一类充分非线性方程的精确解
非线性发展方程的精确解
其 中 ａ（ ＝１ … ， ，ｎ ｉ ， ）６ ≠０是待 定 常数 。 由（） （） ｌ 一
（） ５
，
㈦ ＝ ＝（） 一 罟 （）（（） ）２ ）２罟， 一 一 （ 。 ） ＝ ＝ 罟 ＋（ （） （ ３／ ）＝６ ）８ ）２， 罟 ２ ）２罟） 一（ ４ （ ＝ （ ＋ （ 罟 — 罟 一ｚ ￣
Ｋ Ｋ方 程 Ｂ
／ ＋“ ｚ ＋ 心 ＋ 黝 ＝０ ｄ ， “ ＋ａ 盯 ￡ （） １
其 中参 数 ａ 』， 都 为常数 。Ｋ Ｋ 方程 包含 了许 多著 名 的方 程 ， ， ９ Ｂ
（） Ｔ ｉ当 ＝０时 ， 可得到 Ｋｄ －ｕｇｒ方 程 Ｖ Ｂ ｒｅｓ
“ ｆ ＋ Ｚ Ｕ ＋ 口“ Ｃ
２ ［）开求 Ｋ 方 ． 法解Ｂ 程 用 展 Ｋ
对 方程 （ ） 行波 变换 １作
毒＝ ＋ ｃ 、 ｔ
令 （ ， ） ｔ ＝Ｕ（ ， ）则方 程 （ ） １ 可化作
ｃ Ｕ ＋ ＋ ａＵ ＋ Ｌ ＋ ７Ｕ （）＝０
（） ２
两 边 积分 可得
ｃ ，＋ 己 ｕ ＋ 口己 ＋ ， ＋ ｒＵ＂一 Ｂ ＝ ０，
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Ｌ ＝ ７７ １（ ２ａ （ ） ＋ 一ｚｚ ） （ ＋ ＋ ） 专 …， 『 ＿
平 衡方 程 （） ３ 中 和 Ｕ 可确定 ＝３ ， 。所 以可 以设 Ｋ Ｋ方 程 的解 为 Ｂ
频散 的 系统 ， 即便 有 较大 的 Ｒ ｙ ｏｄ 数 ， 不一 定 足 以产 生不 规则 的湍 流运 动 ， 须考 虑 流动 的不 稳 定 性［ 因 ｅ ｎ ｌｓ 也 必 ，
带复常数的akns方程组的精确解
带复常数的akns方程组的精确解带复常数的AKNS方程组是一类常见的非线性偏微分方程组，在计算物理学和数学物理学等领域中有重要的应用。
对于这类方程组，已经产生了许多研究和应用的成果，其精确解也已经被广泛讨论和研究。
本文将重点介绍带复常数的AKNS方程组的精确解。
一、AKNS方程组AKNS方程组是指下面的形式的非线性偏微分方程组：$$ i\partial_tq_j+\partial_{x_x}q_j+Aq_j+Bq_{j}^\ast+\sum_{k=1}^{ n}\phi_{jk}(q_k,q_{k}^\ast)=0, \quad j=1,\ldots,n. $$其中，$q_j(x,t)$是复函数，$A$，$B$和$\phi_{jk}(q_k,q_{k}^\ast)$是已知的复数常量。
$\partial_t$和$\partial_{x_x}$分别表示对时间和空间坐标求偏导。
AKNS方程组的精确解对于理解其物理和数学特性以及在实际应用中的运用具有重要的意义。
二、带复常数的AKNS方程组的精确解带复常数的AKNS方程组的精确解旨在求出一组时间和空间变量的解函数${q_j(x,t)}$，它们是完全由已知的初始条件${q_j(x,t_0)}$，其中$t_0$是初始时刻，和已知的参数$A,B,\phi_{jk}$，以及一些其他限制条件来确定的。
在文献中已经对带复常数的AKNS方程组的精确解进行了大量的研究。
在这里，我们仅介绍其中的一种求解方法，即Lax对角化方法。
