椭圆习题课
习题课：椭圆第二定义的应用(精)
人教版高二数学上册§8.2 椭圆第二定义的应用(习题课班级姓名自我学习评价 :优良还需努力【学习目标】1. 进一步加深对椭圆第二定义及其性质的认识，会熟练运用椭圆的几何性质和第二定义解决有关问题；2. 通过对椭圆的第二定义的应用，体会和感悟“方程思想”和“数形结合”，“分类讨论”的数学思想方法。
【学习重点】灵活运用椭圆的第二定义及性质解决有关问题。
【学习过程】一、学习准备（知识准备）请独立完成下列填空：1．椭圆的第一定义为：；其中的两点为椭圆的；常数等于椭圆的；2．椭圆第二定义：若平面内的动点M（x，y）到定点F（c，0）的距离和它到定直线的距离的比是常数，则点M 的轨迹为；定直线叫做，准线与长轴所在直线____，椭圆的准线有条.常数，（）是的离心率。
e1时，椭圆趋于；e0时，椭圆趋向于。
3．由椭圆第二定义我们得到了焦半径公式。
设为椭圆上任意一点，对于标准方程的焦半径；；对于标准方程的焦半径；.椭圆第二定义及其性质在解题中有何价值和作用？你知道吗？通过本节课的学习你就会知道了！●基础练习：试一试，你能根据已知很快独立完成下列问题吗？有困难的题可与小组同学讨论。
1、椭圆的准线方程是（）A.； B.； C.； D.2 椭圆的一个焦点到相应准线的距离为，离心率为，则短轴长为（）A BC. D.3 设点P为椭圆上一点，P到左准线的距离为10，则P到右准线的距离为（）A . 6 ；B .8 ； C.10 ； D.154 已知点A（2，y）是椭圆上的点，F是其右焦点，则∣AF∣=；5．椭圆与椭圆〉0）的形状怎样？它们的离心率有何关系？你能否快速求出与椭圆有相同的离心率且经过点（，）的椭圆的方程？其方程为你是用什么方法求解的？。
二、典型例析【探究一】利用椭圆第二定义解题例1：已知椭圆内有一点，为椭圆的右焦点，在椭圆上找一点,使得取得最小值，求最小值和点的坐标。
（提示：。
）可给于一定的提示！●想一想：解决此类问题的关键是。
人教版 高中数学【选修 2-1】2.2.1椭圆及其标准方程课后习题
人教版高中数学精品资料2.2.1 椭圆及其标准方程课时演练·促提升A组1.若F1,F2是两个定点,且|F1F2|=6,动点M满足|MF1|+|MF2|=8,则点M的轨迹是()A.椭圆B.直线C.圆D.线段解析:由椭圆定义知,点M的轨迹是椭圆.答案:A2.“m>n>0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:方程可化为=1,表示焦点在y轴上的椭圆时,应满足>0,即m>n>0.所以是充要条件.答案:C3.设P是椭圆=1上一点,P到两焦点F1,F2的距离之差为2,则△PF1F2是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形解析:由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=8.又|PF1|-|PF2|=2,∴|PF1|=5,|PF2|=3.又|F1F2|=2c=2=4,∴|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2,∴△PF1F2为直角三角形.答案:B4.已知椭圆的焦点坐标为(0,-1),(0,1),且过点,则椭圆方程为()A.=1B.=1C.+y2=1D.+x2=1解析:由已知椭圆焦点在y轴上,设方程为=1(a>b>0).则2a==4,故a=2.又c=1,则b2=a2-c2=3,故椭圆方程为=1.答案:B5.已知椭圆的焦点是F1,F2,P是椭圆上的一动点,如果延长F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么动点Q的轨迹是()A.圆B.椭圆C.直线D.抛物线解析:由题意,得|PF1|+|PF2|=2a(a>0是常数).∵|PQ|=|PF2|,∴|PF1|+|PQ|=2a,即|QF1|=2a,∴动点Q的轨迹是以F1为圆心,2a为半径的圆,故选A.答案:A6.若方程=1表示焦点在x轴上的椭圆,则m的取值范围是.解析:将方程化为=1,依题意,得8>2-m>0,解得-6<m<2.答案:-6<m<27.若椭圆=1的焦距为6,则k的值为.解析:由已知,得2c=6,∴c=3,∴c2=9,∴20-k=9或k-20=9,∴k=11或k=29.答案:11或298.若椭圆的焦点在y轴上,其上任意一点到两焦点的距离和为8,焦距为2,则此椭圆的标准方程为.解析:由已知,得2a=8,2c=2,∴a=4,c=,∴b2=a2-c2=16-15=1,故椭圆的标准方程为+x2=1.答案:+x2=19.已知椭圆=1(a>b>0)的焦点分别是F1(0,-1),F2(0,1),且3a2=4b2.(1)求椭圆的方程;(2)设点P在这个椭圆上,且|PF1|-|PF2|=1,求∠F1PF2的余弦值.解:(1)依题意知c=1,又c2=a2-b2,且3a2=4b2,所以a2-a2=1,即a2=1.所以a2=4.因此b2=3.从而椭圆方程为=1.(2)因为点P在椭圆上,所以|PF1|+|PF2|=2a=2×2=4.又|PF1|-|PF2|=1,所以|PF1|=,|PF2|=.又|F1F2|=2c=2,所以由余弦定理,得cos ∠F1PF2==.即∠F1PF2的余弦值等于.10.已知圆A:x2+(y+6)2=400,圆A内有一定点B(0,6),动圆C过点B且与圆A内切,求动圆圆心C的轨迹方程.解:设动圆C的半径为r,则|CB|=r.因为圆C与圆A内切,所以|CA|=20-r,所以|CA|+|CB|=20>12,所以点C的轨迹是以A,B两点为焦点的椭圆.因为2a=20,2c=|AB|=12,所以a=10,c=6,b2=64.因为点A,B在y轴上,所以点C的轨迹方程为=1.B组1.已知F1,F2是椭圆=1的两个焦点,P是椭圆上一点,且|PF1|∶|PF2|=4∶3,则三角形PF1F2的面积等于()A.24B.26C.22D.24解析:因为a2=49,所以|PF1|+|PF2|=2a=14.又|PF1|∶|PF2|=4∶3,所以|PF1|=8,|PF2|=6.又因为|F1F2|=2c=2=10,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,所以PF1⊥PF2.故△PF1F2的面积S=|PF1|·|PF2|=×8×6=24.答案:A2.设F1,F2是椭圆C:=1的焦点,在曲线C上满足=0的点P的个数为()A.0B.2C.3D.4解析:∵=0,∴PF1⊥PF2.∴点P为以线段F1F2为直径的圆与椭圆的交点,且此圆的半径为c==2.∵b=2,∴点P为该椭圆y轴的两个端点.答案:B3.F1,F2分别为椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆上,△POF2是面积为的正三角形,则b2的值是.解析:∵|OF2|=c,∴由已知得,∴c2=4,c=2.设点P的坐标为(x0,y0),由△POF2为正三角形,∴|x0|=1,|y0|=,代入椭圆方程得=1.∵a2=b2+4,∴b2+3(b2+4)=b2(b2+4),即b4=12,∴b2=2.答案:24.已知圆C:(x+1)2+y2=25及点A(1,0),Q为圆上一点,AQ的垂直平分线交CQ于点M,求点M的轨迹方程.解:如图,M是AQ的垂直平分线与CQ的交点,连接MA,则|MQ|=|MA|,∴|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5,且|AC|=2,∴动点M的轨迹是椭圆,且其焦点为C,A.易知2a=5,2c=2,∴a=,c=1,∴b2=a2-c2=-1=,故动点M的轨迹方程为=1.5.已知椭圆的焦点在x轴上,且焦距为4,P为椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项.(1)求椭圆的方程;(2)若△PF1F2的面积为2,求点P坐标.解:(1)由题意知,2c=4,c=2,|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=8,即2a=8,∴a=4.∴b2=a2-c2=16-4=12.∵椭圆的焦点在x轴上,∴椭圆的方程为=1.(2)设点P坐标为(x0,y0),依题意知,|F1F2||y0|=2,∴|y0|=,y0=±.代入椭圆方程=1,得x0=±2,∴点P坐标为(2)或(2,-)或(-2)或(-2,-).6.已知P是椭圆+y2=1上的一点,F1,F2是椭圆上的两个焦点.(1)当∠F1PF2=60°时,求△F1PF2的面积;(2)当∠F1PF2为钝角时,求点P横坐标的取值范围.解:(1)由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=4且F1(-,0),F2(,0).①在△F1PF2中,由余弦定理,得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°.②由①②得|PF1|·|PF2|=.所以|PF1||PF2|·sin ∠F1PF2=.(2)设点P(x,y),由已知∠F1PF2为钝角,得<0,即(x+,y)·(x-,y)<0.又y2=1-,所以x2<2,解得-<x<.所以点P横坐标的范围是。
高中数学 同步学案 直线与椭圆的位置关系(习题课)
