加权最小二乘法WLS
简述用加权最小二乘法消除多元线性回归中异方差性的思想与方法
简述用加权最小二乘法消除多元线性回归中异方差性的思想与方法加权最小二乘法（WeightedLeastSquares,WLS）是一种有效的多元线性回归（MultipleLinearRegression,MLR）方法，用于消除多元线性回归中出现的异方差性（heteroscedasticity）问题。
在本文中，将研究加权最小二乘法的思想及其用于消除多元线性回归中的异方差性的方法。
首先，本文将介绍多元线性回归中出现的异方差性问题。
多元线性回归是一种常用的数据分析方法，它假设观测量之间满足正态分布的独立性和同方差性假设。
但是，当有几个解释变量（explicatory variables）与因变量（dependent variable）之间存在较强的关系时，多元线性回归就会出现异方差性问题，即观测量之间并不满足同方差性假设。
当异方差性存在时，估计结果将不准确，而且估计出来的参数就会受到影响。
然后，本文将介绍加权最小二乘法（Weighted Least Squares）解决多元线性回归中异方差性（heteroscedasticity）的思想和方法。
加权最小二乘法是一种有效的多元线性回归方法，它的基本思想是在估计参数时使用不同的权重来估计参数，这些权重取决于误差的大小。
由于高方差的观测量需要更大的权重，因此权重会更高，而低方差的观测量会接受更小的权重。
这样，在估计参数时，便可以比此前更准确地估计出参数，从而消除多元线性回归中出现的异方差性问题。
在实践中，使用加权最小二乘法来消除多元线性回归中出现的异方差性，一般有两种方法：一种是使用模型里的变量来作为权重，这种方法比较适合有明显的异方差性的数据；另一种是使用均匀的权重，这种方法比较适合有比较隐藏的异方差性的数据。
在实践中，需要选择合适的方法来确定最优的权重，以达到消除多元线性回归中异方差性的效果。
本文探讨了加权最小二乘法消除多元线性回归中异方差性的思想及其相应的方法。
加权最小二乘法的基本思想即大残差平方
加权最小二乘法的基本思想即大残
差平方
和最小法
加权最小二乘法（Weighted Least Squares Method, WLSM）是统计学中进行参数估计的一种重要方法。
它的基本思想是使用极小化大残差平方和最小法（Large Residual Sum of Squares）对参数进行估计或拟合。
其中，每个观测值都有一个不同的权重，即观测值的可信度，权重可以是固定的，也可以是可变的。
该方法在处理有限样本数据时，特别适用于满足正态分布的数据。
WLSM的基本步骤如下：
（1）确定权重w：可以手动指定，也可以从数据分布中自动求出。
（2）根据观测值和权重，构造误差平方和函数S
（x1，x2，…，xn），其中x1，x2，…，xn为待估计参数。
（3）求取S（x1，x2，…，xn）在各个参数上的偏导数，当这些偏导数全为0时，即为参数的最小值。
（4）使用梯度下降法等数值方法求解上述参数的最小值。
加权最小二乘法 拟合多项式 matlab
加权最小二乘法（Weighted Least Squares, WLS）是一种经典的拟合方法，用于处理数据中的噪声和异常值。
在拟合多项式的过程中，加权最小二乘法能够更好地适应不同的数据权重，从而得到更准确、更可靠的拟合结果。
结合Matlab强大的数学计算和可视化工具，我们可以更方便、更高效地实现加权最小二乘法拟合多项式。
一、加权最小二乘法的基本原理1. 加权最小二乘法的概念在拟合多项式过程中，常常会遇到数据噪声较大或者部分数据异常值较大的情况。
此时，普通的最小二乘法可能无法有效地拟合数据，因此需要引入加权最小二乘法。
加权最小二乘法通过为每个数据点赋予不同的权重，对异常值和噪声进行更有效的处理。
2. 加权最小二乘法的数学原理加权最小二乘法的数学原理主要是在最小化误差的基础上，引入权重矩阵来调整不同数据点的重要性。
通过优化残差的加权和，可以得到适应不同权重的拟合结果。
二、Matlab中的加权最小二乘法1. Matlab工具Matlab提供了丰富的数学计算和拟合工具，通过内置的polyfit函数和curve fitting工具箱，可以方便地实现加权最小二乘法拟合多项式。
Matlab还提供了丰富的可视化工具，可以直观展示加权最小二乘法的拟合效果。
2. 加权最小二乘法的实现在Matlab中，可以通过指定权重向量来调用polyfit函数，实现加权最小二乘法拟合多项式。
利用Matlab内置的拟合评估工具，可以对拟合效果进行全面评估和优化。
三、实例分析以实际数据为例，我们可以在Matlab环境下进行加权最小二乘法的拟合多项式实例分析。
通过构建数据模型、指定权重、调用polyfit函数并结合可视化工具，可以全面了解加权最小二乘法在拟合多项式中的应用效果。
