概率论与数理统计04共52页
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2.概率的性质：
性质1. P() 0.
性质2. 若 A1, A2, , An是两两互不相容的事件, 则 P(A1 A2 An)
P(A1) P(A2) P(An). (有限可加性)
性质3. 若A B,则有 P(B A) P(B) P(A);
若事件A发生必然导致事件B发生,则称件B包含事件A,记 作AB. 若A B且A B, 即A=B, 则称A与B相等.
B
A S
(1) A B
8
2.和事件:
A B { x | x A或x B}称为A与B的和事件.
即A, B中至少有一个发生, 称为A与B的和, 记A B.
可列个事件A1, A2 , 的和事件记为 Ak .
P(B| A) P(AB) P(A)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率2.9
2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件, 即
10 对于每一个事件B, 有 1 P(B | A) 0.
20 P(S | A) 1.
30 设B1 , B2 , 两两互不相容, 则
P(Bi | A) P(B i | A).
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§5. 条件概率
(一)条件概率: 设试验E的样本空间为S, A, B是事件, 要考虑
在A已经发生的条件下B发生的概率, 这就是条件概 率问题.
例1.老王的妻子一胎生了3个孩子,已知老大是女孩，求另 两个也都是女孩的概率(假设男孩、女孩出生率相同).
1. 定义: 设A, B是两个事件, 且P(A)>0, 称
A2 , A2 A3 , A1 A2 , A1 A2 , A1 A2 A3 , A1 A2 A2 A3 A1 A3 .
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在化学领域，概率论与数理统计被用于研究化学反应的速率和化 学物质的分布，如化学反应动力学、量子化学计算等。
生物
在生物学中，概率论与数理统计用于研究生物现象的变异和分布， 如遗传学、生态学、流行病学等。
在工程中的应用
通信工程
01
概率论与数理统计在通信工程中用于信道容量、误码率、调制
解调等方面的研究。
边缘分布
对于n维随机变量(X_1,...,X_n)，在概 率论中，分别定义了X_1的边缘分布 、...、X_n的边缘分布。
04
数理统计基础
样本与抽样分布
01
02
03
总体与样本
总体是包含所有可能数据 的数据集合，样本是总体 的一个随机子集。
抽样方法
包括简单随机抽样、分层 抽样、系统抽样等。
样本分布
描述样本数据的分布情况 ，如均值、中位数、标准 差等。
参数估计与置信区间
参数估计
利用样本数据估计总体的 未知参数，如均值、方差 等。
点估计
用样本统计量作为总体参 数的估计值。
置信区间
给出总体参数的一个估计 区间，表示对总体的参数 有一个可信的估计范围。
假设检验与方差分析
假设检验
通过样本数据对总体参数提出 假设，然后根据假设进行检验
01
定义
设E是一个随机试验，X，Y是定义在E上，取值分别为实数的随机变量
。称有序实数对(X，Y)为一个二维随机变量。
02
分布函数
设(X，Y)是一个二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数
F(x,y)=P({X<=x,Y<=y})称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。
03
边缘分布
对于二维随机变量(X,Y)，在概率论中，分别定义了X的边缘分布和Y的
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条件概率与独立性
CHAPTER
随机变量及其分布
02
随机变量的概念与性质
定义随机变量为在样本空间中的实值函数，其取值依赖于随机试验的结果。
随机变量
讨论随机变量的可数性、可加性、正态性等性质。
随机变量的性质
离散型随机变量的概念
定义离散型随机变量为只能取可数个值的随机变量。
离散型随机变量的分布
讨论离散型随机变量的概率分布，如二项分布、泊松分布等。
应用
中心极限定理及其应用
CHAPTER
贝叶斯推断与决策分析
07
贝叶斯推断的基本原理
金融风险管理
贝叶斯推断在金融风险管理领域有着广泛的应用，如信用风险评估、投资组合优化等。
医疗诊断
贝叶斯推断在医疗诊断方面也有着重要的应用，如疾病诊断、预后评估等。
机器学习与人工智能
贝叶斯推断在机器学习算法和人工智能领域中也有着广泛的应用，如朴素贝叶斯分类器、高斯混合模型等。
参数估计与置信区间
01
点估计
用单一的数值估计参数的值。
02
区间估计
给出参数的一个估计区间，通常包括一个置信水平。
比较两个或多个组的均值差异，确定因素对结果的影响。
方差分析
检验两个或多个组的方差是否相等。
方差齐性检验
研究变量之间的关系，并预测结果。
回归分析
假设检验与方差分析
CHAPTER
回归分析与线性模型
应用
在现实生活中，大数定律被广泛应用于保险、赌博、金融等领域，通过统计数据来预测未来的趋势和风险。
大数定律及其应用
在独立随机变量序列中，它们的和的分布近似于正态分布，即中心极限定理。这意味着，当样本量足够大时，样本均值近似于正态分布。
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(AB)C＝(AC)(BC) 4、对偶(De Morgan)律：
A B A B, AB A B
可推广 Ak Ak , Ak Ak .
