2016-2017学年新人教A版必修1高中数学 函数的单调性与导数教学设计说明(精品)
《函数的单调性与导数》教学设计
《函数的单调性与导数》教学设计主要内容：函数的单调性与导数的关系。
教学目标：1.了解函数的单调性和导数的定义；2.掌握函数单调性的判定方法；3.理解导数与函数单调性的关系；4.能够灵活运用导数的知识解决函数单调性问题。
教学准备：黑板、彩色粉笔、多媒体课件、计算器。
教学过程：Step 1 引入问题（10分钟）通过一个实际生活的例子引入问题，例如：小明在跑步机上的速度变化情况。
让学生思考：小明的速度是如何变化的？是否存在速度始终增加（或减小）的时间段？Step 2 引出函数的单调性（10分钟）通过回顾函数的图像，引出函数的单调性的概念，并给出定义：对于函数f(x)，如果在定义域上，对于任意的x1、x2，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)（或f(x1)>f(x2)），则称函数f(x)在该定义域上是单调递增（或单调递减）的。
Step 3 函数单调性的判定方法（20分钟）3.1离散情况下的判定方法：观察函数的图像或者数据表格，根据f(x1)和f(x2)的关系来判断函数是单调递增还是单调递减。
3.2连续情况下的判定方法：利用导数的性质来进行判定，即当f'(x)>0时，函数f(x)在该定义域上是单调递增的；当f'(x)<0时，函数f(x)在该定义域上是单调递减的。
Step 4 导数与函数单调性的关系（20分钟）4.1 导数的定义：导数表示了函数在其中一点的变化率，可以用极限的方法定义为f'(x) = lim(x→0)(f(x+h) - f(x))/h。
4.2导数的正负性与函数单调性的关系：当函数的导数f'(x)大于0时，函数是单调递增的；当导数f'(x)小于0时，函数是单调递减的。
Step 5 导数的计算与函数单调性问题的解决（30分钟）以典型的函数为例，通过计算导数来解决函数单调性问题。
例如：例题1：已知函数f(x)=x^3-3x+1，在其定义域上判断函数的单调性。
高中数学《函数的单调性》教学设计 新人教A必修1
《函数的单调性》教学设计一、设计理念：1、重视数学概念、公式的发生、发展过程，在概念的形成过程中培养学生发现问题、研究问题、解决问题的能力2、重视学生的学习过程，在教学中注重培养学生独立思考、相互交流、合作探究的能力3、重视诱思探究的教学理论在课堂教学中的渗透，在课堂教学中要体现“教师为主导、学生为主体”，教师启发诱导，学生自主探究，激发学生的学习兴趣、培养学生良好的思维习惯和思维品质二、设计思路：1、以函数的单调性的概念为主线，贯穿于整个教学过程中对函数单调性概念的深入而准确的认识往往是学生认知过程的难点。
因此在教学中突出对概念的分析一方面是为了分析函数单调性的定义，另一方面让学生掌握如何学会、弄懂一个概念的方法，也为今后对其他数学概念的学习有所帮助。
使用单调性的定义证明具体函数的单调性是教学中的又是一个难点。
使用单调性的定义证明具体函数的单调性是对单调性定义的深层理解，给出“作差、变形、定号”的具体步骤是非常必要的，一方面是有利于学生理解函数单调性的概念；另一方面有利于学生掌握证明方法、形成证明思路。
另外也为今后学习不等式证明中的作差法做一定的铺垫。
2、加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象、由特殊到一般的数学思维能力的培养始终贯穿于函数单调性概念教学过程中函数单调性的研究方法很具有典型性，体现了对函数研究的一般方法。
在函数单调性的教学中要引导学生逐步学会“直观感受---定性描述---定量刻画---具体应用”的探究方法，这样一方面为了便于对单调性概念有更好地理解，同时也为今后学习函数的其他概念和性质提供一定的参考方法。
3、在单调性概念的教学与研究中要体现出单调性是函数的一个局部性质函数的单调性是研究“当自变量不断增大时，函数值随着增大还是减小”，即函数图像的升降性，与函数奇偶性不同，函数的奇偶性是研究“当自变量的值互为相反数时，函数值是否也互为相反数”，即函数图像的对称性。
函数的单调性与函数的极值是函数的局部性质，与函数的奇偶性、最大（或小）值有着本质的区别，后者是函数的整体性质，在教学中要体现出函数的单调区间是函数定义域上的一个子集（区间），关注的是函数在这个子集上的增减性。
高中数学-函数的单调性与导数教学设计学情分析教材分析课后反思
《函数的单调性与导数》教学设汁【教学目标】知识与技能：1.探索函数的单调性与导数的关系2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间过程与方法：i.通过本巧的学习，掌握用导数研究单调性的方法2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想、分类讨论思想。
