高三数学上学期期中试题文

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11-12学年高三上学期期中考试数学文科

2011-2012学年第一学期半期考试卷高三数学（文科）（满分：150分，时间：120分钟）说明：试卷分第1卷和第2卷，请将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷。

第1卷共60分一、选择题：（每小题5分，共60分；在给出的A 、B 、C 、D 四个选项中，只有一项符合题目要求）1．设复数1z bi =+()b R ∈且||2z =，则复数的虚部为（***）A ．i ± B． C ．1± D．2.若,,,,a b c d R ∈且,a b c d >>，则下列结论正确的是（***） A ．22ac bc > B.ac bd > C.11a b< D.a c b d +>+ 3.曲线23-+=x x y 上点0P 处的切线斜率为4，则点0P 的一个坐标是（***） A ．（0，-2） B. (1, 1) C. (-1, －4) D. (1, 4) 4．定义在R 上的偶函数满足：对任意12,[0,)x x ∈+∞，且12x x ≠都有1212()()0f x f x x x ->-，则（***）A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-5．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是(*** )6．已知x 的不等式0x b ->的解集是（1,+∞），则关于x 的不等式()(2)0x b x +->的解集是（***）A ．(,1)(2,)-∞-+∞B ．（—1，2）C ．（1，2）D ．(,1)(2,)-∞+∞7.设向量a ,b满足a = ,(2,1)b = ，则 “(4,2)a =”是 “a ∥b ”成立的(***). Ａ.充要条件Ｂ.必要不充分条件Ｃ.充分不必要条件Ｄ.不充分也不必要条件8.已知命题:p “[]0,1,x x a e ∀∈≥”，命题:q “2,40x R x x a ∃∈-+=”，若命题,p q 均是真命题，则实数a 的取值范围是(***)A ．[4,)+∞ B.[1,4] C ．[,4]e D ．(,1]-∞命题人：宋瑛审核人：江泽sA ．sss B ．C ．D ．9．已知πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭7πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（***）A ．25-B ．25C．5-D．510.在ABC ∆中, 1AB =,2BC =，E 为AC 的中点 ,则()BE BA BC ∙-=( ***)Ａ．3 Ｂ．32 Ｃ．-3 Ｄ．32-11．设l m n 、、为不同的直线，αβ、为不同的平面，有如下四个命题： ①若α∥,l βα⊂，则l ∥β ②若,,m n αβ⊂⊂且α∥β则m ∥n ③若,l m m n ⊥⊥，则l ∥n ④若,l n αβ= ∥,n β∥α，则n ∥l 其中正确的命题个数是（***）A ．1B ．2C ． 3D ．412.设函数()()2,,f x ax bx c a b c R =++∈，若1x =-为函数()()x g x f x e =的一个极值点，则下列图像不．可能为()y f x =的图像是(***)A ．B ．C ．D ．第2卷共90分二、填空题（每小题4分，共16分）13．已知等差数列{}n a 中，19920a a +=，则50208012a a a ++= *** .14.若某多面体的三视图（单位：cm ）如下图所示，则此多面体的体积是 *** cm 3.15.已知向量a =(2,1),x -b =(1,)y ,若a⊥b ，则33x y +的最小值为 *** .16.已知数列{}n a 的递推公式*2,),n n n n a N a n ⎧⎪=∈⎨⎪⎩为奇数（n 为偶数，则2425a a += *** ；数列{}n a 中第8个5是该数列的第 *** 项.俯视侧视正视 1 160 ABC东南西北 α三、解答题：（本大题共6题，满分74分） 17．（本小题满分12分）下图是某简谐运动的一段图像，它的函数模型是()sin()f x A x ωϕ=+（0x ≥），其中0>A ，0>ω，22πϕπ<<-.（Ⅰ）根据图像求函数()y f x =的解析式；（Ⅱ）将函数()y f x =图像上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求函数()y g x =在[,]2ππ上的最大值和最小值.18．（本小题满分12分）已知各项为正数的数列{}n a 的前n 项和为{}n S ,首项为1a ,且2,n a ,n S 成等差数列, （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若2log ,n n n n n b b a c a ==，求数列{}n c 的前n 项和n T .19.（本小题满分12分）如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60 方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．（Ⅰ）求渔船甲的速度；（Ⅱ）求sin α的值． 