分式的基本性质
初中数学《分式的基本性质》教案
初中数学《分式的基本性质》教案一、教学内容本节课选自初中数学教材第九章第二节，主要详细讲解分式的基本性质。
内容包括分式的定义、分式的基本性质、分式的简化以及分式在生活中的应用等。
二、教学目标1. 理解并掌握分式的定义，能够识别并运用分式的基本性质。
2. 学会简化分式，并能运用简化后的分式解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力，激发学生对数学学习的兴趣。
三、教学难点与重点教学难点：分式的基本性质的理解与应用。
教学重点：分式的定义、简化分式的方法以及分式的实际应用。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、教学课件。
2. 学具：学生用书、练习本、计算器。
五、教学过程1. 实践情景引入利用生活中的例子（如水果分配、时间计算等）引出分式的概念。
2. 知识讲解（1）分式的定义：讲解分式的构成，分子、分母、分数线等。
（2）分式的基本性质：讲解分式的分子分母同乘（除）一个不等于0的数，分式的值不变。
（3）简化分式：讲解如何将分式简化，并举例说明。
3. 例题讲解结合教材例题，详细讲解分式的简化过程。
4. 随堂练习（1）让学生独立完成练习题，巩固分式的简化方法。
（2）小组讨论，解决实际问题，培养学生的合作意识。
5. 课堂小结六、板书设计1. 分式的定义2. 分式的基本性质3. 简化分式的步骤4. 例题及解答七、作业设计1. 作业题目2x^2 / 4x, (x+1)^2 / (x+1), 6x^3 / 3x^2（2）运用分式的性质，解决实际问题。
2. 答案（1）简化后的分式分别为：x / 2, x+1, 2x（2）实际问题答案根据具体情况而定。
八、课后反思及拓展延伸2. 拓展延伸：引导学生探索分式在生活中的其他应用，提高学生的创新意识和应用能力。
重点和难点解析1. 分式的基本性质的理解与应用。
2. 简化分式的方法。
3. 实际问题的解决。
4. 板书设计。
5. 作业设计与答案。
一、分式的基本性质的理解与应用分式的分子分母同乘（除）一个不等于0的数，分式的值不变。
分式的基本性质
在研究溶液的酸碱度时，分式经常被用来表示氢离子浓度和溶液的酸碱度之间的关系，帮 助我们更好地理解溶液的酸碱性质。
在数学中的应用
极限
在研究函数的极限时，分式经常被用 来表示函数的极限值和自变量之间的 关系，帮助我们更好地理解函数的极 限概念和性质。
导数
在研究函数的导数时，分式经常被用 来表示函数的导数值和自变量之间的 关系，帮助我们更好地理解函数的导 数概念和性质。
分式与分数的转换方法
将分式转换为分数
将分式的分子和分母分别表示为两个整数的比值，然后将它们转换为分数。
将分数转换为分式
将分数中的分子和分母分别表示为两个整数的比值，然后将它们转换为分式。
分式与分数的运算关系
加减法
分式与分数的加减法运算需要将 分母相同的分式进行合并，然后 将分子相加减。
乘法
分式与分数的乘法运算需要将分 子与分子相乘，分母与分母相乘 ，然后将结果相乘。
2023
分式的基本性质
目 录
• 分式概念 • 分式的基本性质 • 分式的特殊情况 • 分式与分数的关系 • 分式的实际应用
01
分式概念
分式的定义
定义
分式是不同于整式的另一种代数 形式，通常由一个分母和一个或 多个分子组成。分母通常是一个 整式，分子可以是整式或多项式 。
数学符号表示
一般用"f(x)/g(x)"表示一个分式 ，其中f(x)是分子，g(x)是分母。
简单分式与复合分式
根据分式的结构，将分式分为简单分式和复合分式。简单分式是指分子和分母没有公因式的分式；复合分式是指分子和分 母有公因式的分式。
分式的作用与意义
描述关系
分式常用于描述两个量之间的比例关系，这种关系在科学、工 程、经济和其他领域中非常重要。
分式的基本性质
根据分式的基本性质，可以得到：
a a b b
a a b b
这就是说，分子与分母同时改变符号，分式的值不变。
根据有数的除法法则，我们知道：
2 2 3 3
分式也有类似法则：
2 2 3 3
a a b b
a a b b
这就是说，只改变分子（或分母）的符号，分子本身的符号也要改 变，分式的值才不变。
x y （3） （4） ax 5 y ( x y) bx
分析：分子或分母符号的改变相当于分子与分母的商的符号的改变，可通过改 变分式本身的符号，使分式的值不变。当分子或分母是多项式时，应改变整个 分子或分母的符号，而不是仅仅变第一项的符号。
例题2 不改变分式的值，把下列分式 的分子与分母的各项系数都化为整数：
（1）
x x2 4
（2）
x 1 1 x x2
分析：要使分式的分子与分母的最高次项的系数为正数，一般先将分子，分母 的多项式按降幂排列，如果分子，分母的首项是负数，那么就提出负号，然后 按符号法则运算。
