人教版八年级数学上专题版讲义

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人教版八年级数学上册培优讲义第二讲：全等三角形与轴对称

模型一：手拉手模型第二讲：全等三角形与轴对称特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC =180°（3）OA 平分∠BOC例 1.如图在直线 ABC 的同一侧作两个等边三角形∆ABD 与∆BCE ，连结 AE 与CD ，求证：（1） ∆ABE ≅ ∆DBC （2） AE = DC （3） AE 与 DC 之间的夹角为60︒（4） ∆AGB ≅ ∆DFB （5） ∆EGB ≅ ∆CFB （6） BH 平分∠AHC （7） G F // AC变式精练1：两个等腰三角形∆ABD 与∆BCE ，其中AB =BD , CB =EB, ∠ABD =∠CBE =α,连结AE与CD，问：（1）∆ABE≅∆DBC是否成立？（2）AE是否与CD相等？（3）AE 与CD 之间的夹角为多少度？（4）HB 是否平分∠AHC ？变式精练2：如图，两个正方形ABCD 与DEFG ,连结AG, CE ,二者相交于点H问：（1）∆ADG≅∆CDE是否成立？（2）AG是否与CE相等？（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？（4）HD 是否平分∠AHE ？模型二：对角互补模型（1）全等型——90°条件：① ∠AOB =∠DCE = 90︒②OC 平分∠AOB结论：① CD =CE ；②OD +OE = 2OC ；③S四边形ODCE =S∆OCD+S∆OCE=1OC 22辅助线之一：作垂直，证明∆CDM ≌∆CEN辅助线之二：过点C 作CF⊥OC，证明∆ODC≌∆FEC结论：①CD =CE ；②OE -OD = 2OC ；③S∆OCE -S∆OCD=1OC 22条件：① ∠AOB =∠DCE = 90︒②CD =CE结论：①OC 平分∠AOB；②OD +OE = 2OC ；③S四边形ODCE =S∆OCD+S∆OCE=1OC 22（2）全等型——120°条件：① ∠AOB = 2∠DCE = 120︒②OC 平分∠AOB结论：① CD =CE ；②OD +OE =OC ；③ S四边形ODCE 模仿（全等型——90°）辅助线之一完成证明=S∆OCD+S∆OCE=3OC 24辅助线之二：在OB 上取一点F，使OF=OC,证明△OCF 为等边三角形（3）全等型——任意角α条件：① ∠AOB = 2α,∠DCE = 180︒- 2α结论：OC 平分∠AOB②C D =CE例：四边形ABCD 被对角线BD 分为等腰直角三角形ABD 和直角三角形CBD ，其中∠A 和∠C 都是直角，另一条对角线AC 的长度为2 ，求四边形ABCD 的面积．AB DC变式精练1：已知∠MAN ，AC 平分∠MAN ．（1）在图 1 中，若∠MAN = 120︒，∠ABC =∠ADC = 90︒，求证：AB +AD =AC ；（2）在图2 中，若∠MAN = 120︒，∠ABC +∠ADC = 180︒，则⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明;若不成立，请说明理由;变式精练2：已知：如图所示，Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点，⑴写出点O 到△ABC 的三个顶点A、B、C 的距离的关系（不要求证明）⑵如果点M、N 分别在线段AC、AB 上移动，且在移动中保持AN=CM.试判断△OMN 的形状，并证明你的结论.⑶如果点M、N 分别在线段CA、AB 的延长线上移动，且在移动中保持AN=CM，试判断⑵中结论是否依然成立，如果是请给出证明．模型三：角含半角模型（1）角含半角模型90°-1条件：①正方形ABCD ②∠EAF = 45︒结论：① EF =DF +BE ；② ∆CEF 的周长为正方形ABCD 周长的一半；也可以这样：条件：①正方形ABCD ②EF =DF +BE结论：① ∠EAF = 45︒；口诀：角含半角要旋转（2）角含半角模型90°-2条件：①正方形ABCD ②∠EAF = 45︒结论：① EF =DF -BE ；辅助线：（2）角含半角模型90°-3条件：①等腰直角三角形ABC ②∠DAE = 45︒结论：① BD2+CE2=DE2；（勾股定理知识）辅助线：将△ACE 绕点 A 顺时针旋转90°得到△ABF，并连接DF.若∠DAE 旋转到△ABC 外部时，结论BD2 +CE 2 =DE 2 仍然成立。

人教版八年级数学多边形及其内角和讲义 (含解析)

第2讲多边形及其内角和知识定位讲解用时：5分钟A、适用范围：人教版初二，基础一般；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习多边形及其内角和，首先要学会判断凸多边形和凹多边形，然后要学会计算多边形的内角和和外角和，能够处理多边形的一些基础题目。

知识梳理讲解用时：20分钟凸多边形、凹多边形1、多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

2、凸多边形：如果把一个多边形的所有边中，有一条边向两方无限延长成为一直线时，其他各边不都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凹多边形，其内角中至少有一个钝角。

3、凹多边形：如果把一个多边形的所有边中，任意一条边向两方无限延长成为一直线时，其他各边都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凸多边形，其内角应该全不是钝角，任意两个顶点间的线段位于多边形的内部或边上。

目前我们研究的都是凸多边形1、多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。

2、多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

3、多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

4、正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

从同一个顶点引出对角线的条数：0 1 2 3 n-3 （n≥3）分割出三角形的个数：0 2 3 4 n-2 （n≥3）多边形内角和：180° 360° 540° 720° (n-2)·180°课堂精讲精练【例题1】设四边形内角和等于，五边形外角和等于，则与之间的关系是（） A.B.C.D.【答案】B【解析】四边形的内角和是360°，多边形的内角和也是360°.解：多边形边数为，则内角和为，四边形内角和，多边形外角和为，五边形外角和，因此．故正确答案为：．讲解用时：2分钟解题思路：此题比较简单，熟记多边形的内角和和外角和公式做题即可. 教学建议：掌握多边形的内角和和外角和公式，灵活做题.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习1.1】下列图形中，多边形有（）总结：1、多边形对角线的条数：（1）从n 边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分词（n-2）个三角形。

人教版八年级数学讲义_第16讲：等边三角形中考班

第16讲：等边三角形一、【知识点】1、三边都相等的三角形叫做等边三角形．2、等边三角形的性质：等边三角形的三个内角相等，都等于60°．3、30°的直角三角形中，30°角所对的直角边为斜边的一半．4、等边三角形的判定：(1)、三个内角都相等的三角形是等边三角形．(2)、有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形．二、【探究新知】探究1：如图，△ABC 为等边三角形，求它的每一个内角．【定理】等边三角形的每个内角都为______度．【例1】如图，△ABC 边BC 上有D 、E 两点，且BD =DE =EC =AD =AE ，则∠BAC =_________．BBC【练习1】△ABC 是等边三角形，D 、E 分别是BC 、AC 上的点，且AE =CD ，AD 与BE 交于点为F ．(1)你能发现图中有几对全等三角形？ (2)求∠BFD 的度数．【探究2】1．若一个三角形的三个内角都相等，它是等边三角形吗？2．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形吗？【等边三角形的判定定理】1．三个内角都相等的三角形是等边三角形．2．有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形．3．有两个角为60°的三角形为等边三角形．【例2】如图，△ABC 是等边三角形，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 上的点，且AD =BE =CF ，求证：△DEF 是等边三角形．BBB BB C【探究】如图，Rt △ABC 中，∠A =30°，则线段BC 与线段AB 有何数量关系？并说明理由．【定理】30°的直角三角形中，30°角所对的直角边为斜边的________．【例3】△ABC 中，BD 是AC 边上的中线，BD ⊥AC 边上的中线，BD ⊥BC 于点B ，∠ABC =120°，求证：AB =2BC ．【练习2】等腰三角形的顶角为120°，底边上的高为10，则腰长为_______．【练习3】如图，△ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，CD ⊥AB 于D ，AB =4㎝，则BD =________．BCAB【练习4】如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =120°，D 为BC 的中点，DE ⊥AB 于E ，求证EB ：EA 的值．如图，在平面直角坐标系中，△AOP 为等边三角形，A (0,1)，点B 为y 轴上一动点，以BP 为边作等边△PBC ．(1) 求∠CAP 的度数；(2) 当B 点运动时，AE 的长度是否发生变化？C B第16讲：等边三角形测试题姓名＿＿＿＿分数＿＿＿＿＿1．如图，等边△ABC 的边长为1cm ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，将△ABC沿直线DE 折叠，点A 落在A ’处，且A ’在△ABC 外部，则阴影部分图形的周长为__________ cm2．如图，△ABC 是等边三角形，D 为AB 的中点，DE ⊥AC 垂足为点E ，EF ∥AB ，AE =1，则△EFC 的周长=_______．3．如图所示，一个六边形的六个内角都是120°，其中连续四边的长依次是1、9、9、5．求这个六边形的周长为________4. 已知△ABC 中，AB =AC ，下列结论：① 若AB =BC ，则△ABC 是等边三角形； ②若∠A =60°，则△ABC 是等边三角形；③若∠B =60°，则△ABC 是等边三角形．其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．如图，已知△ABC 为等边三角形，点P 在AB 上，以CP 为边长作等边△PCE ．求证：AE ∥BC ．B6．如图，△ABC 中，AB =AC ，∠C =30°，AB 的垂直平分线MN 分别交BC 、AB 于点M 、N ，试探究BM 与CM 之间的数量关系．7．如图，D 、E 分别是等边△ABC 的边AC 、BC 上的点，且AD =CE ，BD 、AE 交于点N ，BM ⊥AE 于M ，求证：MN =21BN .BBE。