四、个人观点和总结在实际工程和科学研究中，加权最小二乘法拟合多项式是一种非常有效和重要的数据处理方法。
结合Matlab强大的数学计算和可视化工具，可以更方便、更高效地实现加权最小二乘法拟合多项式。
加权最小二乘
异方差的类型
• • 同方差：i2 = 常数 f(Xi) 异方差： i2 = f(Xi)（注：方差与x有关）
异方差一般可归结为三种类型： (1)单调递增型： i2随X的增大而增大 (2)单调递减型： i2随X的增大而减小 (3)复 杂 型： i2与X的变化呈复杂形式
异方差产生原因
1、模型中缺少某些解释变量（即自变量）；从而干 扰项产生系统模式。 2、样本数据观测误差；随着数据采集技术的改进， 干扰项的方差可能减少。 3、模型设置不正确。 4、经济结构发生了变化，但模型参数没作相应调整 。比如按照边错边改学习模型，人们在学习的过 程中，其行为误差随时间而减少。 5、异常值的出现也会产生。异常值可以通过查看图 形或检查原始数据找到。
• 标准的线性回归模型中，假设所研究总体中方差恒定， 即因变量的变异不随其自身预测值或其他自变量值得变 化而变动。 • 但在有的研究问题中，这一假设可能被违反，可能是因 变量的变异随其自身数值增大而增大，也可能是随其他 变量值而改变。例如：以地区为观察单位调查某种疾病 的发生率，由于率的标准差本身就和样本量有关，显然 该地区的人数越多，所得到的发生率就会越稳定，即变 异度越低。在这些情况下，如果采用普通最小二乘法（ OLS）来分析，可能产生偏差，如果能够根据变异的大 小对相应数据给予不同的权重，在拟合时对变异较小的 测量值赋予较大权重，则能够提高模型的精度。
实际问题的异方差性
• 在实际经济问题中，随机扰动项往往是异方差的，但主要在截 面数据分析中出现。
加权最小二乘法的基本思想
• 加权最小二乘法是对原模型加权，使之变成一个新的不存在异方 差性的的概念
在讲到加权最小二乘法的时候需要引入一个重要的概 念——异方差。那么什么是异方差呢？ 对于模型
加权最小二乘法(WLS)
一般情况下，对于模型Y X若存在：E( ) 02Cov( , ) E( ) u WW 1W 2W(4.2.2)(4.2.3)W n则原模型存在 异方差性。
设即随机误差项的方差与解释变量1 .f (X 2i ) ¥|.f (X 2i )1.f(X 2i )X 2ikXki.f(X 2i ).f (X 2i ) Uii1,2,,nSi)U i )-^E(U i 2) f (X 2i )(4・即同方差性。
于是可以用普通最小二乘法估计其参数, 得到关于参数0, 1 >的无偏的、有效的估计量。
这就是加权最小二乘法，在这里权就是 .f(X 2i )加权最小二乘法(WLS)如果模型被检验证明存在异方差性， 则需要发展新的方法估计模型， 最常用的方法是加权最小二乘法。
加权最小二乘法是对原模型加权， 使之变成一个新的不存在异方差性的模型， 然后采用普通最小二乘法估计其参数。
下面先看一个例子。
原模型：yi0 1X1i2X2i，k X kiUi 1,2, ,n如果在检验过程中已经知道：D(U i ) E(U i 2)i 2f (X>i ) J,i 1,2, ,nX 2之间存在相关性，模型存在异方差。
那么可以用... f(X 2)去除原模型，使之变成如下形式的新模型:在该模型中，存在W DD TW iW nD 1YD 1X(4.2.4)Cov(N , N )E(*T)E(D 1T)D1：WD 1T1u 2DD Du2I于是，可以用普通最小二乘法估计模型T *1. ?WLS(X X ) 1X Y1E(iT(4.2.4)，得到参数估计量为:* T *用D 1左乘(422)两边，得到一个新的模型:* X该模型具有同方差性。
因为T 1T1 1 T 1T 1(X TD 1D 1X) 1X TD 1D "T 1 1 T 1(425)(X W X) X W Y这就是原模型(2.6.2)的加权最小二乘估计量，是无偏的、有效的估计量。
计量经济学重点知识归纳整理
1.一般最小二乘法(Ordinary Least Squares,OLS)：已知一组样本观测值{}n i Y X i i ,2,1:),(⋯=，一般最小二乘法要求样本回来函数尽可以好地拟合这组值，即样本回来线上的点∧i Y 及真实观测点Yt 的“总体误差”尽可能地小。
一般最小二乘法给出的推断标准是：被说明变量的估计值及实际观测值之差的平方和最小。
2.广义最小二乘法GLS ：加权最小二乘法具有比一般最小二乘法更普遍的意义，或者说一般最小二乘法只是加权最小二乘法中权恒取1时的一种特别状况。
从今意义看，加权最小二乘法也称为广义最小二乘法。
3.加权最小二乘法WLS ：加权最小二乘法是对原模型加权，使之变成一个新的不存在异方差性的模型，然后采纳一般最小二乘法估计其参数。
