2020年北京各区高三一模数学分类---解析几何

2020年北京各区高三一模数学分类----解析几何

一、选填问题：

1.（2020海淀一模）已知双曲线2

2

21(0)y x b b

-=>则b 的值为（ ）B

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

【答案】B

【详解】由题知2

1a = ，c e a ==，2222

22

+5c a b e a a

===，2b ∴=.故选：B. 【点睛】本题考查利用双曲线离心率求双曲线方程.

求双曲线方程的思路: (1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x 轴上或y 轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a b c ，，的方程组，解出22a b ，，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)．

(2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是设双曲线的一般方程为2

2

1(0)mx ny mn +=<求解．

2.（2020海淀一模）如图，半径为1的圆M 与直线l 相切于点A ，圆M 沿着直线l 滚动.当圆M 滚动到圆

M '时，圆M '与直线l 相切于点B ，点A 运动到点A '，线段AB 的长度为

3,2

π

则点M '到直线BA '的距离为（ ）

A. 1 C.

2

D.

12

【答案】C

【分析】线段AB 的长度为3,2π即圆滚动了3

4

圈，此时A 到达A '，90BM A ''∠=?，则点M '到直线'BA 的距离可求.

【详解】线段AB 的长度为

3,2π设圆滚动了x 圈，则332,24x x ππ?=∴= 即圆滚动了34

圈，

此时A 到达A '，90BM A ''∠=o ，则点M '到直线BA '的距离为sin 45r ??=.故选：C ． 【点睛】本题考查圆的渐开线变式运用.

圆的渐开线性质:(1)渐开线的发生线滚过的距离等于其在基圆滚过的弧长.(2)渐开线上任一点的法线恒与基圆相切.

3.（2020海淀一模）已知点P (1，2)在抛物线C 2:2y px =上，则抛物线C 的准线方程为___. 【答案】1x =-

【分析】(1

2)P ，代入抛物线方程，求出2p =，可求准线方程. 【详解】(1

2)P ，在抛物线C 2:2y px =上，24,2p p ==，准线方程为12

p

x =-=-， 故答案为：1x =-.

【点睛】本题考查抛物线的性质.涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．

4.（2020西城一模）设()()2141A B -，，，，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ）

A. 22(3)2x y -+=

B. 22(3)8x y -+=

C. 22(3)2x y ++=

D. 22(3)8x y ++= 【答案】A

【分析】计算AB 的中点坐标为()3,0，圆半径为r =

.

【详解】AB 的中点坐标为：()3,0，圆半径为2

2

AB

r ==

=，圆方程为22

(3)2x y -+=. 故选：A .

【点睛】本题考查了圆的标准方程，意在考查学生的计算能力.

5.（2020西城一模）设双曲线2221(0)4x y b b -=>的一条渐近线方程为2

y x =，则该双曲线的离心率为

____________.

【详解】2221(0)4x y b b -=>，一条渐近线方程为：y x =，故b =c =，c e a =.

故答案为：

2

. 【点睛】本题考查了双曲线的渐近线和离心率，意在考查学生的计算能力.

6.（2020丰台一模）圆()2

212x y -+=的圆心到直线10x y ++=的距离为（ ）

A. 2

C. 1

D.

2

【答案】B

【详解】圆()2

212x y -+=的圆心坐标为(1,0)，则圆心(1,0)到直线10x y ++=的距离

d =

=，故选：B

【点睛】本题主要考查了点到直线的距离公式的应用，属于中档题.

7.（2020丰台一模）过抛物线C ：2

2y px =（0p >）的焦点F 作倾斜角为60?的直线与抛物线C 交于

两个不同的点A ，B （点A 在x 轴上方），则

AF

BF

的值为（ ）

A.

13

B.

43

D. 3

【答案】D

【分析】根据几何关系以及抛物线的定义得出2AF p =，由直角三角形的边角关系得出A y ，再由直线AB 和抛物线的方程联立，结合韦达定理得出B y ，结合BFQ AFN ??:，对应边成比例，即可得出答案. 【详解】设(,),(,)A A B B A x y B x y ，过点A 分别作准线和x 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，过点B 作x 轴的垂线，垂足于点Q ，直线AB 与准线交于点D ，准线与x 轴交于点E

Q 直线AB 的倾斜角为60?，30MDA ?∴∠=，即2AD AM =

由抛物线的定义知，AM AF =，则2AD AF =，即点F 为AD 中点

由于//AM EF ，则22AM EF p ==，即2AF p =，则2sin60A y p =?=

设直线AB 的方程为32p y x ?