Lax对角化方法的基本思路是将AKNS方程组转化为一个惯量系数为常数的线性偏微分方程组，然后应用已知的线性偏微分方程的解法来求解。
具体来说，我们可以通过引入一个有效的变换$U(x,t)$，解出矩阵微分方程组$\partial_t U=LU$，其中$L$是一个常数矩阵，且$U(x,t)$和$L$的形式取决于$A,B,\phi_{jk}$。
通过适当选择$U(x,t)$和$L$，可以确保矩阵微分方程组的解构成的矩阵$M(x,t)$满足下列关系：$$ M(x,t)^{-1}(\partial_x+L)M(x,t)=\text{diag}(\lambda_1,\ldots ,\lambda_n), $$其中，$\lambda_1,\ldots,\lambda_n$都是已知的复数。
kdv方程精确解
kdv方程精确解
kdv方程是一种具有非线性和非局域性质的偏微分方程，它在许多物理和数学领域中都具有重要的应用。
近年来，人们对kdv方程的精确解进行了广泛的研究，取得了一系列重要的成果。
在研究kdv方程的精确解时，人们主要采用了一些经典的数学工具和方法，如反射变换、Lax对、Darboux变换、Bcklund变换等。
通过这些方法，人们得到了kdv方程的很多精确解，包括孤子解、多孤子解、非定常解等。
其中，孤子解是kdv方程中最为重要的一类精确解，它具有非线性可积性、非局域性和稳定性等重要性质。
人们通过对孤子解的研究，发现了kdv方程中许多有趣的现象，如孤子的相互作用、散射等。
除了孤子解外，人们还研究了kdv方程的其他精确解。
例如，多孤子解是由多个孤子解叠加而成的解，具有更为复杂的结构和性质；非定常解是kdv方程中的另一类重要解，它可以描述一些非平稳的物理现象。
总之，kdv方程的精确解研究不仅具有重要的理论意义，还具有广泛的应用价值。
未来，我们可以继续深入研究kdv方程的精确解，探索更多的新现象和新应用。
- 1 -。
一类非线性发展方程的显式精确解
步骤 ３ 把式 （ ） ５ 代入方程 （ ） ４ 并考虑一数 的项 ，并 令 Ｇ（ ‘ ）的各 次 系数 为零 ， 到关 于 口（ 得 ｉ＝０ １ ，，
２ … ，）Ａ ｃ ， ／ ， ， 的非线性代数方程组。 ７ ，
线性发展方程新 的显式精确解 ， 中包括一般 形式的行波解、 其 扭状正则孤 立波解和奇异孤立波
解。
关键 词 ： １Ｇ 一 开法 ； （／ ）展 齐次平衡 原 则 ； 波解 ； 立波 解 行 孤
中图分类 号 ： １ ５ ２ ０ ７ ． 文献标 识码 ： Ａ
孤立 波作 为非 线 性科 学 中的一 类 重 要 的物 理 现象 ， 长期 以来 成 为众 多 学 者研 究 的热 点 问题 ， 而
文章编号
１０ ５ ６ （０ ０ ０ ０ １ ０ ０ ０－ ２９ ２ １ ）６— ０ ４— ４
一
类非 线性 发展 方程 的显 式精 确解
陈 自高 ， 张愿章
（ 华北水利水 电学院 数学与信息科学学院 ， 河南 郑州 ４ ０ １ ） ５０ １
摘
要： 应用 （／ － 开法 ， １Ｇ） 展 并借助 于计算机 系统 Ｍａ ｅ ａｅ 齐次平 衡 原则 ， 得 了一 类 非 ｔ ｍ ｔａ和 ｈ ｉ 获
步骤 ４ 解 上 述 代 数 方 程组 ， 所 得 结 果 以 及 式 将 （） ６ 的通解
