初中数学完全平方公式
初中数学竞赛重要定理公式(代数篇)
初中数学竞赛重要定理、公式及结论代数篇【乘法公式】完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2，平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b2，立方和（差）公式：(a±b)(a2 ∓ab+b2)=a3±b3多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4）(a±b)5=a5±5a4b+10a3b2±10a2b3＋5ab4±b5）…………在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数(a+b)(a2n-1- a2n-2b+a2n-3b2- …＋ab2n-2- b2n-1)=a2n-b2n(a+b)(a2n-a2n-1b+a2n-2b2n-…-ab2n-1+b2n)=a2n+1+b2n+1类似地：（a-b）(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…＋ab n-2+b n-1)=a n-b n公式的变形及其逆运算由(a+b)2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2-2ab由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b)得a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)由公式的推广③可知：当n为正整数时a n-b n能被a-b 整除，a2n+1+b2n+1能被a+b整除，a2n-b2n能被a+b 及a-b整除。
重要公式（欧拉公式）(a+b+c)(a2+b2+c2+ab+ac+bc)=a3+b3+c3-3abc【综合除法】一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。
当被除式f(x)除以除式g(x)，(g(x)≠0) 得商式q(x)及余式r(x)时，就有下列等式：f(x)=g(x)q(x)-r(x)其中r(x)的次数小于g(x)的次数，或者r(x)=0。
初中数学全套公式
初中数学全套公式初中数学是义务教育的基础学科，其公式和概念的学习是这门课程的核心部分。
以下是一套完整的初中数学公式，这些公式涵盖了初中数学的大部分内容，对于理解和应用数学概念具有重要意义。
一、代数公式1、乘法公式：(a+b)(a-b)=a²-b²2、完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)²3、平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)4、立方和公式：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)5、立方差公式：a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)6、两数和乘两数差：2(a+b)(a-b)=2a²-2b²7、两数平方和：a²+b²=(a+b)²-2ab8、两数和的平方：(a+b)²=a²+2ab+b²9、两数差的平方：(a-b)²=a²-2ab+b²10、幂的乘方：anbn=(ab)n11、积的乘方：anbn=(ab)n12、分式的约分：同时分子分母除以公因式。
13、提公因式法：一般地，如果想要提取一个多项式的公因式，我们把这个多项式的各项都含有的相同字母因式提到括号外面，将多项式化成积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
14、运用公式法：如果一个式子的值等于几个其他式子的值乘积，那么这个式子就叫公式的原式，这几个其他式子就叫这个公式的因式。
如果把一个公式的所有因式分解出来，那么它们就都叫这个公式的因式分解。
二、几何公式1、勾股定理：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。
2、平行线间的距离公式：如果两条直线平行，那么一条直线上任意一点到另一条直线的距离相等。
3、三角形的面积公式：一个三角形的面积等于底边乘以高再除以2。
初中数学《完全平方公式》知识点归纳
初中数学《完全平方公式》知识点归纳初中数学《完全平方公式》知识点归纳完全平方公式是初中学习当中一个比较重要的知识点，今天极客数学帮就为大家总结了完全平方公式的知识点以及练习题。
帮助同学们学习、掌握完全平方公式的知识内容。
完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
