人教版高三数学下学期立体几何多选题单元 易错题难题测试综合卷学能测试试卷
高三数学易错立体几何多选题 易错题难题测试综合卷学能测试试题

高三数学易错立体几何多选题 易错题难题测试综合卷学能测试试题一、立体几何多选题1.已知球O 为正方体1111ABCD A B C D -的内切球,平面11A C B 截球O 的面积为24π,下列命题中正确的有( )A .异面直线AC 与1BC 所成的角为60°B .1BD ⊥平面11AC B C .球O 的表面积为36πD .三棱锥111B AC B -的体积为288 【答案】AD 【分析】连接11A C ,1A B ,通过平移将AC 与1BC 所成角转化为11A C 与1BC 所成角可判断A ;通过反证法证明B ;由已知平面11A C B 截球O 的面积为24π求出正方体棱长,进而求出内切球的表面积可判断C ;利用等体积法可求得三棱锥111B AC B -的体积可判断D. 【详解】对于A ,连接11A C ,1A B ,由正方体1111ABCD A B C D -,可知11//A C AC ,11AC B ∴∠为异面直线AC 与1BC 所成的角,设正方体边长为a,则1111AC A B BC ==,由等边三角形知1160A C B ∠=,即异面直线AC 与1BC 所成的角为60,故A 正确; 对于B ,假设1BD ⊥平面11A C B ,又1A B ⊂平面11A C B ,则11BD B A ⊥,设正方体边长为a ,则11A D a =,1A B =,1BD =,由勾股定理知111A D B A ⊥,与假设矛盾,假设不成立,故1BD 不垂直于平面11A C B ,故B 错误; 对于C ,设正方体边长为a,则11AC =,内切球半径为2a,设内切球的球心O 在面11A C B 上的投影为O ',由等边三角形性质可知O '为等边11A C B △的重心,则11123233O A AC a ='=⨯=,又12OA a =,∴球心O 到面11A C B 的距离6a ==,又球心与截面圆心的连线垂直于截面,∴=,又截面圆的面积2246S a ππ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭=,解得12a =,则内切球半径为6,内切球表面积214644S ππ==⨯,故C 错误;对于D ,由等体积法知111111111111212122812383B A C B B A C B A C B V V S a --==⨯⨯=⨯⨯=,故D 正确; 故选:AD【点睛】关键点点睛:本题考查了正方体和它的内切球的几何结构特征,关键是想象出截面图的形状,从而求出正方体的棱长,进而求出内切球的表面积及三棱锥的体积,考查了空间想象能力,数形结合的思想,属于较难题.2.在长方体1111ABCD A B C D -中,4AB BC ==,18AA =,点P 在线段11A C 上,M 为AB 的中点,则( ) A .BD ⊥平面PACB .当P 为11AC 的中点时,四棱锥P ABCD -外接球半径为72C .三棱锥A PCD -体积为定值D .过点M 作长方体1111ABCD A B C D -的外接球截面,所得截面圆的面积的最小值为4π 【答案】ACD 【分析】利用线面垂直的判定定理可判断A 选项的正误;判断出四棱锥P ABCD -为正四棱锥,求出该四棱锥的外接球半径,可判断B 选项的正误;利用等体积法可判断C 选项的正误;计算出截面圆半径的最小值,求出截面圆面积的最小值,可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项,因为AB BC =,所以,矩形ABCD 为正方形,所以,BD AC ⊥, 在长方体1111ABCD A B C D -中,1AA ⊥底面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,1BD AA ∴⊥,1AC AA A ⋂=,AC 、1AA ⊂平面PAC ,所以,BD ⊥平面PAC ,A 选项正确;对于B 选项,当点P 为11A C 的中点时,()22221182262PA AA PA =+=+=同理可得PB PC PD ===因为四边形ABCD 为正方形,所以,四棱锥P ABCD -为正四棱锥, 取AC 的中点N ,则PN 平面ABCD ,且四棱锥P ABCD -的外接球球心在直线PN上,设该四棱锥的外接球半径为R ,由几何关系可得222PN R AN R -+=, 即2288R R -+=,解得92R =,B 选项错误; 对于C 选项,2114822ACDSAD CD =⋅=⨯=, 三棱锥P ACD -的高为18AA =,因此,116433A PCD P ACD ACD V V S AA --==⋅=△,C 选项正确;对于D 选项,设长方体1111ABCD A B C D -的外接球球心为E ,则E 为1BD 的中点, 连接EN 、MN ,则1142EN DD ==,122MN AD ==, E 、N 分别为1BD 、BD 的中点,则1//EN DD , 1DD ⊥平面ABCD ,EN ∴⊥平面ABCD ,MN ⊂平面ABCD ,EN MN ∴⊥,EM ∴==过点M 作长方体1111ABCD A B C D -的外接球截面为平面α,点E 到平面α的距离为d ,直线EM 与平面α所成的角为θ,则sin d EM θθ==≤ 当且仅当2πθ=时,等号成立,长方体1111ABCD A B C D -的外接球半径为R '==,所以,截面圆的半径2r =≥=,因此,截面圆面积的最小值为4π,D 选项正确.故选:ACD. 【点睛】方法点睛:求空间多面体的外接球半径的常用方法:①补形法:侧面为直角三角形,或正四面体,或对棱二面角均相等的模型,可以还原到正方体或长方体中去求解;②利用球的性质:几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径,也即球的直径; ③定义法:到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心,借助有特殊性底面的外接圆圆心,找其垂线,则球心一定在垂线上,再根据带其他顶点距离也是半径,列关系求解即可.3.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,点O 为11A D 的中点,若以O 6为半径的球面与正方体1111ABCD A B C D -的棱有四个交点E ,F ,G ,H ,则下列结论正确的是( )A .11//A D 平面EFGHB .1AC ⊥平面EFGHC .11A B 与平面EFGH 所成的角的大小为45°D .平面EFGH 将正方体1111ABCD A B C D -分成两部分的体积的比为1:7 【答案】ACD 【分析】如图,计算可得,,,E F G H 分别为所在棱的中点,利用空间中点线面的位置关系的判断方法可判断A 、B 的正确与否,计算出直线AB 与平面EFGH 所成的角为45︒后可得C 正确,而几何体BHE CGF -为三棱柱,利用公式可求其体积,从而可判断D 正确与否. 【详解】如图,连接OA ,则2115OA AA =+=,故棱1111,,,A A A D D D AD 与球面没有交点.同理,棱111111,,A B B C C D 与球面没有交点. 因为棱11A D 与棱BC 之间的距离为26>BC 与球面没有交点.因为正方体的棱长为2,而26<球面与正方体1111ABCD A B C D -的棱有四个交点E ,F ,G ,H , 所以棱11,,,AB CD C C B B 与球面各有一个交点, 如图各记为,,,E F G H .因为OAE △为直角三角形,故22651AE OE OA -=-=,故E 为棱AB 的中点. 同理,,F G H 分别为棱11,,CD C C B B 的中点.由正方形ABCD 、,E F 为所在棱的中点可得//EF BC , 同理//GH BC ,故//EF GH ,故,,,E F G H 共面. 由正方体1111ABCD A B C D -可得11//A D BC ,故11//A D EF因为11A D ⊄平面EFGH ,EF ⊂平面EFGH ,故11//A D 平面EFGH ,故A 正确. 因为在直角三角1BA C 中,122A B =2BC = ,190A BC ∠=︒, 1A C 与BC 不垂直,故1A C 与GH 不垂直,故1A C ⊥平面EFGH 不成立,故B 错误.由正方体1111ABCD A B C D -可得BC ⊥平面11AA B B ,而1A B ⊂平面11AA B B , 所以1BC A B ⊥,所以1EF A B ⊥在正方形11AA B B 中,因为,E H 分别为1,AB BB 的中点,故1EH A B ⊥, 因为EFEH E =,故1A B ⊥平面EFGH ,所以BEH ∠为直线AB 与平面EFGH 所成的角,而45BEH ∠=︒, 故直线AB 与平面EFGH 所成的角为45︒,因为11//AB A B ,故11A B 与平面EFGH 所成的角的大小为45°.故C 正确. 因为,,,E F G H 分别为所在棱的中点,故几何体BHE CGF -为三棱柱, 其体积为111212⨯⨯⨯=,而正方体的体积为8,故平面EFGH 将正方体1111ABCD A B C D -分成两部分的体积的比为1:7,故D 正确. 故选:ACD. 【点睛】本题考查空间中线面位置的判断、空间角的计算和体积的计算,注意根据球的半径确定哪些棱与球面有交点,本题属于中档题.4.已知直三棱柱111ABC A B C -中,AB BC ⊥,1AB BC BB ==,D 是AC 的中点,O 为1A C 的中点.点P 是1BC 上的动点,则下列说法正确的是( )A .当点P 运动到1BC 中点时,直线1A P 与平面111ABC 5 B .无论点P 在1BC 上怎么运动,都有11A P OB ⊥C .当点P 运动到1BC 中点时,才有1A P 与1OB 相交于一点,记为Q ,且113PQ QA = D .无论点P 在1BC 上怎么运动,直线1A P 与AB 所成角都不可能是30° 【答案】ABD 【分析】构造线面角1PA E ∠,由已知线段的等量关系求1tan EPPA E AE∠=的值即可判断A 的正误;利用线面垂直的性质,可证明11A P OB ⊥即可知B 的正误;由中位线的性质有112PQ QA =可知C 的正误;由直线的平行关系构造线线角为11B A P ∠,结合动点P 分析角度范围即可知D 的正误 【详解】直三棱柱111ABC A B C -中,AB BC ⊥,1AB BC BB ==选项A 中,当点P 运动到1BC 中点时,有E 为11B C 的中点,连接1A E 、EP ,如下图示即有EP ⊥面111A B C∴直线1A P 与平面111A B C 所成的角的正切值:1tan EPPA E AE∠= ∵112EP BB =,22111152AE A B B E BB =+= ∴15tan PA E ∠=,故A 正确选项B 中,连接1B C ,与1BC 交于E ,并连接1A B ,如下图示由题意知,11B BCC 为正方形,即有11B C BC ⊥而AB BC ⊥且111ABC A B C -为直三棱柱,有11A B ⊥面11B BCC ,1BC ⊂面11B BCC ∴111A B BC ⊥,又1111A B B C B =∴1BC ⊥面11A B C ,1OB ⊂面11A B C ,故11BC OB ⊥ 同理可证:11A B OB ⊥,又11A B BC B ⋂=∴1OB ⊥面11A BC ,又1A P ⊂面11A BC ,即有11A P OB ⊥,故B 正确选项C 中,点P 运动到1BC 中点时,即在△11A B C 中1A P 、1OB 均为中位线∴Q为中位线的交点∴根据中位线的性质有:112PQQA=,故C错误选项D中,由于11//A B AB,直线1A P与AB所成角即为11A B与1A P所成角:11B A P∠结合下图分析知:点P在1BC上运动时当P在B或1C上时,11B A P∠最大为45°当P在1BC中点上时,11B A P∠最小为23arctan30>=︒∴11B A P∠不可能是30°,故D正确故选:ABD【点睛】本题考查了利用射影定理构造线面角,并计算其正弦值;利用线面垂直证明线线垂直;中位线的性质:中位线交点分中位线为1:2的数量关系;由动点分析线线角的大小5.已知正方体1111ABCD A B C D-棱长为2,如图,M为1CC上的动点,AM⊥平面α.下面说法正确的是()A .直线AB 与平面α所成角的正弦值范围为322⎣⎦B .点M 与点1C 重合时,平面α截正方体所得的截面,其面积越大,周长就越大 C .点M 为1CC 的中点时,若平面α经过点B ,则平面α截正方体所得截面图形是等腰梯形D .已知N 为1DD 中点,当AM MN +的和最小时,M 为1CC 的中点 【答案】AC 【分析】以点D 为坐标原点,DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -,利用空间向量法可判断A 选项的正误;证明出1AC ⊥平面1A BD ,分别取棱11A D 、11A B 、1BB 、BC 、CD 、1DD 的中点E 、F 、Q 、N 、G 、H ,比较1A BD 和六边形EFQNGH 的周长和面积的大小,可判断B 选项的正误;利用空间向量法找出平面α与棱11A D 、11A B 的交点E 、F ,判断四边形BDEF 的形状可判断C 选项的正误;将矩形11ACC A 与矩形11CC D D 延展为一个平面,利用A 、M 、N 三点共线得知AM MN +最短,利用平行线分线段成比例定理求得MC ,可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项,以点D 为坐标原点,DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -,则点()2,0,0A 、()2,2,0B 、设点()()0,2,02M a a ≤≤,AM ⊥平面α,则AM 为平面α的一个法向量,且()2,2,AM a =-,()0,2,0AB =, 2232cos ,,32288AB AM AB AM AB AMa a ⋅<>===⎢⋅⨯++⎣⎦, 所以,直线AB 与平面α所成角的正弦值范围为32⎣⎦,A 选项正确; 对于B 选项,当M 与1CC 重合时,连接1A D 、BD 、1A B 、AC , 在正方体1111ABCD A B C D -中,1CC ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,1BD CC ∴⊥,四边形ABCD 是正方形,则BD AC ⊥,1CC AC C =,BD ∴⊥平面1ACC ,1AC ⊂平面1ACC ,1AC BD ∴⊥,同理可证11AC A D ⊥, 1A D BD D ⋂=,1AC ∴⊥平面1A BD ,易知1A BD 是边长为22(12322234A BD S =⨯=△为22362=.设E 、F 、Q 、N 、G 、H 分别为棱11A D 、11A B 、1BB 、BC 、CD 、1DD 的中点,易知六边形EFQNGH 是边长为2的正六边形,且平面//EFQNGH 平面1A BD , 正六边形EFQNGH 的周长为62,面积为()236233⨯⨯=,则1A BD 的面积小于正六边形EFQNGH 的面积,它们的周长相等,B 选项错误; 对于C 选项,设平面α交棱11A D 于点(),0,2E b ,点()0,2,1M ,()2,2,1AM =-,AM ⊥平面α,DE ⊂平面α,AM DE ∴⊥,即220AM DE b ⋅=-+=,得1b =,()1,0,2E ∴,所以,点E 为棱11A D 的中点,同理可知,点F 为棱11A B 的中点,则()2,1,2F ,()1,1,0EF =,而()2,2,0DB =,12EF DB ∴=,//EF DB ∴且EF DB ≠, 由空间中两点间的距离公式可得2222015DE =++=()()()2222212205BF =-+-+-=,DE BF ∴=,所以,四边形BDEF 为等腰梯形,C 选项正确;对于D 选项,将矩形11ACC A 与矩形11CC D D 延展为一个平面,如下图所示:若AM MN +最短,则A 、M 、N 三点共线,11//CC DD ,2222222MC AC DN AD ∴===+, 11222MC CC =≠,所以,点M 不是棱1CC 的中点,D 选项错误.故选:AC. 【点睛】本题考查线面角正弦值的取值范围,同时也考查了平面截正方体的截面问题以及折线段长的最小值问题,考查空间想象能力与计算能力,属于难题.6.在边长为2的等边三角形ABC 中,点,D E 分别是边,AC AB 上的点,满足//DE BC 且AD ACλ=,(()01λ∈,),将ADE 沿直线DE 折到A DE '△的位置.在翻折过程中,下列结论不成立的是( )A .在边A E '上存在点F ,使得在翻折过程中,满足//BF 平面A CD 'B .存在102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,,使得在翻折过程中的某个位置,满足平面A BC '⊥平面BCDEC .若12λ=,当二面角A DE B '--为直二面角时,||104A B '= D .在翻折过程中,四棱锥A BCDE '-体积的最大值记为()f λ,()f λ23【答案】ABC 【分析】对于A.在边A E '上点F ,在A D '上取一点N ,使得//FN ED ,在ED 上取一点H ,使得//NH EF ,作//HG BE 交BC 于点G ,即可判断出结论.对于B ,102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,,在翻折过程中,点A '在底面BCDE 的射影不可能在交线BC 上,即可判断出结论.对于C ,12λ=,当二面角A DE B '--为直二面角时,取ED 的中点M ,可得AM ⊥平面BCDE .可得22A B AM BM '=+,结合余弦定理即可得出.对于D.在翻折过程中,取平面AED ⊥平面BCDE ,四棱锥A BCDE '-体积()3133BCDE f S λλλλ=⋅⋅=-,()01λ∈,,利用导数研究函数的单调性即可得出.【详解】对于A.在边A E '上点F ,在A D '上取一点N ,使得//FN ED ,在ED 上取一点H ,使得//NH EF ,作//HG BE 交BC 于点G ,如图所示,则可得FN 平行且等于BG ,即四边形BGNF 为平行四边形, ∴//NG BE ,而GN 始终与平面ACD 相交,因此在边A E '上不存在点F ,使得在翻折过程中,满足//BF 平面A CD ',A 不正确.对于B ,102λ∈⎛⎫ ⎪⎝⎭,,在翻折过程中,点A '在底面BCDE 的射影不可能在交线BC 上,因此不满足平面A BC '⊥平面BCDE ,因此B 不正确. 对于C.12λ=,当二面角A DE B '--为直二面角时,取ED 的中点M ,如图所示:可得AM ⊥平面BCDE , 则22223111010()1()21cos12022224A B AM BM '=+=++-⨯⨯⨯︒=≠,因此C 不正确;对于D.在翻折过程中,取平面AED ⊥平面BCDE ,四棱锥A BCDE '-体积()3133BCDE f S λλλλ=⋅⋅=-,()01λ∈,,()213f λλ'=-,可得33λ=时,函数()f λ取得最大值()31231339f λ⎛⎫=-=⎪⎝⎭,因此D 正确. 综上所述,不成立的为ABC. 故选:ABC. 【点睛】本题考查了利用运动的观点理解空间线面面面位置关系、四棱锥的体积计算公式、余弦定理、利用导数研究函数的单调性极值与最值,考查了推理能力空间想象能力与计算能力,属于难题.7.如图,在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,点P 在线段B 1C 上运动,则( )A .直线BD 1⊥平面A 1C 1DB .三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值C .异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[45°,90°] D .直线C 1P 与平面A 1C 1D 6【答案】ABD 【分析】在A 中,推导出A 1C 1⊥BD 1,DC 1⊥BD 1,从而直线BD 1⊥平面A 1C 1D ;在B 中,由B 1C ∥平面 A 1C 1D ,得到P 到平面A 1C 1D 的距离为定值,再由△A 1C 1D 的面积是定值,从而三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值;在C 中,异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[60°,90°];在D 中,以D 为原点,DA 为x 轴,DC 为y 轴,DD 1为z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值的最大值为63. 【详解】解:在A 中,∵A 1C 1⊥B 1D 1,A 1C 1⊥BB 1,B 1D 1∩BB 1=B 1, ∴A 1C 1⊥平面BB 1D 1,∴A 1C 1⊥BD 1,同理,DC 1⊥BD 1, ∵A 1C 1∩DC 1=C 1,∴直线BD 1⊥平面A 1C 1D ,故A 正确; 在B 中,∵A 1D ∥B 1C ,A 1D ⊂平面A 1C 1D ,B 1C ⊄平面A 1C 1D ,∴B 1C ∥平面 A 1C 1D ,∵点P 在线段B 1C 上运动,∴P 到平面A 1C 1D 的距离为定值,又△A 1C 1D 的面积是定值,∴三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值,故B 正确; 在C 中,异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[60°,90°],故C 错误;在D 中,以D 为原点,DA 为x 轴,DC 为y 轴,DD 1为z 轴,建立空间直角坐标系, 设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为1,P (a ,1,a ),则D (0,0,0),A 1(1,0,1),C 1(0,1,1),1DA =(1,0,1),1DC =(0,1,1),1C P =(a ,0,a ﹣1), 设平面A 1C 1D 的法向量(),,n x y z =,则1100n DA x z n DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩,取x =1,得1,1,1n,∴直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值为:11||||||C P n C P n ⋅⋅=22(1)3a a +-⋅=21132()22a ⋅-+, ∴当a =12时,直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值的最大值为63,故D 正确. 故选:ABD .【点睛】求直线与平面所成的角的一般步骤:(1)、①找直线与平面所成的角,即通过找直线在平面上的射影来完成;②计算,要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解; (2)、用空间向量坐标公式求解.8.如图所示,正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1,E ,F 分别是棱AA ',CC '的中点,过直线EF 的平面分别与棱BB ',DD '交于点M ,N ,以下四个命题中正确的是( )A .0MN EF ⋅=B .ME NE =C .四边形MENF 的面积最小值与最大值之比为2:3D .四棱锥A MENF -与多面体ABCD EMFN -体积之比为1:3 【答案】ABD 【分析】证明EF ⊥平面BDD B '',进而得EF MN ⊥,即可得A 选项正确;证明四边形MENF 为菱形即可得B 选项正确;由菱形性质得四边形MENF 的面积12S MN EF =⋅,再分别讨论MN 的最大值与最小值即可;根据割补法求解体积即可. 【详解】对于A 选项,如图,连接BD ,B D '',MN .由题易得EF BD ⊥,EFBB '⊥,BD BB B '⋂=,所以EF ⊥平面BDD B '',又MN ⊂平面BDD B '',所以EF MN ⊥,因此0MN EF ⋅=,故A 正确.对于B 选项,由正方体性质得:平面''//BCC B 平面''ADD A ,平面''BCC B 平面EMFN MF =,平面''ADD A 平面EMFN EN =, 所以//MF EN ,同理得//ME NF ,又EF MN ⊥,所以四边形MENF 为菱形, 因此ME NE =,故B 正确.对于C 选项,由B 易得四边形MENF 的面积12S MN EF =⋅, 所以当点M ,N 分别为BB ',DD '的中点时,四边形MENF 的面积S 最小, 此时2MN EF ==,即面积S 的最小值为1;当点M ,N 分别与点B (或点B '),D (或D )重合时,四边形MENF 的面积S 最大,此时3MN =,即面积S 的最大值为6, 所以四边形MENF 的面积最小值与最大值之比为2:6,故C 不正确. 对于D 选项,四棱锥A MENF -的体积1112123346M AEF N AEF AEF V V V DB S --=+=⋅=⨯⨯=△; 因为E ,F 分别是AA ',CC '的中点,所以BM D N '=,DN B M '=,于是被截面MENF 平分的两个多面体是完全相同的,则它们的体积也是相同的,因此多面体ABCD EMFN -的体积21122ABCD A B C D V V ''''-==正方体,所以四棱锥A MENF -与多面体ABCD EMFN -体积之比为1:3,故D 正确. 故选:ABD .【点睛】本题考查立体几何与向量的综合、截面面积的最值、几何体的体积,考查空间思维能力与运算求解能力,是中档题.本题解题的关键在于证明四边形MENF 为菱形,利用割补法将四棱锥A MENF -的体积转化为三棱锥M AEF - 和N AEF -的体积之和,将多面体ABCD EMFN -的体积转化为正方体的体积的一半求解.。
人教版高三数学第二学期立体几何多选题单元 易错题专项训练检测试卷

人教版高三数学第二学期立体几何多选题单元 易错题专项训练检测试卷一、立体几何多选题1.已知正方体1111 ABCD A B C D -的棱长为2,M 为1DD 的中点,N 为正方形ABCD 所在平面内一动点,则下列命题正确的有( )A .若2MN =,则MN 的中点的轨迹所围成图形的面积为πB .若N 到直线1BB 与直线DC 的距离相等,则N 的轨迹为抛物线C .若1D N 与AB 所成的角为3π,则N 的轨迹为双曲线 D .若MN 与平面ABCD 所成的角为3π,则N 的轨迹为椭圆 【答案】BC【分析】对于A ,连接MN ,ND ,DP ,得到直角MDN △,且P 为斜边MN 的中点,所以1PD =,进而得到P 点的轨迹为球面的一部分,即可判断选项A 错误;对于B ,可知1NB BB ⊥,即NB 是点N 到直线1BB 的距离,在平面ABCD 中,点N 到定点B 的距离与到定直线DC 的距离相等,利用抛物线定义知B 正确;对于C ,建立空间直角坐标系,设(,,0)N x y ,利用空间向量求夹角知122121cos 3224D N AByx y D N AB π⋅===⨯++⋅,化简可知N 的轨迹为双曲线;对于D ,MN 与平面ABCD 所成的角为3MND π∠=,3ND =,可知N 的轨迹是以D 为圆心,33为半径的圆周; 【详解】 对于A ,如图所示,设P 为MN 的中点,连接MN ,ND ,DP ,由正方体性质知MDN △为直角三角形,且P 为MN 的中点,2MN =,根据直角三角形斜边上的中线为斜边的一半,知MDN △不管怎么变化,始终有1PD =,即P 点的轨迹与正方体的面围城的几何体是一个以D 为球心,1为半径的球的18,其面积214182S ππ=⨯⨯=,故A 错误;对于B ,由正方体性质知,1BB ⊥平面ABCD 由线面垂直的性质定理知1NB BB ⊥,即NB 是点N 到直线1BB 的距离,在平面ABCD 中,点N 到定点B 的距离与到定直线DC 的距离相等,所以点N 的轨迹是以点B 为焦点,直线DC 为准线的抛物线,故B 正确; 对于C ,如图以D 为直角坐标系原点,建立空间直角坐标系,(,,0)N x y ,1(0,0,2)D ,(0,2,0)A ,(2,2,0)B ,则1(,,2)D N x y =-,(0,2,0)AB =,利用空间向量求夹角知122121cos 3224D N AByx y D N AB π⋅===⨯++⋅,化简整理得:2234y x -=,即221443y x -=,所以N 的轨迹为双曲线,故C 正确;对于D ,由正方体性质知,MN 与平面ABCD 所成的角为MND ∠,即3MND π∠=,在直角MDN △中,3ND =,即N 的轨迹是以D 3D 错误; 故选:BC【点睛】 关键点睛:本题考查立体几何与解析几何的综合,解题的关键是抓住解析几何几种特殊曲线的定义,考查学生的逻辑推理能力,转化与划归能力与运算求解能力,属于难题.2.一副三角板由一块有一个内角为60°的直角三角形和一块等腰直角三角形组成,如图所示,090B F ∠=∠=,0060,45,A D BC DE ∠=∠==,现将两块三角形板拼接在一起,得三棱锥F CAB -,取BC 中点O 与AC 中点M ,则下列判断中正确的是( )A .BC FM ⊥B .AC 与平面MOF 3C .平面MOF 与平面AFB 所成的二面角的平面角为45°D .设平面ABF平面MOF l =,则有//l AB 【答案】AD【分析】证明BC ⊥面FOM 可判断A ;根据AC 与平面MOF 所成的角为060CMO ∠=判断B ;利用特殊位置判断C ;先证明//AB 面MOF ,由线面平行的性质定理可判断D ;【详解】由三角形中位线定理以及等腰三角形的性质可得,,BC OF BC OM OMOF O ⊥⊥=,所以BC ⊥面FOM BC FM ⇒⊥,故A 正确;因为BC ⊥面FOM ,所以AC 与平面MOF 所成的角为060CMO ∠=,所以余弦值为12,故B 错误; 对于C 选项可以考虑特殊位置法,由BC ⊥面FOM 得面ABC ⊥面FOM ,所以点F 在平面ABC 内的射影在直线OM 上,不妨设点F 平面ABC 内的射影为M ,过点M 作//BC MN ,连结NF .易证AB ⊥面MNF ,则l ⊥面MNF ,所以MFN ∠为平面MOF 与平面AFB 所成的二面角的平面角,不妨设2AB =,因为060A ,所以23BC =,则13,12OF BC OM ===,显然MFN ∠不等于45°,故C 错误. 设面MOF 与平面ABF 的交线为l ,又因为//,AB OM AB ⊄面MOF ,OM ⊂面MOF ,所以//AB 面MOF ,由线面平行的性质定理可得://l AB ,故D 正确; 故选:AD.【点睛】方法点睛:求直线与平面所成的角有两种方法:一是传统法,证明线面垂直找到直线与平面所成的角,利用平面几何知识解答;二是利用空间向量,求出直线的方向向量以及平面的方向向量,利用空间向量夹角余弦公式求解即可.3.