１ （／ １ Ｇ）一 开 法 展
假 设给定 一个 （ １＋１ 维非 线性偏 微分方 程 ） Ｆ（ ， ， ， ， ）＝０ ， “，缸 … （） ２ 式中， Ｆ是关 于 ＝ （ ￡ ， ）和它 的各 阶导 数 的多
寻找非线性发展方程 的各种精巧求解方法则更成 为非线性发展方程领域的研究热点之一 。近年来 ， 多 种获取非 线性 数 学 物理 方 程精 确 解 的方 法 陆 续 被 提出 ， 齐 次 平 衡 法 … ， 曲正 切 函数 法 ［ ， 如 双 ２ 试 ］ 探 函数法 Ｊｓ ｅｃｓ ｅ ，ｉ 。ｏｉ 法 ， ｃｂ 椭 圆函数展 开 ｎ ｎ ］Ｊ ｏ ｉ ａ 法 鲥， ， Ｆ展开法 － 等。最近 ， Ｗａｇｍ等创立 ’９ 由 ｎ［ 了 （ ／ ） 展开法 ， Ｇ 一 并成 功应用于求解非线性 发 展方 程 ｌ 孤 立 波 解 。受 益 于 Ｗａｇ等 创 立 的 的 ｎ
一类非线性波动方程新的精确孤立波解
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第 ２期
蔡 红 颖 ， ： 类 非 线 性 波 动 方 程 新 的 精 确 孤 立 波 解 等 一 （ ）＝ ｆ ＋ ０ｆ ＋ ｂ ｇ， １ 。
，
５ ７ （） ７
其 中 。 ， －ｂ 。 。 ， 是 待定 常数 ． （ ） 代 入 （ ） ， 利用 （ ） （ ） ， 同指 数 函 数 的系数 为 ０ 可 得 到 这 些 待 定 常 数 所 满 足 将 ７式 ３式 并 ５ ，６ 式 令 的 非线 性 代数 方 程组 为
种 方 法 的基 本 原理 是 利 用非 线性 波 方程孤 立波 解 的局部 特 点 ， 方 程 的孤 立波 解表 示为双 曲 函数 的 多项 式 ， 而将 非 线性 将 从
波 动 方程 的求 解 问题 转化 为 非 线性代 数 方程 组 的求 解 问题 ． 关 键 词 ： 曲 函 数 方 法 ； 线 性 波 动 方 程 ； 确 孤 立 波 解 双 非 精
ｕ ＋ （ ＋ ６ ＋ ｃ ＝ ０ ｍ ｕ ｕ （） １
的 ３组 显式 行波 解 ． 近 笔者 利 用 双曲正 切 和正 割 函数 方法 】 比文献 【 ］ 简便 地 得 到 了相 应结 果 ” 利用 双曲 函数 方 最 ， ６ 更 叫； 法 进 一步 研究 方程 （ ） 得 到 了更 多新 的精 确行 波 解 ． 中 可看到 此 方法 得到 的 解 比文 献 ［ ｌ］要 丰富得 多 ． １， 从 ６，０
２Ｏ Ｏ ２年 ６月
Ｊ ｎ． ０ ２ ｕ ２ ０
文 章 编 号 ：０ ７—２ ８ （ ０ ２ ０ １０ ９ ５ ２ ０ ）２—０ ５ ０ ６—０ ３
一
类 非 线 性 波 动 方 程 新 的 精 确 孤 立 波 解
蔡 红 颖 郭 冠 平 ，
利用Adomian分解方法求一类非线性Schr6dinger方程的精确解
方法的数值例子 ， 以验 证 该 方 法 的有 效 性 ． 关键词 ： ｏ ａ Ａｄ ｍｉ ｎ分 解 法 ；ｃ ｒｄｎ ｅ 方 程 ； 确 解 Ｓｈｏ ｉｇ ｒ 精
中图 分 类 号 ：Ｏ１ ５ ２ ７．９ ＭＳ ０ ０：３ Ｊ ０ Ｃ２ ０ ５１ 文 献 标 志 码 ：Ａ