情感态度与价值观：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。
【教学的重点和难点】教学重点：探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间。
教学难点：探索函数的单调性与导数的关系。
性问题.内容讲授例题讲解例1 : 求函数f(x) = x3-3x2的单调区间，并画出函数的大致图像.分析：根据上面结论，我们知道函数的单调性与函数导数的符号有关。
因此，可以通过分析导数的符号求出函数的单调区间.解：引导学生回答问题并同时板书.根据单调性的结论画出函数的图像.学生思考回答思路.学生利用导数知识解决函数的单调性问题.明确利用导数是求函数单调区间的最简单的方法.加深对单调性的理解，体会数形结合的思想.加强学生对利用导数求函数单调性的方法进一步熟练掌握，特别是单调区间满足在定义域内.学生总结并回答问题加深记忆.练习1求函数/（x ） = — lnx 的单调区间.函数的导数值大 于零时，其函数为 单调递增；函数的 导数值小于零时， 其函数为单调递 从函数的单调性 和导数的正负关 系的讨论环节中， 不断的比较了函 数和导函数的图 像，因此设置该 题，从熟悉的函数 到该题，题LI 更容 易解决.1求定义域；2求函数/（X ）的导数， 3讨论单调区间，解不等式 广（力＞°,解集为增区间;4解不等式广（切＜°,解集为减区间.山学生共同回答.例2函数图像如下图，导函数图像可能为哪'一木讨论函数单调性的一般步骤 是什么教师根据一个学 生的作图进行讲 解.学生对所学知识 进一步巩固和熟 练掌握.【板书设计】参与课堂的学生为高二年级理科的学生，学生基础参差不齐，差别较大，而单调性的槪念是在髙一第一学期学过的，因此对于单调性槪念的理解不够准确，同时导数是髙中学生新接触的概念，如何将导数与函数的单调性联系起来是一个难点.在本节课之前学生已经学习了导数的概念、导数的几何意义和导数的四则运算，初步接触了导数在几何中的简单应用，但对导数的应用还仅停留在表而上•本节课应着重让学生通过探究来研究利用导数判左函数的单调性.效果分析本节课教师运用了多种教学手段，创设了丰富的教学情境，成功的激发了学生的学习兴趣：教学目标简明扼要，便于实施，注重数学思想、能力的培养，广度和深度都符合数学课程标准的要求，符合学生的实际情况。
《函数的单调性与导数》教学设计
《函数的单调性与导数》教学设计教学设计：函数的单调性与导数一、教学目标：1.了解函数的单调性的定义，并能够判断函数在给定区间内的单调性；2.理解导数的定义，了解导数与函数的单调性之间的关系；3.能够利用导数的性质判断函数在给定区间内的单调性；4.能够运用函数的单调性和导数的概念解决实际问题。
二、教学内容：1.函数的单调性的概念与判断方法；2.导数的概念与计算方法；3.导数与函数的单调性之间的关系；4.运用函数的单调性和导数解决实际问题。
三、教学过程：第一课时：函数的单调性的概念与判断方法1.引入函数的单调性的概念：什么是单调函数？如何判断函数的单调性？2.通过绘制函数图像来观察函数的单调性，并引入函数的增减性的概念。
3.讲解函数单调性的判断方法：a.若在一些区间[a,b]上，对于任意x1,x2满足x1<x2，则f(x1)<f(x2)，则函数在该区间上为递增函数；b.若在一些区间[a,b]上，对于任意x1,x2满足x1<x2，则f(x1)>f(x2)，则函数在该区间上为递减函数；c.根据函数的单调性定义，讲解如何利用函数的增减性判断函数的单调性。
第二课时：导数的概念与计算方法1.引入导数的概念：什么是导数？为什么要引入导数？2.解释导数的物理意义：导数表示函数在其中一点的瞬时变化率。
3.讲解导数的计算方法：a. 介绍导数的定义：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h；b.使用导数的定义计算简单函数的导数；c.利用导数的性质计算复合函数的导数。
第三课时：导数与函数的单调性之间的关系1.引入导数与函数的单调性之间的关系：导数能够刻画函数的增减性。
2.介绍导数的几何意义：导数表示函数曲线在其中一点的斜率。
3.讲解导数与函数的单调性的关系：a.若函数在[a,b]上的导数大于0，则函数在该区间上是递增函数；b.若函数在[a,b]上的导数小于0，则函数在该区间上是递减函数；c.引入导数的零点定理，讲解如何利用导数的零点判断函数的单调性。
高中数学《函数的单调性与导数》教学设计