第二课时 直线与椭圆的位置关系(习题课)[新知初探]1．点与椭圆的位置关系点P(x 0,y 0)与椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)的位置关系：点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；点P 在椭圆内部⇔x 20a 2＋y 20b 2<1；点P 在椭圆外部⇔x 20a 2＋y 2b 2>1.2．直线与椭圆的位置关系直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的位置关系,判断方法：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y2b2＝1，消y 得一元二次方程．当Δ>0时,方程有两解,直线与椭圆相交； 当Δ＝0时,方程有一解,直线与椭圆相切； 当Δ<0时,方程无解,直线与椭圆相离． 3．直线与椭圆相交的弦长公式(1)定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． (2)求弦长的方法①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立,求出两交点的坐标,然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法：如果直线的斜率为k,被椭圆截得弦AB 两端点坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),则弦长公式为： |AB|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋1k2·y 1＋y 22－4y 1y 2.[小试身手]1．已知点(2,3)在椭圆x 2m 2＋y2n 2＝1上,则下列说法正确的是( )A ．点(－2,3)在椭圆外B ．点(3,2)在椭圆上C ．点(－2,－3)在椭圆内D ．点(2,－3)在椭圆上 答案：D2．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y22＝1所截得的弦的中点坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，53B.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，73C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－132，172 答案：C3．设F 1,F 2分别是椭圆x 225＋y216＝1的左、右焦点,P 为椭圆上一点,M 是F 1P 的中点,|OM|＝3,则P 点到椭圆左焦点的距离为________．答案：4直线与椭圆的位置关系[典例] 对不同的实数值m,讨论直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 2＝1的位置关系．[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y,得x 24＋(x ＋m)2＝1, 整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0.Δ＝(8m)2－4×5(4m 2－4)＝16(5－m 2)． 当－5<m<5时,Δ>0,直线与椭圆相交； 当m ＝－5或m ＝5时,Δ＝0,直线与椭圆相切； 当m<－5或m>5时,Δ<0,直线与椭圆相离．判断直线与椭圆的位置关系,通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组,消去方程组中的一个变量,得到关于另一个变量的一元二次方程,则Δ>0⇔直线与椭圆相交； Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ<0⇔直线与椭圆相离． [活学活用]若直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆x 25＋y2m ＝1总有公共点,求m 的取值范围．解：∵直线y ＝kx ＋1过定点A(0,1)． 由题意知,点A 在椭圆x 25＋y2m ＝1内或椭圆上,∴025＋12m ≤1,∴m≥1. 又椭圆焦点在x 轴上∴m<5, 故m 的取值范围为[1,5).弦长及中点弦问题[典例] 已知点P(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y29＝1所截得的线段的中点．(1)求直线l 的方程；(2)求直线l 被椭圆截得的弦长． [解] (1)[法一 根与系数关系法] 由题意可设直线l 的方程为y －2＝k(x －4), 而椭圆的方程可以化为x 2＋4y 2－36＝0. 将直线方程代入椭圆方程有(4k 2＋1)x 2－8k(4k －2)x ＋4(4k －2)2－36＝0. 所以x 1＋x 2＝8k4k －24k 2＋1＝8,解得k ＝－12. 所以直线l 的方程为y －2＝－12(x －4),即x ＋2y －8＝0. [法二 点差法]设直线l 与椭圆的交点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),所以⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋4y 21－36＝0，x 22＋4y 22－36＝0.两式相减,有(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)·(y 1－y 2)＝0. 又x 1＋x 2＝8,y 1＋y 2＝4,所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12, 即k ＝－12.所以直线l 的方程为x ＋2y －8＝0.(2)由题意可知直线l 的方程为x ＋2y －8＝0,联立椭圆方程得x 2－8x ＋14＝0.法一：解方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝4＋2，y 1＝2－22， ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4－2，y 2＝2＋22，所以直线l 被椭圆截得的弦长为[4＋2－4－2]2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2－22－⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋222 ＝10.法二：因为x 1＋x 2＝8,x 1x 2＝14. 所以直线l 被椭圆截得的弦长为1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12282－4×14＝10.解决椭圆中点弦问题的两种方法(1)根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；(2)点差法：利用交点在曲线上,坐标满足方程,将交点坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系,具体如下：已知A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)是椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)上的两个不同的点,M(x 0,y 0)是线段AB 的中点,则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y 22b 2＝1， ②由①－②,得1a 2(x 21－x 22)＋1b 2(y 21－y 22)＝0,变形得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·x 0y 0,即k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22,点(2,2)在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A,B,线段AB 的中点为M.证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．解：(1)由题意有a 2－b 2a ＝22,4a 2＋2b 2＝1,解得a 2＝8,b 2＝4.所以C 的方程为x 28＋y24＝1.(2)证明：法一：设直线l ：y ＝kx ＋b(k≠0,b≠0),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(x M ,y M )．将y ＝kx ＋b 代入x28＋y 24＝1,得(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0. 故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1,y M ＝k·x M ＋b ＝b 2k 2＋1.于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k ,即k OM ·k＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值． 法二：设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(x M ,y M ),则⎩⎪⎨⎪⎧x 218＋y 214＝1， ①x 228＋y 224＝1， ②①－②得x 1＋x 2x 1－x 28＋y 1＋y 2y 1－y 24＝0,∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－4x 1＋x 28y 1＋y 2＝－12·x My M.又k O M ＝y M x M ,∴k AB ·k OM ＝－12.∴直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．与椭圆有关的综合问题[典例] 在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率e ＝22,且点P(2,1)在椭圆C上．(1)求椭圆C 的方程；(2)斜率为－1的直线与椭圆C 相交于A,B 两点,求△AOB 面积的最大值．[解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝22，4a 2＋1b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，∴⎩⎨⎧a ＝6，b ＝3，∴椭圆C 的方程为x 26＋y23＝1.(2)设直线AB 的方程为y ＝－x ＋m, 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋m ，x 26＋y23＝1，得3x 2－4mx ＋2m 2－6＝0,∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 1＋x 2＝4m 3，x 1x 2＝2m 2－63，∴|AB|＝1＋－12|x 1－x 2|＝439－m 2,原点到直线的距离d ＝|m|2.∴S △OAB ＝12×43 9－m 2·|m|2＝239－m2m 2≤23·9－m 2＋m 22＝322.当且仅当m ＝±322时,等号成立,∴△AOB 面积的最大值为322.