平面向量及其应用综合练习题百度文库

一、多选题1．题目文件丢失！

2．给出下列结论，其中真命题为（） A ．若0a ≠，0a b ?=，则0b =

B ．向量a 、b 为不共线的非零向量，则22

()a b a b ?=? C ．若非零向量a 、b 满足2

a b

a b +=+，则a 与b 垂直

D ．若向量a 、b 是两个互相垂直的单位向量，则向量a b +与a b -的夹角是2

3．在ABC ?中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,6

A a c π

===则角C 的大小

是( ) A ．

π B ．

π C ．

π D ．

π 4．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，下列说法正确的有（） A ．::sin :sin :sin a b c A B C = B ．若sin 2sin 2A B =，则a b = C ．若sin sin A B >，则A B >

D ．

sin sin sin +=+a b c

A B C

5．设P 是ABC 所在平面内的一点，3AB AC AP +=则（） A ．0PA PB += B ．0PB PC += C ．PA AB PB +=

D ．0PA PB PC ++=

6．在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，D 为BC 的中点，则以下结论正确的是（） A ．BD AD AB -= B ．1

()2

AD AB AC =

+ C ．8BA BC ?=

D ．AB AC AB AC +=-

7．在ABC 中，15a =，20b =，30A =，则cos B =（）

A ．

B ．

C ．23

D 8．设a 为非零向量，下列有关向量

a 的描述正确的是（） A ．|

|1||

a a =

B ．

//||

a a a

C ．

a a a =

D ．

||||

a a a a ?=

9．设a 、b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（） A ．若a b a b +=-，则存在实数λ使得λa

B ．若a b ⊥，则a b a b +=-

C ．若a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影向量为a

D ．若存在实数λ使得λa

b ，则a b a b +=-

10．设a 、b 、c 是任意的非零向量，则下列结论不正确的是（） A ．00a ?= B ．()

()

a b c a b c ??=?? C ．0a b a b ?=?⊥

D ．(

)(

)

b b a b a a +-=?-

11．（多选）若1e ，2e 是平面α内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是（） A ．()12,e e λμλμ+∈R 可以表示平面α内的所有向量

B ．对于平面α中的任一向量a ，使12a e e λμ=+的实数λ，μ有无数多对

C ．1λ，1μ，2λ，2μ均为实数，且向量1112e e λμ+与2212e e λμ+共线，则有且只有一个实数λ，使()

11122122e e e e λμλλμ+=+

D ．若存在实数λ，μ，使120e e λμ+=，则0λμ==

12．如图所示，梯形ABCD 为等腰梯形，则下列关系正确的是（）

A ．A

B D

C =

B ．AB D

C =

C ．AB DC >

D ．BC AD ∥

13．下列命题中，正确的有（）

A ．向量A

B 与CD 是共线向量，则点A 、B 、

C 、

D 必在同一条直线上 B ．若sin tan 0αα?>且cos tan 0αα?<，则角2

为第二或第四象限角 C ．函数1

cos 2

y x =+

是周期函数，最小正周期是2π D ．ABC ?中，若tan tan 1A B ?<，则ABC ?为钝角三角形 14．已知ABC ?中,角A,B,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足,33

B a c b π

=+=,则

=( ) A ．2

B ．3

C ．

12 D ．

15．某人在A 处向正东方向走xkm 后到达B 处,他向右转150°,然后朝新方向走3km 到达C 处,3km ,那么x 的值为( )

A B ．C ．D ．3

二、平面向量及其应用选择题

16．在ABC ?中||||AB AC AB AC +=-,3,4,AB AC ==则BC 在CA 方向上的投影为（）． A ．4

B ．3

C ．-4

D ．5

17．下列说法中说法正确的有（）

①零向量与任一向量平行；②若//a b ，则()a b R λλ=∈；

③()()a b c a b c ??=??④||||||a b a b +≥+；⑤若0AB BC CA ++=，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点；⑥一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底； A ．①④

