2020年山东省泰安市东平县中考数学一模试卷

中考数学一模试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.计算的值等于（）A. 1B.C.D.2.下列计算正确的是（）A. 2x2•2xy=4x3y4B. 3x2y-5xy2=-2x2yC. x-1÷x-2=x-1D. （-3a-2）（-3a+2）=9a2-43.桂林是世界著名的风景旅游城市和历史文化名城，地处南岭山系西南部，广西东北部，行政区域总面积27 809平方公里．将27 809用科学记数法表示应为（）A. 0.27809×105B. 27.809×103C. 2.7809×103D. 2.7809×1044.如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A.B. .C. .D. .5.已知抛物线y=x2+2x-m-1与x轴没有交点，则函数y=的大致图象是（）A. B.C. D.6.在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有6，7，8，9四个数字，这些小球除数字外都相同．甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m，再由乙猜这个小球上的数字，记为n．如果m，n满足|m-n|≤1，那么就称甲、乙两人“心领神会”，则两人“心领神会”的概率是（）A. B. C. D.7.关于x的方程的解为非正数，且关于x的不等式组无解，那么满足条件的所有整数a的和是（）A. -19B. -15C. -13D. -98.甲数的2倍比乙数大3，甲数的3倍比乙数的2倍小1，若设甲数为x，乙数为y，则根据题意可列出的方程组为（）A. B. C. D.9.如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D，若∠ACB=50°，则∠BOD等于（）A. 40°B. 50°C. 60°D. 80°10.下列命题错误的是（）A. 平分弦的直径垂直于弦B. 三角形一定有外接圆和内切圆C. 等弧对等弦D. 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心11.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac-b2＜0；②3b+2c＜0；③4a+c＜2b；④m（am+b）+b＜a（m≠-1），其中结论正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 412.如图，当四边形PABN的周长最小时，a的值为（）A. B. 1 C. 2 D.二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）13.已知一组数据：，10，x，15，7，23的平均数为10，则这组数据的中位数为______14.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC=，则sin=______．15.一次函数y=kx-3k+1的图象必经过一个定点，该定点的坐标是______16.如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C=1，tan∠BA2C=，tan∠BA3C=，…按此规律，写出tan∠BA n C=______（用含n的代数式表示）．17.已知x，y为实数，y=，则x-6y的值______18.如图，圆锥的母线长为10cm，高为8cm，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为______cm．（结果用π表示）三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）19.先化简，再求值：，其中a是方程-2x2-x+3=0的解．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）20.如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于C，D两点，与x，y轴交于B，A两点，CE⊥x轴于点E，且tan∠ABO=，OB=4，OE=1．（1）求一次函数的解析式和反比例函数的解析式（2）求△OCD的面积；（3）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值时，自变量x的取值范围．21.在我市开展的“阳光体育”跳绳活动中，为了了解中学生跳绳活动的开展情况，随机抽查了全市八年级部分同学1分钟跳绳的次数，将抽查结果进行统计，并绘制两个不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次共抽查了多少名学生？