k
k
k
k
例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、 B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C
定义:(p8) 事件A在n次重复试验中出现nA次，则 比值nA/n称为事件A在n次重复试验中 出现的频率，记为fn(A). 即 fn(A)＝ nA/n.
历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时 ，出现正反面的机会均等。
实验者
De Morgan Buffon
K. Pearson K. Pearson
随机事件
二、样本空间(p2)
1、样本空间：试验的所有可能结果所
组成的集合称为样本空间，记为={e}；
2、样本点: 试验的单个结果或样本空间 的单元素称为样本点,记为e. 3.由样本点组成的单点集 称为基本事件, 也记为e.
幻灯片 6
随机事件
1.定义 样本空间的任意一个子集称为随机事件, 简称“ 事件”.记作A、B、C等
P( AB) P( AC) P(BC) P( ABC )
30% 3 10% 0 0 0 80%
例1.3.2.在110这10个自然数中任取一数，求
（1）取到的数能被2或3整除的概率，
（2）取到的数即不能被2也不能被3整除的概率，
（3）取到的数能被2整除而不能被3整除的概率。
解:设A—取到的数能被2整除; P(A) 1 P(B) 3
的概率有多大？
3.分组问题
例3：30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均 分成3组，求： （1）每组有一名运动员的概率； （2）3名运动员集中在一个组的概率。 解:设A:每组有一名运动员;B: 3名运动员集中在一组
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四、事件的关系与运算
在一个样本空间中显然可以定义不止一个事件。概率论的重要研究课 题之一是希望从简单事件的概率推算出复杂事件的概率。为此，需要研究 事件间的关系与运算。
事件是一个集合，因此事件间的关系和运算自然按照集合之间的关系 和运算来处理。
1 事件的包含与相等
若 A B ，则称事件 B 包含事件 A ，这里指的是事件 A 发生必然导致事件 B 发生， 即属于 A 的样本点都属于 B ，如图1-2所示。显然，对任何事件A，必有 A 。
若 A B 且 B A ，则称事件 A 与 B 相等，记为 A B。
图1-2 A B
事件 A B {x | x A或x B}，称为事件A与事件B的和事件，即当且仅当事件 A 或 事件 B 至少有一个发生时，和事件 A B 发生。它由属于 A 或 B 的所有公共样本点构 成，如图 1-4 所示。
图 1-4 A B
4 事件的差
事件 A B {x | x A且x B}称为事件 A 与事件 B 的差事件，即当且仅当事件 A 发 生但事件 B 不发生时，积事件A B发生。它是由属于 A 但不属于 B 的样本点构成的集 合，如图1-5所示。差事件 A B 也可写作 AB 。
定义1 在相同的条件下重复进行了 n 次试验，如果事件 A 在这 n 次试验中出现
了 nA
次，则称比值
nA n
为事件 A
发生的频率，记为fn ( 源自) ，即fn( A)
nA n
显然，频率 fn ( A) 的大小表示了在 n 次试验中事件 A 发生的频繁程度。频率 大，事件 A 发生就频繁，在一次试验中 A 发生的可能性就大，也就是事件 A 发
概率论与数理统计第四版
第五章 大数定律及中心极限定理1．据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为１００h的指数分布，现随机地取１６只，设它们的寿命是相互独立的．求这１６只元件的寿命的总和大于１９２０h的概率．解以X i（i＝１，２，…，１６）记第i只元件的寿命，以T记１６只元件寿命的总和：T＝钞１６i＝１X i，按题设E（X i）＝１００，D（X i）＝１００２，由中心极限定理知T－１６×１００１６１００２近似地服从N（０，１）分布，故所求概率为P｛T＞１９２０｝＝１－P｛T≤１９２０｝＝１－P T－１６×１００１６１００２≤１９２０－１６×１００１６１００２≈１－Ф１９２０－１６００４００＝１－Ф（０．