０ 引 言
级数分量和的形式， 一 ∑ “． 即“ 并在一个递推关系的帮助下， 分别求解每一个递推方程， 独立计算 ， 这 些解 分量 之 和 以任 意 的高 精度 逼 近真 解 ， 而得 到 原方 程 高精 度 的逼 近解 甚 至 精 让 从
收 稿 日期 ：０ ７０—８ ２ ０ —９１
即
“一 ＿（ 厂 ）一 Ｌ Ｒｕ— Ｌ—Ｎｕ．
（） ５
其中 ＿ ． 厂ｚ （ ）一 ＋ Ｌ ｇ， 且 满 足 Ｌ 一 ０ 对 应 于初 始 条 件． ， 标准 的 Ａｄ ｍｉ ｏ ａ ｎ分解方 法 把解 Ｕ分 解 为无 穷级 数 的形 式
Ｕ
一 ∑ Ｕ 厶 ｎ ・ ．
作者简介 ： 金 怡 （９ ３ ）女 ， 江 杭 州 人 ， 用 数 学 硕 士研 究生 ， １８ 一 ， 浙 应 主要 从 事 计 算 数 学 方 面 的 研 究
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第 ４期
确解 ．
金
怡 ， ： 用 Ａｄ ｍｉ 等 利 ｏ ａ ｎ分解 方 法求 一类 非 线性 Ｓ ｈ ６ ｉｇ ｒ ｃ ｒｄｎ ｅ 方程 的精 确解
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第 ７卷 第 ４期
２Ｏ Ｏ ８年 ７月
杭 州师 范大 学学 报 （ 自然科 学版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ａ ｇ ｈ ｕＮ ｒ ｌ ｎ ｅ ｓ ｙ Ｎ ｔｒｌ ｃｅ ｃ ｄｔ ｎ ｏ ｒａ ｏ ｎ ｚ ｏ ｏｍａ Ｕ ｉ ｒｉ （ ａｕａ Ｓ ｉｎ ｅ Ｅ ｉｏ ） Ｈ ｖ ｔ ｉ
一类非线性偏微分方程的改进的Jacobi椭圆函数精确解
１ 方 法 简述
为了 方便应 用 本文 中提 出的改进 方 法 ， 面列 出主要求解 步 骤 ： 下
步骤 １ 对 给定 的非 线性 偏微 分方 程 （ 不妨 假设 仅含有 两 个变 量 ｚ， ￡ ）
Ｆ（ ｔ ，‘， 矗， ， ， ）＝ ０ ，‘ ｚ Ｕ 口 扛 … ｆ ， （） １
方程（ Ｅ） ＮＥ ｓ的精确 解 尤其是 孤 立子 解起 的重 要作 用 引起 了越来 越 多 学 者 的兴 趣 ． 近年来 ， 多 数学 家 许 和 物理 学家 经过 不 懈 努 力 ， 现 了孤 立 子 理 论 中蕴 藏 着 一 系 列 构 造 精 确 解 的有 效 方 法 ， 反 散 射 方 发 如 法 Ｂｉｋｕ ｄ变 换 、 ｒｏ ｘ变 换［ 、 ｒｔ 换 。齐 次 平 衡 法［ Ｐ ｉｌｖ 析［ Ｔ ｎ ｕ、￣ ｌｎ ｃ Ｄａｂ ｕ ３ Ｈｉ ａ变 ‘、 ］ ｏ 、 ａ ｅｅ分 、 ａｈ方 法 及 ｎ 推 广 的 Ｔａ ｈ方法 等［ １ ． ｎ ７ ０ 随着各 种方 法 的出 现 ， 多新 的 、 有重 要 物理 意义 的解 不断被 发现 和应用 ． －］ 许 具 最 近 ， ｉ ｈｋ ｏ等人 提 出 了 Ｊｃｂ 椭 圆函数展 开法 ， 功地 求 出 了一大 类非线 性 演化方 程的一 系 ＬｕＳ ｉｕ ａｏ ｉ 成
方程 （ ） 如下 形式 的解 ： ５有
～ ＋ｌ＾十 ｓ Ｊｌ ｎ ‰．