?=

- ??

?，即

332p x y ??

=+ ? ???

并代入2

2y px =中，得：222303

p

y y p -

-=，即2

A B y y p =-，则233B p

y p

-==

由于BFQ AFN ??:，则

||33||3A B y AF p BF y p

==?=- 故选：D

【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，抛物线的定义，属于中档题.

8.（2020丰台一模）已知双曲线M ：2

2

13

y x -=的渐近线是边长为1的菱形OABC 的边OA ，OC 所在

直线.若椭圆N ：22

221x y a b

+=（0a b >>）经过A ，C 两点，且点B 是椭圆N 的一个焦点，则a =______.

【答案】

31+ 【分析】由双曲线渐近线的斜率得出60AOB ∠=?，进而得出点A 的坐标，根据题意得出椭圆N 的半焦距，再由椭圆的定义，即可得出a 的值.

【详解】因为OA 为双曲线22

13

y x -=的渐近线，所以3OA k =，则

60AOB ∠=?

所以3sin 602

AD AO ?==

，1cos602OD AO ?

=?=，则

13,2A ??

? ???

因为21OB OD ==，所以椭圆N 的半焦距1c =

设椭圆N 的左焦点为1F ，则1(1,0)F -，连接1AF ，由椭圆的定义可得12AF AB a +=

2a =，解得a = 【点睛】本题主要考查双曲线的基本性质以及椭圆的基本性质，其中利用定义求a 是解题的关键，属于中档题.

9.（2020朝阳一模）已知抛物线C ：2

2(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点A 是抛物线C 上一点，

AD l ⊥于D .若4AF =，60DAF ∠=?，则抛物线C 的方程为（ ）

A. 28y x =

B. 24y x =

C. 22y x =

D. 2y x =

【答案】B

【分析】根据抛物线的定义求得4=AD ，然后在直角三角形中利用60DAF ∠=?可求得2p =，从而可得答案.

【详解】根据抛物线的定义可得4AD AF ==，又60DAF ∠=?，所以1

2

AD p AF -=

， 所以42p -=，解得2p =，所以抛物线C 的方程为2

4y x =.故选：B

【点睛】本题考查了抛物线的定义，利用定义得4AD AF ==是解题关键，属于基础题.

10.（2020朝阳一模）在ABC V 中，AB BC =，120ABC ∠=?.若以A ，B 为焦点的双曲线经过点C ，则该双曲线的离心率为（ ）

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【分析】设双曲线的实半轴长，半焦距分别为,a c ，根据双曲线的定义可得2AC BC a -=，根据余弦定理

可得AC =，再根据离心率公式即可求得结果.

【详解】设双曲线实半轴长，半焦距分别为,a c ，因为120ABC ∠=?，所以AC BC >， 因为以A ，B 为焦点的双曲线经过点C ，所以2AC BC a -=，2AB BC c ==，

在三角形ABC 中由余弦定理得222

cos1202AB BC AC AB BC

+-=??o

，

所以222

2

14428c c AC c

+--=，解得2212AC c =，所以AC =，

所以2322c c a -=，所以

31

c a +=

，故选：C 【点睛】本题考查了双曲线的定义，考查了余弦定理，考查了双曲线的离心率，属于基础题.

11（2020朝阳一模）.数学中有许多寓意美好的曲线，曲线22322:()4C x y x y +=被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）.

给出下列三个结论：

①曲线C 关于直线y x =对称；

②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过1；

③存在一个以原点为中心、边长为2的正方形，使得曲线C 在此正方形区域内（含边界）.

其中，正确结论的序号是________. 【答案】①②

【分析】将(,)y x 代入22322

:()4C x y x y +=也成立得①正确；利用不等式可得221x y +≤，故②正确；联

立22322()4y x

x y x y

=±??+=?得四个交点，满足条件的最小正方形是以

,,,A B C D 为中点，边长为2的正方形，故③不正确.

