同济大学_概率论与数理统计期中试卷
同济大学2016-2017 学年第一学期《概率论与数理统计》期终考试试卷(A 卷)
课号：122011 课名：概率论与数理统计 考试考查：考查年级 专业 学号 姓名 任课教师 备用数据：975.0)96.1(,95.0)645.1(=Φ=Φ.()8413.01=Φ，()9772.02=Φ，.488.27)15(,262.6)15(,1315.2)15(,8413.0)1(2975.02025.0975.0====Φχχt.54.17)8(,18.2)8(,306.2)8(,95.0)645.1(,236.9)5(2975.02025.0975.0290.0====Φ=χχχt.8944.0)25.1(=Φ220.950.050.95(8) 1.8595,(8) 2.733,(8)15.507t χχ===220.9750.0250.975(8) 2.306,(8) 2.1797,(8)17.5345,(0.6)0.7257t χχ===Φ=7531.1)15(,95.0)645.1(,8944.0)25.1(95.0==Φ=Φt一、填空题(18分)1, 设821,,,X X X 是取自正态总体),1(2σN 的简单随机样本，X 是其样本 均值；4321,,,Y Y Y Y 是取自正态总体),2(2σN 的简单随机样本，Y 是其样本均值，假设样本821,,,X X X ，4321,,,Y Y Y Y 相互独立，则当非零常数c = 时，统计量X Y c 服从自由度为 的t 分布.2, 设654321,,,,,X X X X X X 是取自正态总体),1(2σN 的简单随机样本，S X ,分别为样本均值和样本标准差，则()=>1X P ，()=<<228472.1,1σS X P . 3, 设521,,,X X X 是取自正态总体),0(2σN 的简单随机样本，则当非零常数c = 时，统计量()25242321X X X X X c+++服从自由度为 的F 分布.4, 设12,,n X X X 是取自正态总体()2,σμN 的简单随机样本,()∑−=+−=1121n i i i X Xc T 是2σ的无偏估计,则常数c 的值为 ( )A. n 1 ;B. n 21 ;C. 11−n ; D. )1(21−n .5, 设521,,,X X X 是取自正态总体()2,0σN 的简单随机样本,()()2542321X X X X X cT +++=,其中c 为非零常数,则当=c 时,T 服从自由度为 的 分布.6, 设821821,,,,,,,Y Y Y X X X 是取自正态总体)1,(μN 的简单随机样本，811,8i i X X ==∑8118i i Y Y ==∑，则()=X D ，()=−Y X D ，()=>−5.0Y X P .7, 设521,,,X X X 是取自正态总体),0(2σN 的简单随机样本，则当非零常数c = 时，统计量 ()25242321XX X X X c+++服从自由度为 的t 分布.8, 设随机变量4321321,,,,,,Y Y Y Y X X X 相互独立且服从相同的分布，()21,0σN X 服从正态分布,记∑==4141i i Y Y , 统计量∑∑==−=412312)(i ii iY Y XcT , 其中c 为非零常数,则当=c 时,T 服从自由度为 的 分布.二、 简答题1、 设某商务网站一天内被访问的次数X 服从参数为λ的泊松分布，有人根据近三年该网站的日被访问次数的数据推算出610)(=X E .根据该网站和广告商的协议,该网站每被访问一次网站获利0.10元.假设该网站各天被访问的次数相互独立且服从相同的分布.问:以95%的概率测算该网站在未来的100天里至少可以获利多少元? (要求用中心极限定理解题) .2、 设某厂生产药品的对于治疗某种疾病的治愈率为0.8.现在临床上让患有这种疾病的100个病人服用这个厂生产的这种药品.求在这100个病人中至少有75人治愈的概率的近似值. (要求用中心极限定理解题) .3、 某检验员逐个地对产品进行检验，检验一个产品所需的时间X （单位：秒）是个随机变量，且31)20(,32)10(====X P X P .如果该检验员一天内有效的工作时间为6.7小时，试求该检验员在一天有效工作时间内能检验的产品数量不少于1800个的概率的近似值.（要求用中心极限定理解题）4、 某保险公司开办的一个险种有100万人投保，每人每年支付120元保险费，在一年内投保人意外死亡的概率为0.0006，投保人意外死亡时保险受益人可以向保险公司要求赔付10万元。
同济大学大一公共课概率论与数理统计考试试卷及答案2
同济大学20XX 年秋季学期《概率统计》期中试卷 卷面总分：100分 答题时间：120分钟 专业 1 姓名 学号一 选择题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）1.对于任意两事件A 与B ，若B B A =⋃，则（ ）A B a ⊂)( A B b ⊃)( φ=B A c )( 1)|()(=A B P d 2.设随机变量),0(~2σN X ,则( ))()22()(σσσσ<<-<<<-X P X P a )()22()(σσσσ<<-><<-X P X P b )()22()(σσσσ<<-=<<-X P X P c中哪个大和无法确定)()22()(σσσσ<<-<<-X P X P d 3.