利用平面向量研究平面几何
平面向量的几何应用
平面向量的几何应用平面向量是研究几何的重要工具，它们不仅可以描述物体的位置和方向，还可以用于求解几何问题。
本文将详细介绍平面向量在几何中的应用，包括向量的平移、旋转、投影以及共线、垂直等概念。
一、向量的平移向量的平移是指将一个向量沿着指定方向移动一定距离的操作。
平移后的向量与原向量具有相同的大小和方向。
使用平移向量可以方便地描述物体的位移以及多边形的平移。
例如，有一向量AB表示物体的位移，向量M表示平移向量，平移后的向量为AM=M+AB。
通过平移向量，我们可以方便地计算出物体的新位置。
二、向量的旋转向量的旋转是指将一个向量绕某个点或轴旋转一定角度的操作。
向量在旋转后具有相同的大小，但方向发生改变。
向量的旋转常用于描述物体的旋转以及多边形的旋转。
例如，有一向量OA表示物体的位置，向量θ表示旋转向量，旋转后的向量为OA'=OA*cosθ+OB*sinθ，OB为垂直于OA的单位向量。
通过向量的旋转，可以方便地计算出物体旋转后的新位置。
三、向量的投影向量的投影是指将一个向量在指定方向上的投影长度。
设有向量a和向量b，向量a在向量b上的投影长度为a•cosθ，其中θ为a与b之间的夹角。
向量的投影可用于计算物体在某个方向上的分量。
例如，有一向量AB表示物体的位移，向量n表示指定方向，物体在指定方向上的分量为AB•cosθ。
通过向量的投影，我们可以方便地计算出向量在指定方向上的分量大小。
四、向量的共线和垂直两个向量共线意味着它们的方向相同或相反，可以表示为a=k*b，其中k为常数。
共线的向量在几何中常用于求解相似三角形或线段的比例关系。
两个向量垂直意味着它们的夹角为90度，可以表示为a•b=0。
垂直的向量在几何中常用于求解垂直平分线、垂直平面等概念。
总结：平面向量具有广泛的几何应用，包括向量的平移、旋转、投影以及共线、垂直等概念。
通过运用向量的几何性质，我们可以更加便捷地解决各类几何问题。
掌握平面向量的几何应用，有助于提高解题效率，深入理解几何学中的相关概念和原理。
平面向量与平面几何的应用
平面向量与平面几何的应用在数学中，平面向量是一种具有大小和方向的量，常用箭头表示。
平面向量在几何学中具有广泛的应用，可以用于解决平面几何问题。
本文将介绍平面向量的基本概念和性质，并探讨其在平面几何中的应用。
一、平面向量的定义与表示平面向量表示空间中的有向线段，其大小用线段的长度表示，方向用箭头所指的方向表示。
平面向量通常用有序数对表示，例如向量$\overrightarrow{AB}$可以表示为$(x_2-x_1,y_2-y_1)$，其中$A(x_1,y_1), B(x_2,y_2)$为向量的起点和终点。
二、平面向量的运算1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律。
即对于向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{BC}$，有$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$。
2. 向量的数量积向量的数量积也称为点积，表示为$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}$，定义为$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}|·|\overr ightarrow{AC}|·cos\theta$，其中$\theta$为两个向量的夹角。
3. 向量的向量积向量的向量积也称为叉积，表示为$\overrightarrow{AB}×\overrightarrow{AC}$，其大小等于以$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$为邻边的平行四边形的面积，方向垂直于这个平行四边形所在的平面。
三、平面向量在平面几何中的应用1. 向量的共线与共面通过向量的数量积可以判断向量的共线性。
若$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}=0$，则$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$共线。
向量在平面几何中的应用
例如，向量数量积对应着几何中的长度. 如图： 平行四边行ABCD中，
设 AB a, AD b ，则
AC AB BC a b
DB AB AD a b
2
AB
2
a
|
AB |2
2
AD
2
b
|
AD |2
向量 AB, AD 的夹角为 ∠BAD.
例1.如图，已知平行四边形ABCD中，E、F在 对角线BD上，并且BE=FD，求证AECF是平 行四边形。
AM AB BM
AB yBD
D C
M
AB y( AD AB)
A
B
(1 y) AB y AD
根据平面向量基本定理知，这两个分解
式是相同的，所以
x 1 y
x y
解得
x
1 2
y
1 2
所以点M是AC、BD的中点，即两条对 角线互相平分.
