本文将详细介绍中考复习相似三角形的性质与判定方法，帮助同学们更好地应对考试。
一、相似三角形的性质1. 对应角相等性质：如果两个三角形的对应角分别相等，则这两个三角形是相似的。
即如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，则△ABC∽△DEF。
2. 对应边成比例性质：如果两个三角形的对应边的比值相等，则这两个三角形是相似的。
即如果AB/DE=BC/EF=AC/DF，则△ABC∽△DEF。
3. 角平分线定理：如果一条直线分别平分两个三角形的一个内角，并且与该角的两条边相交，则这两个三角形是相似的。
4. 比例线段定理：在一个三角形中，如果一条直线把两边分成相等比例的线段，则这条直线平行于第三边，并且与其他两边成相似比例。
二、相似三角形的判定方法1. 对应角相等判定：当两个三角形的对应角相等时，可以判定这两个三角形是相似的。
2. 三边成比例判定：当两个三角形的三边的比值相等时，可以判定这两个三角形是相似的。
3. 一个角与两边成比例判定：当一个角与另一三角形的两边成比例时，可以判定这两个三角形是相似的。
为了方便判定，通常角与两边的比例用字母表示，例如如果∠A:∠D=AB:DE=AC:DF，可以判定△ABC∽△DEF。
三、相似三角形的应用1. 比较边长：利用相似三角形的性质，可以通过已知三角形的边长比例，求解未知三角形的边长。
2. 测量高度：通过观察两个相似三角形的边长比例，可以测量难以到达的高度，例如房屋或者某一地标的高度。
3. 解决实际问题：相似三角形在实际问题中有着广泛的应用，例如通过测量手机的高度与距离，可以计算出高楼的实际高度。
总结：相似三角形的性质与判定方法是中考数学中的重要知识点，对于解决与比例相关的数学题目有着重要的作用。
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中考要求板块考试要求A级要求B级要求C级要求相似三角形了解相似三角形掌握相似三角形的概念，判定及性质，以及掌握相关的模型会运用相似三角形相关的知识解决有关问题知识点睛、相似的有关概念1 •相似形具有相同形状的图形叫做相似形•相似形仅是形状相同，大小不一定相同•相似图形之间的互相变换称为相似变换.2 •相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等.3. 相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例.、相似三角形的概念1. 相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形.如图，△ ABC与厶ABC相似，记作△ ABCABC，符号s读作相似于”2•相似比相似三角形对应边的比叫做相似比.全等三角形的相似比是1.全等三角形”一定是相似形” 相似形”不一定是全等形”、相似三角形的性质1.相似三角形的对应角相等如图，△ ABC与厶ABC相似，则有A A , B B , C C .2 •相似三角形的对应边成比例△ ABC与厶ABC相似，则有-AB BC AC k（k为相似比）AB BC AC3•相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比.如图1,△ ABC与厶ABC相似，AM是厶ABC中BC边上的中线，AM 是厶ABC中BC边上的中线, 则有上邑匹竺k上也（k 为相似比）.AB BC AC AM如图则有2, △ ABC与厶ABC相似,AB BC AC kAB BC AC AHAH3, △ ABC 与厶ABC分线，则有2AB -BCAB BC AC如图相似,AC k1AH是△ ABC中BC边上的高线，AH是厶ABC中BC边上的高线，（k为相似比）.AD是厶ABC中BAC的角平分线，AD是厶ABC 竺（k为相似比）.AD图2中BAC的角平4. 相似三角形周长的比等于相似比.如图4, △ ABC与厶ABC相似, 则有AB BC ACkAB B C AC（k为相似比）.应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACAB BC AC AB BC A C5•相似三角形面积的比等于相似比的平方.四、相似三角形的判定1 •平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.2 •如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似•可简单说成：两 角对应相等，两个三角形相似.3 •如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.4. 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似.可简单地说成：三 边对应成比例，两个三角形相似.5. 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这 两个直角三角形相似. 6 •直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7 •如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如 果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似.