第七章线性变换总结篇(高等代数)

第 7章 线性变换7.1知识点归纳与要点解析一．线性变换的概念与判别 1.线性变换的定义数域P 上的线性空间V 的一个变换σ称为线性变换，如果对V 中任意的元素,αβ和数域P 中的任意数k ，都有：()()()σαβσασβ+=+，()()k k σασα=。

注：V 的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。

2.线性变换的判别设σ为数域P 上线性空间V 的一个变换，那么：σ为V 的线性变换⇔()()()k l k l ,,V ,k,l P σαβσασβαβ+=+∀∈∀∈ 3.线性变换的性质设V 是数域P 上的线性空间，σ为V 的线性变换，12s ,,,,V αααα∀∈。

性质1.()()00,σσαα==-;性质2. 若12s ,,,ααα线性相关，那么()()()12s ,,,σασασα也线性相关。

性质3. 设线性变换σ为单射，如果12s ,,,ααα线性无关，那么()()()12s ,,,σασασα也线性无关。

注：设V 是数域P 上的线性空间，12,,,m βββ，12,,,s γγγ是V 中的两个向量组，如果：11111221221122221122s ss s m m m ms sc c c c c c c c c βγγγβγγγβγγγ=+++=+++=+++记：()()1121112222121212,,,,,,m m m s s s ms c c c c c c c c c βββγγγ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭于是，若()dim V n =，12,,,n ααα是V 的一组基，σ是V 的线性变换， 12,,,m βββ是V 中任意一组向量，如果：()()()11111221221122221122n n n n m m m mn nb b b b b b b b b σβααασβααασβααα=+++=+++=+++记：()()()()()1212,,,,m m σβββσβσβσβ=那么：()()1121112222121212,,,,,,m m m n n n mn b b c b b c b b c σβββααα⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭设112111222212m m n n mn b b c b b c B b b c ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，12,,,m ηηη是矩阵B 的列向量组，如果12,,,r i i i ηηη是12,,,m ηηη的一个极大线性无关组，那么()()()12,ri i iσβσβσβ就是()()()12,m σβσβσβ的一个极大线性无关组，因此向量组()()()12,m σβσβσβ的秩等于秩()B 。

4. 线性变换举例（1）设V 是数域P 上的任一线性空间。

零变换： ()00,V αα=∀∈； 恒等变换：(),V εααα=∀∈。

幂零线性变换：设σ是数域P 上的线性空间V 的线性变换，如果存在正整数m ，使得σ=m0，就称σ为幂零变换。

幂等变换：设σ是数域P上的线性空间V的线性变换，如果2σσ=，就称σ为幂等变换。

（2）nV P =,任意取定数域P 上的一个n 级方阵A ，令：111222n n n n x x x x x x A ,P x x x σ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=∀∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

（3）[]V P x =，()()()()[]D f x f x ,f x P x '=∀∈。

（4）n nV P⨯=，()ij A a =是V 中一固定矩阵，()n n X AX ,X P τ⨯=∀∈。

二．线性变换的运算、矩阵 1. 加法、乘法、数量乘法（1） 定义： 设V 是数域P 上的线性空间，,στ是V 的两个线性变换，定义它们的和στ+、乘积στ分别为：对任意的V α∈()()()()στασατα+=+，()()()()σταστα=任取k P ∈，定义数量乘积k σ为：对任意的V α∈()()()k k σασα=σ的负变换-σ为：对任意的V α∈()()()-=-σασα则στ+、στ、k σ与-σ都是V 的线性变换。

（2）()L V ={σσ为V 的线性变换}，按线性变换的加法和数乘运算做成数域P 上的维线性空间。

2. 线性变换的矩阵（1）定义：设V 是数域P 上的n 维线性空间，σ是V 的线性变换，12,,,n ααα是V 的一组基，如果：()()()11111221221122221122n n n n n n n nn na a a a a a a a a σαααασαααασαααα=+++=+++=+++那么称矩阵112111222212n n nnnn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为线性变换σ在基12,,,n ααα下的矩阵。

此时：()()()()()()121212,,,,,,,n n n A σααασασασαααα==（2）线性变换的和、乘积、数量乘积、逆变换、负变换及线性变换多项式的矩阵：设12,,,n ααα是数域P 上的n 维线性空间V 的一组基，(),L V στ∀∈，设它们在12,,,n ααα下的矩阵分别为A,B 。

1）():n nf L V P⨯→，A σ是数域P 上的线性空间()L V 到数域P 上的线性空间n n P ⨯的同构映射，因此()n n L V P ⨯≅。

2）σ可逆⇔A 可逆3）①στ+、στ与-σ在基12,,,n ααα下的矩阵分别为A B,AB +与A -； ② 任取k P ∈，k σ在基12,,,n ααα下的矩阵为kA ；③ 若σ为可逆线性变换，则1σ-在基12,,,n ααα下的矩阵为1A -；④ 设()1110mm m m f x a x a xa x a --=++++为数域P 上的任一多项式，那么()1110m m m m f a a a a σσσσε--=++++（ε为V 的恒等变换）在基12,,,n ααα下的矩阵为：()1110m m m m n f A a A a A a A a E --=++++。