例3.已知正方形ABCD，P为对角线AC上任意 一点，PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，连接 DP、EF，求证DP ⊥EF。
2
2
AB2 BC2 CD2 DA2 2( a b )
AC2 BD2 a b 2 a b 2
2
a
2ab
2
b
2
a
2ab
2
b
2 a 2
2
b
2
a
2
b
2
∴ AB2 BC2 CD2 DA2 AC2 BD2
例5 如图， ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC边的中点，BE 、 BF分别与AC交于R 、 T 两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？
0
所以DP EF
巧用平面向量求解某些平面几何问题
2013-01课堂内外巧用平面向量求解某些平面几何问题文/邱雪婉平面向量是一种既有大小,又有方向的量。
它是重要的数学工具,在数学、物理等学科及工程技术中有着非常广泛的应用。
而且,平面向量具有代数形和几何形的双重身份和内涵,在高中数学中,特别是几何方面起着桥梁和工具的作用。
众所周知,平面向量最难之处在于添辅助线。
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,使得平面几何的很多性质,如全等、相似、平移、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示,而不必添加辅助线。
一、平面向量在几何证明方面的应用以三角形的中位线定理为例,例1.如图1所示,△ABC 的两边AB 和AC 的中点分别是E 、F ,则EF ∥BC ,EF =12BC用向量方法证明如下:证:∵E 、F 分别是AB 、AC 两边的中点∴AE =12AB ,AF =12AC ,又在△AEF 中,EF =AF -AE ,从而EF =12AC -12AB =12(AC -AB )=12BC 亦EF ∥BC ,EF =12BC不用辅助线,直接用向量方法证明是比较容易的。
再如:例2.证明菱形的两条对角线互相垂直。
分析:可以通过求菱形的两条对角线对应的向量的内积,由其内积等于零得到垂直的关系。
证:在菱形ABCD 中,设AB =DC =a ⭢,AD =BC =b ⭢,且a ⭢=b ⭢,则AC =AB +AD =a ⭢+b ⭢,DB =AB -AD =a ⭢-b ⭢,∴AC ·DB =(a ⭢+b ⭢)·(a ⭢-b ⭢)=a ⭢2-b ⭢2=0,∴AC ⊥DB ,即AC ⊥DB∴菱形的两条对角线互相垂直。
小结:很多情况下,我们都可以通过证明两个向量的内积为零而得到两条直线(或线段)互相垂直。
当然,更多情况下,直线(或线段)是不垂直的,这时候,我们也可以通过向量的内积公式而求出夹角。
二、平面向量在求直线(或线段)的夹角方面的应用例3.已知三点坐标:A (-1,3),B (1,1),C (3,5),求∠CAB 的大小。
巧用平面向量求解某些平面几何问题
＝
０
图３
（ ３ ， ５ ） 一 （ 一 １ ， ３ ） ＝ （ ３ ＋ １ ， ５ － ３ ） ＝ （ ４ ， ２ ） ，
、
平 面 向 量在 几何 证 明 方 面 的 应 用
ｌ Ｉ ： 、 ／ 砑
＝ ２ 、 ／ ，
以三角形的 中位线定理为例 ， 例 １ ．如图 １ 所示 ， △Ａ Ｂ Ｃ的两边 Ａ Ｂ和 Ａ Ｃ的中点分别是 Ｅ、
・ ．
当然 ， 更多情况下 ， 直线 （ 或线段 ） 是不垂直的 ， 这 时候 ， 我们也 可 以通过向量的内积公式而求 出夹角 。
二、 平面向量在 求直线 （ 或线段 ） 的夹角方面 的应用
ＡＣ ＝ ２
小结： 在 向量 问题 中 ， 求线段 的长度问题 ， 通常用到两 向量 的