如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3,点E ,F 分别在1CC ,1BB 上,12C E EC →→=,12BF FB →→=.动点M 在侧面11ADD A 内(包含边界)运动,且满足直线//BM 平面1D EF ,则( )A .过1D ,E ,F 的平面截正方体所得截面为等腰梯形B .三棱锥1D EFM -的体积为定值C .动点M 10D .过B ,E ,M 的平面截正方体所得截面面积的最小值为10【答案】BCD【分析】由题做出过1D ,E ,F 的平面截正方体所得截面为梯形1D EFN ,进而计算即可排除A 选项;根据//BM 平面1D EF ,由等体积转化法得1111D EFM M D EF B D EF D BEF V V V V ----===即可得B 选项正确;取1AA 靠近1A 点的三等分点H , 1DD 靠近D 点的三等分点I ,易知M 的轨迹为线段HI 10,故C 选项正确;过M 点做BE 的平行线交1AA 于P ,交1DD 于O ,连接,BP OE ,易知过B ,E ,M 的平面截正方体所得截面即为平行四边形BPOE ,进而得当H 位于点I 时,截面面积最小,为四边形ABEI 的面积,且面积为310S AB BE =⋅=.【详解】解:对于A 选项,如图,取BF 中点G ,连接1A G ,由点E ,F 分别在1CC ,1BB 上,12C E EC →→=,12BF FB →→=,故四边形11A D EG 为平行四边形,故11//AG D E ,由于在11A B G △,F 为1B G 中点,当N 为11A B 中点时,有11////NF A G D E ,故过1D ,E ,F 的平面截正方体所得截面为梯形1D EFN ,此时22133532D N ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,223110EF =+=,故梯形1D EFN 不是等腰梯形,故A 选项错误;对于B 选项,三棱锥1D EFM -的体积等于三棱锥1M D EF -的体积,由于//BM 平面1D EF ,故三棱锥1M D EF -的体积等于三棱锥1B D EF -的体积,三棱锥1B D EF -的体积等于三棱锥1D BEF -的体积,而三棱锥1D BEF -的体积为定值,故B 选项正确; 对于C 选项,取1AA 靠近1A 点的三等分点H , 1DD 靠近D 点的三等分点I ,易知1////HB AG NF ,1//BI D F ,由于1,HI BI I NF D F F ==,故平面//BHI 平面1D EF ,故M 的轨迹为线段HI ,其长度为10,故C 选项正确;对于D 选项,过M 点做BE 的平行线交1AA 于P ,交1DD 于O ,连接,BP OE ,则过B ,E ,M 的平面截正方体所得截面即为平行四边形BPOE ,易知当H 位于点I 时,平行四边形BPOE 边BP 最小,且为AB ,此时截面平行四边形BPOE 的面积最小,为四边形ABEI 的面积,且面积为310S AB BE =⋅=,故D 选项正确;故选:BCD【点睛】本题解题的关键在于根据题意,依次做出过1D ,E ,F 的平面截正方体所得截面为梯形1D EFN ,过B ,E ,M 的平面截正方体所得截面即为平行四边形BPOE ,进而讨论AD 选项,通过//BM 平面1D EF ,并结合等体积转化法得1111D EFM M D EF B D EF D BEF V V V V ----===知B 选项正确,通过构造面面平行得M 的轨迹为线段HI ,进而讨论C 选项,考查回归转化思想和空间思维能力,是中档题.4.在三棱锥M ABC -中,下列命题正确的是( )A .若1233AD AB AC =+,则3BC BD = B .若G 为ABC 的重心,则111333MG MA MB MC =++ C .若0MA BC ⋅=,0MC AB ⋅=,则0MB AC ⋅=D .若三棱锥M ABC -的棱长都为2,P ,Q 分别为MA ,BC 中点,则2PQ =【答案】BC【分析】 作出三棱锥M ABC -直观图,在每个三角形中利用向量的线性运算可得. 【详解】对于A ,由已知12322233AD AB AC AD AC AB AD AC AB AD =+⇒=+⇒-=-,即2CD DB =,则32BD BD DC BC =+=,故A 错误; 对于B ,由G 为ABC 的重心,得0GA GB GC ++=,又MG MA AG =+,MG MB BG =+,MG MC CG =+,3MA MB MC MG ∴++=,即111333MG MA MB MC =++,故B 正确; 对于C ,若0MA BC ⋅=,0MC AB ⋅=,则0MC MA BC AB ⋅+⋅=,即()00MA BC AC CB MA BC AC C MC C M B M C ⋅++=⇒⋅++⋅⋅=⋅()00MA BC A MC MC MC MC C BC MA BC AC ⋅⋅⋅⇒⋅+-=⇒-+=⋅()000MC M CA BC AC AC CB AC CB AC C MC ⇒+=⇒+=⇒+=⋅⋅⋅⋅⋅,即0MB AC ⋅=,故C 正确;对于D ,111()()222PQ MQ MP MB MC MA MB MC MA ∴=-=+-=+- ()21122PQ MB MC MA MB MC MA ∴=+-=+-,又()2222222MB MC MA MB MC MA MB MC MB MA MC MA +-=+++⋅-⋅-⋅2221112222222222228222=+++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=,1PQ ∴==,故D 错误.故选:BC【点睛】关键点睛:本题考查向量的运算,用已知向量表示某一向量的三个关键点: (1)用已知向量来表示某一向量,一定要结合图形,以图形为指导是解题的关键.(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义,如首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量. (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立.5.在直角梯形ABCD 中,2ABC BCD π∠=∠=,1AB BC ==,2DC =,E 为DC 中点,现将ADE 沿AE 折起,得到一个四棱锥D ABCE -,则下列命题正确的有( ) A .在ADE 沿AE 折起的过程中,四棱锥D ABCE -体积的最大值为13 B .在ADE 沿AE 折起的过程中,异面直线AD 与BC 所成的角恒为4π C .在ADE 沿AE 折起的过程中,二面角A EC D --的大小为45︒D .在四棱锥D ABCE -中,当D 在EC 上的射影恰好为EC 的中点F 时,DB 与平面ABCE所成的角的正切为5 【答案】ABD【分析】对于A ,四棱锥D ABCE -的底面面积是固定值,要使得体积最大,需要平面DAE ⊥平面ABCE ,此时DE CE ⊥,可求得1133D ABCE ABCE V S DE -=⋅=可判断A ;对于B ,在ADE 沿AE 折起的过程中,//AE BC ,所以异面直线AD 与AE 所成的角即为AD 与BC所成角,由翻折前可知4DAE π∠=可判断B ;对于C ,利用线面垂直的判定定理,结合翻折前可知AE ⊥平面DEC ,又AE ⊂平面ABCE ,所以平面DEC ⊥平面ABCE ,即二面角A ECD --的在大小为2π判断C ;对于D ,利用线面垂直的判定定理可知DF ⊥平面ABCE ,所以DBF ∠为直线DB 与平面ABCE 所成的角,在直角DFB △中,15tan DF DBF BF ∠==,可判断D 正确;【详解】对于A ,ADE 沿AE 折起得到四棱锥D ABCE -,由四棱锥底面面积是固定值,要使得体积最大,需要四棱锥的高最大,即平面DAE ⊥平面ABCE ,此时DE CE ⊥,由已知得1DE =,则111111333D ABCE ABCE V S DE -=⋅=⨯⨯⨯=,故A 正确; 对于B ,在ADE 沿AE 折起的过程中,//AE BC ,所以异面直线AD 与AE 所成的角即为AD 与BC 所成角,又1AB BC ==,2DC =,E 为DC 中点,可知4DAE π∠=,即异面直线AD 与BC 所成的角恒为4π,故B 正确; 对于C ,由翻折前知,,AE EC AE ED ⊥⊥,且EC ED E =,则AE ⊥平面DEC ,又AE ⊂平面ABCE ,所以平面DEC ⊥平面ABCE ,即二面角A EC D --的大小为2π,故C 错误; 对于D ,如图连接,DF BF ,由C 选项知,AE ⊥平面DEC ,又DF ⊂平面DEC ,则AE DF ⊥,又由已知得EC DF ⊥,且EC AE E ⋂=,则DF ⊥平面ABCE ,所以DBF ∠为直线DB 与平面ABCE 所成的角,在直角DFB △中,222222113122152tan 5111222DE CE DF DBF BF BC CE ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∠=====⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭DB 与平面ABCE所成的角的正切为155,故D 正确; 故选:ABD【点睛】 关键点睛:本题考查立体几何综合问题,求体积,求线线角,线面角,面面角,解题的关键要熟悉几种角的定义,通过平移法找到线线角,通过证垂直找到线面角和面面角,再结合三角形求出角,考查了学生的逻辑推理能力,转化能力与运算求解能力,属于难题.6.如图,已知四棱锥P ABCD -所有棱长均为4,点M 是侧棱PC 上的一个动点(不与点,P C 重合),若过点M 且垂直于PC 的截面将该四棱锥分成两部分,则下列结论正确的是( )A .截面的形状可能为三角形、四边形、五边形B .截面和底面ABCD 所成的锐二面角为4π C .当1PM =时,截面的面积为52D .当2PM =时,记被截面分成的两个几何体的体积分别为()1212,>V V V V ,则123=V V【答案】BCD【分析】点M 是侧棱PC 上的一个动点,根据其不同位置,对选项逐一进行判断即可.【详解】A 选项中,如图,连接BD ,当M 是PC 中点时,2MC =,由题意知三角形PDC 与三角形PBC 都是边长为4的正三角形,所以DM PC ⊥,BM BC ⊥,又DM ,BM 在面MBD 内,且相交,所以PC ⊥平面PBD ,三角形MBD 即为过点M 且垂直于PC 的截面,此时是三角形,点M 向下移动时,2MC <,如图,仍是三角形;若点M 由中点位置向上移动,2MC >,在平面PDC 内作EM PC ⊥,交PD 于E ,在平面PBC 内作FM PC ⊥交PB 于F ,平面MEF 交平面PAD 于EG ,交PAB 于FH ,即交平面ABCD 于GH ,则五边形MEGHF 即为过点M 且垂直于PC 的截面,此时是五边形; 故截面的形状可能为三角形、五边形,A 错误;B 选项中,因为截面总与PC 垂直,所以不同位置的截面均平行,截面与平面ABCD 所成的锐角为定值,不妨取M 是中点,连接AC ,BD ,MB ,MD ,设AC ,BD 交点是N ,连接PN ,由题意知,四边形ABCD 是边长为4的菱形,BD AC ⊥,因为MB =MD ,所以MN BD ⊥,故MNC ∠是截面与平面ABCD 所成的锐角,过点M 作MQ AC ⊥,垂足Q.在三角形PAC 中,MN =2,2,故在直角三角形MNQ 中,2cos 2NQ MNC MN ∠==,故4MNC π∠=,故B 正确;C 选项中,当PM =1时,M 是PC 中点,如图,五边形MEGHF 即为过点M 且垂直于PC 的截面,依题意,直角三角形PME 中,2cos PM PE EPM ==∠,故E 为PD 的中点,同理,F是PB 的中点,则EF 是三角形PBD 的中位线,1222EF BD ==,G ,H 分别在,AD AB 的中点上,证明如下,当G ,H ,也是中点时,1//,2GH BD GH BD =,有//,22GH EF GH EF ==,四边形EFHG 是平行四边形.依题意,三角形PAC 中4,42PA PC AC ===,故PA PC ⊥,故PC GE ⊥,易见,正四棱锥中BD ⊥平面PAC ,故BD PC ⊥,GH PC ∴⊥,因为 ,GE GH 均在平面EFHG 内,且相交,所以PC ⊥平面EFHG ,故此时平面EFHG 和平面MEF 即同一平面.又BD ⊥平面PAC ,有GH ⊥面平面PAC ,GH GM ⊥,根据对称性有GH GE ⊥,四边形EFHG 是矩形. 即五边形MEGHF 即为过点M 且垂直于PC 的截面,平面图如下:依题意,22GH EF ==2EG FG ==,三角形高为()()22321h =-=,面积是122122⨯=,四边形面积是22242=,故截面面积是52 故C 正确;D 选项中,若PM =2,看B 选项中的图可知,21124M BCD P BCD P ABCD V V V V ---===,故剩余部分134P ABCD V V -=,所以123=V V ,故D 正确. 故选:BCD. 【点睛】本题考查了棱锥的截面问题,考查了二面角、体积等计算问题,属于难题.7.在正方体1111ABCD A B C D -中,如图,,M N 分别是正方形ABCD ,11BCC B 的中心.则下列结论正确的是( )A .平面1D MN 与11BC 的交点是11B C 的中点 B .平面1D MN 与BC 的交点是BC 的三点分点 C .平面1D MN 与AD 的交点是AD 的三等分点 D .平面1D MN 将正方体分成两部分的体积比为1∶1 【答案】BC 【分析】取BC 的中点E ,延长DE ,1D N ,并交于点F ,连FM 并延长分别交,BC AD 于,P Q ,连1,D Q PN 并延长交11B C 与H ,平面四边形1D HPQ 为所求的截面,进而求出,,P Q H 在各边的位置,利用割补法求出多面体11QPHD C CD 的体积,即可求出结论.【详解】如图,取BC 的中点E ,延长DE ,1D N ,并交于点F , 连接FM 并延长,设FM BC P ⋂=,FM AD Q ⋂=, 连接PN 并延长交11B C 于点H .连接1D Q ,1D H ,则平面四边形1D HPQ 就是平面1D MN 与正方体的截面,如图所示.111111////,22NE CC DD NE CC DD ==,NE ∴为1DD F ∆的中位线,E ∴为DF 中点,连BF , ,,90DCE FBE BF DC AB FBE DCE ∴∆≅∆==∠=∠=︒, ,,A B F ∴三点共线,取AB 中点S ,连MS ,则12//,,23BP FB MS BP MS BC MS FS =∴==, 22111,33236BP MS BC BC PE BC ∴==⨯=∴=,E 为DF 中点,11//,233PE DQ DQ PE BC AD ∴===N 分别是正方形11BCC B 的中心,11113C H BP C B ∴==所以点P 是线段BC 靠近点B 的三等分点, 点Q 是线段AD 靠近点D 的三等分点, 点H 是线段11B C 靠近点1C 的三等分点. 做出线段BC 的另一个三等分点P ', 做出线段11A D 靠近1D 的三等分点G ,连接QP ',HP ',QG ,GH ,1H QPP Q GHD V V '--=, 所以111113QPHD C CD QPHQ DCC D V V V -==多面体长方体正方体 从而平面1D MN 将正方体分成两部分体积比为2∶1. 故选:BC.【点睛】本题考查直线与平面的交点及多面体的体积,确定出平面与正方体的交线是解题的关键,考查直观想象、逻辑推理能力,属于较难题.8.如图,在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,点P 在线段B 1C 上运动,则( )A .直线BD 1⊥平面A 1C 1DB .三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值C .异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[45°,90°]D .直线C 1P 与平面A 1C 1D所成角的正弦值的最大值为3【答案】ABD 【分析】在A 中,推导出A 1C 1⊥BD 1,DC 1⊥BD 1,从而直线BD 1⊥平面A 1C 1D ;在B 中,由B 1C ∥平面 A 1C 1D ,得到P 到平面A 1C 1D 的距离为定值,再由△A 1C 1D 的面积是定值,从而三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值;在C 中,异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[60°,90°];在D 中,以D 为原点,DA 为x 轴,DC 为y 轴,DD 1为z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出直线C 1P 与平面A 1C 1D. 【详解】解:在A 中,∵A 1C 1⊥B 1D 1,A 1C 1⊥BB 1,B 1D 1∩BB 1=B 1, ∴A 1C 1⊥平面BB 1D 1,∴A 1C 1⊥BD 1,同理,DC 1⊥BD 1, ∵A 1C 1∩DC 1=C 1,∴直线BD 1⊥平面A 1C 1D ,故A 正确; 在B 中,∵A 1D ∥B 1C ,A 1D ⊂平面A 1C 1D ,B 1C ⊄平面A 1C 1D , ∴B 1C ∥平面 A 1C 1D ,∵点P 在线段B 1C 上运动,∴P 到平面A 1C 1D 的距离为定值,又△A 1C 1D 的面积是定值,∴三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值,故B 正确; 在C 中,异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[60°,90°],故C 错误;在D 中,以D 为原点,DA 为x 轴,DC 为y 轴,DD 1为z 轴,建立空间直角坐标系, 设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为1,P (a ,1,a ),则D (0,0,0),A 1(1,0,1),C 1(0,1,1),1DA =(1,0,1),1DC =(0,1,1),1C P =(a ,0,a ﹣1), 设平面A 1C 1D 的法向量(),,n x y z =,则1100n DA x z n DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩,取x =1,得1,1,1n,∴直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值为:11||||||C P n C Pn ⋅⋅=∴当a =12时,直线C 1P 与平面A 1C 1D ,故D 正确. 故选:ABD .【点睛】求直线与平面所成的角的一般步骤:(1)、①找直线与平面所成的角,即通过找直线在平面上的射影来完成;②计算,要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解; (2)、用空间向量坐标公式求解.9.如图,已知P 为棱长为1的正方体对角线1BD 上的一点,且()()10,1BP BD λλ=,下面结论中正确结论的有( )A .11A D C P ⊥;B .当1A P PD +取最小值时,23λ=;C .若()0,1λ∈,则7,312APC ππ⎛⎫∠∈⎪⎝⎭; D .若P 为1BD 的中点,四棱锥11P AA D D -的外接球表面积为94π. 【答案】ABD 【分析】以D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系,利用向量关系可判断ABC ;根据几何体外接球关系建立方程求出球半径即可判断D. 【详解】以D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系, 则()1,1,0B ,()10,0,1D ,设(),,P x y z ,()()10,1BP BD λλ=,1BP BD λ∴=,即()()1,1,1,1,1x y z λ--=--,则可解得()1,1,P λλλ--, 对A ,()()()111,0,1,0,0,0,0,1,1A D C ,()11,0,1A D ∴=--,()11,,1C P λλλ=---,则()()()()11110110A D C P λλλ⋅=-⨯-+⨯-+-⨯-=,则11A D C P ⊥,故A 正确;对B ,()()()()()2222221111111A P PD λλλλλλ+=--+-+--+-+222223422333λλλ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭则当23λ=时,1A P PD +取最小值,故B 正确; 对C ,()()1,0,0,0,1,0A C ,(),1,PA λλλ∴=--,()1,,PC λλλ=--,则222321cos 1321321PA PCAPC PA PC λλλλλλ⋅-∠===--+-+⋅, 01λ<<,则2232123λλ≤-+<,则2111123212λλ-≤-<-+, 即11cos 22APC -≤∠<,则2,33APC ππ⎛⎤∠∈ ⎥⎝⎦,故C 错误; 对于D ,当P 为1BD 中点时,四棱锥11P AA D D -为正四棱锥,设平面11AA D D 的中心为O ,四棱锥11P AA D D -的外接球半径为R ,所以222122R R ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭⎝⎭,解得34R =, 故四棱锥11P AA D D -的外接球表面积为94π,所以D 正确. 故选:ABD.【点睛】关键点睛:本题考查空间相关量的计算,解题的关键是建立空间直角坐标系,利用向量建立关系进行计算.10.半正多面体(semiregularsolid)亦称“阿基米德多面体”,是由边数不全相同的正多边形围成的多面体,体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体,是由正方体切截而成的,它由八个正三角形和六个正方形构成(如图所示),若它的所有棱长都为2,则()A.BF⊥平面EABB.该二十四等边体的体积为20 3C.该二十四等边体外接球的表面积为8πD.PN与平面EBFN所成角的正弦值为2 2【答案】BCD【分析】A用反证法判断;B先补齐八个角成正方体,再计算体积判断;C先找到球心与半径,再计算表面积判断;D先找到直线与平面所成角,再求正弦值判断.【详解】解:对于A,假设A对,即BF⊥平面EAB,于是BF AB⊥,90ABF∠=︒,但六边形ABFPQH为正六边形,120ABF∠=︒,矛盾,所以A错;对于B,补齐八个角构成棱长为2的正方体,则该二十四等边体的体积为3112028111323-⋅⋅⋅⋅⋅=,所以B对;对于C,取正方形ACPM对角线交点O,即为该二十四等边体外接球的球心,其半径为2R =,其表面积为248R ππ=,所以C 对;对于D ,因为PN 在平面EBFN 内射影为NS , 所以PN 与平面EBFN 所成角即为PNS ∠, 其正弦值为222PS PN ==,所以D 对. 故选:BCD .【点睛】本题考查了正方体的性质,考查了直线与平面所成角问题,考查了球的体积与表面积计算问题.。
人教版高三数学第二学期立体几何多选题单元 易错题难题专题强化试卷学能测试试卷

人教版高三数学第二学期立体几何多选题单元 易错题难题专题强化试卷学能测试试卷一、立体几何多选题1.如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,12AC BC AA ===,90ACB ∠=︒,D ,E ,F分别为AC ,1AA ,AB 的中点.则下列结论正确的是( )A .1AC 与EF 相交B .11//BC 平面DEF C .EF 与1AC 所成的角为90︒D .点1B 到平面DEF 的距离为322【答案】BCD 【分析】利用异面直线的位置关系,线面平行的判定方法,利用空间直角坐标系异面直线所成角和点到面的距离,对各个选项逐一判断. 【详解】对选项A ,由图知1AC ⊂平面11ACC A ,EF 平面11ACC A E =,且1.E AC ∉由异面直线的定义可知1AC 与EF 异面,故A 错误;对于选项B ,在直三棱柱111ABC A B C -中,11B C //BC .D ,F 分别是AC ,AB 的中点, //∴FD BC ,11B C ∴ //FD .又11B C ⊄平面DEF ,DF ⊂平面DEF ,11B C ∴ //平面.DEF 故B 正确;对于选项C ,由题意,建立如图所示的空间直角坐标系,则(0C ,0,0),(2A ,0,0),(0B ,2,0),1(2A ,0,2),1(0B ,2,2),1(0C ,0,2),(1D ,0,0),(2E ,0,1),(1F ,1,0).(1EF ∴=-,1,1)-,1(2AC =-,0,2). 1·2020EF AC =+-=,1EF AC ∴⊥,1EF AC ∴⊥. EF 与1AC 所成的角为90︒,故C 正确;对于选项D ,设向量(n x =,y ,)z 是平面DEF 的一个法向量. (1DE =,0,1),(0DF =,1,0), ∴由n DE n DF ⎧⊥⎨⊥⎩,,,即·0·0n DE n DF ⎧=⎨=⎩,,,得00.x z y +=⎧⎨=⎩,取1x =,则1z =-,(1n ∴=,0,1)-, 设点1B 到平面DEF 的距离为d . 又1(1DB =-,2,2), 1·102322DB n d n-+-∴===, ∴点1B 到平面DEF 的距离为322,故D 正确.故选:BCD 【点睛】本题主要考查异面直线的位置关系,线面平行的判定,异面直线所成角以及点到面的距离,还考查思维能力及综合分析能力,属难题.2.在三棱柱111ABC A B C -中,ABC ∆是边长为23的等边三角形,侧棱长为43,则( )A .直线1A C 与直线1BB 之间距离的最大值为3B .若1A 在底面ABC 上的投影恰为ABC ∆的中心,则直线1AA 与底面所成角为60︒ C .若三棱柱的侧棱垂直于底面,则异面直线AB 与1A C 所成的角为30D .若三棱柱的侧棱垂直于底面,则其外接球表面积为64π 【答案】AD 【分析】建立空间直角坐标系,用向量法求解. 【详解】如图示,以A 为原点,AC 为y 轴正方向,Ax 为x 轴正方向,过A 点垂直于面ABC 的向上方向为z 轴正方向建系,则()()()0,0,0,3,0,0,23,0,A B C 设()()()100010001000,,,3,3,,,23,,A x y z B x y z C x y z ++所以()()()1000100011,23,,,,,3,3,0,AC x y z BB x y z A B =---== 对于A:设n 为直线1A C 与直线1BB 的公垂线的方向向量,则有:11·0·0AC n BB n ⎧=⎪⎨=⎪⎩,即()()0000002300x x y y zz x x y y zz ⎧-+-=⎪⎨++=⎪⎩解得:()00,0n z x =- 设直线1A C 与直线1BB 之间距离为d ,则22011222200009||||z A B nd d x z n x z ===++ 22009x d ≥∴≤,即3d ≤,故A 正确;对于B :若1A 在底面ABC 上的投影恰为ABC ∆的中心,则()11,3,211A 底面法向量()()10,0,1,1,3,211m AA ==,设直线 1AA 与底面所成角为θ,则:121133sin |cos ,|6143AA n θ===⨯,故B 错误; 对于C : 三棱柱的侧棱垂直于底面时,则()()()1110,0,43,3,3,43,0,23,43,A B C则()()13,3,0,0,23,43,AB AC ==-设异面直线AB 与1A C 所成的角为θ,则1115cos |cos ,|||||||23215AB AC AB AC AB AC θ====⨯,故C 错误;对于D :若三棱柱的侧棱垂直于底面时,外接球的球心O 为上下底面中心DD 1连线的中点,所以外接球的半径()222324R =+=,所以2464S R ππ==.故D 正确故选:AD 【点睛】向量法解决立体几何问题的关键: (1)建立合适的坐标系; (2)把要用到的向量正确表示; (3)利用向量法证明或计算.3.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,P 为底面ABCD 内(含边界)一点.( ) A .若13A P P 点有且只有一个 B .若12A P ,则点P 的轨迹是一段圆弧 C .若1//A P 平面11B D C ,则1A P 2D .若12A P =且1//A P 平面11B DC ,则平面11A PC 截正方体外接球所得截面的面积为23π【答案】ABD 【分析】选项A ,B 可利用球的截面小圆的半径来判断;由平面1//A BD 平面11B D C ,知满足1//A P 平面11B D C 的点P 在BD 上,1A P 长的最大值为2;结合以上条件点P 与B 或D 重合,利用12sin 60A P r =︒,求出63r =,进而求出面积. 【详解】对A 选项,如下图:由13A P =,知点P 在以1A 为球心,半径为3的球上,又因为P 在底面ABCD 内(含边界),底面截球可得一个小圆,由1A A ⊥底面ABCD ,知点P 的轨迹是在底面上以A 为圆心的小圆圆弧,半径为22112r A P A A =-=,则只有唯一一点C满足,故A 正确;对B 选项,同理可得点P 在以A 为圆心,半径为22111r A P A A =-=的小圆圆弧上,在底面ABCD 内(含边界)中,可得点P 轨迹为四分之一圆弧BD .故B 正确;对C 选项,移动点P 可得两相交的动直线与平面11B D C 平行,则点P 必在过1A 且与平面11B D C 平行的平面内,由平面1//A BD 平面11B D C ,知满足1//A P 平面11B D C 的点P 在BD上,则1A P 长的最大值为12A B C 不正确; 对选项D ,由以上推理可知,点P 既在以A 为圆心,半径为1的小圆圆弧上,又在线段BD 上,即与B 或D 重合,不妨取点B ,则平面11A PC 截正方体外接球所得截面为11A BC 的外接圆,利用2126622,,sin 603A B r r S r ππ==∴=∴==︒.故D 正确.故选:ABD 【点睛】(1)平面截球所得截面为圆面,且满足222=R r d +(其中R 为球半径,r 为小圆半径,d 为球心到小圆距离);(2)过定点A 的动直线平行一平面α,则这些动直线都在过A 且与α平行的平面内.4.如图,一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D -,其中,以顶点A 为端点的三条棱长都等于1,且它们彼此的夹角都是60,下列说法中正确的是( )A .