（2）请补全频数分布直方图空缺部分，直接写出扇形统计图中跳绳次数范围135≤x≤155所在扇形的圆心角度数．（3）若本次抽查中，跳绳次数在125次以上（含125次）为优秀，请你估计全市8000名八年级学生中有多少名学生的成绩为优秀？22.如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、EQ（1）求证：四边形BPEQ是菱形；（2）若AB=12，F为AB的中点，OF+OB=18，求PQ的长．23.A，B两地相距1200米，甲、乙两人分别从A，B两地同时出发相向而行，乙的速度是甲的2倍，已知乙到达A地15分钟后甲到达B地（1）求甲每分钟走多少米？（2）两人出发多少分钟后恰好相距240米．24.如图1，抛物线y=-[（x-2）2+n]与x轴交于点A（m-2，0）和B（2m+3，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连结BC．（1）求m、n的值；（2）如图2，点N为抛物线上的一动点，且位于直线BC上方，连接CN、BN．求△NBC面积的最大值；（3）如图3，点M、P分别为线段BC和线段OB上的动点，连接PM、PC，是否存在这样的点P，使△PCM为等腰三角形，△PMB为直角三角形同时成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．25.已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．（1）如图1，E，G分别是OB，OC上的点，CE与DG的延长线相交于点F．若DF⊥CE，求证：OE=OG；（2）如图2，H是BC上的点，过点H作EH⊥BC，交线段OB于点E，连结DH 交CE于点F，交OC于点G．若OE=OG，①求证：∠ODG=∠OCE；②当AB=1时，求HC的长．答案和解析1.【答案】C【解析】解：原式=（）6×（）4=（×）4×（）2=（）2．故选：C．直接利用幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则将原式变形进而得出答案．此题主要考查了幂的乘方运算以及积的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．2.【答案】D【解析】解：A、2x2•2xy=4x3y，错误；B、不是同类项不能合并，错误；C、x-1÷x-2=x，错误；D、（-3a-2）（-3a+2）=9a2-4，正确；故选：D．根据整式的乘法、合并同类项、整式的除法以及平方差公式判断即可．此题考查整式的乘法、合并同类项、整式的除法以及平方差公式，关键是根据法则解答．3.【答案】D【解析】解：27 809=2.7809×104．故选D．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4.【答案】C【解析】解：该立体图形主视图的第1列有1个正方形、第2列有1个正方形、第3列有2个正方形，故选：C．找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．5.【答案】B【解析】解：∵抛物线y=x2+2x-m-1与x轴没有交点，∴△=4-4（-m-1）＜0∴m＜-2∴函数y=的图象在第二、第四象限，故选：B．由题意可求m＜-2，即可求解．本题考查了反比例函数的图象，二次函数性质，求m的取值范围是本题的关键．【解析】解：画树状图如下：由树状图可知，共有16种等可能结果，其中满足|m-n|≤1的有10种结果，∴两人“心领神会”的概率是=，故选：B．画出树状图列出所有等可能结果，由树状图确定出所有等可能结果数及两人“心领神会”的结果数，根据概率公式求解可得．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．7.【答案】C【解析】【分析】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为非正数求出a的范围，再根据不等式组无解求出a的范围，确定出满足题意整数a的值，求出之和即可．【解答】解：分式方程去分母得：ax-x-1=2，整理得：（a-1）x=3，由分式方程的解为非正数，得到≤0，且≠-1，解得：a＜1且a≠-2，不等式组整理得：，由不等式组无解，得到＜4，解得：a＞-6，∴满足题意a的范围为-6＜a＜1，且a≠-2，即整数a的值为-5，-4，-3，-1，0，则满足条件的所有整数a的和是-13，故选：C．8.【答案】C【解析】解：设甲数为x，乙数为y，根据题意得：，故选：C．根据甲数的2倍比乙数大3可得2x=y+3，甲数的3倍比乙数的2倍小1可得3x=2y-1，联立两个方程即可．此题主要考查了二元一次方程组，关键是找出题目中的等量关系，列出方程．【解析】解：∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC=90°，∴∠A=90°-∠ACB=40°，由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=80°，故选：D．