设X 和Y 相互独立,且)1,0(~N X ,)4,1(~N Y ,则有( )21)0()(=≤+Y X P a 21)1()(=≤+Y X P b 21)0()(=≤-Y X P c 21)1()(=≤-Y X P b4.下列关于数字特征的运算律,正确的是( ) )()()()(Y E X E XY E a = )()()(X aD aX D b = )()()()(Y D X D Y X D c ±=± )()()()(Y E X E Y X E c ±=±二 填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）1.设在一次试验中，事件A 出现的概率为3.0，则在三次独立试验中,事件A 至少出现1次的概率为 ；2.已知5.0)(=A P ,6.0)(=B P ,8.0)|(=A B P ,则)(B A P ⋃= ；3.设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则)1(>X P = ；4.设随机变量X 的方差为2，则根据切比雪夫不等式，有≤≥-)2|)((|X E X P ；三 解答题（本大题共7小题，共84分）1.(10分)设有两个实数,满足条件10<<X ，10<<Y ，求31>XY 的概率。
15-16(1)-a同济大学概率论期末
一、填空题(16分)1、(4分）设B A ,为两个随机事件，1)(0<<A P ,1)(0<<B P .若事件B A ,相互独立，则()=+B A P B A P )( ； 若事件A 是事件B 的对立事件，则()=+B A P B A P )( .2、（4分）设B A ,为两个随机事件，若4.0)(,3.0)(==B P A P ,()5.0=-B A P ，则 )(AB P = ， ()B A B P ⋃= .3、（8分）设21,X X 是取自正态总体),(2σμN 的简单随机样本，211X X Y +=，212X X Y -=，则协方差),(21Y Y Cov = ，已知),(21Y Y 服从二维正态分布，如果c 为非零常数，则当c = 时，21)2(Y Y c μ-服从自由度为 的 分布.二、（10分） 乒乓球在未使用前称为新球，使用后就称为旧球.在袋中有10个乒乓球,其中8个新球.第一次比赛时从袋中任取二球作为比赛用球,比赛后把球仍放回袋中,第二次比赛时再从袋中任取二球作为比赛用球.(1)求第二次比赛取出的球都是新球的概率;(2)如果已知第二次比赛取出的球都是新球,求第一次比赛时取出的球也都是新球的概率.三、(10分)设随机变量X ~)1,(μN ,Xe Y =.(1)求Y 的概率密度)(y f Y ; (2)求Y 的期望)(Y E 和方差)(Y D .四、（14分）设321,,X X X 相互独立且服从相同的分布，1X 服从参数为1的泊松分布)1(P .记⎩⎨⎧≠+=+=1,01,12121X X X X X ,⎩⎨⎧≠+=+=1,01,12323X X X X Y （1） 求),(Y X 的联合概率函数；（2）分别求X 和Y 的边缘概率函数;(3) 求概率)1(≤+Y X P .五、(16分)设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<+=其他且,05.05.0,1),(y x xy y x f (1) 分别求X 和Y 的边缘密度函数; (2)问: X 和Y 是否相互独立?请说明理由；(3) 求协方差),(22Y X Cov ; (4）求概率)5.0(≤+Y X P .六、(10分) 在一次集体登山活动中,假设每个人意外受伤的概率是1%,每个人是否意外受伤是相互独立的.（1）为保证没有人意外受伤的概率大于0.90,问:应当如何控制参加登山活动的人数?（2）如果有100人参加这次登山活动,求意外受伤的人数小于等于2人的概率的近似值.(要求用中心极限定理解题) .七、(10分) 以相同的仰角发射了9枚同型号的炮弹,测得其射程921,,,x x x ,并由此算出4372,19891912==∑∑==i i i i x x.假设炮弹的射程X 服从正态分布2(,)N μσ. 分别求μ和σ的置信水平0.95的双侧置信区间。
同济大学版概率论和数理统计修改版答案解析
概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第一章 随机事件及其概率（一）一．选择题1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ]（A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ]（A ）1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品}（B ）1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品}（C ）1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个}（D ）1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品}3．下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ]（A ）A AB - （B ）()A B B ⋃- （C ）A B （D ）A B4．