高中数学极值点偏移问题

极值点偏移问题沈阳市第十一中学数学组：赵拥权

一：极值点偏移（俗称峰谷偏）问题的定义

对于可导函数y=f(x)在区间（a,b）上只有一个极大（小）值点x0,方程f(x)=0(f(x)=m)的解分别为x1,x2且a

若x1+x2

2≠x

0，,

则称函数f(x)在区间（a,b）上极值点x0偏移；

（1）x1+x2

2

>x0,则称函数f(x)在区间（a,b）上极值点x0左偏移；

（2）x1+x2

2

二：极值点偏移的判定定理

对于可导函数y=f(x)在区间（a,b）上只有一个极大（小）值点x0,方程f(x)=0（f(x)=m)的解分别为x1,x2且a

（1）若f(x1)

2

（2）若f(x1)

2

>x0即函数f(x)在区间上（a,b）极小值点x0左偏;（即谷偏左）

（3）若f(x1)>f(2x0?x2)则x1+x2

2

>x0即函数f(x)在区间上（a,b）极大值点x0左偏;（即峰偏左）

（4）若f(x1)>f(2x0?x2)则x1+x2

2

拓展：

1） 若)()(x b f x a f -=+，则)(x f 的图象关于直线2

b

a x +=

对称；特别地，若)()(x a f x a f -=+（或f(x)=f(2a -x)），则)(x f 的图象关于直线a x =对称 2） 若函数f(x)满足?x ∈(0,a)有下列之一成立：

①f(x)在(0,a)递增，在(a,2a)递减,且f(a -x)<（>）f(a+x)(f(x)<(>)f(2a -x)) ②f(x)在(0,a)递减,在(a,2a)递增,且f(a -x)>(<)f(x+a)(f(x)>(<)f(2a -x))

则函数f(x)在(0,2a)的图象关于直线x=a 偏移(偏对称)(俗称峰谷偏函数)其中① 极大值左

偏（或右偏）也称峰偏左（或右）②极小值偏左（或偏右）也称谷偏左（或右）； 性质：

1) )(x f 的图象关于直线a x =对称若x 1,x 2∈(0,2a)x 1≠x 2则 x 1+x 2=2a <=>f (x 1)=f(x 2),(f ′(x 1)+f ′(x 2)=0,f ′(

x 1+x 22

)=0);

2)已知函数是满足条件的极大值左偏（峰偏左）若x 1,x 2∈(0,2a)x 1≠x 2则f (x 1)=f(x 2)则x 1+x 2>2a ,及f ′(

x 1+x 22

)<0

极值点偏移解题步骤： ①求函数f(x)的极值点x 0；

②构造函数F(x)=f(x+x 0)-f(x 0?x) (F(x)=f(x 0?x )-f(x 0+x), F(x)=f(x+2x 0)-f(?x) , F(x)=f(x)-f(2x 0?x))确定F(x)单调性

③结合F(0)=0（F(-x 0)=0,F(x 0)=0)判断F(x)符号从而确定f(x+x 0),f(x 0?x)( f(x+2x 0)与f(?x); f(x)与f(2x 0?x)）的大小关系; 答题模式：

已知函数y=f(x)满足f (x 1)=f(x 2),x 0为函数y=f(x)的极值点,求证：x 1+x 2<2x 0 ①求函数f(x)的极值点x 0；

②构造函数F(x)=f(x+x 0)-f(x 0?x) 确定F(x)单调性 ③判断F(x)符号从而确定f(x+x 0),f(x 0?x) 的大小关系;

假设F(x)在(0,+∞）上单调递增则F(x)>F(0)=0，从而得到x>0时f(x+x 0)>f(x 0?x) ④

1.（2016年全国I 高考）已知函数有两个零点. 设x 1，x 2是

的两个零点，证明：+x 2<2.

2. (2010年高考天津卷理科21)（本小题满分14分）

已知函数f(x)=xe -x

（x ∈R ）.

(Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间和极值；

(Ⅱ)已知函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，证明当x>1时，f(x)>g(x)

(Ⅲ)如果12,x x ≠且12()(),f x f x =证明122x x +> 证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)2

x e

-

令F(x)=f(x)-g(x),即2()(2)x

x F x xe x e --=+-

于是22

'()(1)(1)x x F x x e

e --=--

当x>1时，2x-2>0,从而2x-2

e 10,0,F x e -->>又所以’(x)>0,从而函数F （x ）在[1,+

∞)是增函数。

又F(1)=-1-1

e e 0-=，所以x>1时，有F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x). Ⅲ)证明：（1）

若121212(1)(1)0,)), 1.x x x x x x --=I ===≠12由（）及f(x f(x 则与矛盾。 （2）若121212(1)(1)0,)),.x x x x x x -->I ==≠12由（）及f(x f(x 得与矛盾。

根据（1）（2）得1212(1)(1)0,1, 1.x x x x --<<>不妨设

由（Ⅱ）可知，)2f(x >)2g(x ,则)2g(x =)2f(2-x ，所以)2f(x >)2f(2-x ,从而)1f(x >

)2f(2-x .因为21x >，所以221x -<，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内事增

函数，所以1x >22x -,即12x x +>2.

3. 已知函数．（I ）讨论的单调性； （II ）设，证明：当时，； （III ）若函数的图像与x 轴交于A ，B 两点，线段AB 中点的横坐标为x 0，证明：x a ax x x f )2(ln )(2-+-=)(x f 0>a a x 10<

<)1

()1(x a

f x a f ->+)(x f y =f '

（x 0）＜0．

解：（I ） （i ）若单调增加. （ii ）若且当

所以单调增加，在单调减少.

（II ）设函数则

当. 故当， ………………8分 （III ）由（I ）可得，当的图像与x 轴至多有一个交点， 故，从而的最大值为

不妨设 由（II ）得从而 由（I ）知，

4．已知函数f (x )=xlnx ?1

2mx 2?x (m ∈R)若f(x)有两个极值点x 1,x 2且x 1

()(0,),f x +∞的定义域为1(21)(1)

()2(2).x ax f x ax a x x

+-'=

-+-=-0,()0,()(0,)a f x f x '≤>+∞则所以在1

0,()0,a f x x a

'>==

则由得11

(0,),()0,,()0.x f x x f x a a

''∈>><时当时1

()(0,)f x a 在1(,)a

+∞11

()(

)(),g x f x f x a a

=+--3222

()ln(1)ln(1)2,2()2.111g x ax ax ax a a a x g x a ax ax a x

=+---'=+-=+--1

0,()0,(0)0,()0x g x g g x a

'<<

>=>时而所以10x a <<

时11

()().f x f x a a

+>-0,()a y f x ≤=时函数0a >()f x 1

1(),()0.f f a a

>且1212121

(,0),(,0),0,0.A x B x x x x x a

<<<<

<则111211(

)()()0.f x f x f x a a a -=+->=122102

1,.2x x x x x a a

+>-=>于是0()0.f x '<

x2>e2

5. 已知函数f(x)=e x?ax(a∈R)若f(x)有两个不同零点x1,x2且x12

②x1+x2<2x°

③x1?x2<1

（已知函数f(x)=e x?ax+a (a∈R)，其图象与轴交于A(x1,0)B(x2,0)两点且x1

6.已知函数f(x)=ln (x+a)?ax(a>1)若f(x)有两个不同零点x1,x2且x1

求证：x1+x2<0

?lnx(a∈R)若f(x)有两个不同零点x1,x2且x1

x

x2<3e a?1-1

8. 已知函数f(x)=xlnx f(x1)=f(x2)且0

e

②1<√x1+√x2<

√e

9．已知函数f(x)=ln x?ax(a∈R)若f(x)有两个不同零点x1,x2且x1

求证：x1?x2>e2

10.已知函数f(x)=x?e ax (a>0)f(x1)=f(x2)=0且x1

x2

11. 已知函数f(x)=lnx?ax?b(a,b∈R)若f(x)有两个不同零点x1,x2且x1

x2<1

a2

12. 已知函数f(x)=x2?(a?2)x?alnx(a∈R)若f(x)=c有两个不同根x1,x2求证：

)>0

f′(x1+x2

2

13. 已知函数f(x)=alnx?x2(a∈R)