８）＝１－０畅７８８１＝０畅２１１９．2．（１）一保险公司有１００００个汽车投保人，每个投保人索赔金额的数学期望为２８０美元，标准差为８００美元，求索赔总金额超过２７０００００美元的概率．（２）一公司有５０张签约保险单，各张保险单的索赔金额为X i，i＝１，２，…，５０（以千美元计）服从韦布尔（Weibull）分布，均值E（X i）＝５，方差D（X i）＝６，求５０张保险单索赔的合计金额大于３００的概率（设各保险单索赔金额是相互独立的）．解（１）记第i人的索赔金额为X i，则由已知条件E（X i）＝２８０， D（X i）＝８００２．要计算p１＝P钞１００００i＝１X i＞２７０００００，因各投保人索赔金额是独立的，n＝１００００很大．故由中心极限定理，近似地有X —＝１１００００钞１００００i＝１X i～N２８０，８００２１００２，故 p１＝P（X —＞２７０）≈１－Φ２７０－２８０８＝１－Φ－５４＝Φ５４＝Φ（１畅２５）＝０畅８９４４．（２）E（X i）＝５，D（X i）＝６，n＝５０．故 p＝P钞５０i＝１X i＞３００≈１－Φ３００－５０×５５０×６＝１－Φ５０３００＝１－Φ（２畅８９）＝０畅００１９．这与情况（１）相反．（１）的概率为０畅８９４４表明可能性很大．而（２）表明可能性太小了，大约５００次索赔中出现＞３００的只有一次．3．计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数，设所有舍入误差相互独立且在（－０畅５，０畅５）上服从均匀分布．（１）将１５００个数相加，问误差总和的绝对值超过１５的概率是多少？（２）最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于１０的概率不小于０畅９０？解设第k个加数的舍入误差为X k（k＝１，２，…，１５００），已知X k在（－０畅５，０畅５）上服从均匀分布，故知E（X k）＝０，D（X k）＝１１２．（１）记X＝钞１５００k＝１X k，由中心极限定理，当n充分大时有近似公式P 钞１５００k＝１X k－１５００×０１５００１１２≤x≈Φ（x）．于是P｛X＞１５｝＝１－P｛X≤１５｝＝１－P｛－１５≤X≤１５｝＝１－P－１５－０１５００１１２≤X－０１５００１１２≤１５－０１５００１１２≈１－Φ１５１５００１１２－Φ－１５１５００１１２＝１－２Φ１５１５００１２－１＝１－［２Φ（１畅３４２）－１］＝２［１－０畅９０９９］＝０畅１８０２．即误差总和的绝对值超过１５的概率近似地为０畅１８０２．（２）设最多有n个数相加，使误差总和Y＝钞n k＝１X k符合要求，即要确定n，使P｛Y＜１０｝≥０畅９０．由中心极限定理，当n充分大时有近似公式P Y－０n１１２≤x≈Φ（x）．811概率论与数理统计习题全解指南于是 P ｛Y ＜１０｝＝P ｛－１０＜Y ＜１０｝＝P －１０n １１２＜Yn １１２＜１０n １１２≈Φ１０n １２－Φ－１０n １２＝２Φ１０n １２－１．因而n 需满足 ２Φ１０n ／１２－１≥０．９０，亦即n 需满足 Φ１０n ／１２≥０畅９５＝Φ（１畅６４５），即n 应满足 １０n ／１２≥１畅６４５，由此得 n ≤４４３畅４５．因n 为正整数，因而所求的n 为４４３．故最多只能有４４３个数加在一起，才能使得误差总和的绝对值小于１０的概率不小于０畅９０．4．设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为０畅５kg ，均方差为０畅１kg ，问５０００个零件的总重量超过２５１０kg 的概率是多少？解以X i （i ＝１，２，…，５０００）记第i 个零件的重量，以W 记５０００个零件的总重量：W ＝钞５０００i ＝１X i ．按题设E （X i ）＝０．５，D （X i ）＝０畅１２，由中心极限定理，可知W －５０００×０畅５５０００×０畅１近似地服从N （０，１）分布，故所求概率为P ｛W ＞２５１０｝＝１－P ｛W ≤２５１０｝＝１－P W －５０００×０畅５５０００×０畅１≤２５１０－５０００×０畅５５０００×０畅１≈１－Ф２５１０－５０００×０畅５５０００×０畅１＝１－Ф（２）＝１－０畅９２１３＝０畅０７８７畅5．