求与椭圆有关的最值、范围问题的方法(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理．(2)数形结合法：利用数与形的结合,挖掘几何特征,进而求解．(3)函数法：探求函数模型,转化为函数的最值问题,借助函数的单调性、基本不等式等求解,注意椭圆的范围．已知椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0),左、右焦点分别是F 1,F 2,若椭圆C 上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32到F 1,F 2的距离和等于4.(1)写出椭圆C 的方程和焦点坐标；(2)直线l 过定点M(0,2),且与椭圆C 交于不同的两点A,B,若∠AOB 为锐角(O 为坐标原点),求直线l 的斜率k 的取值范围．解：(1)由题意得2a ＝4,得a ＝2, 又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上,∴14＋34b 2＝1,解得b 2＝1. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1,焦点F 1(－3,0),F 2(3,0)．(2)由题意得直线l 的斜率存在且不为0,设l ：y ＝kx ＋2,代入x 24＋y 2＝1,整理得(1＋4k 2)x 2＋16kx ＋12＝0,Δ＝(16k)2－4(1＋4k 2)·12＝16(4k 2－3)>0,得k 2>34.①设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),∴x 1＋x 2＝－16k 1＋4k 2,x 1x 2＝121＋4k 2.∵∠AOB 为锐角,∴cos ∠AOB>0, 则OA ―→·OB ―→＝x 1x 2＋y 1y 2>0, 又y 1y 2＝(kx 1＋2)·(kx 2＋2) ＝k 2x 1x 2＋2k(x 1＋x 2)＋4,∴x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋2k(x 1＋x 2)＋4 ＝(1＋k 2)·121＋4k 2＋2k·⎝ ⎛⎭⎪⎫－16k 1＋4k 2＋4 ＝44－k21＋4k 2>0, ∴k 2<4.② 由①②得34<k 2<4.解得－2<k<－32或32<k<2, ∴k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2.层级一 学业水平达标1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y24＝1的位置关系为( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定解析：选B 直线y ＝kx －k ＋1可变形为y －1＝k(x －1),故直线恒过定点(1,1),而该点在椭圆x 29＋y24＝1内部,所以直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y24＝1相交,故选B.2．过椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的焦点F(c,0)的弦中最短弦长是( )A.2b 2a B.2a 2bC.2c 2aD.2c 2b解析：选A 最短弦是过焦点F(c,0)且与焦点所在直线垂直的弦．将点(c,y)的坐标代入椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1,得y ＝±b 2a ,故最短弦长是2b2a.3．若直线kx －y ＋3＝0与椭圆x 216＋y24＝1有两个公共点,则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，54 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫54，－54 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－54∪⎝ ⎛⎭⎪⎫54，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－54∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，54 解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3，x 216＋y24＝1得(4k 2＋1)x 2＋24kx ＋20＝0,当Δ＝16(16k 2－5)>0,即k>54或k<－54时,直线与椭圆有两个公共点．故选C. 4．已知椭圆C ：y 29＋x 2＝1,过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12的直线与椭圆C 相交于A,B 两点,且弦AB 被点P 平分,则直线AB 的方程为( )A ．9x －y －4＝0B ．9x ＋y －5＝0C ．4x ＋2y －3＝0D ．4x －2y －1＝0解析：选B 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)． ∵点A,B 在椭圆上,∴y 219＋x 21＝1,① y 229＋x 22＝1.② ①－②,得y 1＋y 2y 1－y 29＋(x 1＋x 2)·(x 1－x 2)＝0.③∵P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12是线段AB 的中点, ∴x 1＋x 2＝1,y 1＋y 2＝1,代入③得y 1－y 2x 1－x 2＝－9,即直线AB 的斜率为－9.故直线AB 的方程为y －12＝－9⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12, 整理得9x ＋y －5＝0.5．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F,直线l ：x ＝2,点A ∈l,线段AF 交椭圆C 于点B,若FA ―→＝3FB ―→,则|AF ―→|＝( )A. 2 B ．2 C. 3D ．3解析：选A 设点A(2,n),B(x 0,y 0)． 由椭圆C ：x 22＋y 2＝1知a 2＝2,b 2＝1,∴c 2＝1,即c ＝1.∴右焦点F(1,0)． 由FA ―→＝3FB ―→得(1,n)＝3(x 0－1,y 0)． ∴1＝3(x 0－1)且n ＝3y 0. ∴x 0＝43,y 0＝13n.将x 0,y 0代入x 22＋y 2＝1,得12×⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 2＝1. 解得n 2＝1, ∴|AF ―→|＝2－12＋n 2＝1＋1＝ 2.6．已知斜率为2的直线l 经过椭圆x 25＋y24＝1的右焦点F 1,与椭圆交于A,B 两点,则|AB|＝________.解析：因为直线l 经过椭圆的右焦点F 1(1,0),且斜率为2,则直线l 的方程为y ＝2(x －1),即2x －y －2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，x 25＋y24＝1得3x 2－5x ＝0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1＋x 2＝53,x 1x 2＝0,所以|AB|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋22⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫532－4×0＝553. 答案：5537．已知F 1,F 2是椭圆的两个焦点,满足MF 1―→·MF 2―→＝0的点M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是________．解析：∵MF 1―→⊥MF 2―→,∴点M 在以F 1F 2为直径的圆上,又点M 在椭圆内部,∴c<b,∴c 2<b 2＝a 2－c 2,即2c 2<a 2,∴c 2a 2<12,即c a <22.又e>0,∴0<e<22. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 8．已知动点P(x,y)在椭圆x 225＋y 216＝1上,若A 点坐标为(3,0),|AM ―→|＝1,且PM ―→·AM ―→＝0,则|PM ―→|的最小值是________．解析：易知点A(3,0)是椭圆的右焦点．∵PM ―→·AM ―→＝0, ∴AM ―→⊥PM ―→.∴|PM ―→|2＝|AP ―→|2－|AM ―→|2＝|AP ―→|2－1,∵椭圆右顶点到右焦点A 的距离最小,故|AP ―→|min ＝2,∴|PM ―→|min ＝ 3. 答案： 39．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)过点(0,4),离心率为35.(1)求C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．解：(1)将(0,4)代入C 的方程得16b 2＝1,∴b ＝4.又e ＝c a ＝35,得a 2－b 2a 2＝925,即1－16a 2＝925,∴a ＝5,∴C 的方程为x 225＋y216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)．设直线与C 的交点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程,得x 225＋x －3225＝1,即x 2－3x －8＝0,解得x 1＋x 2＝3,∴AB 的中点坐标 x 0＝x 1＋x 22＝32,y 0＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65,即中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－65.10.如图,已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0),F 1,F 2分别为椭圆的左、右焦点,A 为椭圆的上顶点,直线AF 2交椭圆于另一点B.