教学设计普通高中课程标准实验教科书《数学》选修1-1（人教A版）函数的单调性与导数（第一课时）《函数的单调性与导数》教学设计课题:函数的单调性与导数教材:人教A版《数学》选修1-1课时:1课时教材分析:函数的单调性与导数是人教A版选修1-1第三章第三课第一节的内容. 《数学课程标准》中与本节课相关的要求是：结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间.函数的单调性是函数的重要性质之一.在必修一中学习了利用函数单调性的定义、函数的图象来研究函数的单调性，学习了导数以后，利用导数来研究函数的单调性，是导数在研究处理函数性质问题中的一个重要应用.在前几节课中，学生学习了平均变化率，瞬时变化率，导数的定义和几何意义等内容，在本节课中，学生将要在此基础上学习通过导数来研究函数的单调性，掌握研究函数单调性的更一般方法，进而为后面学习函数的极值，最值等作出知识铺垫，打下能力基础，进行方法指导，因此，本节课可以起到承上启下，完善建构，拓展提升的作用.学生学情分析:课堂学生为高二年级的学生，学生基础普遍比较好，但是学习单调性的概念是在高一第一学期学过，因此对于单调性概念的理解不够准确，同时导数是高中学生新接触的概念，如何将导数与函数的单调性联系起来是一个难点.在本节课之前学生已经学习了导数的概念、导数的几何意义和导数的四则运算，初步接触了导数在几何中的简单应用，但对导数的应用还仅停留在表面上.本节课应着重让学生通过探究来研究利用导数判定函数的单调性.教学目标:结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系：能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间. 重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间.难点：探索并了解函数的单调性与导数的关系.借助几何直观，通过实例探索并了解函数的单调性与导数的关系；理解并掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数的单调区间；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性，同时感受和体会数学发展的一般规律.教学策略分析:根据新课程标准的要求，本节课的知识目标定位在以下三个方面：一是能探索函数的单调性与导数的关系；二是掌握判断函数单调性的方法；三是能由导数信息绘制函数大致图象.本节课的教学设计也是围绕这些目标，让学生自主探究，充分参与课堂，并从中体会学习的成功和快乐.本节课时学习过导数的概念和运算后，首次运用导数解决函数相关问题的一节课，如何激发学生的兴趣，使其探索和运用新的工具即导数解决单调性问题是本节课的关键，利用手边胡工具，更好的分析这个过程，运用信息技术确认加深理解.充分利用学生已有的基础，分析原函数的单调性与导数正负之间的关系，本着由形到数，由数到形，数形结合的思想.（一）创设情境，引发冲突.师：在北方，进入十月，就能感觉到阵阵寒意，今天我们就从一个气温的实际问题开始数学之旅.师：我市气象站对冬季某一天气温变化的数据统计显示，从2时到5时的气温 与时间 可近似的用函数 拟合，问：这段气温 随时间 的变化趋势如何？回答这个问题，我们需要了解这个函数的什么性质？生：函数的单调性. t t CC 1ln 4)(--=t t t C师：如何判断这个函数的单调性呢？生：画图象，用定义.师：有的同学说画图象，有的说用单调性的定义，我们动手来做一下吧 生：动手操作.师：选择画图的同学们，可以画出图象么？生：不可以.师：哪位同学来说一下如何用单调性的定义来解决.生：在区间2到5上，任意选取且 ，我们需要判断的符号， 师：可以判断么？生：不可以.师：好，请坐，也就是我们已有的方法都遇到了困难，如何解决这个单调性问题呢？设计意图：通过学生熟悉的生活情景，激发学生迫切知晓函数单调性的欲望，尝试运用所学知识解决非初等函数的单调性，引发学生的认知冲突，思考如何将未知化为已知，激发了学生主动学习新知识的热情.（二）回归定义，寻求方法.师：追本溯源，我们重新回到定义.请一位同学回答单调性的定义.生:在函数)(x f 的定义域内的某区 内，满足对于任意的且 ，都有 ，是增函数.师：很好，也就是我们要需要判断 的符号，我们把这个形式变形，判断的符号，结果为:生：大于0.师：即函数值的改变量与自变量改变量的比值:生：大于0师：函数)(x f 在区间 内是减函数，满足对于任意的 且 ，都有 ，也就是 1212)()(x x x f x f --1212)()(x x x f x f --21t t <),(b a ),(,21b a x x ∈21x x <)()(21x f x f >)()(21x f x f <)()(21x f x f -21x x <),(b a ),(,21b a x x ∈21t t ，)()(21t C t C -生：小于0.即函数值的改变量与自变量改变量的比值:生：小于0.师：我们发现，函数的单调性与这样一个比值的符号相关，在本章的学习中，我们知道这叫做----生：函数的平均变化率.师：我们运用无限趋近于的方式，可以由平均变化率得到瞬时变化率，反过来，瞬时变化率可以刻画函数在该点附近的变化情况，我们知道瞬时变化率，即----生：导数.