夹角公式
已知 ＡＢ ＝ ８ ， Ａ Ｄ ＝ Ｉ Ｏ ， ／ ＿ Ｂ Ａ Ｄ＝ ６ ０ 。 ， 求对角线
ＡＣ的 长度 。 Ｃ
不用辅 助线 ， 直接用向量 方法证 明是 比较容易的。再 如 ：
分析 ： 显然 ， 在这个平行 四边 形中 ， 涉
图４
例２ ． 证 明菱形 的两条对角线互相垂直。
・
．
则 ｃ ｏ ｓ 肚 品
・ ． ．
一
‘ 。 — ，
６ － ／Ｃ ＡＢ＝ ａ ｒ ｃ ｃ 。 ｓ — Ｖ ｆ
ｌ Ｏ
＇ －
＝
｝ ， ＝ ，
． ， 从而 曰
小结 ： 这道题利用了向量 的内积求两边所成 的夹角。 首先需要 分别求出两个 向量 的内积及各 自的长度 ，特别要注意 的是得弄清 图 １ Ｃ 楚所求的夹 角对应 的是哪两个 向量 的夹角 。
向量在平面几何、解析几何中的应用
摘要：向量在平面几何与解析几何中多有应用，在历年来的高考试卷中也涉及部分向量知识。
向量知识不但让难题迎刃而解，还可让学生形成通用性规则，利用平面向量视角研究几何问题将取得良好成果与进展。
关键词：平面向量平面几何解析几何高中数学一、引言使用向量方法解题存在对应解题步骤，各步骤间联系紧密，存在逻辑顺序，在审题后需仔细核对题目题干，寻求问题突破口，在将几何问题转化为代数问题后，可实现题目的高精度运算，达到预期目的。
因此类题型具有复杂特点，在学生做题量得到提升后，学生对解答此类题目将拥有独到的个人见解，不但让图形对应特征得以描述，也让问题解决难度有所降低，下面将对相关题型与具体解题思路进行说明论证，在同学们阅读对应题干时，需带着对问题的解决思路求解。
二、向量教学存在的问题向量是高中数学的一大重点内容，在历年的高考试卷中有所涉及，也常与其他学科一同考试，为此提升向量教学效率，让学生灵活掌握向量知识，在拥有基本阅读审题能力的同时，提前了解向量习题的解题策略，不但有效保证做题效率，还让学生在复习前即可拥有一定知识储备，但现阶段教学存在的问题也较明显。
1.课内教学内容与高考试题具有脱轨性。
学生在学习人教版数学教材时，会学到复杂、零碎的知识，教师讲解新知识点时，也会向学生传授以往讲授过的知识点，用温故而知新的教学方法试图让学生快速进入学习状态，并建立对应向量学习思维。
高考试卷题量有限，不但要做到对高中阶段全部知识的灵活考查，还要做到面面俱到、照顾各个学习层次学生，并具有区分性，向量本身具有一定基础性，学生在初中阶段即接触过向量知识，在培养学生独立完成习题能力的同时，即使学生完全掌握教材教学内容，也不一定做对高考对应的向量试题，在与平面几何和立体几何综合出题考查的同时，学生对知识的综合运用能力也将决定做题准确率与效率。
面临新高考的改革，数学教师还需明确自身育人使命，适当给学生传授高考习题解题技巧，改变以往题海战术的陈旧教学模式，让学生热爱学习数学学科知识，并善于发现生活中的数学元素。
利用向量解决平面几何问题
利用向量解决平面几何问题平面几何是数学中的一个重要分支，利用向量解决平面几何问题是一种常用的方法。
向量的引入可以使平面几何问题更加直观、简洁，并且能够帮助我们更好地理解和解决这些问题。
本文将介绍向量在平面几何中的应用，以及如何利用向量解决平面几何问题。
一、向量的基本概念1.1 向量的定义向量是有方向和大小的量，通常用一个箭头表示。
在平面几何中，向量可以表示为有序数对(x, y)，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的投影。
1.2 向量的运算在平面几何中，向量可以进行加减、数乘和内积运算。
- 向量的加减：向量的加法是对应分量相加，向量的减法是对应分量相减。
- 向量的数乘：向量的数乘是将向量的每个分量分别乘以一个标量。
- 向量的内积：向量的内积是将向量的对应分量相乘后相加。