B ．①②④

C ．①②⑤

D ．③⑥

18．设θ为两个非零向量,a b →→

的夹角，已知对任意实数t ，||b t a →

→

-的最小值为1，则（）

A ．若θ确定，则||a →

唯一确定 B ．若θ确定，则||b →

唯一确定 C ．若||a →

确定，则θ唯一确定

D ．若||b →

确定，则θ唯一确定

19．已知,a b 是两个单位向量，则下列等式一定成立的是( ) A ．0a b -=

B ．1a b ?=

C ．a b =

D ．0a b ?=

20．已知在四边形ABCD 中， 2, 4,53AB a b BC a b CD a b =--=+=+，则四边形

ABCD 的形状是( )

A ．矩形

B ．梯形

C ．平行四边形

D ．以上都不对

21．在ABC 中，A ∠，B ，C ∠所对的边分别为a ，b ，c ，过C 作直线CD 与边

AB 相交于点D ，90C ∠=?，1CD =.当直线CD AB ⊥时，+a b 值为M ；当D 为边

AB 的中点时，+a b 值为N .当a ，b 变化时，记{}max ,m M N =（即M 、N 中较大

的数），则m 的最小值为（）

A ．M

B ．N

C ．

D ．1

22．在ABC 中，若()()

0CA CB CA CB +?-=，则ABC 为（） A ．正三角形

B ．直角三角形

C ．等腰三角形

D ．无法确定

23．已知20a b =≠，且关于x 的方程2

0x a x a b ++?=有实根，则a 与b 的夹角的

取值范围是( ) A ．06

,π??????

B ．,3ππ??

???

C ．2,33ππ??

???

D ．,6ππ???

???

24．已知向量OA 与OB 的夹角为θ，2OA =，1OB =，=OP tOA ，

()1OQ t OB =-，PQ 在t t =0时取得最小值，则当01

t <<

时，夹角θ的取值范围为（） A ．0,3π?? ???

B ．,32ππ?? ???

C ．2,23ππ??

D ．20,

3π?? ???

25．在△ABC 中，M 是BC 的中点．若AB ＝a ，BC ＝b ，则AM ＝( ) A ．

()2

a b + B ．

()2

a b - C ．

a b + D ．12

a b +

26．设ABC ?中BC 边上的中线为AD ，点O 满足2AO OD =，则OC =（）

A ．1233

AB AC -

+ B ．2133AB AC -

C ．1233AB AC -

D ．2133

AB AC -+

27．ABC 中，5AB AC ==，6BC =，则此三角形的外接圆半径是（）

A ．4

B ．

C ．

258

D ．259

28．如图所示，在山底A 处测得山顶B 的仰角为45?，沿倾斜角为30的山坡向山顶走

1000米到达S 点，又测得山顶的仰角为75?，则山高BC =（）

A ．500米

B ．1500米

C ．1200米

D ．1000米

29．已知1a =，3b =，且向量a 与b 的夹角为60?，则2a b -=（） A 7B ．3

C 11

D 1930．已知圆C 的方程为2

(1)(1)2x y -+-=，点P 在直线3y x

上，线段AB 为圆C

的直径，则PA PB ?的最小值为（） A ．2

B ．

C ．3

D ．

31．已知向量(2

2cos 3m x =，()1,sin2n x =，设函数()f x m n =?，则下列关于函数

()y f x =的性质的描述正确的是( )

A ．关于直线12

x π

对称

B ．关于点5,012π??

???

对称

C ．周期为2π

D ．()y f x =在,03π??

???

上是增函数 32．如图所示，设P 为ABC ?所在平面内的一点，并且11

AP AB AC =+，则BPC ?与ABC ?的面积之比等于（）

A ．

B ．

C ．

D ．

33．如图，在ABC 中，14AD AB →

→=，12

AE AC →→

=，BE 和CD 相交于点F ，则向量

AF →

等于（）

A ．1277A

B A

C →→

B ．1377AB A

C →→

C ．121414

AB AC →→

+ D ．131414

AB AC →→

+ 34．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且3BC CD =，点O 在线段CD 上(与点

C ，

D 不重合)，若()1AO xAB x AC =+-，则x 的取值范围是（）

A ．10,2?

