2020-2021无锡市无锡一中高三数学上期中第一次模拟试卷附答案
江苏省无锡一中高三上学期期中考试试题(数学)
江苏省无锡一中高三上学期期中考试试题（数学）考试时间：1 满分：160分一、解答题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．命题“b a >∀，都有22b a >”的否定是 ．2．已知全集}6,5,4,3,2,1{=U ，集合}5,3,1{=A ，}2,1{=B ，则=B A C U )( ． 3．已知(1,2),(2,),(2,1)a b k c =-==-，若()a b c +⊥，则k = ．4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于___________．5．已知椭圆22149x y +=的上．下两个焦点分别为1F ．2F ，点P 为该椭圆上一点，若1PF ．2PF 为方程2250x mx ++=的两根，则m = ．6．在△ABC 中，A =60,b =1,ABC ∆外接圆的半径为 ． 7．函数2log log (2)x y x x =+的值域是______________． 8．设0ω>，函数)3sin(πω+=x y 的图像向右平移45π个单位后与原图关于x 轴对称，则ω的最小值是 ． 9．给定下列四个命题：①如果一个平面内的两条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面相互平行； ②垂直于同一直线的两直线相互平行；③如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；④如果两个平面垂直，那么在一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．则其中真命题的序号是 ．10．设某商品一次性付款的金额为a 元，以分期付款的形式等额分成n 次付清，每期期末所付款是x 元，每期利率为r ，则x = ．11．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥--<=)1(3)5()1(31)(2x x x x x f ，则=+---)35()3(4321f f ．12．对于函数)(x f 定义域中任意的1x ．2x （1x ≠2x ）,有如下结论：①12()f x x + = 1()f x 2()f x ; ②)(21x x f ⋅ =1()f x +2()f x;③;0)()(2121>--x x x f x f④2)()()2(2121x f x f x x f +<+当)(x f =2x时，上述结论中正确结论的序号是 ．13．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *都有S n ＝23a n －13，若1<S k <9（k ∈N *），则k 的值为____________．14．二次函数()f x 的二次项系数为负，且对任意实数x ，恒有()(4)f x f x =-，若22(13)(1)f x f x x -<+-，则x 的取值范围是 ．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15． （本小题满分14分）已知集合{4A x y =，集合)}127lg(|{2---==x x y x B ，集合}121|{-≤≤+=m x m x C ．（1）求A B ；（2）若A C A = ，求实数m 的取值范围． 16．（本小题满分14分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1+2，S 3=9+3 2 （1）求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ； （2）设nS b nn =，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列． 17．（本小题满分15分）设函数)(x f 是定义在]1,0()0,1[ -上的奇函数，当)0,1[-∈x 时，212)(x ax x f +=（a 为实数）． （1）当]1,0(∈x 时，求)(x f 的解析式；（2）当1->a 时，试判断)(x f 在]1,0(上的单调性，并证明你的结论． 18．（本小题满分15分）已知函数2()2sin cos 2f x x x x =+（1）求函数()f x 的对称轴方程； （2）当(0,)2x π∈时，若函数()()g x f x m =+有零点，求m 的范围； （3）若02()5f x =，0(,)42x ππ∈，求0sin(2)x 的值．19．（本小题满分16分）设数列}{n b 满足：211=b ，n n n b b b +=+21， （1）求证：11111+-=+n n n b b b ；（2）若11111121++++++=n n b b b T ，对任意的正整数n ，05log 32>--m T n 恒成立．求m 的取值范围．本小题满分16分）设1x 、2x )(21x x ≠是函数)0()(223>-+=a x a bx ax x f 的两个极值点． （1）若2,121=-=x x ，求函数)(x f 的解析式； （2）若22||||21=+x x ，求b 的最大值；（3）设函数)()(')(1x x a x f x g --=，12(,)x x x ∈，当a x =2时，求证：21|()|(32)12g x a a ≤+．参考答案一、填空题：1．b a ≤∃，使得22b a ≤； 2．}2{； 3．8； 4．6； 5．339； 6．-3；7．),3[]1,(+∞--∞ ； 8．45； 9．③④；10．1)1()1(-++nnr r ar ； 11．3；12．①③④； 13．4；14．),0()21,(+∞--∞ ． 二．解答题：15．解：（1）∵),7[]2,(+∞--∞= A ，………………………………………………2分)3,4(--=B ，………………………………………………4分∴)3,4(--=B A ．………………………………………………6分 （2） ∵A C A =∴A C ⊆．………………………………………………8分①φ=C ,112+<-m m ,∴2<m ．……………………………………9分 ②φ≠C ,则⎩⎨⎧-≤-≥2122m m 或⎩⎨⎧≥+≥712m m ．……………………………12分∴6≥m ．………………………………………………13分综上，2<m 或6≥m …………………………14分16．解：（1）∵S 3=9+32，∴a 2=3+2，∴d =2…………………………………2分∴a n =1222)1(21-+=⋅-++n n ，………………………4分n n n n S n 22)12221(2+=-+++⋅=．…………………6分（2）∵2+==n nS b nn …………………7分 假设数列{b n }存在不同的三项p b ，q b ，m b 成等比数列 ∴2q b =m p b b ⋅，…………………9分 ∴)2()2()2(2+⋅+=+m p q∴)(2222m p pm q q +⋅+=+…………………10分∴⎩⎨⎧+==mp q pm q 22，…………………………………12分 ∴0)(2=-m p ，即m p =与m p ≠矛盾，∴ 数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．…………………14分 17．解：（1）设]1,0(∈x ，则)0,1[-∈-x ，…………………1分212)(xax x f +-=-…………………3分 ∵)(x f 是奇函数∴)()(x f x f --=…………………5分 ∴212)(xax x f -=，]1,0(∈x …………………7分 （2）)(x f 在]1,0(上单调递增…………………8分 ∵3/22)(x a x f +=…………………10分 ∵1->a ，]1,0(∈x ∴013>+xa …………………13分 ∴0)(/>x f∴)(x f 在]1,0(上单调递增． …………………15分18．解：（1） ∵()sin 222f x x x =+=2sin(2)23x π++………………3分∴对称轴方程为212ππk x +=，Z k ∈．………………………………4分（2） ∵(0,)2x π∈ )34,3(32πππ∈+x∴sin(2)(3x π+∈ ∴]4,23(2)32sin(2+-∈++πx ……………………………7分∵函数()()g x f x m =+有零点，即()f x m =-有解．……………8分即]4,23(+-∈-m)23,4[--∈m ． ……………9分（3）02()5f x =即022sin(2)235x π++= 即04sin(2)35x π+=-……10分∵0(,)42x ππ∈ ∴0542(,)363x πππ+∈又∵04sin(2)35x π+=-，∴042(,)33x πππ+∈……11分∴03cos(2)35x π+=-………………………………………………12分∴0sin(2)x =0sin[(2)]33x ππ+-…………………………………13分=00sin(2)coscos(2)sin 3333x x ππππ+-+=413()()5252-⨯--⨯．………………………………………………15分 19．解：（1）∵,211=b )1b (b b b b n n n 2n 1n +=+=+, ∴对任意的0 *,>∈n b N n ． ∴,1b 1b 1)1b (b 1b 1n n n n 1n +-=+=+即1n n n b 1b 11b 1+-=+．…………4分（2）111132211211)11()11()11(+++-=-=-++-+-=n n n n n b b b b b b b b b T ．…7分 ∵,b b ,0b b b n 1n 2n n 1n >∴>=-++ ∴数列}b {n 是单调递增数列． ∴数列{n T }关于n 递增．∴1T T n ≥．……………………………10分 ∵211=b ，∴43)1(112=+=b b b ∴321221=-=b T ……………………………12分 ∴32≥n T ∵05log 32>--m T n 恒成立， ∴53log 2-<n T m 恒成立，∴3log 2-<m ……………………………14分 ∴810<<m ．……………………………16分 ：（1）∵)0()(223>-+=a x a bx ax x f ，∴)0(23)(22>-+='a a bx ax x f 依题意有-1和2是方程02322=-+a bx ax 的两根∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=32321a a b ，． ……………………………3分解得⎩⎨⎧-==96b a ，∴x x x x f 3696)(23--=．（经检验，适合）． ……………………4分（2）∵)0(23)(22>-+='a a bx ax x f ,依题意，12,x x 是方程()0f x '=的两个根，∵0321<-=ax x 且22||||21=+x x ， ∴8)(221=-x x ．……………………………6分 ∴834)32(2=+-a ab ， ∴)6(322a ab -=． ∵20b ≥∴06a <≤．……………………………7分设2()3(6)p a a a =-，则2()936p a a a '=-+．由()0p a '>得40<<a ，由()0p a '<得4>a ．………………………8分 即：函数()p a 在区间(0,4]上是增函数，在区间[4,6]上是减函数，∴当4=a 时，()p a 有极大值为96， ∴()p a 在]6,0(上的最大值是96，∴b 的最大值为64． ……………………………9分（3）证明：∵21,x x 是方程0)('=x f 的两根，∴))((3)('21x x x x a x f --=． ．………………………10分 ∵321ax x -=⋅，a x =2， ∴311-=x ． ∴|]1)(3)[31(||)31())(31(3||)(|--+=+--+=a x x a x a a x x a x g ………12分 ∵21x x x <<，即1.3x a -<<∴)133)(31(|)(|++-+=a x x a x g ………13分 |()|g x )313)(31(3+-+-=a x x aa a a a x a 3143)2(3232+++--=……14分323143a a a ++≤12)23(2+=a a ．∴|()|g x 2(32)12aa +≤成立． ……………………………16分。
2020-2021无锡市滨湖中学高中必修一数学上期中第一次模拟试卷及答案
9．B
解析：B
【解析】
【分析】
由函数的解析式可得函数 f（x）＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1 的对称轴为 x＝2，此时，函数取
得最小值为 1，当 x＝0 或 x＝4 时，函数值等于 5，结合题意求得 m 的范围．
【详解】
∵函数 f（x）＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1 的对称轴为 x＝2，此时，函数取得最小值为 1，
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
5．若函数
f
x
ax , x 1
2 3a x
1,
x
是
1
R
上的减函数，则实数 a
的取值范围是(
)
A．
2 3
,1
B．
3 4
,1
C．
2 3
,
3 4
D．
2 3
,
6．已知函数
f
(x)
x
a x
1
(x 1)
x2 2x (x 1)
取值范围．
4．B
解析：B 【解析】
【分析】
化简 a cos A bcos B 得到 A B 或 A B ，再判断充分必要性. 2
【详解】
a cos A bcos B ，根据正弦定理得到： sin Acos A sin Bcos Bsin 2A sin 2B
故 2A 2BA B 或 2A 2B A B ， ABC 为等腰或者直角三角形. 2
三、解答题
21．已知函数 f x Asin x A 0, 0, ，在同一周期内，当 x
12
时， f x 取得最大值 4 ：当 x 7 时， f x 取得最小值 4 .
