同济大学_概率论与数理统计期中试卷
同济大学 09 学年 第一学期
专业 级《 概率统计 》期中试卷
考试形式:( 闭卷 )
一、填空题(共 30 分,每空2分):
1.事件C B A ,,中至少有一个发生可表示为 ,三个事件都发生可表示为 ,都不发生可表示为 .
2.设()4.0=A P ,()3.0=B P ,()4.0=B A P Y ,则()
=B A P .
3.一袋中有10个球,其中3个黑球,7个白球. 每次从中任取一球,直到第3次才取到黑球的概率为 ,至少取3次才能取到黑球的概率为 .
4.设随机变量X 的分布函数()???
??
??≥<≤<≤--<=31318
.0114
.010x x x x x F ,则X 的分布列为 .
5.进行10次独立重复射击,设X 表示命中目标的次数,若每次射击命中目标的概率都是4.0,则X 服从
分布,其数学期望为 ,方差为 .
6.设连续型随机变量()λe X ~,)0(>λ,则=k 时,{}4
12=
>k X P . 7.已知随机变量()2~P X ,则102-=X Y 的数学期望=EY ,方差=DY .
8. 已知随机变量X 的概率密度函数为()??
?>-<≤≤-=2
,20
2225
.0x x x x f ,则X 服从 分布,设随机变量
12+=X Y ,则=EY .
二、选择题(共10 分,每小题 2 分)
1.设事件B A ,互不相容,且()()0,0>>B P A P ,则有 ( ) (A )()0>A B P (B )()
()A P B A P =
(C )()
0=B A P (D )()()()B P A P AB P =
2.设()x F 1与()x F 2分别为任意两个随机变量的分布函数,令()()()x bF x aF x F 21+=,则下列各组数中能使()x F 成为某随机变量的分布函数的有( ) (A )52,53==b a (B )32,32==b a (C )21,23==
b a (D )2
3,21==b a 3.设随机变量X 的概率密度函数为()x f ,且()()x f x f =-,()x F 是X 的分布函数,则对任意实数a ,有( ) (A )()()dx x f a F a
?
-
=-0
1 (B) ()()dx x f a F a
?-=
-0
21 (C) ()()a F a F =- (D) ()()12-=-a F a F
4.如果随机变量X 的概率密度函数为()??
?
??<≤-<≤=其他
,021,
21
0,x x x x x f ;则{}=≤5.1X P ( ) (A )
()?
?
-+5
.11
1
2dx x xdx (B )()?-5
.112dx x
(C )
()?-5
.11
1dx x (D )()?∞
--5.12dx x
5.设(
)2
,~σ
μN X ,且3=EX ,1=DX ,()x 0
Φ为标准正态分布的分布函数,则
{}=≤≤-11X P ( )
(A )()1120-Φ (B )()()2400Φ-Φ (C )()()2400-Φ--Φ (D )()()4200Φ-Φ
三、计算题(共 50 分,每小题 10 分)
1.城乡超市销售一批照相机共10台,其中有3台次品,其余均为正品,某顾客去选购时,超市已售出2台,该顾客从剩下的8台中任意选购一台,求该顾客购到正品的概率。
2.箱中有时8个同样的球,编号为1,2,3,…,8,从中任取3球,以X 表示取出的3个球中的最小号码。试求X 的分布列。
3.已知随机变量X 的概率密度函数是()???
??≥≤<<=1
,00
10x x x x
A x f ,试确定系数A ,并求分布函数.
4.设随机变量()Y X ,的概率密度函数为()()??
???<<<<--=其他
,04
2,20,
68
1
y x y x x f ,求(1)关于随
机变量X 的边缘密度函数;(2){}4≤+Y X P .
5.某种型号的器件的寿命X (以小时计)的概率密度是()?????≤>=1000
,
01000,
1000
2
x x x x f ,现有一大批此
种器件(设各器件损坏与否相互独立),任取5只,问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少?
四、证明题(10分) 已知随机变量(
)2
,~σ
μN X ,证明:
(1)()2
2
,~σμa b a N b aX Y ++=,b a ,为常数,且0>a ;
(2)()1,0~N X σ
μ
-.
绍兴文理学院 学院07学年第一学期 专业 级《概率统计》期中试卷
标准答案及评分标准
一、填空题(共 30 分,每空 2 分)
1、C B A ABC C B A Y Y
2、1.0
3、
157407
4、???
?
??-2.04
.04
.0311p X 5、二项 4.24 6、
2ln 1
λ
7、8,
6- 8、均匀 1
二、选择题(共10 分,每小题 2 分)
1、C
2、A
3、B
4、A
5、B 三、计算题(50分,每小题10分)
1.i A 表示售出的两台照相机中有i 台次品,2,1,0=i B 表示顾客买到的是正品。
则()157210270==C C A P ()157
2
101
7131==C C C A P ()15
12
10232C C A P = ()
850=
A B P ()861=A B P ()8
7
2=A B P (4分) 由全概率公式:()()()10
7
2
=
=
∑=i i i A B P A P B P (10分) 2.{}()()112213
821--===-k k C C k X P k ,8,7,6,5,4,3=k 或者???
?
?
?56215615561056656
356
1876543P X
(10分) 3.
()1210
===?
?
+∞
∞
-A dx x
A dx x f ?21
=
A (4分) 当0≤x 时,(){}0=≤=x X P x F 当10< x X P x F x ==≤=? 21 当1≥x 时,(){}121 1 == ≤=? dt t x X P x F 所以,()?? ? ??≥<<≤=1 1100 0x x x x x F . (10分) 4.(1)当20< +∞ ∞ -=dy y x f x f X , ()()x dy y x -=--= ? 34 1681 4 2 (3分) 所以()()?????<<-=其他 20341 x x x f X (5分) (2){}4≤+Y X P ()3 2681 20 40 =--= ?? -x y x (10分) 5.任取该种器件一只,其寿命大于1500小时的概率为 3 2 100015002= =? +∞ dx x p 非作歹 (4分) 任取5只这种产品,其中寿命大于1500小时的只数记为X ,则??? ? ??32, 5~b X (7分) 所求概率为{}{}{}243 232 1012==-=-=≥X P X P X P (10分) 四、证明题(10分) (1)由于0>a , (){}{}?? ? ??-Φ=?? ????-≤=≤+=≤=a b y a b y X P y b aX P y Y P y F Y (4分) ()()()[]2 22 2'211σμσ π?a b a y Y Y e a a b y a y F y f +-- = ??? ??-== 所以()2 2,~σμa b a N b aX Y ++= (7分) (2)令σμσ - == b a ,1 ,则()1,0~N X σ μ- (10分)