根据切线的性质得到∠ABC=90°，根据直角三角形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算即可．本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．10.【答案】C【解析】解：A、平分弦的直径一定垂直于弦，是真命题；B、三角形一定有外接圆和内切圆，是真命题；C、在同圆或等圆中，等弧对等弦，是假命题；D、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心，是真命题；故选：C．根据垂径定理、三角形外接圆、圆的有关概念判断即可．本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是根据垂径定理、三角形外接圆、圆的有关概念等知识解答，难度不大．11.【答案】C【解析】解：∵图象与x轴有两个交点，∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，∴b2-4ac＞0，∴4ac-b2＜0，①正确；∵-=-1，∴b=2a，∵a+b+c＜0，∴b+b+c＜0，3b+2c＜0，∴②是正确；∵当x=-2时，y＞0，∴4a-2b+c＞0，∴4a+c＞2b，③错误；∵由图象可知x=-1时该二次函数取得最大值，∴a-b+c＞am2+bm+c（m≠-1）．∴m（am+b）＜a-b．故④正确∴正确的有①②④三个，故选：C．由抛物线与x轴有两个交点得到b2-4ac＞0，可判断①；根据对称轴是x=-1，可得x=-2、0时，y的值相等，所以4a-2b+c＞0，可判断③；根据-=-1，得出b=2a，再根据a+b+c ＜0，可得b+b+c＜0，所以3b+2c＜0，可判断②；x=-1时该二次函数取得最大值，据此可判断④．本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是能看懂图象，利用数形结合的思想解答．12.【答案】A【解析】解：作B关于x轴的对称点C，连结CN，作平行四边形PNCD∵AB、PN为定值∴PA+BN最小即可∵BN=CN=PD∴只要AP+PD最小作直线AD交x轴于Q，当P与Q重合时，AP+PD=AD最小∵A（1，3）、B（4，1），∴C（4，-1），∴D（2，-1）∴直线AD为：y=-4x+7当y=0时，x=，∴Q为（，0）∵P、Q重合∴a=，故选：A．作B关于x轴的对称点C，连结CN，作平行四边形PNCD，因为AB、PN为定值所以PA +BN最小即可因为BN =CN=PD所以只要AP+PD最小作直线AD交x轴于Q，当P 与Q重合时，AP+PD=AD最小．本题考查轴对称-最短问题，平行四边形的性质、一次函数的应用等知识，解题的关键是学会构建平行四边形，利用对称解决最短问题，属于中考常考题型．13.【答案】9【解析】解：∵，10，x，15，7，23的平均数为10，∴（+10+x+15+7+23）÷6=10，解得：x=8，把这些数从小到大排列为：7，23，8，10，，15，则中位数是=9；故答案为：9．根据平均数的计算公式先求出x的值，再根据中位数的定义求解即可．此题主要考查了中位数的确定方法以及平均数的求法，根据将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）找出中位数是易错点．14.【答案】【解析】解：∵sin A==，∴∠A=60°，∴sin=sin30°=．故答案为：．根据∠A的正弦求出∠A=60°，再根据30°的正弦值求解即可．本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解题的关键．15.【答案】（3，1）【解析】解：根据题意可把直线解析式化为：y=k（x-3）+1，故函数一定过点（3，1）．故答案为：（3，1）．把一次函数解析式转化为y=k（x-3）+1，可知点（3，1）在直线上，且与系数无关．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解决问题的关键是把一次函数进行整理变形．16.【答案】【解析】解：作CH⊥BA4于H，由勾股定理得，BA4=，A4C=，△BA4C的面积=4-2-=，∴××CH=，解得，CH=，则A4H=，∴tan∠BA4C=，1=12-1+1，3=22-2+1，7=32-3+1，∴tan∠BA n C=，故答案为：，作CH⊥BA4于H，根据正方形的性质、勾股定理以及三角形的面积公式求出CH、A4H，根据正切的概念求出tan∠BA4C，总结规律解答．本题考查的是正方形的性质、勾股定理的应用以及正切的概念，掌握正方形的性质、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．17.【答案】-2【解析】解：由题意得，，解得x=-3，∴y=，∴x-6y=-3-6×=-3+1=-2．