江苏省无锡市第一中学2020-2021学年高三上学期1月检测数学试题
江苏省无锡市第一中学2021届第一学期一月检测试卷高三数学一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1. 已知集合{A x y ==，142x B x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ）A. 12,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B. 11,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C. 1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦D. 1,22⎛⎤- ⎥⎝⎦C先求出集合,A B ，利用集合的交集运算进行求解即可由已知可得{}{}22021A x x x x x =--+≥=-≤≤，{}{}21122212x B x x x x x -⎧⎫=>=>-=>-⎨⎬⎩⎭，所以112A B x x ⎧⎫⋂=-<≤⎨⎬⎩⎭.故选：C2. 已知a 是实数，则复数22(2)(6)i a a a a -++-为纯虚数的充要条件是（ ） A. 0a =或2a =B. 0a =C. a R ∈，且2a ≠且3a ≠-D. a R ∈，且2a ≠B根据若复数(),a bi a b R +∈为纯虚数，则00a b =⎧⎨≠⎩求解.若复数22(2)(6)a a a a i -++-为纯虚数，则222060a a a a ⎧-=⎨+-≠⎩， 解得0a =，所以复数22(2)(6)i a a a a -++-为纯虚数的充要条件是0a =，故选：B3. 国庆阅兵式上举行升旗仪式，在坡度为15的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，某同学在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60和30，第一排和最后一排的距离为25米，则旗杆的高度约为（ ） 1.732≈ 2.449≈）A. 17米B. 22米C. 31米D. 35米C先把有关数据在图形中标出，求出△ACD 的各个角，解三角形，求出AC ，在三角形ABC 中,求出AB.如图示：在△ACD 中，∠ADC =30°+15°=45°，∠ACD =180°- 60°- 15°=105°， ∴∠CAD =180°- 45°- 105°=30°.由正弦定理得：sin sin CD ACDAC CDA=∠∠，∴225sin 2==2521sin 2CD CDA AC DAC⨯∠=∠在Rt △ABC 中，3sin 25231AB AC ACB =⨯∠=≈.故选：C 数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：(1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；(2)三角函数型应用题根据题意正确画图，把有关条件在图形中反映，利用三角知识是关键． 4. 如图，在ABC 中，6BC =，12BA BC ⋅=，点P 为边BC 上的一动点，则PA PC ⋅的最小值为（ ）A. 4-B. 3-C. 94-D. 0A作AO BC ⊥，利用向量数量积公式，可求得2BO =，4CO =，再利用向量的三角形法则，将求PA PC ⋅的最小值，转化为求PO PC ⋅得最小值，然后分类讨论P 与O 的位置关系，可知P 在O 右侧时，PA PC ⋅最小，再利用基本不等式求最值. 如图所示，作AO BC ⊥12BA BC ⋅=，6BC =，cos 12BA BC B ∴⋅=， 可得cos 2BA B =，即2BO =，4CO ∴= 利用向量的三角形法则，可知()PA PO OA PC PO PC PC ⋅=+⋅=⋅ 若P 与O 重合，则0PC PA ⋅=若P 在O 左侧，即P 在OB 上时, PA PO PC PC ⋅=⋅ 若PO 右侧，即P 在OC 上时，PA PO PC PC ⋅=-⋅，显然此时PA PC ⋅最小，利用基本不等式242PO PCPO PC⎛⎫+⎪-⋅≥-=-⎪⎪⎝⎭（当且仅当PO PC=，即P为OC中点时取等号）故选：A.关键点睛：解决本题的关键，一是向量的三角形法则，二是向量的数量积公式的运用，三是利用基本不等式求最值.5. 如图，《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物馆．有甲、乙、丙三人想根据该图编排一个舞蹈，首先由他们来选取该图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶、摇中的五个动作，每人至少模仿一个动作，且爬、扶、捡、顶、摇都要被依序模仿到，则选择的方案共有（）A. 60种B. 90种C. 100种D. 150种D根据题意，分2步进行：第一步：将5个动作分为3组，第二步：将分好的三组交给甲、乙、丙三人进行模仿，由分步计数原理计算可得答案.根据题意，分2步进行：第一步：将5个动作分为3组，若其中一组有3个动作，其他两组各1个动作，有3510C=种分法；若其中一组有1个动作，其他两组各有2个动作，有22532215C CA=种分法，所以，将5个动作分成3组共有10+1525=种分法；第二步：将分好的三组交给甲、乙、丙三人进行模仿，有336A=种情况，则有256150⨯=种选择的方案.故选：D.方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”； （2）不相邻问题采取“插空法”； （3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.6. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线均和圆22:650C x y x +-+=相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为A. 22154x y -=B. 22145x y -=C. 22136x y -=D. 22163x y -=A试题分析：双曲线的渐近线为by x a=，所以0bx ay -=，22650x y x +-+=变形为()2234x y -+=，所以圆心为()3,0,2r =()222222329435,4b c c a c c a b =∴=∴-==∴==，所以双曲线方程为22154x y -= 考点：双曲线方程及性质7. 一种药在病人血液中的量保持3000mg 以上才有效，现给某病人注射了这种药5000mg ，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过约（ ）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（lg20.301=，1g30.4771=） A. 2.3小时 B. 3.5小时C. 5.6小时D. 8.8小时A根据指数函数模型列出方程，解之可得．设从现在起经过x 小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效. 则50000.83000x ⨯=， 即0.80.6x =，所以lg0.8lg0.6x =，lg0.8lg0.6x =，6lglg 0.6lg 2lg310.3010.4771110 2.38lg 0.83lg 2130.3011lg 10x +-+-====≈-⨯-.故选：A8. 已知函数()f x 在[,]a b 上有定义，若对任意1x ，2,[]x a b ∈，有12121()[()()]22x x f f x f x +≤+，则称()f x 在[,]a b 上具有性质P ．设()f x 在[1,2021]上具有性质P ，则一定有（ ） A. ()f x 在[1,2021]上图象是连续不断的 B. 2()f x 在[1上具有性质P C .()(1011)f x f ≥D. 对任意的1x ，2x ，[]31,2021x ∈，有123123()()()()33x x x f x f x f x f ++++≤ D根据题目告诉的心定义，通过举例,12021()2,2021x x f x x -≤<⎧=⎨=⎩，判断A 错误；以及22()f x x =-判断B 错误；()f x x =-在(1011,2021]x ∈时，不成立； 利用若对任意1x ，2,[]x a b ∈，有12121()[()()]22x x f f x f x +≤+，则称()f x 在[,]a b 上具有性质P ,可推广到n =3时仍然成立.A.若,12021()2,2021x x f x x -≤<⎧=⎨=⎩ ，则虽然在[1,2021]满足性质P ，但是不连续，故A 错误；B.若()f x x =- 在[1,2021]上具有性质P ,但22()f x x =-在[1,2021]上不具有性质P ，故B 错误；C. 若()f x x =- 在[1,2021]上具有性质P ，但当(1011,2021]x ∈ 时，()(1011)f x f < ，故C 错误；D.由题可推理，对123,,,[,]n x x x x a b ∈ ，则12121()[()()()]nn x x x f f x f x f x nn+++≤+++ ，故D 正确.故选：D深刻理解新概念，由题中的2n = 推广到3n = ，以及通过举例在来说明是否成立，从而逐项判断对错.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9. 下列命题中是真命题是（ ）A. 在四边形ABCD 中，若0AB CD +=，且0AC BD ⋅=，则四边形ABCD 是菱形B. 若点G 为ABC 的外心，则0GA GB GC ++=C. 向量1(2,3)e =-，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭能作为平面内的一组基底D. 若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，则△ABC 为等腰三角形 ADA 由相反向量的定义及向量数量积的垂直表示知ABCD 是菱形，B 根据钝角三角形外心即可判断命题的真假，C 由平面内基底的性质判断真假，D 利用向量加减法的几何含义及向量数量积的垂直表示即可判断真假.A ：四边形ABCD 中，由0AB CD +=知：线段AB 、CD 平行且相等，由0AC BD ⋅=知：对角线相互垂直，即ABCD 是菱形，真命题；B ：以钝角△ABC 的外心为例，显然若点G 为外心时，0GA GB GC ++≠，假命题； C ：由已知有124e e =，显然共线，所以不能作为平面内的一组基底，假命题；D ： OB OC CB -=，OB OA OC OA AB AC -+-=+，若D 为BC 中点，则2AB AC AD +=，由()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=有0CB AD ⋅=，所以AD 垂直平分BC ，即AB AC =，故△ABC 为等腰三角形.故选：AD.关键点点睛：利用相反向量的定义、向量数量积的垂直表示、平面中基底的性质、几何图形中向量加减法表示判断各选项所描述命题的真假. 10. 已知点(1,1)P -是角α终边上的一点，则( ) A.2α一定是第一象限的角 B. 若3sin()5βα+=，则7sin 225β=C. 函数5()cos(3)4g x x πα=++是奇函数 D. 将函数()sin(2)f x x α=+的图像向左平移4π个单位可以得到()cos(2)4g x x π=-的图像 BD由已知条件得2()4k k Z παπ=-∈，再逐次代入选项A ，B ，C ，D 中推理判断得解. 由已知条件得2()4k k Z παπ=-∈，28k αππ=-，k 是奇数，它是第二象限的角，k 是偶数，它是第四象限的角，选项A 错；选项B ：sin()sin(2)sin()44k ππβαβπβ+=+-=-，则3sin()45πβ-=，2237sin 2cos(2)cos 2()12sin ()12()244525πππββββ=-=-=--=-⋅=，B 正确；选项C ：55()cos(3)cos(32)cos3444g x x x k x πππαπ=++=+-+=-是偶函数，C 错； 选项D ：()sin(22)sin(2)44f x x k x πππ=+-=-的图像向左平移4π个单位可得，sin[2()]sin[(2)]cos(2)44424y x x x πππππ=+-=-+=-，与g (x )一致，D 正确.故选：BD函数图象左右平移，是平移的量先与自变量x 加减后再乘x 的原有系数，切忌直接加减平移的量.11. 设x ，R y +∈，S x y =+，P xy =，以下四个命题中正确的是（ ） A. 若P 为定值m ，则S有最大值B. 若2S kP ≥总成立，则k 的取值范围为4k ≤ C. 若S P ，则S 有最小值4 D. 若S P ，则P 有最大值4BC分析】对于A ：利用基本不等式求出S有最小值 对于B ：先用分离参数法，再利用基本不等式求出最小值，即可判断； 对于C 、D ：直接利用基本不等式，即可解出. ∵x ，R y +∈，∴有x y +≥对于A ：若P 为定值m ，则S有最小值A 错误； 对于B ：2S kP ≥总成立，即()22x y Sk Pxy+≤=恒成立；因为()2222222,4x y x y xyx y xy xyxy++++≥∴=≥，∴2min 4S k P ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭.故B 正确； 对于C ：若SP ，即x y xy +=，因为x y +≥xy ≤，解得：4xy ≥，所以S 有最小值4.故C 正确； 对于D ：若SP ，即x y xy +=，因为x y +≥xy ≤，解得：4xy ≥，所以P 有最小值4.不是最大值.故D 错误.故选：BC.易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方． 12. 已知72367012367(2)(1)(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x a x +=+++++++++++，则（ ）A. 521a =B. 7(1)0ii i a =-=∑C. 71448i i ia ==∑D. 0a ，1a ，2a ，…，7a 这8个数中6a 最大ABC由题设可知7001177777(2)(1)(1)...(1)x C x C x C x +=++++++，进而根据各选项的分别求5a 、70(1)i ii a =-∑、71ii ia =∑的值，并可确定0a ，1a ，2a ，…，7a 的最大值.由77001177777(2)[1(1)](1)(1)...(1)x x C x C x C x +=++=++++++， ∴结合已知：55721a C ==，则A 正确；由7012345670(1)ii i a a a a a a a a a =-=-+-+-+-∑，可令2x =-有7(2)0x +=，即7(1)0ii i a =-=∑，则B 正确；由71234567123456777777771234567234567448i i ia a a a a a a a C C C C C C C ==++++++=++++++=∑，则C 正确；由展开式知：34,a a 在这8个数中最大，则D 错误.故选：ABC.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 13. 已知等比数列{}n a 的前n 项和32n n S a =⨯-，则a =________． 2由题设得132a a =-，若1q =有11n n n a S S ++=-与1a 不相等，与假设矛盾，进而根据等比前n 项和公式，结合已知列方程求参数a 即可. 由题设，1132a S a ==-，若1q =时，()()()1*1132322332n n n n n n a S S a a a a n N +++=-=⋅--⋅-=⋅≠-∈，故与1q =矛盾，∴1(1)321n n n a S q a q =-=⋅--，即1321q a a q =⎧⎪⎨==⎪-⎩，显然成立. 故答案为：2.14. 某校一次高三数学统计，经过抽样分析，成绩X 近似服从正态分布()2110,N σ，且P (90110)X ≤≤0.3=，该校有1000人参加此次统考，估计该校数学成绩不低于130分的人数为________． 200根据X 近似服从正态分布()2110,N σ，且P (90110)X ≤≤0.3=，求得(130)p X ≥即可.因为X 近似服从正态分布()2110,N σ，且P (90110)X ≤≤0.3=，所以()()113012901300.22P X P X ⎡⎤≥=-≤≤=⎣⎦， 又该校有1000人参加此次统考，估计该校数学成绩不低于130分的人数为10000.2200⨯=人. 故答案为：200.15. 我们称点P 到图像C 上任意一点距离的最小值为点P 到图像C 的最小距离，记作(,)d P C ，则点(3,0)P 到抛物线C ：24y x =的距离(,)d P C 是________．22设点(),Q x y 为抛物线C ：24y x =的任意一点，由两点间的距离公式可求出PQ 的最小值，从而得出答案.设点(),Q x y 为抛物线C ：24y x =的任意一点，则()()22222236942918PQ x y x x x x x x =-+=-++=-+=-+ 当1x =时，min 22PQ = 所以(,)22d P C = 故答案为：2216. 