【详解】对于①，将(,)y x 代入22322:()4C x y x y +=得22322

()4y x y x +=成立，故曲线C 关于直线y x

=对称，故①正确；

对于②，因为22322222

()()44

x y x y x y ++=≤

，所以221x y +≤，所以221x y +≤， 所以曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过1，故②正确；

对于③，联立22322

()4y x x y x y =±??+=?

得22

12x y ==，从而可得四个交点22(,)22A ，22(,)B -，22(,)C -

-，22(,)D -， 依题意满足条件的最小正方形是以,,,A B C D 为中点，边长为2的正方形，故不存在一个以原点为中心、边长为2的正方形，使得曲线C 在此正方形区域内（含边界），故③不正确.

故答案为：①②

【点睛】本题考查了由曲线方程研究曲线的对称性，考查了不等式知识，考查了求曲线交点坐标，属于中档题.

12（2020北京市模拟）．双曲线2241x y -=的离心率为（ ）

A ．5

B ．

5

2

C ．3

D ．

3 【答案】A

【解析】双曲线22

41x y -=的标准方程为：22

111

4

x y -=，故实半轴长为12

a =，虚半轴长为1

b =，故半焦距15

14c =

+=

，故离心率为5e =，故选A ． 13.（2020北京市模拟）众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在y 轴右侧部分的边界为一个半圆．给出以下命题：

①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是1

2

；

②当4

3

a =-

时，直线(2)y a x =-与黑色阴影部分有公共点； ③当[0,1]a ∈时，直线(2)y a x =-与黑色阴影部分有两个公共点． 其中所有正确结论的序号是（ ） A ．① B ．②

C ．③

D ．①②

【答案】D

【解析】因为阴影部分的面积是圆的面积一半，所以在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率的大小为

12，故结论①正确；当4

3

a =-时，阴影部分在第一象限内半圆的圆心坐标为(0,1)，半径为1，它到直线(2),4380y a x x y =-+-=的距离为2

2

04318

143

d ?+?-==+，所以直线与半圆相切，因此

直线与黑色阴影部分有公共点，故结论②正确的；当0a =时，直线表示横轴，此时直线与阴影部分有无穷多个交点，故结论③错误的，因此只有结论①②是正确的，故本题选D ．

14.（2020北京市模拟）抛物线()2

20y px p =>上一点M 到焦点(1,0)F 的距离等于4，则点M 的坐标

为 ．

【答案】(3,±

【解析】因为焦点()1,0F ，所以2p =．设点2,4y M y ?? ???

，根据抛物线的定义得：2

144y +=

，解得y =±，所以点M

的坐标为(3,±．

15.（2020顺义一模））抛物线2=4y x 上的点与其焦点的最短距离为 C （A ）4

（B ）2

（C ）1

（D ）

1

2

16.（2020顺义一模）若直线:l y x a =+将圆22:1C x y +=的圆周分成长度之比为1:3的两段弧，则实数a 的所有可能取值是____________1a =±

17.（2020顺义一模）曲线C 是平面内到定点3(0)2F ，和定直线3

:2

l x =-的距离之和等于5的点的轨迹，给

出下列三个结论： ①曲线C 关于y 轴对称；

②若点(,)P x y 在曲线C 上，则y 满足4y ≤； ③若点(,)P x y 在曲线C 上，则15PF ≤≤； 其中，正确结论的序号是_____________. ②③

18.（2020石景山一模）圆2

2

28130+--+=x y x y 的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =

（ ） A. 4

3

-

B. 34

-

C.

D. 2

【答案】A

试题分析：由2228130x y x y +--+=配方得22

(1)(4)4x y -+-=，所以圆心为(1,4)，因为圆

2228130x y x y +--+=圆心到直线10ax y +-=的距离为1

1=，解得4

3a =-，故

选A.