()()2212AA AB ADAC ++=B .1A 在底面ABCD 上的射影是线段BD 的中点C .1AA 与平面ABCD 所成角大于45 D .1BD 与AC 6【答案】AC 【分析】对A ,分别计算()21++AA AB AD 和2AC ,进行判断;对B ,设BD 中点为O ,连接1A O ,假设1A 在底面ABCD 上的射影是线段BD 的中点,应得10⋅=O AB A ,计算10⋅≠O AB A ,即可判断1A 在底面ABCD 上的射影不是线段BD 的中点;对C ,计算11,,A A AC AC ,根据勾股定理逆定理判断得11⊥A A AC ,1AA 与平面ABCD 所成角为1A AC ∠,再计算1tan ∠A AC ;对D ,计算1,AC BD 以及1BD AC ⋅,再利用向量的夹角公式代入计算夹角的余弦值.【详解】对A ,由题意,11111cos602⋅=⋅=⋅=⨯⨯=AA AB AA AD AD AB ,所以()2222111112221113262++=+++⋅+⋅+⋅=+++⨯⨯=AA AB ADAA AB AD AA AB AB AD AA AD ,AC AB AD =+,所以()222221113=+=+⋅+=++=AC AB ADAB AB AD AD ,所以()()22126++==AA AB AD AC ,故A 正确;对B ,设BD 中点为O ,连接1A O ,1111111222=+=+=++AO A A AO A A AC A A AD AB ,若1A 在底面ABCD 上的射影是线段BD 的中点,则1A O ⊥平面ABCD ,则应10⋅=O AB A ,又因为21111111111110222222224⎛⎫⋅=++⋅=-⋅+⋅+=-+⨯+=≠ ⎪⎝⎭O AB A A AD AB AB AA AB AD AB AB A ,故B 错误;对D ,11,BD AD AA AB AC AB AD =+-=+,所以()()2211=2,=3=+-=+AD A B A AB AC AB AD D ,()()2211111⋅=+-⋅+=⋅++⋅+⋅--⋅=AC AD AA AB AB AD AD AB AD AA AB AA AD ABAB AD BD ,1116cos ,23⋅<>===⋅B AC D BD BD AC AC,故D 不正确;对C ,112==AC BD ,在1A AC 中,111,2,3===A A AC AC ,所以22211+=A A AC AC ,所以11⊥A A AC ,所以1AA 与平面ABCD 所成角为1A AC ∠,又1tan 21∠=>A AC ,即145∠>A AC ,故C 正确;故选:AC【点睛】方法点睛:用向量方法解决立体几何问题,需要树立“基底”意识,利用基向量进行线性运算,要理解空间向量概念、性质、运算,注意和平面向量类比;同时对于立体几何中角的计算问题,往往可以利用空间向量法,利用向量的夹角公式求解.5.如图,已知正方体1ABCD ABC D -的棱长为a ,E 是棱CD 上的动点.则下列结论中正确的有( )A .11EB AD ⊥B .二面角11E A B A --的大小为4π C .三棱锥11A B D E -体积的最小值为313a D .1//D E 平面11A B BA 【答案】ABD 【分析】连接1A D 、1B C ,则易证1AD ⊥平面11A DCB ,1EB ⊂平面11A DCB ,则由线面垂直的性质定理可以判断选项A 正确;二面角11E A B A --的平面角为1DA A ∠,易知14DA A π∠=,则可判断选项B 正确;用等体积法,将求三棱锥11A B D E -的体积转化为求三棱锥11E AB D -的体积,当点E 与D 重合时,三棱锥11E AB D -的体积最小,此时的值为316a ,则选项C 错误;易知平面11//D DCC 平面11A B BA ,而1D E ⊂平面11D DCC ,则根据面面平行的性质定理可得1//D E 平面11A B BA ,可判断选项D 正确. 【详解】选项A ,连接1A D 、1B C ,则由正方体1ABCD ABC D -可知,11A D AD ⊥,111A B AD ⊥,1111A D A B A =,则1AD ⊥平面11A DCB ,又因为1EB ⊂平面11A DCB , 所以11EB AD ⊥,选项A 正确;选项B ,因为11//DE A B ,则二面角11E A B A --即为二面角11D A B A --, 由正方体1ABCD ABC D -可知,11A B ⊥平面1DA A , 则1DA A ∠为二面角11D A B A --的平面角,且14DA A π∠=,所以选项B 正确;选项C ,设点E 到平面11AB D 的距离为d , 则11111113A B D E E AB D AB D V V S d --==⋅,连接1C D 、1C B ,易证平面1//BDC 平面11AB D ,则在棱CD 上,点D 到平面11AB D 的距离最短, 即点E 与D 重合时,三棱锥11A B D E -的体积最小, 由正方体1ABCD ABC D -知11A B ⊥平面1ADD , 所以1111123111113326D AB D B ADDADD a V V S A B a a --==⋅=⋅⋅=, 则选项C 错误;选项D ,由正方体1ABCD ABC D -知,平面11//CC D D 平面11A B BA ,且1D E ⊂平面11CC D D , 则由面面平行的性质定理可知1//D E 平面11A B BA ,则选项D 正确. 故选:ABD. 【点睛】关键点点睛:本题对于选项C 的判断中,利用等体积法求三棱锥的体积是解题的关键.6.在直角梯形ABCD 中,2ABC BCD π∠=∠=,1AB BC ==,2DC =,E 为DC 中点,现将ADE 沿AE 折起,得到一个四棱锥D ABCE -,则下列命题正确的有( ) A .在ADE 沿AE 折起的过程中,四棱锥D ABCE -体积的最大值为13B .在ADE 沿AE 折起的过程中,异面直线AD 与BC 所成的角恒为4π C .在ADE 沿AE 折起的过程中,二面角A EC D --的大小为45︒D .在四棱锥D ABCE -中,当D 在EC 上的射影恰好为EC 的中点F 时,DB 与平面ABCE 所成的角的正切为155【答案】ABD 【分析】对于A ,四棱锥D ABCE -的底面面积是固定值,要使得体积最大,需要平面DAE ⊥平面ABCE ,此时DE CE ⊥,可求得1133D ABCE ABCE V S DE -=⋅=可判断A ;对于B ,在ADE 沿AE 折起的过程中,//AE BC ,所以异面直线AD 与AE 所成的角即为AD 与BC所成角,由翻折前可知4DAE π∠=可判断B ;对于C ,利用线面垂直的判定定理,结合翻折前可知AE ⊥平面DEC ,又AE ⊂平面ABCE ,所以平面DEC ⊥平面ABCE ,即二面角A EC D --的在大小为2π判断C ;对于D ,利用线面垂直的判定定理可知DF ⊥平面ABCE ,所以DBF ∠为直线DB 与平面ABCE 所成的角,在直角DFB △中,15tan DF DBF BF ∠==,可判断D 正确;【详解】对于A ,ADE 沿AE 折起得到四棱锥D ABCE -,由四棱锥底面面积是固定值,要使得体积最大,需要四棱锥的高最大,即平面DAE ⊥平面ABCE ,此时DE CE ⊥,由已知得1DE =,则111111333D ABCE ABCE V S DE -=⋅=⨯⨯⨯=,故A 正确; 对于B ,在ADE 沿AE 折起的过程中,//AE BC ,所以异面直线AD 与AE 所成的角即为AD 与BC 所成角,又1AB BC ==,2DC =,E 为DC 中点,可知4DAE π∠=,即异面直线AD 与BC 所成的角恒为4π,故B 正确; 对于C ,由翻折前知,,AE EC AE ED ⊥⊥,且ECED E =,则AE ⊥平面DEC ,又AE ⊂平面ABCE ,所以平面DEC ⊥平面ABCE ,即二面角A EC D --的大小为2π,故C 错误;对于D ,如图连接,DF BF ,由C 选项知,AE ⊥平面DEC ,又DF ⊂平面DEC ,则AE DF ⊥,又由已知得EC DF ⊥,且EC AE E ⋂=,则DF ⊥平面ABCE ,所以DBF ∠为直线DB 与平面ABCE 所成的角,在直角DFB △中,222222113122152tan 5511122DE CE DFDBF BFBC CE ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∠=====⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以DB 与平面ABCE 所成的角的正切为15,故D 正确; 故选:ABD 【点睛】关键点睛:本题考查立体几何综合问题,求体积,求线线角,线面角,面面角,解题的关键要熟悉几种角的定义,通过平移法找到线线角,通过证垂直找到线面角和面面角,再结合三角形求出角,考查了学生的逻辑推理能力,转化能力与运算求解能力,属于难题.7.如图,已知四棱锥P ABCD -所有棱长均为4,点M 是侧棱PC 上的一个动点(不与点,P C 重合),若过点M 且垂直于PC 的截面将该四棱锥分成两部分,则下列结论正确的是( )A .截面的形状可能为三角形、四边形、五边形B .截面和底面ABCD 所成的锐二面角为4π C .当1PM =时,截面的面积为52D .当2PM =时,记被截面分成的两个几何体的体积分别为()1212,>V V V V ,则123=V V 【答案】BCD 【分析】点M 是侧棱PC 上的一个动点,根据其不同位置,对选项逐一进行判断即可. 【详解】A 选项中,如图,连接BD ,当M 是PC 中点时,2MC =,由题意知三角形PDC 与三角形PBC 都是边长为4的正三角形,所以DM PC ⊥,BM BC ⊥,又DM ,BM 在面MBD 内,且相交,所以PC ⊥平面PBD ,三角形MBD 即为过点M 且垂直于PC 的截面,此时是三角形,点M 向下移动时,2MC <,如图,仍是三角形;若点M 由中点位置向上移动,2MC >,在平面PDC 内作EM PC ⊥,交PD 于E ,在平面PBC 内作FM PC ⊥交PB 于F ,平面MEF 交平面PAD 于EG ,交PAB 于FH ,即交平面ABCD 于GH ,则五边形MEGHF 即为过点M 且垂直于PC 的截面,此时是五边形; 故截面的形状可能为三角形、五边形,A 错误;B 选项中,因为截面总与PC 垂直,所以不同位置的截面均平行,截面与平面ABCD 所成的锐角为定值,不妨取M 是中点,连接AC ,BD ,MB ,MD ,设AC ,BD 交点是N ,连接PN ,由题意知,四边形ABCD 是边长为4的菱形,BD AC ⊥,因为MB =MD ,所以MN BD ⊥,故MNC ∠是截面与平面ABCD 所成的锐角,过点M 作MQ AC ⊥,垂足Q.在三角形PAC中,MN =2,NQ=2,故在直角三角形MNQ 中,2cos 2NQ MNC MN ∠==,故4MNC π∠=,故B 正确;C 选项中,当PM =1时,M 是PC 中点,如图,五边形MEGHF 即为过点M 且垂直于PC 的截面,依题意,直角三角形PME 中,2cos PMPE EPM==∠,故E 为PD 的中点,同理,F是PB 的中点,则EF 是三角形PBD 的中位线,1222EF BD ==,G ,H 分别在,AD AB 的中点上,证明如下,当G ,H ,也是中点时,1//,2GH BD GH BD =,有//,22GH EF GH EF ==,四边形EFHG 是平行四边形.依题意,三角形PAC 中4,42PA PC AC ===,故PA PC ⊥,故PC GE ⊥,易见,正四棱锥中BD ⊥平面PAC ,故BD PC ⊥,GH PC ∴⊥,因为 ,GE GH 均在平面EFHG 内,且相交,所以PC ⊥平面EFHG ,故此时平面EFHG 和平面MEF 即同一平面.又BD ⊥平面PAC ,有GH ⊥面平面PAC ,GH GM ⊥,根据对称性有GH GE ⊥,四边形EFHG 是矩形. 即五边形MEGHF 即为过点M 且垂直于PC 的截面,平面图如下:依题意,22GH EF ==2EG FG ==,三角形高为()()22321h =-=,面积是122122⨯=,四边形面积是22242=,故截面面积是52 故C 正确;D 选项中,若PM =2,看B 选项中的图可知,21124M BCD P BCD P ABCD V V V V ---===,故剩余部分134P ABCD V V -=,所以123=V V ,故D 正确.故选:BCD. 【点睛】本题考查了棱锥的截面问题,考查了二面角、体积等计算问题,属于难题.8.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,点O 为11A D 的中点,若以O 为球心,6为半径的球面与正方体1111ABCD A B C D -的棱有四个交点E ,F ,G ,H ,则下列结论正确的是( )A .11//A D 平面EFGHB .1AC ⊥平面EFGHC .11A B 与平面EFGH 所成的角的大小为45°D .平面EFGH 将正方体1111ABCD A B C D -分成两部分的体积的比为1:7 【答案】ACD 【分析】如图,计算可得,,,E F G H 分别为所在棱的中点,利用空间中点线面的位置关系的判断方法可判断A 、B 的正确与否,计算出直线AB 与平面EFGH 所成的角为45︒后可得C 正确,而几何体BHE CGF -为三棱柱,利用公式可求其体积,从而可判断D 正确与否. 【详解】如图,连接OA ,则2115OA AA =+=,故棱1111,,,A A A D D D AD 与球面没有交点.同理,棱111111,,A B B C C D 与球面没有交点. 因为棱11A D 与棱BC 之间的距离为26>BC 与球面没有交点.因为正方体的棱长为2,而26<球面与正方体1111ABCD A B C D -的棱有四个交点E ,F ,G ,H , 所以棱11,,,AB CD C C B B 与球面各有一个交点, 如图各记为,,,E F G H .因为OAE △为直角三角形,故22651AE OE OA -=-=,故E 为棱AB 的中点. 同理,,F G H 分别为棱11,,CD C C B B 的中点.由正方形ABCD 、,E F 为所在棱的中点可得//EF BC , 同理//GH BC ,故//EF GH ,故,,,E F G H 共面. 由正方体1111ABCD A B C D -可得11//A D BC ,故11//A D EF因为11A D ⊄平面EFGH ,EF ⊂平面EFGH ,故11//A D 平面EFGH ,故A 正确. 因为在直角三角1BA C 中,122A B =,2BC = ,190A BC ∠=︒, 1A C 与BC 不垂直,故1A C 与GH 不垂直,故1A C ⊥平面EFGH 不成立,故B 错误.由正方体1111ABCD A B C D -可得BC ⊥平面11AA B B ,而1A B ⊂平面11AA B B , 所以1BC A B ⊥,所以1EF A B ⊥在正方形11AA B B 中,因为,E H 分别为1,AB BB 的中点,故1EH A B ⊥, 因为EFEH E =,故1A B ⊥平面EFGH ,所以BEH ∠为直线AB 与平面EFGH 所成的角,而45BEH ∠=︒, 故直线AB 与平面EFGH 所成的角为45︒,因为11//AB A B ,故11A B 与平面EFGH 所成的角的大小为45°.故C 正确. 因为,,,E F G H 分别为所在棱的中点,故几何体BHE CGF -为三棱柱, 其体积为111212⨯⨯⨯=,而正方体的体积为8, 故平面EFGH 将正方体1111ABCD A B C D -分成两部分的体积的比为1:7,故D 正确. 故选:ACD. 【点睛】本题考查空间中线面位置的判断、空间角的计算和体积的计算,注意根据球的半径确定哪些棱与球面有交点,本题属于中档题.9.如图,点O 是正四面体P ABC -底面ABC 的中心,过点O 的直线交AC ,BC 于点M ,N ,S 是棱PC 上的点,平面SMN 与棱PA 的延长线相交于点Q ,与棱PB 的延长线相交于点R ,则( )A .若//MN 平面PAB ,则//AB RQ B .存在点S 与直线MN ,使PC ⊥平面SRQC .存在点S 与直线MN ,使()0PS PQ PR ⋅+=D .111PQPRPS++是常数【答案】ABD 【分析】对于选项A ,根据线面平行的性质定理,进行推理判断即可;对于选项B ,当直线MN 平行于直线AB , 13SC PC =时,通过线面垂直的判定定理,证明此时PC ⊥平面SRQ ,即可证明,存在点S 与直线MN ,使PC ⊥平面SRQ ;对于选项C ,假设存在点S 与直线MN ,使()0PS PQ PR ⋅+=,利用线面垂直的判定定理可证得PC ⊥平面PAB ,此时通过反证法说明矛盾性,即可判断; 对于选项D ,利用S PQR O PSR O PSQ O PQR V V V V ----=++,即可求得111PQPRPS++是常数.【详解】 对于选项A , 若//MN 平面PAB ,平面SMN 与棱PA 的延长线相交于点Q ,与棱PB 的延长线相交于点R ,∴平面SMN 平面PAB =RQ ,又MN ⊂平面SMN ,//MN 平面PAB ,∴//MN RQ ,点O 在面ABC 上,过点O 的直线交AC ,BC 于点M ,N ,∴MN ⊂平面ABC ,又//MN 平面PAB ,平面ABC平面PAB AB =,∴//MN AB , ∴//AB RQ ,故A 正确; 对于选项B ,当直线MN 平行于直线AB ,S 为线段PC 上靠近C 的三等分点,即13SC PC =, 此时PC ⊥平面SRQ ,以下给出证明: 在正四面体P ABC -中,设各棱长为a ,∴ABC ,PBC ,PAC △,PAB △均为正三角形,点O 为ABC 的中心,//MN AB ,∴由正三角形中的性质,易得23CN CM a ==, 在CNS 中,23CN a =,13SC a =,3SCN π∠=,∴由余弦定理得,3SN a ==, ∴222249SC SN a CN +==,则SN PC ⊥, 同理,SM PC ⊥,又SM SN S =,SM ⊂平面SRQ ,SN ⊂平面SRQ ,∴PC ⊥平面SRQ ,∴存在点S 与直线MN ,使PC ⊥平面SRQ ,故B 正确; 对于选项C ,假设存在点S 与直线MN ,使()0PS PQ PR ⋅+=, 设QR 中点为K ,则2PQ PR PK +=,∴PS PK ⊥,即PC PK ⊥,()cos cos 0PC AB PC PB PA PC PB CPB PC PA CPA ⋅=⋅-=⋅∠-⋅∠=,∴PC AB ⊥,又易知AB 与PK 为相交直线,AB 与PK 均在平面PQR 上,∴PC ⊥平面PQR ,即PC ⊥平面PAB ,与正四面体P ABC -相矛盾,所以假设不成立, 故C 错误; 对于选项D ,易知点O 到面PBC ,面PAC ,面PAB 的距离相等,记为d , 记PC 与平面PAB 所处角的平面角为α,α为常数,则sin α也为常数, 则点S 到PQR 的距离为sin PS α, 又13sin 234PQRSPQ PR PQ PR π=⋅=⋅ ∴()()1133sin sin sin 33412S PQR PQRV PS S PS PQ PR PQ PR PS ααα-=⋅=⋅⋅=⋅⋅, 又13sin23PSRSPS PR PS PR π=⋅=⋅, 13sin 234PSQS PS PQ PS PQ π=⋅=⋅, 13sin23PQRSPQ PR PQ PR π=⋅=⋅,()312S PQR O PSR O PSQ O PQR V V V V d PS PR PS PQ PQ PR ----=++=⋅+⋅+⋅, ∴()33sin 1212PQ PR PS d PS PR PS PQ PQ PR α⋅⋅=⋅+⋅+⋅, ∴111sin d PQPRPSα++=为常数,故D 正确. 故选:ABD. 【点睛】本题考查了线面平行的性质定理、线面垂直的判定定理,考查了三棱锥体积的计算,考查了向量的运算,考查了转化能力与探究能力,属于较难题.10.如图,已知矩形ABCD 中,2AB AD =,E 为边AB 的中点,将ADE ∆沿直线DE 翻折成1A DE ∆,若M 为线段1A C 的中点,则ADE ∆在翻折过程中,下列说法正确的是( )A .线段BM 的长是定值B .存在某个位置,使1DE AC ⊥ C .点M 的运动轨迹是一个圆D .存在某个位置,使MB ⊥平面1A DE 【答案】AC 【分析】取CD 中点F ,连接BF ,MF ,根据面面平行的判定定理可得平面//BMF 平面1A DE ,由面面平行的性质定理可知//BM 平面1A DE ,可判断D ;在BFM ∆中,利用余弦定理可求得BM a =为定值,可判断A 和C ;假设1DE A C ⊥,由线面垂直的判定定理可得DE ⊥平面1A CE ,由线面垂直的性质定理可知1DE A E ⊥,与11DA A E ⊥矛盾,可判断B . 【详解】解:取CD 的中点F ,连接BF ,MF ,∵M ,F 分别为1A C 、CD 中点, ∴1MF A D ∥,∵1A D ⊂平面1A DE ,MF ⊄平面1A DE , ∴MF 平面1A DE , ∵DF BE ∥且DF BE =, ∴四边形BEDF 为平行四边形, ∴BFDE ,∵DE ⊂平面1A DE ,BF ⊄平面1A DE , ∴BF ∥平面1A DE , 又BFMF F =,BF 、MF ⊂平面BMF ,∴平面//BMF 平面1A DE , ∵BM ⊂平面BMF , ∴BM ∥平面1A DE ,即D 错误,设22AB AD a ==, 则112MF A D a ==,2BF DE a ==,145A DE MFB ︒∠=∠=, ∴222cos45BM MF BF MF BF a ︒=+-⋅⋅=,即BM 为定值,所以A 正确,∴点M 的轨迹是以B 为圆心,a 为半径的圆,即C 正确, ∵2DE CE a ==,2CD AB a ==,∴222DE CE CD +=,∴DE CE ⊥, 设1DE A C ⊥,∵1A C 、CE ⊂平面1A CE ,1AC CE C =,∴DE ⊥平面1A CE , ∵1A E ⊂平面1A CE ,∴1DE A E ⊥,与11DA A E ⊥矛盾, 所以假设不成立,即B 错误. 故选:AC . 【点睛】本题考查立体几何中的翻折问题,涉及到线段长度的求解、直线与平面位置关系的判定、点的轨迹的求解、反证法的应用等知识点,考查学生的空间立体感和推理论证能力.。
人教版高三数学下学期立体几何多选题单元 易错题难题测试提优卷

人教版高三数学下学期立体几何多选题单元 易错题难题测试提优卷一、立体几何多选题1.在三棱柱111ABC A B C -中,ABC ∆是边长为23的等边三角形,侧棱长为43,则( )A .直线1A C 与直线1BB 之间距离的最大值为3B .若1A 在底面ABC 上的投影恰为ABC ∆的中心,则直线1AA 与底面所成角为60︒ C .若三棱柱的侧棱垂直于底面,则异面直线AB 与1A C 所成的角为30D .若三棱柱的侧棱垂直于底面,则其外接球表面积为64π 【答案】AD 【分析】建立空间直角坐标系,用向量法求解. 【详解】如图示,以A 为原点,AC 为y 轴正方向,Ax 为x 轴正方向,过A 点垂直于面ABC 的向上方向为z 轴正方向建系,则()()()0,0,0,3,0,0,23,0,A B C 设()()()100010001000,,,3,3,,,23,,A x y z B x y z C x y z ++所以()()()1000100011,23,,,,,3,3,0,AC x y z BB x y z A B =---== 对于A:设n 为直线1A C 与直线1BB 的公垂线的方向向量,则有:11·0·0AC n BB n ⎧=⎪⎨=⎪⎩,即()()0000002300x x y y zz x x y y zz ⎧-+-=⎪⎨++=⎪⎩解得:()00,0n z x =- 设直线1A C 与直线1BB 之间距离为d ,则22011222200009||||z A B nd d x z n x z ===++ 22009x d ≥∴≤,即3d ≤,故A 正确;对于B :若1A 在底面ABC 上的投影恰为ABC ∆的中心,则()11,3,211A 底面法向量()()10,0,1,1,3,211m AA ==,设直线 1AA 与底面所成角为θ,则:121133sin |cos ,|6143AA n θ===⨯,故B 错误; 对于C : 三棱柱的侧棱垂直于底面时,则()()()1110,0,43,3,3,43,0,23,43,A B C则()()13,3,0,0,23,43,AB AC ==-设异面直线AB 与1A C 所成的角为θ,则1115cos |cos ,|||||||23215AB AC AB AC AB AC θ====⨯,故C 错误;对于D :若三棱柱的侧棱垂直于底面时,外接球的球心O 为上下底面中心DD 1连线的中点,所以外接球的半径()222324R =+=,所以2464S R ππ==.故D 正确故选:AD 【点睛】向量法解决立体几何问题的关键: (1)建立合适的坐标系; (2)把要用到的向量正确表示; (3)利用向量法证明或计算.2.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,点E ,F 在平面1111D C B A 内,若||5AE =AC DF ⊥,则( )A .点E 的轨迹是一个圆B .点F 的轨迹是一个圆C .EF 21-D .AE 与平面1A BD 所成角的正弦值的最大值为153015【答案】ACD 【分析】对于A 、B 、C 、D 四个选项,需要对各个选项一一验证. 选项A :由2211||5AE AA A E =+=1||1A E =,分析得E 的轨迹为圆;选项B :由AC DBF ⊥,而点F 在11B D 上,即F 的轨迹为线段11B D ,; 选项C :由E 的轨迹为圆,F 的轨迹为线段11B D ,可分析得min ||EF d r =-; 选项D :建立空间直角坐标系,用向量法求最值. 【详解】 对于A:2211||5AE AA A E =+=221|25A E +=1||1A E =,即点E 为在面1111D C B A 内,以1A 为圆心、半径为1 的圆上;故A 正确;对于B: 正方体1111ABCD A B C D -中,AC ⊥BD ,又AC DF ⊥,且BD ∩DF=D ,所以AC DBF ⊥,所以点F 在11B D 上,即F 的轨迹为线段11B D ,故B 错误;对于C:在平面1111D C B A 内,1A 到直线11B D 的距离为2,d=当点E ,F 落在11A C 上时,min ||21EF =-;故C 正确; 对于D:建立如图示的坐标系,则()()()()10,0,0,2,0,0,0,0,2,0,2,0A B A D因为点E 为在面1111D C B A 内,以1A 为圆心、半径为1 的圆上,可设()cos ,sin ,2E θθ 所以()()()1cos ,sin ,2,2,0,2,2,2,0,AE A B BD θθ==-=-设平面1A BD 的法向量(),,n x y z =,则有1·220·220n BD x y n A B x z ⎧=-+=⎪⎨=-=⎪⎩不妨令x =1,则()1,1,1n =, 设AE 与平面1A BD 所成角为α,则:22|||sin |cos ,|||||5315n AE n AE n AE πθα⎛⎫++ ⎪⎝⎭====⨯⨯当且仅当4πθ=时,sin α2215301515=, 故D 正确故选:CD【点睛】多项选择题是2020年高考新题型,需要要对选项一一验证.3.如图所示,正三角形ABC中,D,E分别为边AB,AC的中点,其中AB=8,把△ADE 沿着DE翻折至A'DE位置,使得二面角A'-DE-B为60°,则下列选项中正确的是()A.点A'到平面BCED的距离为3B.直线A'D与直线CE所成的角的余弦值为5 8C.A'D⊥BDD.四棱锥A'-BCED237【答案】ABD【分析】作AM⊥DE,交DE于M,延长AM交BC于N,连接A'M,A'N.利用线面垂直的判定定理判定CD⊥平面A'MN,利用面面垂直的判定定理与性质定理得到'A到平面面BCED的高A'H,并根据二面角的平面角,在直角三角形中计算求得A'H的值,从而判定A;根据异面直线所成角的定义找到∠A'DN就是直线A'D与CE所成的角,利用余弦定理计算即可判定B;利用勾股定理检验可以否定C;先证明底面的外接圆的圆心为N,在利用外接球的球心的性质进行得到四棱锥A'-BCED的外接球的球心为O,则ON⊥平面BCED,且OA'=OC,经过计算求解可得半径从而判定D.【详解】如图所示,作AM⊥DE,交DE于M,延长AM交BC于N,连接A'M,A'N.则A'M⊥DE,MN⊥DE, ,∵'A M∩MN=M,∴CD⊥平面A'MN,又∵CD⊂平面ABDC,∴平面A'MN⊥平面ABDC,在平面A'MN中作A'H⊥MN,则A'H⊥平面BCED,∵二面角A'-DE-B为60°,∴∠A'EF=60°,∵正三角形ABC中,AB=8,∴AN=43∴A'M3,∴A'H=A'M sin60°=3,故A正确;连接DN,易得DN‖EC,DN=EC=4,∠A'DN就是直线A'D与CE所成的角,DN=DA'=4,A'N=A'M3,cos ∠A'DN =22441252448+-=⨯⨯,故B 正确;A'D =DB =4,A'B=22121627A N BN +=+=',∴222A D DB A B '≠'+,∴A'D 与BD 不垂直,故C 错误’ 易得NB =NC =ND =NG =4,∴N 为底面梯形BCED 的外接圆的圆心, 设四棱锥A'-BCED 的外接球的球心为O ,则ON ⊥平面BCED ,且OA'=OC , 若O 在平面BCED 上方,入图①所示:设ON =x ,外接球的半径为R ,过O 作A'H 的垂线,垂足为P , 则HP =x ,易得()()22222433x x R +=-+=,解得23x =-,舍去; 故O 在平面BCED 下方,如图②所示:设ON =x ,外接球的半径为R ,过O 作A'H 的垂线,垂足为P , 则HP =x ,易得()()22222433x x R +=++=, 解得23x =, ∴244371699R ⨯=+=,237R ∴=,故D 正确. 故选:ABD .【点睛】本题考查立体几何中的折叠问题,涉及二面角问题,异面直线所成的角,用到线面、面面垂直的判定与性质及外接球的球心的性质和有关计算,余弦定理等,属综合性较强的题目,关键是利用线面垂直,面面垂直的判定和性质进行空间关系和结构的判定,注意球心在四棱锥的底面上方和下方的讨论与验证.4.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,P 为底面ABCD 内(含边界)一点.( ) A .若13A P P 点有且只有一个 B .若12A P ,则点P 的轨迹是一段圆弧 C .若1//A P 平面11B D C ,则1A P 2D .若12A P 且1//A P 平面11B DC ,则平面11A PC 截正方体外接球所得截面的面积为23π【答案】ABD 【分析】选项A ,B 可利用球的截面小圆的半径来判断;由平面1//A BD 平面11B D C ,知满足1//A P 平面11B D C 的点P 在BD 上,1A P 2P 与B 或D 重合,利用12sin 60A P r =︒,求出6r =,进而求出面积. 【详解】对A 选项,如下图:由13A P =P 在以1A 3的球上,又因为P 在底面ABCD 内(含边界),底面截球可得一个小圆,由1A A ⊥底面ABCD ,知点P 的轨迹是在底面上以A 为圆心的小圆圆弧,半径为22112r A P A A =-=C满足,故A 正确;对B 选项,同理可得点P 在以A 为圆心,半径为22111r A P A A =-=的小圆圆弧上,在底面ABCD 内(含边界)中,可得点P 轨迹为四分之一圆弧BD .