如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，P 是1AA 的中点，Q 是侧面正方形11BB C C 内的动点，当1//DQ 平面PBD 时，点Q 的轨迹长度为______，若点Q 轨迹的两端点和点1C ，1D在球O 的球面上，则球O 的体积为______.(1).5 (2).92π取1CC 中点0Q ，可证明平面110//B D Q 平面PBD ，得点Q 的轨迹为线段10B Q ，得出Q 的轨迹长度，由点Q 轨迹的两端点和点1C ，1D 在球O 的球面上，即球O 是三棱锥1110D B C Q -的外接球，又三棱锥1110D B C Q -的外接球和长方体1PC 的外接球为同一球，从而可得答案案. 如图所示，因为P 是1AA 的中点，取1CC 中点0Q ，11//D B DB ,BD ⊂平面PBD ,11B D ⊄平面PBD ,则11//D B 平面PBD10//B Q PD ,PD ⊂平面PBD ,10B Q ⊄平面PBD ,则10//B Q 平面PBD由11101D B B Q B ⋂=，所以平面110//B D Q 平面PBD . 又平面110B DQ ⋂平面1110BBC C B Q = 当点Q 的轨迹为线段10B Q ，满足1//D Q 平面PBD 因为正方体棱长为2，所以105B Q =. 点Q 轨迹的两端点为10，B Q ，过10，B Q 1C ，1D 的球也即是三棱锥1110D B C Q -的外接球. 三棱锥1110D B C Q -的外接球和长方体1PC 的外接球为同一球所以球O 的直径就是10AQ ，22101+2+23A Q ==，则球O 的半径为32故球O 体积为92π. 故答案为：5，92π本题考查动点的轨迹的探索问题，考查线面、面面的平行的证明，考查锥体的外接球的体积，属于中档题.四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()sin sin sin c b C a A b B -=-． （1）求角A ；（2）若5b =，7a =，求cos C 的值． （1）3A π=；（2）17．（1）由条件等式，应用正弦定理的边角关系得222b c a bc +-=，结合余弦定理可得1cos 02A =>，根据三角形内角的性质求A 即可. （2）由（1）所得222b c a bc +-=，将已知a 、b 的值代入求c ，再由余弦定理求cos C 即可. （1）∵()sin sin sin c b C a A b B -=-，∴由正弦定理知：()22c b c a b -=-，即222b c a bc +-=，∴2221cos 022b c a A bc +-==>，又()0,A π∈，∴3A π=． （2）∵5b =，7a =，且222b c a bc +-=∴225495c c +-=，即25240c c --=，解得8c =（3c =-舍去），∴2224925641cos 22577a b c C ab +-+-===⨯⨯，∴cos C17． 18. 已知数列{}n a 是等比数列，12a =，且2a ，32a +，4a 成等差数列，数列{}n b 满足：2321232n b b b n nb n +++++=（n N *∈）． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求证：312123223nnb b b ba a a n a ++++<⋅⋅⋅． （1）2n n a =，2n b n =；（2）证明见解析.（1）由题意列出方程组求出n a ，根据递推关系，做差可求出n b ； （2）根据错位相减法求和即可求证不等式成立. （1）∵2a ，32a +，4a 成等差数列． ∴()32422a a a +=+， ∵12a =∴22312a a q q ==，212a a q q ，14332a a q q ==∴()2322222q q q +=+， 化简得()()22211q q q +=+∴2q ，∴111222n n n n a a q--==⋅=∵2321232n bb b n nb n +++++=① ∴11b =，2132b b +=，得24b = 且232112312n b b b n nb n --++++=-② ①-②得：n b n n=，2n b n =，2n ≥经检验1n =，上式也成立．∴n *∈N 时，2n b n =． 综上所述，2n n a =，2n b n =．（2）2122nn n n b n n na n ⎛⎫==⋅ ⎪⋅⎝⎭， 令31212323nn nb b b b T a a a na =++++即2311111232222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2311111112122222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+∴231111111222222nn n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111()11221122212n n n n n n ++⎡⎤-⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-∴2222n n nT +=-<，故原不等式成立．关键点点睛：数列的通项为等差数列与等比数列相乘的形式，求和的时候选择错位相减法是解题的关键，属于中档题.19. 近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有着很大的健康隐患．目前，国际上常用身体质量指数（英文为Body Mass Index，简称BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是()()22gBMIm=体重单位:k身高，中国成人的BMI数值标准为：BMI18.5＜为偏瘦；18.5BMI23.9≤＜为正常；24BMI27.9≤＜为偏胖；BMI28≥为肥胖．某地区随机调查了100名35岁以上成人的身体健康状况，测量身高、体重并计算BMI数值．（1）根据调查结果制作下面的22⨯列联表，并判断能否有99%的把握认为35岁以上成人肥胖与不经常运动有关?参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．参考数据：（2）如果视样本的频率视为概率，现随机地从这个地区抽取经常运动人群中的3人，不经常运动人群中的1人座谈，记这4人中肥胖人数为X，求X的分布列和数学期望．（1）表格见解析，有；（2）分布列见解析，8 5 .（1）根据已知数据可完善列联表；（2）由已知得出“经常运动且不肥胖”的频率，“不经常运动且不肥胖”的频率，X可能的取值为0，1，2，3，4．求得随机变量取每一个值的概率，可得分布列及期望.【解】（1）填表如下：所以22100(20162440) 6.92660404456K ⨯-⨯==⨯⨯⨯，因为6.926 6.635>，所以有99%的把握认为肥胖与不经常运动有关． （2）“经常运动且不肥胖”的频率为402603=，“经常运动且肥胖”的频率为201603=．“不经常运动且不肥胖”的频率为162405=，“不经常运动且肥胖”的频率为244053=． 现随机抽取的4人中，4人中肥胖的人数X 可能的取值为0，1，2，3，4．3216(0)325135P X ⎛⎫⨯===⎪⎝⎭， 33032123+5512216(1)33345P X C C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭⨯⨯⨯，1223312121216(2)333353542+5P X C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⨯⨯⨯⨯，323332121220(3)35331353+5P X C C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⨯⨯⨯⎝⎭， 3131(4)3545P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，所以随机变量X 的分布列为所以X 的数学期望()0123+41354545135455E X =⨯+⨯+⨯+⨯⨯=． 方法点睛：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，求解离散型随机变量分布列的步骤是： 1.首先确定随机变量X 的所有可能取值；2.计算X 取得每一个值的概率，可通过所有概率和为1来检验是否正确；3.进行列表，画出分布列的表格；4.最后扣题，根据题意求数学期望或者其它．20. 如图所示，三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，平面α经过棱PC 的中点E ，与棱PB ，AC 分别交于点F ，D ，且//BC 平面α，//PA 平面α.（1）证明：AB ⊥平面α；（2）若2AB BC PA ===，点M 在直线EF 上，求平面MAC 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值的最大值. （1）证明见解析；（23（1）根据//BC 平面α，易知F 为棱PB 的中点，再根据BC AB ⊥，得到EF AB ⊥，再由PA ⊥平面ABC ，得到PA AB ⊥，然后由线面垂直的判定定理证明.（2）以点B 为坐标原点，分别以BA ，BC 所在直线为x ，y 轴，过点B 且与AP 平行的直线为z 轴建立空间直角坐标系，分别求得平面MAC 的一个法向量()111,,m x y z =和平面PBC 的一个法向量()222,,n x y z =，然后由cos cos ,m n m n m nθ⋅==求解.（1）因为//BC 平面α，BC ⊂平面PBC ，平面α平面PBC EF =，所以//BC EF ，且F 为棱PB 的中点.因为BC AB ⊥，所以EF AB ⊥.同理，因为//PA 平面α，PA ⊂平面PAC ，平面α平面PAC DE =，所以//PA DE . 因为PA ⊥平面ABC ， 所以PA AB ⊥， 所以DE AB ⊥，又DE EF E =，所以AB ⊥平面DEF ， 即AB ⊥平面α.（2）如图所示，以点B 为坐标原点，分别以BA ，BC 所在直线为x ，y 轴，过点B 且与AP 平行的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0B ，()2,0,0A ，()0,2,0C ，()2,0,2P ，()1,1,1E ，()1,0,1F ，()2,2,0AC =-，()0,2,0BC =，()2,0,2BP =，设()1,,1M t ， 则()1,,1AM t =-，设平面MAC 的一个法向量为()111,,m x y z =，则11111220,0,m AC x y m AM x ty z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩令11x =，则11y =，11z t =-， 所以()1,1,1m t =-为平面MAC 的一个法向量. 设平面PBC 的一个法向量为()222,,n x y z =，则22220,220,n BC y n BP x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩则20y =，令21x =，则21z =-，所以()1,0,1n =-为平面PBC 的一个法向量. 设平面MAC 与平面PBC 所成的锐二面角为θ， 则()()222211cos cos ,2321112m n t t m n m nt t t θ⋅--====-+⨯++-⨯.当0t =时，cos 0θ=；当0t ≠时，22cos 32112123233t t t θ==⎛⎫-+⨯-+⨯ ⎪⎝⎭， 当且仅当113t =，即3t =时，2112333t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值23，cos θ取得最大值，最大值为3223=⨯所以平面MAC 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值的最大值为3. 方法点睛：二面角的求解主要有两种方法：一是几何法，根据几何体的结构特征与线面位置关系作出二面角的平面角，然后转化为解三角形问题求解；二是向量法，直接利用二面角的两个半平面的法向量的夹角表示所求.前者的计算量小，但在确定二面角的平面角的过程中需要利用线面位置关系进行逻辑推理；后者计算量大，但逻辑推理的过程很少.21. 如图所示，椭圆22221x y a b +=()0a b >>的左顶点和上顶点分别为A 、B ，22,2D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎭为椭圆上一点，且3e =．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为线段OD 延长线上一点，直线P A 交椭圆于另外一点E ，直线PB 交椭圆于另外一点F ．①求直线P A 与PB 的斜率之积；②试判断PEF 和PAB △的面积之比是否为22PF PB ？说明理由．（1）2214x y +=；（2）①14；②是；理由见解析.（1）D坐标代入椭圆方程，离心率ce a==，建立方程组待定系数法求解； （2）①先由O 、P 、D 三点共线，设出点P 坐标，用它表示直线P A 与PB 的斜率12,k k ，整理化简得12k k 为定值；②先从结论入手分析，将几何面积比问题转化为平行关系，再转化为斜率问题，最后求证EF 斜率为定值即可.所以先联立直线P A(PB)与椭圆方程求解E(F)坐标，从而得到EF 的斜率，注意应用①结论1214k k =消元化简即可. （1）∵D ⎭在椭圆上，∴222112a b +=①又∵2e =c a = 又∵222a b c =+，∴2a b =② 由①、②得1b =，2a =，∴椭圆的标准方程为2214x y +=．（2）①直线OD ：12y x =-，设(2,)P p p -，0p >，且(2,0)A -，(0,1)B ， 则1112224(1)4PA PB p p p k k p p p ---+⋅=⋅==++， ∴直线P A 、PB 得斜率之积为14． ②设直线PB ：11y k x =+，221441x y y k x ⎧+=⎨=+⎩，解得：121814k x k =-+，∴2112211814,1414k k F k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭设直线P A ：2(2)y k x =+，联立22244(2)x y y k x ⎧+=⎨=+⎩，得2222222(14)161640k x k x k +++-=， 由韦达定理知，2222164214E k x k -+-=，则22222814E k x k -=+， ∴2222222284,1414k k E k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 由①知1214k k =，将2114k k =代入E 点坐标， 得2112211824,4141k k E k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭∴211221121122114144114182824114EF k k k k k k k k k --++==-+++， 又∵12AB k =，∴EF AB k k =， ∴//EF AB ，故PEF 和PAB △面积之比为22PF PB ． 直线与圆锥曲线相交问题，关键在于交点坐标的处理. 联立直线与曲线方程后，通常针对不同题型有三种处理方法：一种是方程组简单易解，直接求解方程组；第二种是已知一交点求另一交点问题，可应用韦达定理，代入已知一根，将另一根表示出来，即“设而求”；第三种则是“设而不求”，设出交点坐标，利用韦达定理找到坐标与所设参变量之间的等量关系，应用等量关系消元或减元求解.22. 已知函数22()(1)e (1)x f x x a a x a a =-+++++．（1）求实数a 的值，使得倾斜角为45、在y 轴上截距为1-的直线l 是函数()y f x =图象的切线；（2）若对于任意实数a ，不等式()0f x >在[)0,x +∞()0x Z ∈上都成立，求0x 的最小值．（1）0a =或1-；（2）01x =.（1）设切点为()00,x y ，求该切点的导函数，根据其导函数与在该点的切线的关系列出方程组，解之可得答案.（2）求导，分析导函数的正负，得出原函数的单调性及最值，由此可得答案.（1）依题意得，直线l 的斜率为tan 1k α==，又∵l 在y 轴上截距为1-，设y kx b =+，则1b =-，则l ：1y x =-．∵l 是函数图像的切线，设切点为()00,x y ，则()()022000111x x e a a x a a x -+++++=-，即求()()02200110x x e a a x a a -+++++=①，又切线斜率为1，()()2(1)1x x f x e x e a a '=+-+++，则()()020111x x e x e a a +-+++=②，联立①②可得00x =，则0a =或1-．（2）由题意()2()1x f x xe a a '=+++，由上式，得当0x >时，()0f x '>，则()f x 单调递增，又∵2(0)1f a a =-++，当12a =时，1(0)04f =-<， ∴00x >，又∵2(1)2210f a a =++>恒成立，∴01x ≤，又∵0x 为整数，∴01x =．。
无锡一中2020高三期中数学
√
13. 函数 y = 2x − 1 的定义域为
.
14. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如表所示，若
某户居民某月交纳水费 60 元，则该月用水量
m3．
每户每月用水量 不超过 12m3 的部分 超过 12m3 但不超过 18m3 的部分 超过 18m3 的部分
取值围．
19.（12 分）已知 x > 0，y > 0，且 1 + 4 = 1． xy
(1) 求 x + y 的最小值 (2) 若 xy > m2 + 6 恒成立，求实数 m 的取值范围．
20.（12
分）某制造商为拓展业务，引进了一种生产体育器材的新型设备．通过市场分析发现，每月需投入
4
2
()
S 高一数学期中试卷 第 1 页（共 4 页）
10. 下列函数中是偶函数的有
A. y = x2 + 1
B.
y
=
2x
+
1 2x
()
√
√
C. y = x − 1 + 1 − x D. = |x + 1| + |x − 1|
11. 如图，某河塘浮萍面积 y(m2) 与时间 t(月) 的关系式为 ykat，则下列说法正确的是
无锡市第一中学 2020 ∼ 2021 第一学期期中考试试卷
高一数学
2020.11
一. 单项选择题：共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1. 设集合 A = {a，6}，B = {3，4，5}，A∩B = {3}，则 A∪B =
江苏省无锡市2021届新高考数学一模试卷含解析
江苏省无锡市2021届新高考数学一模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数e 1()e 1x x f x -=+，()0.32a f =，()0.30.2b f =，()0.3log 2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b a c << B ．c b a << C ．b c a << D ．c a b <<【答案】B 【解析】 【分析】可判断函数()f x 在R 上单调递增，且0.30.30.3210.20log 2>>>>，所以c b a <<.【详解】12()111e e x x xf x e -==-++在R 上单调递增，且0.30.30.3210.20log 2>>>>， 所以c b a <<. 故选：B 【点睛】本题主要考查了函数单调性的判定，指数函数与对数函数的性质，利用单调性比大小等知识，考查了学生的运算求解能力.2． “十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为A BC ．D ．【答案】D 【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为所以1(2,)n n a n n N -+=≥∈，又1a f =，则7781a a q f ===故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若1n n a q a +=（*0,q n N ≠∈）或1nn a q a -=（*0,2,q n n N ≠≥∈）， 数列{}n a 是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列{}n a 中，0n a ≠且212n n n a a a --=⋅（*3,n n N ≥∈），则数列{}n a 是等比数列.3．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ） A ．丙被录用了 B ．乙被录用了C ．甲被录用了D ．无法确定谁被录用了【答案】C 【解析】 【分析】假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可. 【详解】解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意， 若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意， 若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意， 综上可得甲被录用了， 故选：C. 【点睛】本题考查了逻辑推理能力，属基础题.4．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ） A ．3πB ．3π-C ．23π D ．23π-【答案】B 【解析】 【分析】因为时针经过2小时相当于转了一圈的16，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上即可得到本题答案. 【详解】因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为2π，按顺时针转所形成的角为负角，所以经过2小时，时针所转过的弧度数为11263ππ-⨯=-. 故选：B本题主要考查正负角的定义以及弧度制，属于基础题.5．如图，在ABC ∆中，点Q 为线段AC 上靠近点A 的三等分点，点P 为线段BQ 上靠近点B 的三等分点，则PA PC +=（ ）A ．1233BA BC + B ．5799BA BC + C ．11099BA BC + D ．2799BA BC + 【答案】B 【解析】 【分析】23PA PC BA BP BC BP BA BC BQ +=-+-=+-，将13BQ BA AQ BA AC =+=+,AC BC BA=-代入化简即可. 【详解】23PA PC BA BP BC BP BA BC BQ +=-+-=+-2()3BA BC BA AQ =+-+1233BA BC =+-⨯13AC 1257()3999BA BC BC BA BA BC =+--=+. 故选：B. 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算、数乘运算，考查学生的运算能力，是一道中档题.6．若,,x a b 均为任意实数，且()()22231a b ++-=，则()()22ln x a x b -+- 的最小值为（ ） A ．32B ．18C ．321-D ．1962-【答案】D【分析】该题可以看做是圆上的动点到曲线ln y x =上的动点的距离的平方的最小值问题，可以转化为圆心到曲线ln y x =上的动点的距离减去半径的平方的最值问题，结合图形，可以断定那个点应该满足与圆心的连线与曲线在该点的切线垂直的问题来解决，从而求得切点坐标，即满足条件的点，代入求得结果. 【详解】由题意可得，其结果应为曲线ln y x =上的点与以()2,3C -为圆心，以1为半径的圆上的点的距离的平方的最小值，可以求曲线ln y x =上的点与圆心()2,3C -的距离的最小值，在曲线ln y x =上取一点(),ln M m m ，曲线有ln y x =在点M 处的切线的斜率为1'k m=，从而有'1CM k k ⋅=-，即ln 3112m m m-⋅=-+，整理得2ln 230m m m ++-=，解得1m =，所以点()1,0满足条件，其到圆心()2,3C -的距离为()()22213032d =--+-=，故其结果为()23211962-=-，故选D. 【点睛】本题考查函数在一点处切线斜率的应用，考查圆的程，两条直线垂直的斜率关系，属中档题.7． “角谷猜想”的内容是：对于任意一个大于1的整数n ，如果n 为偶数就除以2，如果n 是奇数，就将其乘3再加1，执行如图所示的程序框图，若输入10n =，则输出i 的（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B 【解析】 【分析】模拟程序运行，观察变量值可得结论． 【详解】循环前1,10i n ==，循环时：5,2n i ==，不满足条件1n =；16,3n i ==，不满足条件1n =；8,4n i ==，不满足条件1n =；4,5n i ==，不满足条件1n =；2,6n i ==，不满足条件1n =；1,7n i ==，满足条件1n =，退出循环，输出7i =． 故选：B ． 【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构，解题时可模拟程序运行，观察变量值，从而得出结论．8．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos2tan 1sin 2βαβ=-，则（ ） A ．22παβ+=B ．4παβ+=C ．4αβ-=πD ．22παβ+=【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式,和同角三角函数的商数关系式,化简可得cos 2tan tan 1sin 24βπαββ⎛⎫==+ ⎪-⎝⎭,即可求得结果. 【详解】2222cos 2cos sin 1tan tan tan 1sin 2cos sin 2sin cos 1tan 4ββββπαβββββββ-+⎛⎫====+ ⎪-+--⎝⎭，所以4παβ=+，即4αβ-=π. 故选:C. 【点睛】本题考查三角恒等变换中二倍角公式的应用和弦化切化简三角函数,难度较易.9．已知函数2()35f x x x =-+，()ln g x ax x =-，若对(0,)x e ∀∈，12,(0,)x x e ∃∈且12x x ≠，使得()()(1,2)i f x g x i ==，则实数a 的取值范围是（ ）A ．16,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．741,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．74160,,e e e ⎡⎫⎛⎤⎪⎢ ⎥⎝⎦⎣⎭ D ．746,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】先求出()f x 的值域，再利用导数讨论函数()g x 在区间()0,e 上的单调性，结合函数值域，由方程有两个根求参数范围即可. 【详解】因为()g x ax lnx =-，故()1ax g x x='-， 当0a ≤时，()0g x '<，故()g x 在区间()0,e 上单调递减； 当1a e ≥时，()0g x '>，故()g x 在区间()0,e 上单调递增； 当10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，令()0g x '=，解得1x a=， 故()g x 在区间10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在区间1,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增. 又()11,1a g lna g e a e ⎛⎫=+=-⎪⎝⎭，且当x 趋近于零时，()g x 趋近于正无穷； 对函数()f x ，当()0,x e ∈时，()11,54f x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭； 根据题意，对(0,)x e ∀∈，12,(0,)x x e ∃∈且12x x ≠，使得()()(1,2)i f x g x i ==成立，只需()111,54g g e a ⎛⎫<≥ ⎪⎝⎭， 即可得111,154alna e+<-≥， 解得746,a e e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选：D. 【点睛】本题考查利用导数研究由方程根的个数求参数范围的问题，涉及利用导数研究函数单调性以及函数值域的问题，属综合困难题. 10．复数21i- (i 为虚数单位)的共轭复数是 A ．1+i B ．1−iC ．−1+iD ．−1−i【答案】B 【解析】分析：化简已知复数z ，由共轭复数的定义可得． 详解：化简可得z=21i -()()()21+=111i i i i =+-+∴z 的共轭复数为1﹣i. 故选B ．点睛：本题考查复数的代数形式的运算，涉及共轭复数，属基础题． 11．已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若函数()3222111()324f x x bx a c ac x =+++-存在极值，则角B 的取值范围是（ ） A ．0,3π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．,3π⎛⎫π⎪⎝⎭D ．,6π⎛⎫π⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】求出导函数()f x '，由()0f x '=有不等的两实根，即>0∆可得不等关系，然后由余弦定理可及余弦函数性质可得结论． 【详解】()3222111()324f x x bx a c ac x =+++-，()2221()4f x x bx a c ac '∴=+++-.若()f x 存在极值，则()2221404b ac ac -⨯⨯+->，222a c b ac ∴+-<又2221cos ,cos 22a cb B B ac +-=∴<.又()0,,3B B π∈π∴<<π． 故选：C ． 【点睛】本题考查导数与极值，考查余弦定理．掌握极值存在的条件是解题关键．12．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）与双曲线222212x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为（ ）A ．3y x =±B ．y =C ．2y x =± D ．y =【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得222222a b a b -=+，即223a b ，代入双曲线的渐近线方程可得答案.【详解】依题意椭圆22221(a b 0)x y a b +=>>与双曲线22221(a 0,b 0)2x y a b -=>>即22221(a 0,b 022)x y a b -=>>的焦点相同，可得：22221122a b a b -=+， 即223a b，∴3b a =3=,双曲线的渐近线方程为：3x y x=±=, 故选：A ． 【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省无锡市第一中学2020—2021学年高三上学期开学考试(解析版)
无锡市第一中学2020—2021学年度第一学期初检测试卷高三英语注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。
2．答卷前，务必将姓名、班级、学号、准考证号填写在答题卡上。
3．请用0.5毫米黑色签字笔按题号在答题卡指定区域作答，在其它位置作答一律无效。
一．听力第一节听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1.What does the man always do on Saturday?A. See a film.B. Have a class.C. Review his notes.2. How does the woman deal with difficult lectures?A. By recording them.B. By talking with lecturers.C. By attending them again.3. Where will the man fetch his notebook?A. In the library.B. In the classroom.C. In the teachers’ office.4. What kind of music does the man often listen to?A. Jazz music.B. Classical music.C. Rock music.5. What are the speakers mainly talking about?A. Sarah’s happy retirement.B. The man’s art classes.C. Their hobbies.第二节听下面5段对话或独白。
江苏省无锡市2021届高三上学期期中考试数学试题(解析版)