有一批建筑房屋用的木柱，其中８０％的长度不小于３m ，现从这批木柱中随机地取１００根，求其中至少有３０根短于３m 的概率．解按题意，可认为１００根木柱是从为数甚多的木柱中抽取得到的，因而可当作放回抽样来看待．将检查一根木柱看它是否短于３m 看成是一次试验，检查１００根木柱相当于做１００重伯努利试验．以X 记被抽取的１００根木柱中长度短于３m 的根数，则X ～b （１００，０畅２）．于是由教材第五章§２定理三得P ｛X ≥３０｝＝P ｛３０≤X ＜∞｝911第五章 大数定律及中心极限定理＝P３０－１００×０畅２１００×０畅２×０畅８≤X －１００×０畅２１００×０畅２×０畅８＜∞－１００×０畅２１００×０畅２×０畅８≈Φ（∞）－Φ３０－２０１６＝１－Φ（２畅５）＝１－０畅９９３８＝０畅００６２畅本题也可以这样做，引入随机变量：X k ＝１， 若第k 根木柱短于３m ，０， 若第k 根木柱不短于３m ， k ＝１，２，…，１００畅于是E （X k ）＝０．２，D （X k ）＝０畅２×０畅８．以X 表示１００根木柱中短于３m 的根数，则X ＝钞１００k ＝１X k ．由中心极限定理有P ｛X ≥３０｝＝P ｛３０≤X ＜∞｝＝P ３０－１００×０畅２１０００畅２×０畅８≤钞１００k ＝１X k －１００×０畅２１０００畅２×０畅８ ＜∞－１００×０畅２１０００畅２×０畅８≈Φ（∞）－Ф３０－２０１６＝１－Φ（２畅５）＝０畅００６２畅6．一工人修理一台机器需两个阶段，第一阶段所需时间（小时）服从均值为０．２的指数分布，第二阶段服从均值为０畅３的指数分布，且与第一阶段独立．现有２０台机器需要修理，求他在８小时内完成的概率．解设修理第i （i ＝１，２，…，２０）台机器，第一阶段耗时X i ，第二阶段为Y i ，则共耗时Z i ＝X i ＋Y i ，今已知E （X i ）＝０畅２，E （Y i ）＝０畅３，故E （Z i ）＝０畅５．D （Z i ）＝D （X i ）＋D （Y i ）＝０畅２２＋０畅３２＝０畅１３畅２０台机器需要修理的时间可认为近似服从正态分布，即有钞２０i ＝１Z i ～N （２０×０畅５，２０×０畅１３）＝N （１０，２畅６）．所求概率 p ＝P钞２０i ＝１Z i ≤８≈Φ８－２０×０畅５２０×０畅１３＝Φ－２１畅６１２５＝Φ（－１畅２４）＝０畅１０７５，即不大可能在８小时内完成全部工作．7．一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取１元、１畅２元、１畅５元各个值的概率分别为０畅３、０畅２、０畅５畅若售出３００只蛋糕．21概率论与数理统计习题全解指南（１）求收入至少４００元的概率；（２）求售出价格为１畅２元的蛋糕多于６０只的概率．解设第i 只蛋糕的价格为X i ，i ＝１，２，…，３００，则X i 有分布律为X i １１畅２１畅５p k０畅３０畅２０畅５由此得E （X i ）＝１×０畅３＋１畅２×０畅２＋１畅５×０畅５＝１畅２９，E （X ２i ）＝１２×０畅３＋１畅２２×０畅２＋１畅５２×０畅５＝１畅７１３，故D （X i ）＝E （X ２i ）－［E （X i ）］２＝０畅０４８９畅（１）以X 表示这天的总收入，则X ＝钞３００i ＝１X i ，由中心极限定理得P ｛X ≥４００｝＝P ｛４００≤X ＜∞｝＝P ４００－３００×１畅２９３０００畅０４８９≤钞３００i ＝１X i －３００×１畅２９３０００畅０４８９ ＜∞－３００×１畅２９３０００畅０４８９≈１－Φ（３畅３９）＝１－０畅９９９７＝０畅０００３．（２）以Y 记３００只蛋糕中售价为１畅２元的蛋糕的只数，于是Y ～b （３００，０畅２）．E （Y ）＝３００×０畅２，D （Y ）＝３００×０畅２×０畅８，由棣莫弗拉普拉斯定理得P ｛Y ＞６０｝＝１－P ｛Y ≤６０｝＝１－P Y －３００×０畅２３００×０畅２×０畅８≤６０－３００×０畅２３００×０畅２×０畅８≈１－Φ６０－３００×０畅２３００×０畅２×０畅８＝１－Φ（０）＝０畅５．8．一复杂的系统由１００个相互独立起作用的部件所组成，在整个运行期间每个部件损坏的概率为０畅１０．为了使整个系统起作用，至少必须有８５个部件正常工作，求整个系统起作用的概率．