专题01 化动为静,破解三角形中的动态问题-八年级数学辅导讲义(人教版)

专题01 化动为静，破解三角形中的动态问题解题核心一、分析分析题意，有几个动点，动点怎么运动的？二、思考思考是否需要分类讨论？怎么用时间、速度表示线段的长度？三、列方程解答问题【题型一】全等三角形存在性【例1-1】（2020·广州市期中）如图，已知长方形ABCD的边长AB＝20cm，BC＝16cm，点E在边AB上，AE＝6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当时间t为（）s时，能够使BPE与CQP全等．A．1B．1或4C．1或2D．2或4【答案】B.【解析】解：分两种情况：①当EB ＝PC ，BP ＝QC 时，△BPE ≌△CQP ，∵AB ＝20cm ，AE ＝6cm ，∴EB ＝14cm ，∴PC ＝14cm ，∵BC ＝16cm ，∴BP ＝2cm ，∴t ＝2÷2＝1 s ；②当BP ＝CP ，BE ＝QC 时，△BEP ≌△CQP ，由题意得：2t ＝16﹣2t ，解得：t ＝4 s ，故答案为：B ．【例1-2】（2020·邢台市期中）如图，9cm AB =，3cm AC =，点P 在线段AB 上以1cm/s 的速度由点B 向点A 运动，同时点Q 在射线BD 上以x cm/s 的速度由点B 沿射线BD 的方向运动，它们运动的时间为t （s ）图① 图②（1）如图①，若AC AB ⊥，BD AB ⊥，当ACP BPQ △≌△，x =________；CPQ ∠=________．（2）如图②，CAB DBA ∠=∠，当ACP △与BPQ 全等，x =________；【答案】（1）2；90°；（2）2或23. 【解析】解：（1）当△ACP ≌△BPQ 时，AC=BP=3，AP=BQ=6，∴t=3 s ，x=6÷3=2 cm/s ，∵∠CPA=∠PQB ，∠PQB+∠QPB=90°∴∠CPA+∠QPB=90°，∠CPQ=90°.（2）分两种情况讨论：①当△ACP ≌△BPQ 时，AC=BP=3，AP=BQ=6t=3 s ，x=2 cm/s.②当△ACP ≌△BQP 时，AC=BQ=3，AP=BP=4.5t=4.5÷1=4.5 s ，x=3÷4.5=23cm/s. 综上：当△ACP 与△BPQ 全等，x=2 cm/s 或23cm/s ．【变式1-1】（2020·重庆月考）如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，8cm,6cm AC BC ==，直线l 经过点C 且与边AB 相交，动点P 从点A 出发沿A C B →→路径向终点B 运动，动点Q 从点B 出发沿B C A →→路径向终点A 运动，点P 和点Q 的速度分别为3cm/s 和2cm/s ，两点同时出发并开始计时，当点P 到达终点B 时计时结束．在某时刻分别过点P 和点Q 作PM l ⊥于点M ，QN l ⊥点N ，设运动时间为t 秒，则当t =__________秒时，PMC △与QNC 全等．【答案】2或145．【解析】解：由题意得，AP ＝3t ，BQ ＝2t ，∵AC ＝8cm ，BC ＝6cm ，∴CP ＝8﹣3t ，CQ ＝6﹣2t ，①当△PMC 与△QNC 全等时，PC=QC ，6-2t=8-3t ，解得t=2②当点P 运动至BC 上，且与点Q 相遇，则PC=QC ，6-2t=3t -8，解得t=145；故答案为：2或145．【变式1-2】（2020·成都市期中）如图，ABC ∆中，90,6,8ACB AC cm BC cm ∠=︒==，点P 从点A 出发沿A C -路径向终点C 运动.点Q 从B 点出发沿B C A --路径向终点A 运动．点P 和Q 分别以每秒1cm 和3cm 的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过P 和Q 作PE l ⊥于,E QF l ⊥于F ．则点P 运动时间为_______________时，△PEC 与△QFC 全等．【答案】1或72. 【解析】解：分两种情况讨论：①如图所示：∵△PEC与△QFC全等，∴PC=CQ即6-t=8-3t，解得：t=1；②如图所示，当P、Q重合时，满足题意6-t=3t-8，解得t=72，故答案为：1或72．【题型二】等腰三角形存在性【例2】（2020·民勤县期中）如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（）A．2s B．3s C．4s D．6s【答案】C.【解析】解：设运动时间为x，则AP=20-3x，AQ=2x，由题意得：AP=QA即20-3x=2x，解得x=4，故答案为：C.【变式2-1】（2020·江门市期中）如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，DA⊥AB，∠B＝60°，AD＝8cm，AB＝16cm，BC＝10cm．如果点P由B点出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点Q由A点出发沿AB方向向点B匀速运动，它们的速度均为2cm/s，当P点到达C点时，两点同时停止运动，连接PQ，设运动时间为ts，解答下列问题：（1）设PQB△的面积为S，当P、Q两点同时停止运动时，求出S的值．（2）当t为何值时，PQB△为等边三角形？（3）当t为何值时，∠PQB＝30°？【答案】见解析.【解析】解：（1）∵AB＝16cm，BC＝10cm，点P，点Q的速度均为2cm/s，∴t＝10÷2=5 s，AQ＝BC＝10cm，∴BQ＝6cm，∴S＝S△PBQ＝12×6×8＝24 cm2，（2）当BQ＝BP时，△PQB为等边三角形，∵∠B＝60°，BQ＝BP，∴△PQB为等边三角形，即2t＝16﹣2t，解得t＝4，∴当t为4s时，△PQB为等边三角形；（3）∵∠PQB＝30°，∠B＝60°，∴∠QPB＝90°，∠PQB＝30°，∴BQ＝2PB，∴16﹣2t＝2×2t，∴t＝83，∴当t为83时，∠PQB＝30°．【变式2-2】（2020·北京市期中）已知如图，三角形ABC中，AB=BC=AC=12cm，现有M，N两点分别从点A、点B同时出发，沿三角形边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为3cm/s，当点N第一次到达点B时，M、N同时停止运动．（1）点M、N运动3秒后，以点A、M、N为顶点的三角形为__________形；（填“等腰”、“等边”、“直角”）（2）点M、N运动__________秒后，以点C．M、N为顶点的三角形为等边三角形；（3）当点M、N同时在AC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形BMN，如果能求出此时M、N运动的时间，如果不能，请说明理由．【答案】（1）等边；（2）9；（3）见解析．【解析】解：（1）如图，点M、N运动3秒后，AM=3，BN=9，则AN=12-9=3∴AM=AN∵∠A=60°∴△AMN为等边三角形．（2）如图，∵∠C=60°，∴当CM=CN时，∆CMN为等边三角形．设两点运动时间为ts，CM=12-t，CN=3t-24∴12-t=3t-24，解得：t=9故答案为：9.（3）不能.当BM=BN时，∆BMN是以MN为底边的等腰三角形①当点N没有超过M点时，∵BM=BN∴∠BNM=∠BMN，∠BNA=∠BMC∵∠C=∠A=60°，AB=BC∴∆BNA≌∆BMC∴AN=MC∴12-t=3t-12解得t=6，此时M,N重合，不符合题意；②当点N超过点M时，同理AN=MC∴AM=t，NC=24-3t∴t =24-3t，解得t=6∴t=6时，M,N点重合．综上所述，不能得到以MN为底边的等腰三角形BMN．【题型三】直角三角形存在性【例3】（2020·长沙市月考）如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC 上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s．图1 图2（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）何时△PBQ是直角三角形？（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．【答案】见解析．【解析】（1）∠CMQ＝60°，不变．∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠B＝∠CAP＝60°．由题意知AP＝BQ．∴△ABQ≌△CAP∴∠BAQ＝∠ACP∴∠CMQ＝∠ACP+∠CAM＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°．（2）设P、Q运动时间为t秒，则AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t①当∠PQB＝90°时，∵∠B＝60°，∴PB＝2BQ，得4﹣t＝2t，t＝43．②当∠BPQ＝90°时，∵∠B＝60°，∴BQ＝2BP，得t＝2（4﹣t），t＝83．∴当第43秒或第83秒时，△PBQ为直角三角形．（3）∠CMQ＝120°，不变．