江苏省无锡市2021届高三上学期期中考试数学试题2020. 11一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分•在每小题给出的 四个选项中，只有一个是符合题U 要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1. 复数Z=心l ∙2f ）的共辘复数为A- 2-i B. 2÷i 【答案】B【考点】复数的运算【解析】由题意可知Z=K- 1・2/）=-/+2,则其共轨复数为2+i.故答案选B. 2. 设集合 M={X ∖X 2=X }9 N={x∣lgx<θ},则 M∪N=A ・{1}B ・（0, 1] 【答案】C【考点】集合的交集运算【解析】曲题意可知M = {04} , 7V = {xlO<x≤l},则MUN=[0, 1].故答案选C. 3. 历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了 重要的作用.比如意大利数学家列昂纳多一斐波那契以兔子繁游为例，引入“兔子数列”：即 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233...即a l ≈a 2=l f当π≥3时，5 =% +““，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用.若 此数列的各项依次被4整除后的余数构成一个新的数列他},记数列仮}的D ∙ -2-iC. [0, 1] D ∙ (-oo, 1]前〃项和为Sr则塔的值为A- 24 B. 26 C- 28 D∙ 30【答案】B【考点】文化题(数列的通项与求和)【解析】山题意可知“斐波那契数列”的各项依次被4整除后的余数构成一个新的数列此数列的各项求得：1, 1, 2, 3, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 1, 0, 1 .... , 则其周期为6,其中l÷l+2+3÷l+0=8,则S20 = 518+b l9÷⅛ = S18+b l +b2= 3x8 + 1 + 1 = 26,故答案选 B4.已知函数/(χ) = J,π' + 1, A<1 ,在R上单调递增，则〃加的最大值为(2-∕z)∖x≥ 19 1A・ 2 B. 1 C・一 D. 一4 4【答案】D【考点】分段函数的单调性、基本不等式综合【解析】由题意可知，函数在R上单调递增，则加>0, 2-7∕>b且w×l+l≤(2- 7J)1,解得〃7>0, "VI, 〃汁“W1,则由基本不等式可得JHH < f - +- ! ≤ —=—,I 2丿⑵4 当且仅当〃尸丄时取等号.故答案选D.25.一质点在力斤=(・3, 5),可=(2,・3)的共同作用下，由点A(10,・5)移动到B(-4, 0),则斤，瓦的合力F对该质点所做的功为A.24B.・ 24C. 110D. - 110【答案】A【考点】平面向量在物理中的应用【解析】由题意可知，斤,可的合力F=Tj+X=(・3, 5)+(2,・3)=(・1, 2), ∕⅛= (-4-10,0 + 5) = (-14,5),则由共点力平衡得合力尸对该质点所做的功为F AB = (-1,2)∙ (-14,5)= 24.故答案选 A.6.已知函数/(x) = (G-I)F-αsinx 是奇函数，则曲线y = /(Λ)在点(0, 0)处的切线斜率为A. 2B.・ 2C. 1D.・ 1【答案】D【考点】函数的奇偶性与函数的切线方程【解析】由题意函数为奇函数可知el=0,则函数可化为/(X) = -Sinx,则 ∕*(X) = -COsx,广(O) =-1,则由导数得儿何意义可知曲线y = ∕(Λ∙)在点(0, 0)处的 切线斜率为-1.故答案选D.2√14 I9 【答案】D【考点】三角函数的公式运用【解析】由题意cos(300 + 2a) = cos2(150 + a) = 2cos 2(150 + a)-l=^-l = -∣,则 sm(60o ・ la)= = cos[90o -(60°-2a)∖ = cos(30o + 2a) = -1.故答案选 D. 8. 某数学兴趣小组对形如fM = x 3+ax 2+bx + c 的某三次函数的性质进行研究, 得出如下四个结论，其中有且只有一个是错误的，则错误的结论一定是A.函数/(x)的图象过点(2, 1)B. 函数/(x)在X=O 处有极小值7.若 COS(15°+a)= — , 3则 sin(60o -2a)=B. D - -IC.函数的单调递减区间为[O, 2]D.函数f(x)的图象关于点(1, 0)对称【答案】B或C【考点】三角函数的图象与性质运用【解析】由题意对于A选项，/⑵= 8 + 4α + 2b + c = l ；对于B选项，f,(x)=3x2+2ax+b, f↑0) = h = 0；对于C选项，由递减区间可得广(O) = b = 0,广(2) = 12+4" + b = 0;对于D选项，函数/(x)的图象关于点(1, 0) 对称，贝∣J⅛∕(l + x)+/(I-X) = 0,可赋值得到：当X=O 时，2/(1) = 0,当x=l 时，/(2)+ /(0) = 0,即可得到8 + 4" + " + c + c = 0与l + α + b + c = 0,综上可知选项B、C矛盾，则由A选项和D选项解得«=-3 , b=3 , C=-I ,即/(x)=√-3√+3x-l=(x-l)3,则选项BC 错误.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题Ll要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上)9.下列结论正确的有A.若a>b>O,则acr>bc1B.命题"X∕x>O, 2Λ≥X2”的否定是Tx>0, 2x<^C.“三个连续自然数的乘积是6的倍数”是存在性命题D.u x<Γ,是“ Λ-- V丄”的必要不充分条件2 2【答案】BD【考点】不等式的性质、常用逻辑用语中否定、存在性命题、条件考查8【解析】由题意可知，对于A选项，当GO时不满足，则选项A错误；8【答案】BD【考点】三角函数的图象与性质应用【解析】由图象可知周期为Γ = 2∣^- + ^ = Λ∙,所以ω = ^- = 2,由图象过 / ∖ q ,0 , PlIJ --×2 + φ = - + 2kπ, k wZ 、解得φ = - + 2kπ, k eZ 9 又 OVeV < 8 √ 8 2 4π ,则φ = -, R=O,所以函数/(x) = 3sin 2x + -.对于A 选项，不」十「确；对 4 \ 4 >对于B 选项，否定形式正确，则选项B 正确；对于C 选项，该命题表示任意三 个连续的数满足题意,所以为全称性命题,则选项C 错误;对于D 选项, 1 1X ——<—解得OVZ,显然OVM 为Z 的真子集，WrX<1^ X-I疔的必要不充分条件，选项D 正确，故综上答案选BD.10.函数/(x) = 3Sin(QX+ 0)(e >0, 0< 0< ∕r)(*R)在一个周期 内的图象如图所示，则A.函数 f(x)的解析式为 /(x) = 3sin(2x + =)(xeR) 8B.函数/(对的一条对称轴方程是X =-—8C.函数/(x)的对称中心是(畑-Z 0), keZ8D.函数y = ∕(x +——)是偶函数第10题于B 选项，当X =-—时，f 5π T=-3,为最小值，选项 兀8X 2x -竺+竺 8 4B 正确;对于C 选项,当曲&时,也违卜3sin 2G2遥+手卜3,显然对称中心不是(kπ-7L , 0),故选项C 错误；对于D 选项，故选项D 正确•综上，答案选BD.11.已知数列匕｝满足d">o, = 2—(,7∈N*),数列匕｝的前〃项和为S”，则D ∙ A ^2O19Λ2O2O > 20 1 9 【答案】BC【考点】数列的通项与求和【解析】由也巴= —可知上-=<+zz ~1+—,即 心 一 1 心 a.・-1I W=I 时，贝 IJq=丄，即得到 a x a 1 = 1,故选项 B 正确;S n =a x +a 2+-∙ + a tl 所以⅛I √⅛2O =2O19,故选项C 正确，选项D 错误•综上，答案选BC.12・函数概念最早是在17世纪山德国数学家莱布尼茨提岀的，后乂经历了贝努 利、欧拉等人的改译.1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变 数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着 确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数•徳国数学家康托7π 3π} 一 + 一 =3Sin 2x + 2π + - =3cos2x 为偶函数,+ ・・・ + =3Sin 2x + 2A ∙ a λ =1 = 2019尔创立的集合论使得函数的概念更严谨.后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A, B是两个非空的数集，如果按某种对应法则 /对于集合A中的每一个元素X,在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B的一个函数”，因此，下列对应法则/满足函数定义的有A・ /(SinX) = COS 2x B∙ /(SinX) = XC. /(∣x-lI) = XD. /(X2+2X)=∣X +1∣【答案】AD【考点】文化题(函数的概念)【解析】对于A选项，/(Sinx) = COS 2x = 1 - 2 sin2 X,则/(x)=l-2x2,满足函数的概念，故选项A正确；对于B选项，可代入特殊值验证X-I则X可以为兰或空，则不满足有唯一的值，故选项B错误；对于C选I y∖2 J 6 6项，同样可以带入特殊值验证/(1),则X可以为1或0,同样不满足I y有唯一的值，故选项C错误；对于D选项，可令X2 +2x = t f则F+2x + l =f+ 1 = (x + l)', 则/(z)=∣χ+ι∣ = √77T,(∕≥-ι),满足函数的概念，故选项D正确：综上，答案选AD.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上)13.如图，在矩形ABCD中，AB=3, BC=4, M, N是BC ±的两动点，且MN=2,则丽•師的最小值为____________ •【答案】8【考点】平面向量的线性运算、数量积综合第13题【解析】由题意AB丄CN, BN丄DC,且可设BM=JG则CN=2-x, (OVXV2)则AMDN= AB+BM^DC CN =AB+ ∕⅛∙(^+BM∙ z5c+B⅛CW =9 + 0 + 0 +BΛ∕∙CΛ^=9+ BM ∙ CN COS180O=9-X(2-X)=X2 -2x + 9,(θ<x< 2),贝IJ x2-2x+9= (X-I) 2÷8≥8,当x=l时取得最小值・14 .在A?J;比数列｛d” ｝中，“2=2，= 1 &，则2“2 + 3“3 + …+ 1= __ •【答案】9216【考点】等比数列、错位相减法求和【解析】由题意在等比数列｛©｝中，可解得αι=l,(7=2,则2勺+3©+…+ 10®O = 2-21+3∙22+4∙23+--∙+10∙29=m,则2∙22+ 3∙23+4∙24+∙--+10∙2,° =2∕w ,两式相减可得2-2,+(22+23 + 24 + ∙∙- + 29)-10∙2l0=-m ,则一m = 2∙21÷2 -10-2*0=-9∙2,0=-9216,则原式=τw=9216.15.函数y = sin(2Λ + ?)的图像与直线)=α在(0,兰)上有三个交点，其横坐标4 8分别为勺，X2心，则x↑ + X2+ x3的取值范围为_ 【答案】碍, 【考点】三角函数的性质与函数的零点【解析】由题意因为心,刊，则2书馮茅,可画出函数大致的图象则由图可知当¥<皿时，方程/(g 有三个根，由2卄彳专解探烽2x + f =辛解得X = ¥，且点(引0)与点(七，0)关于直线X =彳对称，点心0)与点(x 3,0)关于直线X =—对称，所以x 1+%,=-81・4‘5;T 11“ 16.已知函数 /(x) = ' ln ^ X_1 ,令 ^(X) = f (x)-lcx , '"ι k= - 2e 2 时，有-.V ,+X, Λ < 1■g(Λ0) = 0，贝ho= _____ :若函数g(x)恰好有4个零点，则实数k 的值为 _____ .(本题第一空2分，第二空3分 ) 【答案】0, -√2e 2+1 :-e【考点】双空题：函数取值与函数零点【解析】由题意可知当XMI 时，g(x)= InX+ 2∕x>0恒成立，所以XoV0；当XVl 时，^(V) =-X 3 +x + 2e'X = 0,可化简得％(-十 +1 + 2/)=0 ,则X = O 或V =-Jl+2/ ；由上述题意该分段函数在x=0时为其一个零点，则当Λ ≠0时,可令f(x )-kx=O,5π1 ∖π 口 H—< x 1 + x 2 + x 3 < —^― , R 卩 x 1 +—.A≥l]则解得= -X Il A∙<h go ,若方程有四个解，则"丄.e四、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写岀文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）如图，在平行四边形ABCD中，点E, F, G分别在边AB, AD, BC ±,且满1 12 —•一 , _足AE= — AB, AF=-AD, BG=-BC,设AB = S AD = b∙3 3 3（1）用方，厶表示EF, EG；（2）若EF 二EG, ABEG = 25∙S,求角 A 的值•【考点】平面向量的线性运算即数量积应用f T T IflT 1 — 1 【解析】(1)曲平面向量的线性运算可知EF = AF-AE = — AD--AB =—b—一N ,3 3 3 3→→→2~*2τ2_2EG = EB+BG = -AB+-AD = -b+-a ・3 3 3 3(2)由题意因为EF□EG,所以ErEG=^(b-d∖^ + a)=^(b-ajp+a)EF' EG = -(I) -«)•— (/? +ci)=-(P-U∖lι +ci)=— f /; _问)=0,解得=|帀「，3 3 9 9 )所以屆•品= N∙f0 + N)=?同円COSA+ ?P「=2同耳COSA ,则可化简上式为—+—cosA = 2cosA ,解得COSA = -T 则A =兰.3 3 2 3 18・（本小题满分12分）2如图，设矩形ABCD （AB>BC ）fl<］周长为皿把匚ABC 沿AC 翻折到匚ABC AB ，交DC 于点P,设AB=x.（1） 若CP=2PD,求X 的值； （2） 求匚ADP 面积的最大值・【考点】三角函数中的实际问题【解析1(1) Ill 题意可知在匚ABC 中，可设ZCA3 = ZCAP=O,则山角度关系可 得上PAD=乞一2E ZAPD= 20 9 设 BC=v, Ktan<9 = -,tan2^ = - = 3tan(9 ,则 八 " π3Wtan^ = i≡⅛ = 3tan ^ 解得辭冲,W 最后解得“岭实.(2 )由题意可设ZeA3 = ZG4P = 6> ,贝IJ2(1 + tan 0)'即 AD=BC=2(1：爲•门八 ADtan l-tan 2Θ 1 - tanAAPD= 2θ ,且tan Θ ∈(0,1),则有(X + X tan 8)x 2 = In ,解得 X =tan 2(1 +tan &) 2 tan 4 所以 SZADP=^∙z ^1~(Z ^I)=-∙~z2+3z ~2=^∙Ur + -1÷31≤16t 16 t 16 V t)—∙(3-2√∑),当且仅当t = -f β∣Jr = √2时取等号.16 t 则匚AnP 面积的最大值为务®询.19. （本小题满分12分）已知匚ABC 的内角A, B, C 所对的边分别为a, b, C 且满足CoSASm （A -（1） 求匚BAC 的值；（2）若A"，S 心孚’AM 是BC 边上的中线，求AM 的长.【考点】三角函数与解三角形【解析】（1）由 COSASm （A - ^）=~ •可化简得CoSA （SinACOS 彳一COSASin 彳 j = f竺COS? A =丄Sin 2A •1 CoS 2/1=I(Sm 2A- √3 CoS 2A)tan 则S 询冷2（Z 询1-tan & ° nr ----- nΓ =——tan-tan 2Θ1 + tan &,令 l + tanθ = /,WIJre(L2) 即丄 SinACOSA2 4 2 2 4v Z2-T =ΓBPSin(2A-(2)由题意在匚ABC ψ,可由正弦定理得—=—,代入化简得鼻=丄,sin4 sinB √3 √21T ~7~解得b=2∙ 乂由余弦定理可得a 2=b 2+c 2-2bccosA 9代入化简得7 = 4 + c 2-2c,解得心.则在□AMB 中，由余弦定理可得co 如型黑泸在匚ABC 中，由余弦定理可得—E 囂秽、32+(√7‰222∙3∙√7720. (本小题满分12分)定义在R 上的函数/(Q 满足以下两个性质：□∕(-x)+ /Cv) = O, □∕(l + x) =/(2 -X),则称函数/(X)具有性质PV-— v÷-Tr X γr(1) 判别函数∕1(x) = e 2-e 2, ∕2(x) = cos(±∑ + ∣)是否具有性质P?请说明 理由；(2) 若函数g(x)具有性质P,且函数g(x)在(-10, 10)有”个零点,求"的最 小值.VAe(O*沃二］,则2A 违吟A = ^两式联立可得2∙3∙ f【考点】新定义函数的性质综合应用乂因为 Λ(-χ)÷ΛW = cos [-y^ + yj + cos [y ∕2(l + x) = 则∕2(l + x)= ∕2(2-X ),即心⑴具有性质P(2)若函数 g(x)具有性质 P,贝IJ 满足 g(-x)+g(x) = 0 且 g(l + x)=g(2-x),则 g(x)在R 上为奇函数，且一个周期为6,贝∣Jg(θ) = O, g(6)=0, g(-6) = 0,而由 g(x +6)=g(x),可得g(3)=g(-3),所以g(3) = -g(3),所以g(3) = -g(3) = 0,所以 g(9)=g(-9) = 0,则函数g(x)在(・10, 10)有"个零点，即为0, 3,・3, 6,・6, 9, -9, «的最小值为7.21. (本小题满分12分)已知正项数列｛©｝的前”项和为S “，数列他｝为等比数列，且满足 q =b] — 1 = 1 , d ；+i = 4S π +4n + l T b 4=a^ + ∖.(1)求证：数列｛s ｝为等差数列;1X ——x41 -2 -e 2 H∕ι(2-x) =2 -e2，则(X)不具有性质Pf l (∖ + x) = e【解析】(1)由题意/；(—x)+∕∣(x)=^'Λ+2=0,且X + — =Sin-X-Sin-X = O,且 2丿 33(π π π∖COS —X + — + —π3∕z (2-x) = COSI 一一兀一一+(2)若不等式a ll b ι(4-m) > (U Il -\)2对于任意“wN"恒成立，求实数加的取值范 围.【考点】等差、等比数列的证明、恒成立问题 【解析】(1)由<1=4ξr +4π + l ①，则当时√=45n -1+4(π-l)+l ②，则①可得 陥j -a ~ = 4S ιl -4ξf ,1 +4 = 4a ll +4,所以 an ¥\ = an +4d” ÷4 = (Cl n +2)2 ,因为 a … > O ,则 a n+l =a n + 2(n ≥ 2),当 JI=I 时,心‘=4®+5,则a 2 =3 ,此时a 2 -a l =2亦满足上式，所以«,1+1 -U n = 2 ,所以数列｛©｝为首项为1,公差为2的等差数列.(2)由(1)知 5=1 + 20 —l)=2n-1 ,且= 4a { + 5,则 b l =a l +∖ = 2 ,0=血+1 = 15 + 1 = 16 ,因为数列他}为等比数列，则设公比为g,所以 /=A = & 贝衍=2,所以 ⅛=2∙2n -,=2∖ 所以 a ιl b ιι(4-m)>(a n -i)2可化简为4川 4(〃 一 I)? _ 4"2⑵7 _1)_4(川_1)2(4川 + 2)_ -4(2n 3-5√+2)⑵卄1)・2曲 _(2n_l)・2〃 _ (2π +1X2/7-l)∙2,,+l _(2” +必2川_1)・2曲令/GO = 2∕ι3-5/12+2(〃 > 0,且” ∈ N ； 所以 f ,(n)=6n 2一10〃 = 2舁(3舁一5),则当n∈∣0,∣)时广S)V0,即/(〃)单调递减;当 Π(2, + S ]H 寸广 S)>0,即/(〃)单调递增，S. /(1) = -1 <0, /(2) = -2<0,13)(2n-l)∙2π(4-m)≥(2n -2)2贝 IJ (4-m)≥⑵L(2∕7-l)∙2nmax 'Z令/3)=0,解得∕ι = ∣,/（3）=11 >0 ,所以当 ISnS2H 寸，-C n >0, c 1 <c 2 <c 3 ；当/?>3Hl,―利 一―<0 ,7则 c 3>c 4>c 5>-所以（Cj nUa = C3 =丁，则（4-W ）≥解得加V 亍•所以实数加的取值范围为「co,22. (本小题满分12分)已知函数 /(x) = αvl∏Λ+ 2x(Λr ∈R)∙(1) 讨论/(Q 的极值；(2) 若a=2,且当x≥e^2时,不等式mf(x) ≥ (InX)2+41nx+2恒成立,求实数加的取值范围.【考点】函数的极值与恒成立综合应用【解析】(1)山题意函数/(x)的定义域为(O, + "),且广(X)FInX + “ + 2 ・・・①当Go 时，Γ(Λ) = 2>0恒成立，则/(Λ∙)在定义域上单调递增，此时无极值；2、 (、 亠2In x + l + -,可令广Cr) = 0,解得 X = f πTQ 丿2所以⑺当QO 时，且当OVxVe 吒时，此时广(Λ∙)V O,即/(对单调递减；∙>Z 2 \ 当 C=时，此时Γ(x)>0,即/⑴单调递增，贝Ij /⑴的极小值为Ter =X/2⑵—2）2 （2∕z -l ）∙2n2> 一5②当 QHO 时，f↑x） = a-心亠匚无极大值；(π)当XO时，且当O VxVe亠方时，此时此时广(x)>0,即/(x)单调递增；2 ( 2\ 当X> 时，此时Γ(x)<O,即/⑴单调递减，贝Ij/⑴的极大值为/ 严-ae^λ'τ,无极小值；2综上所述，当Q=O时，/(Λ∙)无极值；当QO时，/(Q有极小值-心亠匚无极大2值；当XO时，/G)有极大值-"吒，无极小值.(2)若a=2, /(x)= 2Λ1Π X +2X ,不等式化为〃?(2XInX+ 2x)n (in f+41n x + 2 则令］nx = t9 t∈ ［一2, +S),则不等式化为in(2t∙ e +2e r)≥t2 +4/ + 2 ,所以①当-2≤Z时，参变分离得心加^船, 嘶r ⅞≡⅛'咖半牆产L曲>。