（a b）2=a 2ab b ，（a-b）2=a -2ab b 。
（1）公式中的a、b可以是单项式，也就可以是多项式。
（2）不能直接应用公式的，要善于转化变形，运用公式。
该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。
该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用。
难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解）。
结构特征：1左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍；2左边两项符号相同时，右边各项全用“ ”号连接；左边两项符号相反时，右边平方项用“ ”号连接后再“-”两项乘积的2倍（注：这里说项时未包括其符号在内）;3公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等数学式．记忆口诀:首平方，尾平方，2倍首尾。
使用误解：①漏下了一次项；②混淆公式；③运算结果中符号错误；④变式应用难于掌握。
注意事项：1、左边是一个二项式的完全平方。
2、右边是二项平方和，加上（或减去）这两项乘积的二倍，a和b 可以是数，单项式，多项式。
3、不论是还是，最后一项都是加号，不要因为前面的符号而理所当然的以为下一个符号。
完全平方公式例题解析：（一）、变符号例：运用完全平方公式计算：（1）(-4x 3)（2）(-a-b)分析：本例改变了公式中a、b的符号，以第二小题为例，处理该问题最简单的方法是将这个式子中的(-a)看成原公式中的a，将(-b)看成原公式中的b，即可直接套用公式计算。
初中数学完全平方公式
初中数学完全平方公式完全平方公式是指一些特定的二元二次方程式可以通过一个完全平方公式来求解。
完全平方公式的形式通常为x^2 + bx + c = (x + m)^2，其中b为常数，m为待求解的常数。
为了解决完全平方公式，可以通过解方程x^2 + bx + c = 0来找到x的值。
在初中数学中，我们通常遇到的是一元二次方程，即方程的形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，x为未知数。
解一元二次方程可以通过两种常用方法：配方法和因式分解方法。
完全平方公式就是在配方法的基础上发展而来的。
完全平方公式的基本形式是(x + m)^2 = x^2 + 2mx + m^2，其中m 为常数。
将该公式与一元二次方程ax^2 + bx + c = 0进行比较，可以得到如下关系：x^2 + 2mx + m^2 = ax^2 + bx + c。
通过比较系数，我们可以得到以下等式：a=1，2m=b，m^2=c。
解完全平方公式的步骤如下：1.将一元二次方程的系数与完全平方公式的系数进行比较，确定a、b、c的值。
2.通过等式2m=b，可以解出m的值。
3.将m的值代入m^2=c中，可以解出c的值。
4.验证一下解是否正确，将a、b、c的值代入一元二次方程中进行计算。
下面举一个例子来说明完全平方公式的应用。
例题：解方程x^2+10x+25=0。
解：比较一元二次方程与完全平方公式的系数：a=1，b=10，c=25根据等式2m=b，可以解出m的值：2m=10，m=5将m的值代入m^2=c中，可以解出c的值：5^2=c，c=25验证解的正确性，将a、b、c的值代入一元二次方程中计算：1(x^2)+10x+25=0。
式子两边都乘以1，得到：x^2+10x+25=0。
由此可见，方程x^2+10x+25=0的解为x=-5完全平方公式的应用不仅限于解方程，还可以用来化简一些特定的代数表达式。
例如，我们可以通过完全平方公式化简(x+m)^2-(x+n)^2这样的表达式。
凑完全平方公式的方法
凑完全平方公式的方法1. 引言在初中数学中，我们学习了一些重要的公式，如勾股定理、平方差公式等等，这些公式虽然看似简单，但都属于级数公式的一种。
而其中的完全平方公式也是一个重要的级数公式，可以让我们在简便的情况下求得一些数的平方根，这在解决一些复杂问题时十分有用。
2. 完全平方公式的定义完全平方公式，又称平方根公式，是数学中将一个数表示为两个数的平方和的公式。
完全平方公式可以表示为a² = b² + c²，其中a,b,c均为正整数且b不等于0。
3. 推导完全平方公式的过程完全平方公式是一种级数公式，它的推导过程可以通过代数方法来证明。
我们可以把a²写成(a+c)²，得到：a²= (a+c)²-c²=a²+2ac+c²-c²=a²+2ac=(a+c)²- c²根据这个式子，我们可以得到：a² = (a+c)²-c²或者a² = (a-c)²+c²这样我们就得到了完全平方公式。