∵在等边△ABC中，BC＝AC，∠B＝∠CAP＝60°∴∠PBC＝∠ACQ＝120°．由题意知BP＝CQ．∴△PBC≌△QCA∴∠BPC＝∠MQC又∵∠PCB＝∠MCQ，∴∠CMQ＝∠PBC＝180°﹣60°＝120°．【变式3-1】（2020·珠海市期中）已知△ABC是边长为8cm的等边三角形，动点P、Q同时出发，分别在三角形的边或延长线上运动，他们的运动时间为t s ．（1）如图1，若P点由A向B运动，Q点由C向A运动，他们的速度都是1/cm s，连接PQ．则AP= ，AQ= ，（用含t式子表示）；（2）在(1)的条件下，是否存在某一时刻，使得△APQ为直角三角形？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）如图2，若P点由A出发，沿射线AB方向运动，Q点由C出发，沿射线AC方向运动，P的速度为3cm/s，Q的速度为a cm/s是否存在某个a的值，使得在运动过程中△BPO 恒为以BP为底的等腰三角形？如果存在，请求出这个值，如果不存在，请说明理由．图1 图2【答案】见解析．【解析】解：（1）由题意可知：AP= t cm，CQ=t cm，AQ= （6-t）cm.（2）存在.①当∠APQ=90°时，有2t=8-t ，解得t=83②当∠AQP=90°时，有t=2（8-t ），解得t=163 综上所述，存在t=83s 或163s 时，使得△APQ 为直角三角形. （3）存在a=3 cm/s 时，△BPQ 恒为以BP 为底的等腰三角形，理由是：过Q 作QM ⊥BP 于M ，由题意得：AP=3t ，CQ=at ，AQ=8+at ，BP=|8-3t|，∵PQ=BQ ，QM ⊥BP ，∴PM=BM=12BP 由△ABC 为等边三角形，得∠A=60°，∴∠AQM=30°，AQ=2AM即8+at=2（3t+12|8-3t|），解得：a=3.即存在a=3时，△BPQ 恒为以BP 为底的等腰三角形．【题型四】最短路径存在性【例4】（2020·昌乐县期中）如图，钝角三角形ABC 的面积是15，最长边10AB =，BD 平分ABC ∠，点M ，N 分别是BD ，BC 上的动点，则CM MN +的最小值为（）A．4B．3C．2.8D．2.5【答案】B.【解析】解：作点C关于线段BD的对称点C’，过点C’作C’N⊥BC于点N，交BD于点M，根据轴对称的性质，此时CM+MN=C’M+MN=C’N，此时CM+MN取最小值，最小值就是C’N的长，∴C’N=15×2÷10=3．故答案为：B．【变式4-1】（2020·广州市期中）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=6,AC=8,BC=10，BD 是∠ABC的平分线，若P，Q分别是BD和AB上的动点，则PA+PQ的最小值是______．【答案】4.8.【解析】解：如图，作点Q关于直线BD的对称点Q’，过A作AM⊥BC于点M，PA+PQ=PA+PQ’，根据垂线段最短可知，当A，P，Q’共线，与AM重合时，PA+PQ的值最小，最小值就是AM的长，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6,AC=8,BC=10，∴AM=6×8÷10=4.8；故答案为：4.8．【题型五】旋转与全等【例5】（2020·中山市期中）如图①，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和A B C '''重合放置，其中90C ∠=︒，30B B ∠∠'==︒，2AC AC '==．（1）操作发现：如图②，固定ABC ，将A B C ''绕点C 旋转，当点A '恰好落在AB 边上时．①CA B ∠''=____，旋转角为_____（0＜α＜90°），线段A B ''与AC 的位置关系是 ②设A BC '的面积为1S ，AB C '的面积为2S ，则1S 与2S 的数量关系是___．（2）猜想论证：当A B C ''绕点C 旋转到③所示的位置时，徐富老师猜想（1）中1S 与2S 的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了A BC '和AB C '中BC ，B C '边上的高A D '，AE ，请你证明徐富老师的猜想．【答案】（1）①60°，60°，平行；②S 1=S 2；（2）见解析.【解析】解：（1）∵∠C=90°，∠B=∠B’=30°，∴∠BAC=∠B’A’C’=60°①由旋转知，△CAB ≌△CA’B’∠CA’B’=60°，CA=CA’∴△CAA’为等边三角形，即∠ACA’=60°，旋转角α=60°∴∠ACA’=∠B’A’C=60°∴A’B’∥AC故答案为60°，60°，平行；②由①可得：∠CA’B’=60°，A’B’∥AC ，AA’=A’C ，∴∠A’CB=∠B=30°，∴A’B=A’C ，∴A’B=A’C=A’A ，∴点A’为AB 的中点，∴S△A’AC=S1=12S△ABC，过点B’作B’F⊥AC于点F，则S△AA’C=12AC·B’F，S2=12AC·B’F，即S1=S2.（2）S1=S2，理由如下：由（1）可得AC=A’C，BC=B’C，∠ACB=∠A’CB’ =90°，∵AE⊥B’C，A’D⊥BC，∴∠E=∠A’DC=90°，∵∠ACE+∠BCE=90°，∠BCE+∠A’CD=90°，∴∠ECA=∠DCA’，∴△AEC≌△A’DC，∴AE=A’D，∵S1=12BC·A'D，S2=12B'C·AE∴S1=S2.【变式5-1】（2020·山西八年级月考）综合与实践材料一：“转化思想”是几何变换中常用的思想，例如将图形进行旋转变换，实现图形位置的“转化”，把一般情形转化为特殊情形，使问题化难为易．它是一种以变化的、运动的观点来处理孤立的、离散问题的思想．材料二：皮埃尔·德·费马（如图），17世纪法国律师和业余数学家，被誉为“业余数学家之王”．1638年勒·笛卡儿邀请费马思考关于三个顶点距离为定值的问题，费马经过思考并由此推出费马点的相关结论．定义：若一个三角形的最大内角小于120,︒则在其内部有一点所对三角形三边的张角均为120,此时该点叫做这个三角形的费马点.如图1，当ABC 三个内角均小于120︒时，费马点Р在ABC 内部，此时APB ∠=120,BPC CPA PA PB PC ∠=∠=︒++的值最小．（1）如图2，等边三角形ABC 内有一点,P 若点P 到顶点,,A B C 的距离分别为3,4,5，求APB ∠的度数.为了解决本题，小林利用“转化”思想，将ABP △绕顶点A 旋转到'ACP 处，连接',PP 此时'ACP ≅,ABP 这样就可以通过旋转变换，将三条线段,PA PB ，PC 转化到一个三角形中，从而求出APB ∠= ；（2）如图3，在图1的基础上延长BP ，在射线BP 上取点,D E ，连接,AE AD ．使,AD AP =DAE =∠,PAC ∠求证：BE PA PB PC =++；【答案】见解析．【解析】解：（1）∵△ACP′≌△ABP ，∴AP′=AP=3、CP′=BP=4、∠AP′C=∠APB ，由题意知，∠PAP′=60°，∴△APP′为等边三角形，PP′=AP=3，∠AP′P=60°，易证△PP′C为直角三角形，且∠PP′C=90°，∴∠APB=∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C=60°+90°=150°；故答案为：150°；（2）证明：∵点P为△ABC的费马点，∴∠APB=120°，∠APD=60°∵AD=AP∴△APD为等边三角形∴AD=AP=PD，∠PAD=∠ADP=60°∴∠ADE=120°∴∠ADE=∠APC∴△APC≌△ADE∴PC=DE，由BE=BP+PD+DE得，BE=PA+PB+PC.【变式5-2】（2020·北京市月考）如图，在△ABC中，∠OAB＝90°，AO＝AB，∠AOB＝∠ABO＝45°．点A的坐标为(4，4)，点B的坐标为(8,0)．P为x轴上一动点，记P(p，0)．（1）若AQ⊥AP交y轴于点Q，则：①当p＝5时，BP＝，∠AOQ＝；并求出此Q点坐标．②当p＞0 时，则Q点坐标用含p代数式表示为．（2）若将线段PA绕点P逆时针旋转90︒至PC，即AP＝PC，∠APC ＝90°，则如图，当P在OB延长线上时，请补全图形，并直接写出C点坐标.（备用图）【答案】见解析.【解析】解：（1）①如图1，∵∠OAB=90°，OA=AB，∴∠AOB=45°，∠AOQ=45°由B（8,0），P（5,0）得BP=3，由旋转知，∠PAQ=90°，过点A作AE⊥OB于E，AD⊥OQ于D，∴∠ADQ=∠AEP=90°，∴∠DAE=90°，∠DAQ=∠EAP∵A（4,4），∴AD=AE=4，OD=OE=4，∵p=5，∴OP=5，PE=OP-OE=1∴△ADQ≌△AEP∴DQ=PE=1∴OQ=OD-DQ=3，即Q（0,3）.②Q（0,8-p）.（2）补全图形如图，由旋转知，∠APC=90°，PA=PC，∴∠APO+∠CPO=90°，过点A作AG⊥x轴于G，过C作CH⊥x轴于H,∴∠AGP=∠PHC=90°，∴∠APO+∠PAG=90°∴∠PAG=∠CPH∴△APG≌△CPH∴PH=AG=4，CH=PG，∵P（p，0），∴CH=PG=4-p，OH=OP+PH=4-p，即H（p-4,0）∴C（p-4，4-p）.。