五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有三点定形法”.1 .横向定型法AB BC欲证一一 —一，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB 和BC ,三个字母A , B , C 恰为△ ABC 的顶BE BF点；分母的两条线段是 BE 和BF ,三个字母B , E , F 恰为△ BEF 的三个顶点.因此只需证 △ ABCEBF •2. 纵向定型法欲证一一 匹，纵向观察，比例式左边的比 AB 和BC 中的三个字母 A , B , C 恰为△ ABC 的顶点；右边的 BC EF 比两条线段是 DE 和EF 中的三个字母 D , E , F 恰为A DEF 的三个顶点.因此只需证 △ ABC DEF .AH 是厶ABC 中BC 边上的高线,则有ABBC AC k AH （ k 为相似比） .进而可得比ABCABBCACAHABC-BC AH BC 2BC 空k 2•AH如图5, △ ABC 与厶ABC 相似，AH 是厶ABC 中BC 边上的高线,如图:S A ABCACD 1BC AH21CD AH2BCCD如图：SA ABC12BC AHAHSA BCD1BC DG DG2S A ABD S A ABD S A AED AB AD AB AD SA ACESA AEDSA ACEAE AC AE AC3. 中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形•这种方法就是等量代换法•在证明比例式时，常用到中间比.比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。
这类问题的典型模型是射影定理模型，模型的特征和结论要熟练掌握和透彻理解.倒数式的证明，往往需要先进行变形，将等式的一边化为1另一边化为几个比值和的形式，然后对比值进行等量代换，进而证明之.复合式的证明比较复杂•通常需要进行等线代换（对线段进行等量代换），等比代换，等积代换，将复合式转化为基本的比例式或等积式，然后进行证明.六、相似证明中常见辅助线的作法在相似的证明中，常见的辅助线的作法是做平行线构造成比例线段或相似三角形, 要证明的结论•常见的等量代换包括等线代换、等比代换、等积代换等.如图：AD平分BAC交BC于D，求证：匹AB .DC AC同时再结合等量代换得到1 E ,23 .1 2 , / -3 E . •AC AEAD II CE , • BD BA BADC BE AC点评：做平行线构造成比例线段，利用了“A'型图的基本模型.证法二；过B作AC的平行线，交AD的延长线于E .••• 1 2 E , ••• AB BE .••• BE II AC ,BDDC BE AB AC AC点评：做平行线构造成比例线段，利用了“ X型图的基本模型.七、相似证明中的面积法面积法主要是将面积的比，和线段的比进行相互转化来解决问题. 常用的面积法基本模型如下：证法一：过C作CE II AD，交BA的延长线于E .CAOOD如图:图3：燕尾”型八、相似证明中的基本模型目""归例题精讲、与三角形有关的相似问题【例1】如图，在△ABC中，AC AB，点D在AC边上，若在增加一个条件就能使A ABC ACB，则这个精品文档条件可以是【巩固】如图，在ABC中，AD BC于D，CE AB于E，ABC的面积是BDE面积的4倍，AC 6，求DE 的长•则PB【巩固】如图, D、E是ABC的边AC、AB上的点，且AD AC AE AB ,求证:【例2】如图，△ ABC中, ABC 60，点P是厶ABC内一点，使得APB BPC CPA，PA 8，PC 6，【巩固】如图，已知三个边长相等的正方形相邻并排，求EBF EBG .【例3】如图，已知ABC 中,AE: EB 1:3 ,BC:CD 2:1 ,AD与CE相交于F ,则圧旦匚的值为（）FC FD5 3A. 一B.1C.—D.22 2ADE B .【巩固】如图， M 、N ABC 边BC 上的两点，且满足 BM MN NC ，一条平行于 AC 的直线分别交 AB 、AM 和AN 的延长线于点 D 、E 和F . 求证：EF 3DE .1 1 1 AB CD EF【巩固】在ABC 中，BD CE , DE 的延长线交 BC 的延长线于 P , 【例4】 如图，已知 AB//EF//CD ，若 AB a ，CD b ，EF c ，求证:【巩固】 如图,AB BD ，CD BD ，垂足分别为 B 、D ，AC 和BD 相交于点 E ，EF BD ，垂足为F •证明:求证：AD BP AE CP .【巩固】如图，已知 AB//EF//CD ，找出S ABD 、S BED 、S BCD 之间的关系，并证明你的结论【例6】 如图， ABC 中，BC a ，若D i ，曰分别是AB , AC 的中点，贝U D i E i 丄a;2【例5】 如图，在四边形ABCD 中,AC 与BD 相交于点0 ,直线I 平行于BD ，且与AB 、DC 、BC 、AD及AC 的延长线分别相交于点 MN 、R 、S 和 P .求证：PM PN PR PS【巩固】已知，如图，四边形ABCD ，两组对边延长后交于证：EG GF .