三．特征值、特征向量与对角矩阵1. 矩阵的特征值与特征向量（1）矩阵的特征多项式：设A 为n 级复方阵，将多项式()λλ=-A n f E A 称为A 的特征多项式。

注： 1）若()ijnnA a =，则：()()()()1112211λλλλ-=-=+-+++++-nn n A n nn f E A a a a A()()()11tr 1λλ-=+-++-nn n A A2) 将λ-n E A 称为矩阵A 的特征矩阵，0λ-=n E A 称为矩阵A 的特征方程。

（2） 定义：n 级方阵A 的特征多项式()λλ=-A n f E A 在复数域上的所有根都叫做其特征值（根），设0λ∈C 是A 的特征值，齐次线性方程组()0λ-=n E A X 的每个非零解都叫做矩阵A 的属于其特征值0λ的特征向量。

（3）求法：1）求()λλ=-A n f E A 在复数域上的所有根12λλλn ,,,（重根按重数计算）； 2）对()1λ=k k ,n 解齐次线性方程组()0λ-=k n E A X ，得其一个基础解系12,,,,ηηηk k k k l （=-k l n 秩()λ-k n E A ），则矩阵A 的属于特征值λk 的全部特征向量为1122,,ηηη+++k k k k k k k l k l s s s ，其中12,,,,k k k k l s s s 为不全为零的任意常数（复数）。

（4） 重要结论：1）设0λ∈C 是A 的特征值，0X 是A 的属于其特征值0λ的特征向量，()g x 为一复系数多项式。

① ()0λg 为()g A 的特征值，0X 为()g A 的属于特征值()0λg 的特征向量； ② 如果A 还是可逆矩阵，那么1λ与λA分别为1-A 和*A 的特征值，0X 为1-A 的属于特征值01λ的特征向量，0X 为*A 的属于特征值λA的特征向量，③ 若12λλλn ,,,是矩阵A 的全部特征值，那么()()()12λλλn g ,g ,,g 就是()g A 的全部特征值，如果A 还是可逆矩阵，则12111λλλn,,,为1-A 的全部特征值，12λλλnA A A,,,为*A 的全部特征值；2）若12λλλn ,,,是矩阵A 的全部特征值，那么()12tr λλλ=+++n A ，12λλλ=n A 。

2. 线性变换的特征值与特征向量（1）定义：设σ是数域P 上的线性空间V 的线性变换，0λ∈P ，若存在0α≠∈V ，使得()0σαλα=，就称0λ为σ的一个特征值，α为σ的一个属于特征值0λ的特征向量。

（2）线性变换的特征多项式设σ是数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换，任取V 的一组基12,,,n ααα，设σ在该基下的矩阵为A ，称矩阵为A 的特征多项式λ-n E A 为σ的特征多项式，记为()σλλ=-n f E A ，即线性变换的特征多项式为其在任意基下矩阵的特征多项式。

（3）求法：设σ是数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换。

1）取定V 的一组基12,,,n ααα，求出σ在该基下的矩阵A ；2）求()σλλ=-n f E A 在P 中的所有根12λλλm ,,,（0≤≤m n ，重根按重数计算，且0=m 表示σ无特征值）。

3）若0>m ，对()1λ=k t ,s 解齐次线性方程组()0λ-=k n E A X ，得其一个基础解系12,,,,ηηηk k k k l （=-k l n 秩()λ-k n E A ），则线性变换σ的属于特征值λk 的全部特征向量为()()121122,,,,,αααηηη+++k kn k k k k k l k l s s s ，其中12,,,,k k k k l s s s 为P 中不全为零的任意常数。

3. 矩阵相似（1）定义：设A,B 是数域P 上的两个n 级方阵，如果存在数域P 上的n 级可逆矩阵T ，使得1-=T AT B ，就称矩阵A 相似于矩阵B ，记为AB 。

（2）性质：1）矩阵相似是等价关系，即：设A,B,C 都是n 级方阵，那么：①A A ； ② 若A B ，那么B A ；③ 若A B 且B C ，则AC 。

2）若AB ，那么()()λλλλ=-==-A n B n f E A f E B ，因此矩阵A 与矩阵B 有相同的特征值，相同的迹（()()tr tr =A B ），相同的行列式（=A B ）。

3）两个实对称阵相似⇔它们有相同的特征值。

（3）有限维线性空间上的线性变换在不同基底下的矩阵彼此相似。

（4）若1-=T AT B ，那么1-+=∀∈kkB T A T ,k Z 。