八年级数学上一次函数讲义知识点分析人教版

一次函数一提要1 概念：一般地，形如的函数，叫做一次函数。

当，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。

（注：当k=0时，有y=b，此时函数为一条于x轴平行直线）2 图像及作法：（1）列表；（2）描点；（3）连线图1 图2 图3图43 性质:（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。

（2）一次函数与x轴交点的坐标总是（0，b)，正比例函数的图像总是过原点。

（3）k，b与函数图像所在象限：当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大，即增函数；当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小，即减函数。

当b＞0时，直线必通过一、二象限；当b＜0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。

自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b，则此时称y是x的一次函数；当b=0时，y是x的正比例函数，即：y=kx （k为常数，k≠0）4 图像与性质关系：（1）常数项b：一次函数直线对y轴截距，且直线与y轴交点（0，b）;又当y =kx+b 中y为0时，有x=，即直线与x轴交点为（,0），我们又知道两点可以确定一条直线，所以我们可以通过（0，b）和（,0）这两点确定函数图像，这也是我们经常使用的一种作图方法，（2）如下图图5通过该图我们可以直接读出，此图中k＜0，b＞0。

如果是选择题，那就很方便，而不需要求具体数值(3)如函数，当k不变，b变化时，图像会向上或向下移动，此时k因为不变，所以移动后的直线与原直线平行；如函数，当b不变，k变化时，图像以（0，-2）为中心旋转。

图6 图7结论：○1斜率（k）相同的直线相互平行，在y轴截距不同；○2截距（b）相同的直线在y轴上相交于同一点，但是一般不相互平行。

4．一次函数应用：一般情况下x，y的X围为全体实数，但是在实际应用中要考虑x,y的实际X围。

考点一概念：1．下列属于一次函数的为AB y=x2+2x+5C y=2xDE y=a+3F y=a+b2．如图的四个图象中，不表示某一函数图象的是（）考点二性质1．函数y=－x的图象是一条过原点及（2，___ ）的直线，这条直线经过第_____象限，当x增大时，y随之________2. 函数y=2x－4，当x_______，y<0.3．若y=ax＋b与直线y=4x平行，与直线y=3x＋8交点为（0，8），则a=_____ ,b=____ 4．函数y=3x+5上取x1=1，x2=2，比较大小：y1_______y2；函数y=(m2+1)x+2 （m为常数）有x1=—1，x2=2，比较大小y1_______y2；5．函数y=(m2—1)x+2，（m为常数）其中 x1=—2，x2=1，试比较y1与y2关系6．某一次函数图像过一三四象限，问：k___0，b___07．如下图，判断那些点属于该直线A.（1，3）B.（-1，1）C.（2，-2）D.（，-1）8．已知函数，试问其对应图像可能为（）a b c d练习题➢填空题1．点B（－5，－2）到x轴的距离是____，到y轴的距离是____，到原点的距离是____ 2．小华用500元去购买单价为3元的一种商品，剩余的钱y（元）与购买这种商品的件数x（件）之间的函数关系是______________， x的取值X围是__________3．函数y=－2x＋4的图象经过___________象限，它与两坐标轴围成的三角形面积为_________，周长为_______4．一次函数y=kx＋b的图象经过点（1，5），交y轴于3，则k=____，b=____5．若点（m，m＋3）在函数y=－ x＋2的图象上，则m=____6．若函数y=4x＋b的图象与两坐标轴围成的三角形面积为6，那么b=_____➢选择题1．一次函数y=x-1的图像不经过( )B.第二象限2.(2004·某某)已知正比例函数y=kx(k≠0)的图像过第二、四象限,则( )C.当x<0时,y随x的增大而增大;当x>0时,y随x的增大而减小D.不论x如何变化,y不变3.(2003·某某)结合正比例函数y=4x的图像回答:当x>1时,y的取值X围是( )A.y=1 ≤y<4 C.y=4 D.y>44.(2004·某某)直线y=x-1与坐标轴交于A、B两点,点C在坐标轴上,△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C最多有( )5．如下图，判断直线k，b值X围A. k>0，b<0B. k<0，b<0C. k>0，b>0D. k<0，b>0图86．如下图，判断那些点属于该直线A.（1，3）B.（-1，1）C.（2，-2）D.（，-1）图97．已知y与x-2成正比例关系，且当x=3时，y=6，求函数的表达式8．已知有一次函数与正比例函数，试问下列图形中正确的可能为（）a b c d➢作图题，某直线上有五点（1，-1），（4，2），（-1，-3）（50，48）（77，75），作出该直线➢已知一次函数的图象经过点A（－1，3）和点（2，－3），（1）求一次函数的解析式；（2）判断点C（－2，5）是否在该函数图象上。

2020年秋人教版八年级数学上册第11章三角形综合应用(讲义、随堂练习、习题及答案)