(1)若∠F 1AB ＝90°,求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2,且AF 2―→＝2F 2B ―→,求椭圆的方程．解：(1)若∠F 1AB ＝90°,则△AOF 2为等腰直角三角形．所以有|OA|＝|OF 2|,即b ＝c. 所以a ＝2c,e ＝c a ＝22.(2)由题知A(0,b),F 2(1,0),设B(x,y),由AF 2―→＝2F 2B ―→,解得x ＝32,y ＝－b 2.代入x 2a 2＋y 2b 2＝1,得94a 2＋b24b 2＝1,即94a 2＋14＝1,解得a 2＝3,b 2＝2,所以椭圆方程为x 23＋y22＝1.层级二 应试能力达标1．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆x 29＋y24＝1的交点个数为( )A ．2B ．1C ．0D ．0或1解析：选A 由题意,得4m 2＋n 2 >2,所以m 2＋n 2<4,则－2<m<2,－2<n<2,所以点P(m,n)在椭圆x 29＋y24＝1内,则过点P(m,n)的直线与椭圆x 29＋y24＝1有2个交点．故选A.2．椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M,N 两点,过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为22,则mn的值是( )A.22B.233C.922D.2327解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧mx 2＋ny 2＝1，y ＝1－x消去y 得,(m ＋n)x 2－2nx ＋n －1＝0.设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),MN 中点为(x 0,y 0), 则x 1＋x 2＝2n m ＋n ,∴x 0＝n m ＋n, 代入y ＝1－x 得y 0＝mm ＋n. 由题意y 0x 0＝22,∴m n ＝22,选A.3．若点(x,y)在椭圆4x 2＋y 2＝4上,则y x －2的最小值为( )A ．1B ．－1C ．－233D ．以上都不对解析：选C 设yx －2＝k,则y ＝k(x －2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝4，y ＝k x －2消去y,整理得(k 2＋4)x 2－4k 2x 2＋4(k 2－1)＝0, Δ＝16k 4－4×4(k 2－1)(k 2＋4)＝0, 解得k ＝±233,∴k min ＝－233.选C.4．已知椭圆E ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F 的直线交E 于A,B 两点．若AB 的中点坐标为(1,－1),则E 的方程为( )A.x 245＋y236＝1 B.x 236＋y227＝1 C.x 227＋y218＝1D.x 218＋y29＝1 解析：选D 因为直线AB 过点F(3,0)和点(1,－1), 所以直线AB 的方程为y ＝12(x －3),代入椭圆方程x 2a 2＋y2b 2＝1消去y,得⎝ ⎛⎭⎪⎫a24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0,所以AB 的中点的横坐标为32a 22⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24＋b 2＝1,即a 2＝2b 2,又a 2＝b 2＋c 2,所以b ＝c ＝3. 所以E 的方程为x 218＋y29＝1.5．过点M(1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)相交于A,B 两点,若M 是线段AB 的中点,则椭圆C 的离心率等于________．解析：设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),分别代入椭圆方程相减得x 1－x 2x 1＋x 2a2＋y 1－y 2y 1＋y 2b2＝0,根据题意有x 1＋x 2＝2×1＝2,y 1＋y 2＝2×1＝2,且y 1－y 2x 1－x 2＝－12,所以2a 2＋2b 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0,得a 2＝2b 2,所以a 2＝2(a 2－c 2),整理得a 2＝2c 2,所以c a ＝22,即e ＝22.答案：226．在离心率为32的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)上任取一点M,过M 作MN 垂直y 轴于点N,若MP ―→＝12MN ―→,点P 的轨迹图形的面积为π,则a 的值为________．解析：设P(x,y),M(x 0,y 0),则N(0,y 0), 由条件MP ―→＝12MN ―→可知点P 是线段MN 的中点,故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x 0，y ＝y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝y ，由离心率为c a ＝32,可得4c 2＝3a 2,即4a 2－4b 2＝3a 2,故a ＝2b. 故椭圆方程为x 24b 2＋y2b 2＝1,把点M(x 0,y 0)代入可得2x24b2＋y2b2＝1, 即x 2＋y 2＝b 2,表示半径为b 的圆,面积为πb 2＝π. 故b ＝1,a ＝2b ＝2.答案：27．在平面直角坐标系xOy 中,点P 到两点(0,－3),(0,3)的距离之和等于4,设点P 的轨迹为C. (1)求C 的方程；(2)设直线y ＝kx ＋1与C 交于A,B 两点,k 为何值时OA ―→⊥OB ―→？此时|AB|的值是多少．解：(1)设P(x,y),由椭圆的定义知,点P 的轨迹C 是以(0,－3),(0,3)为焦点,长半轴长为2的椭圆,它的短半轴长b ＝22－32＝1.故曲线C 的方程为y 24＋x 2＝1.(2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＋4x 2＝4.消去y,并整理,得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0. 由根与系数的关系得 x 1＋x 2＝－2k k 2＋4,x 1x 2＝－3k 2＋4. 若OA ―→⊥OB ―→,则x 1x 2＋y 1y 2＝0. 因为y 1y 2＝(kx 1＋1)(kx 2＋1) ＝k 2x 1x 2＋k(x 1＋x 2)＋1,所以x 1x 2＋y 1y 2＝－3k 2＋4－3k 2k 2＋4－2k2k 2＋4＋1＝－4k 2－1k 2＋4＝0,所以k ＝±12.当k ＝±12时,x 1＋x 2＝∓417,x 1x 2＝－1217.所以|AB|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝54×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫±4172＋4×1217＝46517.8．在直角坐标平面内,已知点A(2,0),B(－2,0),P 是平面内一动点,直线PA,PB 斜率之积为－34.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0作直线l 与轨迹C 交于E,F 两点,线段EF 的中点为M,求直线MA 的斜率k 的取值范围． 解：(1)设P 点的坐标为(x,y), 依题意,有y x －2·y x ＋2＝－34(x≠±2),化简并整理,得x 24＋y23＝1(x≠±2)．∴动点P 的轨迹C 的方程是x 24＋y23＝1(x≠±2)．(2)依题意,直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0且斜率不为零,故可设其方程为x ＝my ＋12,联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋12，x 24＋y23＝1消去x,并整理得4(3m 2＋4)y 2＋12my －45＝0,∴Δ>0恒成立． 设E(x 1,y 1),F(x 2,y 2),M(x 0,y 0), 则y 1＋y 2＝－3m 3m 2＋4,∴y 0＝y 1＋y 22＝－3m23m 2＋4, ∴x 0＝my 0＋12＝23m 2＋4,∴k ＝y 0x 0－2＝m4m 2＋4.①当m ＝0时,k ＝0； ②当m≠0时,k ＝14m ＋4m.∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪4m ＋4m ＝4|m|＋4|m|≥8,∴0<1⎪⎪⎪⎪⎪⎪4m ＋4m ≤18,∴0<|k|≤18,∴－18≤k≤18且k≠0. 综合①②可知直线MA 的斜率k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，18.。
2.2.2椭圆的简单几何性质习题课
θ
θ
2
2
cos
θ
2 cos
θ
2
2 = b 2 tan θ 2
x y 3、已知点 P 是椭圆 + = 1上的一点， 9 7 焦点分别是 F 1、 F 2，且 ∠ PF 1 F 2 = 45 ο , 则 ∆ PF 1 F 2的面积为 _____ 。
2
2
法一： 设PF1 = x, 则PF2 = 6 − x. 在∆PF1 F2中，由余弦定理可以 7 1 求出x = ，然后用 S = ab sin C 2 2 求出三角形的面积。
推广： 推广：
设 PF 1 = x , PF 2 = y , x 2 + y 2 − 2 xy cos θ = 4 c 2 ; 则 x + y = 2a; ∴ ( x + y ) 2 − 2 xy − 2 xy cos θ = 4 c 2 2b 2 ∴ xy = cos θ + 1 1 b 2 sin θ ∴ S = xy sin θ = 2 cos θ + 1 = b 2 sin
三、求椭圆的离心率
如图所示， 和上顶点， F1 为椭圆的左焦点， P 为椭圆上的点， ) 时， A 、 B 分别为椭圆的右顶点 当 PF 1 ⊥ F1 A ， PO // AB ( O 为椭圆中心 求椭圆的离心率。