? ???

B ．10,3?? ???

C ．1,02??

??? D ．1,03??- ???

35．在ABC ?中，若cos cos a A b B =，则ABC 的形状一定是（） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形

D ．等腰或直角三角形

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、多选题 1．无 2．CD 【分析】

对于A 由条件推出或，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断与垂直，判断该命题是真命题；对于D 由条件推出向量与的夹角是，所以该命题是真命题. 【详解解析：CD 【分析】

对于A 由条件推出0b =或a b ⊥，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出

()

()()

a b a b ?≠?，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断a 与b 垂直，判断该命题

是真命题；对于D 由条件推出向量a b +与a b -的夹角是2

，所以该命题是真命题. 【详解】

对于A ，若0a ≠，0a b ?=，则0b =或a b ⊥，所以该命题是假命题；对于B ，()()

2cos cos a b

a b a b αα?==，而()()

a b

a b ?=，

由于a 、b 为不共线的非零向量，所以2

cos 1α≠，所以()()()2

a b a b ?≠?，

所以该命题是假命题；

对于C ，若非零向量a 、b 满足2

a b

a b +=+，22222a b a b a b ++?=+，所以

0a b ?=，则a 与b 垂直，所以该命题是真命题；

对于D ，以a 与b 为邻边作平行四边形是正方形，则a b +和a b -所在的对角线互相垂直，所以向量a b +与a b -的夹角是2

，所以该命题是真命题. 故选：CD. 【点睛】

本题考查平面向量的线性运算与数量积运算、向量垂直的判断，是基础题.

3．BD 【分析】

由正弦定理可得,所以,而,可得,即可求得答案. 【详解】由正弦定理可得, ,而,

, , 故或. 故选:BD. 【点睛】

本题考查了根据正弦定理求解三角形内角,解题关键是掌握

解析：BD 【分析】

由正弦定理可得sin sin a c A C =,所以sin sin 2

c C A a ==,而a c <,可得A C <,即可求得答案. 【详解】由正弦定理可得

sin sin a c

A C

∴ sin sin 2

c C A a ==,而a c <,

∴ A C <, ∴

566

C π

π<<, 故3C π

或

π. 故选:BD. 【点睛】

本题考查了根据正弦定理求解三角形内角,解题关键是掌握正弦定理和使用正弦定理多解的判断,考查了分析能力和计算能力,属于中等题.

4．ACD 【分析】

根据正弦定理的性质即可判断. 【详解】

对于A ，在，由正弦定理得，则，故A 正确；对于B ，若，则或，所以和不一定相等，故B 错误；对于C ，若，由正弦定理知，由于三角形中，大边对大角

解析：ACD 【分析】

根据正弦定理的性质即可判断. 【详解】

对于A ，在ABC ，由正弦定理得

2sin sin sin a b c

R A B C

===，则

::2sin :2sin :2sin sin :sin :sin a b c R A R B R C A B C ==，故A 正确；

对于B ，若sin 2sin 2A B =，则A B =或2

A B π

+=，所以a 和b 不一定相等，故B 错

误；

对于C ，若sin sin A B >，由正弦定理知a b >，由于三角形中，大边对大角，所以A B >，故C 正确；

对于D ，由正弦定理得

2sin sin sin a b c

R A B C

===，则2sin 2sin 2sin sin sin sin b c R B R C

R B C B C ++==++，故D 正确.

故选：ACD. 【点睛】

本题考查正弦定理的应用，属于基础题. 5．CD 【分析】

转化为，移项运算即得解【详解】由题意：故即 , 故选：CD 【点睛】

本题考查了向量的线性运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.

解析：CD 【分析】

转化3AB AC AP +=为())(AB AP AC AP AP +=--，移项运算即得解【详解】

由题意：3AB AC AP += 故())(AB AP AC AP AP +=-- 即PB PC AP +=

0C PA PB P ++=∴,PA AB PB +=

故选：CD 【点睛】

本题考查了向量的线性运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.