人教版八年级数学上册第11章三角形综合应用（讲义）➢ 知识点睛在三角形背景下处理问题的思考方向： 1. 三角形中的隐含条件是：边：_______________________________________________．角：①______________________________________________；②_____________________________________________．2. 角平分线出现时，为了计算方便，通常采用__________解决问题．3. 高线出现时考虑__________或__________．➢ 精讲精练1. 现有3cm ，4cm ，7cm ，9cm 长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2. 如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，中相邻两螺丝的距离依次为2，3，4，6A ．5 B ．6 C ．7 D ．10 3. 下列五种说法：①三角形的三个内角中至少有两个锐角；②三角形的三个内角中至少有一个钝角；③一个三角形中，至少有一个角不小于60°；④钝角三角形中，任意两个内角的和必大于90°；⑤直角三角形中两锐角互余．其中正确的说法有__________________（填序号）． 4. 如图，在三角形纸片ABC 中，∠A =60°，∠B =55°．将纸片一角折叠使点C 落在△ABC 内，则∠1+∠2=_________．C 21AABCDE第4题图第5题图5. 如图，一个五角星的五个角的和是________．6. 如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =________．第2题图FEBA7. 如图1，线段AB ，CD 相交于点O ，连接AD ，BC ，我们把形如图1的图形称之为“X 型”．如图2，在图1的条件下，∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，并且与CD ，AB 分别相交于M ，N ，试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A ，∠B ，∠C ，∠D 之间的数量关系：_____________________________；（2）在图2中，共有______个“X 型”；（3）在图2中，若∠D =40°，∠B =30°，则∠APC =_______；（4）在图2中，若∠D =α，∠B =β，则∠APC =__________．图2图1P NMABCDOO DCBA8. 探究：（1）如图1，在△ABC 中，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB ，猜想∠P 和∠A 有何数量关系？（2）如图2，在△ABC 中，BP 平分∠ABC ，CP 平分外角∠ACE ，猜想∠P 和∠A 有何数量关系？（3）如图3，BP 平分∠CBF ，CP 平分∠BCE ，猜想∠P 和∠A 有何数量关系？E C AB FPA PP A CE图1 图2 图39. 如图，在△ABC 中，三个内角的角平分线交于点O ，OE ⊥BC 于点E ．（1）∠ABO +∠BCO +∠CAO =____________；（2）∠BOD 和∠COE 的数量关系是________________．O D ECM ANB DA第9题图第10题图10. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于点D ．（1）若AB =6，AC =8，BC =10，则AD =____________；（2）若AB =2，BC =3，则AC :AD =____________．11. 如图，在△ABC 中，若AB =2cm ，AC =3cm ，BC =4cm ，AD ，BF ，CE为△ABC 的三条高，则这三条高的比AD :BF :CE =____________________．C EAF 12. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，P 是BC 边上任意一点，PD ⊥AB 于点D ，PE ⊥AC 于点E ．（1）若AB =8，△ABC 的面积为14，则PD +PE 的值是多少？（2）过点B 作BF ⊥AC 于点F ，求证：PD +PE =BF ．D PCEFA【参考答案】➢ 知识点睛1. 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；三角形内角和等于180°；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 2. 设元 3. 互余，面积➢精讲精练1. B2. C3.①③⑤4.130°5.180°6.360°7.（1）∠A+∠D=∠B+∠C；（2）3；（3）35°；（4）12(α+β)8.（1）∠P=90°+12∠A；（2）∠P=12∠A；（3）∠P=90° 12∠A9.（1）90°（2）∠BOD=∠COE10.（1）245（2）3:211.3:4:612.（1）72（2）证明略三角形综合应用（讲义）➢知识点睛在三角形背景下处理问题的思考方向：4.三角形中的隐含条件是：边：_______________________________________________．角：①______________________________________________；②_____________________________________________．5.角平分线出现时，为了计算方便，通常采用__________解决问题．6.高线出现时考虑__________或__________．➢精讲精练13.现有3cm，4cm，7cm，9cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个14.如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，中相邻两螺丝的距离依次为2，3，4，6A．5 B．6 C．7 D．10第2题图15. 下列五种说法：①三角形的三个内角中至少有两个锐角；②三角形的三个内角中至少有一个钝角；③一个三角形中，至少有一个角不小于60°；④钝角三角形中，任意两个内角的和必大于90°；⑤直角三角形中两锐角互余．其中正确的说法有__________________（填序号）． 16. 如图，在三角形纸片ABC 中，∠A =60°，∠B =55°．将纸片一角折叠使点C 落在△ABC 内，则∠1+∠2=_________．BC 21AABCDE第4题图第5题图17. 如图，一个五角星的五个角的和是________． 18. 如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =________．FEBA19. 如图1，线段AB ，CD 相交于点O ，连接AD ，BC ，我们把形如图1的图形称之为“X 型”．如图2，在图1的条件下，∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，并且与CD ，AB 分别相交于M ，N ，试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A ，∠B ，∠C ，∠D 之间的数量关系：_____________________________；（2）在图2中，共有______个“X 型”；（3）在图2中，若∠D =40°，∠B =30°，则∠APC =_______；（4）在图2中，若∠D =α，∠B =β，则∠APC =__________．图2图1P NMABCDOO DCBA20. 探究：（1）如图1，在△ABC 中，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB ，猜想∠P 和∠A 有何数量关系？（2）如图2，在△ABC 中，BP 平分∠ABC ，CP 平分外角∠ACE ，猜想∠P 和∠A 有何数量关系？（3）如图3，BP 平分∠CBF ，CP 平分∠BCE ，猜想∠P 和∠A 有何数量关系？E C AB FA PP A CE图1 图2 图321. 如图，在△ABC 中，三个内角的角平分线交于点O ，OE ⊥BC 于点E ．（1）∠ABO +∠BCO +∠CAO =____________；（2）∠BOD 和∠COE 的数量关系是________________．O D ECM ANB DC B A第9题图第10题图22. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于点D ．（1）若AB =6，AC =8，BC =10，则AD =____________；（2）若AB =2，BC =3，则AC :AD =____________．23. 如图，在△ABC 中，若AB =2cm ，AC =3cm ，BC =4cm ，AD ，BF ，CE为△ABC 的三条高，则这三条高的比AD :BF :CE =____________________．C DEAF B 24. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，P 是BC 边上任意一点，PD ⊥AB 于点D ，PE ⊥AC 于点E ．（1）若AB =8，△ABC 的面积为14，则PD +PE 的值是多少？（2）过点B 作BF ⊥AC 于点F ，求证：PD +PE =BF ．D BPCEFA【参考答案】➢ 知识点睛4. 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；三角形内角和等于180°；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 5. 设元 6. 互余，面积➢ 精讲精练 13. B 14. C15. ①③⑤ 16. 130° 17. 180° 18. 360°19. （1）∠A +∠D =∠B +∠C ；（2）3；（3）35°；（4）12(α+β)20. （1）∠P =90°+12∠A ；（2）∠P =12∠A ；（3）∠P =90° 12∠A21. （1）90° （2）∠BOD =∠COE22. （1）245（2）3:223. 3:4:624. （1）72（2）证明略三角形综合应用（随堂测试）1. 现有2cm ，3cm ，4cm ，5cm 长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2. 如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E =___________．3. 如图，点E ，D 分别在△ABC 的边BA ，CA 的延长线上，CF ，EF 分别平分∠ACB 和∠AED ，若∠B =65°，∠D =45°，则∠F 的度数为________．【参考答案】1. C2. 180°3. 55°E DCBAE DCBA三角形综合应用（习题）➢ 例题示范例1：如图，BD ，CD 分别平分∠ABC ，∠ACB ，CE ⊥BD 交BD 的延长线于点E ．求证：∠DCE =∠CAD ．【思路分析】①看到条件BD ，CD 平分∠ABC ，可知AD 也平分∠BAC ，得到：，，；②根据CE ⊥BD ，得，所以；③题目所求为∠DCE =∠CAD ，若能够说明即可； ④根据三角形的内角和定理得：，所以，再根据三角形的外角定理可知，所以，证明成立．【过程书写】证明：如图，∵BD ，CD 分别平分∠ABC ，∠ACB∴，，在△ABC 中，∴ ∵∠EDC 是△BCD 的一个外角 ∴ ∴ ∵CE ⊥BE ∴ ∴ ∴∠DCE =∠CAD➢ 巩固练习1. 现有2cm ，4cm ，6cm ，8cm 长的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形，DECBA12DAC BAC ∠=∠12DBC ABC ∠=∠12DCB ACB ∠=∠90DEC ∠=︒90DCE EDC ∠+∠=︒90CAD EDC ∠+∠=︒180BAC ABC ACB ∠+∠+∠=︒90CAD DBC DCB ∠+∠+∠=︒EDC DBC DCB ∠=∠+∠90CAD EDC ∠+∠=︒12DAC BAC ∠=∠12DBC ABC ∠=∠12DCB ACB ∠=∠180BAC ABC ACB ∠+∠+∠=︒90CAD DBC DCB ∠+∠+∠=︒EDC DBC DCB ∠=∠+∠90CAD EDC ∠+∠=︒90DEC ∠=︒90DCE EDC ∠+∠=︒DECBA那么可以组成三角形的个数为（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2. 满足下列条件的△ABC 中，不是直角三角形的是（）A ．∠B +∠A =∠C B ．∠A :∠B :∠C =2:3:5 C ．∠A =2∠B =3∠CD ．一个外角等于和它相邻的一个内角3. 如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=___________．4. 如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =________．第4题图第5题图5. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，若∠CAB 与∠CBA 的平分线相交于点O ，则∠AOB =__________．6. 如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线BD 与外角平分线CE 的反向延长线交于点D ，若∠A =30°，则∠D =________．7. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，点F 在DA 的延长线上，FE ⊥BC 于E ，若∠B =40°，∠C =70°，则∠D F E =________．第2题图12F ECBAOC FECBA第7题图第8题图8. 如图，在△ABC 中，∠1=∠2，G 为AD 的中点，延长BG 交AC 于点E ，且满足BE ⊥AC ，F 为AB 上一点，且CF ⊥AD 于点H ．下列结论：①线段AG 是△ABE 的角平分线；②BE 是△ABC 的中线；③线段AE 是△ABG 的边BG 上的高；④△ABG 与△DBG 的面积相等．其中正确的结论有________（填序号）． 9. 如图，在△ABC 中，若AB =2cm ，BC =4cm ，则△ABC 的高AD 与CE 的比是__________． 10. 如图，在△ABC 中，AD 是高，AE ，BF 是角平分线，它们相交于点O ，∠BAC =50°，∠C =60°，求∠CAD 及∠AOB 的度数．➢ 思考小结F E CAG H FE DCA 21OFE D CAE D C B A（1）“X 型”：（2）“角平分线模型”1902P A ∠=︒+∠12P A ∠=∠1902P A∠=︒-∠【参考答案】➢ 巩固练习 1. A 2. C 3. 270° 4. 360° 5. 135° 6.15°E7.15°8.①③④9.1:210.∠CAD=30°，∠AOB=120°➢思考小结1.大于，小于，180°，和它不相邻的两个内角的和2.略。