师：非常棒！我们这节课就试着用导数来研究函数的单调性.板书：3.3.1函数的单调性与导数.设计意图：注意到知识的联系，尝试在学生原有认知的基础上建立新知，通过回顾函数单调性的定义，将其形式改变，联想平均变化率，运用无限趋近于的方式，得到瞬时变化率，即导数，引发学生思考导数与单调性的关系，这个过程由浅入深，层层深入，合乎学生的逻辑思维.（三）观察发现，探索规律.师：要研究函数的单调性与导数的关系，我们来观察，函数单调递增时，平均变化率大于0，函数单调递减时，平均变化率小于0，那么，导数的符号是否与函数的单调性有关呢？师：我们从最熟悉的函数开始研究，我们都学过哪些基本初等函数呢？生：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数.师：对于这些函数，我们都是通过函数的形，也就画出图像的方式来研究，同样的，导数的形，也就是导数的几何意义是什么呢？生：函数的图像在该点处切线的斜率.师：根据导数的几何意义，我们一起来看研究的方法.师：给出函数的图像，指出其单调区间，用牙签靠近图像，使其作为该点处的切线，移动牙签，观察斜率即导数的正负情况.师：拿出坐标纸，作出你研究的函数图像，利用牙签，得出结论，并填写下面的表格.师：可以进行讨论，到前面展示你的结果.师：我们一起来看同学们的展示，可以得到什么结论呢？生：导数为负数时函数单调递减，导数为正数时单调递增.师：熟悉的初等函数，得到这样的结论，数学来源于生活，我们再来看生活中的例子:给出高台跳水运动员的高 随时间变化的函数，来研究运动员运动状态的变化情况.生：可以画出这个二次函数的图像，得到高度的变化情况，从),0(a 时刻，高度上升，),(b a 时刻高度下降.师：也就是高度函数先单调递增，而后单调递减，运动状态除了高度，还有速度，我们进一步研究.师：给出导函数即速度函数的图像，有什么结论？生：导函数即速度图像在x 轴的上方时高度函数单调递增，导函数图像在x 轴下方时函数单调递减.设计意图：从基本初等函数入手，让学生动手操作，通过观察、归纳，提炼，激发学生的自主探究欲望.让学生发现导数的符号与函数的单调性之间的联系.培养学生共同解决问题、探讨问题的能力和合作意识，从而培养学生的探究意识和探究能力.引导学生从形的角度来验证，降低了学生的思维难度，又能体会导数研究单调性的一般性.生活实例高台跳水是我们从导数概念就开始使用，把抽象的概念与物理背景结合，能迅速的突破难点，高度函数的单调性与速度函数的关系,再次确认了结论.（四）结论总结，揭示本质.师：我们一起来总结一下函数的单调性与导数的关系.一般地，函数)(x f y =在某个区间),(b a 内1) 如果恒有 )(x f '>0，那么)(x f y = 在这个区间),(b a 内单调递增；h t2) 如果恒有)(xf'<0，y=在这个区间),(b a内单调递减.那么)(x f导函数值的正负与单调性之间存在这样的关系，这个结论也印证了我们本节课一开始的思考和分析.若恒有)(xf'=0呢？思考一下板书：结论内容师：有结果了么？生：常函数.设计意图：由观察、猜想到归纳、总结，让学生体会知识的发现的过程，使学生的思维、行动积极主动地参与课堂教学.从猜想到验证的发现过程，使自主探究成为学生的一种学习习惯.（五）自主分析，多维验证.师：这里我们分析了我们熟悉的函数，其他的函数呢？我们不妨来分析一f.下我们遇到困难的函数)(x师：运用我们探究出的结论，求出函数)(x f的单调区间，如何运用导数知识来解决呢？生：先给出定义域，求出导函数，导函数大于0的部分为增区间，小于0的部分为减区间.师：非常好！我们把完整的过程展示出来，发现利用导数这个工具，可以便捷的解决这个单调性问题.借助于作图工具，我们来看.师：做出函数的图像，在图像上任意选取一点，移动该点，我们可以观察到什么？生：函数单调递减然后单调递增.师：这个函数的单调性与导数之间有我们刚才得到的关系么？利用导数的几何意义，做出该点处的切线，显示其斜率即导数值，让点运动起来. 师：有什么发现？生：导数值为正数时函数单调递增，函数值为负数时函数单调递减.师：我们可以做出导数点，动态生成导函数图像，再次印证了我们的结论作出该点出的切线，观察斜率即导数值得变化.作出导数点，观察导函数的形成过程.对比函数和导函数的图像，得出函数的单调性和导数正负的关系. 设计意图：让学生见证导数在研究函数单调性问题上的威力，感受数学来源于生活又服务于生活.教师使用GGB 来动态演示，引导学生从“形”的角度验证，实现多维验证，降低学生思维的难度，体现了导数方法在研究单调性问题中的一般性和优越性.（六）数学应用，体会价值.例：求函数233)(x x x f -= 的单调区间，并画出函数的大致图像.师：一起解决，并进行板书.展示学生的绘图.生:共同回答.练习：求函数x x x x f ()()())(23++= 的单调区间.