故B 正确;对C 选项,移动点P 可得两相交的动直线与平面11B D C 平行,则点P 必在过1A 且与平面11B D C 平行的平面内,由平面1//A BD 平面11B D C ,知满足1//A P 平面11B D C 的点P 在BD上,则1A P 长的最大值为12A B =,则C 不正确; 对选项D ,由以上推理可知,点P 既在以A 为圆心,半径为1的小圆圆弧上,又在线段BD 上,即与B 或D 重合,不妨取点B ,则平面11A PC 截正方体外接球所得截面为11A BC 的外接圆,利用2126622,,sin 60333A B r r S r ππ==∴=∴==︒.故D 正确.故选:ABD 【点睛】(1)平面截球所得截面为圆面,且满足222=R r d +(其中R 为球半径,r 为小圆半径,d 为球心到小圆距离);(2)过定点A 的动直线平行一平面α,则这些动直线都在过A 且与α平行的平面内.5.一副三角板由一块有一个内角为60°的直角三角形和一块等腰直角三角形组成,如图所示,090B F ∠=∠=,060,45,A D BC DE ∠=∠==,现将两块三角形板拼接在一起,得三棱锥F CAB -,取BC 中点O 与AC 中点M ,则下列判断中正确的是( )A .BC FM ⊥B .AC 与平面MOF 3C .平面MOF 与平面AFB 所成的二面角的平面角为45°D .设平面ABF 平面MOF l =,则有//l AB【答案】AD 【分析】证明BC ⊥面FOM 可判断A ;根据AC 与平面MOF 所成的角为060CMO ∠=判断B ;利用特殊位置判断C ;先证明//AB 面MOF ,由线面平行的性质定理可判断D ; 【详解】由三角形中位线定理以及等腰三角形的性质可得,,BC OF BC OM OM OF O ⊥⊥=,所以BC ⊥面FOM BC FM ⇒⊥,故A 正确;因为BC ⊥面FOM ,所以AC 与平面MOF 所成的角为060CMO ∠=,所以余弦值为12,故B 错误; 对于C 选项可以考虑特殊位置法,由BC ⊥面FOM 得面ABC ⊥面FOM ,所以点F 在平面ABC 内的射影在直线OM 上,不妨设点F 平面ABC 内的射影为M ,过点M 作//BC MN ,连结NF .易证AB ⊥面MNF ,则l ⊥面MNF ,所以MFN ∠为平面MOF与平面AFB 所成的二面角的平面角,不妨设2AB =,因为060A,所以23BC =,则13,12OF BC OM ===,显然MFN ∠不等于45°,故C 错误. 设面MOF 与平面ABF 的交线为l ,又因为//,AB OM AB ⊄面MOF ,OM ⊂面MOF ,所以//AB 面MOF ,由线面平行的性质定理可得://l AB ,故D 正确;故选:AD.【点睛】方法点睛:求直线与平面所成的角有两种方法:一是传统法,证明线面垂直找到直线与平面所成的角,利用平面几何知识解答;二是利用空间向量,求出直线的方向向量以及平面的方向向量,利用空间向量夹角余弦公式求解即可.6.在正方体1111ABCD A B C D -中,M 、N 分别是棱AB 、1CC 的中点,1MB P 的顶点P 在棱1CC 与棱11C D 上运动,有以下四个命题正确命题的序号是( )A .平面1MB P 1ND ⊥ B .平面1MB P ⊥平面11ND AC .1MB P 在底面ABCD 上的射影图形的面积为定值 D .1MB P 在侧面11D C CD 上射影图形是三角形 【答案】BC 【分析】取N 与P 重合,结合勾股定理可判断A 选项的正误;利用面面垂直的判定定理可判断B 选项的正误;分点P 在棱1CC 、11C D 上运动两种情况讨论,利用三角形的面积公式可判断C 选项的正误;取点P 与点1C 重合,判断1MB P 在侧面11D C CD 上射影图形形状,可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项,设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,如下图所示:当点P 与点N 重合时, 若1ND ⊥平面1MB P ,1B N ⊂平面1MB P ,则11ND B N ⊥,由勾股定理可得2211115D N C N C D =+=,同理可得15B N =,1122B D =,2221111B N D N B D ∴+≠,则1ND 与1B N 不垂直,假设不成立,A 选项错误;对于B 选项,取1BB 的中点E ,连接1A E 、EN ,在正方体1111ABCD A B C D -中,11//BB CC ,且E 、N 分别为1BB 、1CC 的中点, 则11//B E C N 且11B E C N =,所以,四边形11B ENC 为平行四边形,则11//EN B C 且11EN B C =,1111//A D B C 且1111A D B C =,所以,11//A D EN 且11A D EN =,所以,四边形11A END 为平行四边形,所以,11//A E D N ,111A B BB =,1B E BM =,11190A B E B BM ∠=∠=,所以,111Rt A B E Rt B BM ≅△△,所以,111B A E BB M ∠=∠,所以,111111190A EB BB M A EB B A E ∠+∠=∠+∠=,190B FE ∴∠=,所以,11B M A E ⊥,11A D ⊥平面11AA B B ,1B M ⊂平面11AA B B ,111B M A D ∴⊥, 1111A D A E A =,11A D 、1A E ⊂平面11ND A ,1MB ∴⊥平面11ND A ,1MB ⊂平面1MB P ,所以,平面1MB P ⊥平面11ND A ,B 选项正确;对于C 选项,设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a .若点P 在棱1CC 上运动时,1MB P 在底面ABCD 上的射影为MBC △, 此时,射影图形的面积为21224MBCa a S a =⋅=△;若点P 在棱11C D 上运动时,设点P 在底面ABCD 上的射影点为G ,则G CD ∈, 且点G 到AB 的距离为a ,1MB 在底面ABCD 内的射影为MB ,则1MB P 在底面ABCD 内的射影为MBG △,且21224MBGa a S a =⋅⋅=△.综上所述,1MB P 在底面ABCD 内的射影图形的面积为定值,C 选项正确; 对于D 选项,当点P 与1C 重合时,P 、1B 两点在平面11D C CD 上的射影重合, 此时,1MB P 在侧面11D C CD 上的射影不构成三角形,D 选项错误. 故选:BC. 【点睛】方法点睛:证明面面垂直常用的方法: (1)面面垂直的定义; (2)面面垂直的判定定理.在证明面面垂直时,一般假设面面垂直成立,然后利用面面垂直转化为线面垂直,即为所证的线面垂直,组织论据证明即可.7.如图,已知正方体1ABCD ABC D -的棱长为a ,E 是棱CD 上的动点.则下列结论中正确的有( )A .11EB AD ⊥B .二面角11E A B A --的大小为4πC .三棱锥11A BDE -体积的最小值为313a D .1//D E 平面11A B BA 【答案】ABD 【分析】连接1A D 、1B C ,则易证1AD ⊥平面11A DCB ,1EB ⊂平面11A DCB ,则由线面垂直的性质定理可以判断选项A 正确;二面角11E A B A --的平面角为1DA A ∠,易知14DA A π∠=,则可判断选项B 正确;用等体积法,将求三棱锥11A B D E -的体积转化为求三棱锥11E AB D -的体积,当点E 与D 重合时,三棱锥11E AB D -的体积最小,此时的值为316a ,则选项C 错误;易知平面11//D DCC 平面11A B BA ,而1D E ⊂平面11D DCC ,则根据面面平行的性质定理可得1//D E 平面11A B BA ,可判断选项D 正确. 【详解】选项A ,连接1A D 、1B C ,则由正方体1ABCD ABC D -可知,11A D AD ⊥,111A B AD ⊥,1111A DA B A =,则1AD ⊥平面11A DCB ,又因为1EB ⊂平面11A DCB ,所以11EB AD ⊥,选项A 正确; 选项B ,因为11//DE A B ,则二面角11E A B A --即为二面角11D A B A --, 由正方体1ABCD ABC D -可知,11A B ⊥平面1DA A , 则1DA A ∠为二面角11D A B A --的平面角,且14DA A π∠=,所以选项B 正确;选项C ,设点E 到平面11AB D 的距离为d , 则11111113A B D E E AB D AB D V V S d --==⋅,连接1C D 、1C B ,易证平面1//BDC 平面11AB D ,则在棱CD 上,点D 到平面11AB D 的距离最短, 即点E 与D 重合时,三棱锥11A B D E -的体积最小, 由正方体1ABCD ABC D -知11A B ⊥平面1ADD , 所以1111123111113326D AB D B ADDADD a V V S A B a a --==⋅=⋅⋅=, 则选项C 错误;选项D ,由正方体1ABCD ABC D -知,平面11//CC D D 平面11A B BA ,且1D E ⊂平面11CC D D , 则由面面平行的性质定理可知1//D E 平面11A B BA ,则选项D 正确. 故选:ABD. 【点睛】关键点点睛:本题对于选项C 的判断中,利用等体积法求三棱锥的体积是解题的关键.8.如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3,点E ,F 分别在1CC ,1BB 上,12C E EC →→=,12BF FB →→=.动点M 在侧面11ADD A 内(包含边界)运动,且满足直线//BM 平面1D EF ,则( )A .过1D ,E ,F 的平面截正方体所得截面为等腰梯形B .三棱锥1D EFM -的体积为定值C .动点M 10D .过B ,E ,M 的平面截正方体所得截面面积的最小值为10【答案】BCD 【分析】由题做出过1D ,E ,F 的平面截正方体所得截面为梯形1D EFN ,进而计算即可排除A 选项;根据//BM平面1D EF ,由等体积转化法得1111D EFM M D EF B D EF D BEFV V V V ----===即可得B 选项正确;取1AA 靠近1A 点的三等分点H , 1DD 靠近D 点的三等分点I ,易知M 的轨迹为线段HI ,故C 选项正确;过M 点做BE 的平行线交1AA 于P ,交1DD 于O ,连接,BP OE ,易知过B ,E ,M 的平面截正方体所得截面即为平行四边形BPOE ,进而得当H 位于点I 时,截面面积最小,为四边形ABEI 的面积,且面积为S AB BE =⋅= 【详解】解:对于A 选项,如图,取BF 中点G ,连接1A G ,由点E ,F 分别在1CC ,1BB 上,12C E EC →→=,12BF FB →→=,故四边形11A D EG 为平行四边形,故11//AGD E ,由于在11A B G △,F 为1B G 中点,当N 为11A B 中点时,有11////NF A G D E ,故过1D ,E ,F 的平面截正方体所得截面为梯形1D EFN ,此时1D N ==,EF ==1D EFN 不是等腰梯形,故A 选项错误;对于B 选项,三棱锥1D EFM -的体积等于三棱锥1M D EF -的体积,由于//BM平面1D EF ,故三棱锥1M D EF -的体积等于三棱锥1B D EF -的体积,三棱锥1B D EF -的体积等于三棱锥1D BEF -的体积,而三棱锥1D BEF -的体积为定值,故B 选项正确; 对于C 选项,取1AA 靠近1A 点的三等分点H , 1DD 靠近D 点的三等分点I ,易知1////HB AG NF ,1//BI D F ,由于1,HI BI I NFD F F ==,故平面//BHI 平面1D EF ,故M 的轨迹为线段HI ,故C 选项正确;对于D 选项,过M 点做BE 的平行线交1AA 于P ,交1DD 于O ,连接,BP OE ,则过B ,E ,M 的平面截正方体所得截面即为平行四边形BPOE ,易知当H 位于点I 时,平行四边形BPOE 边BP 最小,且为AB ,此时截面平行四边形BPOE 的面积最小,为四边形ABEI 的面积,且面积为S AB BE =⋅=D 选项正确; 故选:BCD【点睛】本题解题的关键在于根据题意,依次做出过1D ,E ,F 的平面截正方体所得截面为梯形1D EFN ,过B ,E ,M 的平面截正方体所得截面即为平行四边形BPOE ,进而讨论AD选项,通过//BM平面1D EF ,并结合等体积转化法得1111D EFM M D EF B D EF D BEF V V V V ----===知B 选项正确,通过构造面面平行得M 的轨迹为线段HI ,进而讨论C 选项,考查回归转化思想和空间思维能力,是中档题.9.在正方体1111ABCD A B C D -中,如图,,M N 分别是正方形ABCD ,11BCC B 的中心.则下列结论正确的是( )A .平面1D MN 与11BC 的交点是11B C 的中点 B .平面1D MN 与BC 的交点是BC 的三点分点 C .平面1D MN 与AD 的交点是AD 的三等分点 D .平面1D MN 将正方体分成两部分的体积比为1∶1 【答案】BC 【分析】取BC 的中点E ,延长DE ,1D N ,并交于点F ,连FM 并延长分别交,BC AD 于,P Q ,连1,D Q PN 并延长交11B C 与H ,平面四边形1D HPQ 为所求的截面,进而求出,,P Q H 在各边的位置,利用割补法求出多面体11QPHD C CD 的体积,即可求出结论.【详解】如图,取BC 的中点E ,延长DE ,1D N ,并交于点F , 连接FM 并延长,设FM BC P ⋂=,FM AD Q ⋂=, 连接PN 并延长交11B C 于点H .连接1D Q ,1D H ,则平面四边形1D HPQ 就是平面1D MN 与正方体的截面,如图所示.111111////,22NE CC DD NE CC DD ==,NE ∴为1DD F ∆的中位线,E ∴为DF 中点,连BF , ,,90DCE FBE BF DC AB FBE DCE ∴∆≅∆==∠=∠=︒, ,,A B F ∴三点共线,取AB 中点S ,连MS ,则12//,,23BP FB MS BP MS BC MS FS =∴==, 22111,33236BP MS BC BC PE BC ∴==⨯=∴=, E 为DF 中点,11//,233PE DQ DQ PE BC AD ∴===N 分别是正方形11BCC B 的中心,11113C H BP C B ∴==所以点P 是线段BC 靠近点B 的三等分点, 点Q 是线段AD 靠近点D 的三等分点, 点H 是线段11B C 靠近点1C 的三等分点. 做出线段BC 的另一个三等分点P ', 做出线段11A D 靠近1D 的三等分点G ,连接QP ',HP ',QG ,GH ,1H QPP Q GHD V V '--=, 所以111113QPHD C CD QPHQ DCC D V V V -==多面体长方体正方体 从而平面1D MN 将正方体分成两部分体积比为2∶1. 故选:BC.【点睛】本题考查直线与平面的交点及多面体的体积,确定出平面与正方体的交线是解题的关键,考查直观想象、逻辑推理能力,属于较难题.10.如图,正三棱柱11ABC A B C -中,11BC AB ⊥、点D 为AC 中点,点E 为四边形11BCC B 内(包含边界)的动点则以下结论正确的是( )A .()1112DA A A B A BC =-+ B .若//DE 平面11ABB A ,则动点E 的轨迹的长度等于22AC C .异面直线AD 与1BC ,所成角的余弦值为66D .若点E 到平面11ACC A 的距离等于32EB ,则动点E 的轨迹为抛物线的一部分 【答案】BCD 【分析】根据空间向量的加减法运算以及通过建立空间直角坐标系求解,逐项判断,进而可得到本题答案. 【详解】解析:对于选项A ,()1112AD A A B A BC =-+,选项A 错误; 对于选项B ,过点D 作1AA 的平行线交11A C 于点1D .以D 为坐标原点,1DA DB DD ,,分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz .设棱柱底面边长为a ,侧棱长为b ,则002aA ⎛⎫ ⎪⎝⎭,,,300B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,,,130B b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,,,102a C b ⎛⎫- ⎪⎝⎭,,,所以132a BC a b ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭,,,132a AB a b ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,,. ∵11BC AB ⊥,∴110BC AB ⋅=,即2223022a a b ⎛⎫⎛⎫--+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解得22b a =. 因为//DE 平面11ABB A ,则动点E 的轨迹的长度等于122BB AC =.选项B 正确. 对于选项C ,在选项A 的基础上,002a A ⎛⎫⎪⎝⎭,,,300B a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,,,()0,0,0D ,12022a C a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,,,所以002a DA ⎛⎫= ⎪⎝⎭,,,132222a BC a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,-,, 因为211162cos ,||||622a BC DA BC DA BC DA a a ⎛⎫- ⎪⋅⎝⎭<>===-,所以异面直线1,BC DA 所成角的余弦值为66,选项C 正确. 对于选项D ,设点E 在底面ABC 的射影为1E ,作1E F 垂直于AC ,垂足为F ,若点E 到平面11ACC A 的距离等于3EB ,即有31E F EB =,又因为在1CE F ∆中,311E F E C =,得1EB E C =,其中1E C 等于点E 到直线1CC 的距离,故点E 满足抛物线的定义,另外点E 为四边形11BCC B 内(包含边界)的动点,所以动点E 的轨迹为抛物线的一部分,故D 正确.故选:BCD 【点睛】本题主要考查立体几何与空间向量的综合应用问题,其中涉及到抛物线定义的应用.。
人教版高三数学第二学期立体几何多选题单元 易错题难题自检题学能测试试卷

人教版高三数学第二学期立体几何多选题单元 易错题难题自检题学能测试试卷一、立体几何多选题1.已知球O 为正方体1111ABCD A B C D -的内切球,平面11A C B 截球O 的面积为24π,下列命题中正确的有( )A .异面直线AC 与1BC 所成的角为60°B .1BD ⊥平面11AC B C .球O 的表面积为36πD .三棱锥111B AC B -的体积为288 【答案】AD 【分析】连接11A C ,1A B ,通过平移将AC 与1BC 所成角转化为11A C 与1BC 所成角可判断A ;通过反证法证明B ;由已知平面11A C B 截球O 的面积为24π求出正方体棱长,进而求出内切球的表面积可判断C ;利用等体积法可求得三棱锥111B AC B -的体积可判断D. 【详解】对于A ,连接11A C ,1A B ,由正方体1111ABCD A B C D -,可知11//A C AC ,11AC B ∴∠为异面直线AC 与1BC 所成的角,设正方体边长为a,则1111AC A B BC ==,由等边三角形知1160A C B ∠=,即异面直线AC 与1BC 所成的角为60,故A 正确; 对于B ,假设1BD ⊥平面11A C B ,又1A B ⊂平面11A C B ,则11BD B A ⊥,设正方体边长为a ,则11A D a =,1A B =,1BD =,由勾股定理知111A D B A ⊥,与假设矛盾,假设不成立,故1BD 不垂直于平面11A C B ,故B 错误; 对于C ,设正方体边长为a,则11AC =,内切球半径为2a,设内切球的球心O 在面11A C B 上的投影为O ',由等边三角形性质可知O '为等边11A C B △的重心,则11123O A AC ='==,又1OA =,∴球心O 到面11A C B 的距离==,又球心与截面圆心的连线垂直于截面,∴=,又截面圆的面积224S ππ⎫=⎪⎪⎝⎭=,解得12a =,则内切球半径为6,内切球表面积214644S ππ==⨯,故C 错误;对于D ,由等体积法知111111111111212122812383B A C B B A C B A C B V V S a --==⨯⨯=⨯⨯=,故D 正确; 故选:AD【点睛】关键点点睛:本题考查了正方体和它的内切球的几何结构特征,关键是想象出截面图的形状,从而求出正方体的棱长,进而求出内切球的表面积及三棱锥的体积,考查了空间想象能力,数形结合的思想,属于较难题.2.如图所示,正三角形ABC 中,D ,E 分别为边AB ,AC 的中点,其中AB =8,把△ADE 沿着DE 翻折至A 'DE 位置,使得二面角A '-DE -B 为60°,则下列选项中正确的是( )A .点A '到平面BCED 的距离为3B .直线A 'D 与直线CE 所成的角的余弦值为58C .A 'D ⊥BDD .四棱锥A '-BCED 237【答案】ABD 【分析】作AM ⊥DE ,交DE 于M ,延长AM 交BC 于N ,连接A'M ,A'N .利用线面垂直的判定定理判定CD ⊥平面A'MN ,利用面面垂直的判定定理与性质定理得到'A 到平面面BCED 的高A'H ,并根据二面角的平面角,在直角三角形中计算求得A'H 的值,从而判定A;根据异面直线所成角的定义找到∠A'DN 就是直线A'D 与CE 所成的角,利用余弦定理计算即可判定B;利用勾股定理检验可以否定C;先证明底面的外接圆的圆心为N ,在利用外接球的球心的性质进行得到四棱锥A'-BCED 的外接球的球心为O ,则ON ⊥平面BCED ,且OA'=OC ,经过计算求解可得半径从而判定D. 【详解】如图所示,作AM ⊥DE ,交DE 于M ,延长AM 交BC 于N ,连接A'M ,A'N . 则A'M ⊥DE ,MN ⊥DE , ,∵'A M ∩MN =M ,∴CD ⊥平面A'MN , 又∵CD ⊂平面ABDC ,∴平面A'MN ⊥平面ABDC , 在平面A'MN 中作A'H ⊥MN ,则A'H ⊥平面BCED , ∵二面角A'-DE -B 为60°,∴∠A'EF =60°,∵正三角形ABC 中,AB =8,∴AN =∴A'M ,∴A'H =A'M sin60°=3,故A 正确; 连接DN ,易得DN ‖EC ,DN =EC =4, ∠A'DN 就是直线A'D 与CE 所成的角,DN =DA'=4,A'N =A'M ,cos ∠A'DN =22441252448+-=⨯⨯,故B 正确;A'D =DB =4,==,∴222A D DB A B '≠'+,∴A'D 与BD 不垂直,故C 错误’ 易得NB =NC =ND =NG =4,∴N 为底面梯形BCED 的外接圆的圆心, 设四棱锥A'-BCED 的外接球的球心为O ,则ON ⊥平面BCED ,且OA'=OC , 若O 在平面BCED 上方,入图①所示:设ON =x ,外接球的半径为R ,过O 作A'H 的垂线,垂足为P ,则HP =x ,易得()2222243x x R +=-+=,解得23x =-,舍去;故O 在平面BCED 下方,如图②所示:设ON =x ,外接球的半径为R ,过O 作A'H 的垂线,垂足为P ,则HP =x ,易得()2222243x x R +=++=, 解得23x =,∴244371699R ⨯=+=,R ∴=故D 正确. 故选:ABD .【点睛】本题考查立体几何中的折叠问题,涉及二面角问题,异面直线所成的角,用到线面、面面垂直的判定与性质及外接球的球心的性质和有关计算,余弦定理等,属综合性较强的题目,关键是利用线面垂直,面面垂直的判定和性质进行空间关系和结构的判定,注意球心在四棱锥的底面上方和下方的讨论与验证.3.一副三角板由一块有一个内角为60°的直角三角形和一块等腰直角三角形组成,如图所示,090B F ∠=∠=,060,45,A D BC DE ∠=∠==,现将两块三角形板拼接在一起,得三棱锥F CAB -,取BC 中点O 与AC 中点M ,则下列判断中正确的是( )A .BC FM ⊥B .AC 与平面MOF 所成的角的余弦值为32C .平面MOF 与平面AFB 所成的二面角的平面角为45°D .设平面ABF 平面MOF l =,则有//l AB【答案】AD 【分析】证明BC ⊥面FOM 可判断A ;根据AC 与平面MOF 所成的角为060CMO ∠=判断B ;利用特殊位置判断C ;先证明//AB 面MOF ,由线面平行的性质定理可判断D ; 【详解】由三角形中位线定理以及等腰三角形的性质可得,,BC OF BC OM OM OF O ⊥⊥=,所以BC ⊥面FOM BC FM ⇒⊥,故A 正确;因为BC ⊥面FOM ,所以AC 与平面MOF 所成的角为060CMO ∠=,所以余弦值为12,故B 错误; 对于C 选项可以考虑特殊位置法,由BC ⊥面FOM 得面ABC ⊥面FOM ,所以点F 在平面ABC 内的射影在直线OM 上,不妨设点F 平面ABC 内的射影为M ,过点M 作//BC MN ,连结NF .易证AB ⊥面MNF ,则l ⊥面MNF ,所以MFN ∠为平面MOF与平面AFB 所成的二面角的平面角,不妨设2AB =,因为060A,所以23BC =,则13,12OF BC OM ===,显然MFN ∠不等于45°,故C 错误. 设面MOF 与平面ABF 的交线为l ,又因为//,AB OM AB ⊄面MOF ,OM ⊂面MOF ,所以//AB 面MOF ,由线面平行的性质定理可得://l AB ,故D 正确; 故选:AD.【点睛】方法点睛:求直线与平面所成的角有两种方法:一是传统法,证明线面垂直找到直线与平面所成的角,利用平面几何知识解答;二是利用空间向量,求出直线的方向向量以及平面的方向向量,利用空间向量夹角余弦公式求解即可.4.在正方体1111ABCD A B C D -中,M 、N 分别是棱AB 、1CC 的中点,1MB P 的顶点P 在棱1CC 与棱11C D 上运动,有以下四个命题正确命题的序号是( )A .平面1MB P 1ND ⊥ B .平面1MB P ⊥平面11ND AC .1MB P 在底面ABCD 上的射影图形的面积为定值 D .1MB P 在侧面11D C CD 上射影图形是三角形 【答案】BC 【分析】取N 与P 重合,结合勾股定理可判断A 选项的正误;利用面面垂直的判定定理可判断B 选项的正误;分点P 在棱1CC 、11C D 上运动两种情况讨论,利用三角形的面积公式可判断C 选项的正误;取点P 与点1C 重合,判断1MB P 在侧面11D C CD 上射影图形形状,可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项,设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,如下图所示:当点P 与点N 重合时, 若1ND ⊥平面1MB P ,1B N ⊂平面1MB P ,则11ND B N ⊥,由勾股定理可得2211115D N C N C D =+=,同理可得15B N =1122B D =2221111B N D N B D ∴+≠,则1ND 与1B N 不垂直,假设不成立,A 选项错误;对于B 选项,取1BB 的中点E ,连接1A E 、EN ,在正方体1111ABCD A B C D -中,11//BB CC ,且E 、N 分别为1BB 、1CC 的中点, 则11//B E C N 且11B E C N =,所以,四边形11B ENC 为平行四边形,则11//EN B C 且11EN B C =,1111//A D B C 且1111A D B C =,所以,11//A D EN 且11A D EN =,所以,四边形11A END 为平行四边形,所以,11//A E D N ,111A B BB =,1B E BM =,11190A B E B BM ∠=∠=,所以,111Rt A B E Rt B BM ≅△△,所以,111B A E BB M ∠=∠,所以,111111190A EB BB M A EB B A E ∠+∠=∠+∠=,190B FE ∴∠=,所以,11B M A E ⊥,11A D ⊥平面11AA B B ,1B M ⊂平面11AA B B ,111B M A D ∴⊥, 1111A D A E A =,11A D 、1A E ⊂平面11ND A ,1MB ∴⊥平面11ND A ,1MB ⊂平面1MB P ,所以,平面1MB P ⊥平面11ND A ,B 选项正确;对于C 选项,设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a .若点P 在棱1CC 上运动时,1MB P 在底面ABCD 上的射影为MBC △, 此时,射影图形的面积为21224MBCa a S a =⋅=△; 若点P 在棱11C D 上运动时,设点P 在底面ABCD 上的射影点为G ,则G CD ∈, 且点G 到AB 的距离为a ,1MB 在底面ABCD 内的射影为MB ,则1MB P 在底面ABCD 内的射影为MBG △,且21224MBGa a S a =⋅⋅=△.综上所述,1MB P 在底面ABCD 内的射影图形的面积为定值,C 选项正确; 对于D 选项,当点P 与1C 重合时,P 、1B 两点在平面11D C CD 上的射影重合, 此时,1MB P 在侧面11D C CD 上的射影不构成三角形,D 选项错误. 故选:BC. 【点睛】方法点睛:证明面面垂直常用的方法: (1)面面垂直的定义; (2)面面垂直的判定定理.在证明面面垂直时,一般假设面面垂直成立,然后利用面面垂直转化为线面垂直,即为所证的线面垂直,组织论据证明即可.5.在长方体1111ABCD A B C D -中,4AB BC ==,18AA =,点P 在线段11A C 上,M 为AB 的中点,则( ) A .BD ⊥平面PACB .当P 为11AC 的中点时,四棱锥P ABCD -外接球半径为72C .三棱锥A PCD -体积为定值D .