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ⋃表示 [ C]（A ）二人都没射中 （B ）二人都射中（C ）二人没有都射着 （D ）至少一个射中5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D]（A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”；（C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销6．设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则AB 表示 [ A]（A ）{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x <<（C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞<<⋃≤<+∞7．在事件A ，B ，C 中，A 和B 至少有一个发生而C 不发生的事件可表示为 [ A]（A ）C A C B ； （B ）C AB ；（C ）C AB C B A BC A ； （D ）A B C .8、设随机事件,A B 满足()0P AB =，则 [ D ]（A ）,A B 互为对立事件 (B) ,A B 互不相容(C) AB 一定为不可能事件 (D) AB 不一定为不可能事件二、填空题1．若事件A ，B 满足AB φ=，则称A 与B 互不相容或互斥 。
概率论与数理统计试题期中考试-答案
概率论与数理统计课程期中考试考试时间：90分钟姓名：班级：学号：一、单项选择题（本大题共有5个小题，每小题4分，共20分）1,设..~(100,0.1)R V X B，1..~()2R V Yπ，且X和Y相互独立，令72+-=YXZ，则D(Z)=（D ）。
A:7 B:8 C:10 D:11 2,若P(A)=1/2,P(B|A)=1/3,则P(AB)=（ B ）A:1/2 B: 1/3 C: 5/6 D:1/63,设X的概率密度函数为30()xke xf x-⎧>=⎨⎩其它，则=k( C )A:1/3 B:1/9 C: 3 D: 94, 如果X,Y为两个随机变量，满足COV(X,Y)=0,下列命题中正确的是( A )。
A：X,Y不相关B：X,Y相互独立C：D(XY) =D(X)+D(Y) D：D(X-Y) =D(X)-D(Y)5，在8片药中有4片是安慰剂，从中任取3片，则取到2片是安慰剂的概率为（ B ）A：1/4 B ：3/7 C：1/2 D：6/7二、填空题（本大题共有6个小题，每空2分，共20分）4 A,B为两个随机事件，若P(A)=0.4，P(B)=0.6，P(B A)=0.2.则P(AB)= 0.4 ,P(AB)= 0.25 甲乙两人独立射击，击中目标的概率分别为0.8,0.7，现在两人同时射击同一目标，则目标被击中的概率为 0.946．若某产品平均数量为73，均方差为7，利用切比雪夫不等式估计数量在52~94之间的概率为 8/97.在8件产品中有2件次品。
从中随机抽取2次，每次抽取一件，做不放回抽取。
则两次都是正品的概率为 15/28 抽取的产品分别有一正品和一件次品的概率为 3/7 ，第二次取出的产品为次品的概率为 1/48若X~N(2,1)，Y~U[1,4]，X,Y互相独立，则E(X+2Y-XY+2)= 4 ，D(X-2Y+3)=49 设D(X)=D(Y)=2，0.3XY ρ=,则D(X-Y)= 2.8三、解答题（本大题共有3个小题，共32分）10（7分）病树主人外出，委托邻居浇水。
同济大学版概率论和数理统计修改版答案解析
（D） D1 {抽到的三个产品中有 2 个合格品} 3．下列事件与事件 A B 不等价的是
D2 {抽到的三个产品中有 2 个废品}
[ C]
（A） A AB
（B） ( A B) B
ห้องสมุดไป่ตู้
（C） A B
（D） A B
4．甲、乙两人进行射击，A、B 分别表示甲、乙射中目标，则 A B 表示
[ B]
（A） P(B) P(A)
（B） P(B) (A) P(AB)
（C） P( A B)
（D） P(B) P(AB)
4．A、B 为两事件，若 P( A B) 0.8 , P( A) 0.2, P(B) 0.4 ，则
[ B]
（A） P( A B) 0.32
（B） P( A B) 0.2
解： 9 /16 3P( A) 3P2( A) ( A, B,C两两独立，且ABC=)
P(A) 1/ 4 (3/ 4舍）
5．设 P( A) P(B) P(C) 1 ， P(AB) 0 , P( AC) P(BC) 1 ，则 A、B、C 全不发生的概
4
8
率为
1/2
5．设 A、B 为两个随机事件，且 0 P( A) 1, P(B) 0, P(B | A) P(B | A) ，则必有 [ C ]
（A） P( A | B) P( A | B)
（B） P( A | B) P( A | B)
（C） P(AB) P(A)P(B)
（D） P(AB) P(A)P(B)
。
P(ABC) 1 P(A B C)
解： P(A B C) P(A) P(B) P(C) P(AB) P(AC) P(BC) P(ABC) 3 / 4 2 / 8 0 ( ABC AB)
同济大学版概率论与数理统计修改版答案