（1）2 a
2 a b 3 2 b 3
（2） 0.01x 0.5 0.3 x 0.04
分析：要把分子，分母的各项系数都化为整数，首先要求出分子，分母中所有 分数的分母的最小公倍数，然后根据分式的基本性质，将分子，分母同乘以这 个最小公倍数。
例题3 不改变分式的值，使下列分式的 分子与分母的最高次项的系数都为正数：
①分子与分母同时改变符号， 分式的值不变。 ②只改变分子（或分母）的 符号，分子本身的符号也要 改变，分式的值才不变。
概括：分子，分母与分式本身 的符号，改变其中任何两个， 分式的值不变。
分式的基本性质
解分式方程 $\frac{x}{2} - \frac{3x}{4} = 1$
解
将方程两边同时乘以4，得 $2x + 3 = 7$，解得 $x = 2$。
解
将方程两边同时乘以4，得 $2x - 3x = 4$，解得程的步骤 • 整理方程：将方程中的分式转化为整式，通过通分、约分等方式简化方程。 • 确定未知数的值或取值范围：根据简化后的方程，确定未知数的值或取值范围。 • 检验：将求得的未知数的值代入原方程进行检验，确保方程的根的正确性。 • 注意事项 • 在解分式方程时，需要注意方程的化简和约分，避免出现计算错误。 • 在求出未知数的值或取值范围后，需要进行检验，确保根的正确性。 • 当方程的根的个数多于1个时，需要注意解的取舍，确保得到正确的解。
分式除法是指一个分式除以另一 个分式。在进行分式除法时，需 要将除数的分子和分母颠倒，然 后将颠倒后的除数与被除数相乘 。
分式的运算性质应用举例
求解分式方程
通过使用代入消元法或加减消元法，可以将分式方程转化为整式方程，从而求解出未知数的值。
简化分式
通过使用分式的加法、减法、乘法和除法，可以将一个复杂的分式简化成一个简单的分式。
分数的定义可以扩展到复数范围， 但在高中数学中通常只涉及有理数 分式的讨论。
分式的形式
1 2
最简分式
分子和分母没有公共因子，且分子和分母的最 高次数相同。
真分式
分子和分母都是多项式，且分子和分母的次数 不同。
3
假分式
分子和分母的次数相同，或分子和分母有公共 因子。
分式的基本性质
分式的值不等于零
分式的值是分子与分母相除的结果，当分母为零时，分式 的值不存在，即分式不等于零。
《分式的基本性质》 知识清单
《分式的基本性质》知识清单一、分式的概念如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 A/B 就叫做分式。
其中 A 叫做分子，B 叫做分母。
需要注意的是，分母 B 的值不能为 0，因为分母为 0 时，分式无意义。
例如：1/x ，（x ＋ 1）／（x 2）都是分式，而 1/2 就不是分式，因为它的分母 2 不含字母。
二、分式有意义、无意义和值为 0 的条件1、分式有意义的条件：分母不为 0。
即当B ≠ 0 时，分式 A/B 有意义。
例如：对于分式 1/（x 1)，当x 1 ≠ 0，即x ≠ 1 时，分式有意义。
2、分式无意义的条件：分母为 0。
即当 B ＝ 0 时，分式 A/B 无意义。
比如：对于分式 2/（x ＋ 3)，当 x ＋ 3 ＝ 0，即 x ＝－3 时，分式无意义。
3、分式值为 0 的条件：分子为 0 且分母不为 0。
即当 A ＝ 0 且B ≠ 0 时，分式 A/B 的值为 0。
举例来说，若分式（x 2）／（x ＋ 5）的值为 0，则 x 2 ＝ 0 且 x＋5 ≠ 0，解得 x ＝ 2。
三、分式的基本性质分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于 0 的整式，分式的值不变。
用式子表示为：A/B ＝ A×C/B×C ，A/B ＝ A÷C/B÷C （C ≠ 0）例如：分式2/3 ，分子分母同时乘以5 得到10/15 ，分式的值不变。
又如：分式 10/15 ，分子分母同时除以 5 又变回 2/3 。
四、约分1、定义：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
2、约分的关键：确定分子与分母的公因式。
公因式的确定方法：（1）系数：取分子和分母系数的最大公因数。
（2）字母：取分子和分母相同字母的最低次幂。
例如：对于分式 8x/12x²，系数的最大公因数是 4，相同字母 x 的最低次幂是 x，所以公因式是 4x ，约分后得到 2/3x 。
分式的基本性质(约分)
10 x + 1) （ 原式 = ( x + 1)( x − 1)
10 = x −1
经讨论可知： 可为 可为2、 、 、 经讨论可知：x可为 、3、6、11分
作 业：
第9页：6
2
公分母8a 公分母 2b2
(3)