6．BC 【分析】

根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项. 【详解】

对于A 选项：，故A 错；

对于 B 选项：因为D 为BC 的中点，，故B 正确；对于C 选项：，故正确；对于D 选项：，而，故

解析：BC 【分析】

根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项. 【详解】

对于A 选项：BD AD BD DA BA -=+=，故A 错；对于 B 选项：因为D 为BC 的中点，

()

111

++++()222

AD AB BD AB BC AB BA AC AB AC ====+，故B 正确；

对于C 选项：cos 248BD BA BC BA BC B BA BC BA

?=??∠=??

=?=，故正确；

对于D 选项：2,AB AC AD AB AC CB +=-=，而2AD CB ≠，故D 不正确. 故选：BC. 【点睛】

本题考查向量的线性运算和向量的数量积运算，属于基础题.

7．AD 【分析】

利用正弦定理可求得的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得的值. 【详解】

由正弦定理，可得，，则，所以，为锐角或钝角. 因此，. 故选：AD. 【点睛】

本题考查利用正弦定理与同

解析：AD 【分析】

利用正弦定理可求得sin B 的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得cos B 的值. 【详解】

由正弦定理sin sin b a B A

=，可得1

20sin 22sin 153

b A B a ?

===， b a >，则30B A >=，所以，B 为锐角或钝角.

因此，cos B ==. 故选：AD. 【点睛】

本题考查利用正弦定理与同角三角函数的基本关系求值，考查计算能力，属于基础题.

8．ABD 【分析】

首先理解表示与向量同方向的单位向量，然后分别判断选项. 【详解】

表示与向量同方向的单位向量，所以正确，正确，所以AB 正确，当不是单位向量时，不正确，，所以D 正确. 故选：ABD

解析：ABD 【分析】

首先理解a

表示与向量a 同方向的单位向量，然后分别判断选项.

【详解】

a a 表示与向量a 同方向的单位向量，所以

a =正确，//a a a 正确，所以AB 正确，当a 不是单位向量时，a

a a

=不正确，

cos 0a a a

a a a a a a a

?==?=，所以D 正确. 故选：ABD 【点睛】

本题重点考查向量a a 的理解，和简单计算，应用，属于基础题型，本题的关键是理解

a a

表示与向量a 同方向的单位向量.

9．AB 【分析】

根据向量模的三角不等式找出和的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论.

当时，则、方向相反且，则存在负实数

解析：AB 【分析】

根据向量模的三角不等式找出a b a b +=-和a b a b +=+的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】

当a b a b +=-时，则a 、b 方向相反且a b ≥，则存在负实数λ，使得λa b ，A

选项正确，D 选项错误；

若a b a b +=+，则a 、b 方向相同，a 在b 方向上的投影向量为a ，C 选项错误；若a b ⊥，则以a 、b 为邻边的平行四边形为矩形，且a b +和a b -是这个矩形的两条对角线长，则a b a b +=-，B 选项正确. 故选：AB. 【点睛】

本题考查平面向量线性运算相关的命题的判断，涉及平面向量模的三角不等式的应用，考查推理能力，属于中等题.

10．AB 【分析】

利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误. 【详解】

对于A 选项，，A 选项错误；

对于B 选项，表示与共线的向量，表示与共线的向量，但与不一定共线，B 选项错误；对于C 选项，

解析：AB 【分析】

利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误. 【详解】

对于A 选项，00a ?=，A 选项错误；

对于B 选项，()

a b c ??表示与c 共线的向量，()

a b c ??表示与a 共线的向量，但a 与c 不一定共线，B 选项错误；

对于C 选项，0a b a b ?=?⊥，C 选项正确；

对于D 选项，(

)()

22a b a b a b a b +?-=-=-，D 选项正确.

【点睛】

本题考查平面向量数量积的应用，考查平面向量数量积的定义与运算律，考查计算能力与推理能力，属于基础题.