概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第一章 随机事件及其概率（一）一．选择题1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ]（A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ]（A ）1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品}（B ）1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品}（C ）1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个}（D ）1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品}3．下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ]（A ）A AB - （B ）()A B B ⋃- （C ）AB （D ）AB4．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ⋃表示 [ C]（A ）二人都没射中 （B ）二人都射中（C ）二人没有都射着 （D ）至少一个射中5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D]（A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”；（C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销6．设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则AB 表示 [ A]（A ）{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x <<（C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞<<⋃≤<+∞7．在事件A ，B ，C 中，A 和B 至少有一个发生而C 不发生的事件可表示为 [ A]（A ）C A C B ； （B ）C AB ；（C ）C AB C B A BC A ； （D ）A B C .8、设随机事件,A B 满足()0P AB =，则 [ D ]（A ）,A B 互为对立事件 (B) ,A B 互不相容(C) AB 一定为不可能事件 (D) AB 不一定为不可能事件二、填空题1．若事件A ，B 满足AB φ=，则称A 与B 互不相容或互斥 。
同济大学版概率论和数理统计_修改版答案解析
概率论与数理统计练习题系专业班姓名学号第一章随机事件及其概率（一）一．选择题1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ]（A ）不可能事件（B ）必然事件（C ）随机事件（D ）样本事件2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ] （A ）1A {抽到的三个产品全是合格品}2A {抽到的三个产品全是废品}（B ）1B {抽到的三个产品全是合格品} 2B {抽到的三个产品中至少有一个废品}（C ）1C {抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C {抽到的三个产品中废品不多于2个}（D ）1D {抽到的三个产品中有2个合格品} 2D {抽到的三个产品中有2个废品}3．下列事件与事件A B 不等价的是[ C ]（A ）A AB （B ）()A B B（C ）A B（D ）A B4．甲、乙两人进行射击，A、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B 表示 [ C]（A ）二人都没射中（B ）二人都射中（C ）二人没有都射着（D ）至少一个射中5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D]（A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”；（B ）“甲、乙两种产品均畅销”；（C ）“甲种产品滞销”；（D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销6．设{|},{|02},{|13}x x A x x Bx x ，则AB表示 [ A]（A ）{|01}xx （B ）{|01}x x（C ）{|12}x x（D ）{|0}{|1}x xx x 7．在事件A ，B ，C 中，A 和B 至少有一个发生而C 不发生的事件可表示为[ A]（A ）C A C B ；（B ）C AB ；（C ）CAB CB A BCA ；（D ）A BC .8、设随机事件,A B 满足()0P AB ，则 [ D ]（A ）,A B 互为对立事件(B),A B 互不相容(C)AB 一定为不可能事件(D)AB 不一定为不可能事件二、填空题1．若事件A ，B 满足AB，则称A 与B互不相容或互斥。
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同济大学 09 学年 第一学期
专业 级《 概率统计 》期中试卷
考试形式：（ 闭卷 ）
一、填空题（共 30 分，每空2分）：
1．事件C B A ,,中至少有一个发生可表示为 ，三个事件都发生可表示为 ，都不发生可表示为 .