解： ∵ A ( a , 0 ), B ( o , b ) b ∴ k AB = − a b 2 ∵ P (− c, )∴ k a 又 ∵ k AB = k OP b b ∴ − = − a ac ∴ b = c c ∴ e = = a
设出椭圆上 P 点的坐标， 写出两个向量的坐标， 运算数量积，运用二次 函数 的有关知识求最值。
椭圆定义及标准方程习题课第二节
A
B
o
C
x
例2.已知椭圆两焦点坐标分别是(0,-2)， (0,2)，并且经过点（-3/2，5/2），求椭 圆的标准方程。
y
o
x x
【合作探究】
求经过两点P1（1/3，1/3），P2（0，-1/2） 的椭圆的标准方程。
卫星运动轨迹
复习： 1.椭圆的定义:
到两定点F1、F2的距离和为常数（大于|F1F2 |）的点 的轨迹叫做椭圆。 | PF | | PF | 2a (2a | F F |)
1 2 1 2
2.椭圆的标准方程是：
3.椭圆中a,b,c的关系是:
2=b2+c2 a
当堂检测：
x2 y2 (1)已知椭圆的方程为： 1，则 25 16 5 4 a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标 3 为：____________焦距等于______;若CD为过 6 (3,0)、(-3,0) 左焦点F1的弦，则△F2CD的周长为________ 20y源自CF1 D0
x
F2
椭圆定义及标准方程
——习题课
例1.已知B，C是两个定点，|BC|=10， 且三角形ABC的周长等于22.求顶点A 满足的一个轨迹方程。
y
解：如图以BC所在的直线为x轴， 以BC的中垂线为y轴，建立直角坐 标系。 由题意知|AB|+|AC|+|BC|=18， |BC|=8，得 |AB|+|AC|=10 由定义知点A的轨迹是一个椭圆， 且 2c=8, 2a=10 即 c=4， a=5 所以
2-1椭圆习题及详解
1．过椭圆x 24＋y 23＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为( B )A ．8,6B ．4,3C ．2，3D ．4,2 32.椭圆x 216＋y 27＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为( B )A ．32B ．16C ．8D ．43. (11·岳阳月考)椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( C )A ．－21B ．21C ．－1925或21 D.1925或214．(12·新课标，4)设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( ) A.12 B.23 C.34 D.45[答案] C [解析] 设直线x ＝3a2与x 轴交于点M ，则由条件知，∠F 2F 1P ＝∠F 2PF 1＝30°，∴∠PF 2M ＝60°， 在Rt △PF 2M 中，PF 2＝F 1F 2＝2c ，F 2M ＝3a 2－c ，故cos60°＝F 2M PF 2＝32a －c2c ＝12，解得c a ＝34，故离心率e ＝34.5.(11·石家庄一模)已知椭圆x 216＋y 225＝1的焦点分别是F 1，F 2，P 是椭圆上一点，若连接F 1，F 2，P 三点恰好能构成直角三角形，则点P 到y 轴的距离是( ) A.165 B ．3 C.163 D.253[答案] A [解析] F 1(0，－3)，F 2(0,3)，∵3<4，∴∠F 1F 2P ＝90°或∠F 2F 1P ＝90°.设P (x,3)， 代入椭圆方程得x ＝±165.即点P 到y 轴的距离是165.6.(11·长沙模拟)已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，且它的长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( )A.x 24＋y 23＝1B.x 216＋y 212＝1C.x 24＋y 2＝1D.x 216＋y 24＝1 [析] 由x 2＋y 2－2x －15＝0得r ＝4，∴2a ＝4，∴a ＝2，∵e ＝c a ＝12，∴c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3.故选A.7．已知m 、n 、m ＋n 成等差数列，m 、n 、mn 成等比数列，则椭圆x 2m ＋y 2n＝1的离心率为( )A.12B.33C.22D.32[解析] 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 2n ＝m ＋m ＋n ，n 2＝m 2n .解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝4.∴e ＝n －m n ＝22，故选C. 8．在△ABC 中，BC ＝24，AB ＋AC ＝26，则△ABC 面积的最大值为( )A ．24B ．65C ．60D ．30[解析] ∵AB ＋AC >BC ，∴A 点在以B 、C 为焦点的椭圆上，因此当A 为短轴端点时，△ABC 面积取最大值S max ＝12BC ×5＝60，∴选C.9．如图F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以|OF 1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则椭圆的离心率为( )A.32 B.12 C.22D.3－1 [答案] D [解析] 连接AF 1，由圆的性质知，∠F 1AF 2＝90°，又∵△F 2AB 是等边三角形， ∴∠AF 2F 1＝30°，∴AF 1＝c ，AF 2＝3c ，∴e ＝c a ＝2c 2a ＝2c c ＋3c＝3－1.故选D.10．将椭圆C 1∶2x 2＋y 2＝4上的每一点的纵坐标变为原来的一半，而横坐标不变，得一新椭圆C 2，则C 2与C 1有( ) A ．相等的短轴长 B ．相等的焦距 C ．相等的离心率 D ．相等的长轴长 [解析] 把C 1的方程化为标准方程，即C 1：x 22＋y 24＝1，从而得C 2：x 22＋y 2＝1.因此C 1的长轴在y 轴上，C 2的长轴在x 轴上．e 1＝22＝e 2，故离心率相等，选C. 11．椭圆ax 2＋by 2＋ab ＝0(a <b <0)的焦点坐标是( )A ．(±a －b ，0)B ．(±b －a ，0)C ．(0，±a －b )D ．(0，±b －a )[答案] D [解析] ax 2＋by 2＋ab ＝0可化为x 2－b ＋y 2－a＝1，∵a <b <0，∴－a >－b >0，∴焦点在y 轴上，c ＝－a ＋b＝b －a ，∴焦点坐标为(0，±b －a )．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (0，－2)和C (0,2)，顶点B 在椭圆y 212＋x 28＝1上，则sin A ＋sin C sin B 的值是( ) A. 3 B ．2 C ．2 3 D ．4[答案] A [解析] 由椭圆定义得|BA |＋|BC |＝43，又∵sin A ＋sin C sin B ＝|BC |＋|BA ||AC |＝434＝3，故选A.13.(11·唐山二模)P 为椭圆x 24＋y 23＝1上一点，F 1、F 2为该椭圆的两个焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则PF 1→·PF 2→等于( )A ．3 B. 3 C ．2 3 D ．2[答案] D [解析] 由题意可得|F 1F 2|＝2，|PF 1|＋|PF 2|＝4，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos60°＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1||PF 2|，所以4＝42－3|PF 1||PF 2|，|PF 1||PF 2|＝4，PF 1→·PF 2→＝|PF 1→||PF 2→|·cos60°＝4×12＝2，14．若直线mx ＋ny ＝4和圆x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至多一个B ．2个C ．1个D ．0个 [答案] B [解析] ∵直线与圆无交点，∴4m 2＋n2>2，∴m 2＋n 2<4，∴点(m ，n )在圆内，又圆在椭圆内，∴点(m ，n )在椭圆内，故过点(m ，n )的直线与椭圆有两个交点．15．(12·沈阳二模)已知F 1、F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点，点P 为椭圆C 上的动点，则△PF 1F 2的重心G 的轨迹方程为( )A.x 236＋y 227＝1(y ≠0)B.4x 29＋y 2＝1(y ≠0)C.9x 24＋3y 2＝1(y ≠0) D ．x 2＋4y 23＝1(y ≠0) [答案] C [解析] 椭圆C ：x 24＋y 23＝1中，a 2＝4，b 2＝3，∴c 2＝a 2－b 2＝1，∴焦点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设G (x ，y )，P (x 1，y 1)，则⎩⎨⎧x ＝－1＋1＋x 13y ＝y13，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3x y 1＝3y ，∵P 在椭圆C 上，∴(3x )24＋(3y )23＝1，∴9x 24＋3y 2＝1.当y ＝0时，点G 在x 轴上，三点P 、F 1、F 2构不成三角形，∴y ≠0，∴点G 的轨迹方程为9x 24＋3y 2＝1.(y ≠0)．16．(12·商丘二模)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，M ，N 是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上任意一点，且直线PM 、PN 的斜率分别为k 1，k 2(k 1k 2≠0)，若|k 1|＋|k 2|的最小值为1，则椭圆的离心率为( )A.12B.22C.32D.33[答案] C [解析] M (－a,0)，N (a,0)，设P (x 0，y 0)，则k 1＝y 0x 0＋a ，k 2＝y 0x 0－a ，∴k 1k 2＝y 20x 20－a2，由P 在椭圆上知，x 20a 2＋y 20b 2＝1，∴a 2y 20b 2＝a 2－x 20，∴k 1k 2＝－b 2a 2，|k 1k 2|＝b 2a 2为定值，∴|k 1|＋|k 2|≥2|k 1k 2|＝2b a ，∴2b a＝1，∴a ＝2b ， ∴a 2＝4b 2＝4(a 2－c 2)，∴e 2＝34，∴e ＝32.18．