解将观察一个部件是否正常工作看成是一次试验，由于各部件是否正常工作是相互独立的，因而观察１００个部件是否正常工作是做１００重伯努利试验，以X 表示１００个部件中正常工作的部件数，则X ～b （１００，０畅９），按题意需求概率P ｛X ≥８５｝，由棣莫弗拉普拉斯定理知X －１００×０畅９１００×０畅９×０畅１近似地服从标准正态分布N （０，１），故所求概率为121第五章 大数定律及中心极限定理P ｛X ≥８５｝＝P ｛８５≤X ＜∞｝＝P ８５－１００×０畅９１００×０畅９×０畅１≤X －１００×０畅９１００×０畅９×０畅１≤∞－１００×０畅９１００×０畅９×０畅１≈１－Ф－５３＝０畅９５２５．9．已知在某十字路口，一周事故发生数的数学期望为２畅２，标准差为１畅４．（１）以X —表示一年（以５２周计）此十字路口事故发生数的算术平均，试用中心极限定理求X —的近似分布，并求P ｛X —＜２｝．（２）求一年事故发生数小于１００的概率．解 （１）E （X —）＝E （X ）＝２畅２，D （X —）＝D （X ）５２＝１畅４２５２，由中心极限定理，可认为X —～N （２畅２，１畅４２／５２）．P ｛X —＜２｝＝Φ２－２畅２１畅４／５２＝Φ－０畅２×５２１畅４＝Φ（－１畅０３０）＝１－Φ（１畅０３０）＝１－０畅８４８５＝０畅１５１５．（２）一年５２周，设各周事故发生数为X １，X ２，…，X ５２．则需计算p ＝P钞５２i ＝１X i ＜１００，即P ｛５２X —＜１００｝．用中心极限定理可知所求概率为 p ＝P ｛５２X —＜１００｝＝P ｛X —＜１００５２｝≈Φ１００５２－２畅２５２１畅４＝Φ（－１畅４２６）＝１－０畅９２３０＝０畅０７７０．10．某种小汽车氧化氮的排放量的数学期望为０．９g ／km ，标准差为１畅９g ／km ，某汽车公司有这种小汽车１００辆，以X —表示这些车辆氧化氮排放量的算术平均，问当L 为何值时X —＞L 的概率不超过０畅０１．解 设以X i （i ＝１，２，…，１００）表示第i 辆小汽车氧化氮的排放量，则X —＝１１００钞１００i ＝１X i ．由已知条件E （X i ）＝０畅９，D （X i ）＝１畅９２得E （X —）＝０畅９， D （X —）＝１畅９２１００．各辆汽车氧化氮的排放量相互独立，故可认为近似地有221概率论与数理统计习题全解指南X —～N ０畅９，１畅９２１００．需要计算的是满足P ｛X —＞L ｝≤０畅０１的最小值L ．由中心极限定理P ｛X —＞L ｝＝PX —－０畅９０畅１９＞L －０畅９０畅１９≤０畅０１畅L 应为满足１－ΦL －０畅９０畅１９≤０畅０１的最小值，即ΦL －０畅９０畅１９≥０畅９９＝Φ（２畅３３），即L －０畅９０畅１９≥２畅３３，故L ≥０畅９＋０畅１９×２畅３３＝１畅３４２７，应取L ＝１畅３４２７g ／km 畅11．随机地选取两组学生，每组８０人，分别在两个实验室里测量某种化合物的p H ．各人测量的结果是随机变量，它们相互独立，服从同一分布，数学期望为５，方差为０畅３，以X —，Y —分别表示第一组和第二组所得结果的算术平均．（１）求P ｛４畅９＜X —＜５畅１｝．（２）求P ｛－０畅１＜X —－Y —＜０畅１｝．解由题设E （X —）＝５，D （X —）＝D （Y —）＝０畅３８０．（１）由中心极限定理知X —近似服从N （５，０畅３８０），故P ｛４畅９＜X —＜５畅１｝＝P ４畅９－５０畅３８０＜X —－５０畅３８０＜５畅１－５０畅３８０≈Φ５畅１－５０畅３８０－Φ４畅９－５０畅３８０＝２Φ（１畅６３）－１＝２×０畅９４８４－１＝０畅８９６８．（２）因E （X —－Y —）＝E （X —）－E （Y —）＝０，D （X —－Y —）＝D （X —）＋D （Y —）＝０畅３４０，由中心极限定理P ｛－０畅１＜X —－Y —＜０畅１｝ 321第五章 大数定律及中心极限定理＝P－０畅１－００畅３４０＜（X —－Y —）－００畅３４０＜０畅１－００畅３４０≈Φ０畅１－００畅３４０－Φ－０畅１－００畅３４０＝２Φ（１畅１５）－１＝２×０畅８７４９－１＝０畅７４９８．12．一公寓有２００户住户，一户住户拥有汽车辆数X 的分布律为X ０１２p k０畅１０畅６０畅３问需要多少车位，才能使每辆汽车都具有一个车位的概率至少为０畅９５畅解 设需要车位数为n ，且设第i （i ＝１，２，…，２００）户有车辆数为X i ，则由X i 的分布律知E （X i ）＝０×０畅１＋１×０畅６＋２×０畅３＝１畅２，E （X ２i ）＝０２×０畅１＋１２×０畅６＋２２×０畅３＝１畅８，故D （X i ）＝E （X ２i ）－［E （X i ）］２＝１畅８－１畅２２＝０畅３６．