师：用GGB 展示结果.设计意图：开放函数系数，激发学生自我挑战的学习欲望，为学生创设“应用导数研究函数单调性”的自由平台，感受到书法的通用性和优越性，充分展现导数在研究函数问题中的强大工具作用，同时高效重温二次不等式的解法，避免因解不等式的障碍冲淡核心知识的学习，起到一题多用的效果.（七）方法小结，课堂提升.师：通过本节课的学习，思考下面的问题生：学习了函数的单调性与导数的关系，能够用利用导数求函数的单调区间，研究中体现了数形结合的思想.师：我们从一个无法解决的实际问题出发，回归定义寻求方法，从熟悉的函数到实际生活，得出结论，并能运用到陌生的函数中，探究过程中体现了数形结合的思想.设计意图：作为本节课的总结，从知识、方法、思想三个角度进行总结，对整节课探究过程进行回顾，体会数学研究问题的方式和其中的数学思想.尝试学生回顾本节的学习，培养“学习-总结-反思”的良好习惯.（八）回归生活，感悟数学.师：最后我们放松一下，一起来坐过山车生：过山车时视线向上时高度上升，视线向下时高度下降.师：这如同函数的单调性与切线斜率即导数正负的关系.师：人生犹如过山车，站在人生的每个瞬间的点上，我们都能向上看，人生轨迹就会是持续上升趋势；相反，如果我们被负面情绪萦绕，我们就会走下坡路.只要饱含正能量，脚踏实地走好每一步，相信同学们的前途会一片光明！设计意图：体会数学可以回归生活.再次加深对本节课的感性认识，体会数学的人文精神.（九）分层作业，因材施教.必做题：教材98页，习题3.3A组1、2 题.选做题：结合所学知识，举几个函数实例，比较定义法、图像法、导数法求单调区间的特点.设计意图：学生巩固所学知识，为学有余力的同学留进一步探索、发展的空间.。
函数的单调性与导数教学设计(终稿)
图1 图2问题1：从起跳到最高点，即(0,)t a ∈时，运动员的速度v 于0，这段时间其高度h 如何变化呢？ 从最高点到入水，即(,)t a b ∈时运动员的速度v 小于0，这段时间其高度h 又如何变化呢？我们知道，()v t 正好是'()h t ，由此请同学们猜想在某区间内，导数的符号与原函数单调性的关系。
预设学生活动：通过观察高台跳水视频，结合自身经验，感受速度和高度的单调性之间的关系。
预设学生回答：运动员从起跳到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数。
相应地，()'()0v t h t =>；从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减小，即()h t 是减函数。
相应地，()'()0v t h t =<；由此猜想，在某区间内，若导数为正，则原函数在此区间单调递增；若导数为负，则原函数在此区间单调递减。
（二） 探究新知孤证不足为凭，这种规律是否具有一般性呢？活动二：绘制一些函数，验证你的猜想是否正确。
预设学生活动：通过图形计算器，或者直接徒手绘制草图，通过图象直观感知函数的单调性与导数的关系1.画出原函数图象，观察其单调性，并直接计算其增减区间里的导函数，发现函数的单调性和其导数的正负的关系。
设计意图：使用高台跳水的例子引出导数和单调性的关系，能很好的起到承上启下的作用。
承上是因为这个例子贯穿导数这章的整个教材，在导数的概念，导数的几何意义等节都出现了，学生对这个情境非常熟悉，教材在导数的几何意义那节，已经明确的提到了某点导数的正负和该点附近单调性的关系。
启下是可以通过这个例子，学生发现导数和单调性的联系，引出接下来的探究活动。
另外，刚结束的里约奥运会上，我国包揽了10米高台跳水的4枚金牌。
因此，这个情境也具有较好的时效性和爱国主义教育价值。
2.画出原函数图象，观察其单调性，并作出其上任意一点的切线，通过切线的斜率来判断导数的正负和原函数的单调性的关系。
函数的单调性教学设计-经典教学教辅文档
教学设计方案模板：吐鲁番某天的气温变化曲线图成绩1：随着工夫的变化，气温的变化趋势如何？成绩2：作出一次函数f(x)=x和二次函数f(x)=x2的图象，从左向右看，图象的升降趋势如何？（从左向右看，f(x)=x的图象在（-∞，+∞）上呈逐渐上升趋势，f(x)=x2的图象在（-∞，0）降落，在（0，+∞）上升。
）从熟习的一次函数、二次函数动手，以具体函数的图象为例，让先生直观感知函数图象的升降变化特点，完成对函数单调性的第一次认识。
成绩3：如何用x，f(x)的变化描述函数图象的降落、上升？以f(x)=x2为例，教师几何画板演示，引导先生观察图象，在（-∞，0）上，图象下降，当x逐渐增大时，f(x)是逐渐减小的。
在图象下降f(x)随着x的增大而减小，图象上升f(x)随着x的增大而增大。
用几何画板直观展现，引导先生从直观的图象特点过渡到含有数学符号的自然言语，完成对函数单调性的第二次认知。