①令g(x)=f(x)+ax,g(x)在(0,3)单调递增求a范围;

②当a=2时,函数h(x)=f(x)-mx的图象与轴交于A(x1,0)B(x2,0)且00,β>0且α≤β满足α+β=1证明:?′(αx1+βx2)<0

14．已知函数f(x)=(lnx?k?1)x(k∈R)

①若x>1时讨论f(x)的单调性，并确定其极值;

②若对?x∈[e,e2]都有f(x)<4lnx,求k范围;

③若x1≠x2且f(x1)=f(x2)证明：x1?x2

15. 已知函数f(x)=ax2+x?lnx, (a>0)

①讨论f(x)的单调性;

②f(x)的极值点为x°若存在x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2求证: x1+x2>2x°;

16. 已知函数f(x)=x2?1+aln(1?x),(a∈R);

①讨论f(x)的单调性;

②若f(x) 存在两个极值点x1,x2，x1

x2>f(x2)

x1

;

17. 已知函数f(x)=x+alnx与g(x)=3-b

x

在(1,1)处有相同切线；

①若y=2(x+n) 与y=f(x)图象有两个交点,求n范围；

②若F(x)=3(x?m

2)+m

2

g(x)?2f(x)有两个极值点x1,x2，x1

18. 已知函数g(x)=?ax2+(2?a)x+lnx, (a∈R)

①讨论f(x)的单调性;

②若f(x)=g(x)+(a+1) x2?2x有两个不同零点x1,x2, 证明：f′(x1+x2

2

)<0;

19.已知函数g(x)=x?e(2?a)x,(a∈R);

①讨论g(x)的单调性;

②若f(x)=lng(x)-a x2与y=m,(m∈R)图象有两个交点A、B,线段A、B中点为x°，证明：f′(x°)< 0;

20. 已知函数f(x)=ax32?lnx?2

3

图象的一条切线为x轴；

①求a值；

②令g(x)=|f (x )+f ′(x)|若存在不同x 1,x 2满足 g (x 1)=g(x 2),证明: x 1?x 2<1 21. 已知函数F(x)与f(x)=lnx 关于直线y=x 对称； ①若xf(x)≥ax ?1对?x ∈(0,+∞)恒成立,求a 最大值；

②设f(x)?F (x )=1在(1,+∞)的实根为x ° ，m (x )={xf (x ) (1

x f(x)

(x > x °) 若在区间

(1,+∞)上存在m (x 1)=m(x 2),求证：

x 1+x 22

>x °

22．已知函数f (x )=e x ?12

x 2?ax , (a ∈R)；

①若函数f(x)的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b,求a,b 的值 ②若函数f(x)在R 上单调递增，求实数a 的取值范围； ③如果函数g(x)=f(x)-(a -1

2)x 2恰有两个不同的极值点x 1,x 2,证明: x 1+x 22

23．已知函数f (x )=x 2-(a -2)x -alnx (a ∈R)； ①讨论f (x )的单调性;

②设函数g (x )=?x 3

?ax 2

+a ?a 24

若?α,β∈(0,a 】使得|f (α)?f(β)|

值范围;

③若方程f(x)=c 有两个不等的实数根,求证：f ′(

x 1+x 22

)>0

24. 已知函数f (x )=m

x+1+nlnx (m,n 为常数)，在x =1处的切线方程为 x +y ?2=0 ①若?x ∈[1

e ,1]使得对?t ∈[1

2,2]上f(x)≥t 3?t 2?2at +2恒成立求实数a 的取值范围；

②若g(x)=f(x)-ax -

2

x+1

(a ∈R) 有两个不同零点x 1,x 2,求证：x 1?x 2>e 2;

25．已知函数f (x )=?x 2?ax +2lnx;

①当a ≥3时讨论y=f(x)在[1

2,+∞）上的单调性； ②y=f(x)有两个不同零点x 1,x 2,且x 1

x 1+2x 2

3

)<0