20.（本小题共12分）如图，在四面体PABC 中，PC ⊥AB ，PA ⊥BC,点D,E,F,G 分别是棱AP,AC,BC,PB 的中点. （Ⅰ）求证：DE ∥平面BCP ；（Ⅱ）求证：四边形EFGD 为矩形；（Ⅲ）是否存在点Q ，到四面体PABC 六条棱的中点的距离相等？说明理由.21．（本小题满分12分）已知函数321()1,3f x x ax bx =+-+（,,x R a b ∈为实数）（Ⅰ）若1x =是函数()f x 的零点，求证：函数()f x 不．是单调函数；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[1,2]-上是单调减函数，求a b +的最小值. 22．（本小题满分14分）已知函数()ln 1af x x x=+-(a 是常数)，（Ⅰ）讨论()f x 的单调区间;（Ⅱ）当1a =时,方程()f x m =在∈x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1上有两解，求m 的取值范围；()71828.2≈e(Ⅲ)求证: 1ln 1n n n>-1(>n ，且)*N n ∈.2011-2012学年第一学期半期考试卷答案高三数学（文科）DDCBA ACCAD BD13. 25 14. 7 15. 6 16. 28; 64017．本题考查三角函数的图像和性质、图像的平移伸缩等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查方程与函数、数形结合数学思想方法．满分12分解：（Ⅰ）由函数图象及函数模型()sin()f x A x ωϕ=+知2A =；由213433T ππππω==-=，得12ω=由最高点4(2)3π，得，142232k ππϕπ⨯+=+，26k πϕπ∴=-+，又22πϕπ<<-，6πϕ∴=-∴所求函数解析式为()1()2sin()026y f x x x π==-≥（Ⅱ）解法一：将)621sin(2)(π-==x x f y 图象上各点的横坐标缩短到原来的21倍，纵坐标不变，得到)6sin(2)(π-==x x g y∵ππ≤≤x 2，∴6563πππ≤-≤x ，当26ππ=-x ，即32π=x 时，()g x 有最大值2；当656ππ=-x ，即π=x 时，()g x 有最小值1解法二：将)621sin(2)(π-==x x f y 图象上各点的横坐标缩短到原来的21倍，纵坐标不变，得到)6sin(2)(π-==x x g y令6t x π=-，∵函数2sin y t =的单调递增区间是[2,2]22k k ππππ-++，Z k ∈，由πππππk x k 22622+≤-≤+-，得ππππk x k 23223+≤≤+-，Z k ∈，设A =],2[ππ，},23223|{Z k k x k x B ∈+≤≤+-=ππππ，则A B = ]32,2[ππ， ∴函数()y g x =在区间]32,2[ππ上单调递增同理可得，函数()y g x =在区间],32[ππ上单调递减又∵3)2(=πg ，2)32(=πg ，1)(=πg ，60AB C东南西北 α ∴函数()y g x =在],2[ππ上的最大值为2，最小值为118．（Ⅰ）解：22n n a S =+ ---① 1122(2)n n a S n --∴=+≥----② ①-②得12n n a a -=,又111222a S a =+⇒= ,2n n a ∴=（Ⅱ）解:2n n n C =,用错位相减法得: 23123.....2222nnnT =++++-------① 23411123 (22222)n n nT +=++++-------②由①-② 得 222n n nT +=-19. 解：（1）依题意，120BAC ∠= ，12AB =，10220AC =⨯=，BCA α∠=．在△ABC 中，由余弦定理，得2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⨯⨯∠ 22122021220cos120784=+-⨯⨯⨯= ．解得28BC =．所以渔船甲的速度为142BC=海里/小时．答：渔船甲的速度为14海里/小时．（2）在△ABC 中，因为12AB =，120BAC ∠= ，28BC =，BCA α∠=，由正弦定理，得sin sin120AB BC α=；即12sin1202sin 2814AB BC α===．答：sin α．20.（共12分）证明：（Ⅰ）因为D ，E 分别为AP ，AC 的中点，所以DE//PC 。

2025届济宁市高三数学上学期期中质量检测试卷及答案解析

2024～2025学年度第一学期期中教学质量检测高三数学试题2024.11本试卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的考场、座号、姓名、班级填（涂）写在答题卡上，将条形码粘贴在“贴条形码区”．2．做选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号．3．非选择题须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡中各题目指定的区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．否则，该答题无效．4．考生必须保持答题卡的整洁；书写要求字体工整，符号规范，笔迹清楚．