八年级数学下册课后补习班辅导一次函数的图像性质和应用二元一次方程组讲学案苏科版

百度文库 - 让每个人平等地提升自我一次函数的图像、性质和应用；二元一次方程组【本讲教育信息】 一. 教学内容：一次函数的图像、性质和应用；二元一次方程组的图像解法[学习目标] 1. 理解一次函数的图像是一条直线以及它的性质，会画一次函数的图像. 2. 会应用一次函数的性质解决实际问题，能够用图像法解二元一次方程组. 3. 通过学习，进一步体会“数形结合”的数学思想方法以及数学建模的思想.二. 重点 、难点： 能够熟练地用描点法、两点法画出一次函数的图像，用图像法解二元一次方程组，理解一次函数性质并会应用一次函数解决问题是重点；难点是对一次函数性质的理解以及应用一次函数解决问 题.三. 知识要点： 1. 一次函数与正比例函数的图像一般地，一次函数 y kx b(k 0) 的图像是过（ b ,0 ），（0，b）的一条直线；特殊的，正k比例函数 y kx(k 0) 的图像是过（0，0），（1，k）的一条直线.直线 y kx b(k 0) 是由直线 y kx(k 0) 向上 b 0或向下 b 0 平移 b 单位得到的.或者说直线 y kx b(k 0) 是由直线 y kx(k 0) 向右 b 0 或向左 b 0 平移 b 单k k k位得到的.2. 一次函数的性质（1）增减性：如果 k 0 ，那么 y 的值随 x 值的增 大而增大； 如果 k 0，那么 y 的值随 x 值的增大而减小（2）所通过的象限如下表k，b 的符号 k>0，b>0k>0，b<0k<0，b>0k<0，b<01百度文库 - 让每个人平等地提升自我图像所通过的象 限一，二，三一，三，四一，二，四二，三，四3. 一次函数 y kx b 图像上任意一点的坐标与二元一次方程 kx y b 0 解的关系：一次函数 y kx b 图像上任意一点的坐标都是二元一次方程 kx y b 0 的一个解； 以二元一次方程 kx y b 0 的解为坐标的点都在一次函数 y kx b 图像上.4. 数形结合及数学建模思想方法的体会与应用也是本章的一个重要知识点.【典型例题】例 1. 如图所示，两条直线分别表示函数 y1 kx和 y2 kx b ，请根据图像，回答下列问题：（1）直线 AB 表示的图像，直线 OB 表示的图像.（2）函数 y1 kx随 x 的增大而，函数 y2 kx b 随 x 的减小而.ABO分析 （1）观察图像可知，直线 AB 与直线 OB 的区别是直线 OB 经过原点，而正比例函数的图 像是经过原点的一条直线，所以直线 OB 表示 y1 kx，直线 AB 表示 y2 kx b .（2）从左向右看两个图像的变化趋势可知，函数 y1 kx随 x 的增大而增大；函数 y2 kx b 随 x 的减小而增大解 （1） y2 kx b ； y1 kx （2）增大；增大方法指导 经过原点的直线是正比例函数的图像，不经过原点的直线是一般是 一次函数的图像.例2. 直线y＝kx+b与直线y＝kbx，它们在同一个坐标系中的图象大致为（）2百度文库 - 让每个人平等地提升自我yyyy0x0x0x0xABCD分 析 解决此题有 效的方法是排除法.如我们以B为例，可以看出正比例函数kb>0，即k，b为同号；另外从一次函数y＝kx+b的图像可以看出k<0，b>0，即k，b异号，所以出现矛盾情 况.做此类题目的关键是对一次函数性质的理解和掌握.解A例 3 一次函数的图像过（3，0），且与坐标轴所围成的图形的面积为 9，求一次函数的函数关系 式.分析 要求一次函数的函数关系式，必须知道函数图像经过两点的坐标，由条件知一个点的坐 标，必须求出另一个点的坐标.由“图像与坐标轴所围成的面积为 9”可求得另一个点的坐标.最后 用待定系数法去求关系式.BA O解 如图，设一次函数的图像与 x 轴交于点 A（3，0），与 y 轴交于点 B（0，b），则 OA＝3，OB＝b.又 S△ABC9,即 1 OA OB 2 9, 1 3 2b9, 得b6 ，故 B的坐标为（0，6）或（0，－6）.设一次函数的函数关系式为ykxb，则6 0 b 3kb或 06 b 3k b得6 k b2或k6 2b所以一次函数的解析式为 y＝－2x+6 或 y＝2x－6评析 解决面积问题结合图形考虑，不但对问题容易把握，而且可以使问题解决的更全面.3百度文库 - 让每个人平等地提升自我例 4 如图所表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程 y（km）随时间 x（min）变化的图 像（全程）.