4. 使用完全平方公式的例子使用完全平方公式可以帮助我们解决一些数学问题。
例如，如果我们需要求解81的平方根，那么：81=9²81=4²+5²那么81的平方根就是3√(4²+5²)。
同样地，如果我们需要求解101的平方根，可以通过以下方式解出：101=10²101=1²+10²那么101的平方根就是√(1²+10²)。
5. 结论完全平方公式是一种计算平方根的方法，可以简化我们在解决问题时的计算过程。
通过推导过程，我们可以发现该公式的原理，希望大家能够善用这个公式，轻松地解决数学问题。
完全平方公式的口诀
完全平方公式的口诀完全平方公式是初中数学常见的数学公式之一，它能够帮助我们轻松地计算一些特殊的乘积。
而为了帮助学生更快更好地掌握这个公式，老师们总是会给出一些“口诀”来帮助学生记忆。
下面，我将介绍一些经典的完全平方公式口诀，希望对大家有所帮助。
一、经典的完全平方公式口诀1. 一加二，幺躲躲，三加三，九不错，四加四，十六在，五加五，廿五来，六加六，三十六。
这是一个非常经典的完全平方公式口诀，可用于计算1到6的完全平方数。
要注意的是，口诀中的“幺躲躲”代表1的平方，“廿五来”代表5的平方。
2. 老师教你秘籍，把加数都平方，两数乘积再取一半，就是平方的值。
这是一个比较通俗易懂的口诀，建议适合初中阶段的学生使用。
它的计算方法是将两个加数都平方，然后将两个数的积除以2，得到的结果就是平方数了。
3. 相加相同，用两平方，相加相异，用差平方。
这个口诀比较精炼，但要求学生先判断两个加数是否相等，再选用不同的计算方法，因此需要一定的数学能力。
具体来说，如果两数相等，就将它们的平方相加；如果两数不等，就将它们的差平方再加上两数中较小数的平方就行了。
4. 一减二，幺躲躲，三减三，九不错，四减四，十六在，五减五，廿五来，六减六，三十六。
这个口诀与第一个口诀类似，只是将加法换成了减法。
同样需要注意的是，“幺躲躲”代表1的平方，“廿五来”代表5的平方。
二、如何运用完全平方公式口诀？掌握完全平方公式口诀后，如何运用它们呢？下面以“相加相异，用差平方”为例，介绍一下计算方法：先将两个数字相加求和，然后除以2得到平均数。
以这两个数为边长，画一个矩形，然后在矩形的对角线上找到平均数。
将这个平均数与两个数的差相乘，就可以得到两数的平方了。
例如，假设我们要计算5和8的平方，应该先将两个数相加得到13，然后除以2得到6.5。
然后画出两边长为5和8的矩形，找到它的对角线，该对角线上的长度为6.5。
最后，将6.5与5和8的差（3）相乘，得到的结果为72.25，即5和8的平方。
完全平方公式的逻辑推导与解释
完全平方公式的逻辑推导与解释完全平方公式是初中数学中常见且重要的知识点之一，它是解决一元二次方程的基础。
在学习完全平方公式时，许多同学会觉得公式的推导和原理比较抽象，不容易理解。
因此，本文将通过逻辑推导和详细解释的方式，帮助读者更好地掌握完全平方公式的含义和应用。
首先，我们来看一元二次方程的一般形式：$ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a \neq 0$。
为了方便推导完全平方公式，我们假设方程的两根分别为 $x_1$ 和 $x_2$。
根据一元二次方程求根公式可得：$x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$接下来，我们将一元二次方程的通解表示成形如 $(x - m)(x - n) = 0$ 的完全平方形式，其中 $m$ 和 $n$ 是待定系数。
展开左边的式子可得：$x^2 - (m + n)x + mn = 0$通过比较一元二次方程和完全平方形式的系数，我们可以得到以下结论：$m + n = -\frac{b}{a}$，$mn = \frac{c}{a}$现在，我们尝试对上述两个方程进行变形，我们有：$(m + n)^2 = (-\frac{b}{a})^2$$mn = \frac{c}{a}$进一步展开第一个方程可得：$m^2 + 2mn + n^2 = \frac{b^2}{a^2}$将 $mn = \frac{c}{a}$ 代入可得：$m^2 + 2(\frac{c}{a}) + n^2 = \frac{b^2}{a^2}$化简即可得到完全平方公式：$(m + n)^2 = m^2 + 2mn + n^2 = \frac{b^2}{a^2} + 4\frac{c}{a}$根据完全平方公式的推导过程，我们可以进一步解释完全平方公式的含义。
在一元二次方程中，当判别式 $b^2 - 4ac$ 大于等于 0 时，方程有实数根，此时可以利用完全平方公式将方程化为完全平方形式，从而求得方程的解。
初中数学《完全平方公式》教案
1．判断下列多项式是否为完全平方式，如果是，运用完全平方公式将其因式分解．
①b2＋b＋1；②a2－ab＋b2；③1＋4a2；④a2－a＋ .