人教版八年级上册数学《因式分解--十字相乘法与分组分解法》专题讲义(含答案)

因式分解的基本方法例题精讲一、十字相乘法十字相乘法：一个二次三项式2ax bx c ++，若可以分解，则一定可以写成1122()()a x c a x c ++的形式，它的系数可以写成12a a 12c c ，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数a ，b ，c ，使得：12a a a =，12c c c =，1221a c a c b +=，2()()()x a b x ab x a x b +++=++若24b ac -不是一个平方数，那么二次三项式2ax bx c ++就不能在有理数范围内分解二、分组分解分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法.一、十字相乘【例 1】分解因式：⑴256x x ++ ⑵256x x -+⑶276x x ++ ⑷276x x -+【解析】 ⑴(2)(3)x x ++；⑵(2)(3)x x --；⑶(1)(6)x x ++；⑷(1)(6)x x --【巩固】分解因式：268x x ++【解析】 268(2)(4)x x x x ++=++【巩固】分解因式：278x x +-【解析】 278(8)(1)x x x x +-=+-【例 2】分解因式：2376a a --【解析】 2376(32)(3)a a a a --=+-【巩固】分解因式：2383x x --【解析】 2383(31)(3)x x x x --=+-【巩固】分解因式：25129x x +-【解析】 25129(3)(53)x x x x +-=+-【巩固】分解因式：42730x x +-【解析】 4222730(3)(10)x x x x +-=-+【巩固】分解因式：2273320x x --【解析】 2273320(94)(35)x x x x --=+-【例 3】分解因式：212x x +-【解析】 221212(3)(4)x x x x x x +-=-++=+-+【巩固】分解因式：2612x x -+-【解析】 22612(612)(23)(34)x x x x x x -+-=-+-=-+-【例 4】分解因式：2214425x y xy +-【解析】 2214425(16)(9)x y xy x y x y +-=--【巩固】分解因式：22672x xy y -+【解析】 22672(2)(32)x xy y x y x y -+=--【巩固】分解因式：22121115x xy y --【解析】 22121115(35)(43)x xy y x y x y --=-+【例 5】分解因式：⑴2()4()12x y x y +-+-；⑵2212()11()()2()x y x y x y x y +++-+-【解析】 ⑴把x y +看作一个整体，利用十字相乘法分解即可.2()4()12(2)(6)x y x y x y x y +-+-=+++-⑵将,x y x y +-看作整体，则原式[][]4()()3()2()(53)(5)x y x y x y x y x y x y =++-++-=++.【巩固】分解因式：257(1)6(1)a a ++-+【解析】 [][]257(1)6(1)53(1)12(1)(23)(23)a a a a a a ++-+=-+++=-+【巩固】分解因式：2(2)8(2)12a b a b ---+【解析】 [][]2(2)8(2)12(2)2(2)6(22)(26)a b a b a b a b a b a b ---+=----=----【例 6】分解因式：1a b c ab ac bc abc +++++++【解析】把a 视为未知数，其它视为参数。

人教版八年级数学讲义等腰三角形“三线合一”的性质 (含解析)

第5讲等腰三角形“三线合一”的性质知识定位讲解用时：5分钟A、适用范围：人教版初二，基础较好；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要重点学习等腰三角形“三线合一”的性质。

我们知道等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形所有的性质外，还有许多特殊性，正是由于它的这些特殊性，使得它比一般三角形的应用更广泛。

因此，我们有必要把这部分内容学得更扎实。

知识梳理讲解用时：20分钟等腰三角形1、等腰三角形的概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另外一条边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边和腰的夹角叫做底角。

2、等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等；（简写成“等边对等角”）（2）等腰三角形的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.（简写成“三线合一”）3、等腰三角形的判定方法：（1）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；（定义法）（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角对应的边也相等.（简写成“等角对等边”）AB C等边三角形我们知道等边三角形是特殊的等腰三角形，所以接下来要研究等边三角形的性质和判定！1、等边三角形的概念：在等腰三角形中，有一种特殊的等腰三角形——三条边都相等的三角形，我们把这样的三角形叫做等边三角形。