2020-2021无锡江南中学高中必修一数学上期中第一次模拟试题及答案
2020-2021无锡江南中学高中必修一数学上期中第一次模拟试题及答案一、选择题1．设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B =( ) A ．{}1,3- B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,52．已知函数f (x )＝23,0{log ,0x x x x ≤>那么f 1(())8f 的值为( )A ．27B ．127C ．－27D ．－1273．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间（2π，32π）内的图象是( ) A ． B ．C ．D ．4．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()21,0122,1xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是（ ） A ．1-B ．13-C ．12-D ．135．函数()111f x x =--的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6．设x ∈R ，若函数f （x ）为单调递增函数，且对任意实数x ，都有f （f （x ）-e x ）=e +1（e 是自然对数的底数），则f （ln1.5）的值等于（ ） A ．5.5B ．4.5C ．3.5D ．2.57．已知函数2()2f x ax bx a b =++-是定义在[3,2]a a -的偶函数,则()()f a f b +=（ ） A ．5B ．5-C ．0D ．2019 8．函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是A ．（-2，-1）B ．（-1,0）C ．（0,1）D ．（1,2）9．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则（ ）A ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭10．已知0.80.820.7,log 0.8, 1.1a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．b c a <<11．已知函数()f x =2log (1),(1,3)4,[3,)1x x x x ⎧+∈-⎪⎨∈+∞⎪-⎩，则函数[]()()1g x f f x =-的零点个数为（ ） A ．1B ．3C ．4D ．612．三个数20.420.4,log 0.4,2a b c ===之间的大小关系是（ ）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．b c a <<二、填空题13．已知函数21,1()()1a x x f x x a x ⎧-+≤=⎨->⎩，函数()2()g x f x =-，若函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为______．14．幂函数y=x α,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线(如图).设点A (1,0),B (0,1),连接AB ,线段AB 恰好被其中的两个幂函数y=x α,y=x β的图像三等分,即有BM=MN=NA ,那么,αβ等于_____.15．已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[]1,0-，则a b += . 16．若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数0.5()log (43)g x x =-的定义域是__________．17．已知()32,,x x af x x x a⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a的取值范围是________．18．某企业去年的年产量为a ，计划从今年起，每年的年产量比上年增加b ﹪，则第x ()x N *∈年的年产量为y =______.19．函数()()log 2a f x ax =-在[]0,1上是x 的减函数，则实数a 的取值范围是______． 20．若函数()22xf x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是_____.三、解答题21．已知幂函数2242()(1)m m f x m x -+=-在(0,)+∞上单调递增，函数()2xg x k =-；（1）求m 的值；（2）当[1,2]x ∈时，记()f x 、()g x 的值域分别是A 、B ，若A B A ⋃=，求实数k 的取值范围；22．若()f x 是定义在(0,)+∞上的函数，且满足()()()x f f x f y y=-， 当1x >时，()0f x >. （1）判断并证明函数的单调性；（2）若(2)1f =，解不等式1(3)()2f x f x+-<.23．已知函数21()(,,)ax f x a b c Z bx c+=∈+是奇函数，且(1)2,(2)3f f =<（1）求a ，b ，c 的值；（2）判断函数()f x 在[1,)+∞上的单调性，并用定义证明你的结论； （3）解关于t 的不等式：2(1)(3)0f t f t --++>． 24．已知函数()2(0,)af x x x a R x=+≠∈. （1）判断()f x 的奇偶性；（2）若()f x 在[)2,+∞是增函数，求实数a 的范围.25．已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |1≤x ≤5，x ∈Z}，C ＝{x |2<x <9，x ∈Z}．求 (1)A ∪(B ∩C )；(2)(∁U B )∪(∁U C )．26．已知函数()3131-=+x x f x ，若不式()()2210+-<f kx f x 对任意x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是________.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C2．B解析：B 【解析】 【分析】利用分段函数先求f （1)8）的值，然后在求出f 1(())8f 的值． 【详解】 f＝log 2＝log 22－3＝－3，f＝f (－3)＝3－3＝.【点睛】本题主要考查分段函数求值以及指数函数、对数函数的基本运算，属基础题．3．D解析：D 【解析】解：函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=2tan ,tan sin {2sin ,tan sin x x xx x x<≥分段画出函数图象如D 图示， 故选D ．4．B解析：B 【解析】 【分析】由题意，函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，又由函数()f x 是定义上的偶函数，得到函数()f x 在(,0)-∞单调递增，把不等式(1)()f x f x m -≤+转化为1x x m -≤+，即可求解. 【详解】易知函数()f x 在[)0,+∞上单调递减， 又函数()f x 是定义在R 上的偶函数， 所以函数()f x 在(),0-∞上单调递增， 则由()()1f x f x m -≤+，得1x x m -≥+，即()()221x x m -≥+，即()()22210g x m x m =++-≤在[],1x m m ∈+上恒成立，则()()()()()()3110121310g m m m g m m m ⎧=-+≤⎪⎨+=++≤⎪⎩，解得113m -≤≤-， 即m 的最大值为13-. 【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的应用，其中解答中利用函数的基本性质，把不等式转化为1x x m -≤+ 求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.5．B解析：B 【解析】【分析】把函数1yx=先向右平移一个单位，再关于x轴对称，再向上平移一个单位即可.【详解】把1yx=的图象向右平移一个单位得到11yx=-的图象，把11yx=-的图象关于x轴对称得到11yx=--的图象，把11yx=--的图象向上平移一个单位得到()111f xx=--的图象，故选：B.【点睛】本题主要考查函数图象的平移，对称，以及学生的作图能力，属于中档题.6．D解析：D【解析】【分析】利用换元法将函数转化为f（t）=e+1，根据函数的对应关系求出t的值，即可求出函数f （x）的表达式，即可得到结论【详解】设t=f（x）-e x，则f（x）=e x+t，则条件等价为f（t）=e+1，令x=t，则f（t）=e t+t=e+1，∵函数f（x）为单调递增函数，∴t=1，∴f（x）=e x+1，即f（ln5）=e ln1.5+1=1.5+1=2.5，故选：D．【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用换元法求出函数的解析式是解决本题的关键．7．A解析：A【解析】【分析】根据函数f（x）＝ax2+bx+a﹣2b是定义在[a﹣3，2a]上的偶函数，即可求出a，b，从而得出f（x）的解析式，进而求出f（a）+f（b）的值．【详解】∵f （x ）＝ax 2+bx +a ﹣2b 是定义在[a ﹣3，2a ]上的偶函数；∴0320b a a =⎧⎨-+=⎩；∴a ＝1，b ＝0； ∴f （x ）＝x 2+2；∴f （a ）+f （b ）＝f （1）+f （0）＝3+2＝5． 故选：A ． 【点睛】本题考查偶函数的定义，偶函数定义域的对称性，已知函数求值的方法．8．B解析：B 【解析】试题分析：因为函数f(x)=2x +3x 在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=153022-=-<,f （0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B ． 考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用．点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间．9．C解析：C 【解析】 【分析】由已知函数为偶函数，把233231log ,2,24f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，转化为同一个单调区间上，再比较大小． 【详解】()f x Q 是R 的偶函数，()331log log 44f f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>Q ，又()f x 在(0，+∞)单调递减，∴()23323log 422f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C ．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．10．B解析：B 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出a b c 、、的取值范围，从而可得结果. 【详解】0.8000.70.71a <=<=Q ，22log 0.8log 10b =<=， 0.801.1 1.11c =>=，b ac ∴<<，故选B. 【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.11．C解析：C 【解析】 【分析】令[]()()10g x f f x =-=,可得[]()1f f x =,解方程()1f x =,结合函数()f x 的图象,可求出答案. 【详解】令[]()()10g x f f x =-=,则[]()1f f x =,令()1f x =,若2log (1)1x +=,解得1x =或12x =-,符合(1,3)x ∈-;若411x =-,解得5x =,符合[3,)x ∈+∞.作出函数()f x 的图象,如下图,(]1,0x ∈-时,[)()0,f x ∈+∞;()0,3x ∈时,()()0,2f x ∈;[3,)x ∈+∞时,(]()0,2f x ∈. 结合图象,若()1f x =,有3个解;若1()2f x =-,无解;若()5f x =,有1个解. 所以函数[]()()1g x f f x =-的零点个数为4个. 故选:C.【点睛】本题考查分段函数的性质,考查了函数的零点,考查了学生的推理能力,属于中档题.12．B解析：B 【解析】20.4200.41,log 0.40,21<<Q ,01,0,1,a b c b a c ∴<<∴<<，故选B.二、填空题13．【解析】【分析】由函数把函数恰有个不同的零点转化为恰有4个实数根列出相应的条件即可求解【详解】由题意函数且函数恰有个不同的零点即恰有4个实数根当时由即解得或所以解得；当时由解得或所以解得综上可得：实 解析：(]2,3【解析】 【分析】由函数()2()g x f x =-，把函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，转化为()1f x =恰有4个实数根，列出相应的条件，即可求解. 【详解】由题意，函数()2()g x f x =-，且函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点， 即()1f x =恰有4个实数根，当1x ≤时，由11a x -+=，即110x a +=-≥，解得2=-x a 或x a =-，所以2112a a a a -≤⎧⎪-≤⎨⎪-≠-⎩，解得13a <?；当1x >时，由2()1x a -=，解得1x a =-或1x a =+，所以1111a a ->⎧⎨+>⎩，解得2a >，综上可得：实数a 的取值范围为(]2,3. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中利用条件转化为()1f x =，绝对值的定义，以及二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.14．【解析】【分析】由条件得MN 则结合对数的运算法则可得αβ=1【详解】由条件得MN 可得即α=loβ=lo 所以αβ=lo·lo=1【点睛】本题主要考查幂函数的性质对数的运算法则及其应用等知识意在考查学生解析：【解析】 【分析】由条件,得M 12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭,N 21,33⎛⎫ ⎪⎝⎭,则1221,3333αβ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,结合对数的运算法则可得αβ=1.【详解】 由条件,得M 12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭,N 21,33⎛⎫⎪⎝⎭, 可得1221,3333αβ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即α=lo 2313g ,β=lo 1323g . 所以αβ=lo 2313g ·lo 1312233·21333lglg g lg lg ==1. 【点睛】本题主要考查幂函数的性质，对数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．【解析】若则在上为增函数所以此方程组无解；若则在上为减函数所以解得所以考点：指数函数的性质解析：32-【解析】若1a >，则()f x 在[]1,0-上为增函数,所以11{10a b b -+=-+=，此方程组无解；若01a <<，则()f x 在[]1,0-上为减函数,所以10{11a b b -+=+=-，解得1{22a b ==-，所以32a b +=-.