2.4-2.5a1

二项分布与泊松分布的关系
泊松定理 在n重伯努利试验中，若每次试验成功的概 率为pn (与试验次数n有关，在（0，1）内), 则成功 次数X服从二项分布，当 lim npn 0 时，
n
则对于每一个固定的非负整数m，有
lim P{ X m } lim C p (1 pn )
F ( x)相应的图形为
例 设电阻值R是一个随机变量，均匀分布在 900~ 1100Ω．求R的概率密度及 R 落在950 ~ 1050Ω 的概率．
解 由题意,R 的概率密度为
1 (1100 900), 900 r 1100, f (r ) 其他. 0,
故有
P{950 R 1050}
k1,2,…
CmCnm PXm M nNM ,(m0,1 m ,n)) , k;k in(M CN
nM N
二、常见连续型随机变量的分布 1. (均匀分布) 设随机变量X服从均匀分布, 求E(X)，D(X). 解 设X~U[a,b]，其概率密度函数为 1 a x b, px b a 0 其它 . 则有 b 1 1 E X xp x dx xdx a b . aba 2 因而均匀分布数学期望位于区间的中点.
超几何分布的期望和方差
• 设X~h(n,N,M)，则有 r • Ck Cn kM nM E(X) k M nN CN N k 0
E(X 2 ) E[X(X 1) X] E[X(X 1)] E(X) Ck Cn kM nM k(k 1) M nN CN N k 0
常见离散型随机变量的数学期望和方 差 1.(二项分布) 设随机变量X~Bn, p, 求EX,D(X). 解: 设随机变量 X 服从参数为 n, p 二项分布, 其分布律为
k PX k Cn pk 1 p n k , 0 p 1, k 0,1,2,, n.
则有 E X
D( X ) E ( X 2 ) [ E ( X )]2
1 a b x dx a ba 2
b 2
2
( b a )2 . 12
a b b a 均匀分布的期望和方差分别为 和 . 2 12
2
均匀分布的分布函数
设连续型随机变量X具有概率密度
2 k 1

1 q 1 q p 2 3 (1 q) p
例题
• 某射击手向一目标独立重复射击，其命中率为 p(0<p<1)，击中目标就停止，若该射击手有10发 子弹，求射击次数X的分布列。 • 解：X的取值为1、2、…、10，当取1~9时，其分 布为几何分布，当X=10时，有两种情况“命中” 和“未命中”，其概率为
950
1050
1 d r 0.5. 200
2、指数分布 若随机变量X的概率密度函数为
λe λx , p x 0, x 0, x 0. 其中 λ 0,
满足连续型随机变量 的两个最基本性质 则称X服从参数为λ的指数分布，记作X~E(λ).
易知 p( x ) 0 ,
n
n 1! n 1 k 1 k 1 np p 1 p k 1!n 1 k 1! k 1
n
np p 1 p k 1
np 同时可得两点分布B1, p的数学期望为 p.
E ( X 2 ) E[ X ( X 1) X ]
则有
EX
k 0
k

k
k!
e
k 1 - e k 1 k 1 !