因共有２００户，各户占有车位数相互独立．从而近似地有钞２００i ＝１X i ～N （２００×１畅２， ２００×０畅３６）．今要求车位数n 满足０畅９５≤P钞２００i ＝１X i ≤n ，由正态近似知，上式中n 应满足０畅９５≤Φn －２００×１畅２２００×０畅３６＝Φn －２４０７２，因０畅９５＝Φ（１畅６４５），从而由Φ（x ）的单调性知n －２４０７２≥１畅６４５，故n ≥２４０＋１畅６４５×７２＝２５３畅９６．由此知至少需２５４个车位畅13．某种电子器件的寿命（小时）具有数学期望μ（未知），方差σ２＝４００．为了估计μ，随机地取n 只这种器件，在时刻t ＝０投入测试（测试是相互独立的）直到失效，测得其寿命为X １，X ２，…，X n ，以X —＝１n钞ni ＝１X i 作为μ的估计，为使P ｛X —－μ＜１｝≥０畅９５，问n 至少为多少？解由教材第五章§２定理一可知，当n 充分大时，421概率论与数理统计习题全解指南钞ni ＝１X i －n μn σ＝１n钞ni ＝１X i －μσ／n近似地N （０，１），即X —－μσn近似地N （０，１）．由题设D （X i ）＝４００（i ＝１，２，…，n ），即有σ＝４００，于是X —－μ４００n ＝X —－μ２０n近似地服从N （０，１）分布，即有P ｛X —－μ＜１｝＝P ｛－１＜X —－μ＜１｝＝P －１２０n ＜X —－μ２０n ＜１２０n ≈Φ１２０n－Φ－１２０n ＝２Φ１２０n －１．现在要求P ｛X —－μ＜１｝≥０畅９５，即要求２Ф１２０n －１≥０畅９５，亦即要求Ф１２０n≥０畅９７５＝Ф（１畅９６），故需要１２０n≥１畅９６，即 n ≥（２０×１畅９６）２＝１５３６畅６４畅因n 为正整数，故n 至少为１５３７．14．某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难血液病的治愈率为０畅８，医院任意抽查１００个服用此药品的病人，若其中多于７５人治愈，就接受此断言，否则就拒绝此断言．（１）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是０畅８畅问接受这一断言的概率是多少？（２）若实际上此药品对这种疾病的治愈率为０畅７，问接受这一断言的概率是多少？解由药厂断言来看１００人中治愈人数X ～b （１００，０畅８）．（１）在治愈率与实际情况相符合条件下，接受药厂断言的概率即为P （X ＞521第五章 大数定律及中心极限定理７５）．由中心极限定理知近似地有X～N（１００×０畅８， １００×０畅８×０畅２）＝N（８０，４２），于是 p１＝P（X＞７５）≈１－Φ７５－８０４＝１－Φ（－５４）＝Φ（１畅２５）＝０畅８９４４．（２）若实际上治疗率为０畅７，即X～b（１００，０畅７），则治愈人数X近似地服从正态分布，即有X～N（１００×０畅７， １００×０畅７×０畅３）．所求概率p２＝P（X＞７５）≈１－Φ７５－１００×０畅７１００×０畅７×０畅３＝１－Φ５２１＝１－Φ（１畅０９）＝１－０畅８６２１＝０畅１３７９．621概率论与数理统计习题全解指南。
概率论与数理统计 课件
05
多元统计分析
多元正态分布
01
多元正态分布的定义
多元正态分布是多个连续随机变量的 联合分布，其概率密度函数是多元高 斯函数。
02
多元正态分布的性质
多元正态分布具有旋转对称性、椭球 等高性、最大似然估计等性质。
03
多元正态分布的应用
在多元统计分析中，多元正态分布被 广泛用于描述多维数据的分布特征， 例如在回归分析、主成分分析、因子 分析等中都有应用。
正态分布与指数分布
正态分布
一种常见的连续概率分布，其概率密 度函数呈钟形曲线，对称轴为均值， 形状由标准差决定。
指数分布
描述随机事件在单位时间内发生的次 数，其概率密度函数为指数函数。
均匀分布与对数正态分布
均匀分布
在一定区间内随机变量取值的可能性相等，其概率密度函数 为常数。
对数正态分布
描述随机变量取值的对数服从正态分布的情况，其概率密度 函数在对数尺度上呈正态分布。
因子分析
因子分析的定义
因子分析是一种探索性 统计分析方法，通过寻 找隐藏在数据中的公共 因子来解释变量之间的 相关性。