考点：指数函数的性质.16．【解析】首先要使有意义则其次∴解得综上点睛：对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f(x)的定义域为ab 则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b 求出；(2)若已知函数f(g(x))解析：3,14⎛⎫⎪⎝⎭【解析】首先要使(2)f x 有意义，则2[0,2]x ∈， 其次0.5log 430x ->， ∴0220431x x ≤≤⎧⎨<-<⎩，解得01314x x ≤≤⎧⎪⎨<<⎪⎩，综上3,14x ⎛⎫∈⎪⎝⎭． 点睛：对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f(x)的定义域为[a ，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b 求出；(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a ，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．17．【解析】【分析】由有两个零点可得有两个零点即与的图象有两个交点则函数在定义域内不能是单调函数结合函数图象可求的范围【详解】有两个零点有两个零点即与的图象有两个交点由可得或①当时函数的图象如图所示此时 解析：()(),01,-∞⋃+∞【解析】 【分析】由()()g x f x b =-有两个零点可得()f x b =有两个零点，即()y f x =与y b =的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a 的范围 【详解】()()g x f x b =-Q 有两个零点，()f x b ∴=有两个零点，即()y f x =与y b =的图象有两个交点，由32x x =可得，0x =或1x =①当1a >时，函数()f x 的图象如图所示，此时存在b ，满足题意，故1a >满足题意②当1a =时，由于函数()f x 在定义域R 上单调递增，故不符合题意 ③当01a <<时，函数()f x 单调递增，故不符合题意④0a =时，()f x 单调递增，故不符合题意⑤当0a <时，函数()y f x =的图象如图所示，此时存在b 使得，()y f x =与y b =有两个交点综上可得，0a <或1a >故答案为：()(),01,-∞⋃+∞ 【点睛】本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想．18．y ＝a （1+b ）x （x∈N*）【解析】【分析】根据条件计算第一年产量第二年产量…根据规律得到答案【详解】设年产量经过x 年增加到y 件第一年为y ＝a （1+b ）第二年为y ＝a （1+b ）（1+b ）＝a （1+解析：y ＝a （1+b %）x （x ∈N *）【解析】 【分析】根据条件计算第一年产量，第二年产量…根据规律得到答案. 【详解】设年产量经过x 年增加到y 件， 第一年为 y ＝a （1+b %）第二年为 y ＝a （1+b %）（1+b %）＝a （1+b %）2， 第三年为 y ＝a （1+b %）（1+b %）（1+b %）＝a （1+b %）3， …∴y ＝a （1+b %）x （x ∈N *）． 故答案为：y ＝a （1+b %）x （x ∈N *） 【点睛】本题考查了指数型函数的应用，意在考查学生的应用能力.19．【解析】【分析】首先保证真数位置在上恒成立得到的范围要求再分和进行讨论由复合函数的单调性得到关于的不等式得到答案【详解】函数所以真数位置上的在上恒成立由一次函数保号性可知当时外层函数为减函数要使为减 解析：()1,2【解析】 【分析】首先保证真数位置20ax ->在[]0,1x ∈上恒成立，得到a 的范围要求，再分01a <<和1a >进行讨论，由复合函数的单调性，得到关于a 的不等式，得到答案.【详解】函数()()log 2a f x ax =-，所以真数位置上的20ax ->在[]0,1x ∈上恒成立， 由一次函数保号性可知，2a <，当01a <<时，外层函数log a y t =为减函数，要使()()log 2a f x ax =-为减函数，则2t ax =-为增函数， 所以0a ->，即0a <，所以a ∈∅， 当1a >时，外层函数log a y t =为增函数，要使()()log 2a f x ax =-为减函数，则2t ax =-为减函数， 所以0a -<，即0a >，所以1a >， 综上可得a 的范围为()1,2. 故答案为()1,2. 【点睛】本题考查由复合函数的单调性，求参数的范围，属于中档题.20．【解析】【分析】【详解】函数有两个零点和的图象有两个交点画出和的图象如图要有两个交点那么 解析：02b <<【解析】 【分析】 【详解】函数()22xf x b =--有两个零点，和的图象有两个交点，画出和的图象，如图，要有两个交点，那么三、解答题21．(1) 0 ; (2) [0,1] 【解析】 【分析】(1)根据幂函数的定义有2(=11)m -，求出m 的值，然后再根据单调性确定出m 的值. (2)根据函数()f x 、()g x 的单调性分别求出其值域，再由A B A ⋃=得B A ⊆，再求k 的取值范围. 【详解】(1) 函数2242()(1)mm f x m x -+=-为幂函数，则2(=11)m -，解得：0m =或2m =.当0m =时，2()f x x =在(0,)+∞上单调递增，满足条件. 当2m =时，2()f x x -=在(0,)+∞上单调递减，不满足条件. 综上所述0m =.(2)由(1)可知, 2()f x x =,则()f x 、()g x 在[1,2]单调递增,所以()f x 在[1,2]上的值域[1,4]A =,()g x 在[1,2]的值域[2,4]B k k =--. 因为A B A ⋃=,即B A ⊆, 所以2144k k -≥⎧⎨-≤⎩，即10kk≥⎧⎨≤⎩，所以01k ≤≤.所以实数k 的取值范围是[0,1]. 【点睛】本题考查幂函数的概念，函数值域和根据集合的包含关系求参数的范围,属于基础题. 22．（1）增函数,证明见解析；（2）{|01}x x << 【解析】 试题分析：(1)由题意结合所给的抽象函数关系可由120x x >>时有()()120f x f x ->，即()f x 在定义域内为增函数；(2)原问题等价于x 的不等式组(3)43010x x x x⎧⎪+<⎪+>⎨⎪⎪>⎩，求解不等式组可得01x <<.试题解析： （1）增函数证明：令12,x x y x ==，且120x x >>，则121x x > 由题意知：1122()()()x f f x f x x =- 又∵当x >1时，()0f x > ∴12()0x f x > ∴()()120f x f x -> ∴()f x 在定义域内为增函数(2)令x =4,y =2 由题意知：4()(4)(2)2f f f =- ∴()()422122f f ==⨯=()13()((3))(4)f x f f x x f x+-=+<又∵()f x 是增函数，可得(3)43010x x x x⎧⎪+<⎪+>⎨⎪⎪>⎩ ∴01x <<.点睛：抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法． 23．⑴1,0a b c ===⑵增函数⑶22t -<< 【解析】 【分析】 【详解】（1）()f x Q 为奇函数，()()f x f x ∴-=-即2211ax ax bx c bx c++=--++得bx c bx c -+=--解得0c =又1(1)221a f b a b+==⇒=+Q 412(2)32021a a fb a +-=<⇒<+Q 解得1201a a Z a a -<<∈∴==Q 或 当0a =时12b =与b Z ∈矛盾舍，当1a =时1b =综上1,0a b c === ⑵函数()f x 在[1,)+∞上为增函数任取1212,[1,),x x x x ∈+∞<且则2212121212121211()(1)()()x x x x x x f x f x x x x x ++---=-= 1212,[1,),x x x x ∈+∞<Q 且1212(1,),0x x x x ∴⋅∈+∞-<且 1212()()0()()f x f x f x f x ∴-<<即得证函数()f x 在[1,)+∞上为增函数⑶222(1)(3)0(3)(1)(1)f t f t f t f t f t --++>∴+>---=+Q211,31t t +≥+>Q ，函数()f x 在[1,)+∞上为增函数 213(1)(2)0t t t t ∴+<+⇒+-<解得222t t <⇒-<<考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明 24．（1）当时，为偶函数，当时，既不是奇函数，也不是偶函数,；（2）(16]-∞，.【解析】【分析】 【详解】 （1）当时，，对任意(0)(0)x ∈-∞+∞U ，，，，为偶函数．当时，2()(00)af x x a x x=+≠≠，， 取，得(1)(1)20(1)(1)20f f f f a -+=≠--=-≠，，(1)(1)(1)(1)f f f f ∴-≠--≠，，函数既不是奇函数，也不是偶函数．（2）设122x x ≤<，，要使函数在[2)x ∈+∞，上为增函数，必须恒成立．121204x x x x -<>Q，，即恒成立． 又，．的取值范围是(16]-∞，． 25．（1）A ∪(B ∩C )＝{1,2,3,4,5}．（2）(∁U B )∪(∁U C )＝{1,2,6,7,8}． 【解析】试题分析：（1）先求集合A,B,C ；再求B ∩C ，最后求A ∪(B ∩C )（2）先求∁U B ，∁U C ；再求(∁U B )∪(∁U C )．试题解析：解：(1)依题意有：A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4,5}，C ＝{3,4,5,6,7,8}，∴B ∩C ＝{3,4,5}，故有A ∪(B ∩C )＝{1,2}∪{3,4,5}＝{1,2,3,4,5}． (2)由∁U B ＝{6,7,8}，∁U C ＝{1,2}；故有(∁U B )∪(∁U C )＝{6,7,8}∪{1,2}＝{1,2,6,7,8}．26．(),1-∞-【解析】 【分析】根据函数的奇偶性及单调性，把函数不等式转化为自变量的不等式，这个问题就转化为2210kx x R +-<在上恒成立，从二次函数的观点来分析恒小于零问题。
2020-2021高三数学上期中第一次模拟试题(附答案)(2)
2020-2021高三数学上期中第一次模拟试题(附答案)(2)一、选择题1．已知等比数列{}n a ，11a =，418a =，且12231n n a a a a a a k +++⋅⋅⋅+<，则k 的取值范围是（ ） A ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2．若不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围是（ ）A ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．(]0,1C ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭U3．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则313233310log log log log a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．10B ．12C ．31log 5+D ．32log 5+4．设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35．在ABC V 中，4ABC π∠=，2AB =，3BC =，则sin BAC ∠=（ ）A ．10 B ．10 C ．310D ．5 6．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{}n a ，则()235log a a ⋅的值为（ ） A ．8B ．10C ．12D ．167．已知A 、B 两地的距离为10 km,B 、C 两地的距离为20 km,现测得∠ABC=120°，则A 、C 两地的距离为 （ ） A ．10 km B ．3 kmC ．105 kmD ．107 km 8．设函数是定义在上的单调函数，且对于任意正数有，已知，若一个各项均为正数的数列满足，其中是数列的前项和，则数列中第18项（ ）A ．B ．9C ．18D ．369．若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解,则a 的取值范围是（ ） A ．23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．23,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()1,+∞D ．23,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦10．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,若sin 3cos 0b A a B -=,且2b ac =，则a cb+的值为( ) A ．2B 2C ．22D ．411．,x y 满足约束条件362000x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则23a b+的最小值为 ( ) A ．256B ．25C ．253D ．512．若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则 A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a <<D ．b a c <<二、填空题13．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知274sincos 222A B C +-=，且5,7a b c +==，则ab 为 ．14．若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则实数m 的取值范围为_______．15．设数列{}()1,n a n n N*≥∈满足122,6aa ==，且()()2112n n n n a a a a +++---=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122019201920192019[]a a a +++=L ____________．16．等差数列{}n a 中，1351,14,a a a =+=其前n 项和100n S =，则n=＿＿17．已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 .18．在△ABC 中，2a =，4c =，且3sin 2sin A B =，则cos C =____．19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且1n n S a λ=-（λ为常数）．若数列{}n b 满足2n n a b n =-920n +-，且1n n b b +<，则满足条件的n 的取值集合为________．20．设2a b +=，0b >，则当a =_____时，1||2||a a b+取得最小值. 三、解答题21．在ABC V 中，5cos 13A =-，3cos 5B =． (1)求sinC 的值；(2)设5BC =，求ABC V 的面积．22．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，各项为正的等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11a =-，11b =，222a b +=.（1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若321T =，求3S23．设数列{}n a 满足113,23nn n a a a +=-=⋅．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）若n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．24．已知{a n }是等差数列，{b n }是各项均为正数的等比数列，且b 1＝a 1＝1，b 3＝a 4，b 1＋b 2＋b 3＝a 3＋a 4.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n .25．各项均为整数的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，11a =-，2a ，3a ，41S +成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{(1)}nn a -•的前2n 项和2n T ．26．已知数列{}n a 满足111,221n n n a a a a +==+. （1）证明数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足12n n nb a =g ，求数列{}n b 的前n 项和n S .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则34118a q a ==，解得12q =， ∴112n n a -=， ∴1121111222n n n n n a a +--=⨯=， ∴数列1{}n n a a +是首项为12，公比为14的等比数列，∴1223111(1)21224(1)134314n n n na a a a a a +-++⋅⋅⋅+==-<-， ∴23k ≥．故k 的取值范围是2[,)3+∞．选D ．2．D解析：D 【解析】 【分析】要确定不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是否一个三角形，我们可以先画出0220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩…„…，再对a 值进行分类讨论，找出满足条件的实数a 的取值范围． 【详解】不等式组0220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩…„…表示的平面区域如图中阴影部分所示．由22x y x y =⎧⎨+=⎩得22,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由022y x y =⎧⎨+=⎩得()10B ,． 若原不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是一个三角形，则直线x y a +=中a 的取值范围是(]40,1,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭U 故选：D 【点睛】平面区域的形状问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合分类讨论的思想，针对图象分析满足条件的参数的取值范围．3．A解析：A 【解析】 【分析】利用对数运算合并，再利用等比数列{}n a 的性质求解。