一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{P x y ==，{Q y y ==，则()R P Q =I ð（）A. ÆB. [)1,+¥C. (),0-¥ D. (],1-¥-【答案】D 【解析】【分析】首先根据偶次方根的被开方数非负求出集合P ，再求出集合Q ，最后根据集合的运算法则计算可得.【详解】由y =可得210x -³，解得1x ³或1x £-，所以{(][),11,P x y ¥¥===--È+，又210x -³，则0y =³，所以{[)0,Q y y ¥===+，所以()R ,0Q =-¥ð，所以()(]R ,1P Q =-¥-I ð.故选：D2. 若复数12i=-z （i 为虚数单位），则z =（）A.21i 55- B.21i 55+ C.33i 55- D.33i 55+【答案】A 【解析】【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用共轭复数的定义可得结果.【详解】因为()()12221222555z ++====+--+i i i i i i ，故21i 55z =-，故选:A3. 已知角a 的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点()1,2--，则tan 2a =（）A.34B.43C. 34-D. 43-【答案】D 【解析】【分析】利用三角函数定义求解tan a ，使用二倍角公式求解tan 2a .【详解】由三角函数的定义有：2tan 21a -==-，所以22tan 44tan 21tan 33a a a ===---；故选：D .4. 已知函数()f x 的定义域为R ，满足()()()2024f x y f x f y +-+=éùëû，则下列说法正确的是（）A. ()f x 是偶函数 B. ()f x 是奇函数C. ()2024f x +是奇函数 D. ()2024f x +是偶函数【答案】C 【解析】【分析】根据抽象函数，利用奇偶函数的性质直接判断即可.【详解】因为()()()2024f x y f x f y +-+=éùëû，所以令0x y ==，可得()02024f =-，令y x =-，则()()()02024f f x f x ---=，所以()()4048f x f x -=--，则()f x 既不是奇函数又不是偶函数，且()()20242024f x f x -+=-+éùëû，所以()2024f x +是奇函数.故选：C5. 向量()1,2a =r ，()1,1b =-r ，则a r 在b r上的投影向量是（）A.B. C. 11,22æö-ç÷èøD. 12,55æö--ç÷èø【答案】C 【解析】【分析】根据投影向量的定义计算得解.【详解】由题意可知，a r在b r 上的投影向量为：()1111,1,222a b b bb ×æö=-=-ç÷èør r r rr .故选：C .6. 已知函数()21,11,11x x f x x x ì-£ï=í>ï-î，则()()3f f =（）A. 8B. 34-C. 109-D.12【答案】B 【解析】【分析】利用分段函数求值.【详解】因为函数()21,11,11x x f x x x ì-£ï=í>ï-î，所以()113312f ==-，即()()211331224f f f æöæö==-=-ç÷ç÷èøèø，故选：B.7. 已知πcos 5a =，πsin 4b =，3log 2c =，则（）A. b a c <<B. b c a<< C. c a b<< D. c b a<<【答案】D【解析】【分析】根据余弦函数单调性可判断,a b 的大小关系，利用2332>可得3232>>可得,b c 的大小关系，即可得答案.【详解】因为ππ54<，故πππcos cos sin 544>=，即s π4c s πo 5in a b ==>，又2332>，即3232>>333log 3log >\>，即3312,log 2>>，即3l πsin 4og 2b c ==>，故选：D8. 如图，在ABC V中，AC =，AB =，90A Ð=°，若PQ 为圆心为A 的单位圆的一条动直径，则BP CQ ×uuu r uuu r的最大值是（）A. 2B. 4C.D.1【答案】A 【解析】【分析】以A 为坐标原点，,AB AC uuu r uuu r的方向分别为x 轴、y 轴，建立坐标系，设(cos ,sin ),[0,2π)P q q q Î，则(cos ,sin )Q q q --，利用向量的坐标运算及三角恒等变换求解即可.【详解】解：以A 为坐标原点，,AB AC uuu r uuu r的方向分别为x 轴、y 轴，如图所示：则(0,0),A B C ，设(cos ,sin ),[0,2π)P q q q Î，则(cos ,sin )Q q q --，的所以(cos ),(cos ,sin BP CQ q q q q ==---uuu r uuu r，所以cos (cos sin (sin BP CQ q q q q ×=-+-uuu r uuu r1q q =-3sin()1q j =+-，其中tan j =j 为第二象限角)，所以当sin()1q j +=时，3sin()1q j +-取最大值，为2.即BP CQ ×uuu r uuu r的最大值为2.故选：A.【点睛】关键点睛：本题的关键是建立坐标系，利用向量的坐标运算求解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 下列说法正确的是（）A. 