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0，12]C ．(0，22)D ．[22，1)[解析] 依题意得，c <b ，即c 2<b 2，∴c 2<a 2－c 2,2c 2<a 2，故离心率e ＝c a <22，又0<e <1，∴0<e <22，故选C.19．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8[答案] C [解析] 由题意可知O (0,0)，F (－1,0)，设点P 为(x ，y )，则OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋1，y )，∴OP →·FP →＝x (x ＋1)＋y 2＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3－34x 2＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2.∵x ∈[－2,2]，∴当x ＝2时，OP →·FP→取最大值．(OP →·FP →)max ＝14(2＋2)2＋2＝6，故选C.20．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)( )A ．必在圆x 2＋y 2＝2上B ．必在圆x 2＋y 2＝2外C ．必在圆x 2＋y 2＝2内D ．以上三种情形都有可能[解析] e ＝12⇒c a ＝12⇒c ＝a 2，a 2－b 2a 2＝14⇒b 2a 2＝34⇒b a ＝32⇒b ＝32a .∴ax 2＋bx －c ＝0⇒ax 2＋32ax －a 2＝0⇒x 2＋32x－12＝0，x 1＋x 2＝－32，x 1x 2＝－12，∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝34＋1＝74<2.∴在圆x 2＋y 2＝2内，故选C. 21．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若椭圆上存在点P 使a sin ∠PF 1F 2＝c sin ∠PF 2F 1成立，则该椭圆的离心率的取值范围为________．[答案] (2－1,1)[解析] 由正弦定理及a sin ∠PF 1F 2＝c sin ∠PF 2F 1，得c a ＝sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝|PF 1||PF 2|.在△PF 1F 2中，设|PF 2|＝x ，则|PF 1|＝2a －x . 则上式为c a ＝2a －x x ，即cx ＋ax ＝2a 2，x ＝2a 2a ＋c.又a －c <x <a ＋c ，所以a －c <2a 2a ＋c <a ＋c .由a －c <2a 2a ＋c ，得a 2>－c 2，显然恒成立．由2a 2a ＋c <a ＋c ，得a 2<2ac ＋c 2，c 2＋2ac －a 2>0，即e 2＋2e －1>0，解得e >－1＋2或e <－1－2(舍)．又0<e <1，所以e 的取值范围为(2－1,1)． 22．F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2＝______.[解析] 由题意S △POF 2＝34c 2＝3，∴c ＝2，∴a 2＝b 2＋4.∴点P 坐标为(1，3)，把x ＝1，y ＝3代入椭圆方程x 2b 2＋4＋y 2b 2＝1中得，1b 2＋4＋3b 2＝1，解得b 2＝2 3.23．已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e ≤32.则长轴长的取值范围为________． [答案] (2,4][解析] ∵b ＝1，∴c 2＝a 2－1，又c 2a 2＝a 2－1a 2＝1－1a 2≤34，∴1a 2≥14，∴a 2≤4，又∵a 2－1>0，∴a 2>1，∴1<a ≤2，故长轴长2<2a ≤4.24．如图，把椭圆x 225＋y 216＝1的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1、P 2、…、P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 7F |＝________. [答案] 35[解析] 设椭圆右焦点为F ′，由椭圆的对称性知，|P 1F |＝|P 7F ′|， |P 2F |＝|P 6F ′|，|P 3F |＝|P 5F ′|，∴原式＝(|P 7F |＋|P 7F ′|)＋(|P 6F |＋|P 6F ′|)＋ (|P 5F |＋|P 5F ′|)＋12(|P 4F |＋|P 4F ′|)＝7a ＝35.25.已知1m ＋2n ＝1(m >0，n >0)，则当mn 取得最小值时，椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1的离心率是________．[解析] ∵m >0，n >0∴1＝1m ＋2n≥22mn ，∴mn ≥8，当且仅当1m ＝2n，即n ＝2m 时等号成立， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2m ，mn ＝8，解得m ＝2，n ＝4.即当m ＝2，n ＝4时，mn 取得最小值8，∴离心率e ＝n 2－m 2n ＝32.26．(11·长沙一中)直线l ：x －y ＝0与椭圆x 22＋y 2＝1相交A 、B 两点，点C 是椭圆上的动点，则△ABC 面积的最大值为________．[解析] 设与l 平行的直线方程为x －y ＋a ＝0，当此直线与椭圆的切点为C 时，△ABC 的面积最大，将y ＝x ＋a 代入x 22＋y 2＝1中整理得，3x 2＋4ax ＋2(a 2－1)＝0，由Δ＝16a 2－24(a 2－1)＝0得，a ＝±3，两平行直线x －y ＝0与x －y ＋3＝0的距离d ＝62，将y ＝x 代入x 22＋y 2＝1中得，x 1＝－63，x 2＝63，∴|AB |＝1＋1|63－(－63)|＝433，∴S △ABC ＝12|AB |·d ＝12×433×62＝ 2. 27．已知实数k 使函数y ＝cos kx 的周期不小于2，则方程x 23＋y 2k＝1表示椭圆的概率为________．[答案] 12[解析] 由条件2π|k |≥2，∴－π≤k ≤π，当0<k ≤π且k ≠3时，方程x 23＋y 2k ＝1表示椭圆，∴概率P ＝12.28．(11·江西理，14)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点(1，12)作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．[解析] 点⎝⎛⎭⎫1，12在圆外，过点(1，12)与圆相切的一条直线方程为x ＝1，一个切点为(1,0)，设另一条切线的方程为y ＝m (x －1)＋12，由|－m ＋12|1＋m 2＝1得m ＝－34，故另一条切线的方程为y ＝－34x ＋54代入圆的方程联立解得切点为⎝⎛⎭⎫35，45，则直线AB 的方程为y ＝－2x ＋2，故椭圆的上顶点坐标为(0,2)．因此c ＝1，b ＝2，a ＝5，所求椭圆方程为x 25＋y 24＝1.29．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点作圆x 2＋y 2＝b 2的两条切线，切点分别为A ，B ，若∠AOB ＝90°(O为坐标原点)，则椭圆C 的离心率为________．[答案] 22[解析] 因为∠AOB ＝90°，所以∠AOF ＝45°，所以b a ＝22，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝12，即e ＝22.30．已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，一个长轴端点为(0,2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且AP →＝2PB →. (1)求椭圆方程；(2)求m 的取值范围． [解析] (1)由题意知椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，由题意知a ＝2，b ＝c ，又a 2＝b 2＋c 2，则b ＝2，所以椭圆方程为y 24＋x 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意，直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立即⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋2x 2＝4y ＝kx ＋m ，消去y 得，(2＋k 2)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0，Δ＝(2mk )2－4(2＋k 2)(m 2－4)>0由韦达定理知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2mk 2＋k 2，x 1·x 2＝m 2－42＋k2.又AP →＝2PB →，即有(－x 1，m －y 1)＝2(x 2，y 2－m )，∴－x 1＝2x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－x 2，x 1x 2＝－2x 22，∴m 2－42＋k 2＝－2⎝⎛⎭⎫2mk 2＋k 22，整理得(9m 2－4)k 2＝8－2m 2，又9m 2－4＝0时不成立，所以k 2＝8－2m 29m 2－4>0，得49<m 2<4，此时Δ>0，所以m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－2，－23∪⎝⎛⎭⎫23，2. 31．