1.3 向量的性质在平面几何中，向量具有以下重要的性质：- 向量的模：向量的模表示向量的大小，用 ||v|| 或 |v| 表示，计算公式为：||v|| = √(x^2 + y^2)。
- 零向量：零向量的模为0，记作0，它的方向任意。
- 单位向量：单位向量的模为1，可以通过将向量除以其模得到单位向量。
二、向量在平面几何中的应用2.1 向量的平移在平面几何中，我们可以利用向量实现图形的平移。
设有向量v表示平移的距离和方向，点A(x, y)经过平移后得到点B(x', y')，则有：B(x', y') = A(x, y) + v2.2 向量的共线与垂直在平面几何中，我们可以利用向量判断线段的共线与垂直关系。
设有向量u和v表示两条线段的方向，则有以下判断方法：- 共线判断：若存在实数k，使得 u = kv，则两条线段共线。
- 垂直判断：若 u·v = 0，则两条线段垂直。
2.3 向量的夹角在平面几何中，我们可以利用向量的夹角计算两条线段的夹角。
设有向量u和v，它们的夹角记作θ，则有以下计算方法：cosθ = (u·v) / (||u||·||v||)2.4 平面向量的投影在平面几何中，我们可以利用向量的投影解决线段之间的关系。
利用平面向量知识求解平面几何中的比例问题
例 题改 编 １ 如 图 ２所 示 ，平 行
Ｃ
四边形 ＡＢＣＤ中 ，点 Ｅ，Ｆ分别是 ＡＤ，
ＤＣ 边 上 的 点 ，ＤＥ ＝ －ＡＤ，ＣＦ ＝ Ａ
－ ＣＤ，ＡＦ与朋交与尸点，求筹与
图 ２
的值 ． 分析 本题利用平 面几 何 的知识 不容 易解 决 ，但利 用
解 设 Ａ－－ｇ：ｎ， ：ｂ，设 ：Ａ商 ， ：
Ａ（一 ＋丢６），则 ＝ ＋ ，即 ＝ｎ＋Ａ（一ｎ＋ ）＝
（１一Ａ）口＋ ．
再令 ＝ ，日９（１＿Ａ）ｎ＋ ６＝ （ ２＋西），
所 以
２
’
… 知 ÷，
所 以， ＡＰ： １ ，丽ＢＰ＝ ．
例 题 改 编 ２ 如 图 ３所 示 ，ＡＡＢＣ
中，点 Ｅ，Ｆ分 别 是 ＡＢ，ＡＣ边 上 的 点 ，
面 几 何 问 题 的一 般 方 法 ，即所 谓 的 “三部 曲 ”： （１）建立平 面几何 与向量 的联系 ，用 向量 表示 问题 中涉
及的几何元素 ，将 平面几何问题转化为 向量 问题 ； （２）通过 向量运算 ，研 究几何元素之 间的关系 ，如距 离、
夹 角 等 问 题 ；
（３）把运算结果 “翻译”成几何关 系． 关于距离和夹 角的 问题 ，往往 通过 向量 的数 量 积 的运
平 面 上 选 取 两 个 适 当 的不 共 线 向 量 （两 个 足 够 ，这 是 平
面 向量 基 本 定 理保 证 的 ）作 为 基 底 ，来 表 示 图 形 中 的 有 关 向
量．利用 与 共线，引入一个未知数，表示出ａ －ｇ；把赢用
赢和 表示出来，再利用赢与齑 共线，再引入一个未知数．
主要探讨利用 向量知识解决 与 比例有关的问题． 例题 （教 材的例 ２，本 文从方法
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利用平面向量研究平面几何问题
——数学研究性学习 作者：天宇神督
本学期我们学习了平面向量这一节知识点后，很多同学都在实际运用中逐渐发现向量作为一种独特的数学工具，有着很强的实用性，对于我们以前学过的一些问题的证明过程，如果利用向量的有关知识进行证明，会使证明过程及思路简化很多，这次让我们从平面向量的角度重新回味一下我们初中学过的平面几何知识，希望大家都能有所收获，有所感悟。
向量具有多种工具作用，在平面几何中可以利用向量知识解决有关长度、角度的计算及有关平行、垂直等位置关系问题，可以使许多平面几何问题的解决得到简化.下面由我来为大家举例说明利用向量法解证平面几何问题的策略. 一应用向量知识证明平面几何有关定理
例1、证明直径所对的圆周角是直角