经过二次函数成绩7：对于普通函数y=f(x)，如何定义增函数的？普通地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I 内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数，D称为y=f(x)的单调增区间。
增函数的普通图象：成绩8：请同学们类比增函数定义给出减函数定义。
设函数y=f(x)的定义域为I，区间D∈I．如果对于区间D内的任意两个值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说y=f(x)在区间D上是减函数，D称为y=f(x)的减区间。
减函数的普通图象：例1 根据图象指单调区间有（0，4），。
高中数学 函数的单调性教案 新人教A版必修1 教案
安徽省淮南市第二十中学高中数学函数的单调性教案新人教A版必修1 教材分析函数的单调性是函数的重要特性之一，它把自变量的变化方向和函数值的变化方向定性地联系在一起．在初中学习函数时，借助图像的直观性研究了一些函数的增减性．这节内容是初中有关内容的深化、延伸和提高．这节通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确含义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的．教材中判断函数的增减性，既有从图像上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系．这节内容的重点是理解函数单调性的概念以及利用函数的单调性的概念证明函数的单调性，难点是理解函数单调性的概念．教学目标1. 通过对增函数、减函数概念的归纳、抽象和概括，体验数学概念的产生和形成过程，培养学生从特殊到一般的抽象概括能力．2. 掌握增函数、减函数等函数单调性的概念，理解函数增减性的几何意义，并能初步运用所学知识判断或证明一些简单函数的单调性，培养学生对数学的理解能力和逻辑推理能力．3. 通过对函数单调性的学习，初步体会知识发生、发展、运用的过程，培养学生形成科学的思维．任务分析教学设计一、问题情境1. 如图为某市一天内的气温变化图：（1）观察这个气温变化图，说出气温在这一天内的变化情况．（2）怎样用数学语言刻画在这一天内“随着时间的增大，气温逐渐升高或下降”这一特征？2. 分别作出下列函数的图像：（1）y＝2x．（2）y＝－x＋2．（3）y＝x2．根据三个函数图像，分别指出当x∈（－∞，＋∞）时，图像的变化趋势？二、建立模型1. 首先引导学生对问题2进行探讨———观察分析观察函数y＝2x，y＝－x＋2，y＝x2图像，可以发现：y＝2x在（－∞，＋∞）上、y＝x2在（０，＋∞）上的图像由左向右都是上升的；y＝－x＋2在（－∞，＋∞）上、y＝x2在（－∞，０）上的图像由左向右都是下降的．函数图像的“上升”或“下降”反映了函数的一个基本性质———单调性．那么，如何描述函数图像“上升”或“下降”这个图像特征呢？以函数y＝x2，x∈（－∞，０）为例，图像由左向右下降，意味着“随着x的增大，相应的函数值y＝f （x）反而减小”，如何量化呢？取自变量的两个不同的值，如x1＝－5，x2＝－3，这时有x1＜x2，f（x1）＞f（x2），但是这种量化并不精确．因此，x1，x2应具有“任意性”．所以，在区间（－∞，0）上，任取两个x1，x2得到f（x1）＝，f（x2）＝．当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）．这时，我们就说f（x）＝x2在区间（－∞，0）上是减函数．注意：在这里，要提示学生如何由直观图像的变化规律，转化为数学语言，即自变量ｘ变化时对函数值y的影响．必要时，对x，y可举出具体数值，进行引导、归纳和总结．这里的“都有”是对应于“任意”的．2. 在学生讨论归纳函数单调性定义的基础上，教师明晰———抽象概括设函数f（x）的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么我们就说函数f（x）在区间Ｄ上是增函数［如图8-2（1）］．如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么我们就说函数f（x）在区间Ｄ上是减函数［如图8-2（2）］．如果函数y＝f（x）在区间D上是增函数或减函数，那么我们就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫作y＝f（x）的单调区间．3. 提出问题，组织学生讨论（1）定义在R上的函数f（x），满足f（2）＞f（1），能否判断函数f（x）在R是增函数？（2）定义在R上函数f（x）在区间（－∞，0］上是增函数，在区间（0，＋∞）上也是增函数，判断函数f（s）在R上是否为增函数．（3）观察问题情境1中气温变化图像，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数．