所求 得 的 Ａ、 、。 ａ ａ 和 。的值代 入 （ ） ， 得如 下精 确解 ： ６中 可
第 一组解 ：
㈤
根据前 述 步骤 ３ ５将 （） 入 （） ， － ， ６代 ５ 中 得到 一个 关 于 Ｄ‘Ａ （＝Ｏ １ ．） ．（ ， ，． 的代 数方 程 （ ） 收集 关 Ｓ ・ 组 ． 于 ｎ Ａ （＝Ｏ１ ．） 同幂 次项 ， ｓ（ ｆ ， ’． 的 ・ 并且 令 它们 的 系数 为零 ， 得到 一 个关 于 Ａ、ｌａ ／ 、。和 ａ ａ 的超 定 非 线 性代 数方 程组 ． 使用 Ｍａ ｌ软 件包 “ ｈ ｒｅｓ求 解上 面 的超 定代 数方 程组 ， ｐｅ Ｃ ａｓｔ” 可得 Ａ、。ａ 、。和 ａ 。的值． 将
辅助方程法及一些非线性发展方程(组)的精确解
辅助方程法及一些非线性发展方程（组）的精确解辅助方程法及一些非线性发展方程（组）的精确解引言：非线性发展方程是描述自然界中许多现象的重要数学工具，在物理学、化学、生物学等领域都有广泛应用。
非线性发展方程具有非常复杂的性质，不同的方程可能需要不同的求解方法。
本文将着重介绍一种常用的求解非线性发展方程的方法——辅助方程法，并给出一些具体的例子进行说明。
一、辅助方程法的基本思想辅助方程法旨在通过构造适当的辅助方程，将待求解的非线性发展方程化为线性问题或者简化为易于求解的形式。
它的基本思想是根据方程的特点选择适当的辅助方程，并通过对原方程和辅助方程进行组合和转换，得到包含待求解函数和辅助函数的新方程，从而求解出方程的精确解。
二、具体求解步骤1. 选择适当的辅助方程：在辅助方程法中，正确选择适当的辅助方程至关重要。
一般而言，辅助方程的选择应该与原方程的特点相匹配，从而利用辅助方程的性质来简化求解过程。
2. 利用辅助方程进行组合和转换：根据辅助方程的性质，我们可以通过组合和转换将待求解的非线性发展方程转化为包含待求解函数和辅助函数的方程。
通常采用代换或者变量分离等技巧，将原方程与辅助方程进行组合，从而得到新的方程。
3. 求解新的方程：根据新得到的方程，我们可以利用已有的数学工具，如常微分方程求解技巧、积分计算等方法，求解出方程中的未知函数，从而得到原方程的精确解。
三、具体例子下面我们给出两个实际的例子来说明辅助方程法的应用。
1. 非线性扩散方程考虑一维非线性扩散方程：∂u/∂t = ∂/∂x (u^2 ∂u/∂x)，其中u(x, t)是待求解的函数。
首先选择辅助方程为v(x, t) = (du/dx)^2，然后利用辅助方程进行组合和转换，可以得到：∂v/∂t = 2u ∂u/∂t - 2u^2 (∂^2u/∂x^2)将辅助方程代入原方程，得到：∂v/∂t = ∂/∂x (v ∂u/∂x)接下来，我们可以将上述方程进行求解，从而得到原方程的精确解。
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江苏大学硕士学位论文一类充分非线性方程的精确解姓名：吴双军申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：田立新20060401江苏大学硕士学位论文一ＰＲ：声（声一１）十６（一６＋１１置矽一６够２＋够３）女皿Ｐ‘Ｒ４＝ｏ（３．４）解上述方程，得Ｐ∥＝—鲁埘一ｌ方程（３．１）的ｃｏｍｐａｃｔｏｎ解为如力＝姻＝。