【考点】 圆的方程，点到直线的距离公式

【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离. 已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围． 19.（2020石景山一模）已知F 是抛物线C ：2

4y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于

点N .若M 为FN 的中点，则FN =______. 【答案】3；

【分析】由题意得：(1,0)F ，又因为M 为FN 的中点，且点N 在y 轴上，设点(0,)N N y ，所以点M 为

1(,)22

N y

，又因为点M 在抛物线上，代入抛物线便可得出N y ，进而求得 3FN =.

【详解】根据题意画出图象，如下图所示：

因为F 是抛物线C ：2

4y x =的焦点，所以点F 坐标为(1,0)F . 设点N 为(0,)N N y ，因为M 为FN 的中点，所以点M 为1(,

)22

N

y ， 因为点M 在抛物线上，则214(

)22

N y =?.则2

8N

y = . 故：22813FN OF ON =+=+= .故答案为：3. 【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，属于基础题目.

20.（2020延庆一模）已知双曲线22

1169

x y C -=：的右焦点为F ，过原点O 的直线与双曲线C 交于,A B 两

点，且60AFB ∠=?，则BOF V 的面积为( ) A.

33

B.

93

C.

32

D.

92

【答案】A

【分析】根据题意画出图像，设双曲线的左焦点为1F ，连接11,AF BF ，即可得四边形1AFBF 为平行四边形，从而求出1F BF ∠，利用余弦定理和双曲线的定义联立方程可求出1|BF ||BF|的值，利用面积公式可求出

1F BF V 的面积，根据1F BF V 和BOF V 的关系即可得到答案.

详解】

如图，设双曲线的左焦点为1F ，连接11,AF BF ， 依题可知四边形1AFBF 的对角线互相平分， 则四边形1AFBF 为平行四边形，由60AFB ∠=?可得

1120F BF ∠=?，依题可知12||2216910F F c ==+=，

由余弦定理可得：2221111|BF |+|BF|-2|BF ||BF|cos |||F BF F F ∠=，即22

11|BF |+|BF|+|BF ||BF|100=； 又因为点B 在椭圆上，则1||BF |-|BF||28a ==，所以22

11|BF |+|BF|-2|BF ||BF|64=.

两式相减得13|BF ||BF|36=，即1|BF ||BF|12=，所以1F BF V 的面积为：

111113

||||sin 1233222

F BF S BF BF F BF =∠=??=V ，因为O 为1F F 的中点，所以1133

2OBF F BF S S =

=

V V ，故选：A 【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，涉及到了双曲线的定义，余弦定理和面积公式，考查学生转化

和化归的能力，属中档题. 21.（2020延庆一模）经过点()2,0M -且与圆2

2

1x y +=相切的直线l 的方程是____________.

【答案】3

(2)y x =±

+ 【分析】设直线l 方程为(2)y k x =+，根据题意有圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到答案. 【详解】依题满足条件的直线斜率存在，

设直线l 方程为：(2)y k x =+即20kx y k -+=.又22

1x y +=的圆心为(0,0)，半径为1,

又直线l 与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，所以

211k =+，解之得：3k =± 所以直线的方程为3(2)3y x =±

+.故答案为：3

(2)3

y x =±+ 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，利用圆心到直线的距离解决问题，属于基础题.

【

22（2020密云一模）.如果直线1ax by +=与圆22:1C x y +=相交，则点(),M a b 与圆C 的位置关系是（ ） A. 点M 在圆C 上 B. 点M 在圆C 外 C. 点M 在圆C 内 D. 上述三种情况都有可能

【答案】B

【分析】根据圆心到直线的距离小于半径可得,a b 满足的条件，利用(),M a b 与圆心的距离判断即可.

【详解】Q 直线1ax by +=与圆22

:1C x y +=相交，∴圆心(0,0)到直线1ax by +=的距离

1d =

<1>．也就是点(,)M a b 到圆C 的圆心的距离大于半径．

即点(,)M a b 与圆C 的位置关系是点M 在圆C 外．故选：B

【点睛】本题主要考查直线与圆相交的性质，考查点到直线距离公式的应用，属于中档题．

23.（2020密云一模）已知斜率为k 的直线l 与抛物线2

:4C y x =交于A ，B 两点，线段AB 的中点为

()()1,0M m m >，则斜率k 的取值范围是（ ）

A. (,1)-∞

B. (,1]-∞

C. (1,)+∞

D. [1,)+∞

【答案】C

【分析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，设直线l 的方程为：y kx b =+，与抛物线方程联立，由△0>得1kb <，