因子分析的步骤
包括确定因子个数、因 子旋转、因子得分计算 等步骤。
因子分析的应用
在多元统计分析中，因 子分析被广泛应用于市 场细分、顾客满意度分 析、社会问题研究等方 面。
06
随机过程与时间序列分析
描述随机变量取离散值的概率规 律。
02
离散概率分布的特 点
随机变量取值有限或可数，概率 质量函数定义了每个可能取值的 概率。
03
离散概率分布的表 示方法
列表法、图示法、概率质量函数 。
二项分布与泊松分布
1 2
概率论与数理统计PPT课件
例6: (抽签问题)一袋中有a个红球，b个白球，记a＋b＝n． 设每次摸到各球的概率相等，每次从袋中摸一球， 不放回地摸n次。 设 { 第k次摸到红球 }，k＝1,2,…,n．求 解1：
号球为红球，将n个人也编号为1,2,…,n．
----------与k无关
可设想将n个球进行编号： 其中
18
性质：
19
§4 等可能概型（古典概型）
定义：若试验E满足：S中样本点有限(有限性)出现每一样本点的概率相等(等可能性)
称这种试验为等可能概型(或古典概型)。
20
例1：一袋中有8个球，编号为1－8，其中1－3 号为红球，4－8号为黄球，设摸到每一 球的可能性相等，从中随机摸一球， 记A={ 摸到红球 }，求P(A)．
31
三、全概率公式与Bayes公式
定义：设S为试验E的样本空间，B1,B2,…,Bn 为E的一组事件。若： 则称B1,B2,…,Bn为S的一个划分,或称为一组完备事件组。
即：B1,B2,…,Bn至少有一发生是必然的，两两同时发生又是不可能的。
32
定理：设试验E的样本空间为S，A为E的事件。B1,B2,…,Bn为S的一个划分，P(Bi)>0，i=1,2,…,n； 则称：
试验序号
n =5
n =50
n =500
nH
fn(H)
nH
fn(H)
nH
fn(H)
12345678910
2315124233
0.40.60.21.00.20.40.80.40.60.6
22252125242118242731
0.440.500.420.500.480.420.360.480.540.62
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若再加一个等式 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
成立,则称‘A, B,C为互相独立’的事件。 一般, A1，A2，…,An为E的一组n个事件。 相似的可定义：‘两两’、‘三三’、...， 及‘n个相互独立’。
10
11例04-2若生产某产品经过5道工序，每道工序 的不合格率分别为0.01, 0.02, 0.03, 0.04, 0.05, 假定工序之间是相互独立的，求该产品的合 格率和不合格率。
7
定理；随机试验E的样本空间为 。(,A,P) AA
为E的一个事件, P(A)>0。B1，B2，…,Bn为S的一个划分。 且P(Bi)>0, i=1,…,n。则
P(Bi|A)= P(A|Bi)P(Bi)/P(A)= P(A|Bi)P(Bi)/{P(A|B1)P(B1) +…+P(A|Bn)P(Bn)}
则 P ( A 1 ) 5 / 8 , P ( B |A 1 ) 0 . 8 , P ( B |A 2 ) 0 . 3
故所求概率为
P (A 1 |B ) P (A 1 ) P ( B |A 1 )/P [ (A 1 ) P ( B |A 1 ) P (A 2 ) P ( B |A 2 )] 4/4 0 0 9 .816
第一章 概率论的基本概念
随机试验 E 样本空间
随机事件 A A
必然事件，基本事 件，不可能事件。
并（和）事件，交（积） 事件，补（对立）事件。
（差事件）
包含关系， 相等关系。
相交关系， 互斥关系， 对立关系。
1
运算原理：
交换 ABBA;ABBA; 结合 A(BC)( AB)C;
A(BC)( AB)C; A(BC)( AB)( AC); 分配 A(BC)( AB)( AC); 对偶 AB AB;AB AB;
P 该产 1 品 P 该 不 产 合 0 .1 品 4 格
12
例 04-3 设 某 科 学 工 作 者 每 次 试 验 成 功 的 概 率 是 0.01。试问他要做多少次试验才能十拿九稳的做 到试验成功(假定试验与试验之间是相互独立的)?