4.工具变量法IV ：工具变量法是克服说明变量及随机干扰项相关影响的一种参数估计方法。
5.两阶段最小二乘法2SLS, Two Stage Least Squares ：两阶段最小二乘法是一种既适用于恰好识别的结构方程，以适用于过度识别的结构方程的单方程估计方法。
6.间接最小二乘法ILS ：间接最小二乘法是先对关于内生说明变量的简化式方程采纳一般小最二乘法估计简化式参数，得到简化式参数估计量，然后过通参数关系体系，计算得到结构式参数的估计量的一种方法。
7.异方差性Heteroskedasticity ：对于不同的样本点，随机干扰项的方差不再是常数，而是互不相同，则认为出现了异方差性。
8.序列相关性Serial Correlation ：多元线性回来模型的基本假设之一是模型的随机干扰项相互独立或不相关。
假如模型的随机干扰项违反了相互独立的基本假设，称为存在序列相关性。
9.多重共线性Multicollinearity ：对于模型i k i i X X X Y μββββ++⋯+++=i k 22110i ，其基本假设之一是说明变量X 1,X 2,…,Xk 是相互独立的。
加权最小二乘法的基本原理
加权最小二乘法的基本原理加权最小二乘法（WeightedLeastSquares，WLS）是一种常用的统计学标准，它可以用来调整和评估数据，从而得出更好的分析结果。
它的基本思想是通过考虑观测值之间的不确定性来估计回归系数，从而获得最小总平方误差（least squares）。
加权最小二乘法最早被用于统计学和概率分析，以评估和调整数据，特别是适用于数据拟合和线性回归分析。
它的思想是将我们所知道的关于观测值之间关系的一些重要信息纳入考虑。
可以使用加权方法调整观测值和系数之间的关系，从而改善拟合模式的准确性。
加权最小二乘法的基本原理是将观测值的权值赋予给每一个观测值，这个权值一般可表示为观测值的精度。
权值越大，说明观测值越有可能越准确，用于衡量数据可靠性。
权值可以是正的，也可以是负的，正权值表示可信度高，负权值表示可信度低。
加权最小二乘法能够改善线性回归系数的估计，特别是在数据集中的观测值之间可能存在不确定性的情况下。
加权最小二乘法可以根据可能的不确定性来调整模型，从而使模型的精确度更高。
加权最小二乘法的最小二乘估计是通过求解最小化均方误差函数来实现的，它以下面的公式形式表示：min i=1N (yj - a1x1j - a2x2j - ... - anxnj)2 / wi 其中，N是观测值的总数，yj是观测值，a1、a2等是待估计的回归系数，x1j、x2j等是被观测的变量，wi是观测值的权值。
加权最小二乘法的原理在于，它将考虑观测值的不确定性，将对观测值更有可信度的权重赋予给观测值，从而改善回归系数的估计。
当数据存在某些影响因素时，加权最小二乘法可以更有效地消除其影响，从而使得拟合数据更加准确。
另外，加权最小二乘法还可以用于数据分析，可以用来估计参数和拟合模型，从而对数据集中的数据进行有效分析。
加权最小二乘法可以减少拟合模型的噪声，并且可以更好地拟合回归曲线，从而获得更好的拟合效果。
综上所述，加权最小二乘法是一种有效的统计方法，可以用来改善线性回归系数的估计，特别是在数据集中的观测值之间存在不确定性的情况下。
回归分析中的异方差性检验方法(六)
回归分析中的异方差性检验方法回归分析是统计学中一种常用的数据分析方法，它用来研究自变量和因变量之间的关系。
在进行回归分析时，我们通常会假设误差项的方差是恒定的，即不存在异方差性。
然而，在实际应用中，误差项的方差往往并非恒定的，而是存在异方差性。
异方差性会对回归分析的结果产生影响，因此需要进行异方差性检验并进行相应的修正。
一、异方差性的概念及影响异方差性是指误差项的方差不是恒定的，而是随着自变量的变化而变化。
当存在异方差性时，回归系数的估计值会失真，标准误差会被高估或低估，导致对回归系数和其显著性的检验结果产生偏误。
因此，必须进行异方差性的检验和修正，以确保回归分析结果的准确性和可靠性。
二、异方差性检验方法1. Park检验Park检验是一种常用的异方差性检验方法，它是基于残差的平方和与自变量的关系来进行检验的。
具体步骤是：首先进行回归分析，然后计算残差的平方和，接着将残差的平方和与自变量进行回归，最后通过F检验来检验残差的方差是否与自变量相关。
如果F统计量的显著性水平小于设定的显著性水平（通常为），则拒绝原假设，即存在异方差性。
2. Glejser检验Glejser检验是另一种常用的异方差性检验方法，它是通过对自变量的绝对值进行回归来进行检验的。
具体步骤是：首先进行回归分析，然后计算自变量的绝对值，接着将自变量的绝对值与残差进行回归，最后通过t检验来检验残差的方差是否与自变量相关。
如果t统计量的显著性水平小于设定的显著性水平（通常为），则拒绝原假设，即存在异方差性。