已知椭圆的中心在原点，它在x 轴上的一个焦点F 与短轴的两个端点B 1，B 2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A 的距离为10－5，求这个椭圆的方程．[解析] 由于椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，可设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆的对称性知，|B 1F |＝|B 2F |，又B 1F ⊥B 2F ，因此△B 1FB 2为等腰直角三角形，于是|OB 2|＝|OF |，即b ＝c .又|F A |＝10－5即a －c ＝10－5，且a 2＋b 2＝c 2.将以上三式联立，得方程组，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c a －c ＝10－5a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝10b ＝5.所求椭圆方程是x 210＋y 25＝1.32.椭圆E 经过点A (2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝12.(1)求椭圆E 的方程；(2)求∠F 1AF 2的角平分线所在直线的方程．解析 (1)由题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵e ＝12，即c a ＝12，∴a ＝2c ，又b 2＝a 2－c 2＝3c 2，∴椭圆方程为x 24c 2＋y 23c 2＝1.又∵椭圆过点A (2,3)，∴44c 2＋93c 2＝1，解得c 2＝4，∴椭圆方程为x 216＋y 212＝1. (2)法一：由(1)知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴直线AF 1的方程y ＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0，直线AF 2的方程为x ＝2.设P (x ，y )为角平分线上任意一点，则点P 到两直线的距离相等．即|3x －4y ＋6|5＝|x －2|，∴3x －4y ＋6＝5(x －2)或3x －4y ＋6＝5(2－x )，即x ＋2y －8＝0或2x －y －1＝0.由图形知，角平分线的斜率为正数，故所求∠F 1AF 2的平分线所在直线方程为2x －y －1＝0.法二：设AM 平分∠F 1AF 2，则直线AF 1与直线AF 2关于直线AM 对称．由题意知直线AM 的斜率存在且不为0，设为k . 则直线AM 方程y －3＝k (x －2)．由(1)知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴直线AF 1方程为y ＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0.设点F 2(2,0)关于直线AM 的对称点F 2′(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧y 0x 0－2＝－1k ，y2－3＝k (x 0＋22－2)，解之得F 2′(－6k ＋2k 2＋21＋k 2，61＋k 2)．∵直线AF 1与直线AF 2关于直线AM 对称，∴点F 2′在直线AF 1上．即3×－6k ＋2k 2＋21＋k 2－4×61＋k 2＋6＝0.解得k ＝－12或k ＝2.由图形知，角平分线所在直线方程斜率为正，∴k ＝－12(舍去)．故∠F 1AF 2的角平分线所在直线方程为2x －y －1＝0.法三：∵A (2,3)，F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴AF 1→＝(－4，－3)，AF 2→＝(0，－3)，∴AF 1→|AF 1→|＋AF 2→|AF 2→|＝15(－4，－3)＋13(0，－3)＝－45(1,2)，∴k l ＝2，∴l ：y －3＝2(x －2)，即2x －y －1＝0.33．(12·新疆模拟)已知椭圆G 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，它与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴正半轴交于C 点，点D (0,4)，若AC →·BC →＝－3，|BD →|＝2 5.(1)求椭圆G 的方程； (2)过点D 的直线l 交椭圆G 于M ，N 两点，若∠NMO ＝90°，求|MN |的长． [解析] (1)∵A (－a,0)、B (a,0)、D (0,4)、C (0，b )，AC →·BC →＝－3，|BD →|＝25，∴⎩⎨⎧(a ，b )·(－a ，b )＝－3a 2＋42＝25，∴a 2＝4，b 2＝1，∴椭圆G 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (x 1，y 1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋4y 21＝4，y 1－4x 1·y 1x 1＝－1.⇒x 1＝±253，y 1＝23，∴直线l 的斜率k ＝±5则直线l 的方程为y ＝±5x ＋4，由⎩⎨⎧y ＝±5x ＋4x 2＋4y 2＝4⇒21x 2±325x ＋60＝0，∴x 1＋x 2＝±32521，x 1x 2＝6021. ∴|MN |＝1＋k2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝43021. 34．(2013·安徽理，18)设椭圆E ：x 2a 2＋y 21－a 2＝1的焦点在x 轴上．(1)若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；(2)设F 1、F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线F 2P 交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q ，证明：当a 变化时，点P 在某条定直线上．[解析] (1)因为焦距为1，所以2a 2－1＝14，解得a 2＝58.故椭圆E 的方程为8x 25＋8y 23＝1.(2)设P (x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝2a 2－1.由题设知x 0≠c ，则直线F 1P 的斜率k F 1P ＝y 0x 0＋c.直线F 2P 的斜率k F 2P ＝y 0x 0－c .故直线F 2P 的方程为y ＝y 0x 0－c (x －c )．当x ＝0时，y ＝cy 0c －x 0，即点Q 坐标为(0，cy 0c －x 0)． 因此，直线F 1Q 的斜率为k F 1Q ＝y 0c －x 0.由于F 1P ⊥F 1Q ，所以k F 1P ·k F 1Q ＝y 0x 0＋c ·y 0c －x 0＝－1.化简得y 20＝x 20(2a 2－1)．① 将①代入椭圆E 的方程，由于点P (x 0，y 0)在第一象限，解得x 0＝a 2，y 0＝1－a 2，即点P 在定直线x ＋y ＝1上. 35．中心在原点O ，焦点在坐标轴上的椭圆与直线x ＋y ＝1交于A 、B 两点，M 为AB 的中点，直线OM 的斜率为22，且OA ⊥OB ，求椭圆的方程． [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2), M (x 1＋x 22，y 1＋y 22)．椭圆方程为ax 2＋by 2＝1(a >0、b >0，a ≠b )由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，ax 2＋by 2＝1.消去y 得，∴(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0.∴x 1＋x 22＝b a ＋b ，y 1＋y 22＝1－x 1＋x 22＝a a ＋b .∴M (b a ＋b ，a a ＋b )，∵k OM ＝22，∴b ＝2a .①∵OA ⊥OB ，∴y 1x 1·y 2x 2＝－1，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.∵x 1x 2＝b －1a ＋b ，y 1y 2＝(1－x 1)(1－x 2)＝1－(x 1＋x 2)＋x 1x 2＝1－2b a ＋b ＋b －1a ＋b ＝a －1a ＋b .∴b －1a ＋b ＋a －1a ＋b＝0，∴a ＋b ＝2.②由①②得a ＝2(2－1)，b ＝2(2－2)．∴所求方程为2(2－1)x 2＋2(2－2)y 2＝1.36．设F 1、F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，设过定点M (0,2)的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角(其中O 为坐标原点)，求直线l 的斜率k 的取值范围．[解析] 显然直线x ＝0不满足题设条件，可设直线l y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 24＋y 2＝1.消去y 整理得，(k 2＋14)x 2＋4kx ＋3＝0.∴x 1＋x 2＝－4k k 2＋14，x 1x 2＝3k 2＋14. 由Δ＝(4k )2－4(k 2＋14)×3＝4k 2－3>0，得k >32或k <－32.① 又0°<∠AOB <90°⇔cos ∠AOB >0⇔OA →·OB →>0.∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2>0. 又y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝3k 2k 2＋14＋－8k2k 2＋14＋4＝－k 2＋1k 2＋14，∴3k 2＋14＋－k 2＋1k 2＋14>0，即k 2<4，∴－2<k <2.② 故由①②得－2<k <－32或32<k <2.。
椭圆习题课
y
P M
x y 4 2 2 2 所以 x 4 y 4 即 x y 2 1 4
因为 这就是点M的轨迹方程，它表示一个椭圆。
'2
'2
o D
x
相关点分析法:即利用中间变量求曲线方程.