解 设某科学工作者要做 N 次试验才能十拿九稳
的使试验成功。又设 F ={某科学工作者一次试
6
B1，B2，…,Bn为E的一组事件。
若(1)两两不相容且,(2)它们的和集为,则称B1，
B2，…,Bn为的一个划分。也叫完备事件组。
定理；随机试验E的样本空间为 。 B1，B2，…,Bn为的一个划分。 且P(Bi)>0, i=1,…,n。A为E的一个事件,则
P(A)=P(A|B1)P(B1)+…+P(A|Bn)P(Bn) 称为全概率公式。
2
*概率的定义(( ,A,, ,PP) ) 称为概率空间，是指
在随机试验E的样本空间上,对每个事件A赋予 一个实数,记为P(A),称为事件A的概率,如果这 个集合函数P()满足下列条件:
1。P(A) 0 ; 非负性
2。P() =1 ; 完全性
3。可列可加性
即可列个 Ai , i=1,2,….. Ai Aj ，
验失败}, C ={某科学工作者N 次试验失败}，由
题设知,
P(F)10.0 10.99
P (C )(0.9)9 N10.90.1
NL(0.o 9)g 9 Lo (0.1 g)
N [ L o g ( 0 . 1 ) / L o g ( 0 . 9 9 ) ] 1 2 2 9 1 2 3 0
独立性
9
定义；A,B为两事件。如果等式
P(AB)=P(A)P(B) 成立,则称‘A, B为互相独立’的事件。
可以证明， A与B互相独立，则Ac与B， A与Bc， Ac与Bc互相独立。 定理； A,B为两事件，且P(A)>0。 则 “A与B相互独立”与“P(B|A)=P(B)”等价。
定义；A,B,C为三个事件。如果三个等式 P(AB)=P(A)P(B) P(AC)=P(A)P(C) P(BC)=P(B)P(C)
称为贝叶斯公式。
8 例04-1八支枪中，有三支未经试射校正，五支已 经试射校正。校正过的枪射击时，中靶的概率为 0.8，未校正的枪射击时，中靶的概率为0.3，今 从8支枪中任取一支射击中靶。问所用这枪是校 正过的概率是多少？ 解 设事件 B ={射击中靶}，A1 ={任取一枪是校 正过的}， A2 ={任取一枪是未校正过的}。
13
例04-4. 如下之‘并(联起)串连电路’并 串图
1
2
L
R
3
4
设继电器闭合与否相互独立,每个继电器闭合的 概率为p。求L至R为通路的概率?
注意: A=A1A2 A3A4
又设P(B)>0，还有 P(AB)=P(A|B)P(B)
设P(AB)>0，则有 P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A)
设P(A1…A(n-1))>0， 则有 P(A1…An)= P(An|A1…A(n-1))P(A(n-1)|A1…A(n-2))...P(A2|A1)P(A1)
5
定义；随机试验E的样本空间为 。
解 设 A=i {第i 道工序生产合格},i1,2,3,4,5,则
P 该产 P 品 (A 1A 2A 合 3A 4A 5)格
P (A 1 ) P (A 2 ) P (A 3 ) P (A 4 ) P (A 5 )
( 1 0 .0 )1 1 ( 0 .0 )1 2 ( 0 .0 )1 3 ( 0 .0 )1 4 ( 0 .0 ) 0 5 .858
i j 则有 P(A1A2......)
3
P(A1)P(A2).....
有性质： 1。P( )=0
2。有穷可加
3。P(A) 1
4
若AB,则P(B)P(A), 4。且P(B\A)P(B)P(A)
5。P(A)1P(A)
6。Байду номын сангаасP (A B ) P (A ) P (B ) P (A)B
加法公式。 也可写成
P (A B ) P (A ) P B (A ) P (B )
条件概率定义:
(S,A ,P)为概率空间。A, B为两个事件，且
P(A)>0。则称
P(B|A)=P(AB)/P(A)
为“ 在事件A发生的条件下，事件B发生的条件
概率 ”。
乘法定理:
设P(A)>0，则有 P(AB)=P(B|A)P(A)