λe e λ .
λ λ
因而泊松分布P的数学期望为 .
E ( X 2 ) E[ X ( X 1) X ] E[ X ( X 1)] E ( X )
n n m n m n
n m
e m!
m
注意：当n很大的时候，Poisson分布近似的
等于伯努力分布。 通常称这个定理为二项分布的泊松定理。
例题
• 设某种数字传输系统每秒传输512×103个0或者1， 由于干扰，传送中会出现误码，即将0误为1，或 者1误为0，设误码率为10-7,求在10秒内出现1个 误码的概率。 • 解：把传送一个数字看作一次试验，它有两个结 果，A={误码}，B={未误码},P(A)=10-7,传送 512×103×10个数字，相当于同样次数的贝努力 试验。以X表示512×104次贝努力试验中误码的次 数，则X~B(512×104,10-7),所求概率近似服从泊 松分布，得B(512×104,10-7)≈P(1,0.512)
n 2
n(n 1) p
2
C
k 2
n
k 2 n2
p
k 2
(1 p)
( n 2 ) ( k 2 )
np
n( n 1) p 2 [ p (1 p )]n2 np
( n2 n) p 2 np.
D( X ) E ( X 2 ) [ E ( X )]2
3. 几何分布
在独立重复伯努力试验中，若成功概率为p,若X为 首次成功时的试验次数，则随机变量X 的分布律为
则称X服从几何分布，记为 X~Ge(p). 注记：(负二项分布) 若X表示第r次成功时的试验次数，则称X服从 负二项分布，分布列为
3. 几何分布的期望与方差
1 首先计算： | x | 1, x . 1 x n 0 1 1 n 1 n nx x (1 x ) ' (1 x)2 n 1 k 1 2 n 1 n n n x n(x ) ' nx n 1 k 1 k 1 x 1 x n 1 x nx 2 (1 x) (1 x)3 k 1
k ( k 1)
k 0


k
k!
e
2e e 2 .
e
2
(k 2)!
k 2

k 2
所以 D( X ) E ( X 2 ) [ E ( X )]2 2 2 .
泊松分布的期望和方差都等于参数 .


p( x )dx

0
e x dx 1
指数分布的分布函数
e px 0,
x
,
x 0, x 0.
x
其中 0,
F x P(X x) p(u)du
0 F x x 1 e x0 x0
C C lim N C
C p (1 p)
k n k
n k
.
M p 的假设下，当N趋近无穷大， 说明：在 lim N N 其极限如上式。这表明，若当抽样的个数n远远小于总 体个数N（n<<N）时候，可把不返回抽取当作返回抽 取处理。
例题
常见离散型分布的数学期望小结
分布
二项分布
P(X=10)=p(1-p)9+(1-p)10=(1-p)9
几何分布的无记忆性
• 定理 设X~Ge(p)，对任意正整数n,m,有 P(X>m+n|X>m)=P(X>n)
注记：当X~Ge(p),若在前m次试验中都没有成功， 则继续n次试验仍未成功的概率只与n有关，而与 以前的m次试验无关.
• 证明：设事件B={X>m+n}，C={X>m}，
E[ X ( X 1)] E ( X )
k k ( k 1)C n p k (1 p)n k np k 0 n n
k ( k 1)n! k p (1 p)n k np k 0 k !( n k )!
(n 2)! n(n 1) p p k 2 (1 p)( n2)( k 2) np ! k 2 ( k 2)!( n 2) (k 2)
1 , f x b a 0, a x b, 其他,
则称X在区间(a, b)上服从均匀分布, 记为X～U (a, b)
易知f ( x) 0, 且 f x dx 1


0dx

a
b
a
满足连续型随机变量 1 dx 的两个最基本性质 0dx b ba
( n2 n) p 2 np ( np)2
np(1 p). )
二项分布的期望和方差分别为 np 和 np(1 p).
2 .(泊松(Poisson)分布) 设随机变量 X P(), 求EX,D(X). 解 设X P λ , 且其分布律为
λk - λ P X k e , k 0,1,2,, λ 0. k!
M m M n m C ( ) (1 ) N N
m n
超几何分布
定义：如果随机变量X的概率分布为：
C C P X m C
m M n m N M n N
m 0,1, 2, ,min{n, M }
(其中n,N,M为正整数)则称X服从超几何分布。
记为X~h(n,N,M)
f x 的图形
在(a, b)上服从均匀分布的随机变量X落在(a, b)中任 一等长度的子区间内的可能性是相同的, 或者说X 落在(a, b)子区间的概率只依赖于子区间的长度, 而 与子区间的位置无关．
X的分布函数为
0, x a x F , b a 1, xa a xb xb
X~B(n, p)
分布律
k P{X k} Cn pk (1 p)nk
E(X) np
k0,1,2,…,n