故答案为：-2．根据被开方数大于等于0，分母不等于0列不等式求出x的值，再求出y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．18.【答案】12π【解析】解：设底面圆的半径为rcm，由勾股定理得：r==6cm，∴2πr=2π×6=12πcm，故答案为：12π．根据圆锥的展开图为扇形，结合圆周长公式的求解．此题考查了圆锥的计算，解答本题的关键是掌握圆锥侧面展开图是个扇形，要熟练掌握扇形与圆锥之间的联系，难度一般．19.【答案】解：====，由-2x2-x+3=0，得x1=-，x2=1，当a=1时，原分式无意义，当a=-时，原式==．【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，再根据a是方程-2x2-x+3=0的解，可以求得a的值，再将a的值代入化简后的式子即可解答本题，注意代入的a的值必须使得原分式有意义本题考查分式的化简求值、一元二次方程的解，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．20.【答案】解：（1）∵OB=4，OE=1，∴BE=1+4=5．∵CE⊥x轴于点E，tan∠ABO===，∴OA=2，CE=2.5．∴点A的坐标为（0，2）、点B的坐标为C（4，0）、点C的坐标为（-1，2.5）．∵一次函数y=ax+b的图象与x，y轴交于B，A两点，∴，解得．∴直线AB的解析式为y=-x+2．∵反比例函数y=的图象过C，∴2.5=，∴k=-2.5．∴该反比例函数的解析式为y=-；（2）联立反比例函数的解析式和直线AB的解析式可得，解得点D的坐标为（5，-），则△BOD的面积=4××=1，△BOC的面积=4××=5，∴△OCD的面积为1+5=6；（3）由图象得，一次函数的值大于反比例函数的值时x的取值范围：x＜-1或0＜x＜5．【解析】（1）根据已知条件求出A、B、C点坐标，用待定系数法求出直线AB和反比例函数的解析式；（2）联立一次函数的解析式和反比例的函数解析式可得交点D的坐标，从而根据三角形面积公式求解；（3）根据函数的图象和交点坐标即可求解．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．21.【答案】解：（1）抽查的总人数：（8+16）÷12%=200（人）；（2）范围是115≤x＜145的人数是：200-8-16-71-60-16=29（人），则跳绳次数范围135≤x≤155所在扇形的圆心角度数是：360°×=81°；（3）优秀的比例是：×100%=52.5%，则估计全市8000名八年级学生中有多少名学生的成绩为优秀人数是：8000×52.5%=4200（人）；【解析】（1）根据前两组共占12%解答；（2）求出跳绳次数范围在135≤x≤155的人数所占总人数的百分比，即可解答；（3）用样本估计总体．本题考查了频数分布直方图、用样本估计总体、扇形统计图，两图结合是解题的关键．22.【答案】（1）证明：∵PQ垂直平分BE，∴PB=PE，OB=OE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠PEO=∠QBO，在△BOQ与△EOP中，，∴△BOQ≌△EOP（ASA），∴PE=QB，又∵AD∥BC，∴四边形BPEQ是平行四边形，又∵QB=QE，∴四边形BPEQ是菱形；（2）解：∵O，F分别为PQ，AB的中点，∴AE+BE=2OF+2OB=36，设AE=x，则BE=36-x，在Rt△ABE中，122+x2=（36-x）2，解得x=16，∴BE=36-x=20，∴OB=BE=10，设PE=y，则AP=16-y，BP=PE=y，在Rt△ABP中，122+（16-y）2=y2，解得y=，在Rt△BOP中，PO==，∴PQ=2PO=15．【解析】（1）先根据线段垂直平分线的性质证明PB=PE，由ASA证明△BOQ≌△EOP，得出PE=QB，证出四边形ABGE是平行四边形，再根据菱形的判定即可得出结论；（2）根据三角形中位线的性质可得AE+BE=2OF+2OB=36，设AE=x，则BE=36-x，在Rt△ABE中，根据勾股定理可得122+x2=（36-x）2，BE=20，得到OB=BE=10，设PE=y，则AP=16-y，BP=PE=y，在Rt△ABP中，根据勾股定理得出方程，解得y=，在Rt△BOP中，根据勾股定理求出PO的长，由PQ=2PO即可求解．本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质，平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度．23.【答案】解：（1）设甲每分钟走x米，则乙每分钟走2x米，根据题意得：-=15，解得：x=40，经检验，x=40是原分式方程的解，且符合题意．答：甲每分钟走40米．（2）设两人出发y分钟后恰好相距240米，根据题意得：|1200-40y-80y|=240，解得：y1=8，y2=12．