2020-2021高三数学上期中第一次模拟试卷及答案(9)
2020-2021高三数学上期中第一次模拟试卷及答案(9)一、选择题1．已知等比数列{}n a ，11a =，418a =，且12231n n a a a a a a k +++⋅⋅⋅+<，则k 的取值范围是（ ） A ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ） A ．一尺五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸3．设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为（ ）． A ．1B ．6C ．7D ．6或75．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{}n a ，则()235log a a ⋅的值为（ ） A ．8B ．10C ．12D ．166．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ， 2cos 22A b c c+=，则ABC ∆的形状为 A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．正三角形7．20,{0,0x y z x y x y x y y k+≥=+-≤≤≤设其中实数、满足若z 的最大值为6，z 的最小值为（ ）A ．0B ．-1C ．-2D ．-38．已知数列{an}的通项公式为an ＝2()3nn 则数列{an}中的最大项为( ) A ．89B ．23C ．6481D ．1252439．在等比数列{}n a 中，21a a 2-=，且22a 为13a 和3a 的等差中项，则4a 为( ) A ．9 B ．27C ．54D ．8110．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的取值范围是（ ）A ．()8,10B ．()22,10C ．()22,10D ．()10,811．设{}n a 是首项为1a ，公差为-2的等差数列，n S 为其前n 项和，若1S ，2S ，4S 成等比数列，则1a = ( ) A ．8B ．-8C ．1D ．-112．若01a <<，1b c >>，则( ) A ．()1ab c<B ．c a cb a b->- C ．11a a c b --<D ．log log c b a a <二、填空题13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12m S -=-，0m S =，13m S +=.其中*m N ∈且2m ≥，则m =______.14．如图,无人机在离地面高200m 的A 处,观测到山顶M 处的仰角为15°、山脚C 处的俯角为45°,已知∠MCN=60°,则山的高度MN 为_________m.15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n S n n n N *=++∈，,求n a =.__________．16．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝32，S 3＝92，则a 1的值为________． 17．在无穷等比数列{}n a 中，123,1a a ==，则()1321lim n n a a a -→∞++⋯+=______． 18．数列{}n b 中，121,5b b ==且*21()n n n b b b n N ++=-∈，则2016b =___________.19．已知三角形中，边上的高与边长相等，则的最大值是__________．20．已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则na n的最小值为__________. 三、解答题21．若n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，24S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设13,n n n n b T a a +=是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N +∈都成立的最小正整数m .22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1，n a ，n S 成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足12n n n a b na =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 23．已知在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos 0a B b A -=． （1）求角A 的大小：（2）若25a =，2b =．求ABC V 的面积．24．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，14cos a C a+=，1b =. （1）若90A ∠=︒，求ABC V 的面积； （2）若ABC V 的面积为32，求a ，c . 25．已知数列{}n a 满足111,221n n n a a a a +==+. （1）证明数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足12n n nb a =g ，求数列{}n b 的前n 项和n S . 26．如图，Rt ABC V 中，,1,32B AB BC π===.点,M N 分别在边AB 和AC 上，将AMN V 沿MN 翻折，使AMN V 变为A MN '△，且顶点'A 落在边BC 上,设AMN θ∠=（1）用θ表示线段AM 的长度，并写出θ的取值范围； （2）求线段CN 长度的最大值以及此时A MN '△的面积，【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除1．D 解析：D 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则34118a q a ==，解得12q =， ∴112n n a -=， ∴1121111222n n n n n a a +--=⨯=， ∴数列1{}n n a a +是首项为12，公比为14的等比数列，∴1223111(1)21224(1)134314n n n n a a a a a a +-++⋅⋅⋅+==-<-， ∴23k ≥．故k 的取值范围是2[,)3+∞．选D ．2．B解析：B 【解析】 【分析】从冬至日起各节气日影长设为{}n a ，可得{}n a 为等差数列，根据已知结合前n 项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解. 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，则()19959985.52a a S a +===尺，所以59.5a =尺，由题知1474331.5a a a a ++==， 所以410.5a =，所以公差541d a a =-=-， 所以1257 2.5a a d =+=尺。
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根据最后一个音是最初那个音的频率的2倍，得出公比，最后计算第三个音的频率与第七个音的频率的比值。
【详解】
：设第一个音的频率为 ，设相邻两个音之间的频率之比为 ，那么 ，根据最后一个音是最初那个音的频率的2倍， ，所以 ，故选D
【点睛】
：本题考查了等比数列的基本应用，从题目中后一项与前一项之比为一个常数，抽象出等比数列。
2．B
解析：B
【解析】
【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值.
【详解】
作出不等式组 对应的平面区域（如图阴影部分），
目标函数 的几何意义表示直线的纵截距，即 ，
（1）当 时，直线 的斜率为正，要使得 的最大值、最小值分别在 处取得，
解析：
【解析】
由正弦定理及 ,
得 ,
又 ,即 ,
由于 ,即有 ,
即有 ,
由 ,即有 ,解得 ,
15．【解析】在△中且故故答案为：点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数属于简单题对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2）同时还要熟练掌握运用两种形式的条件另外在解与三角
解析：
【解析】
在△ 中， ， ，且 ,故
故答案为： .
点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1） ；（2） ，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
12．数列 中， ，则数列 的前8项和等于（）
A．32B．36C．38D．40
二、填空题
13．已知数列 、 均为等差数列，且前n项和分别为 和 ，若 ，则 _____．
14．如图,无人机在离地面高200m的A处,观测到山顶M处的仰角为15°、山脚C处的俯角为45°,已知∠MCN=60°,则山的高度MN为_________m.3Fra bibliotekA解析：A
【解析】
由已知 ，∴ ，∴ ，故选A.
4．D
解析：D
【解析】
【详解】
试题分析：∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，故选D.
考点：等差数列的通项公式、前n项和公式.
5．A
解析：A
【解析】
以 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则 ， ， ，即 ，所以 ， ，因此
，因为 ，所以 的最大值等于 ，当 ，即 时取等号．
25．已知数列 满足 .
（1）证明数列 是等差数列，并求 的通项公式；
（2）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
26．已知函数 ，其中 ．
（1）求函数 的单调递增区间；
（2）在 中，角 所对的边分别为 ，且 ，求 的面积．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
【分析】
【分析】
观察得到 ，再利用裂项相消法计算前 项和得到答案.
【详解】
观察知 .
故数列的前 项和
.
故答案为： .
【点睛】
本题考查了数列的通项公式，裂项相消求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.
19．【解析】由正弦定理及得又即由于即有即有由即有解得当且仅当a=2b=2时取得等号当a=2b=1S取得最小值易得(C为锐角)则则
二、填空题
13．【解析】【分析】根据等差数列中等差中项的性质将所求的再由等差数列的求和公式转化为从而得到答案【详解】因为数列均为等差数列所以【点睛】本题考查等差中项的性质等差数列的求和公式属于中档题
解析：
【解析】
【分析】
根据等差数列中等差中项的性质，将所求的 ，再由等差数列的求和公式，转化为 ，从而得到答案.
【详解】
∵ ， ，
∴ ，
当 时， 恒成立，则 为增函数，
最小值为 ，不满足题意，
当 时，令 ，解得 ，
当 时，即 ，函数 在区间 上单调递减，
当 时，即 ，函数 在区间 上单调递增，
∴当 时，函数 取最小值，又 ，
∴ 应取离 最近的正整数使 达到最小，
又由题意知， 时取到最小值，
∴ 或 ，
∴ 且 ，即 且 ，
则直线 的斜率不大于直线 的斜率，
即 ，
.
（2）当 时，直线 的斜率为负，易知最小值在 处取得，
要使得 的最大值在 处取得，则直线 的斜率不小于直线 的斜率
，
.
（3）当 时，显然满足题意.
综上： .
故选：B.
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键.
20．已知实数 ， 满足约束条件 ，若 的最小值为3，则实数 ____
三、解答题
21．在 中，角 的对边分别为 ，且 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ， 的面积 ，求 的值.
22．已知{an}是各项均为正数的等比数列,且 .
(I)求数列{an}通项公式；
(II){bn}为各项非零的等差数列,其前n项和Sn,已知 ,求数列 的前n项和 .
【点睛】
本题考查二倍角公式以及正弦定理，考查基本分析转化能力，属基础题.
8．B
解析：B
【解析】
【分析】
由题意可得n≥2时，an-an-1=n，再由数列的恒等式：an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1），运用等差数列的求和公式，可得an，求得 = =2（ - ），由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和．
A． B． C． D．
2．设 ， 满足不等式组 ，若 的最大值为 ，最小值为 ，则实数 的取值范围是（）.
A． B． C． D．
3．已知等比数列 中， ， ，则 （）
A．12B．10C． D．
4．在等差数列 中， ，则此数列的前13项的和等于（）
A．16B．26C．8D．13
5．已知 ， ， ，若 点是 所在平面内一点，且 ，则 的最大值等于（）.
由正弦定理得 ，
所以 ．
又根据余弦定理的推论得 ．
所以 ，解得 ，
所以 ，
即最小角的余弦值为 ．
故选A．
【点睛】
解答本题的关键是求出三角形的三边，其中运用“算两次”的方法得到关于边长的方程，使得问题得以求解，考查正余弦定理的应用及变形、计算能力，属于基础题．
10．B
解析：B
【解析】
【分析】
由 得 ，再将代数式 与 相乘，利用基本不等式可求出
【详解】
因为数列 、 均为等差数列
所以
【点睛】
本题考查等差中项的性质，等差数列的求和公式，属于中档题.
14．300【解析】试题分析：由条件所以所以这样在中在中解得中故填：300考点：解斜三角形【思路点睛】考察了解三角形的实际问题属于基础题型首先要弄清楚两个概念仰角和俯角都指视线与水平线的夹角将问题所涉及的
16．【解析】【分析】先求导判断函数的单调性得到函数的最小值由题意可得取离最近的正整数使达到最小得到解得即可【详解】∵∴当时恒成立则为增函数最小值为不满足题意当时令解得当时即函数在区间上单调递减当时即函数
解析：
【解析】
【分析】
先求导，判断函数的单调性得到函数的最小值，由题意可得 取离 最近的正整数使 达到最小，得到 ， ，解得即可.
故选:B．
【点睛】
本题考查数列的恒等式的运用，等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．
9．A
解析：A
【解析】
【分析】
设三角形的三边分别为 ，根据余弦定理求出最小角的余弦值，然后再由正弦定理求得最小角的余弦值，进而得到 的值，于是可得最小角的余弦值．
【详解】
由题意，设 的三边长分别为 ，对应的三角分别为 ，
2020-2021无锡市无锡一中高三数学上期中第一次模拟试卷附答案
一、选择题
1．朱载堉(1536～1611)，是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”．即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为 ，第七个音的频率为 ，则 ＝
12．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据所给数列表达式，递推后可得 .并将原式两边同时乘以 后与变形后的式子相加，即可求得 ，即隔项和的形式.进而取n的值，代入即可求解.
【详解】
由已知 ，①
得 ，②
由 得 ，
取 及 ，易得 ， ， ，
故 .
故选：B.
【点睛】
本题考查了数列递推公式的应用，对数列表达式进行合理变形的解决此题的关键，属于中档题.
解析：300
【解析】
试题分析：由条件， ,所以 , , ,所以 , ,这样在 中， ,在 中， ，解得 , 中， ，故填：300.
考点：解斜三角形
【思路点睛】考察了解三角形的实际问题，属于基础题型，首先要弄清楚两个概念，仰角和俯角，都指视线与水平线的夹角，将问题所涉及的边和角在不同的三角形内转化，最后用正弦定理解决高度.
【详解】
且 ，
，
，
.
故答案为:-4
【点睛】
本题考查数列的递推关系以及周期数列，考查计算求解能力，属于中档题.
18．【解析】【分析】观察得到再利用裂项相消法计算前项和得到答案【详解】观察知故数列的前项和故答案为：【点睛】本题考查了数列的通项公式裂项相消求和意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用