2．分解因式：(1)x2＋12x＋36；(2)－2xy－x2－y2；
(3)ax2＋2a2x＋a3.
.
整合探究
例1分解因式：
(1)a2＋ab＋ b2；(2)－2x3y＋4x2y－2xy；
(3)(a－b)2－6(b－a)＋9；(4)(x2－2x)2＋2(x2－2x)＋1.
例2已知x＋ ＝4，求：
(1)x2＋ 的值；(2)(x－ )2的值．
教 学 过 程
教学环节
教学活动
评估要点
学习目标
1．会判断完全平方式．2．能直接利用完全平方式因式分解．
3．掌握利用完全平方公式因式分解的步骤．
评估任务
让同学尽可能地会用此方法进ห้องสมุดไป่ตู้因式分解
教 学 过 程
教学环节
教学活动
评估要点
自学即讲
阅读教材P117～118“思考及例5、例6”，完成预习内容．
因式分解：2a2b－4ab2＝________；－3a3b＋12ab3＝____________．
教学设计
课题
完全平方公式（因式分解）
节次
1
课型
新授课
确立目标依据
课标分析
课标摘要
会综合运用提公因式法和公式法因式分解
课标分解
本节主要让学生学会用完全平方公式进行因式分解
教材分析
完全平方公式在教材中位于平方差公式之后，属于必须掌握的分解方法之一
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完全平方公式
一、内容简介
本节课的主题：通过一系列的探究活动，引导学生从计算结果中总结出完全平
方公式的两种形式。
关键信息：
1、以教材作为出发点，依据《数学课程标准》，引导学生体会、参与科学探究
过程。
首先提出等号左边的两个相乘的多项式和等号右边得出的三项有什么关
系。
通过学生自主、独立的发现问题，对可能的答案做出假设与猜想，并通过
多次的检验，得出正确的结论。
学生通过收集和处理信息、表达与交流等活动，
获得知识、技能、方法、态度特别是创新精神和实践能力等方面的发展。
2、用标准的数学语言得出结论，使学生感受科学的严谨，启迪学习态度和方法。
二、学习者分析：
1、在学习本课之前应具备的基本知识和技能：
①同类项的定义。
②合并同类项法则
③多项式乘以多项式法则。
2、学习者对即将学习的内容已经具备的水平：
在学习完全平方公式之前，学生已经能够整理出公式的右边形式。
这节课的目
的就是让学生从等号的左边形式和右边形式之间的关系，总结出公式的应用方
法。
三、教学/学习目标及其对应的课程标准：
（一）教学目标：
1、经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推力能力。
2、会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算。
（二）知识与技能：经历从具体情境中抽象出符号的过程，认识有理
数、实数、代数式、防城、不等式、函数；掌握必要的运算，（包括估算）技能；探索具体问题中的数量关系和变化规律，并能运用代数式、防城、不等式、函数等进行描述。
（四）解决问题：能结合具体情景发现并提出数学问题；尝试从不同
角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题，尝试评价不同方法之间的差异；通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验。
（五）情感与态度：敢于面对数学活动中的困难，并有独立克服困难
和运用知识解决问题的成功体验，有学好数学的自信心；并尊重与理解他人的见解；能从交流中获益。
四、教育理念和教学方式：
1、教师是学生学习的组织者、促进者、合作者：学生是学习的主人，在教师指导下主动的、富有个性的学习，用自己的身体去亲自经历，用自己的心灵去亲自感悟。
教学是师生交往、积极互动、共同发展的过程。
当学生迷路的时
候，教师不轻易告诉方向，而是引导他怎样去辨明方向；当学生登山畏惧了的时候，教师不是拖着他走，而是唤起他内在的精神动力，鼓励他不断向上攀登。
2、采用“问题情景—探究交流—得出结论—强化训练”的模式
展开教学。
3、教学评价方式：
（1）通过课堂观察，关注学生在观察、总结、训练等活动中的主
动参与程度与合作交流意识，及时给与鼓励、强化、指导和矫正。
（2）通过判断和举例，给学生更多机会，在自然放松的状态下，
揭示思维过程和反馈知识与技能的掌握情况，使老师可以及时诊断学情，调查教学。