− 15(a + b ) 5(a + b) ⋅ 3(a + b) 3(a + b) 3a + 3b = = = − 25(a + b ) 5(a + b) ⋅ 5 5 5
公分母 5（a+b） （ ）
化简下列分式(约分 化简下列分式 约分) 约分
x + 2x +1 (4) x2 + x
2
约分的步骤
（1）约去系数的最 ） 大公约数 （2）约去分子分母 ） 相同因式的最低次幂
=
( x + 1) x( x + 1)
2
=
x +1 x
在约分化简时同学甲和同学 乙出现了分歧 同学甲
5xy 5xy 1 同学乙 = = 2 20x y 4x ⋅ 5xy 4x
你更认同哪个同学的解法呢？为什么？ 你更认同哪个同学的解法呢？为什么？
例题讲解2: 约分练习 例题讲解
− 8ab c − 4ab × (2bc) = 1、 = 2 − 4ab × (3a ) − 12a b
2
a 2、
+ 4a + 4 − a2 + 4 (a + 2)2 = 2 − (a − 4)
2
2 bc 3a
友情提示:约分时 分 友情提示 约分时,分 约分时 子或分母若是多项式, 子或分母若是多项式 能分解则必须先进行 因式分解. 因式分解
分式的基本性质与运算
分式的基本性质与运算1. 分式的基本性质分式是数学中一种特殊的表示形式，由分子和分母组成，分子与分母之间用分数线分隔。
分式在代数运算中有着重要的地位，它具备以下基本性质：1.1. 分式的定义域分式的定义域是指使分式中的分母不为零的实数集合。
因为在分式运算中，分母为零的情况是不合法的，会导致分式无法计算。
所以在定义分式运算时，需要排除分母为零的情况。
1.2. 分式的约束条件分式的约束条件是指对分子和分母的进行约束，使分式保持在最简形式。
一个约束条件是分子与分母的最大公约数为1，即分子和分母没有共同的因子。
另一个约束条件是分式的分子没有负号，而负号只出现在分式的整体前面。
1.3. 分式的唯一性分式在满足定义域和约束条件的前提下，具备唯一性。
即给定一个分式，它的分子和分母确定后，分式的值也就确定了。
这个性质在分式的运算中是非常重要的，保证了分式的计算结果是确定的。
2. 分式的运算分式的运算包括加法、减法、乘法和除法四种基本运算。
下面分别对这四种运算进行讨论。
2.1. 分式的加法两个分式的加法可以通过通分的方式来实现。
通分是指使两个分式的分母相同，然后将它们的分子相加。
通分的方法是将两个分式的分母取最小公倍数，然后分别将分子乘以相应的倍数。
最后得到的分式就是它们的和。
2.2. 分式的减法分式的减法与加法类似，也可以通过通分来实现。
通分的方法与加法相同，只是将分子相减而不是相加。
最后得到的分式就是它们的差。
2.3. 分式的乘法分式的乘法可以通过将两个分式的分子相乘，分母相乘来实现。
最后得到的分式就是它们的乘积。
2.4. 分式的除法分式的除法可以通过将一个分式的分子乘以另一个分式的倒数来实现。
倒数是指将分子和分母交换位置得到的新的分式。
最后得到的分式就是它们的商。
3. 分式的简化与展开在分式的运算中，有时需要将分式进行简化来得到最简形式。
分式的简化可以通过约分来实现，即将分子和分母同时除以它们的最大公约数。
《分式的基本性质》 知识清单
《分式的基本性质》知识清单一、分式的概念形如\（＼frac{A}｛B}＼）（＼（A\）、＼（B\）是整式，且\（B\）中含有字母，＼（B≠0\））的式子叫做分式。
其中\（A\）叫做分子，＼（B\）叫做分母。
例如：＼（＼frac{x}｛y}＼），＼（＼frac{1}｛x ＋ 2}＼），＼（＼frac{m 1}｛m^2 ＋ 1}＼）等都是分式。
需要注意的是：1、分式的分母中必须含有字母。
2、分母的值不能为零，否则分式无意义。
二、分式有意义的条件分式有意义的条件是分母不为零。
例如，对于分式\（＼frac{x}｛y}＼），当\（y≠0\）时，分式有意义。
对于分式\（＼frac{1}｛x ＋ 2}＼），当\（x ＋2≠0\），即\（x≠ 2\）时，分式有意义。
三、分式的值为零的条件分式的值为零，需要同时满足两个条件：1、分子为零。
2、分母不为零。
例如，对于分式\（＼frac{x 1}｛x ＋ 1}＼），当\（x 1 ＝ 0\）且\（x ＋1≠0\）时，分式的值为零。
解得\（x ＝ 1\）。
四、分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于\（0\）的整式，分式的值不变。
用式子表示为：＼（＼frac{A}｛B} ＝＼frac{A×C}｛B×C}＼），＼（＼frac{A}｛B} ＝＼frac{A÷C}｛B÷C}＼）（＼（C≠0\））例如：＼（＼frac{x}｛y} ＝＼frac{x×2}｛y×2} ＝＼frac{2x}｛2y}＼）五、约分约分是把一个分式的分子与分母的公因式约去。
约分的关键是确定分子和分母的公因式。
找公因式的方法：1、系数：取分子和分母系数的最大公因数。