利用韦达定理结合已知条件得22k b k -=，2m k

=，代入上式即可求出k 的取值范围．

【详解】设直线l 的方程为：y kx b =+， 1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，

联立方程24y kx b y x

=+??=?，消去y 得：222

(24)0k x kb x b +-+=，∴△222(24)40kb k b =-->，

1kb ∴<，且12242kb x x k -+=，2

122b x x k =，12124()2y y k x x b k +=++=， Q 线段AB 的中点为(1M ,)(0)m m >，∴122

422kb x x k -+=

=，124

2y y m k

+==， 22k b k -∴=，2m k

=，0m >Q ，0k ∴>，把2

2k b k -=

代入1kb <，得221k -<， 21k ∴>，1k ∴>，故选：C

【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了韦达定理的应用，属于中档题．

24（2020密云一模）.双曲线221y x -=的焦点坐标是_______________，渐近线方程是_______________.

【答案】 (1). (0, (2). y x =± 【分析】通过双曲线的标准方程，求解c ，

b

a

，即可得到所求的结果．

【详解】由双曲线2

2

1y x -=，可得1a =，1b =，则c =(0,，

渐近线方程为：y x =±．故答案为：(0,；y x =±．

【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质的应用，考查了运算能力，属于容易题． 25.（2020怀柔一模）已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于原点对称，则圆C 的方程为（ ） A. x 2＋y 2＝1 B. x 2＋(y ＋1)2＝1 C. x 2＋(y －1)2＝1 D. (x ＋1)2＋y 2＝1

【答案】D

【分析】利用对称性，可得点C 坐标以及圆C 的半径，然后可得结果.

【详解】由题可知：圆C 的圆心()1,0C -，半径为1，所以圆C 的方程为：()2

211x y ++=

故选：D

【点睛】本题考查圆的方程，直观形象，简单判断，对圆的方程关键在于半径和圆心，属基础题.

26.（怀柔一模）已知抛物线2

2y px =的焦点与双曲线2

214

x y -=的右顶点重合，则抛物线的焦点坐标

为__________；准线方程为___________. 【答案】 (1). (2,0) (2). 2x =-； 【分析】

计算双曲线的右顶点坐标，可得抛物线的焦点坐标，进一步可得准线方程.

【详解】由题可知：双曲线2

214

x y -=的右顶点坐标为()2,0

所以可知抛物线的焦点坐标为()2,0，准线方程为2x =-，故答案为：(2,0)；2x =- 【点睛】本题主要考查抛物线的方程的应用，审清题意，注意细节，属基础题. 27.（2020东城一模）抛物线24x y =的准线与y 轴的交点的坐标为（ ）

A. 1(0,)2

- B. (0,1)- C. (0,2)- D. (0,4)-

【答案】B

试题分析：准线方程为：，与y 轴的交点为(0,1)-，故选B.

考点：抛物线的性质.

28.（2020东城一模）已知曲线C 的方程为22

1x y a b

-=，则“a b >”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的

（ ）

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据椭圆方程的特点，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】若0a b >>，则对应的曲线为双曲线，不是椭圆，即充分性不成立，

若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则满足0a b >->，即0a >，0b <，满足a b >，即必要性成立， 即“a b >”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的必要不充分条件. 故选：B.

【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，涉及到椭圆的方程，考查学生逻辑推理能力，是一道容易题.

29.（20201东城一模）已知圆C 与直线y x =-及40x y +-=的相切，圆心在直线y x =上，则圆C 的方程为（ ）

A. ()()2

2

112x y -+-= B. ()()22

112x y -++= C. ()()2

2

114x y ++-= D. ()()2

2

114x y +++=

【答案】A

【分析】根据圆心在直线y x =上，设出圆心坐标为(),a a ，利用圆C 与直线y x =-及40x y +-=都相

切，求得圆心坐标，再求圆的半径，可得圆的方程. 【详解】圆心在y x =上，设圆心为

(),a a ，Q 圆C 与直线y x =-及40x y +-=都相切，

∴圆心到两直线y x =-及40x y +-=1a =?=，

∴圆心坐标为()1,1，

R =

=C 的标准方程为()()22112x y -+-=.故选：A. 【点睛】本题考查求圆的方程，涉及到点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.