2、等边三角形的性质：（1）等边三角形的三条边都相等；（定义）（2）等边三角形的三个内角都相等，都等于60°；（3）等腰三角形“三线合一”的性质同样适用于等边三角形.3、等边三角形的判定方法：（1）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；（定义）（2）三个内角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.AB C课堂精讲精练【例题1】如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE．【答案】BD=CE【解析】要证明线段相等，只要过点A作BC的垂线，利用三线合一得到P为DE及BC的中点，线段相减即可得证．证明：如图，过点A作AP⊥BC于P．∵AB=AC，∴BP=PC；∵AD=AE，∴DP=PE，∴BP﹣DP=PC﹣PE，∴BD=CE．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了等腰三角形的性质；做题时，两次用到三线合一的性质，由等量减去等量得到差相等是解答本题的关键；教学建议：熟练运用等腰三角形“三线合一”的性质.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习1.1】如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，求证：CE=AB．【答案】CE=AB【解析】先根据等腰三角形的性质，得到∠BAE=∠CAE，再根据平行线的性质，得到∠E=∠CAE，最后根据等量代换即可得出结论．证明：∵AB=AC，AD是BC边上的高，∴∠BAE=∠CAE．∵CE∥AB，∴∠E=∠BAE．∴∠E=∠CAE．∴CE=AC．∵AB=AC，∴CE=AB．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质，解题时注意：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．教学建议：熟练运用等腰三角形“三线合一”的性质以及平行线的性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题2】如图，在△ABC中，AB=AC，点D，点E分别是BC，AC上一点，且DE⊥AD．若∠BAD=55°，∠B=50°，求∠DEC的度数．【答案】115°【解析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠C=50°，进而得到∠BAC=80°，由∠BAD=55°，得到∠DAE=25°，由DE⊥AD，进而求出结论．解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠B=50°，∴∠C=50°，∴∠BAC=180°﹣50°﹣50°=80°，∵∠BAD=55°，∴∠DAE=25°，∵DE⊥AD，∴∠ADE=90°，∴∠DEC=∠DAE+∠ADE=115°．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，垂直定义，熟练应用等腰三角形的性质是解题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形等腰对等角的性质以及三角形的内角和定理. 难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习2.1】已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成6cm和15cm的两部分，求这个三角形的腰和底边的长度．【答案】10cm，10cm，1cm【解析】根据题意，分两种情况进行分析，从而得到腰和底边的长，注意运用三角形的三边关系对其进行检验．解：①如图，AB+AD=6cm，BC+CD=15cm，∵AD=DC，AB=AC，∴2AD+AD=6cm，∴AD=2cm，∴AB=4cm，BC=13cm，∵AB+AC＜BC，∴不能构成三角形，故舍去；②如图，AB+AD=15cm，BC+CD=6cm，同理得：AB=10cm，BC=1cm，∵AB+AC＞BC，AB﹣AC＜BC，∴能构成三角形，∴腰长为10cm，底边为1cm．故这个等腰三角形各边的长为10cm，10cm，1cm．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这是解题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形的性质以及三角形的三边关系.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题3】如图，在△ACB中，AC=BC，AD为△ACB的高线，CE为△ACB的中线．求证：∠DAB=∠ACE．【答案】∠DAB=∠ACE【解析】根据等腰三角形的性质证明即可．证明：∵AC=BC，CE为△ACB的中线，∴∠CAB=∠B，CE⊥AB，∴∠CAB+∠ACE=90°，∵AD为△ACB的高线，∴∠D=90°．∴∠DAB+∠B=90°，∴∠DAB=∠ACE.讲解用时：3分钟解题思路：此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质解答．教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习3.1】如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AC 边上的一点，且∠CBE=∠CAD．求证：BE⊥AC．【答案】BE⊥AC【解析】根据等腰三角形的性质得出AD⊥BC，再得出∠CBE+∠C=90°．证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠CAD+∠C=90°，又∵∠CBE=∠CAD，∴∠CBE+∠C=90°，∴BE⊥AC．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合是解题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题4】如图所示，已知△ABC中，AB=AC，∠BAD=30°，AD=AE，求∠EDC的度数．【答案】15°【解析】可以设∠EDC=x，∠B=∠C=y，根据∠ADE=∠AED=x+y，∠ADC=∠B+∠BAD即可列出方程，从而求解．解：设∠EDC=x，∠B=∠C=y，∠AED=∠EDC+∠C=x+y，又因为AD=AE，所以∠ADE=∠AED=x+y，则∠ADC=∠ADE+∠EDC=2x+y，又因为∠ADC=∠B+∠BAD，所以2x+y=y+30，解得x=15．所以∠EDC的度数是15°．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查了等腰三角形的性质，等边对等角．正确确定相等关系列出方程是解题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形等边对等角的性质.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习4.1】在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∠BAD=40°，AD=AE，求∠CDE的度数．【答案】20°【解析】根据等腰三角形的性质得到∠CAD=∠BAD=40°，由于AD=AE，于是得到∠ADE==70°，根据三角形的内角和即可得到∠CDE=90°﹣70°=20°．解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠CAD=∠BAD=40°，∠ADC=90°，又∵AD=AE，∴∠ADE==70°，∴∠CDE=90°﹣70°=20°．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质以及等边对等角的性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题5】如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，∠B=30°，连接AD．（1）若∠BAD=45°，求证：△ACD为等腰三角形；（2）若△ACD为直角三角形，求∠BAD的度数．【答案】（1）△ACD为等腰三角形；（2）60°或30°【解析】（1）根据等腰三角形的性质求出∠B=∠C=30°，根据三角形内角和定理求出∠BAC=120°，求出∠CAD=∠ADC，根据等腰三角形的判定得出即可；（2）有两种情况：①当∠ADC=90°时，当∠CAD=90°时，求出即可．（1）证明：∵AB=AC，∠B=30°，∴∠B=∠C=30°，∴∠BAC=180°﹣30°﹣30°=120°，∵∠BAD=45°，∴∠CAD=∠BAC﹣∠BAD=120°﹣45°=75°，∠ADC=∠B+∠BAD=75°，∴∠ADC=∠CAD，∴AC=CD，即△ACD为等腰三角形；（2）解：有两种情况：①当∠ADC=90°时，∵∠B=30°，∴∠BAD=∠ADC﹣∠B=90°﹣30°=60°；②当∠CAD=90°时，∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=120°﹣90°=30°；即∠BAD的度数是60°或30°．讲解用时：4分钟解题思路：本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的判定的应用，能根据定理求出各个角的度数是解此题的关键，用了分类讨论思想．教学建议：学会通过等角对等边证明三角形是全等三角形.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习5.1】如图，△ABC中BA=BC，点D是AB延长线上一点，DF⊥AC于F交BC于E，求证：△DBE是等腰三角形．【答案】△DBE是等腰三角形【解析】首先根据等腰三角形的两个底角相等得到∠A=∠C，再根据等角的余角相等得∠FEC=∠D，同时结合对顶角相等即可证明△DBE是等腰三角形．证明：在△ABC中，BA=BC，∵BA=BC，∴∠A=∠C，∵DF⊥AC，∴∠C+∠FEC=90°，∠A+∠D=90°，∴∠FEC=∠D，∵∠FEC=∠BED，∴∠BED=∠D，∴BD=BE，即△DBE是等腰三角形．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查等腰三角形的判定和性质，关键是根据等腰三角形的基本性质及综合运用等腰三角形的性质来判定三角形是否为等腰三角形．教学建议：熟练掌握等腰三角形的判定和性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题6】如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：M是BE的中点．【答案】M是BE的中点【解析】要证M是BE的中点，根据题意可知，证明△BDE△为等腰三角形，利用等腰三角形的高和中线向重合即可得证．证明：连接BD，∵在等边△ABC，且D是AC的中点，∴∠DBC=∠ABC=×60°=30°，∠ACB=60°，∵CE=CD，∴∠CDE=∠E，∵∠ACB=∠CDE+∠E，∴∠E=30°，∴∠DBC=∠E=30°，∴BD=ED，△BDE为等腰三角形，又∵DM⊥BC，∴M是BE的中点．讲解用时：4分钟解题思路：本题考查了等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和高三线合一的性质以及等边三角形每个内角为60°的知识．辅助线的作出是正确解答本题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质以及等边三角形的性质. 难度： 4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习6.1】如图，等边三角形ABC中，D为AC上一点，E为AB延长线上一点，DE⊥AC交BC 于点F，且DF=EF．（1）求证：CD=BE；（2）若AB=12，试求BF的长．【答案】（1）CD=BE；（2）4【解析】（1）先作DM∥AB，交CF于M，可得△CDM为等边三角形，再判定△DMF ≌△EBF，最后根据全等三角形的性质以及等边三角形的性质，得出结论；（2）根据ED⊥AC，∠A=60°=∠ABC，可得∠E=∠BFE=∠DFM=∠FDM=30°，由此得出CM=MF=BF=BC，最后根据AB=12即可求得BF的长．解：（1）如图，作DM∥AB，交CF于M，则∠DMF=∠E，∵△ABC是等边三角形，∴∠C=60°=∠CDM=∠CMD，∴△CDM是等边三角形，∴CD=DM，在△DMF和△EBF中，，∴△DMF≌△EBF（ASA），∴DM=BE，∴CD=BE；（2）∵ED⊥AC，∠A=60°=∠ABC，∴∠E=∠BFE=∠DFM=∠FDM=30°，∴BE=BF，DM=FM，又∵△DMF≌△EBF，∴MF=BF，∴CM=MF=BF，又∵AB=BC=12，∴CM=MF=BF=4．解题思路：本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作平行线，构造等边三角形和全等三角形，根据全等三角形的性质以及等边三角形的性质进行求解．教学建议：熟练掌握等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题7】如图所示，BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，过O作EF∥BC，若AB=12，AC=8，求△AEF的周长．【答案】20【解析】根据角平分线的定义可得∠OBE=∠OBC，∠OCF=∠OCB，再根据两直线平行，内错角相等可得∠OBC=∠BOE，∠OCB=∠COF，然后求出∠OBE=∠BOE，∠OCF=∠COF，再根据等角对等边可得OE=BE，OF=CF，即可得证．解：∵BO平分∠CBA，∴∠EBO=∠OBC，∵CO平分∠ACB，∴∠FCO=∠OCB，∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，∴BE=OE，CF=OF，∴△AEF的周长=AE+OE+OF+AF=AE+BE+CF+AF=AB+AC，∵AB=12，AC=8，∴C=12+8=20．△AEF解题思路：本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，主要利用了角平分线的定义，等角对等边的性质，两直线平行，内错角相等的性质，熟记各性质是解题的关键.教学建议：熟练掌握等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质.难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习7.1】在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，若M为DE上的点，且BM平分∠ABC，CM平分∠ACB，若△ADE的周长为20，BC=8，求△ABC的周长．【答案】28【解析】分别利用角平分线的性质和平行线的性质，说明DB=DM，EM=EC．把求△ABC的周长转化为△ADE的周长+BC边的长．解：∵BM平分∠ABC，∴∠ABM=∠CBM，∵DE∥BC，∴∠CBM=∠DMB，∴∠ABM=∠DMB，∴DB=DM．同理可证EM=CE∴AB+AC=AD+DB+AE+EC=AD+DM+ME+AE=AD+DE+AE∵△ADE的周长为20∴AB+AC=20∴△ABC的周长=AB+AC+BC=20+8=28．答：△ABC的周长为28．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质及等腰三角形的判定．本题的关键是利用平行线和角平分线的性质将△ABC的周长转化为△ADE的周长+BC边的长．教学建议：熟练掌握平行线的性质、角平分线的性质以及等腰三角形的判定. 难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题8】如图，D为等边三角形ABC内一点，将△BDC绕着点C旋转成△AEC，则△CDE是怎样的三角形？请说明理由．【答案】△CDE是等边三角形【解析】因为△ABC为等边三角形，所以△BDC绕着点C旋转60°成△AEC，则∠DCE=60°，DC=EC，故可判定△CDE是等边三角形．解：△CDE是等边三角形．理由：∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB=60°∴将△BDC绕着点C旋转成△AEC，旋转角为60°∴∠DCE=60°∴DC=EC∴△CDE是等边三角形．讲解用时：3分钟解题思路：本题利用了等边三角形的判定和性质，旋转的性质等知识解决问题．考查学生综合运用数学知识的能力．教学建议：熟练掌握等边三角形的判定和性质，了解“手拉手”模型.难度： 4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习8.1】已知，如图，△ABC是正三角形，D，E，F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．请你说明△DEF是正三角形．【答案】△DEF是正三角形【解析】根据等边△ABC中AD=BE=CF，证得△ADE≌△BEF≌△CFD即可得出△DEF是等边三角形．解：∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF，∴AE=BF=CD，又∵∠A=∠B=∠C=60°，∴△ADE≌△BEF≌△CFD（SAS），∴DF=ED=EF，∴△DEF是等边三角形．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查了等边三角形的判定与性质和全等三角形判定，根据已知得出△ADE≌△BEF≌△CFD是解答此题的关键．教学建议：熟练掌握等边三角形的判定和性质以及全等三角形的判定.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018课后作业【作业1】如图，D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE，在图中找出一条与BE相等的线段，并说明理由．【答案】BE=CD【解析】根据等腰三角形的性质可得到两组角相等，再根据AAS可判定△ABE ≌△ACD，由全等三角形的性质即可证得BE=CD．解：BE=CD．理由如下：∵AB=AC，AD=AE，∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED．在△ABE与△ACD中，，∴△ABE≌△ACD，∴BE=CD．故答案为CD．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业2】如图，已知∠BAC=60°，D是BC边上一点，AD=CD，∠ADB=80°，求∠B的度数．【答案】80°【解析】先根据三角形外角的性质求出∠C的度数，再根据三角形内角和定理即可得出∠B的度数．解：∵∠ADB=80°又∵AD=CD∴∠DAC=∠C=40°，∴∠B=180°﹣∠BAC﹣∠C=180°﹣60°﹣40°=80°．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业3】已知：如图，AB=BC，∠A=∠C．求证：AD=CD．【答案】AD=CD【解析】连接AC，根据等边对等角得到∠BAC=∠BCA，因为∠A=∠C，则可以得到∠CAD=∠ACD，根据等角对等边可得到AD=DC．证明：连接AC，∵AB=BC，∴∠BAC=∠BCA．∵∠BAD=∠BCD，∴∠CAD=∠ACD．∴AD=CD．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业4】如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．判断DE=DB+EC是否成立？为什么？【答案】成立【解析】根据BF和CF分别平分∠ABC和∠ACB，和DE∥BC，利用两直线平行，内错角相等和等量代换，求证出DB=DF，FE=EC．然后即可得出答案．解：DE=DB+EC成立．理由如下：∵在△ABC中，FB和FC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠FCB，∵DE∥BC，∴∠DFB=∠FBC=∠DBF，∠EFC=∠FCB=∠ECF，∴DB=DF，FE=EC，∵DE=DF+FE，∴DE=BD+EC．讲解用时：3分钟难度：4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业5】如图，等边△ABC中，点D在延长线上，CE平分∠ACD，且CE=BD．说明：△ADE是等边三角形．【答案】△ADE是等边三角形【解析】由条件可以容易证明△ABD≌△ACE，进一步得出AD=AE，∠BAD=∠CAE，加上∠DAE=60°，即可证明△ADE为等边三角形．证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠ACB=60°，AB=AC，即∠ACD=120°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE=60°，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，又∵∠BAC=60°，∴∠DAE=60°，∴△ADE为等边三角形．讲解用时：3分钟难度： 4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018。