11．BC 【分析】

由平面向量基本定理可判断出A 、B 、D 正确与否，由向量共线定理可判断出C 正确与否. 【详解】

由平面向量基本定理，可知A ，D 说法正确，B 说法不正确，对于C ，当时，这样的有无数个，故C

解析：BC 【分析】

由平面向量基本定理可判断出A 、B 、D 正确与否，由向量共线定理可判断出C 正确与否. 【详解】

由平面向量基本定理，可知A ，D 说法正确，B 说法不正确，

对于C ，当12120λλμμ====时，这样的λ有无数个，故C 说法不正确. 故选：BC 【点睛】

若1e ，2e 是平面α内两个不共线的向量，则对于平面α中的任一向量a ，使

12a e e λμ=+的实数λ，μ存在且唯一. 12．BD 【分析】

根据向量的模及共线向量的定义解答即可；【详解】

解：与显然方向不相同，故不是相等向量，故错误；与表示等腰梯形两腰的长度，所以，故正确；向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故

解析：BD 【分析】

根据向量的模及共线向量的定义解答即可；【详解】

解：AB 与DC 显然方向不相同，故不是相等向量，故A 错误；

AB 与DC 表示等腰梯形两腰的长度，所以AB DC =，故B 正确；向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故C 错误；等腰梯形的上底BC 与下底AD 平行，所以//BC AD ，故D 正确；

【点睛】

本题考查共线向量、相等向量、向量的模的理解，属于基础题.

13．BCD 【分析】

根据共线向量的定义判断A 选项的正误；根据题意判断出角的终边的位置，然后利用等分象限法可判断出角的终边的位置，进而判断B 选项的正误；利用图象法求出函数的最小正周期，可判断C 选项的正误

解析：BCD 【分析】

根据共线向量的定义判断A 选项的正误；根据题意判断出角α的终边的位置，然后利用等分象限法可判断出角

的终边的位置，进而判断B 选项的正误；利用图象法求出函数

cos 2

y x =+

的最小正周期，可判断C 选项的正误；利用切化弦思想化简不等式tan tan 1A B ?<得出cos cos cos 0A B C <，进而可判断出选项D 的正误.综合可得出结论. 【详解】

对于A 选项，向量AB 与CD 共线，则//AB CD 或点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，A 选项错误；

对于B 选项，2sin sin tan 0cos α

ααα?=>，cos tan sin 0ααα?=<，所以sin 0cos 0αα

，则角α为第四象限角，如下图所示：

则

为第二或第四象限角，B 选项正确；对于C 选项，作出函数1

cos 2

y x =+

的图象如下图所示：

由图象可知，函数1

cos 2

y x =+是周期函数，且最小正周期为2π，C 选项正确；对于D 选项，

tan tan 1A B <，

()()cos cos sin sin cos cos sin sin 1tan tan 1cos cos cos cos cos cos cos cos A B C A B A B A B A B A B A B A B A B

π+--∴-=-===cos 0cos cos C

A B

>，cos cos cos 0A B C ∴<，

对于任意三角形，必有两个角为锐角，则ABC ?的三个内角余弦值必有一个为负数，则ABC ?为钝角三角形，D 选项正确. 故选：BCD. 【点睛】

本题考查三角函数、三角恒等变换与向量相关命题真假的判断，考查共线向量的定义、角的终边位置、三角函数的周期以及三角形形状的判断，考查推理能力，属于中等题.

14．AC 【分析】

将两边同时平方，可得一个关系式，再结合余弦定理可得结果. 【详解】 ∵， ∴①，

由余弦定理可得，②，联立①②，可得，即，解得或. 故选：AC. 【点睛】

本题考查余弦定理的应

解析：AC 【分析】

将3a c b +=两边同时平方，可得一个关系式，再结合余弦定理可得结果. 【详解】

∵,3

B a c π

+=，

∴2

()23a c a c ac b +=++=①，由余弦定理可得，2

22cos

a c ac

b π

+-=②，

联立①②，可得222520a ac c -+=，

即2

2520a a c c ????-+= ? ?????

，解得

c =或12a c =. 故选：AC. 【点睛】

本题考查余弦定理的应用，考查计算能力，是基础题.