过点M 作长方体1111ABCD A B C D -的外接球截面,所得截面圆的面积的最小值为4π 【答案】ACD 【分析】利用线面垂直的判定定理可判断A 选项的正误;判断出四棱锥P ABCD -为正四棱锥,求出该四棱锥的外接球半径,可判断B 选项的正误;利用等体积法可判断C 选项的正误;计算出截面圆半径的最小值,求出截面圆面积的最小值,可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项,因为AB BC =,所以,矩形ABCD 为正方形,所以,BD AC ⊥, 在长方体1111ABCD A B C D -中,1AA ⊥底面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,1BD AA ∴⊥,1AC AA A ⋂=,AC 、1AA ⊂平面PAC ,所以,BD ⊥平面PAC ,A 选项正确;对于B 选项,当点P 为11A C 的中点时,PA ===同理可得PB PC PD ===因为四边形ABCD 为正方形,所以,四棱锥P ABCD -为正四棱锥, 取AC 的中点N ,则PN 平面ABCD ,且四棱锥P ABCD -的外接球球心在直线PN上,设该四棱锥的外接球半径为R ,由几何关系可得222PN R AN R -+=, 即2288R R -+=,解得92R =,B 选项错误; 对于C 选项,2114822ACDSAD CD =⋅=⨯=, 三棱锥P ACD -的高为18AA =,因此,116433A PCD P ACD ACD V V S AA --==⋅=△,C 选项正确;对于D 选项,设长方体1111ABCD A B C D -的外接球球心为E ,则E 为1BD 的中点, 连接EN 、MN ,则1142EN DD ==,122MN AD ==, E 、N 分别为1BD 、BD 的中点,则1//EN DD , 1DD ⊥平面ABCD ,EN ∴⊥平面ABCD ,MN ⊂平面ABCD ,EN MN ∴⊥,EM ∴==过点M 作长方体1111ABCD A B C D -的外接球截面为平面α,点E 到平面α的距离为d ,直线EM 与平面α所成的角为θ,则sin d EM θθ==≤ 当且仅当2πθ=时,等号成立,长方体1111ABCD A B C D -的外接球半径为R '==,所以,截面圆的半径2r =≥=,因此,截面圆面积的最小值为4π,D 选项正确.故选:ACD. 【点睛】方法点睛:求空间多面体的外接球半径的常用方法:①补形法:侧面为直角三角形,或正四面体,或对棱二面角均相等的模型,可以还原到正方体或长方体中去求解;②利用球的性质:几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径,也即球的直径; ③定义法:到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心,借助有特殊性底面的外接圆圆心,找其垂线,则球心一定在垂线上,再根据带其他顶点距离也是半径,列关系求解即可.6.在直角梯形ABCD 中,2ABC BCD π∠=∠=,1AB BC ==,2DC =,E 为DC 中点,现将ADE 沿AE 折起,得到一个四棱锥D ABCE -,则下列命题正确的有( ) A .在ADE 沿AE 折起的过程中,四棱锥D ABCE -体积的最大值为13B .在ADE 沿AE 折起的过程中,异面直线AD 与BC 所成的角恒为4π C .在ADE 沿AE 折起的过程中,二面角A EC D --的大小为45︒D .在四棱锥D ABCE -中,当D 在EC 上的射影恰好为EC 的中点F 时,DB 与平面ABCE所成的角的正切为155【答案】ABD 【分析】对于A ,四棱锥D ABCE -的底面面积是固定值,要使得体积最大,需要平面DAE ⊥平面ABCE ,此时DE CE ⊥,可求得1133D ABCE ABCE V S DE -=⋅=可判断A ;对于B ,在ADE 沿AE 折起的过程中,//AE BC ,所以异面直线AD 与AE 所成的角即为AD 与BC所成角,由翻折前可知4DAE π∠=可判断B ;对于C ,利用线面垂直的判定定理,结合翻折前可知AE ⊥平面DEC ,又AE ⊂平面ABCE ,所以平面DEC ⊥平面ABCE ,即二面角A EC D --的在大小为2π判断C ;对于D ,利用线面垂直的判定定理可知DF ⊥平面ABCE ,所以DBF ∠为直线DB 与平面ABCE 所成的角,在直角DFB △中,15tan DF DBF BF ∠==,可判断D 正确;【详解】对于A ,ADE 沿AE 折起得到四棱锥D ABCE -,由四棱锥底面面积是固定值,要使得体积最大,需要四棱锥的高最大,即平面DAE ⊥平面ABCE ,此时DE CE ⊥,由已知得1DE =,则111111333D ABCE ABCE V S DE -=⋅=⨯⨯⨯=,故A 正确; 对于B ,在ADE 沿AE 折起的过程中,//AE BC ,所以异面直线AD 与AE 所成的角即为AD 与BC 所成角,又1AB BC ==,2DC =,E 为DC 中点,可知4DAE π∠=,即异面直线AD 与BC 所成的角恒为4π,故B 正确; 对于C ,由翻折前知,,AE EC AE ED ⊥⊥,且ECED E =,则AE ⊥平面DEC ,又AE ⊂平面ABCE ,所以平面DEC ⊥平面ABCE ,即二面角A EC D --的大小为2π,故C 错误; 对于D ,如图连接,DF BF ,由C 选项知,AE ⊥平面DEC ,又DF ⊂平面DEC ,则AE DF ⊥,又由已知得EC DF ⊥,且EC AE E ⋂=,则DF ⊥平面ABCE ,所以DBF ∠为直线DB 与平面ABCE 所成的角,在直角DFB △中,222222113122152tan 5511122DE CE DFDBF BFBC CE ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∠=====⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以DB 与平面ABCE 所成的角的正切为15,故D 正确; 故选:ABD 【点睛】关键点睛:本题考查立体几何综合问题,求体积,求线线角,线面角,面面角,解题的关键要熟悉几种角的定义,通过平移法找到线线角,通过证垂直找到线面角和面面角,再结合三角形求出角,考查了学生的逻辑推理能力,转化能力与运算求解能力,属于难题.7.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,点O 为11A D 的中点,若以O 为球心,6为半径的球面与正方体1111ABCD A B C D -的棱有四个交点E ,F ,G ,H ,则下列结论正确的是( )A .11//A D 平面EFGHB .1AC ⊥平面EFGHC .11A B 与平面EFGH 所成的角的大小为45°D .平面EFGH 将正方体1111ABCD A B C D -分成两部分的体积的比为1:7 【答案】ACD 【分析】如图,计算可得,,,E F G H 分别为所在棱的中点,利用空间中点线面的位置关系的判断方法可判断A 、B 的正确与否,计算出直线AB 与平面EFGH 所成的角为45︒后可得C 正确,而几何体BHE CGF -为三棱柱,利用公式可求其体积,从而可判断D 正确与否. 【详解】如图,连接OA ,则2115OA AA =+=,故棱1111,,,A A A D D D AD 与球面没有交点.同理,棱111111,,A B B C C D 与球面没有交点.因为棱11A D 与棱BC 之间的距离为>BC 与球面没有交点.因为正方体的棱长为2,而2<球面与正方体1111ABCD A B C D -的棱有四个交点E ,F ,G ,H , 所以棱11,,,AB CD C C B B 与球面各有一个交点, 如图各记为,,,E F G H .因为OAE △为直角三角形,故1AE ==,故E 为棱AB 的中点. 同理,,F G H 分别为棱11,,CD C C B B 的中点.由正方形ABCD 、,E F 为所在棱的中点可得//EF BC , 同理//GH BC ,故//EF GH ,故,,,E F G H 共面. 由正方体1111ABCD A B C D -可得11//A D BC ,故11//A D EF因为11A D ⊄平面EFGH ,EF ⊂平面EFGH ,故11//A D 平面EFGH ,故A 正确.因为在直角三角1BA C 中,1A B =2BC = ,190A BC ∠=︒, 1A C 与BC 不垂直,故1A C 与GH 不垂直,故1A C ⊥平面EFGH 不成立,故B 错误.由正方体1111ABCD A B C D -可得BC ⊥平面11AA B B ,而1A B ⊂平面11AA B B , 所以1BC A B ⊥,所以1EF A B ⊥在正方形11AA B B 中,因为,E H 分别为1,AB BB 的中点,故1EH A B ⊥, 因为EFEH E =,故1A B ⊥平面EFGH ,所以BEH ∠为直线AB 与平面EFGH 所成的角,而45BEH ∠=︒, 故直线AB 与平面EFGH 所成的角为45︒,因为11//AB A B ,故11A B 与平面EFGH 所成的角的大小为45°.故C 正确. 因为,,,E F G H 分别为所在棱的中点,故几何体BHE CGF -为三棱柱, 其体积为111212⨯⨯⨯=,而正方体的体积为8, 故平面EFGH 将正方体1111ABCD A B C D -分成两部分的体积的比为1:7,故D 正确. 故选:ACD. 【点睛】本题考查空间中线面位置的判断、空间角的计算和体积的计算,注意根据球的半径确定哪些棱与球面有交点,本题属于中档题.8.如图,点E 为正方形ABCD 边CD 上异于点C ,D 的动点,将ADE 沿AE 翻折成SAE △,在翻折过程中,下列说法正确的是( )A .存在点E 和某一翻折位置,使得SB SE ⊥ B .存在点E 和某一翻折位置,使得//AE 平面SBCC .存在点E 和某一翻折位置,使得直线SB 与平面ABC 所成的角为45°D .存在点E 和某一翻折位置,使得二面角S AB C --的大小为60° 【答案】ACD 【分析】依次判断每个选项:当SE CE ⊥时,⊥SE SB ,A 正确,//AE 平面SBC ,则//AE CB ,这与已知矛盾,故B 错误,取二面角D AE B --的平面角为α,取4=AD ,计算得到2cos 3α=,C 正确,取二面角D AE B --的平面角为60︒,计算得到5tan θ=,故D 正确,得到答案. 【详解】当SE CE ⊥时,SE AB ⊥,SE SA ⊥,故SE ⊥平面SAB ,故⊥SE SB ,A 正确; 若//AE 平面SBC ,因AE ⊂平面ABC ,平面ABC 平面SBC BC =,则//AE CB ,这与已知矛盾,故B 错误;如图所示:DF AE ⊥交BC 于F ,交AE 于G ,S 在平面ABCE 的投影O 在GF 上, 连接BO ,故SBO ∠为直线SB 与平面ABC 所成的角,取二面角D AE B --的平面角为α,取4=AD ,3DE =,故5AE DF ==,1CE BF ==,125DG =,12cos 5OG α=,故只需满足12sin 5SO OB α==, 在OFB △中,根据余弦定理:2221213121312sin 1cos 2cos cos 55555OFB ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+---∠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,解得2cos 3α=,故C 正确; 过O 作OMAB ⊥交AB 于M ,则SMO ∠为二面角S AB C --的平面角,取二面角D AE B --的平面角为60︒,故只需满足22DG GO OM ==,设OAG OAM θ∠=∠=,84ππθ<<,则22DAG πθ∠=-,tan tan 22DG OGAG πθθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭,化简得到2tan tan 21θθ=,解得5tan 5θ=,验证满足,故D 正确;故选:ACD .【点睛】本题考查了线线垂直,线面平行,线面夹角,二面角,意在考查学生的计算能力,推断能力和空间想象能力.9.如图,点O 是正四面体P ABC -底面ABC 的中心,过点O 的直线交AC ,BC 于点M ,N ,S 是棱PC 上的点,平面SMN 与棱PA 的延长线相交于点Q ,与棱PB 的延长线相交于点R ,则( )A .若//MN 平面PAB ,则//AB RQ B .存在点S 与直线MN ,使PC ⊥平面SRQC .存在点S 与直线MN ,使()0PS PQ PR ⋅+= D .111PQPRPS++是常数【答案】ABD 【分析】对于选项A ,根据线面平行的性质定理,进行推理判断即可;对于选项B ,当直线MN 平行于直线AB , 13SC PC =时,通过线面垂直的判定定理,证明此时PC ⊥平面SRQ ,即可证明,存在点S 与直线MN ,使PC ⊥平面SRQ ;对于选项C ,假设存在点S 与直线MN ,使()0PS PQ PR ⋅+=,利用线面垂直的判定定理可证得PC ⊥平面PAB ,此时通过反证法说明矛盾性,即可判断;对于选项D ,利用S PQR O PSR O PSQ O PQR V V V V ----=++,即可求得111PQPRPS++是常数.【详解】 对于选项A , 若//MN 平面PAB ,平面SMN 与棱PA 的延长线相交于点Q ,与棱PB 的延长线相交于点R ,∴平面SMN 平面PAB =RQ ,又MN ⊂平面SMN ,//MN 平面PAB ,∴//MN RQ ,点O 在面ABC 上,过点O 的直线交AC ,BC 于点M ,N ,∴MN ⊂平面ABC ,又//MN 平面PAB ,平面ABC平面PAB AB =,∴//MN AB , ∴//AB RQ ,故A 正确; 对于选项B ,当直线MN 平行于直线AB ,S 为线段PC 上靠近C 的三等分点,即13SC PC =, 此时PC ⊥平面SRQ ,以下给出证明: 在正四面体P ABC -中,设各棱长为a ,∴ABC ,PBC ,PAC △,PAB △均为正三角形,点O 为ABC 的中心,//MN AB ,∴由正三角形中的性质,易得23CN CM a ==, 在CNS 中,23CN a =,13SC a =,3SCN π∠=,∴由余弦定理得,3SN a ==, ∴222249SC SN a CN +==,则SN PC ⊥, 同理,SM PC ⊥,又SM SN S =,SM ⊂平面SRQ ,SN ⊂平面SRQ ,∴PC ⊥平面SRQ ,∴存在点S 与直线MN ,使PC ⊥平面SRQ ,故B 正确; 对于选项C ,假设存在点S 与直线MN ,使()0PS PQ PR ⋅+=, 设QR 中点为K ,则2PQ PR PK +=,∴PS PK ⊥,即PC PK ⊥,()cos cos 0PC AB PC PB PA PC PB CPB PC PA CPA ⋅=⋅-=⋅∠-⋅∠=,∴PC AB ⊥,又易知AB 与PK 为相交直线,AB 与PK 均在平面PQR 上,∴PC ⊥平面PQR ,即PC ⊥平面PAB ,与正四面体P ABC -相矛盾,所以假设不成立, 故C 错误; 对于选项D ,易知点O 到面PBC ,面PAC ,面PAB 的距离相等,记为d , 记PC 与平面PAB 所处角的平面角为α,α为常数,则sin α也为常数, 则点S 到PQR 的距离为sin PS α, 又13sin23PQRSPQ PR PQ PR π=⋅=⋅ ∴()()1133sin sin sin 33412S PQR PQRV PS S PS PQ PR PQ PR PS ααα-=⋅=⋅⋅=⋅⋅, 又13sin 234PSRSPS PR PS PR π=⋅=⋅, 13sin23PSQS PS PQ PS PQ π=⋅=⋅, 13sin 234PQRSPQ PR PQ PR π=⋅=⋅,()S PQR O PSR O PSQ O PQR V V V V PS PR PS PQ PQ PR ----=++=⋅+⋅+⋅,∴()3sin 12PQ PR PS d PS PR PS PQ PQ PR α⋅⋅=⋅+⋅+⋅, ∴111sin d PQPRPSα++=为常数,故D 正确. 故选:ABD. 【点睛】本题考查了线面平行的性质定理、线面垂直的判定定理,考查了三棱锥体积的计算,考查了向量的运算,考查了转化能力与探究能力,属于较难题.10.半正多面体(semiregularsolid )亦称“阿基米德多面体”,是由边数不全相同的正多边形围成的多面体,体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体,是由正方体切截而成的,它由八个正三角形和六个正方形构成(如图所示),若它的所有棱长都为2,则( )A .BF ⊥平面EABB .该二十四等边体的体积为203C .该二十四等边体外接球的表面积为8πD .PN 与平面EBFN 2 【答案】BCD 【分析】A 用反证法判断;B 先补齐八个角成正方体,再计算体积判断;C 先找到球心与半径,再计算表面积判断;D 先找到直线与平面所成角,再求正弦值判断. 【详解】解:对于A ,假设A 对,即BF ⊥平面EAB ,于是BF AB ⊥,90ABF ∠=︒,但六边形ABFPQH 为正六边形,120ABF ∠=︒,矛盾, 所以A 错;对于B ,补齐八个角构成棱长为2的正方体,则该二十四等边体的体积为3112028111323-⋅⋅⋅⋅⋅=,所以B 对;对于C ,取正方形ACPM 对角线交点O , 即为该二十四等边体外接球的球心, 其半径为2R =248R ππ=,所以C 对;对于D ,因为PN 在平面EBFN 内射影为NS , 所以PN 与平面EBFN 所成角即为PNS ∠,其正弦值为22PSPN==,所以D对.故选:BCD.【点睛】本题考查了正方体的性质,考查了直线与平面所成角问题,考查了球的体积与表面积计算问题.。
高三数学第二学期立体几何多选题单元 易错题综合模拟测评学能测试试卷

高三数学第二学期立体几何多选题单元 易错题综合模拟测评学能测试试卷一、立体几何多选题1.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,点E ,F 在平面1111D C B A 内,若||5AE =,AC DF ⊥,则( )A .点E 的轨迹是一个圆B .点F 的轨迹是一个圆C .EF 21-D .AE 与平面1A BD 所成角的正弦值的最大值为153015【答案】ACD 【分析】对于A 、B 、C 、D 四个选项,需要对各个选项一一验证. 选项A :由2211||5AE AA A E =+=1||1A E =,分析得E 的轨迹为圆;选项B :由AC DBF ⊥,而点F 在11B D 上,即F 的轨迹为线段11B D ,; 选项C :由E 的轨迹为圆,F 的轨迹为线段11B D ,可分析得min ||EF d r =-; 选项D :建立空间直角坐标系,用向量法求最值. 【详解】 对于A:2211||5AE AA A E =+=221|25A E +=1||1A E =,即点E 为在面1111D C B A 内,以1A 为圆心、半径为1 的圆上;故A 正确;对于B: 正方体1111ABCD A B C D -中,AC ⊥BD ,又AC DF ⊥,且BD ∩DF=D ,所以AC DBF ⊥,所以点F 在11B D 上,即F 的轨迹为线段11B D ,故B 错误;对于C:在平面1111D C B A 内,1A 到直线11B D 的距离为2,d=当点E ,F 落在11A C 上时,min ||21EF =-;故C 正确; 对于D:建立如图示的坐标系,则()()()()10,0,0,2,0,0,0,0,2,0,2,0A B A D因为点E 为在面1111D C B A 内,以1A 为圆心、半径为1 的圆上,可设()cos ,sin ,2E θθ 所以()()()1cos ,sin ,2,2,0,2,2,2,0,AE A B BD θθ==-=-设平面1A BD 的法向量(),,n x y z =,则有1·220·220n BD x y n A B x z ⎧=-+=⎪⎨=-=⎪⎩不妨令x =1,则()1,1,1n =, 设AE 与平面1A BD 所成角为α,则:22|||sin |cos ,|||||5315n AE n AE n AE πθα⎛⎫++ ⎪⎝⎭====⨯⨯当且仅当4πθ=时,sin α2215301515=, 故D 正确故选:CD 【点睛】多项选择题是2020年高考新题型,需要要对选项一一验证.2.如图,点E 为正方形ABCD 边CD 上异于点C ,D 的动点,将ADE 沿AE 翻折成SAE △,在翻折过程中,下列说法正确的是( )A .存在点E 和某一翻折位置,使得SB SE ⊥ B .存在点E 和某一翻折位置,使得//AE 平面SBCC .存在点E 和某一翻折位置,使得直线SB 与平面ABC 所成的角为45°D .存在点E 和某一翻折位置,使得二面角S AB C --的大小为60° 【答案】ACD 【分析】依次判断每个选项:当SE CE ⊥时,⊥SE SB ,A 正确,//AE 平面SBC ,则//AE CB ,这与已知矛盾,故B 错误,取二面角D AE B --的平面角为α,取4=AD ,计算得到2cos 3α=,C 正确,取二面角D AE B --的平面角为60︒,计算得到5tan θ=,故D 正确,得到答案. 【详解】当SE CE ⊥时,SE AB ⊥,SE SA ⊥,故SE ⊥平面SAB ,故⊥SE SB ,A 正确;若//AE 平面SBC ,因AE ⊂平面ABC ,平面ABC 平面SBC BC =,则//AE CB ,这与已知矛盾,故B 错误;如图所示:DF AE ⊥交BC 于F ,交AE 于G ,S 在平面ABCE 的投影O 在GF 上, 连接BO ,故SBO ∠为直线SB 与平面ABC 所成的角,取二面角D AE B --的平面角为α,取4=AD ,3DE =,故5AE DF ==,1CE BF ==,125DG =,12cos 5OG α=,故只需满足12sin 5SO OB α==, 在OFB △中,根据余弦定理:2221213121312sin 1cos 2cos cos 55555OFB ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+---∠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,解得2cos 3α=,故C 正确; 过O 作OMAB ⊥交AB 于M ,则SMO ∠为二面角S AB C --的平面角,取二面角D AE B --的平面角为60︒,故只需满足22DG GO OM ==,设OAG OAM θ∠=∠=,84ππθ<<,则22DAG πθ∠=-,tan tan 22DG OGAG πθθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭,化简得到2tan tan 21θθ=,解得5tan θ=,验证满足,故D 正确; 故选:ACD .【点睛】本题考查了线线垂直,线面平行,线面夹角,二面角,意在考查学生的计算能力,推断能力和空间想象能力.3.(多选题)在四面体P ABC -中,以上说法正确的有( )A .若1233AD AC AB =+,则可知3BC BD = B .若Q 为△ABC 的重心,则111333PQ PA PB PC =++C .若0PA BC =,0PC AB =,则0PB AC =D .若四面体P ABC -各棱长都为2,M N ,分别为,PA BC 的中点,则1MN = 【答案】ABC 【分析】作出四面体P ABC -直观图,在每个三角形中利用向量的线性运算可得. 【详解】对于A ,1233AD AC AB =+,32AD AC AB ∴=+,22AD AB AC AD ∴-=- , 2BD DC ∴=,3BD BD DC BC ∴=+=即3BD BC ∴=,故A 正确;对于B ,Q 为△ABC 的重心,则0QA QB QC ++=,33PQ QA QB QC PQ ∴+++=()()()3PQ QA PQ QB PQ QC PQ ∴+++++=,3PA PB PC PQ ∴++=即111333PQ PA PB PC ∴=++,故B 正确; 对于C ,若0PA BC =,0PC AB =,则0PA BC PC AB +=,()0PA BC PC AC CB ∴++=,0PA BC PC AC PC CB ∴++=0PA BC PC AC PC BC ∴+-=,()0PA PC BC PC AC ∴-+= 0CA BC PC AC ∴+=,0AC CB PC AC ∴+=()0AC PC CB ∴+=,0AC PB ∴=,故C 正确;对于D ,111()()222MN PN PM PB PC PA PB PC PA ∴=-=+-=+- 1122MN PB PC PA PA PB PC ∴=+-=-- 222222PA PB PC PA PB PC PA PB PA PC PC PB --=++--+22211122222222222222222=++-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=2MN ∴=,故D 错误.故选:ABC 【点睛】用已知向量表示某一向量的三个关键点(1)用已知向量来表示某一向量,一定要结合图形,以图形为指导是解题的关键. (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义,如首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量. (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立.4.如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,线段11B D 上有两个动点E ,F ,且22EF =.则下列结论正确的是( )A .三棱锥A BEF -的体积为定值B .当E 向1D 运动时,二面角A EF B --逐渐变小C .EF 在平面11ABB A 内的射影长为12D .当E 与1D 重合时,异面直线AE 与BF 所成的角为π4【答案】AC 【分析】对选项分别作图,研究计算可得. 【详解】选项A:连接BD ,由正方体性质知11BDD B 是矩形,1112212224BEF S EF BB ∆∴=⋅=⨯⨯=连接AO 交BD 于点O由正方体性质知AO ⊥平面11BDD B ,所以,AO 是点A 到平面11BDD B 的距离,即22AO =11221334212A BEF BEF V S AO -∆∴=⨯=⨯⨯=A BEF V -∴是定值.选项B:连接11A C 与11B D 交于点M ,连接11,AD AB , 由正方体性质知11AD AB =,M 是11B D 中点,AM EF ∴⊥ ,又1BB EF ⊥,11//BB AAA EFB ∴--的大小即为AM 与1AA 所成的角,在直角三角形1AA M 中,12tan 2MAA ∠=为定值. 选项C:如图,作1111,,,FH A B EG A B ET EG ⊥⊥⊥ 在直角三角形EFT 中,221cos 45222FT EF =⨯=⨯=12HG FT ∴== 选项D:当E 与1D 重合时,F 与M 重合,连接AC 与BD 交于点R ,连接1D R ,1//D R BM 异面直线AE 与BF 所成的角,即为异面直线1AD 与1D R 所成的角, 在三角形1AD R 中,22111132,2AD D R MB BB M B ===+=,22AR = 由余弦定理得13cos AD R ∠= 故选:AC 【点睛】本题考查空间几何体性质问题.求解思路:关键是弄清(1)点的变化,点与点的重合及点的位置变化;(2)线的变化,应注意其位置关系的变化;(3)长度、角度等几何度量的变化.求空间几何体体积的思路:若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体,则可直接利用公式进行求解.其中,求三棱锥的体积常用等体积转换法;若所给定的几何体是不规则几何体,则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体,再利用公式求解.5.如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,11,2,AB BC AA P ===是1A B 上的一动点,则下列选项正确的是( )A .DP 35B .DP 5C .1AP PC +6D .1AP PC +170【答案】AD 【分析】DP 的最小值,即求1DA B △底边1A B 上的高即可;旋转11A BC 所在平面到平面11ABB A ,1AP PC +的最小值转化为求AC '即可.【详解】求DP 的最小值,即求1DA B △底边1A B 上的高,易知115,2A B A D BD ===,所以1A B 边上的高为355h =,连接111,AC BC ,得11A BC ,以1A B 所在直线为轴,将11A BC 所在平面旋转到平面11ABB A ,设点1C 的新位置为C ',连接AC ',则AC '即为所求的最小值,易知11122,2,cos 10AA AC AAC ''==∠=-, 所以217042222()105AC '=+-⨯⨯⨯-=. 故选:AD. 【点睛】本题考查利用旋转求解线段最小值问题.求解翻折、旋转问题的关键是弄清原有的性质变化与否, (1)点的变化,点与点的重合及点的位置变化;(2)线的变化,翻折、旋转前后应注意其位置关系的变化;(3)长度、角度等几何度量的变化.6.如图,已知矩形ABCD 中,2AB AD =,E 为边AB 的中点,将ADE ∆沿直线DE 翻折成1A DE ∆,若M 为线段1A C 的中点,则ADE ∆在翻折过程中,下列说法正确的是( )A .线段BM 的长是定值B .存在某个位置,使1DE AC ⊥ C .点M 的运动轨迹是一个圆D .存在某个位置,使MB ⊥平面1A DE 【答案】AC 【分析】取CD 中点F ,连接BF ,MF ,根据面面平行的判定定理可得平面//BMF 平面1A DE ,由面面平行的性质定理可知//BM 平面1A DE ,可判断D ;在BFM ∆中,利用余弦定理可求得BM a =为定值,可判断A 和C ;假设1DE A C ⊥,由线面垂直的判定定理可得DE ⊥平面1A CE ,由线面垂直的性质定理可知1DE A E ⊥,与11DA A E ⊥矛盾,可判断B .【详解】解:取CD 的中点F ,连接BF ,MF ,∵M ,F 分别为1A C 、CD 中点, ∴1MF A D ∥,∵1A D ⊂平面1A DE ,MF ⊄平面1A DE , ∴MF 平面1A DE , ∵DF BE ∥且DF BE =, ∴四边形BEDF 为平行四边形, ∴BFDE ,∵DE ⊂平面1A DE ,BF ⊄平面1A DE , ∴BF ∥平面1A DE , 又BFMF F =,BF 、MF ⊂平面BMF ,∴平面//BMF 平面1A DE , ∵BM ⊂平面BMF , ∴BM ∥平面1A DE ,即D 错误,设22AB AD a ==, 则112MF A D a ==,2BF DE a ==,145A DE MFB ︒∠=∠=, ∴222cos45BM MF BF MF BF a ︒=+-⋅⋅=,即BM 为定值,所以A 正确,∴点M 的轨迹是以B 为圆心,a 为半径的圆,即C 正确, ∵2DE CE a ==,2CD AB a ==,∴222DE CE CD +=,∴DE CE ⊥, 设1DE A C ⊥,∵1A C 、CE ⊂平面1A CE ,1AC CE C =,∴DE ⊥平面1A CE , ∵1A E ⊂平面1A CE ,∴1DE A E ⊥,与11DA A E ⊥矛盾, 所以假设不成立,即B 错误.