（ps ：这一问题我们在初中的证明方法比较繁琐，看看利用向量的简便之处。
）
分析：要证明∠ACB=90° 只需证明向量AC 垂直向量CB 即AC*CB=0
证明：设向量AO=a ，
向量OC=b 则向量AC=a+b ，向量CB=a-b
则AC*CB=（a+b ）*（a-b ）=a ²-b ²=|a|²-|b|²=r ²-r ²=0
即AC*CB=0，所以∠ACB=90°
平面向量的证明方法简单明了而又快捷，同时在其他方面也有管饭的应用 二应用向量知识证明三线共点、三点共线
（ps ：初中的知识很难直接说明这一类问题但是利用向量思路会豁然开朗。
请看例题） A B
C O
如图所示，已知⊙O ，AB 为直径，C
为⊙O 上任意一点。
求证∠ACB=90°
例2、已知：如图AD、BE、CF是△ABC三条高
求证：AD、BE、CF交于一点
分析：设AD与BE交于H，只要证
CH⊥AB，即高CF与CH重合，即CF
过点H）
设BC=a，CA=b，CH=p
利用AD⊥BC，BE⊥CA，对应向量垂直。
因为HA⊥BC，BH⊥CA
所以（b-p）*a=b*a-p*a=0①，（a+p）*b=a*b+p*b=0②
所以②-①得p*b+p*a=0 即p*（a+b）=0 所以CH*AB 所以CH⊥
AB
直接证明三点共线很麻烦，从已知条件中利用平面几何的知识，在
没有相关定理的情况下，不容易入手，但是通过平面向量的定理定义
我们很快就能找到思路，简单快速的推出结论
三应用向量知识证明等式、求值
（ps：平面几何中求值问题多利用勾股定理等繁琐的运算，先求一部分再求另
一部分，最后推导出要求的量，尤其是在平面直角坐标系中更是如此，学
习完向量后，运用向量这一强大的数学工具和相关的定理，很多问题都能
够迎刃而解，请看例题）
例3已知正方形OABC的边长为1，点D、E分别为AB、BC的中点，
求cos∠DOE的值.
分析：以OA所在直线为x轴，以OC为y轴，建立直角坐标系
如图4所示,由已知得→
OD=(1，
1
2
)，
→
OE=(
1
2
，1)
A
B C
D
E
图4
故cos ∠DOE=→OD ·→OE |→OD ||→OE |=1×12+12×152×52
=45. 这道题如果利用直接计算的方法，步骤很容易出错，不容易写出条理性，计算量大，利用两非零向量的夹角公式解证明角的问题，会简单很多。
例4如图7，设四边形ABCD 的两对角线AC 、
BD 的中点分别为M ，N ，求证：12
|AB ﹣CD|≤MN ≤12
(AB ＋CD). 分析：利用向量，结合图形，把不直观的结论转
化为几何语言
证明：∵→MN
＝→MA ＋→AB ＋→BN ，→MN ＝→MC ＋→CD ＋→DN ， ∴2→MN ＝(→MA ＋→MC)＋(→AB ＋→CD)＋(→BN
＋→DN)， ∵M ，N 分别虽AC ，BD 的中点，故→MA ＋→MC ＝0，→BN ＋→DN ＝0，
∴→MN ＝12(→AB ＋→CD )，|→MN |＝12
|→AB ＋→CD|， 但||AB |﹣|CD ||≤|→AB ＋→CD |≤|→AB |＋|→CD |，∴12||AB |﹣|CD ||≤|→MN |≤12
(|→AB |＋|→CD |)， 即12|AB ﹣CD|≤MN ≤12(AB ＋CD). 小结：
平面向量是数学中独特的一种工具，数学本身就是要求具有结合的思想，而向量更是完美的将二者结合了起来，无论是计算还是从图形思考，都使问题简化了很多。
我们利用向量再去解决平面几何的一些问题，就会发现别有一片天地，思路扩大了很多，这就像学习完惩罚以后再去看加法的问题，会有很多不同感受的，这也提示我们，学习了新的知识，要结合以前的知识多分析，多研究，不光是在平面几何中的应用，向量在数学的很多方面都有闪光之处，只要你多观察，细心发掘，肯研究，那收获的会更多。
图7。