三、异方差性的修正方法1. 加权最小二乘法（Weighted Least Squares, WLS）当检验结果表明存在异方差性时，可以采用加权最小二乘法来进行修正。
加权最小二乘法是通过对残差进行加权，使得残差的方差与自变量的关系消失，从而得到回归系数的一致估计。
2. 广义最小二乘法（Generalized Least Squares, GLS）广义最小二乘法是对加权最小二乘法的推广，它允许误差项之间存在相关性，并对误差项的方差-协方差矩阵进行估计，从而得到回归系数的一致估计。
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加权最小二乘法(WLS)
如果模型被检验证明存在异方差性，则需要发展新的方法估计模型，最常用的方法是加权最小二乘法。
加权最小二乘法是对原模型加权，使之变成一个新的不存在异方差性的模型，然后采用普通最小二乘法估计其参数。
下面先看一个例子。
原模型：
Λ
+++=i i i x x y 22110βββ，
i ki k u x ++β
n i ,,2,1Λ=
如果在检验过程中已经知道：
2
222
)()()(u i i i i x f u E u D σσ=== , n i ,,2,1
Λ= 即随机误差项的方差与解释变量2x 之间存在相关性，模型存在异方差。
那么可以用)
(2x f 去除原模型，使之变成如下形式的新模型：
Λ+++=i i i i i i i x x f x x f x f y x f 222
121
20
2)
(1)
(1)
(1)
(1βββ
i i ki i k u x f x x f )
(1)
(122+
+β
n i ,,2,1Λ=
在该模型中，存在
2
22222)()(1))
(1())(1(
u i i i i i i u E x f u x f E u x f D σ=== (4.2.1)
即同方差性。
于是可以用普通最小二乘法估计其参数，得到关于参数βββ01,,,Λk 的无偏的、有效的估计量。
这就是加权最小二乘法，在这里权就是)
(1
2i x f 。
一般情况下，对于模型
Y X =+B N (4.2.2)
若存在：
W
2)(),(0
)(u
E Cov E σ=N 'N =N N =N ϖ
W =⎡⎣⎢
⎢
⎢⎢⎤⎦
⎥
⎥⎥⎥w w w n 12
O
(4.2.3) 则原模型存在异方差性。
设
T
DD
W =
⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎢⎣
⎡=n w w w D O
2
1, ⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎣
⎡=----11
2
1
11n w w w D O
用D 1-左乘(4.2.2)两边，得到一个新的模型：
D Y D X D ---=+111B N (4.2.4) 即
Y X ***
=+B N
该模型具有同方差性。
因为
)()(),(11****T
T
E E N N Cov --N 'N =N N =D D
I
D D D D WD D D D 21
2
11211
1)(u T u T
u T E σσσ='=='
NN =------
于是，可以用普通最小二乘法估计模型(4.2.4)，得到参数估计量为：
**1**)(ˆY X X X T T WLS -=B
Y
W X X W X Y
D D X X D D X 1
1111111)()(--------==T T T
T T T (4.2.5)
这就是原模型(2.6.2)的加权最小二乘估计量，是无偏的、有效的估计量。
如何得到权矩阵W ？仍然是对原模型首先采用普通最小二乘法，得到随机误差项的近似估计量，以此构成权矩阵的估计量，即
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡=22
2
21ˆn e e e O
W
(4.2.6) 当我们应用计量经济学软件包时，只要选择加权最小二乘法，将上述权矩阵输入，估
计过程即告完成。
这样，就引出了人们通常采用的经验方法，即并不对原模型进行异方差性检验，而是直接选择加权最小二乘法，尤其是采用截面数据作样本时。
如果确实存在异方差性，则被有效地消除了；如果不存在异方差性，则加权最小二乘法等价于普通最小二乘法。
在利用Eviews 计量经济学软件时，加权最小二乘法具体步骤是：
⑴ 选择普通最小二乘法估计原模型，得到随机误差项的近似估计量i e ；
⑵ 建立i e 1的数据序列；
⑶ 选择加权最小二乘法，以i e 1序列作为权，进行估计得到参数估计量。
实际上是以
i e 1乘原模型的两边，得到一个新模型，采用普通最小二乘法估计新模型。
(步骤见PPT 文件)。