答：两人出发8或12分钟后恰好相距240米．【解析】（1）设甲每分钟走x米，则乙每分钟走2x米，根据时间=路程÷速度结合乙比甲少用15分钟，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设两人出发y分钟后恰好相距480米，根据路程=速度×时间结合两人相距240米，即可得出关于y的含绝对值的一元一次方程，解之即可得出结论．本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．24.【答案】解：（1）∵抛物线的解析式为y=-[（x-2）2+n]=-（x-2）2-n，∴抛物线的对称轴为直线x=2，∵点A和点B为对称点，∴2-（m-2）=2m+3-2，解得m=1，∴A（-1，0），B（5，0），把A（-1，0）代入y=-[（x-2）2+n]得9+n=0，解得n=-9；（2）作ND∥y轴交BC于D，如图2，抛物线解析式为y=-[（x-2）2-9]=-x2+x+3，当x=0时，y=3，则C（0，3），设直线BC的解析式为y=kx+b，把B（5，0），C（0，3）代入得，解得，∴直线BC的解析式为y=-x+3，设N（x，-x2+x+3），则D（x，-x+3），∴ND=-x2+x+3-（-x+3）=-x2+3x，∴S△NBC=S△NDC+S△NDB=•5•ND=-x2+x=-（x-）2+，当x=时，△NBC面积最大，最大值为；（3）存在．∵B（5，0），C（0，3），∴BC==，当∠PMB=90°，则∠PMC=90°，△PMC为等腰直角三角形，MP=MC，设PM=t，则CM=t，MB=-t，∵∠MBP=∠OBC，∴△BMP∽△BOC，∴==，即==，解得t=，BP=，∴OP=OB-BP=5-=，此时P点坐标为（，0）；当∠MPB=90°，则MP=MC，设PM=t，则CM=t，MB=-t，∵∠MBP=∠CBO，∴△BMP∽△BCO，∴==，即==，解得t=，BP=，∴OP=OB-BP=5-=，此时P点坐标为（，0）；综上所述，P点坐标为（，0）或（，0）．【解析】（1）利用抛物线的解析式确定对称轴为直线x=2，再利用对称性得到2-（m-2）=2m+3-2，解方程可得m的值，从而得到A（-1，0），B（5，0），然后把A点坐标代入y=-[（x-2）2+n]可求出n的值；（2）作ND∥y轴交BC于D，如图2，利用抛物线解析式确定C（0，3），再利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=-x+3，设N（x，-x2+x+3），则D（x，-x+3），根据三角形面积公式，利用S△NBC=S△NDC+S△NDB可得S△BCN=-x2+x，然后利用二次函数的性质求解；（3）先利用勾股定理计算出BC=，再分类讨论：当∠PMB=90°，则∠PMC=90°，△PMC 为等腰直角三角形，MP=MC，设PM=t，则CM=t，MB=-t，证明△BMP∽△BOC，利用相似比可求出BP的长，再计算OP后可得到P点坐标；当∠MPB=90°，则MP=MC，设PM=t，则CM=t，MB=-t，证明△BMP∽△BCO，利用相似比可求出BP的长，再计算OP后可得到P点坐标．本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会运用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形的性质；掌握相似三角形的判定，能运用相似比计算线段的长或表示线段之间的关系；学会运用分类讨论的思想解决数学问题．25.【答案】（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OD=OC，∴∠DOG=∠COE=90°，∴∠OEC+∠OCE=90°，∵DF⊥CE，∴∠OEC+∠ODG=90°，∴∠ODG=∠OCE，∴△DOG≌△COE（ASA），∴OE=OG．（2）①证明：如图2中，∵AC，BD为对角线，∴OD=OC，∵OG=OE，∠DOG=∠COE=90°，∴△ODG≌△OCE，∴∠ODG=∠OCE．②解：设CH=x，∵四边形ABCD是正方形，AB=1，∴BH=1-x，∠DBC=∠BDC=∠ACB=45°，∵EH⊥BC，∴∠BEH=∠EBH=45°，∴EH=BH=1-x，∵∠ODG=∠OCE，∴∠BDC-∠ODG=∠ACB-∠OCE，∴∠HDC=∠ECH，∵EH⊥BC，∴∠EHC=∠HCD=90°，∴△CHE∽△DCH，∴=，∴HC2=EH•CD，∴x2=（1-x）•1，解得x=或（舍弃），∴HC=．【解析】（1）欲证明OE=OG，只要证明△DOG≌△COE（ASA）即可；（2）①欲证明∠ODG=∠OCE，只要证明△ODG≌△OCE即可；②设CH=x，由△CHE∽△DCH，可得=，即HC2=EH•CD，由此构建方程即可解决问题；本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．。