故选:AC . 【点睛】本题考查立体几何中的翻折问题,涉及到线段长度的求解、直线与平面位置关系的判定、点的轨迹的求解、反证法的应用等知识点,考查学生的空间立体感和推理论证能力.7.如果一个棱锥的底面是正方形,且顶点在底面内的射影是底面的中心,那么这样的棱锥叫正四棱锥.若一正四棱锥的体积为18,则该正四棱锥的侧面积最小时,以下结论正确的是( ).A .棱的高与底边长的比为22B .侧棱与底面所成的角为4π C .棱锥的高与底面边长的比为2 D .侧棱与底面所成的角为3π 【答案】AB 【分析】设四棱锥S ABCD -的高为h ,底面边长为a ,由21183V a h ==得254h a=,然后可得侧面积为242108a a+,运用导数可求出当32a =时侧面积取得最小值,此时3h =,然后求出棱锥的高与底面边长的比和SAO ∠即可选出答案. 【详解】设四棱锥S ABCD -的高为h ,底面边长为a 可得21183V a h ==,即254h a= 所以其侧面积为2222244215410842244a a a h a a a⋅⋅+=+=+令()242108f a a a =+,则()23321084f a a a⨯'=-令()233210840f a a a⨯'=-=得a =当(a ∈时()0f a '<,()f a 单调递减当()a ∈+∞时()0f a '>,()f a 单调递增所以当a =时()f a 取得最小值,即四棱锥的侧面积最小 此时3h =所以棱锥的高与底面边长的比为2,故A 正确,C 错误侧棱与底面所成的角为SAO ∠,由3h =,a =可得3AO = 所以4SAO π∠=,故B 正确,D 错误故选:AB 【点睛】本题考查的知识点有空间几何体的体积和表面积、线面角及利用导数求最值,属于综合题.8.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2,侧棱11AA =,P 为上底面1111D C B A 上的动点,给出下列四个结论中正确结论为( )A .若3PD =,则满足条件的P 点有且只有一个B .若PD =,则点P 的轨迹是一段圆弧C .若PD ∥平面1ACB ,则DP 长的最小值为2D .若PD ∥平面1ACB ,且PD =,则平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球所得平面图形的面积为94π 【答案】ABD 【分析】若3PD =,由于P 与1B 重合时3PD =,此时P 点唯一;()13PD =,,则1PD =P 的轨迹是一段圆弧;当P 为11A C 中点时,DP 有最小值为=断C ;平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球所得平面图形为外接球的大圆,其半径为32=,可得D . 【详解】 如图:∵正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2, ∴1122B D =,又侧棱11AA =, ∴()2212213DB =+=,则P 与1B 重合时3PD =,此时P 点唯一,故A 正确;∵()313PD =∈,,11DD =,则12PD =,即点P 的轨迹是一段圆弧,故B 正确; 连接1DA ,1DC ,可得平面11//A DC 平面1ACB ,则当P 为11A C 中点时,DP 有最小值为()22213+=,故C 错误;由C 知,平面BDP 即为平面11BDD B ,平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球所得平面图形为外接球的大圆,其半径为2221322122++=,面积为94π,故D 正确. 故选:ABD . 【点睛】本题考查了立体几何综合,考查了学生空间想象,逻辑推理,转化划归,数学运算的能力,属于较难题.9.如图,正三棱柱11ABC A B C -中,11BC AB ⊥、点D 为AC 中点,点E 为四边形11BCC B 内(包含边界)的动点则以下结论正确的是( )A .()1112DA A A B A BC =-+ B .若//DE 平面11ABB A ,则动点E 的轨迹的长度等于22ACC .异面直线AD 与1BCD .若点E 到平面11ACC AEB ,则动点E 的轨迹为抛物线的一部分 【答案】BCD 【分析】根据空间向量的加减法运算以及通过建立空间直角坐标系求解,逐项判断,进而可得到本题答案. 【详解】解析:对于选项A ,()1112AD A A B A BC =-+,选项A 错误; 对于选项B ,过点D 作1AA 的平行线交11A C 于点1D .以D 为坐标原点,1DA DB DD ,,分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz .设棱柱底面边长为a ,侧棱长为b ,则002aA ⎛⎫ ⎪⎝⎭,,,00B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,,10B b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,,102a C b ⎛⎫- ⎪⎝⎭,,,所以12a BC b ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,,,12a AB b ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,. ∵11BC AB ⊥,∴110BC AB ⋅=,即222022a a b ⎛⎫⎛⎫--+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解得2b a =. 因为//DE 平面11ABB A ,则动点E的轨迹的长度等于1BB =.选项B 正确. 对于选项C ,在选项A 的基础上,002a A ⎛⎫⎪⎝⎭,,,00B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,,()0,0,0D ,1022a C a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,,,所以002a DA ⎛⎫= ⎪⎝⎭,,,1222a BC a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,-,,因为2111cos ,||||aBC DA BC DA BC DA a ⎛⎫- ⎪⋅<>===1,BC DA 所成角C 正确. 对于选项D ,设点E 在底面ABC 的射影为1E ,作1E F 垂直于AC ,垂足为F ,若点E 到平面11ACC A 的距离等于32EB ,即有312E F EB =,又因为在1CE F ∆中,311E F E C =,得1EB E C =,其中1E C 等于点E 到直线1CC 的距离,故点E 满足抛物线的定义,另外点E 为四边形11BCC B 内(包含边界)的动点,所以动点E 的轨迹为抛物线的一部分,故D 正确.故选:BCD 【点睛】本题主要考查立体几何与空间向量的综合应用问题,其中涉及到抛物线定义的应用.10.如图,已知P 为棱长为1的正方体对角线1BD 上的一点,且()()10,1BP BD λλ=,下面结论中正确结论的有( )A .11A D C P ⊥;B .当1A P PD +取最小值时,23λ=;C .若()0,1λ∈,则7,312APC ππ⎛⎫∠∈⎪⎝⎭; D .若P 为1BD 的中点,四棱锥11P AA D D -的外接球表面积为94π. 【答案】ABD【分析】以D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系,利用向量关系可判断ABC ;根据几何体外接球关系建立方程求出球半径即可判断D. 【详解】以D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系, 则()1,1,0B ,()10,0,1D ,设(),,P x y z ,()()10,1BP BD λλ=,1BP BD λ∴=,即()()1,1,1,1,1x y z λ--=--,则可解得()1,1,P λλλ--, 对A ,()()()111,0,1,0,0,0,0,1,1A D C ,()11,0,1A D ∴=--,()11,,1C P λλλ=---,则()()()()11110110A D C P λλλ⋅=-⨯-+⨯-+-⨯-=,则11A D C P ⊥,故A 正确;对B ,()()()()()2222221111111A P PD λλλλλλ+=--+-+--+-+222223422333λλλ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭则当23λ=时,1A P PD +取最小值,故B 正确; 对C ,()()1,0,0,0,1,0A C ,(),1,PA λλλ∴=--,()1,,PC λλλ=--,则222321cos 1321321PA PCAPC PA PC λλλλλλ⋅-∠===--+-+⋅, 01λ<<,则2232123λλ≤-+<,则2111123212λλ-≤-<-+, 即11cos 22APC -≤∠<,则2,33APC ππ⎛⎤∠∈ ⎥⎝⎦,故C 错误; 对于D ,当P 为1BD 中点时,四棱锥11P AA D D -为正四棱锥,设平面11AA D D 的中心为O ,四棱锥11P AA D D -的外接球半径为R ,所以22212R R ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭⎝⎭,解得34R =, 故四棱锥11P AA D D -的外接球表面积为94π,所以D 正确. 故选:ABD. 【点睛】关键点睛:本题考查空间相关量的计算,解题的关键是建立空间直角坐标系,利用向量建立关系进行计算.。
人教版高三数学第二学期立体几何多选题单元 易错题难题质量专项训练

人教版高三数学第二学期立体几何多选题单元 易错题难题质量专项训练一、立体几何多选题1.如图,正方体1111ABCD A B C D -中的正四面体11A BDC -的棱长为2,则下列说法正确的是( )A .异面直线1AB 与1AD 所成的角是3πB .1BD ⊥平面11AC DC .平面1ACB 截正四面体11A BDC -所得截面面积为3D .正四面体11A BDC -的高等于正方体1111ABCD A B C D -体对角线长的23【答案】ABD 【分析】选项A ,利用正方体的结构特征找到异面直线所成的角;选项B ,根据正方体和正四面体的结构特征以及线面垂直的判定定理容易得证;选项C ,由图得平面1ACB 截正四面体11A BDC -所得截面面积为1ACB 面积的四分之一;选项D ,分别求出正方体的体对角线长和正四面体11A BDC -的高,然后判断数量关系即可得解. 【详解】A :正方体1111ABCD ABCD -中,易知11//AD BC ,异面直线1A B 与1AD 所成的角即直线1A B 与1BC 所成的角,即11A BC ∠,11A BC 为等边三角形,113A BC π∠=,正确;B :连接11B D ,1B B ⊥平面1111DC B A ,11A C ⊂平面1111D C B A ,即111AC B B ⊥,又1111AC B D ⊥,1111B B B D B ⋂=,有11A C ⊥平面11BDD B ,1BD ⊂平面11BDD B ,所以111BD AC ⊥,同理可证:11BD A D ⊥,1111AC A D A ⋂=,所以1BD ⊥平面11AC D ,正确;C :易知平面1ACB 截正四面体11A BDC -所得截面面积为134ACB S=,错误;D :易得正方体1111ABCD A B C D -()()()2222226++=2的正四面体11A BDC -的高为22222262213⎛⎫--⨯= ⎪⎝⎭,故正四面体11A BDC -的高等于正方体1111ABCD A B C D -体对角线长的23,正确. 故选:ABD. 【点睛】关键点点睛:利用正方体的性质,找异面直线所成角的平面角求其大小,根据线面垂直的判定证明1BD ⊥平面11AC D ,由正四面体的性质,结合几何图形确定截面的面积,并求高,即可判断C 、D 的正误.2.如图,在边长为4的正方形ABCD 中,点E 、F 分别在边AB 、BC 上(不含端点)且BE BF =,将AED ,DCF 分别沿DE ,DF 折起,使A 、C 两点重合于点1A ,则下列结论正确的有( ).A .1A D EF ⊥B .当12BE BF BC ==时,三棱锥1A F DE -6π C .当14BE BF BC ==时,三棱锥1A F DE -217 D .当14BE BF BC ==时,点1A 到平面DEF 的距离为177【答案】ACD 【分析】A 选项:证明1A D ⊥面1A EF ,得1A D EF ⊥;B 选项:当122BE BF BC ===时,三棱锥1A EFD -的三条侧棱111,,A D A E A F 两两相互垂直,利用分隔补形法求三棱锥1A EFD -的外接球体积; C 选项:利用等体积法求三棱锥1A EFD -的体积; D 选项:利用等体积法求出点1A 到平面DEF 的距离. 【详解】 A 选项:正方形ABCD,AD AE DC FC ∴⊥⊥由折叠的性质可知:1111,A D A E A D A F ⊥⊥又111A E A F A ⋂=1A D ∴⊥面1A EF又EF ⊂面1A EF ,1A D EF ∴⊥;故A 正确.B 选项:当122BE BF BC ===时,112,A E A F EF ===在1A EF 中,22211A E A F EF +=,则11A E A F ⊥由A 选项可知,1111,A D A E A D A F ⊥⊥∴三棱锥1A EFD -的三条侧棱111,,A D A E A F 两两相互垂直,把三棱锥1A EFD -=,三棱锥1A EFD -,体积为334433R ππ==,故B 错误C 选项:当114BE BF BC ===时,113,A E A F EF ===在1A EF中,22222211111338cos 22339A E A F EF EA F A E A F+-+-∠===⋅⨯⨯,1sin 9EA F ∠=则111111sin 332292A EFSA E A F EA F =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=111111433A EFD D A EF A EF V V SA D --∴==⋅⋅==故C 正确;D 选项:设点1A 到平面EFD 的距离为h ,则在EFD △中,2222225524cos 225525DE DF EF EDF DE DF +-+-∠===⋅⨯⨯, 7sin 25EDF ∠=则1177sin 5522252EFDSDE DF EDF =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=11173323A EFD DEFV Sh h -∴=⋅⋅=⨯⨯=即7h =故D 正确; 故选:ACD 【点睛】方法点睛:求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面,例如三棱锥的三条侧棱两两垂直,我们就选择其中的一个侧面作为底面,另一条侧棱作为高来求体积.3.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,点E ,F 在平面1111D C B A 内,若||5AE =,AC DF ⊥,则( )A .点E 的轨迹是一个圆B .点F 的轨迹是一个圆C .EF 21-D .AE 与平面1A BD 21530+【答案】ACD 【分析】对于A 、B 、C 、D 四个选项,需要对各个选项一一验证. 选项A :由2211||5AE AA A E =+=1||1A E =,分析得E 的轨迹为圆;选项B :由AC DBF ⊥,而点F 在11B D 上,即F 的轨迹为线段11B D ,; 选项C :由E 的轨迹为圆,F 的轨迹为线段11B D ,可分析得min ||EF d r =-; 选项D :建立空间直角坐标系,用向量法求最值. 【详解】 对于A:2211||5AE AA A E =+=221|25A E +=1||1A E =,即点E 为在面1111D C B A 内,以1A 为圆心、半径为1 的圆上;故A 正确;对于B: 正方体1111ABCD A B C D -中,AC ⊥BD ,又AC DF ⊥,且BD ∩DF=D ,所以AC DBF ⊥,所以点F 在11B D 上,即F 的轨迹为线段11B D ,故B 错误;对于C:在平面1111D C B A 内,1A 到直线11B D 的距离为2,d=当点E ,F 落在11A C 上时,min ||21EF =-;故C 正确; 对于D:建立如图示的坐标系,则()()()()10,0,0,2,0,0,0,0,2,0,2,0A B A D因为点E 为在面1111D C B A 内,以1A 为圆心、半径为1 的圆上,可设()cos ,sin ,2E θθ 所以()()()1cos ,sin ,2,2,0,2,2,2,0,AE A B BD θθ==-=-设平面1A BD 的法向量(),,n x y z =,则有1·220·220n BD x y n A B x z ⎧=-+=⎪⎨=-=⎪⎩不妨令x =1,则()1,1,1n =, 设AE 与平面1A BD 所成角为α,则:22|||sin |cos ,|||||5315n AE n AE n AE πθα⎛⎫++ ⎪⎝⎭====⨯⨯当且仅当4πθ=时,sin α=故D 正确 故选:CD 【点睛】多项选择题是2020年高考新题型,需要要对选项一一验证.4.在正三棱柱111ABC A B C -中,AC =11CC =,点D 为BC 中点,则以下结论正确的是( ) A .111122A D AB AC AA =+-B .三棱锥11D ABC -的体积为6C .1AB BC ⊥且1//AB 平面11AC DD .ABC 内到直线AC 、1BB 的距离相等的点的轨迹为抛物线的一部分 【答案】ABD 【分析】A .根据空间向量的加减运算进行计算并判断;B .根据1111D ABC A DB C V V --=,然后计算出对应三棱锥的高AD 和底面积11DB C S,由此求解出三棱锥的体积;C .先假设1AB BC ⊥,然后推出矛盾;取AB 中点E ,根据四点共面判断1AB //平面11AC D 是否成立;D .将问题转化为“ABC 内到直线AC 和点B 的距离相等的点”的轨迹,然后利用抛物线的定义进行判断. 【详解】A .()11111111222A D A A AD AD AA AB AC AA AB AC AA =+=-=+-=+-,故正确; B .1111D AB C A DB C V V --=,因为D 为BC 中点且AB AC =,所以AD BC ⊥, 又因为1BB ⊥平面ABC ,所以1BB AD ⊥且1BB BC B =,所以AD ⊥平面11DB C ,又因为AD ===11111122DB C S BB B C =⨯⨯=,所以1111111133226D AB C A DB C DB C V V AD S --==⨯⨯=⋅=,故正确;C .假设1AB BC ⊥成立,又因为1BB ⊥平面ABC ,所以1BB BC ⊥且111BB AB B =,所以BC ⊥平面1ABB ,所以BC AB ⊥,显然与几何体为正三棱柱矛盾,所以1AB BC ⊥不成立;取AB 中点E ,连接11,,ED EA AB ,如下图所示:因为,D E 为,BC AB 中点,所以//DE AC ,且11//AC A C ,所以11//DE AC ,所以11,,,D E A C 四点共面,又因为1A E 与1AB 相交,所以1AB //平面11AC D 显然不成立,故错误;D .“ABC 内到直线AC 、1BB 的距离相等的点”即为“ABC 内到直线AC 和点B 的距离相等的点”,根据抛物线的定义可知满足要求的点的轨迹为抛物线的一部分,故正确; 故选:ABD. 【点睛】方法点睛:求解空间中三棱锥的体积的常用方法:(1)公式法:直接得到三棱锥的高和底面积,然后用公式进行计算;(2)等体积法:待求三棱锥的高和底面积不易求出,采用替换顶点位置的方法,使其求解高和底面积更容易,由此求解出三棱锥的体积.5.一副三角板由一块有一个内角为60°的直角三角形和一块等腰直角三角形组成,如图所示,090B F ∠=∠=,060,45,A D BC DE ∠=∠==,现将两块三角形板拼接在一起,得三棱锥F CAB -,取BC 中点O 与AC 中点M ,则下列判断中正确的是( )A .BC FM ⊥B .AC 与平面MOF 3C .平面MOF 与平面AFB 所成的二面角的平面角为45°D .设平面ABF 平面MOF l =,则有//l AB【答案】AD 【分析】证明BC ⊥面FOM 可判断A ;根据AC 与平面MOF 所成的角为060CMO ∠=判断B ;利用特殊位置判断C ;先证明//AB 面MOF ,由线面平行的性质定理可判断D ; 【详解】由三角形中位线定理以及等腰三角形的性质可得,,BC OF BC OM OM OF O ⊥⊥=,所以BC ⊥面FOM BC FM ⇒⊥,故A 正确;因为BC ⊥面FOM ,所以AC 与平面MOF 所成的角为060CMO ∠=,所以余弦值为12,故B 错误; 对于C 选项可以考虑特殊位置法,由BC ⊥面FOM 得面ABC ⊥面FOM ,所以点F 在平面ABC 内的射影在直线OM 上,不妨设点F 平面ABC 内的射影为M ,过点M 作//BC MN ,连结NF .易证AB ⊥面MNF ,则l ⊥面MNF ,所以MFN ∠为平面MOF与平面AFB 所成的二面角的平面角,不妨设2AB =,因为060A,所以23BC =,则13,12OF BC OM ===,显然MFN ∠不等于45°,故C 错误. 设面MOF 与平面ABF 的交线为l ,又因为//,AB OM AB ⊄面MOF ,OM ⊂面MOF ,所以//AB 面MOF ,由线面平行的性质定理可得://l AB ,故D 正确; 故选:AD.【点睛】方法点睛:求直线与平面所成的角有两种方法:一是传统法,证明线面垂直找到直线与平面所成的角,利用平面几何知识解答;二是利用空间向量,求出直线的方向向量以及平面的方向向量,利用空间向量夹角余弦公式求解即可.6.已知直三棱柱111ABC A B C -中,AB BC ⊥,1AB BC BB ==,D 是AC 的中点,O 为1A C 的中点.点P 是1BC 上的动点,则下列说法正确的是( )A .当点P 运动到1BC 中点时,直线1A P 与平面111ABC 5 B .无论点P 在1BC 上怎么运动,都有11A P OB ⊥C .当点P 运动到1BC 中点时,才有1A P 与1OB 相交于一点,记为Q ,且113PQ QA = D .无论点P 在1BC 上怎么运动,直线1A P 与AB 所成角都不可能是30° 【答案】ABD 【分析】构造线面角1PA E ∠,由已知线段的等量关系求1tan EPPA E AE∠=的值即可判断A 的正误;利用线面垂直的性质,可证明11A P OB ⊥即可知B 的正误;由中位线的性质有112PQ QA =可知C 的正误;由直线的平行关系构造线线角为11B A P ∠,结合动点P 分析角度范围即可知D 的正误 【详解】直三棱柱111ABC A B C -中,AB BC ⊥,1AB BC BB ==选项A 中,当点P 运动到1BC 中点时,有E 为11B C 的中点,连接1A E 、EP ,如下图示即有EP ⊥面111A B C∴直线1A P 与平面111A B C 所成的角的正切值:1tan EPPA E AE∠= ∵112EP BB =,22111152AE A B B E BB =+= ∴15tan PA E ∠=,故A 正确选项B 中,连接1B C ,与1BC 交于E ,并连接1A B ,如下图示由题意知,11B BCC 为正方形,即有11B C BC ⊥而AB BC ⊥且111ABC A B C -为直三棱柱,有11A B ⊥面11B BCC ,1BC ⊂面11B BCC ∴111A B BC ⊥,又1111A B B C B =∴1BC ⊥面11A B C ,1OB ⊂面11A B C ,故11BC OB ⊥ 同理可证:11A B OB ⊥,又11A B BC B ⋂=∴1OB ⊥面11A BC ,又1A P ⊂面11A BC ,即有11A P OB ⊥,故B 正确选项C 中,点P 运动到1BC 中点时,即在△11A B C 中1A P 、1OB 均为中位线∴Q为中位线的交点∴根据中位线的性质有:112PQQA=,故C错误选项D中,由于11//A B AB,直线1A P与AB所成角即为11A B与1A P所成角:11B A P∠结合下图分析知:点P在1BC上运动时当P在B或1C上时,11B A P∠最大为45°当P在1BC中点上时,11B A P∠最小为23arctan30>=︒∴11B A P∠不可能是30°,故D正确故选:ABD【点睛】本题考查了利用射影定理构造线面角,并计算其正弦值;利用线面垂直证明线线垂直;中位线的性质:中位线交点分中位线为1:2的数量关系;由动点分析线线角的大小7.M,N分别为菱形ABCD的边BC,CD的中点,将菱形沿对角线AC折起,使点D不在平面ABC内,则在翻折过程中,下列结论正确的有()A .MN ∥平面ABDB .异面直线AC 与MN 所成的角为定值C .在二面角D AC B --逐渐变小的过程中,三棱锥D ABC -外接球的半径先变小后变大D .若存在某个位置,使得直线AD 与直线BC 垂直,则ABC ∠的取值范围是0,2π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】ABD 【分析】利用线面平行的判定即可判断选项A ;利用线面垂直的判定求出异面直线AC 与MN 所成的角即可判断选项B ;借助极限状态,当平面DAC 与平面ABC 重合时,三棱锥D ABC -外接球即是以ABC ∆外接圆圆心为球心,外接圆的半径为球的半径,当二面角D AC B --逐渐变大时,利用空间想象能力进行分析即可判断选项C;过A 作AH BC ⊥,垂足为H ,分ABC ∠为锐角、直角、钝角三种情况分别进行分析判断即可判断选项D. 【详解】对于选项A:因为M ,N 分别为菱形ABCD 的边BC ,CD 的中点,所以MN 为BCD ∆的中位线,所以//MN BD ,因为MN ⊄平面ABD ,BD ⊂平面ABD ,所以MN ∥平面ABD ,故选项A 正确;对于选项B :取AC 的中点O ,连接,DO BO ,作图如下:则,AC DO AC BO ⊥⊥,BO DO O =,由线面垂直的判定知,AC ⊥平面BOD ,所以AC BD ⊥,因为//MN BD ,所以AC MN ⊥,即异面直线AC 与MN 所成的角为定值90,故选项B 正确;对于选项C:借助极限状态,当平面DAC 与平面ABC 重合时,三棱锥D ABC -外接球即是以ABC ∆外接圆圆心为球心,外接圆的半径为球的半径,当二面角D AC B --逐渐变大时,球心离开平面ABC ,但是球心在底面的投影仍然是ABC ∆外接圆圆心,故二面角D AC B --逐渐变小的过程中,三棱锥D ABC -外接球的半径不可能先变小后变大, 故选项C 错误;对于选项D:过A 作AH BC ⊥,垂足为H ,若ABC ∠为锐角,H 在线段BC 上;若ABC ∠为直角,H 与B 重合;若ABC ∠为钝角,H 在线段BC 的延长线上;若存在某个位置,使得直线AD 与直线BC 垂直,因为AH BC ⊥,所以CB ⊥平面AHD ,由线面垂直的性质知,CB HD ⊥,若ABC ∠为直角,H 与B 重合,所以CB BD ⊥,在CBD ∆中,因为CB CD =, 所以CB BD ⊥不可能成立,即ABC ∠为直角不可能成立;若ABC ∠为钝角,H 在线段BC 的延长线上,则在原平面图菱形ABCD 中,DCB ∠为锐角,由于立体图中DB DO OB <+,所以立体图中DCB ∠一定比原平面图中更小,,所以DCB ∠为锐角,CB HD ⊥,故点H 在线段BC 与H 在线段BC 的延长线上矛盾,因此ABC ∠不可能为钝角;综上可知,ABC ∠的取值范围是0,2π⎛⎫⎪⎝⎭.故选项D 正确;故选:ABD 【点睛】本题考查异面垂直、线面平行与线面垂直的判定、多面体的外接球问题;考查空间想象能力和逻辑推理能力;借助极限状态和反证法思想的运用是求解本题的关键;属于综合型强、难度大型试题.8.如果一个棱锥的底面是正方形,且顶点在底面内的射影是底面的中心,那么这样的棱锥叫正四棱锥.若一正四棱锥的体积为18,则该正四棱锥的侧面积最小时,以下结论正确的是( ).A .棱的高与底边长的比为2B .侧棱与底面所成的角为4πC D .侧棱与底面所成的角为3π 【答案】AB 【分析】设四棱锥S ABCD -的高为h ,底面边长为a ,由21183V a h ==得254h a=,然后可得侧a =时侧面积取得最小值,此时3h =,然后求出棱锥的高与底面边长的比和SAO ∠即可选出答案. 【详解】设四棱锥S ABCD -的高为h ,底面边长为a 可得21183V a h ==,即254h a= 所以其侧面积为2222244215410842244a a a h a a a⋅⋅+=+=+令()242108f a a a =+,则()23321084f a a a⨯'=- 令()233210840f a a a⨯'=-=得32a = 当(0,32a ∈时()0f a '<,()f a 单调递减当()32,a ∈+∞时()0f a '>,()f a 单调递增所以当32a =时()f a 取得最小值,即四棱锥的侧面积最小 此时3h =所以棱锥的高与底面边长的比为22,故A 正确,C 错误 侧棱与底面所成的角为SAO ∠,由3h =,32a =可得3AO = 所以4SAO π∠=,故B 正确,D 错误故选:AB 【点睛】本题考查的知识点有空间几何体的体积和表面积、线面角及利用导数求最值,属于综合题.9.如图,正三棱柱11ABC A B C -中,11BC AB ⊥、点D 为AC 中点,点E 为四边形11BCC B 内(包含边界)的动点则以下结论正确的是( )A .()1112DA A A B A BC =-+ B .若//DE 平面11ABB A ,则动点E 的轨迹的长度等于22AC C .异面直线AD 与1BC ,所成角的余弦值为66D .若点E 到平面11ACC A 的距离等于32EB ,则动点E 的轨迹为抛物线的一部分 【答案】BCD 【分析】根据空间向量的加减法运算以及通过建立空间直角坐标系求解,逐项判断,进而可得到本题答案. 【详解】解析:对于选项A ,()1112AD A A B A BC =-+,选项A 错误; 对于选项B ,过点D 作1AA 的平行线交11A C 于点1D .以D 为坐标原点,1DA DB DD ,,分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz .设棱柱底面边长为a ,侧棱长为b ,则002aA ⎛⎫ ⎪⎝⎭,,,300B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,,,130B b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,,,102a C b ⎛⎫- ⎪⎝⎭,,,所以1322a BC a b ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭,,,1322a AB a b ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,,. ∵11BC AB ⊥,∴110BC AB ⋅=,即2223022a a b ⎛⎫⎛⎫--+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解得2b =. 因为//DE 平面11ABB A ,则动点E 的轨迹的长度等于122BB =.选项B 正确. 对于选项C ,在选项A 的基础上,002a A ⎛⎫⎪⎝⎭,,,3002B a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,,,()0,0,0D ,1202a C a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,,,所以002a DA ⎛⎫= ⎪⎝⎭,,,1322a BC a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,-,, 因为211162cos ,||||622a BC DA BC DA BC DA a a ⎛⎫- ⎪⋅⎝⎭<>===-,所以异面直线1,BC DA 所成角的余弦值为66,选项C 正确. 对于选项D ,设点E 在底面ABC 的射影为1E ,作1E F 垂直于AC ,垂足为F ,若点E 到平面11ACC A 的距离等于3EB ,即有31E F EB =,又因为在1CE F ∆中,3112E F E C =,得1EB E C =,其中1E C 等于点E 到直线1CC 的距离,故点E 满足抛物线的定义,另外点E 为四边形11BCC B 内(包含边界)的动点,所以动点E 的轨迹为抛物线的一部分,故D 正确.故选:BCD 【点睛】本题主要考查立体几何与空间向量的综合应用问题,其中涉及到抛物线定义的应用.10.如图所示,正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1,E ,F 分别是棱AA ',CC '的中点,过直线EF 的平面分别与棱BB ',DD '交于点M ,N ,以下四个命题中正确的是( )A .0MN EF ⋅=B .ME NE =C .四边形MENF 的面积最小值与最大值之比为2:3D .四棱锥A MENF -与多面体ABCD EMFN -体积之比为1:3 【答案】ABD 【分析】证明EF ⊥平面BDD B '',进而得EF MN ⊥,即可得A 选项正确;证明四边形MENF 为菱形即可得B 选项正确;由菱形性质得四边形MENF 的面积12S MN EF =⋅,再分别讨论MN 的最大值与最小值即可;根据割补法求解体积即可. 【详解】对于A 选项,如图,连接BD ,B D '',MN .由题易得EF BD ⊥,EFBB '⊥,BD BB B '⋂=,所以EF ⊥平面BDD B '',又MN ⊂平面BDD B '',所以EF MN ⊥,因此0MN EF ⋅=,故A 正确.对于B 选项,由正方体性质得:平面''//BCC B 平面''ADD A ,平面''BCC B 平面EMFN MF =,平面''ADD A 平面EMFN EN =, 所以//MF EN ,同理得//ME NF ,又EF MN ⊥,所以四边形MENF 为菱形, 因此ME NE =,故B 正确.对于C 选项,由B 易得四边形MENF 的面积12S MN EF =⋅, 所以当点M ,N 分别为BB ',DD '的中点时,四边形MENF 的面积S 最小, 此时2MN EF ==,即面积S 的最小值为1;当点M ,N 分别与点B (或点B '),D (或D )重合时,四边形MENF 的面积S 最大,此时3MN =,即面积S 的最大值为6, 所以四边形MENF 的面积最小值与最大值之比为2:6,故C 不正确. 对于D 选项,四棱锥A MENF -的体积1112123346M AEF N AEF AEF V V V DB S --=+=⋅=⨯⨯=△; 因为E ,F 分别是AA ',CC '的中点,所以BM D N '=,DN B M '=,于是被截面MENF 平分的两个多面体是完全相同的,则它们的体积也是相同的,因此多面体ABCD EMFN -的体积21122ABCD A B C D V V ''''-==正方体,所以四棱锥A MENF -与多面体ABCD EMFN -体积之比为1:3,故D 正确. 故选:ABD .【点睛】本题考查立体几何与向量的综合、截面面积的最值、几何体的体积,考查空间思维能力与运算求解能力,是中档题.本题解题的关键在于证明四边形MENF 为菱形,利用割补法将四棱锥A MENF -的体积转化为三棱锥M AEF - 和N AEF -的体积之和,将多面体ABCD EMFN -的体积转化为正方体的体积的一半求解.。
人教版高三数学下学期立体几何多选题单元 易错题综合模拟测评检测

人教版高三数学下学期立体几何多选题单元 易错题综合模拟测评检测一、立体几何多选题1.如图①,矩形ABCD 的边2BC =,设AB x =,0x >,三角形BCM 为等边三角形,沿BC 将三角形BCM 折起,构成四棱锥M ABCD -如图②,则下列说法正确的有( )A .若T 为BC 中点,则在线段MC 上存在点P ,使得//PD 平面MATB .当)3,2x ∈时,则在翻折过程中,不存在某个位置满足平面MAD ⊥平面ABCDC .若使点M 在平面ABCD 内的射影落在线段AD 上,则此时该四棱锥的体积最大值为1 D .若1x =,且当点M 在平面ABCD 内的射影点H 落在线段AD 上时,三棱锥M HAB -6322++【答案】BCD 【分析】对于A ,延长AT 与DC 的延长线交于点N ,此时,DP 与MN 必有交点; 对于B ,取AD 的中点H ,表示出2223MH MT HT x --,验证当)3,2x ∈时,无解即可; 对于C ,利用体积公式21233V x x =⨯⨯-,借助基本不等式求最值即可; 对于D ,要求外接球半径与内切球半径,找外接圆的圆心,又内接圆半径为2323r =++【详解】对于A ,如图,延长AT 与DC 的延长线交于点N ,则面ATM ⋂面()MDC N MN =.此时,DP 与MN 必有交点,则DP 与面ATM 相交,故A 错误; 对于B ,取AD 的中点H ,连接MH ,则MH AD ⊥.若面MAD ⊥面ABCD ,则有2223MH MT HT x =-=- 当)3,2x ∈时,无解,所以在翻折过程中,不存在某个位置满足平面MAD ⊥平面ABCD故B 正确;对于C ,由题可知,此时面MAD ⊥面ABCD ,由B 可知,(3x ∈,所以()22222221223232331333232x x V x x x x ⎛⎫+-⎛⎫=⨯⨯-=-≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当223x x =-,即6x =时等号成立.故C 正确; 对于D ,由题可知,此时面MAD ⊥面ABCD ,且2MH =因为AHB ,MHB 都是直角三角形,所以M ABH -底面外接圆的圆心是中点,所以1R =,由等体积法,可求得内接圆半径为2323r =++,故61322R r +=,故D 正确.故选:BCD . 【点睛】本题从多个角度深度考查了立体几何的相关内容,注意辅助线的作法,以及求内接圆半径的公式、基本不等式、构造函数等核心思想.2.已知三棱锥A BCD -的三条侧棱AB ,AC ,AD 两两垂直,其长度分别为a ,b ,c .点A 在底面BCD 内的射影为O ,点A ,B ,C ,D 所对面的面积分别为A S ,B S ,C S ,D S .在下列所给的命题中,正确的有( ) A .2A BCO D S SS ⋅=; B .3333A B C D S S S S <++;C .若三条侧棱与底面所成的角分别为1α,1β,1γ,则222111sin sin sin 1αβγ++=;D .若点M 是面BCD 内一个动点,且AM 与三条侧棱所成的角分别为2α,2β,2γ,则22cos α+2222cos cos 1βγ+=.【答案】ACD 【分析】由Rt O OA '与Rt O AD '相似,得边长关系,进而判断A 正确;当M 与O 重合时,注意线面角与线线角的关系,即可得C 正确;构造长方体,建立直角坐标系,代入夹角公式计算可得D 正确;代入特殊值,可得B 错误. 【详解】由三棱锥A BCD -的三条侧棱AB ,AC ,AD 两两垂直,则将三棱锥A BCD -补成长方体ABFC DGHE -,连接DO 并延长交BC 于O ', 则AO BC ⊥.对A :由Rt O OA '与Rt O AD '相似,则2O A O O O D '''=⨯ 又12A S BC O D '=⋅,12BCOS BC O O '=⋅, 22221124D S BC O A BC O A ⎛⎫''=⋅=⋅ ⎪⎝⎭所以2A BCOD S SS ⋅=,故A 正确.对B :当1a b c ===时,33318B C D S S S ===,则33338B C D S S S ++=,而332333322288A S ⎛⎫=⨯⨯=> ⎪ ⎪⎝⎭,此时3333A B C D S S S S >++,故B 不正确. 对D :分别以AB ,AC ,AD 为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系. 设(),,M x y z ,则(),,AM x y z =,222AM x y z =++,(),0,0AB a =,()0,,0AC b =,()0,0,AD c =所以222222222cos cos cos AM AB AM AC AM AD AM ABAM ACAM ADαβγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222221x y z AMAMAM=++=,所以D 正确.对C :当M 与O 重合时,AO ⊥面BCD ,由D 有222222cos cos cos 1αβγ++=,由各侧棱与底面所成角与侧棱与所AO 成角互为余角,可得C 正确. 故选:ACD.【点睛】关键点睛:本题考查空间线面角、线线角、面积关系的问题,计算角的问题关键是建立空间直角坐标系,写出点的坐标,利用数量积的公式代入计算,解决这道题目还要结合线面角与线线角的关系判断.3.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,P 为底面ABCD 内(含边界)一点.( ) A .若13A P =,则满足条件的P 点有且只有一个 B .若12A P =,则点P 的轨迹是一段圆弧 C .若1//A P 平面11B D C ,则1A P 长的最小值为2D .若12A P =且1//A P 平面11B DC ,则平面11A PC 截正方体外接球所得截面的面积为23π【答案】ABD 【分析】选项A ,B 可利用球的截面小圆的半径来判断;由平面1//A BD 平面11B D C ,知满足1//A P 平面11B D C 的点P 在BD 上,1A P 长的最大值为2;结合以上条件点P 与B 或D 重合,利用12sin 60A P r =︒,求出63r =,进而求出面积. 【详解】对A 选项,如下图:由13A P =,知点P 在以1A 为球心,半径为3的球上,又因为P 在底面ABCD 内(含边界),底面截球可得一个小圆,由1A A ⊥底面ABCD ,知点P 的轨迹是在底面上以A 为圆心的小圆圆弧,半径为22112r A P A A =-=,则只有唯一一点C满足,故A 正确;对B 选项,同理可得点P 在以A 为圆心,半径为22111r A P A A =-=的小圆圆弧上,在底面ABCD 内(含边界)中,可得点P 轨迹为四分之一圆弧BD .故B 正确;对C 选项,移动点P 可得两相交的动直线与平面11B D C 平行,则点P 必在过1A 且与平面11B D C 平行的平面内,由平面1//A BD 平面11B D C ,知满足1//A P 平面11B D C 的点P 在BD上,则1A P 长的最大值为12A B =,则C 不正确; 对选项D ,由以上推理可知,点P 既在以A 为圆心,半径为1的小圆圆弧上,又在线段BD 上,即与B 或D 重合,不妨取点B ,则平面11A PC 截正方体外接球所得截面为11A BC 的外接圆,利用2126622,,sin 60333A B r r S r ππ==∴=∴==︒.故D 正确.故选:ABD 【点睛】(1)平面截球所得截面为圆面,且满足222=R r d +(其中R 为球半径,r 为小圆半径,d 为球心到小圆距离);(2)过定点A 的动直线平行一平面α,则这些动直线都在过A 且与α平行的平面内.4.在正方体1111ABCD A B C D -中,M 、N 分别是棱AB 、1CC 的中点,1MB P 的顶点P 在棱1CC 与棱11C D 上运动,有以下四个命题正确命题的序号是( )A .平面1MB P 1ND ⊥ B .平面1MB P ⊥平面11ND AC .1MB P 在底面ABCD 上的射影图形的面积为定值 D .1MB P 在侧面11D C CD 上射影图形是三角形 【答案】BC 【分析】取N 与P 重合,结合勾股定理可判断A 选项的正误;利用面面垂直的判定定理可判断B选项的正误;分点P 在棱1CC 、11C D 上运动两种情况讨论,利用三角形的面积公式可判断C 选项的正误;取点P 与点1C 重合,判断1MB P 在侧面11D C CD 上射影图形形状,可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项,设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,如下图所示:当点P 与点N 重合时, 若1ND ⊥平面1MB P ,1B N ⊂平面1MB P ,则11ND B N ⊥,由勾股定理可得2211115D N C N C D =+=,同理可得15B N =,1122B D =,2221111B N D N B D ∴+≠,则1ND 与1B N 不垂直,假设不成立,A 选项错误;对于B 选项,取1BB 的中点E ,连接1A E 、EN ,在正方体1111ABCD A B C D -中,11//BB CC ,且E 、N 分别为1BB 、1CC 的中点,则11//B E C N 且11B E C N =,所以,四边形11B ENC 为平行四边形,则11//EN B C 且11EN B C =,1111//A D B C 且1111A D B C =,所以,11//A D EN 且11A D EN =,所以,四边形11A END 为平行四边形,所以,11//A E D N ,111A B BB =,1B E BM =,11190A B E B BM ∠=∠=,所以,111Rt A B E Rt B BM ≅△△,所以,111B A E BB M ∠=∠,所以,111111190A EB BB M A EB B A E ∠+∠=∠+∠=,190B FE ∴∠=,所以,11B M A E ⊥,11A D ⊥平面11AA B B ,1B M ⊂平面11AA B B ,111B M A D ∴⊥, 1111A D A E A =,11A D 、1A E ⊂平面11ND A ,1MB ∴⊥平面11ND A ,1MB ⊂平面1MB P ,所以,平面1MB P ⊥平面11ND A ,B 选项正确;对于C 选项,设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a .若点P 在棱1CC 上运动时,1MB P 在底面ABCD 上的射影为MBC △, 此时,射影图形的面积为21224MBCa a S a =⋅=△; 若点P 在棱11C D 上运动时,设点P 在底面ABCD 上的射影点为G ,则G CD ∈, 且点G 到AB 的距离为a ,1MB 在底面ABCD 内的射影为MB ,则1MB P 在底面ABCD 内的射影为MBG △,且21224MBGa a S a =⋅⋅=△.综上所述,1MB P 在底面ABCD 内的射影图形的面积为定值,C 选项正确; 对于D 选项,当点P 与1C 重合时,P 、1B 两点在平面11D C CD 上的射影重合, 此时,1MB P 在侧面11D C CD 上的射影不构成三角形,D 选项错误. 故选:BC.【点睛】方法点睛:证明面面垂直常用的方法: (1)面面垂直的定义; (2)面面垂直的判定定理.在证明面面垂直时,一般假设面面垂直成立,然后利用面面垂直转化为线面垂直,即为所证的线面垂直,组织论据证明即可.5.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,点O 为11A D 的中点,若以O 为球心,6为半径的球面与正方体1111ABCD A B C D -的棱有四个交点E ,F ,G ,H ,则下列结论正确的是( )A .11//A D 平面EFGHB .1AC ⊥平面EFGHC .11A B 与平面EFGH 所成的角的大小为45°D .平面EFGH 将正方体1111ABCD A B C D -分成两部分的体积的比为1:7 【答案】ACD 【分析】如图,计算可得,,,E F G H 分别为所在棱的中点,利用空间中点线面的位置关系的判断方法可判断A 、B 的正确与否,计算出直线AB 与平面EFGH 所成的角为45︒后可得C 正确,而几何体BHE CGF -为三棱柱,利用公式可求其体积,从而可判断D 正确与否. 【详解】如图,连接OA ,则2115OA AA =+=,故棱1111,,,A A A D D D AD 与球面没有交点.同理,棱111111,,A B B C C D 与球面没有交点. 因为棱11A D 与棱BC 之间的距离为26>BC 与球面没有交点.因为正方体的棱长为2,而26<球面与正方体1111ABCD A B C D -的棱有四个交点E ,F ,G ,H , 所以棱11,,,AB CD C C B B 与球面各有一个交点, 如图各记为,,,E F G H .因为OAE △为直角三角形,故1AE ==,故E 为棱AB 的中点. 同理,,F G H 分别为棱11,,CD C C B B 的中点.由正方形ABCD 、,E F 为所在棱的中点可得//EF BC , 同理//GH BC ,故//EF GH ,故,,,E F G H 共面. 由正方体1111ABCD A B C D -可得11//A D BC ,故11//A D EF因为11A D ⊄平面EFGH ,EF ⊂平面EFGH ,故11//A D 平面EFGH ,故A 正确.因为在直角三角1BA C 中,1A B =2BC = ,190A BC ∠=︒, 1A C 与BC 不垂直,故1A C 与GH 不垂直,故1A C ⊥平面EFGH 不成立,故B 错误.由正方体1111ABCD A B C D -可得BC ⊥平面11AA B B ,而1A B ⊂平面11AA B B , 所以1BC A B ⊥,所以1EF A B ⊥在正方形11AA B B 中,因为,E H 分别为1,AB BB 的中点,故1EH A B ⊥, 因为EFEH E =,故1A B ⊥平面EFGH ,所以BEH ∠为直线AB 与平面EFGH 所成的角,而45BEH ∠=︒, 故直线AB 与平面EFGH 所成的角为45︒,因为11//AB A B ,故11A B 与平面EFGH 所成的角的大小为45°.故C 正确. 因为,,,E F G H 分别为所在棱的中点,故几何体BHE CGF -为三棱柱, 其体积为111212⨯⨯⨯=,而正方体的体积为8, 故平面EFGH 将正方体1111ABCD A B C D -分成两部分的体积的比为1:7,故D 正确. 故选:ACD. 【点睛】本题考查空间中线面位置的判断、空间角的计算和体积的计算,注意根据球的半径确定哪些棱与球面有交点,本题属于中档题.6.(多选题)在四面体P ABC -中,以上说法正确的有( )A .若1233AD AC AB =+,则可知3BC BD = B .若Q 为△ABC 的重心,则111333PQ PA PB PC =++C .若0PA BC =,0PC AB =,则0PB AC =D .若四面体P ABC -各棱长都为2,M N ,分别为,PA BC 的中点,则1MN = 【答案】ABC 【分析】作出四面体P ABC -直观图,在每个三角形中利用向量的线性运算可得. 【详解】对于A ,1233AD AC AB =+,32AD AC AB ∴=+,22AD AB AC AD ∴-=- , 2BD DC ∴=,3BD BD DC BC ∴=+=即3BD BC ∴=,故A 正确;对于B ,Q 为△ABC 的重心,则0QA QB QC ++=,33PQ QA QB QC PQ ∴+++=()()()3PQ QA PQ QB PQ QC PQ ∴+++++=,3PA PB PC PQ ∴++=即111333PQ PA PB PC ∴=++,故B 正确; 对于C ,若0PA BC =,0PC AB =,则0PA BC PC AB +=,()0PA BC PC AC CB ∴++=,0PA BC PC AC PC CB ∴++=0PA BC PC AC PC BC ∴+-=,()0PA PC BC PC AC ∴-+= 0CA BC PC AC ∴+=,0AC CB PC AC ∴+=()0AC PC CB ∴+=,0AC PB ∴=,故C 正确;对于D ,111()()222MN PN PM PB PC PA PB PC PA ∴=-=+-=+- 1122MN PB PC PA PA PB PC ∴=+-=-- 222222PA PB PC PA PB PC PA PB PA PC PC PB --=++--+22211122222222222222222=++-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=2MN ∴=,故D 错误.故选:ABC 【点睛】用已知向量表示某一向量的三个关键点(1)用已知向量来表示某一向量,一定要结合图形,以图形为指导是解题的关键. (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义,如首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量. (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立.7.如图四棱锥P ABCD -,平面PAD ⊥平面ABCD ,侧面PAD 是边长为26的正三角形,底面ABCD 为矩形,23CD =,点Q 是PD 的中点,则下列结论正确的是( )A .CQ ⊥平面PADB .PC 与平面AQC 所成角的余弦值为223C .三棱锥B ACQ -的体积为62D .四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的表面积为3【答案】BD 【分析】取AD 的中点O ,BC 的中点E ,连接,OE OP ,则由已知可得OP ⊥平面 ABCD ,而底面ABCD 为矩形,所以以O 为坐标原点,分别以,,OD OE OP 所在的直线为x 轴,y 轴 ,z 轴,建立空间直角坐标系,利用空间向量依次求解即可. 【详解】解:取AD 的中点O ,BC 的中点E ,连接,OE OP , 因为三角形PAD 为等边三角形,所以OP AD ⊥, 因为平面PAD ⊥平面ABCD ,所以OP ⊥平面 ABCD , 因为AD OE ⊥,所以,,OD OE OP 两两垂直,所以,如下图,以O 为坐标原点,分别以,,OD OE OP 所在的直线为x 轴,y 轴 ,z 轴, 建立空间直角坐标系,则(0,0,0),(6,0,0),(6,0,0)O D A ,(0,0,32),6,23,0),(6,23,0)P C B ,因为点Q是PD的中点,所以Q,平面PAD的一个法向量为(0,1,0)m =,6(2QC=-,显然m与QC不共线,所以CQ与平面PAD不垂直,所以A不正确;3632(6,23,32),(,0,),(26,2PC AQ AC=-==,设平面AQC的法向量为(,,)n x y z=,则362260n AQ x zn AC⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩,令=1x ,则y z==,所以(1,2,n=-,设PC与平面AQC所成角为θ,则21sin36n PCn PCθ⋅===,所以cos3θ=,所以B正确;三棱锥B ACQ-的体积为1132B ACQ Q ABC ABCV V S OP--==⋅1116322=⨯⨯⨯=,所以C不正确;设四棱锥Q ABCD-外接球的球心为)M a,则MQ MD=,所以222222a a⎛++-=++⎝⎭⎝⎭,解得0a=,即M为矩形ABCD对角线的交点,所以四棱锥Q ABCD-外接球的半径为3,设四棱锥Q ABCD-外接球的内接正四面体的棱长为x,将四面体拓展成正方体,其中正四面体棱为正方体面的对角线,x,所以22362x⎛⎫=⎪⎪⎝⎭,得224x=,所以正四面体的表面积为2342434x ⨯=,所以D 正确. 故选:BD【点睛】此题考查线面垂直,线面角,棱锥的体积,棱锥的外接球等知识,综合性强,考查了计算能力,属于较难题.8.如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,线段11B D 上有两个动点E ,F ,且2EF =.则下列结论正确的是( )A .三棱锥A BEF -的体积为定值B .当E 向1D 运动时,二面角A EF B --逐渐变小C .EF 在平面11ABB A 内的射影长为12D .当E 与1D 重合时,异面直线AE 与BF 所成的角为π4【答案】AC 【分析】对选项分别作图,研究计算可得. 【详解】选项A:连接BD ,由正方体性质知11BDD B 是矩形,11122122BEF S EF BB ∆∴=⋅=⨯⨯=连接AO 交BD 于点O由正方体性质知AO ⊥平面11BDD B ,所以,AO 是点A 到平面11BDD B 的距离,即22AO =11221334212A BEF BEF V S AO -∆∴=⨯=⨯⨯=A BEF V -∴是定值.选项B:连接11A C 与11B D 交于点M ,连接11,AD AB , 由正方体性质知11AD AB =,M 是11B D 中点,AM EF ∴⊥ ,又1BB EF ⊥,11//BB AAA EFB ∴--的大小即为AM 与1AA 所成的角,在直角三角形1AA M 中,12tan 2MAA ∠=为定值. 选项C:如图,作1111,,,FH A B EG A B ET EG ⊥⊥⊥ 在直角三角形EFT 中,221cos 45222FT EF =⨯=⨯= 12HG FT ∴==选项D:当E 与1D 重合时,F 与M 重合,连接AC 与BD 交于点R ,连接1D R ,1//D R BM 异面直线AE 与BF 所成的角,即为异面直线1AD 与1D R 所成的角, 在三角形1AD R 中,22111132,2AD D R MB BB M B ===+=22AR = 由余弦定理得13cos 6AD R ∠= 故选:AC 【点睛】本题考查空间几何体性质问题.求解思路:关键是弄清(1)点的变化,点与点的重合及点的位置变化;(2)线的变化,应注意其位置关系的变化;(3)长度、角度等几何度量的变化.求空间几何体体积的思路:若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体,则可直接利用公式进行求解.其中,求三棱锥的体积常用等体积转换法;若所给定的几何体是不规则几何体,则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体,再利用公式求解.9.已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为2,如图,M 为1CC 上的动点,AM ⊥平面α.下面说法正确的是()A .直线AB 与平面α所成角的正弦值范围为322⎣⎦B .点M 与点1C 重合时,平面α截正方体所得的截面,其面积越大,周长就越大 C .点M 为1CC 的中点时,若平面α经过点B ,则平面α截正方体所得截面图形是等腰梯形D .已知N 为1DD 中点,当AM MN +的和最小时,M 为1CC 的中点 【答案】AC 【分析】以点D 为坐标原点,DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -,利用空间向量法可判断A 选项的正误;证明出1AC ⊥平面1A BD ,分别取棱11A D 、11A B 、1BB 、BC 、CD 、1DD 的中点E 、F 、Q 、N 、G 、H ,比较1A BD 和六边形EFQNGH 的周长和面积的大小,可判断B 选项的正误;利用空间向量法找出平面α与棱11A D 、11A B 的交点E 、F ,判断四边形BDEF 的形状可判断C 选项的正误;将矩形11ACC A 与矩形11CC D D 延展为一个平面,利用A 、M 、N 三点共线得知AM MN +最短,利用平行线分线段成比例定理求得MC ,可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项,以点D 为坐标原点,DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -,则点()2,0,0A 、()2,2,0B 、设点()()0,2,02M a a ≤≤,AM ⊥平面α,则AM 为平面α的一个法向量,且()2,2,AM a =-,()0,2,0AB =, 2232cos ,,32288AB AM AB AM AB AMa a ⋅<>===⎢⋅⨯++⎣⎦, 所以,直线AB 与平面α所成角的正弦值范围为32⎣⎦,A 选项正确; 对于B 选项,当M 与1CC 重合时,连接1A D 、BD 、1A B 、AC , 在正方体1111ABCD A B C D -中,1CC ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,1BD CC ∴⊥,四边形ABCD 是正方形,则BD AC ⊥,1CC AC C =,BD ∴⊥平面1ACC ,1AC ⊂平面1ACC ,1AC BD ∴⊥,同理可证11AC A D ⊥, 1A D BD D ⋂=,1AC ∴⊥平面1A BD ,易知1A BD 是边长为22(12322234A BD S =⨯=△为22362=.设E 、F 、Q 、N 、G 、H 分别为棱11A D 、11A B 、1BB 、BC 、CD 、1DD 的中点,易知六边形EFQNGH 是边长为2的正六边形,且平面//EFQNGH 平面1A BD , 正六边形EFQNGH 的周长为62,面积为()236233⨯⨯=,则1A BD 的面积小于正六边形EFQNGH 的面积,它们的周长相等,B 选项错误; 对于C 选项,设平面α交棱11A D 于点(),0,2E b ,点()0,2,1M ,()2,2,1AM =-,AM ⊥平面α,DE ⊂平面α,AM DE ∴⊥,即220AM DE b ⋅=-+=,得1b =,()1,0,2E ∴,所以,点E 为棱11A D 的中点,同理可知,点F 为棱11A B 的中点,则()2,1,2F ,()1,1,0EF =,而()2,2,0DB =,12EF DB ∴=,//EF DB ∴且EF DB ≠, 由空间中两点间的距离公式可得2222015DE =++=()()()2222212205BF =-+-+-=,DE BF ∴=,所以,四边形BDEF 为等腰梯形,C 选项正确;对于D 选项,将矩形11ACC A 与矩形11CC D D 延展为一个平面,如下图所示:若AM MN +最短,则A 、M 、N 三点共线,11//CC DD ,2222222MC AC DN AD ∴===-+, 11222MC CC =-≠,所以,点M 不是棱1CC 的中点,D 选项错误.故选:AC. 【点睛】本题考查线面角正弦值的取值范围,同时也考查了平面截正方体的截面问题以及折线段长的最小值问题,考查空间想象能力与计算能力,属于难题.10.半正多面体(semiregularsolid )亦称“阿基米德多面体”,是由边数不全相同的正多边形围成的多面体,体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体,是由正方体切截而成的,它由八个正三角形和六个正方形构成(如图所示),若它的所有棱长都为2,则( )A .BF ⊥平面EABB .该二十四等边体的体积为203C .该二十四等边体外接球的表面积为8πD .PN 与平面EBFN 所成角的正弦值为22 【答案】BCD 【分析】 A 用反证法判断;B 先补齐八个角成正方体,再计算体积判断;C 先找到球心与半径,再计算表面积判断;D 先找到直线与平面所成角,再求正弦值判断.【详解】解:对于A ,假设A 对,即BF ⊥平面EAB ,于是BF AB ⊥,90ABF ∠=︒,但六边形ABFPQH 为正六边形,120ABF ∠=︒,矛盾,所以A 错;对于B ,补齐八个角构成棱长为2的正方体,则该二十四等边体的体积为3112028111323-⋅⋅⋅⋅⋅=, 所以B 对;对于C ,取正方形ACPM 对角线交点O ,即为该二十四等边体外接球的球心,其半径为2R =,其表面积为248R ππ=,所以C 对;对于D ,因为PN 在平面EBFN 内射影为NS ,所以PN 与平面EBFN 所成角即为PNS ∠,其正弦值为22PS PN ==,所以D 对. 故选:BCD .【点睛】本题考查了正方体的性质,考查了直线与平面所成角问题,考查了球的体积与表面积计算问题.。