．ｍ加－ｉ味ｍ－ｌＪ罕２＂－ａｍ２”ｍ，ｋＲ＝型２ｍ√塑ｂＶ０一∞】取加：２伊１ｂ＝２＝ｌ卢：２Ｒ＝鱼４Ｐ＝西４吣力＝ｐ≯，，吲≤詈图（３－１）方程（３．１）的Ｃｏｍｐｃａｔｏｎ解２．ｍ＝七≠力１０ｍ；｜９＝ｋ；Ｂｍ母一２＝ｋｐ一２一牙ＪＰ“Ｒ２卢２＋ｂｋ２∥４Ｐ２Ｒ４＝Ｏ（３．５）箬＼图（３·２）方程（３．１）的Ｃｏｍｐｃａｔｏｎ解平面图ｎｐ＝ｐ＝ｋｐ一４ｎｐ一２＝；Ｂ一２降莓岳尸”Ｒ２刀口（∥一１）＋６（４—８ｋｆｌ＋６ｋｆｌ２—２ｋｐ３）ｋｐＰ。
Ｒ４＝ＯＰＲ２卢２＋ａｎ２∥２Ｐ”Ｒ２＋６（一６＋１１岛口一６置卢２＋岛日３）ｋｐＰ‘Ｒ４＝Ｏ（３．６）一ａｎｆｌ（ｎ１３—１）Ｐ”Ｒ２一ＰＲ２ｆｌ（ｆｌ－１）＝ｏ解上述方程，得删∥＝当ｍ１Ｒ＝掣４ｍ以Ｐ＝一ＶＤ方程（３．１）的ｃｏｍｐａｃｔｏｎ解为如。
：哟＿｜七意警丽品芦字肛柳如ｏ＝哟＝｛’１瓦石鬲丽＝而鬲ＬＯＦ‘‘—了１ｉ旷卅１ｌ０，厚（ｘ－Ａｔ）｜≤三ｙｂ２其他取ｍ＝ｋ＝２＂＝ｂ＝五＝１ａ＝－２∥＝４图象如下ｍ力：ｔ詈ｃｏ，４唔ｃｘ叫，０Ｒ＝三８（３．７）Ｐ：旦３／卜图（３—３）方程（３．１）的Ｃｏｍｐｃａｔｏｎ解ｍｑ（３—４）方程（３．１）的Ｃｏｍｐｃａｔｏｎ解平面图２。
ｍｐ＝ｋｐｍｐ一２＝ｋｐ一２ｎｐ＝ｐｎ８—２＝母一２＝ｋ８—４一牙Ｐ…Ｒ２∥２＋ｂｋ２∥４Ｐ‘Ｒ４＝ＯｐｍＲ２名∥（∥一１）＋６（４—８ｋｆｌ＋６ｋｆｌ２—２够３）ｋｐＰ‘Ｒ４＝０（３ｒ８）、Ｊ一坚锄兄一万一２ｖｌ卜其１—８ＰＲ２ｐ２＋ａｎ２卢２尸”Ｒ２＝Ｏ—ａｎｔｉ（ｎｉｌ一１）Ｐ”Ｒ２＋６ｆ一６＋ｌｌｋ／，一６ｋ１３２＋ｋｐ３）局卯２Ｒ４一ＰＲ２∥（∥一１）２０解上述方程，得∥：砉Ｒ＝掣店户＝蚧哟＝博掣脚取ｍ＝ｋ＝２图象如下胛＝盯＝６＝矗＝，五＝４∥＝２Ｐ＝：吣力：姥耐（川。
ｋ一射ｌ≤三０其他（３．９）０·１ｆ＼。
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Ｌ：；图（３—５）方程（３．１）的Ｃｏｍｐｃａｔｏｎ解图（３—６）方程（３．１）的Ｃｏｍｐｃａｔｏｎ解平面图３．ｍ＝ｎ≠ｋ１０ｍｆｌ一２＝ｎｐ一２＝ｋｐ一４ｍｆｌ＝ｎｐｋｐ＝｜８ｋ８—２＝ｊ８—２Ｐ“Ｒ２斧卢（∥一１）一ａｎｔｉ（ｎｉｌ一１）ｅ”Ｒ２＋６（一６＋１１够一６ｋｐ２＋＾芦３）ｋＣ７：Ｐ‘Ｒ４＝０一者Ｐ”Ｒ２∥２＋册２∥２Ｐ”Ｒ２＝Ｏ（３．１０）丌一２甜艮靴江苏大学硕士学位论文ＰＲ２声２＋ｂｋ２∥４Ｐ‘Ｒ４＝Ｏ—ＰＲ２ｆｌ（ｆｌ一１）＋６（４—８ｋｐ＋６七ｂ＇２—２—够３）岛卯２Ｒ４＝０解上述方程，得ｋ＝１口＝—二１一ｍ方程（３．１）的周期解为Ｒ＝字Ｊ≠Ｐ＝如力：确：』ｍｊ茄等翥兰铲南卑居例如，）＝确＝｛勺丽而再瓦菇计叩…ｒ丁１ｉ旷卅。
ｌ０Ｐ层”ｍ，陲其他取ｍ＝ｎ＝３ｋ＝ａ＝丑＝Ｒ＝１图象如下唧一ｔＰ＝√等ｍ一＿ｆ乒０如叫ｋ巍三具他（３．１１）８ｅ“ｌ图（３．７）方程（３．１）的周期解图（３－８）方程（３．１）的周期解平面图２０ｍａ一２＝ｎ；Ｂ一２ｍｆｌ＝ｎｆｌ＝ｋｐ一４ｋ；８＝ｐｋｐ一２＝ｐ一２尸”Ｒ２；ｔ％ａ（ｆｌ一１）一ａｎｔｉ（ｎｉｌ一１），”Ｒ２＝ｏ一．，ｔｉｐ…Ｒ２卢２＋６（一６＋１ｌｋｆｌ一６ｋｆｌ２＋—够３）ｋｆｌＰ‘Ｒ４＋册２∥２Ｐ“Ｒ２＝Ｏ（３．１２）ＰＲ２∥２＋ｂｋ２∥４Ｐ‘Ｒ４＝０一ＰＲ２９（ｇ—１）＋６（４—８置卢＋６ｋ９２—２置卢３）ｋｇＰ‘Ｒ４＝０解上述方程，得川卢：而４Ｒ：字层阳１ｊ３ｍ３。