2．设()4.0=A P ，()3.0=B P ，()4.0=B A P Y ，则()
=B A P .
3．一袋中有10个球，其中3个黑球，7个白球. 每次从中任取一球，直到第3次才取到黑球的概率为 ，至少取3次才能取到黑球的概率为 .
4．设随机变量X 的分布函数()⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨⎧≥<≤<≤--<=31318
.0114
.010x x x x x F ，则X 的分布列为 .
5．进行10次独立重复射击，设X 表示命中目标的次数，若每次射击命中目标的概率都是4.0，则X 服从
分布，其数学期望为 ，方差为 .
6．设连续型随机变量()λe X ~，)0(>λ，则=k 时，{}4
12=
>k X P . 7．已知随机变量()2~P X ，则102-=X Y 的数学期望=EY ，方差=DY .
8. 已知随机变量X 的概率密度函数为()⎩⎨
⎧>-<≤≤-=2
,20
2225
.0x x x x f ，则X 服从 分布，设随机变量
12+=X Y ，则=EY .
二、选择题（共10 分，每小题 2 分）
1．设事件B A ,互不相容，且()()0,0>>B P A P ，则有 （ ） （A ）()0>A B P （B ）()
()A P B A P =
（C ）()
0=B A P （D ）()()()B P A P AB P =
2．设()x F 1与()x F 2分别为任意两个随机变量的分布函数，令()()()x bF x aF x F 21+=，则下列各组数中能使()x F 成为某随机变量的分布函数的有（ ） （A ）52,53==b a （B ）32,32==b a （C ）21,23==
b a （D ）2
3,21==b a 3．设随机变量X 的概率密度函数为()x f ，且()()x f x f =-，()x F 是X 的分布函数，则对任意实数a ，有（ ） （A ）()()dx x f a F a
⎰
-
=-0
1 (B) ()()dx x f a F a
⎰-=
-0
21 (C) ()()a F a F =- (D) ()()12-=-a F a F
4．如果随机变量X 的概率密度函数为()⎪⎩
⎪
⎨⎧<≤-<≤=其他
,021,
21
0,x x x x x f ；则{}=≤5.1X P （ ） （A ）
()⎰
⎰
-+5
.11
1
2dx x xdx （B ）()⎰-5
.112dx x
（C ）
()⎰-5
.11
1dx x （D ）()⎰∞
--5.12dx x
5．设(
)2
,~σ
μN X ，且3=EX ，1=DX ，()x 0
Φ为标准正态分布的分布函数，则
{}=≤≤-11X P （ ）
（A ）()1120-Φ （B ）()()2400Φ-Φ （C ）()()2400-Φ--Φ （D ）()()4200Φ-Φ
三、计算题（共 50 分，每小题 10 分）
1．城乡超市销售一批照相机共10台，其中有3台次品，其余均为正品，某顾客去选购时，超市已售出2台，该顾客从剩下的8台中任意选购一台，求该顾客购到正品的概率。
2．箱中有时8个同样的球，编号为1，2，3，…，8，从中任取3球，以X 表示取出的3个球中的最小号码。
试求X 的分布列。
3．已知随机变量X 的概率密度函数是()⎪⎩⎪
⎨⎧≥≤<<=1
,00
10x x x x
A x f ，试确定系数A ，并求分布函数.