30.（2020东城一模）若顶点在原点的抛物线经过四个点(1,1)，1(2,)2

，(2,1)，(4,2)中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是________． 【答案】28x y =或2y x =

【分析】分两类情况，设出抛物线标准方程，逐一检验即可. 【详解】设抛物线的标准方程为：2

x my =，不难验证()12,

4,22??

???

，适合，故28x y =； 设抛物线的标准方程为：2

n y x =，不难验证()()1,14,2，适合，故2

y x =； 故答案为：2

8x y =或2

y x =

【点睛】本题考查抛物线标准方程的求法，考查待定系数法，考查计算能力，属于基础题.

31.（2020房山一模）已知直线l ：y ＝m （x ﹣2）+2与圆C ：x 2+y 2＝9交于A ，B 两点，则使弦长|AB |为整数的直线l 共有（ ） A ．6条

B ．7条

C ．8条

D ．9条

根据题意，直线过点M （2，2），圆C 的圆心（0，0），半径r ＝3，则可得当CM 与AB 垂直时，即M 为AB 的中点时，弦长|AB |最短，求出直线CM 的斜率，由直线垂直与斜率的关系分析可得直线AB 的斜率，由直线的点斜式方程分析可得答案．

根据题意，直线恒过点M （2，2），圆C ：x 2+y 2＝9的圆心C 为（0，0），半径r ＝3， 则CM ＝2√2

当直线与AB 垂直时，M 为|AB |中点，此时|AB |＝2√9?8=2，符合题意，此时直线有一条， 当直线过圆心C 时，|AB |＝2r ＝6，满足题意，此时直线有一条， 则当|AB |＝3，4，5时，各对应两条直线， 综上，共8条直线． 故选：C ．

本题考查了直线与圆的方程的应用问题，考查点到直线距离公式，弦长公式，是综合性题目． 32.设抛物线x 2＝2py 经过点（2，1），则抛物线的焦点坐标为 （0，1） ．

由点在抛物线上，代入求出抛物线的方程，进而求出焦点坐标． 由题意可得，22＝2p ?1，所以2p ＝4，

即抛物线的方程为：x 2＝4y ，所以焦点坐标为：（0，1），故答案为：（0，1）． 本题考查抛物线的性质，属于基础题． 33.（2020房山一模）如果方程x 24

+y |y |＝1所对应的曲线与函数y ＝f （x ）的图象完全重合，那么对于函数y

＝f （x ）有如下结论：

①函数f （x ）在R 上单调递减；

②y ＝f （x ）的图象上的点到坐标原点距离的最小值为1； ③函数f （x ）的值域为（﹣∞，2]；

④函数F （x ）＝f （x ）+x 有且只有一个零点． 其中正确结论的序号是 ②④ ．

由题意分类画出函数图象，结合函数图象逐一核对四个选项得答案． 当y ≥0时，方程x 24+y |y |＝1化为x 24+y 2=1（y ≥0）， 当y ＜0时，方程

x 2

4+y |y |＝1化为

x 2

4

?y 2=1（y ＜0）．

作出函数f （x ）的图象如图：

由图可知，函数f （x ）在R 上不是单调函数，故①错误；

y ＝f （x ）的图象上的点到坐标原点距离的最小值为1，故②正确； 函数f （x ）的值域为（﹣∞，1]，故③错误； 双曲线

x 24

?y 2=1的渐近线方程为y =±1

2，故函数y ＝f （x ）与y ＝﹣x 的图象只有1个交点，

即函数F （x ）＝f （x ）+x 有且只有一个零点，故④正确． 故答案为：②④．

本题考查命题的真假判断与应用，考查椭圆与双曲线的图象，考查分段函数的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．