＋：１。
３耍ｍ２＋乒１３ｍ＋３方程（３．１）的周期解为取ｍ＝ｎ＝３图象如下图（３·９）方程（３．１）的周期解吁ｍ－１仃［－ｊ。
卅］：－２Ｒ：！Ｉｌ（ｘ－ｔ）愕其他（３．１３）Ｐ：坐４ｓＯ４０。
Ｏ２０１０Ｌｊ‘图（３－１０）方程（３．１）的周期解平面图３．２（１＋１）维方程的ｍｕｔｉ—Ｃｏｍｐａｔｏｎ解用同样的方法我们可以求出方程（３．１）的ｍｕｔｉ—Ｃｏｍｐａｔｏｎ解１．ｍ＝”＝ｋ方程（３．１）的ｍｕｔｉ—ｃｏｍｐａｃｔｏｎ解为蚺。
：确＿ｊ七两罴：‰两ｃｏ声岽Ｊ墨罟。
侧蚺ｏ＝确＝｛勺面哂孬雨甭而瓦丽Ｌ０∥４‘ｉ１］厂Ｐ卅Ｊｌ０Ｔ（４Ｔ－１）口≤等√华ｃｘ－Ａｔ）＜竿Ｂ柳其他取卅：２ｄ：一１６：五：１口：２Ｒ：４５Ｐ：一４ａ）当Ｔ＝Ｏ时，是单峰ｃｏｍｐａｃｔｏｎ解ｂ）当Ｔ＝Ｏ，１时，是双峰ｃｏｍｐａｃｔｏｎ解Ｃ）当Ｔ＝Ｏ，１，２时，是三峰ｃｏｍｐａｃｔｏｎ解图（３－１１）方程（３．１）的ｍｕｆｆ－Ｃｏｍｐｃａｔｏｎ解≠＼。
矗＼覃．』图（３－ｉ２）方程（３．１）的ｍｕｆｆ．Ｃｏｍｐｅａｔｏｎ解平面图２．，”＝｜ｊ｝≠ｎ方程（３．１）的ｍｕｔｉ—ｃｏｍｐａｃｔｏｎ解为Ｉ。
如力：嫦：蚓砸ｉ君差面品芦字肛捌。
如，）＝嫦＝｛勺鬲丽雨丽＝；；鬲Ｌ舻１卜石吨协一捌ｌ０Ｔ（４Ｔ－１）ｎ≤警肛卅≤丁（４Ｔ＋１）ｘ（３１５）其他取ｍ＝ｋ＝２ｎ＝ｂ＝五＝１ａ＝一２口＝４ａ）当Ｔ＝Ｏ时，是单峰ｃｏｍｐａｃｔｏｎ解ｂ）当Ｔ＝Ｏ，１时，是双峰ｃｏｍｐａｃｔｏｎ解ｃ）当Ｔ＝Ｏ，１，２时，是三峰ｃｏｍｐａｃｔｏｎ解图（３－１３）方程（３．１）的ｍｕｆｆ－Ｃｏｍｐｃａｔｏｎ解／＼“ｌ！＼ｆＲ＝三８Ｐ＝旦３一图（３—１４）方程（３．１）的ｍｕｔｉ－Ｃｏｍｐｃａｔｏｎ解平面图ｚ㈨玲ｒＩ．＿ｌ２ｍ（３ｚ－～ｍ）（ａ＋１）琵Ｃｏ砉等胁—（４Ｔ—－Ｉ）兰—Ａ（ｍ—－１），／！（ｚ—Ａｔ）≤—（４Ｔ＋—１）Ｔｒ２—２搠、『ｂ。
’一２其他取肌＝ｋ＝２＂＝口＝ｂ＝Ｒ＝１＾＝４口＝２ａ）当Ｔ＝Ｏ时，是单峰ｃｏｍｐａｃｔｏｎ解ｂ）当Ｔ＝Ｏ，Ｉ时，是双峰ｃｏｍｐａｃｔｏｎ解ｃ）当Ｔ＝Ｏ，１，２时，是三峰ｃｏｍｐａｃｔｏｎ解Ｐ＝三６（３．１６）Ｎ（３—１５）方程（３．１）的ｍｕｆｆ—Ｃｏｍｐｃａｔｏｎ解雾＼。
．１√ｌ１图（３－１６）方程（３．１）的ｍｕｔｉ—Ｃｏｍｐｃａｔｏｎ解平面图３．３（１＋１）维方程的其他形式的ｃｏｍｐａｃｇｏｎ解及孤立波解类似地，我们可以拟设吣力＝孵）＝｛艘”：俾Ｄ。
笔鬈万（，．·，）是方程（３．１）的行波解并代入（３．２）中得到１．ｍ＝Ｈ＝后方程（３．１）的ｃｏｍｐａｃｔｏｎ解为如力：硝：｛ｄ丽ｉ丽２ｍ而（３－ｍ面）瓦丽蝴．－－一‘丽ｍ－１Ｉ丁Ｊ－ａ”ｑ＠一例如力＝硝＝｛勺丽ｉ丽丽面瓦丽叫”‘‘ｊ刊—了一旷删ｌ０。
≤ｉｍ－１、『罕２２［－万－－ａｍ２卜班万其他取ｍ：２Ⅱ：一１６：兄：１口：２Ｒ：！三Ｐ：三。
４１５ｏ≤卓（川）≤厢４、其他（３．１８）ｆ６１Ｘ尊。