15．AB 【分析】

由余弦定理得，化简即得解. 【详解】

由题意得,由余弦定理得, 解得或. 故选：AB. 【点睛】

本题主要考查余弦定理的实际应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

解析：AB 【分析】

由余弦定理得293

cos306x x

+-=，化简即得解.

【详解】

由题意得30ABC ?

∠=,由余弦定理得293

cos306x x

+-=

解得x =x 故选：AB. 【点睛】

本题主要考查余弦定理的实际应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

二、平面向量及其应用选择题

16．C 【分析】

先对等式AB AC AB AC +=-两边平方得出AB AC ⊥，并计算出BC CA ?，然后利用投影的定义求出BC 在CA 方向上的投影．【详解】

对等式AB AC AB AC +=-两边平方得，

2222

22AB AC AB AC AB AC AB AC ++?=+-?，整理得，0AB AC ?=，则AB AC ⊥，

()

16BC CA AC AB CA AC CA AB CA AC ∴?=-?=?-?=-=-，

设向量BC 与CA 的夹角为θ，

所以，BC 在CA 方向上的投影为16

cos 44

BC CA BC CA BC BC BC CA

θ??-?=?=

=-?，故选C ．【点睛】

本题考查平面向量投影的概念，解本题的关键在于将题中有关向量模的等式平方，这也是向量求模的常用解法，考查计算能力与定义的理解，属于中等题． 17．A 【分析】

直接利用向量的基础知识的应用求出结果. 【详解】

对于①：零向量与任一向量平行，故①正确；

对于②：若//a b ，则()a b R λλ=∈，必须有0b ≠，故②错误；对于③：()()

a b c a b c ??=??，a 与c 不共线，故③错误；对于④：a b a b +≥+，根据三角不等式的应用，故④正确；

对于⑤：若0AB BC CA ++=，则,,A B C 为一个三角形的三个顶点，也可为0，故⑤错误；对于⑥：一个平面内，任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，故⑥错误. 综上：①④正确. 故选：A. 【点睛】

本题考查的知识要点：向量的运算的应用以及相关的基础知识，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题． 18．B 【分析】

||2b ta b a bt a t -=-?+，令2

()2f t b a bt a t =-?+，易得2cos b a b t a a

?==

时，222min 2

44()()14a b a b f t a

-?==，即222

||cos 1b b θ-=，结合选项即可得到答案. 【详解】

2222||2b ta b a bt a t -=-?+，令222()2f t b a bt a t =-?+，因为t R ∈，

所以当2cos b a b t a a

?==时，222min 2

44()()4a b a b f t a -?=，又||b t a →→-的最小值为1，所以2

||b ta -的最小值也为1，即222

min

44()()14a b a b f t a

-?==，222||cos 1b b θ-=，

所以2

||sin 1(0)b b θ=≠，所以1sin b θ

=，故若θ确定，则||b →

唯一确定. 故选：B 【点睛】

本题考查向量的数量积、向量的模的计算，涉及到二次函数的最值，考查学生的数学运算求解能力，是一道容易题. 19．C 【分析】取,a b 夹角为3

，计算排除ABD ，得到答案. 【详解】取,a b 夹角为3π

，则0a b -≠，12

a b ?=，排除ABD ，易知1a b ==. 故选：C . 【点睛】

本题考查了单位向量，意在考查学生的推断能力. 20．B 【分析】

计算得到BC A CD B -=，得到BCDM ，ABCM 为平行四边形，得到答案. 【详解】

2, 4,53AB a b BC a b CD a b =--=+=+，则53BC AB BC B a b CD A -=+=+=.

设BC BA BM +=，故BCDM ，ABCM 为平行四边形，故ABCD 为梯形. 故选：B .