34.（2020通州一模）已知抛物线2

2(0)y px p =>的焦点与双曲线2

213

x y -=的右焦点重合，则p = D

B. 2

C. 4

35.（2020通州一模）圆()112

2

=+-y x 的圆心到直线10x +=的距离为 . 1

36.（2020北京市模拟）圆心为(2, 1)且和x 轴相切的圆的方程是 A

22()(2)(1)1A x y -+-=

22()(2)(1)1B x y +++=

22()(2)(1)5C x y -+-=

22()(2)(1)5D x y +++=

37.（2020北京市模拟）已知点A(2,0)，B(0,-2).若点P 在函数y =PAB 的面积为2的点

P 的个数为 C

(A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

38.（2020北京市模拟）已知双曲线22

21(x y a a

-=>0)的一条渐近线方程为x+y=0,则a=__1

39.（2020北京市模拟）抛物线2

4y x =上到其焦点的距离为1的点的个数为___1

40（2020门头沟一模）.已知双曲线22

:194

x y C -=，则C 的渐近线方程为 （ ）D

A ．9

4

y x =±

B ．49

y x =±

C ．32

y x =±

D ．23

y x =±

41（2020门头沟一模）. 已知点(2,0)M ，点P 在曲线2

4y x =上运动，点F 为抛物线的焦点，

则

2

1

PM PF -的最小值为

B. 1)2

C.

D. 4 解：设(,)P x y 是抛物线上任一点，

抛物线的焦点为(1,0)F ，

2

222(2)4441PM

x y x x PF x x x

-++===+≥- 42.（2020门头沟一模）已知两点(1,0),(1,0)A B -，若直线0x y a -+=上存在点(,)P x y 满足0AP BP ?=u u u r u u u r

则实数a 满足的取值范围是 。

解：设(,)P x y ，则22

01AP BP x y ?=?+=u u u r u u u r ，1[2,2]2

a d a =≤?∈-

43.（2020门头沟一模）集合{(,),0},{(,)1}A x y x y a a B x y xy x y =+=>=+=+， 若A B I 是平面上正八边形的顶点所构成的集合， 则下列说法正确的为 ②③ ①a 的值可以为2； ②a 的值可以为2； ③a 的值可以为22+；

本题给出的结论中，有多个符合要求，全部选对得5分，不选或有选错得0分，其它得3分。 解：（1）若01a <≤时，不可能构成正八边形； (2) 若12a <<时，设正八边形边长为l ，如图1

0cos 4512221222

l l

l l a +=?=-?=+= （3）若2a =时，不合题意；

（4）若2a >时，此时正八边形边长为2，

故12122a =++=+，如图2

二、解答题：

1.（2020海淀一模）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为123,(,0),(,0),(0,)2A a A a B b -，

12A BA ?的面积为2.

(I)求椭圆C 的方程；

(II)设M 是椭圆C 上一点，且不与顶点重合，若直线1A B 与直线2A M 交于点P ，直线1A M 与直线2A B 交于点Q .求证:△BPQ 为等腰三角形.

【答案】(I)2

214

x y +=；(II)证明见解析

【分析】

x

O 图1

x

O

图2

(I)运用椭圆离心率公式和三角形面积公式，结合,,a b c 的关系，解方程可得2,1a b ==，从而得到椭圆方程

(II) 设(),M m n ，直线2A M 的直线方程为()22n y x m =--直线1A B 的直线方程为1

12

y x =+，联解求出P 点坐标，同理求出Q 坐标，22225(1)4p p p BP x y x =+-=,222

25(1)4

Q Q Q BQ x y x =+-=，只需证

明2

2

=P Q x x ,利用作差法可证明.

【详解】(I)

由题意得22

2

1222c a ab b c a ?=?

???=??+=???

，解得2,1,a b c ===2

214x y +=.

(II)由题意得()()()122,0,2,0,0,1A A B -,设点(),M m n ，则有22

44m n +=，

又直线2A M 的直线方程为()22n y x m =

--，直线1

A B 的直线方程为1

12

y x =+， ()22

112n y x m y x ?

=-??-∴??=+??，解得24422422m n x n m n y n m +-?=??-+??=

?-+?

，

P ∴点的坐标为2444,2222m n n n m n m +-??

?-+-+??