根据图像回答下列问题：（1）求比赛开始多少分钟时，两人第一次相遇； （2）求这次比赛的全程是多少千米； （3）求比赛开始多少分钟时，两人第二次相遇.分析 认真读图，通过图像上的一些特殊点，如图像与坐标轴的交点，图像的起、终点，图像 上已用虚线表示出横、纵坐标的点等寻找突破口，如本题以 A，B 两点为突破口.解 （1）当15 x 33时,设yAB k1x b1,把（15，5）和（33，7）代入得5 7 15k1 33k1 b1 b1,解得k1 b119 10,yAB31 9x 10 3.当 y＝6 时，有 6 1 x 10 , x 24 93∴比赛开始 24min 两人第一次相遇.（2）设yODmx, 把(24,6)代入, 得m1. 4∴yOD1 4x,当x48时,yOD1 4 48 12∴比赛的全程为 12km.（3）当 33 x 43时,设yBC k2x b2,把(33,7)和(43,12)代入得1723433kk2 2bb2 2解得119k2 2 ,b2 24百度文库 - 让每个人平等地提升自我解方程组 y y 1 2 1 4x x19 2x,得 y 38 19 2∴比赛开始 38min 两人第二次相遇.评析 本题体现了从形到数的转化，是数形结合的具体运用，也是待定系数法的具体应用，此方法与方程、方程组的解法密不可分.例 5 在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度 y（cm）与燃烧时间 x（h）的关系如图所示.请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是，从点燃到燃尽所用的时间分别是；（2）分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时 y 与 x 之间的函数关系式；（3）当 x 为何值时，甲、乙两根蜡烛在燃烧过程中的高度相等？分析 （1）纵轴表示蜡烛的高度. （2）因为图像都是线段，所以它们的函数关系式都是一次函数.根据图像上提供的点的坐标用 待定系数法分别求解. （3）求出两条线段的交点坐标，结合图像的位置求解.解 （1）30cm， 25cm； 2h， 2.5h（2）设甲蜡烛燃烧时 y 与 x 函数关系式为 y k1x b1.观察可知，它的图像经过点（2，0）， （0，30）5百度文库 - 让每个人平等地提升自我所以 3002bk11 b1 解得 k1 15,b1 30. 所以甲蜡烛燃烧时函数关系式为 y 15x 30.设乙蜡烛燃烧时 y 与 x 函数关系式为 y k2 x b2.观察可知，它的图像经过点（2.5，0）， （0，25）所以0 2.5k 25 b22b2解得 k2 10,b2 25.∴乙蜡烛燃烧时函数关系式为： y 10x 25（3）当甲蜡烛与乙蜡烛的高度相等时，则 15x 30 10 x 25,解得x 1. 所以 x＝1 时，甲蜡烛与乙蜡烛的高度相等. 观察图像可知，当 0 x 1时,甲蜡烛比乙蜡烛高 ;当1 x 2.5时, 甲蜡烛比乙蜡烛低.方法指导 第（3）小问要抓住交点的意义，并结合图像求解.例 6 学校有一批复印任务，原来有甲复印社承接，按每 100 页 40 元计费.现在乙复印社表示： 若学校先按月付给一定数额的承包费，则可按每 100 页 15 元收费.两复印社每月收费情况如图根据图像回答下列问题： （1）乙复印社的每月承包费是多少? （2）当每月复印多少页时，两复印社实际收费相同? （3）如果每月复印 页数在 1200 页左右，那么学校应选择哪个复印社比较合算? 分析 由图像可知，乙的图像与 y 轴的交点坐标为（0，200），说明乙每月的承包费为 200 元； 而“收费相同”在图像上的反映就是两条直线的交点位置；对于选择哪家复印社比较合算，那就要 看当 x＝1200 时，哪条直线的位置“较低”了.6百度文库 - 让每个人平等地提升自我y600甲 400乙200200 400 600 800 1000x解 （1）乙复印社的每月承包费为 200 元； （2）从图像上观察可知，当每月复印 800 页时，两复印社实际收费相同； （3）如果每月复印页数在 1200 页左右，也就是当 x＝1200 时，其在乙图像上的点低于甲图像 上的点，故说明学校应选择乙复印社比较合算. 评析 根据条件，本题还可以依据图像写出收费 y（元）与复印页数 x（页）之间的函数关系式， 甲为 y＝0.4x，乙为 y＝0.15x+200.这样就可以通过解方程以及计算来求出第（2），（3）问了.【模拟试题】（答题时间：60 分钟）1. 若函数的图象经过点（1，2），则函数的表达式可能是（写出一个即可）2. 