例 4:如图,设点 A、 B 的坐标分别为(5, 0), (5, 0) , 直线 AM，BM 相交于点 M，且它们的斜率之积是 4 ，求点 M 的轨迹方程. 9 分析:把题目条件直接用 x 、 y 表示出来 , x 、 y 之间的 关系式就显示出来了.
这种求轨迹的方法──直译法
x2 y 2 例5：已知 F1、F2 是椭圆 1 的两个焦点， 100 64 P是椭圆上任一点。 （1）若 F1 PF2 , 求 F1 PF2 的面积。
（2）求 | PF1 | | PF2 |的最大值。
3Hale Waihona Puke ∵ AB AC BC 16 , ∴ BA CA 10 .
x2 y2 ∴由椭圆定义及标准方程知识可知 1 25 16 又∵A、B、C 三点不共线，∴ y 0 .
x2 y2 ∴所求的点的轨迹方程为 1( y 0) 25 16
思维挑战题: 已知圆 B: ( x 1)2 y 2 16 及点 A(1, 0) ,C 为 圆 B 上任一点,求 AC 的垂直平分线与线段 BC 的交 2 2 点 P 的轨迹方程. x y
例 1⑵求经过点 ( 2, 3) 且与椭圆 9 x 2 4 y 2 36 有共 同的焦点的椭圆的标准方程.
解: ⑵∵椭圆 9x2+4y2=36 的焦点为（0，± 5 ） ， x2 y2 则可设所求椭圆方程为： =1(m＞0) m m5 4 9 1 将 x=2, y=3 代入上式得： m m5 解得：m=10 或 m=-2（舍去） x2 y2 ∴所求椭圆的方程为： =1. 10 15
人教A版高中同步学考数学选修2精品课件 第二章 习题课——椭圆的综合问题及应用
由椭圆的对称性,知直线AB的斜率存在,
设直线AB的方程为y-1=k(x-2).将其代入椭圆方程并整理,
得(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两根,
2
8(2 -)
于是 x1+x2=
义得出轨迹为椭圆,进而求出轨迹方程.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
当堂检测
解由条件,两圆半径分别是 3 和 13,
设 P(x,y),动圆半径为 r,
|1 | = 3 + ,
则有
|2 | = 13-,
消去 r,得|PC1|+|PC2|=16,
即点 P 到两定点 C1,C2 的距离之和为定值 16.
习题课——椭圆的综合问题及应用
-1-
课标阐释
思维脉络
1.掌握利用椭圆定义及其他知
识解决椭圆中焦点三角形问题
的基本方法.
椭圆的综合问题及应用
2.掌握与椭圆有关的简单的动
焦点三角形问题
点轨迹问题的求解方法.
轨迹问题
3.理解直线与椭圆的位置关系,
并会用方程的思想研究它们之
直线与椭圆位置关系
间的位置关系.
即|PF2|2=|PF1|2+4.
又由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2×2=4,
所以|PF2|=4-|PF1|.
从而有(4-|PF1|)2=|PF1|2+4.
3
解得|PF1|=2.
1
2
1
2
3
2
3
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x1＋ x2 2－ 4x1x2 .
5
探究展示
x2 y2 问题：若点 O和F点 分 别 为 椭 圆 1的 中 心 和 4 3 左焦点，点 P为 椭 圆 上 的 任 意 一 点 求 ，OP FP的 最 大值。
焦点在 x a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
轴对称，中心对称 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a,) B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长 离心率
长轴长 A 1A 2＝ 2a , 短轴长 B1B 2＝ 2b
2.2.9 椭圆习题课
【学习目标】 1．掌握椭圆的定义及标准方程； 2．掌握椭圆的简单几何性质，并能简单运用； 3．掌握直线与椭圆的位置关系，并能处理相关的问题。
复习回顾
焦点位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上
M
图形
M
定义式 标准 方程 焦点 焦距 a,b,c 关系
|MF1|＋|MF2|＝2a (2a>|F1F2|)
y
P
F
o
x
精讲点拨
例 1. 如图所示，F1、F2 分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上 点 M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴 2 长的 ，求椭圆的离心率． 3
x2 y2 变式练习．已知 P 是以 F1，F2 为焦点的椭圆 2＋ 2＝ 1(a>b>0)上 a b 1 一点 ,且 PF1⊥PF2， tan∠ PF1F2＝ ，则该椭圆的离心率为( 2 1 A. 2 2 B. 3 1 C. 3 5 D. 3
c e＝ a
(0<e<1)
4
1．直线与椭圆的三种位置关系是： ____________________. 相交、相切、相离 y＝ kx＋ b， 2．联立直线与椭圆方程得到方程组 f x，y ＝0， 消元得:
Ax2＋ Bx＋ C＝ 0,由其判别式可判断直线与椭圆的位置关系：
相交 (1)当Δ>0 时，直线与椭圆 ________ ． 相切 (2)当Δ＝ 0 时直线与椭圆 ________ ． 相离 (3)当Δ<0 时，直线与椭圆 ________ ．
D
)
解析：由题意，得|PF1|＝2|PF2|，又|PF1|＋|PF2|＝2a，解得 4 2 20 2 2 2 2 |PF1|＝3a，|PF2|＝3a，又|PF1| ＋|PF2| ＝4c ，所以 9 a ＝4c2， 5 则 e＝ 3 .
8
例 2.椭圆 ax2＋by2＝ 1 与直线 x＋y －1＝0 相交于 A,B 两点，C 是 2 AB 的中点，若|AB|＝2 2，OC 的斜率为 ，求椭圆的方程． 2
x 2 y2 ＋ ＝1 (a>b>0) a2 b2
y2 x2 ＋ 2＝1 (a>b>0) 2 a b
F1(-c,0), F2(c,0) 2c
F1(0，-c), F2(0,c)
a2＝ b2＋c2
2
第二定义的定义式为:
y
M
d
a2 l x= c
|MF| =e (0<e<1) d
o
F(c,0) x
3
焦点位置
的直
线与椭圆交于 P、Q 两点，求 F2 PQ 的面积 . 3.已知椭圆中心在原点，一焦点为 (0，－ 3)，且离心率为 (1)求椭圆 C 的方程； (2)设直线 y＝kx＋ 1 与曲线 C 交于 A、 B 两点，是否存在常数 k 使
OA OB ？若存在，求 k 的值 .
12
3 2 .
1.设椭圆 C:
x2 y 2 3 ＋ ＝ 1 ( a > b >0) 过点 (0,4) ，离心率为 . a2 b2 5
(1)求 C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为4的直线被 C 所截线段的中点坐标．
5
2.已知 F1 , F2 分别是椭圆
x2 y 2 1 的左右焦点，过 F1 作倾斜角为 4 2
9
达标检测
分别求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)与椭圆 4x2＋9y2＝ 36 共焦点，且过点 (3，－ 2)的椭圆． (2)在 x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直， 且焦距为 6 的椭圆.
归纳延伸
1．通过椭圆方程可讨论椭圆的简单几何性质；反之，由椭圆的性质 也可以通过待定系数法求椭圆的方程 ; 2 ．椭圆的离心率反映了椭圆的扁平程度，离心率从关于 a 、b 、c 的一个方程即可求得 ; 3.直线与椭圆的位置关系，可考虑由直线方程和椭圆方程得到一元 二次方程，利用“Δ ”进行判定，求弦长时可考虑“设而不求”利 用韦达定理整体代入思想． 4.利用“点差法”可以求解“中点弦”的问题。