.

又直线1A M 的直线方程为()22n y x m =

++，直线2A B 的直线方程为1

12

y x =-+. ()22

112n y x m y x ?

=+??+∴??=-+??，解得24422422m n x n m n y n m -+?=??++??=

?++?

，

Q ∴点的坐标为2444,2222m n n n m n m -+??

?++++??

.

2

2225(1)4p p p BP x y x ∴=+-=，2

2225(1)4

Q Q Q BQ x y x ∴=+-=. 22

22244244()()2222

P Q m n m n x x n m n m +--+-=--+++

()()()()

()()

2

2

2

2

22

42222422222222m n n m m n n m n m n m +-++--+-+=

-+++

()()

2222

64(44)

02222mn m n n m n m +-=

=-+++，22=BP BQ ∴，BP BQ ∴=，∴△BPQ 为等腰三角形.

【点睛】圆锥曲线中的几何证明问题多出现在解答题中，难度较大，多涉及线段或角相等以及位置关系的证明等. 通常利用代数方法，即把要求证的等式或不等式用坐标形式表示出来，然后进行化简计算等进行证明

2.（2020西城一模）设椭圆2

2:12

x E y +=，直线1l 经过点()0M m ，

，直线2l 经过点()0N n ，，直线1l P 直线2l ，且直线12l l ，分别与椭圆E 相交于A B ，两点和C D ，两点.

(Ⅰ)若M N ，分别为椭圆E 的左、右焦点，且直线1l x ⊥轴，求四边形ABCD 的面积; (Ⅱ)若直线1l 的斜率存在且不为0，四边形ABCD 为平行四边形，求证:0m n +=; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，判断四边形ABCD 能否为矩形，说明理由. 【答案】(Ⅰ)

(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)不能，证明见解析

【分析】(Ⅰ)

计算得到故A ?- ??

，1,B ?- ??

，C ? ??

，1,D ? ??，计算得到面积. (Ⅱ) 设1l 为()y k x m =-，联立方程得到21222212242122

21k m

x x k k m x x k ?+=??+?-?=?+?

，计算AB =，

同理CD =AB CD =得到22m n =，得到证明.

(Ⅲ) 设AB 中点为(),P a b ，根据点差法得到20a kb +=，同理20c kd +=，故11

2PQ k k k

=-≠-，得到结论.

【详解】(Ⅰ)()1,0M -，()1,0N

，故1,

2A ?- ??

，1,2B ?-- ?

?

，1,2C ?? ? ???

，1,2D ?- ??. 故四边形ABCD

的面积为S =(Ⅱ)设1l 为()y k x m =-，则()2

212x y y k x m ?+=???=-?

，故()22222

214220k x k mx m k +-+-=，

设()11,A x y ，()22,B x y ，故212222

122421

2221k m x x k k m x x k ?+=??+?-?=?+?，

12AB x =-==

同理可得CD =，

AB CD =

=，即22m n =，m n ≠，故0m n +=.

(Ⅲ)设AB 中点为(),P a b ，则2

21

112x y +=，222212

x y +=，

相减得到

()()()()1212121202

x x x x y y y y +-+

+-=，即20a kb +=，

同理可得：CD 的中点(),Q c d ，满足20c kd +=， 故11

222PQ d b d b k c a kd kb k k

--=

==-≠---+，故四边形ABCD 不能为矩形. 【点睛】本题考查了椭圆内四边形的面积，形状，根据四边形形状求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

3.（2020丰台一模）已知椭圆C ：22221y x a b +=（0a b

>>）的离心率为2

，点()1,0P 在椭圆C 上，

直线0y y =与椭圆C 交于不同的两点A ，B. （1）求椭圆C 的方程；

（2）直线PA ，PB 分别交y 轴于M ，N 两点，问：x 轴上是否存在点Q ，使得2

OQN OQM π

∠+∠=？若

存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）2

212

y x +=（

2）存在；点()

Q

【分析】（1）根据椭圆的基本性质列出方程组，求解即可； （2）假设存在点Q 使得2

OQN OQM π

∠+∠=

，根据几何关系得出tan tan OQN OMQ ∠=∠，进而得到