一次函数 y＝kx+b 满足 kb＞0 且 y 随 x 的增大而减小，则此函数图象不经过 （ ）A、第 1 象限B、第 2 象限C、第 3 象限D、第 4 象限3. 两个一次函数 y1 ＝mx+n，y2＝nx+m，它们在同一坐标系 中的图象可能是下图中的 （ ）y2 y1Ay2 y1By1y2 Cy1y2D4. 在函数 y＝－2x+3 中，当自变量 x 满足时，图象在第一象限.5. 已知一次函数 y＝kx+b 的图象经过点（0，1）且不经过第四象限，则满足以上条件的一个一次函数的解析式为6. 某污水处理厂的一个净化池设有 2 个进水口和 1 个出水口，三个水口至少打开一个，每个进水口进水速度由图甲给出，出水口出水的速度由图乙给出.某一天 0 点到 6 点，该水池的蓄水量与时间7百度文库 - 让每个人平等地提升自我的函数关系如图丙所示.通过对图象的观察，小亮得出了以下三个论断：（1）0 点到 3 点只进水不出水；（2）3 点到 4 点不进水只出水；（3）4 点到 6 点不进水也不出水.其中正确的是（）A、（1） B、（1）（2）C、（1）（3）D、（1）（2）（3）进水量（立方米）20出水量（立方米）20进水量（立方米）60 50O2时间（小时） O 1 时间（小时） O图甲图乙34 5 6图丙时间（小时）7. 如图，过点 A 的一次函数的图象与正比例函数 y＝2x 的图象相交于点 B，能表示这个一次函数的解析式为（）A. 2x－y+3＝0B. x－y－3＝0C. 2y－x+3＝0D. x+y－3＝0yA 3 2y=2x B13x8. 如图，表示甲骑电动自行车和乙驾驶汽车均行驶 90km 的过程中，行驶的路程与经过的时间的函数关系，请根据图象填空： 出发早，早了 小时， 先到达，先到小时，电动自行车的速度为km/h，汽车的速度为 km/h.8百度文库 - 让每个人平等地提升自我90 y(km)电动自行车604020汽车o 1 2 3 4 5 x(h)9. 已知正比例函数 y＝k1x 的图象与一次函数 y＝ k2x－9 的图象相交于点 P（3，－6）. （1）求 k1、k2 的值； （2）如果一次函数 y＝ k1x－9 的图象与 x 轴交于点 A，求 A 的坐标.10. 某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物 首次印刷的印数不少于 5000 册时， 投入的成本与印数间的相应数据如下：印数 x（册）500080001000015000……成本 y（元）28500360004100053500……（1）经过对上表数据的探究，发现这种读物的投入成本 y（元）是 印数 x（ 册）的一次函数， 求这个一次函数的解析式（不要求写出 x 的取值范围）；（2）如果出版社投入 48000 元，那么能印读物多少册？ 11. 某公司推销一种产品，设 x（件）是推销产品的数量，y（元）是推销费，下图表示了公司每 月付给推销员推销费的两种方案，看图解答下列问题：（1）求 y1、y2 的解析式； （2）解释图中表示的两种方案是如何付推销费的； （3）如果你是推销员，应如何选择付费方案？y(元 ) y1y2600300o30x(件 )9百度文库 - 让每个人平等地提升自我12. 电视台为某个广告公司特约播放甲、乙两部连续剧.经调查，播放甲连续剧平均每集有收视观 众 20 万人次，播放乙连续剧平均每集有收视观众 15 万人次，公司要求电 视台每周共播放 7 集.（1）设一周内甲连续剧播 x 集，甲、乙两部连续剧观众的人次的总和为 y 万人次，求 y 关于 x 的函数关系式；（2）已知电视台每周只能为该公司提供不超过 300 分钟的播放时间，并且播放甲连续剧每集需 50 分钟，播放乙连续剧每集需 35 分钟，请你用所学知识求电视台每周应播放甲、乙两部连续剧各 多少集，才能使得每周收看甲、乙连续剧的观众的人次总和最大，并求出这个最大值.10百度文库 - 让每个人平等地提升自我11 【试题答案】1. y ＝2x2. A3. B4. 5.10<<x5. y ＝x +16. C7. D8. 电动车， 2 ， 汽车， 2 ， 18 km/h ， 60 km/h.9. （1）k 1＝－2，k 2＝1；（2）（9，0）10. （1）160005.2+=x y（2）1280011. （1）30010,2021+==x y x y（2）第一种情况是按照推销的件数提成；第二种情况是先付给推销员300元，然后再按推销的件数提成.（3）当推销产品的件数等于30件时，两种方案一样， 然后再分大于30件和小于30件来考虑12. （1）y ＝5x+105（2）略。