2、字母：取相同字母的最低次幂。
例如：对分式\（＼frac{6xy}｛9x^2}＼）进行约分。
先确定系数的最大公因数为\（3\），字母\（x\）的最低次幂为\（1\），＼（y\）的最低次幂为\（1\）。
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分式的基本性质
学习目标：
1.理解分式的基本性质。
2.了解运用分式的基本性质进行分式的变形。
3.通过类比分数的基本性质，探索分式的基本性质，初步掌握类比的思想方法。
4.通过研究解决问题的过程，培养学生合作交流意识与探究精神
重点：理解分式的基本性质。
难点：运用分式的基本性质进行分式化简
一．课前预习：
活动1 复习分数的基本性质
1. 观察下列等式的右边是怎样从左边得到的？你能用分数的基本性质解释吗?
（1）等式63=2
1的右边是怎样从左边得到的？（ ） （2） 等式52=15
6--的右边是怎样从左边得到的？（ ）
2.分数的基本性质是什么？需要注意的是什么？
类比分数的基本性质，你能猜想出分式有什么性质？
分数的基本性质是______________________________________
______________________________________________
活动2 类比得到分式的基本性质
1.若a 、x 、y 都是不为0的数，将
x 1的分子与分母都乘以y ，得到xy
y 2.分式x 1与xy y 相等吗？ 3.将分式
ax x 2的分子与分母都除以x ，得到a 2，分式ax x 2与a
2相等吗？ 4.如何用语言和式子表示分式的基本性质？
分式的基本性质是______________________________________
___________________________________________（ 请用“不同颜色”画出你认为的关键词.） 用式子表示是B A =())(••B A ； B A =)()(÷÷B A （其中M 是____________的整式）。
（2）应用分式的基本性质时需要注意什么？
活动3：合作探究
1.下列各式相等吗？为什么？
（1）xy x 2 = )(2xy ； （2）ab b a + =)()(b a ab +
【思考】 观察两个等式的分母是怎样由左边变换到右边的？解答这类分母变换，求分子怎样变换的题的一般方法是什么？
（3）
)(h =a h --； （4）x a 712=)(a 36 .
【思考】 观察两个等式的分子是怎样由右边变换到左边的？由左边变换到右边的？解答这类分子变换，求分母怎样变换的题的一般方法是什么？
二．预习检测
在下面的括号内填上适当的整式，使等式成立。
（1）)(2
16ax =x a （2）1
12-+x x =)(1 （3）
q p 102=)(aq
5 三．活动4：探究分式的分子、分母及分式本身的符号的变号规律
1.不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“－”号。
A 组（1）a
b 65--； （2）y x 942--
归纳总结：（1） 当分子、分母都含有负号时，分子、分母应同____________,使分式的值不变，且分子分母都不含负号。
与同学交流自己的发现）
B 组（1）
n m -2 （1） b
a 2-
归纳：当分子或分母含有负号时，利用分式的基本性质及有关法则，把分子或分母的符号变为___________的符号。
（与同学交流自己的发现）
C 组
不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数：
（1）
21x x -； （2）3
22+--x x .
归纳：当分式的分子与分母的最高次项的系数是负数时，利用分式的基本性质及有关法则，
活动5：约分
1）4322016xy y x -； （2）4
4422+--x x x
归纳：
四．课堂小结：
五．课堂检测
1 .不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“—”号：
（1）y x
3-； （2）n m
-2.
2.填空
22222-=-+=+x x x x y x x xy x b a a b a b
a a
b b
a 2222=-=+
六．学有余力
1．如果把分式x y
x 32-中的正数y x ,都扩大到原来的2倍，那么分式的值（
）
A 、不变
B 、扩大到原来的2倍
C 、缩小到原来的21
D 、缩小到原来的41
归纳：
2.不改变分式的值，将
y x y x 02.05.03.01.0-+的分子、分母中各项的系数都化为整数
归纳： 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。