【考点】相似三角形的性质与判定 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】E 、F ,对角线BD II EF , AC 的延长线交 EF 于G •求CA1a 3若D2、E2分别是D i B、E i C的中点，则D2E2 2 2 a 4a；1 3 7若Di E3分别是D2B、E2C的中点，则D3E3 - 4a a -a ；若D n、E n分别是D n-i B 巳-i C的中点，贝U D n E n __________________ ,【例7】如图，△ ABC内有一点P，过P作各边的平行线，把△ ABC分成三个三角形和三个平行四边形.若三个三角形的面积S i , S2, S3分别为1 , 1 , 2，则△ ABC的面积是________________【巩固】如图，梯形ABCD中，AD II BC，两条对角线AC、BD相交于0 ,若S^AOD£△ COB 1:9，那么【例8】如图，梯形ABCD的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别为p2, q2，则梯形的面积是( )2 22A . 2p qB . p q2 22222p qC. p q pq D . P q 2 22 2 p q、与平行四边形有关的相似问题【例9】如图，已知平行四边形ABCD中，过点B的直线顺次与AC、AD及CD的延长线相交于点E、F、G ,若BE 5，EF 2，贝U FG的长是如图，已知DE II AB , OA2 OC OE，求证：AD II BC .【巩固】如图：矩形ABCD的面积是36，在AB , AD边上分别取点E , F，使得AE 3EB , DF 2AF，且DE 与CF的交点为点O，求FOD的面积。
S\ BOC :DOC【巩固】【例10】如图，YABCD的对角线相交于点O ,在AB的延长线上任取一点AB a , AD c , BE b ,求BF 的值.E，连接OE交BC于点，若、与梯形有关的相似冋题【例11】 已知：如图，在梯形 ABCD 中，AB//CD , M 是AB 的中点，分别连接 AC 、BD 、MD 、MC ，且AC 与MD 交于点E ，DB 与MC 交于F .（1） 求证：EF//CD（2） 若 AB a , CD b ，求 EF 的长•CE 交DF 于Q ，求PQ 的长.A 90 , AB a , AD b , BC 2b (a b ), DE DC , DE 交 AB【巩固】如图，在梯形ABCD 中，AD II BC , AD a , BC b , E , F 分别是AD , BC 的中点，AF 交BE 于P ,【例12】如图，已知梯形ABCD 中，AD//BC ,CD B EA D于点E，连接EC.(1)判断DCE与ADE , DCE与BCE是否分别一定相似，若相似，请加以证明(2)如果不一定相似，请指出a、b满足什么关系时，它们就能相似•四、与内接矩形有关的相似问题【例13】ABC中，正方形EFGH的两个顶点E、BC 15, BC 边上的高AD 10,求S WEFGH•F在BC上，另两个顶点H分别在AC、AB上,【巩固】如图，已知ABC中，AC 3，BC 4， C 90，四边形DEGF为正方形，其中D , E在边AC , BC 上，F , G在AB上，求正方形的边长.【例14】如图，已知ABC中，四边形DEGF为正方形,SADFSCDE1, S BE G 3，求ABC的面积.D , E在线段AC , BC上，F , G在AB上，如果【巩固】如图，在ABC中，AB 5 , BC 3 , AC 4，动点E （与点A , C 不重合）在AC 边上，EF // AB 交BC 于F 点.⑴当 ECF 的面积与四边形 ⑵当ECF 的周长与四边形 ⑶试问在AB 上是否存在点 EABF 的面积相等时，求 CE 的长. EABF 的周长相等时，求 CE 的长.P ，使得 EFP 为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出EF 的长.目1M1宅 课后作业1. 直线DE 与厶ABC 的AB 边相交于点 D ，与AC 边相交于点E ，下列条件：①DE II BC ； AED B ;③AE AC AD AB :④芈 更中，能使△ ADE 与△ ABC 相似的条件有（）AC BCA . 1个B . 2个C . 3个D . 4个如图，在 ABC 的边AB 上取一点D ，在AC 取一点E ，使AD AE ，直线DE 和BC 的延长线相交于 P , 求证：B pBDCP CE3. 已知：P 为 ABC 的中位线 MN 上任意一点，BP 、CP 的延长线分别交对边 AC 、AB 于D 、E ，求证: AD AE1DC EB2.如图，已知在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF EC交AB于F，连接FC ( AB AE ).(1)AEF与ECF是否相似，若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由AB(2)设AB k是否存在这样的k值，使得AEF s BCF，若存在，证明你的结论并求出k值；若不BC存在，说明理由•5. 如图，在梯形ABCD 中，AD II BC , AD 3, BC 9, AB 6,CD 4，若EF II BC，且梯形AEFD 与梯形EBCF的周长相等，求EF的长.6. 如图，已知ABC中，AC 5, AB 11, BC 4 5 ,四边形DEGF为正方形，其中D , E在边AC , BC 上，F , G在AB上，求正方形的边长.4.A n。