【点睛】

本题考查了根据向量判断四边形形状，意在考查学生的综合应用能力. 21．C 【分析】

当直线CD AB ⊥时，由直角三角形的勾股定理和等面积法，可得出222+=a b c ，

1ab c =?，再由基本不等式可得出2c ≥，从而得出M 的范围.当D 为边AB 的中点时，

由直角三角形的斜边上的中线为斜边的一半和勾股定理可得2c =，2224a b c +==，由基本不等式可得出2ab ≤，从而得出N 的范围，可得选项. 【详解】

当直线CD AB ⊥时，因为90C ∠=?，1CD =，所以222+=a b c ，由等面积法得

1ab c =?，

因为有222a b ab +≥（当且仅当a b =时，取等号），即()2

2>0c c c ≥，所以2c ≥，

所以()

2++222M a b b c a c ==

+=≥（当且仅当a b =时，取等号），

当D 为边AB 的中点时，因为90C ∠=?，1CD =，所以2c =，2224a b c +==，因为有222a b ab +≥（当且仅当a b =时，取等号），即42ab ≥，所以2ab ≤，所以()

++2224N a b a b ab ==

+=≤（当且仅当a b =时，取等号），

当a ，b 变化时，记{}max ,m M N =（即M 、N 中较大的数），则m 的最小值为2（此时，a b =）；故选：C. 【点睛】

本题考查解直角三角形中的边的关系和基本不等式的应用，以及考查对新定义的理解，属于中档题. 22．C 【分析】

利用平面向量的数量积的运算性质可得(CA CB + 2

22)()0CA CB CA CB b a -=-=-=，从而可得答案．【详解】解：

在ABC 中，(CA CB + 2

22)()0CA CB CA CB b a -=-=-=，

a b ∴=，

ABC ∴为等腰三角形，故选：C ．【点睛】

本题考查三角形形状的判断，考查向量的数量积的运算性质，属于中档题． 23．B 【分析】

根据方程有实根得到2

4cos 0a a b θ?=-≥，利用向量模长关系可求得1cos 2

θ≤，根据向量夹角所处的范围可求得结果. 【详解】

关于x 的方程2

0x a x a b ++?=有实根 2

40a a b ∴?=-?≥

设a 与b 的夹角为θ，则2

4cos 0a a b θ-≥ 又20a b =≠ 24cos 0b b θ∴-≥ 1cos 2

θ∴≤ 又[]0,θπ∈ ,3πθπ??∴∈????

本题正确选项：B 【点睛】

本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够利用方程有实根得到关于夹角余弦值的取值范围，从而根据向量夹角范围得到结果. 24．C 【解析】【分析】

根据向量的数量积运算和向量的线性表示可得，

()()2

254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++，根据二次函数的最值可得出

012cos 54cos t θθ

+，再由01

05t <<，可求得夹角θ的取值范围.

【详解】因为2cos OA OB θ?=，()1PQ OQ OP t OB tOA =-=--，

()()22

254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++，

∵PQ 在t t =0时取得最小值，所以012cos 54cos t θθ

+，又01

05t <<，则

12cos 1054cos 5

θθ+<

<+，得1

cos 02θ-<<，∵0θπ≤≤，

所以223ππθ<<，

故选：C. 【点睛】

本题考查向量的数量积运算和向量的线性表示，以及二次函数的最值和分式不等式的求解，关键在于由向量的模的平方等于向量的平方，得到关于角度的三角函数的不等式，属于中档题. 25．D 【分析】

根据向量的加法的几何意义即可求得结果. 【详解】

在ABC ?中，M 是BC 的中点，又,AB a BC b ==，所以11

AM AB BM AB BC a b =+=+=+，故选D. 【点睛】

该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的加法运算，属于简单题目. 26．A 【分析】

作出图形，利用AB 、AC 表示AO ，然后利用平面向量减法的三角形法则可得出

OC AC AO =-可得出结果.

【详解】如下图所示：

D 为BC 的中点，则

()

1122AD AB BD AB BC AB AC AB =+=+=+-11

AB AC =+，

2AO OD =，211

333

AO AD AB AC ∴=

=+， 11123333OC AC AO AC AB AC AB AC ??

∴=-=-+=-+ ???

，

故选：A. 【点睛】

本题考查利用基底表示向量，考查了平面向量减法和加法三角形法则的应用，考查计算能力，属于中等题.