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人教版高三数学下学期立体几何多选题单元 易错题难题测试综合卷学能测试试卷一、立体几何多选题1.如图,一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D -,其中,以顶点A 为端点的三条棱长都等于1,且它们彼此的夹角都是60,下列说法中正确的是( )A .()()2212AA AB ADAC ++=B .1A 在底面ABCD 上的射影是线段BD 的中点C .1AA 与平面ABCD 所成角大于45 D .1BD 与AC 所成角的余弦值为63【答案】AC 【分析】对A ,分别计算()21++AA AB AD 和2AC ,进行判断;对B ,设BD 中点为O ,连接1A O ,假设1A 在底面ABCD 上的射影是线段BD 的中点,应得10⋅=O AB A ,计算10⋅≠O AB A ,即可判断1A 在底面ABCD 上的射影不是线段BD 的中点;对C ,计算11,,A A AC AC ,根据勾股定理逆定理判断得11⊥A A AC ,1AA 与平面ABCD 所成角为1A AC ∠,再计算1tan ∠A AC ;对D ,计算1,AC BD 以及1BD AC ⋅,再利用向量的夹角公式代入计算夹角的余弦值. 【详解】对A ,由题意,11111cos602⋅=⋅=⋅=⨯⨯=AA AB AA AD AD AB ,所以()2222111112*********++=+++⋅+⋅+⋅=+++⨯⨯=AA AB ADAA AB AD AA AB AB AD AA AD ,AC AB AD =+,所以()222221113=+=+⋅+=++=AC AB ADAB AB AD AD ,所以()()22126++==AA AB AD AC ,故A 正确;对B ,设BD 中点为O ,连接1A O ,1111111222=+=+=++AO A A AO A A AC A A AD AB ,若1A 在底面ABCD 上的射影是线段BD 的中点,则1A O ⊥平面ABCD ,则应10⋅=O AB A ,又因为21111111111110222222224⎛⎫⋅=++⋅=-⋅+⋅+=-+⨯+=≠⎪⎝⎭O AB A A AD AB AB AA AB AD AB AB A ,故B 错误;对D ,11,BD AD AA AB AC AB AD=+-=+, 所以()()2211=2,=3=+-=+AD A B A AB AC AB AD D ,()()2211111⋅=+-⋅+=⋅++⋅+⋅--⋅=AC AD AA AB AB AD AD AB AD AA AB AA AD ABAB AD BD ,1116cos ,23⋅<>===⋅B AC D BD BD AC AC,故D 不正确;对C ,112==AC BD ,在1A AC 中,111,2,3===A A AC AC ,所以22211+=A A AC AC ,所以11⊥A A AC ,所以1AA 与平面ABCD 所成角为1A AC ∠,又1tan 21∠=>A AC ,即145∠>A AC ,故C 正确;故选:AC【点睛】方法点睛:用向量方法解决立体几何问题,需要树立“基底”意识,利用基向量进行线性运算,要理解空间向量概念、性质、运算,注意和平面向量类比;同时对于立体几何中角的计算问题,往往可以利用空间向量法,利用向量的夹角公式求解.2.如图,矩形ABCD 中,M 为BC 的中点,将ABM 沿直线AM 翻折成1AB M ,连结1B D ,N 为1B D 的中点,则在翻折过程中,下列说法中所有正确的是( )A .存在某个位置,使得1CN AB ⊥ B .翻折过程中,CN 的长是定值C .若AB BM =,则1AM BD ⊥D .若1AB BM ==,当三棱锥1B AMD -的体积最大时,三棱锥1B AMD -外接球的体积是43π 【答案】BD 【分析】对于A ,取AD 中点E ,连接EC 交MD 与F ,可得到EN NF ⊥,又EN CN ⊥,且三线,,NE NF NC 共面共点,不可能;对于B ,可得由1NEC MAB ∠=∠(定值),112NE AB =(定值),AM EC =(定值),由余弦定理可得NC 是定值.对于C ,取AM 中点O ,连接1,B O DO ,假设1AM B D ⊥,易得AM ⊥面1ODB ,即可得OD AM ⊥,从而AD MD =,显然不一定成立.对于D ,当平面B 1AM ⊥平面AMD 时,三棱锥B 1﹣AMD 的体积最大,可得球半径为1,体积是43π. 【详解】对于A 选项:如图1,取AD 中点E ,连接EC 交MD 与F , 则11////NE AB NF MB ,,又11AB MB ⊥,所以EN NF ⊥, 如果1CN AB ⊥,可得EN CN ⊥,且三线,,NE NF NC 共面共点, 不可能,故A 选项不正确;对于B 选项:如图1,由A 选项可得1AMB EFN ≈△△,故1NEC MAB ∠=∠(定值),112NE AB =(定值),AM EC =(定值), 故在NEC 中,由余弦定理得222cos CN CE NE NE CE NEC =+-⋅⋅∠,整理得222212422AB AB AB CN AM AM BC AB AM =+-⋅⋅=+, 故CN 为定值,故B 选项正确.对于C 选项:如图,取AM 中点O ,连接1,B O DO , 由AB BM =,得1B O AM ⊥,假设1AM B D ⊥,111B D B O B =,所以AM ⊥面1ODB ,所以OD AM ⊥,从而AD MD =,显然不恒成立,所以假设不成立,可得C 选项不正确.对于D 选项:由题易知当平面1AB M 与平面AMD 垂直时,三棱锥1B AMD -的体积最大,此时1B O ⊥平面AMD ,则1B O OE ⊥,由1AB BM ==,易求得122BO =,2DM =,故22221122122B E OB OE ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 因此1EB EA ED EM ===,E 为三棱锥1B AMD -的外接球球心,此外接球半径为1,体积是43π.故D 选项正确. 故答案为:BD . 【点睛】本题主要考查了线面、面面平行与垂直的判定和性质定理,考查了空间想象能力和推理论证能力,属于难题.本题C 选项的解题的关键在于采用反证法证明,进而推出矛盾解题,D 选项求解的关键在于把握平面1AB M 与平面AMD 垂直时,三棱锥1B AMD -的体积最大.3.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,点O 为11A D 的中点,若以O 为球心,6为半径的球面与正方体1111ABCD A B C D -的棱有四个交点E ,F ,G ,H ,则下列结论正确的是( )A .11//A D 平面EFGHB .1AC ⊥平面EFGHC .11A B 与平面EFGH 所成的角的大小为45°D .平面EFGH 将正方体1111ABCD A B C D -分成两部分的体积的比为1:7 【答案】ACD 【分析】如图,计算可得,,,E F G H 分别为所在棱的中点,利用空间中点线面的位置关系的判断方法可判断A 、B 的正确与否,计算出直线AB 与平面EFGH 所成的角为45︒后可得C 正确,而几何体BHE CGF -为三棱柱,利用公式可求其体积,从而可判断D 正确与否. 【详解】如图,连接OA ,则OA ==,故棱1111,,,A A A D D D AD 与球面没有交点.同理,棱111111,,A B B C C D 与球面没有交点.因为棱11A D 与棱BC 之间的距离为>BC 与球面没有交点.因为正方体的棱长为2,而2<球面与正方体1111ABCD A B C D -的棱有四个交点E ,F ,G ,H , 所以棱11,,,AB CD C C B B 与球面各有一个交点, 如图各记为,,,E F G H .因为OAE △为直角三角形,故1AE ==,故E 为棱AB 的中点. 同理,,F G H 分别为棱11,,CD C C B B 的中点.由正方形ABCD 、,E F 为所在棱的中点可得//EF BC , 同理//GH BC ,故//EF GH ,故,,,E F G H 共面. 由正方体1111ABCD A B C D -可得11//A D BC ,故11//A D EF因为11A D ⊄平面EFGH ,EF ⊂平面EFGH ,故11//A D 平面EFGH ,故A 正确.因为在直角三角1BA C 中,1A B =2BC = ,190A BC ∠=︒, 1A C 与BC 不垂直,故1A C 与GH 不垂直,故1A C ⊥平面EFGH 不成立,故B 错误.由正方体1111ABCD A B C D -可得BC ⊥平面11AA B B ,而1A B ⊂平面11AA B B , 所以1BC A B ⊥,所以1EF A B ⊥在正方形11AA B B 中,因为,E H 分别为1,AB BB 的中点,故1EH A B ⊥, 因为EFEH E =,故1A B ⊥平面EFGH ,所以BEH ∠为直线AB 与平面EFGH 所成的角,而45BEH ∠=︒, 故直线AB 与平面EFGH 所成的角为45︒,因为11//AB A B ,故11A B 与平面EFGH 所成的角的大小为45°.故C 正确. 因为,,,E F G H 分别为所在棱的中点,故几何体BHE CGF -为三棱柱, 其体积为111212⨯⨯⨯=,而正方体的体积为8, 故平面EFGH 将正方体1111ABCD A B C D -分成两部分的体积的比为1:7,故D 正确. 故选:ACD. 【点睛】本题考查空间中线面位置的判断、空间角的计算和体积的计算,注意根据球的半径确定哪些棱与球面有交点,本题属于中档题.4.如图四棱锥P ABCD -,平面PAD ⊥平面ABCD ,侧面PAD 是边长为角形,底面ABCD 为矩形,CD =Q 是PD 的中点,则下列结论正确的是( )A .CQ ⊥平面PADB .PC 与平面AQC 所成角的余弦值为223C .三棱锥B ACQ -的体积为62D .四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的表面积为3【答案】BD 【分析】取AD 的中点O ,BC 的中点E ,连接,OE OP ,则由已知可得OP ⊥平面 ABCD ,而底面ABCD 为矩形,所以以O 为坐标原点,分别以,,OD OE OP 所在的直线为x 轴,y 轴 ,z 轴,建立空间直角坐标系,利用空间向量依次求解即可. 【详解】解:取AD 的中点O ,BC 的中点E ,连接,OE OP , 因为三角形PAD 为等边三角形,所以OP AD ⊥, 因为平面PAD ⊥平面ABCD ,所以OP ⊥平面 ABCD , 因为AD OE ⊥,所以,,OD OE OP 两两垂直,所以,如下图,以O 为坐标原点,分别以,,OD OE OP 所在的直线为x 轴,y 轴 ,z 轴, 建立空间直角坐标系,则(0,0,0),(6,0,0),(6,0,0)O D A ,(0,0,32),6,23,0),(6,23,0)P C B ,因为点Q 是PD 的中点,所以632)2Q , 平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)m =,632(23,22QC =-,显然 m 与QC 不共线, 所以CQ 与平面PAD 不垂直,所以A 不正确;3632(6,23,32),(,0,),(26,23,0)22PC AQ AC =-==, 设平面AQC 的法向量为(,,)n x y z =,则360260n AQ x zn AC ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩,令=1x ,则y z ==, 所以(1,2,n =-, 设PC 与平面AQC 所成角为θ,则21sin 36n PC n PCθ⋅===, 所以cos θ=,所以B 正确; 三棱锥B ACQ -的体积为1132BACQ Q ABC ABCV V SOP --==⋅ 1116322=⨯⨯⨯=, 所以C不正确;设四棱锥Q ABCD -外接球的球心为)M a ,则MQ MD=,所以2222222a a⎛⎫++-=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解得0a =,即M 为矩形ABCD 对角线的交点,所以四棱锥Q ABCD -外接球的半径为3,设四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的棱长为x , 将四面体拓展成正方体,其中正四面体棱为正方体面的对角线,故正方体的棱长为2x,所以22362x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,得224x =, 所以正四面体的表面积为244x ⨯=,所以D 正确. 故选:BD【点睛】此题考查线面垂直,线面角,棱锥的体积,棱锥的外接球等知识,综合性强,考查了计算能力,属于较难题.5.在长方体1111ABCD A B C D -中,23AB =12AD AA ==,,,P Q R 分别是11,,AB BB AC 上的动点,下列结论正确的是( ) A .对于任意给定的点P ,存在点Q 使得1D P CQ ⊥ B .对于任意给定的点Q ,存在点R 使得1D R CQ ⊥ C .当1AR A C ⊥时,1AR D R ⊥D .当113AC A R =时,1//D R 平面1BDC 【答案】ABD 【分析】如图所示建立空间直角坐标系,计算142D P CQ b ⋅=-,()12222D R CQ b λλ⋅=--,134AR D R ⋅=-,10D R n ⋅=,得到答案.【详解】如图所示,建立空间直角坐标系,设()2,,0P a ,0,23a ⎡∈⎣,()2,23,Q b ,[]0,2b ∈,设11A R AC λ=,得到()22,23,22R λλλ--,[]0,1λ∈. ()12,,2P a D -=,()2,0,CQ b =,142D P CQ b ⋅=-,当2b =时,1D P CQ ⊥,A 正确;()122,23,2D R λλλ=--,()12222D R CQ b λλ⋅=--,取22bλ=+时,1D R CQ ⊥,B 正确;1AR A C ⊥,则()()12,23,222,23,2212440AR AC λλλλλλ⋅=--⋅--=-+-+=, 14λ=,此时11333313,,,,022224AR D R ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,C 错误; 113AC A R =,则4234,,33R ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,14232,,33D R ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,设平面1BDC 的法向量为(),,n x y z =,则100n BD n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,解得()3,1,3n =-,故10D R n ⋅=,故1//D R 平面1BDC ,D 正确. 故选:ABD .【点睛】本题考查了空间中的线线垂直,线面平行,意在考查学生的计算能力和空间想象能力,推断能力.6.如图,点O 是正四面体P ABC -底面ABC 的中心,过点O 的直线交AC ,BC 于点M ,N ,S 是棱PC 上的点,平面SMN 与棱PA 的延长线相交于点Q ,与棱PB 的延长线相交于点R ,则( )A .若//MN 平面PAB ,则//AB RQ B .存在点S 与直线MN ,使PC ⊥平面SRQC .存在点S 与直线MN ,使()0PS PQ PR ⋅+= D .111PQPRPS++是常数【答案】ABD 【分析】对于选项A ,根据线面平行的性质定理,进行推理判断即可;对于选项B ,当直线MN 平行于直线AB , 13SC PC =时,通过线面垂直的判定定理,证明此时PC ⊥平面SRQ ,即可证明,存在点S 与直线MN ,使PC ⊥平面SRQ ;对于选项C ,假设存在点S 与直线MN ,使()0PS PQ PR ⋅+=,利用线面垂直的判定定理可证得PC ⊥平面PAB ,此时通过反证法说明矛盾性,即可判断; 对于选项D ,利用S PQR O PSR O PSQ O PQR V V V V ----=++,即可求得111PQPRPS++是常数.【详解】 对于选项A , 若//MN 平面PAB ,平面SMN 与棱PA 的延长线相交于点Q ,与棱PB 的延长线相交于点R ,∴平面SMN 平面PAB =RQ ,又MN ⊂平面SMN ,//MN 平面PAB ,∴//MN RQ ,点O 在面ABC 上,过点O 的直线交AC ,BC 于点M ,N ,∴MN ⊂平面ABC ,又//MN 平面PAB ,平面ABC平面PAB AB =,∴//MN AB , ∴//AB RQ ,故A 正确; 对于选项B ,当直线MN 平行于直线AB ,S 为线段PC 上靠近C 的三等分点,即13SC PC =,此时PC ⊥平面SRQ ,以下给出证明: 在正四面体P ABC -中,设各棱长为a ,∴ABC ,PBC ,PAC △,PAB △均为正三角形,点O 为ABC 的中心,//MN AB ,∴由正三角形中的性质,易得23CN CM a ==, 在CNS 中,23CN a =,13SC a =,3SCN π∠=,∴由余弦定理得,3SN a ==, ∴222249SC SN a CN +==,则SN PC ⊥, 同理,SM PC ⊥,又SM SN S =,SM ⊂平面SRQ ,SN ⊂平面SRQ ,∴PC ⊥平面SRQ ,∴存在点S 与直线MN ,使PC ⊥平面SRQ ,故B 正确; 对于选项C ,假设存在点S 与直线MN ,使()0PS PQ PR ⋅+=, 设QR 中点为K ,则2PQ PR PK +=,∴PS PK ⊥,即PC PK ⊥,()cos cos 0PC AB PC PB PA PC PB CPB PC PA CPA ⋅=⋅-=⋅∠-⋅∠=,∴PC AB ⊥,又易知AB 与PK 为相交直线,AB 与PK 均在平面PQR 上,∴PC ⊥平面PQR ,即PC ⊥平面PAB ,与正四面体P ABC -相矛盾,所以假设不成立, 故C 错误; 对于选项D ,易知点O 到面PBC ,面PAC ,面PAB 的距离相等,记为d , 记PC 与平面PAB 所处角的平面角为α,α为常数,则sin α也为常数, 则点S 到PQR 的距离为sin PS α, 又13sin 234PQRSPQ PR PQ PR π=⋅=⋅ ∴()()1133sin sin sin 33412S PQR PQRV PS S PS PQ PR PQ PR PS ααα-=⋅=⋅⋅=⋅⋅, 又13sin23PSRSPS PR PS PR π=⋅=⋅, 13sin 234PSQS PS PQ PS PQ π=⋅=⋅, 13sin23PQRSPQ PR PQ PR π=⋅=⋅,()S PQR O PSR O PSQ O PQR V V V V PS PR PS PQ PQ PR ----=++=⋅+⋅+⋅,∴()3sin PQ PR PS d PS PR PS PQ PQ PR α⋅⋅=⋅+⋅+⋅, ∴111sin d PQPRPSα++=为常数,故D 正确. 故选:ABD. 【点睛】本题考查了线面平行的性质定理、线面垂直的判定定理,考查了三棱锥体积的计算,考查了向量的运算,考查了转化能力与探究能力,属于较难题.7.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2,侧棱11AA =,P 为上底面1111D C B A 上的动点,给出下列四个结论中正确结论为( )A .若3PD =,则满足条件的P 点有且只有一个B .若PD =,则点P 的轨迹是一段圆弧C .若PD ∥平面1ACB ,则DP 长的最小值为2D .若PD ∥平面1ACB ,且PD =,则平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球所得平面图形的面积为94π 【答案】ABD 【分析】若3PD =,由于P 与1B 重合时3PD =,此时P 点唯一;()13PD =,,则1PD =P 的轨迹是一段圆弧;当P 为11A C 中点时,DP 有最小值为=断C ;平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球所得平面图形为外接球的大圆,其半径为32=,可得D .【详解】 如图:∵正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2, ∴1122B D =11AA =, ∴()2212213DB =+=,则P 与1B 重合时3PD =,此时P 点唯一,故A 正确;∵()313PD =,,11DD =,则12PD P 的轨迹是一段圆弧,故B 正确; 连接1DA ,1DC ,可得平面11//A DC 平面1ACB ,则当P 为11A C 中点时,DP 有最小值为()22213+=C 错误;由C 知,平面BDP 即为平面11BDD B ,平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接2221322122++=,面积为94π,故D 正确. 故选:ABD . 【点睛】本题考查了立体几何综合,考查了学生空间想象,逻辑推理,转化划归,数学运算的能力,属于较难题.8.如图所示,正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1,E ,F 分别是棱AA ',CC '的中点,过直线EF 的平面分别与棱BB ',DD '交于点M ,N ,以下四个命题中正确的是( )A .0MN EF ⋅=B .ME NE =C .四边形MENF 的面积最小值与最大值之比为2:3D .四棱锥A MENF -与多面体ABCD EMFN -体积之比为1:3 【答案】ABD 【分析】证明EF ⊥平面BDD B '',进而得EF MN ⊥,即可得A 选项正确;证明四边形MENF 为菱形即可得B 选项正确;由菱形性质得四边形MENF 的面积12S MN EF =⋅,再分别讨论MN 的最大值与最小值即可;根据割补法求解体积即可. 【详解】对于A 选项,如图,连接BD ,B D '',MN .由题易得EF BD ⊥,EFBB '⊥,BD BB B '⋂=,所以EF ⊥平面BDD B '',又MN ⊂平面BDD B '',所以EF MN ⊥,因此0MN EF ⋅=,故A 正确.对于B 选项,由正方体性质得:平面''//BCC B 平面''ADD A ,平面''BCC B 平面EMFN MF =,平面''ADD A 平面EMFN EN =, 所以//MF EN ,同理得//ME NF ,又EF MN ⊥,所以四边形MENF 为菱形, 因此ME NE =,故B 正确.对于C 选项,由B 易得四边形MENF 的面积12S MN EF =⋅, 所以当点M ,N 分别为BB ',DD '的中点时,四边形MENF 的面积S 最小, 此时2MN EF ==,即面积S 的最小值为1;当点M ,N 分别与点B (或点B '),D (或D )重合时,四边形MENF 的面积S 最大,此时3MN =,即面积S 的最大值为6, 所以四边形MENF 的面积最小值与最大值之比为2:6,故C 不正确. 对于D 选项,四棱锥A MENF -的体积1112123346M AEF N AEF AEF V V V DB S --=+=⋅=⨯⨯=△; 因为E ,F 分别是AA ',CC '的中点,所以BM D N '=,DN B M '=,于是被截面MENF 平分的两个多面体是完全相同的,则它们的体积也是相同的,因此多面体ABCD EMFN -的体积21122ABCD A B C D V V ''''-==正方体,所以四棱锥A MENF -与多面体ABCD EMFN -体积之比为1:3,故D 正确. 故选:ABD .【点睛】本题考查立体几何与向量的综合、截面面积的最值、几何体的体积,考查空间思维能力与运算求解能力,是中档题.本题解题的关键在于证明四边形MENF 为菱形,利用割补法将四棱锥A MENF -的体积转化为三棱锥M AEF - 和N AEF -的体积之和,将多面体ABCD EMFN -的体积转化为正方体的体积的一半求解.9.半正多面体(semiregularsolid )亦称“阿基米德多面体”,是由边数不全相同的正多边形围成的多面体,体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体,是由正方体切截而成的,它由八个正三角形和六个正方形构成(如图所示),若它的所有棱长都为2 )A .BF ⊥平面EABB .该二十四等边体的体积为203C .该二十四等边体外接球的表面积为8πD .PN 与平面EBFN 2 【答案】BCD 【分析】A 用反证法判断;B 先补齐八个角成正方体,再计算体积判断;C 先找到球心与半径,再计算表面积判断;D 先找到直线与平面所成角,再求正弦值判断. 【详解】解:对于A ,假设A 对,即BF ⊥平面EAB ,于是BF AB ⊥,90ABF ∠=︒,但六边形ABFPQH 为正六边形,120ABF ∠=︒,矛盾, 所以A 错;对于B ,补齐八个角构成棱长为2的正方体,则该二十四等边体的体积为3112028111323-⋅⋅⋅⋅⋅=,所以B 对;对于C ,取正方形ACPM 对角线交点O , 即为该二十四等边体外接球的球心, 其半径为2R =248R ππ=,所以C 对;对于D ,因为PN 在平面EBFN 内射影为NS , 所以PN 与平面EBFN 所成角即为PNS ∠, 其正弦值为22PS PN =,所以D 对. 故选:BCD .【点睛】本题考查了正方体的性质,考查了直线与平面所成角问题,考查了球的体积与表面积计算问题.10.如图,正四棱锥S-BCDE底面边长与侧棱长均为a,正三棱锥A-SBE底面边长与侧棱长均为a,则下列说法正确的是()A.AS⊥CDB.正四棱锥S-BCDE的外接球半径为2 2C.正四棱锥S-BCDE的内切球半径为212a ⎛-⎝⎭D.由正四棱锥S-BCDE与正三棱锥A-SBE拼成的多面体是一个三棱柱【答案】ABD【分析】取BE 中点H ,证明BE ⊥平面SAH 即可证AS CD ⊥;设底面中心为1O ,有1122OB O S a ==,可求得球半径为22a ;用等体积法求内切球半径即可判断;由////SA DE BC 且==SA DE BC 可知多面体是一个三棱柱.【详解】 如图所示:A 选项:取BE 中点H 连接,AH SH ,正三棱锥A SBE -中,,AH BE SH BE ⊥⊥ 又AHSH H =,所以BE ⊥平面SAH ,则BE AS ⊥,又//BE CD 所以AS CD ⊥ ,故A 正确;B 选项:设底面中心为1O ,球心为O 半径为R ,因为正四棱锥S -BCDE 外接球球心在1O S 上,所以OS OB R ==,因为,正四棱锥S -BCDE 底面边长与侧棱长均为a所以1122O B O S ==,由()22211OB O B O S OS =+- 得22222R R ⎫⎫=+-⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭解得22R =,故B 正确; C 选项:设内切球半径为r ,易求得侧面面积为2213sin 23S a π=⋅=, 由等体积法得22212113432334a a a r a r ⋅=⋅+⋅⋅⋅ 解得624a r = ,故C 错;D 选项:取SE 中点F ,连结AF ,DF ,BF ,则BFD ∠和BFA ∠分别是D SE B --和A SE B --的二面角的平面角,由)22222221cos2322BF DF BDBFDBF DFa⎫⎫+-⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭∠===-⋅⎛⎫⎪⎝⎭22222221cos2322aAF BF BAAFDAF BFa⎫⎫+-⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭∠===⋅⎛⎫⎪⎝⎭,故BFD∠与BFA∠互补,所以ASDE共面,又因为AS AE ED SD===,则ASDE为平行四边形,故////AS ED BC故正四棱锥S-BCDE与正三棱锥A-SBE拼成的多面体是一个三棱柱,所以D正确故选:ABD【点睛】求外接球半径的常用方法:(1)补形法:侧面为直角三角形或正四面体或对棱二面角均相等的模型,可以还原到正方体或长方体中去求解;(2)利用球的性质:几何体在不同面均对直角的棱必然是球的直径;(3)定义法:到各个顶点距离均相等的点为球心,借助有特殊性底面的外接圆圆心,找其垂线,则球心一定在垂线上,再根据带其他顶点距离也是半径,列关系求解即可.。