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3、
如图，已知BE、CD交于点A，∠C和∠E的平分线相交于点F，试求：
（1）∠F与∠B、∠D有何等量关系？
（2）当∠B：∠D：∠F=2：3：x时，求x的值。
三、多边形的角：
1、如图所示，小亮从A点出发前进10m,向右转15°，
再前进10m,向右转15°，…，这样一直走下去，
他第一次回到出发点时，一共走了_______m.
2、一个凸多边形的内角从小到大依次增加相同的度数，其中最小角为100°，最大角为140°，则这个多边形的边数是：_______
3、一个多边形剪去一个角得到一个新图形的内角和为1440°，问原多边形是_____边形。
四、条件开放题：
如图，四边形ABCD中，AD⊥CD，BC⊥AB，AE平分∠DAB，AE交CD于点E，请你添加一个条件_______,使得AE∥CF，请说明你的理由。
②∠AEF=∠AFE；③∠EBC=∠C；
④AG⊥EF，其中正确的结论是（）
A②③④B①③④C①②④D①②③
七、面积法：
1、如图，在5×5网格中有△ABC，AC=5，求AC边上的高。
2、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，AB=13，
求AB边上的高AH。
3、如图，C、D、E为边BF的四等分点，
五：镶嵌：
1、同一种正多边形能够用来镶嵌的有：________
2、用两种正多边形来镶嵌的方案有：______用三种正多边形来镶嵌的方案有：___________
六：多结论选择题：
1、四边形ABCD的两组对边AD、BC与AB、DC延长线分别
交于点E、F，∠AEB、∠AFD的平分线交于点P，∠A=64°，
2、等腰△ABC中，AB=AC一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成15和6两部分，求这个等腰三角形的腰和底边。
3、如图，l1∥l2则∠ ，∠ ，∠r的关系为：____________________________.
4、如图，△ABC内部有三点D、E、F，求证：AB+BC+AC＞DE+DF+EF.
全等三角形的性质和判定
教学目标：①：全等三角形的性质；②：具有公共边和公共角的基本图形；
③：全等证明与计算中的基本方法基本图形和基本结论；④识图与构图；⑤题型分类及解题策略；⑥图形变换与全等；⑦几何探究：坐标系中的全等
1、三角形的两边长为3、7，①则其周长的范围为：_________
②若第三边为整数，则其周长的最小值为：__________
③若三角形为等腰三角形，则其周长为：________
2、若等腰三角形一腰上的中线将等腰三角形的周长分成12cm和21cm两部分，求等腰三角形的腰和底边的长。
3、已知一个等腰三角形的三边长分别为a,2a-1 ,5a-3，求三角形的周长。
5、如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数。
6、如图，△ABC中，外角∠ACD的平分线与∠ABC的平分线交于A1,∠A1BC与∠A1CD的平分线交于A2，则∠A2与∠A有怎样的数量关系？继续作∠A2BC与∠A2CD的平分线可得∠A3，如此作下去可得∠A4……An那么猜想∠An与∠A又有怎样的数量关系？并求出∠A=64°时，∠A4的度数。
二、三角形的角：
1、若等腰三角形有一个角为40°，则另外两个角为：_____（等腰三角形中有两个角相等）
2、基本图形及结论：
【箭头型】【八字型】【角平分线型】
∠BDC=∠A+∠B+∠C；∠A+∠D=∠B+∠C;∠BDC=90°+ ∠A，
∠P=90- ∠A，∠P= ∠A；
【角平分线与高型】【星型】
∠DAH= ;∠E=180°
三角形复习
教学目标：
1三角形的边；②三角形的内角和与外角；③三角形中特殊的线段（中线、高、角平分线）④多边形的内角和与外角和；⑤镶嵌；⑥存在性问题；⑦动点问题；⑧多结论选择题；
⑨条件开放问题；⑩几何探究问题。
涉及数学思想方法：①分类讨论思想；②方程思想；③转化思想；④面积法；⑤参数法。
教学过程：
一、三角形的边：
(1)如果B(0，-3) ,S△COD=9，请你写出点A、B、C、D的坐标；
（2）如图②，∠ADC的平分线DE所在直线与∠OAB的平分线交于点，求的度数；
（3）如图③，是线段上任意一点（不同于、点），作轴交于点，作与的平分线交于点，在（2）的条件下，能否求出的度数，请说明你的理由。
八、作业：
1、一个同学在进行多边形的内角和计算时，球的内角和为2750°，当发现错了之后，重新检查，发现少加了一个内角，问这个内角是多少度？
7、如图，AP平分∠BAC,CP平分∠ACD,AP的延长线于CD的延长线交于嗲Q,
CP延长线与AB的延长线交于R,过点P的直线交AR于B,交CQ于D，
下列四个条件中：①∠1=∠Q.；②∠4=∠R.；③∠ABD+∠BDC=180°；
④∠4+∠Q=90°其中能使AB∥成立的是（）
A、②③B、①④C、①②③D、①②③④
请你写出面积相等的三角形：__________
4、如图，△ABC的三条中线AD、BE、CF交于点O,请你证明：AO=2DO
5、如图，在△ABC中，D、E、F分别为BC、AC、DC边上的中点，若S△CEF=1cm2,
则S四边形ABDE=_________.
6、如图，在平面直角坐标系中，A(-2,4) ,B (-4，-2) C (2,0)
∠BCD=136°，则下列结论，①∠EPF=100°；
②∠ADC+∠ABC=160°③∠PEB+∠PFC+∠EPF=136°
④∠PEB+∠PFC=36°其中正确的是：（）
A①②③B②③④C①③④D①②③④
2、如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，
∠ABC的平分线BE交AD于点F，
AG平分∠DAC，有下列结论：①∠BAD=∠C；
(1)平面直角坐标系里有一点D，使得点D与A、B、C三点构成平行四边形，求D点坐标；
（2）求△ABC的面积；（3）求AB与x轴的交点坐标；
（4）y轴的负半轴上是否存在一点P，使得△PAC的面积等于△ABC的面积，若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由。
七、操作与探究：
如图①，△AOB与△COD是可以完全重合的两个直角三角形，其中A、B、C、D四点均在坐标轴上。