（3）通过课后访谈和作业分析，及时查漏补缺，确保达到预期的
教学效果。
五、教学媒体：多媒体
六、教学和活动过程：
教学过程设计如下：
〈一〉、提出问题
[引入] 同学们，前面我们学习了多项式乘多项式法则和合并同类项法则，通过运算下列四个小题，你能总结出结果与多项式中两个单项式的关系吗？
(2m+3n)2=_______________，(-2m-3n)2=______________，
(2m-3n)2=_______________，(-2m+3n)2=_______________。
〈二〉、分析问题
1、[学生回答] 分组交流、讨论
(2m+3n)2= 4m2+12mn+9n2，(-2m-3n)2= 4m2+12mn+9n2，
(2m-3n)2= 4m2-12mn+9n2， (-2m+3n)2= 4m2-12mn+9n2。
（1）原式的特点。
（2）结果的项数特点。
（3）三项系数的特点（特别是符号的特点）。
（4）三项与原多项式中两个单项式的关系。
2、[学生回答] 总结完全平方公式的语言描述：
两数和的平方，等于它们平方的和，加上它们乘积的两倍；
两数差的平方，等于它们平方的和，减去它们乘积的两倍。
3、[学生回答] 完全平方公式的数学表达式：
(a+b)2=a2+2ab+b2； (a-b)2=a2-2ab+b2.
〈三〉、运用公式，解决问题
1、口答：（抢答形式，活跃课堂气氛，激发学生的学习积极性）
(m+n)2=____________, (m-n)2=_______________,
(-m+n)2=____________, (-m-n)2=______________,
(a+3)2=______________, (-c+5)2=______________,
(-7-a)2=______________, (0.5-a)2=______________.
2、判断：
( )① (a-2b)2= a2-2ab+b2
( )② (2m+n)2= 2m2+4mn+n2
( )③ (-n-3m)2= n2-6mn+9m2
( )④ (5a+0.2b)2= 25a2+5ab+0.4b2
( )⑤ (5a-0.2b)2= 5a2-5ab+0.04b2
( )⑥ (-a-2b)2=(a+2b)2
( )⑦ (2a-4b)2=(4a-2b)2
( )⑧ (-5m+n)2=(-n+5m)2
3、小试牛刀
① (x+y)2=______________;② (-y-x)2 =_______________;
③ (2x+3)2=_____________;④ (3a-2)2 =_______________;
⑤ (2x+3y)2=____________;⑥ (4x-5y)2 =______________;
⑦ (0.5m+n)2=___________;⑧ (a-0.6b)2 =_____________. 〈四〉、[学生小结]
你认为完全平方公式在应用过程中，需要注意那些问题？
(1) 公式右边共有3项。
(2) 两个平方项符号永远为正。
(3)中间项的符号由等号左边的两项符号是否相同决定。
(4)中间项是等号左边两项乘积的2倍。
〈五〉、冒险岛：
（1）（-3a+2b）2=________________________________
（2）(-7-2m) 2 =__________________________________
（3）(-0.5m+2n) 2=_______________________________
（4）(3/5a-1/2b) 2=________________________________
（5）(mn+3) 2=__________________________________
（6）(a2b-0.2) 2=_________________________________
（7）(2xy2-3x2y) 2=_______________________________
（8）(2n3-3m3) 2=________________________________
〈六〉、学生自我评价
[小结] 通过本节课的学习，你有什么收获和感悟？
本节课，我们自己通过计算、分析结果，总结出了完全平方公式。
在知识探索的过程中，同学们积极思考，大胆探索，团结协作共同取得了进步。
〈七〉[作业] P34 随堂练习 P36 习题。