强调：定义中x1，x2是区间D上的任意两个自变量；函数的单调性是相对于某一区间而言的．三、解释应用［例题］1. 证明函数f（x）＝2x＋1，在（－∞，＋∞）是增函数．注：要规范解题格式．2. 证明函数f（x ）＝，在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上都是减函数．思考：能否说，函数f（x ）＝在定义域（－∞，0）∪（0，＋∞）上是减函数？3. 设函数y＝f（x）在区间D上保号（恒正或恒负），且f（x）在区间D上为增函数，求证：f（x ）＝在区间D上为减函数．证明：设x1，x2∈Ｄ，且x1＜x2，∵f（x）在区间D上保号，∴f（x1）f（x2）＞0．又f（x）在区间D上为增函数，∴f（x1）－f（x2）＜0，从而g（x1）－g（x2）＞0，∴g（x）在D上为减函数．［练习］1. 证明：（1）函数f（x ）＝在（0，＋∞）上是增函数．（2）函数f（x）＝x2－x 在（－∞，］上是减函数．2. 判断函数的单调性，并写出相应的单调区间．3. 如果函数y＝f（x）是R上的增函数，判断g（x）＝kf（x），（k≠0）在R上的单调性．四、拓展延伸1. 根据图像，简要说明近150年来人类消耗能源的结构变化情况，并对未来100年能源结构的变化趋势作出预测．2. 判断二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c，（a≠0）的单调性，并用定义加以证明．3. 如果自变量的改变量Δx＝x2－x1＜0，函数值的改变量Δy＝f（x2）－f（x1）＞0，那么函数f（x）在区间D上是增函数还是减函数？4. 函数值的改变量与自变量的改变量的比叫作函数f（x）在x1，x2之间的平均变化率．（1）根据函数的平均变化率判断y＝f（x）在区间D上是增函数还是减函数．（2）比值的大小与函数值增长的快慢有什么关系？点评这篇案例设计完整，思路清晰．案例首先通过实例阐述了函数单调性产生的背景，归纳、抽象概括出了增函数、减函数的定义，充分体现了数学教学的本质是数学思维过程的教学，符合新课程标准的精神．例题与练习由浅入深，完整，全面．“拓展延伸”的设计有新意，有深度，为学生数学思维能力、创造能力的培养提供了平台．这篇案例的突出特点，体现在如下几个方面：1. 强调对基本概念和基本思想的理解和掌握由于数学高度抽象的特点，注重体现基本概念的来龙去脉．在数学中要引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程，在初步运用中逐步理解概念的本质．2. 注重联系，提高对数学整体的认识数学的发展既有内在的动力，也有外在的动力．在高中数学的教学中，要注重数学的不同分支和不同内容之间的联系，数学与日常生活的联系，数学与其他学科的联系．例如，通过研讨本节课“拓展延伸”中的第1个问题，可以大大提高了学生学习的积极性和主动性．3. 注重数学知识与实际的联系，发展学生的应用意识和能力。
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3.3.1函数的单调性与导数教学设计说明
一、教学内容的本质、地位、作用分析
本节内容隶属于导数在研究函数中的应用，函数单调性是刻画函数变化的一个最基本的性质。
对于函数单调性的研究在高中分为两个阶段：第一个阶段是在数学《必修1》中，用定义研究函数单调性；第二阶段在《选修1-1》中，用导数研究函数单调性。
虽然学生已经能够使用定义判定在所给区间上函数的单调性,但在判断较为复杂的函数单调性时,使用定义法局限性较大。
而通过本节课的学习，能很好的解决这一难题，能够使学生充分体验到导数作为研究函数单调性的工具，其有效性和优越性。
另一方面，导数是求函数的单调性、极值、最值的重要工具，同时对研究不等式问题起着重要作用。
所以，学习本节课既加深了学生对前面所学知识之间的联系，也为后继学习做好了铺垫，教材的这种设计独具匠心，起到了承前启后的作用。
二.教学目标分析
1、知识与技能目标：
考虑到学生的接受能力，本节课分两课时完成，本节课为第一课时。
《普通高中数学新课程标准（实验）》中要求：结合实例，引导学生借助几何直观探索并了解函数单调性与导数的关系，这里要求学生对函数单调性与导数的关系只是做了解的要求，严格的证明需要导数的很多基础知识，远远超出了本节课的教学要求；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，特别是对于不超过三次的多项式函数，要求会求其单调区间。
2、情感态度与价值观目标：
让学生通过观察、探讨、归纳、总结的方法得出函数单调性与导数正负的关系。
培养学生观察、归纳和总结的技能，增强学生团结协作探究、合作交流表达的意识。
三、教学问题诊断
本课时要求学生了解函数单调性与导数的关系，会求不超过三次的多项式函数的单调区间，而这种关系的基本思想是数形结合。