聆。
言辟ＩＩＸ“图象如下Ｏ．２５入０．２０．１５０．１０．０５围（３—１７）方程（３．１）的Ｃｏｍｐｃａｔｏｎ解图（３‘１８）７Ｙ程（３，１）的ｍｕｔｉ－Ｃｏｍｐｅａｔｏｎ群半向圈２．ｍ＝ｋ≠ｎ１。
方程（３．１）的ｃｏｍｐａｃｔｏｎ解为如力：确＿』七意罂丽茹丐啦侧如力＝确＝｛勺百丽雨丽面两跏厅１‘了ＩｉＰ州Ｊｌ０。
≤掣船卅≤硝（３１９）其他２。
方程（３．１）的ｃｏｍｐａｃｔｏｎ解为躯。
：哟：｛一茄鸶蔫‰葫芦字肛硎躯ｏ＝哟＝｛勺而不荔甭丽跚∥‘‘了Ｉｉ旷删Ｊ。
≤等再∽郴石（３：。
）其他３．ｍ＝”≠ｋ１。
方程（３．１）的周期解为ｚ酝ｏ＝妁＝｛勺孑丽石而荔石矿ＦｒＪｉｏ一∞］蚺妁：ｊｄ茄亲象和粤屉卅０。
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方程（３．１）的孤立波模型解为如。
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方程（３．１）的解为如ｆ）＝ｚ约＝２。
方程（３．１）的解为（３．２７）（３－２８）柳］（３．２９）图象如下ｕ（ｘ，ｒ）＝“（ｆ）＝Ｓｉｎ［－；（ｚ—ｆ）】３－１一三≤了３（ｘ—Ｄ≤詈导（川卜詈≯吵詈厂０．５’１。
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方程（１）的ｋｉｎｋｃｏｍｐａｃｔｏｎ解为ｕ（ｘ，ｆ）＝“（ｆ）＝Ａｔ）１一至２茎螋４ｍ拈ｂ确）≤兰２Ｖ必４ｍ以ｂ（一北一三２（３．４１）Ｖ螋４ｍ协ｂ确）＞三２Ｖ取研＝５∥＝五＝Ｒ＝Ｐ＝１６＝去４＝一了２９２５５江苏大学硕士学位论文ｆＳｉｎ（ｘ—ｆ）ｕ（ｘ，ｆ）２村（善）２｛一１１疗万一一≤ｘ—ｆ≤一２２万Ｚ一，＜一一万ｚ—ｆ＞一．｛ｊ—ｓ。
·｝Ｉ图（３．２３）方程（３．１）的ｋｉｎｋｃｏｍｐａｃｔｏｎ解图（３—２４）方程（３．１）的ｋｉｎｋｃｏｍｐａｃｔｏｎ解平面图２。
方程（１）的ｋｉｎｋｃｏｍｐａｃｔｏｎ解为ｕ（ｘ，ｒ）＝“（孝）＝啬掣以∽柳】Ｚ，卵ＶＤ一三２≤地２ｍ肛ｂ卅≤１２Ｖ警据”小一三。
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图（３—２５）方程（３．１）的ｋｉｎｋｃｏｍｐａｃｔ．ｏｎ解图（３－２６）方程（３．１）的ｋｉｎｋｃｏｍｐａｃｔｏｎ解平面图３．６（１＋１）维广义充分非线性方程的ｐｅａｋｏｎ解对于方程（３．１），我们令“＝２ｅ一。
剖∞＞ｏ）掌＝ｘ一所代入（３．２）得ｃ２Ｄ２五ｍｅ－ｅ“ｇ＇［一Ａｃ２ｅ－＋＝ｌ＋口２＂ｃ２开２Ｐ一删Ｉ爿＋ｂ２ｋｃ４ｋ４ｅ－砖同＝０令指数相等对应系数为０１．ｍ＝１胛＝ｋ，ｌｃ２Ｄ２＾一２ｃ２＝０出１ａ２々２珂２＋ｂ２＂ｃ４即４＝ｏｆＤ＝±ｌ得｛厅１【弘、／了ｉ故方程（３．１）的ｐｅａｋ。
ｎ解为：材：五ｇ—Ｊ亭÷叫取Ｄ＝旯＝１ｂ＝”＝２口＝一８则“：Ｐ＋。
ｆ图象如下（３．４３）（３．４４）ｒ３．４５）（３．４６）—————————兰三—茎—坐塑主堂堡堕查图（３—２７））ｒＹｅ（３＋１）的ｐｅａｋｏｎ解由ｋ：：２麓纛ｊａ＝１得｛Ｄ厨【归孑、／了＼乡图（３－２８）方程（３．１）的ｐｅａｋｏｎ解平面图ｇｚ方程（３．１）的ｐｅａｋ。