4．设随机变量()Y X ,的概率密度函数为()()⎪⎩
⎪⎨⎧<<<<--=其他
,04
2,20,
68
1
y x y x x f ，求（1）关于随
机变量X 的边缘密度函数；（2）{}4≤+Y X P .
5．某种型号的器件的寿命X （以小时计）的概率密度是()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=1000
,
01000,
1000
2
x x x x f ，现有一大批此
种器件（设各器件损坏与否相互独立），任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少？
四、证明题（10分） 已知随机变量(
)2
,~σ
μN X ，证明：
（1）()2
2
,~σμa b a N b aX Y ++=，b a ,为常数，且0>a ；
（2）()1,0~N X σ
μ
-.
绍兴文理学院 学院07学年第一学期 专业 级《概率统计》期中试卷
标准答案及评分标准
一、填空题（共 30 分，每空 2 分）
1、C B A ABC C B A Y Y
2、1.0
3、
157407
4、⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-2.04
.04
.0311p X 5、二项 4.24 6、
2ln 1
λ
7、8,
6- 8、均匀 1
二、选择题（共10 分，每小题 2 分）
1、C
2、A
3、B
4、A
5、B 三、计算题（50分，每小题10分）
1．i A 表示售出的两台照相机中有i 台次品，2,1,0=i B 表示顾客买到的是正品。
则()157210270==C C A P ()157
2
101
7131==C C C A P ()15
12
10232C C A P = ()
850=
A B P ()861=A B P ()8
7
2=A B P （4分） 由全概率公式：()()()10
7
2
=
=
∑=i i i A B P A P B P （10分） 2．{}()()112213
821--===-k k C C k X P k ，8,7,6,5,4,3=k 或者⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛56215615561056656
356
1876543P X
（10分） 3．
()1210
===⎰
⎰
+∞
∞
-A dx x
A dx x f ⇒21
=
A (4分) 当0≤x 时，(){}0=≤=x X P x F 当10<<x 时，(){}x dt t
x X P x F x
==≤=⎰
21
当1≥x 时，(){}121
1
==
≤=⎰
dt t
x X P x F
所以，()⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<<≤=1
1100
0x x x
x x F . （10分） 4．（1）当20<<x 时，()()⎰
+∞
∞
-=dy y x f x f X ,
()()x dy y x -=--=
⎰
34
1681
4
2
（3分）
所以()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他
20341
x x x f X （5分）
（2）{}4≤+Y X P ()3
2681
20
40
=--=
⎰⎰
-x
y x （10分） 5．任取该种器件一只，其寿命大于1500小时的概率为
3
2
100015002=
=⎰
+∞
dx x p 非作歹 （4分） 任取5只这种产品，其中寿命大于1500小时的只数记为X ，则⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛32,
5~b X （7分） 所求概率为{}{}{}243
232
1012==-=-=≥X P X P X P （10分） 四、证明题（10分） （1）由于0>a ，
(){}{}⎪⎭
⎫
⎝⎛-Φ=⎭⎬
⎫⎩⎨⎧-≤=≤+=≤=a b y a b y X P y b aX P y Y P y F Y （4分） ()()()[]2
22
2'211σμσ
πϕa b a y Y Y e a a b y a y F y f +--
=
⎪⎭⎫ ⎝⎛-== 所以()2
2,~σμa b a N b aX Y ++= （7分）
（2）令σμσ
-
==
b a ,1
，则()1,0~N X σ
μ- （10分）。