由于学生刚刚接触导数的应用，所以他们在利用导数研究函数的单调性，求单调区间的水平和自觉性上都还有一定的差距。
学生已有的基础是解不等式和对一元二次函数及其他基本初等函数图象和性质的分析，
之前还学习了导数的概念、计算、几何意义等内容。
所以，在知识储备方面，学生已经具备足够的认知基础。
因此要充分利用这些基础，本节课的教学思路是由“形”到“数”，再由“数”到“形”，数形结合思想。
综上，本节课的重点是函数单调性与导数正负的关系；判断函数单调性，求单调区间。
难点是函数单调性与导数正负关系的探究。
下面具体分析学生在学习新知的过程中可能存在的困难及对策：
第一、教学设计应突出数学思想和方法，本课时的定位是探究课，作为一堂探究课，学生是课堂主体，必须把课堂时间交还给学生。
怎样才能真正的调动学生积极主动地参与学习活动，而不流于形式呢？为了实现这一目的，本教学设计通过创设问题情境，使学生产生强烈的问题意识，由此引出课题。
然后我依据教材选用学生熟悉的“陈若琳高台跳水”的例子，让学生借助图形直观，初步了解函数单调性与导数之间的关系，还用几何画板动态演示，让学生直观观察函数单调性与切线斜率的关系，有效促进了学生探索问题的本质。
为突破本节课的难点,我继续举例并指导学生动手实验：把准备好的牙签放在表中曲线的图象上，作为曲线的切线，移动切线并记录结果在学案的相应表格中，引导学生经历从具体实例揭示数学本质的过程，鼓励学生发现数学的规律和解决问题的途径，使他们经历知识的形成过程。
经历上述探究之后，将学生分成小组，进行讨论交流，揭示函数的单调性与导数的本质关系，让小组派代表归纳结论。
在此基础上，我和学生共同完善并板书结论。
这里归纳结论是本教学设计的主要思路：由原函数和导函数的图象形状归纳到“数”的相应性质。
之后，我设计了两个问题：什么情况下用导数法判断单调性比较简单？你能小结求解函数单调区间的步骤吗？以提高学生求单调区间的水平和自觉性。
第二、灵活使用教材，不拘泥于教材。
首先在牙签实验时，我没有使用课本中提到的2
y=的图象，这两个图象都涉及函数在个别点处导数为零不影响单调性这一结y=和3x
x
论，学生可能会在这纠结，不如把这两个函数图象放在下节课，这样可以突出本节课的重点。
另外，我将课本上的例1放到练习的位置是考虑到授课对象为文科生，想象能力及抽象能力都不是太强，况且连理科生在画本题图像时都很容易画成折线，这就需要给学生解释可导的概念，远远超出了本节课的教学要求，所以为了降低难度，由画图像改为选择图象，但本质一样。
第三、考虑到学生的接受能力有差异，我设计了开放型的课堂小结：这堂课里如何提出问题，探究问题，解决问题，最后还有哪些没解决的问题。
通过讨论，学生可以畅所欲言，特别是说出自己的困惑，对于本节课没弄懂的地方可当堂解决，和下节课有关联的以后解决。
四、教法和预期效果分析
教无定法，贵在得法。
下面便是我本节课的一些基本构思：
本节课，学生在不知函数单调性与导数正负的关系的前提下，在我预设的思路中，学生积极主动参与一个个相关联的探究活动过程，让学生经历了知识形成的过程，激发学生学习数学的兴趣。
其次，以问题为导向设计教学情境，促使学生去思考问题，发现问题，让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中提高。
数学是思维的体操，是培养学生发现问题、解决问题的能力的载体。
长期以来，我们的课堂教学太过于重结论，轻过程了。
为了应付考试，为了使对公式定理应用达到所谓的“熟能生巧”，教学中不惜花大量的时间采用题海战术来进行强化。
在教学中，往往采用的所谓“掐头去尾烧中段”的方法，到头来把学生强化成只会套用结论的解题机器，这样的学生面对新问题就束手无策。
新课程倡导：强调过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验，不能再让学生脱离自己内心的感受，必须让学生追求过程的体验，把“数学发现的权利”还给学生。
基于以上认识，本节课我所考虑的不是简单的把函数单调性与导数正负的关系告诉给学生，而是创设一些数学情境，让学生自己去发现结论，从发现的过程中让学生体会到：结论并不是凭空产生的。
在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，极大的激励了学生的学习兴趣，培养了他们的合作、交流、探究的能力，这正是新课程所倡导的教学理念。
授课过程中的一点遗憾：由于这种探究课型在平时的教学中还不够深入，有些学生往往以一种观赏者的身份参与其中，主动探究意识不强，思维水平没有达到足够的提升。
但相信随着我们的努力，这种状况会逐步改善。
此外，由于本节课是第一课时，并没有让学生动手画图，我将会在第二课时重视这个问题。
轻松愉快的课堂是学生思维发展的天地，是合作交流、探索创新的主阵地，是思想教育的好场所。
新课标下的课堂是学生和教师共同成长的舞台！。