命题“x "ÎR ，210x x ++>”的否定形式是“x $ÎR ，210x x ++£”B. 当()0,πx Î时，4sin sin y x x=+的最小值为4C. tan 25tan 20tan 25tan 201°+°+°°=D. “ππ4k q =±（k ÎZ ）”是“π4k q =（k ÎZ ）”的必要不充分条件【答案】AC 【解析】【分析】写出命题“x "ÎR ，210x x ++>”的否定形式判断选项A ；求得当()0,πx Î时，4sin sin y x x=+的最小值判断选项B ；求得tan 25tan 20tan 25tan 20°+°+°°的值判断选项C ；求得“ππ4k q =±（k ÎZ ）”与“π4k q =（k ÎZ ）”的逻辑关系判断选项D.【详解】选项A ：命题“x "ÎR ，210x x ++>”的否定形式是“x $ÎR ，210x x ++£”判断正确；选项B ：当()0,πx Î时，(]sin 0,1x Î，令sin x t =，则4y t t=+在(]0,1单调递减，最小值为5，则当()0,πx Î时，4sin sin y x x=+的最小值为5.判断错误；选项C ：由tan 25tan 201tan 451tan 25tan 20°+°=°=-°°，可得tan 25tan 20tan 25tan 201°+°+°°=.判断正确；选项D ：π4k q =（k ÎZ ），可化为ππ4n q =-或πn q =或ππ4n q =+或ππ2n q =+（n ÎZ ），故“ππ4k q =±（k ÎZ ）”是“π4k q =（k ÎZ ）”的充分不必要条件.判断错误.故选：AC10. 已知函数()cos f x x x =+，则（）A. 函数()f x 在π2,6π3éùêúëû上单调递减B. 函数()f x 的图象关于点5π,06æöç÷èø对称C. 函数()f x 的图象向左平移m （0m >）个单位长度后，所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是π3D. 若实数m 使得方程()f x m =在[]0,2π上恰好有三个实数解1x ，2x ，3x ，则1238π3x x x ++=【答案】BCD 【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数，根据三角函数的单调性、对称性、奇偶性以及图像问题逐个选项判断即可.【详解】()1πcos 2cos 2sin 26f x x x x x x öæö=+=+=+÷ç÷÷èøø，对于A ，令π2π,63x éùÎêúëû，则ππ5π,636x éù+Îêúëû，所以对于函数sin y x =，π5π,36x éùÎêúëû时，有增有减，A 错；令5π6x =，则5π5ππ2sin 0666f æöæö=+=ç÷ç÷èøèø，B 正确；对于C ，平移后，得π2sin 6y x m æö=++ç÷èø，若图象关于y 轴对称，则πππ,Z 62m k k +=+Î，ππ,Z 3m k k =+Î，C 正确；因为[]0,2πx Î，作出()f x 图像如下图所示，由()f x 与y m =有且只有三个交点，所以32πx =，又因为()2f x =时π3x =，且12,x x 关于直线π3x =对称，所以123π8π22π33x x x ++=´+=，D 正确.故选：BCD11. 设数列{}n a 前n 项和为n S ，满足()()214100n n a S -=-，*N n Î且10a >，10n n a a -+¹（2n ³），则下列选项正确的是（）A. 223n a n =-B. 数列n S n ìüíýîþ为等差数列C. 当10n =时，n S 有最大值D. 设12n n n n b a a a ++=，则当8n =或10n =时，数列{}n b 的前n 项和取最大值【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，由n a 和n S 的关系，求出数列{a n }的通项公式，进行判定；对于B ，由等差数列求和公式求出n S ，由定义判断n S n ìüíýîþ是否为等差数列；对于C ，借助二次函数性质判定；对于D ，由n a 的正负判定12n n n n b a a a ++=正负，即可判定最值.【详解】对于A ，当1n =时，()()21114100a a -=-，解得119a =或121a =-，因为10a >，所以119a =，当2n ³时，由()()214100n n a S -=-，*N n Î得()()21114100n n a S ---=-，*N n Î，所以()()()()22111141004100n n n n a a S S -----=---，整理得()()1120n n n n a a a a --+-+=，因为10n n a a ->+，所以120n n a a --+=，即12n n a a --=-，所以数列{a n }是首项为19，公差为2-的等差数列，所以()()1912221n a n n =+-´-=-+，故A 错误；对于B ，由A 可知，()()21192202n n n S n n n -=+´-=-+，所以22020n S n n n n n-+==-+，所以()()11202011n nS S n n n n+-=-++--+=-+，所以数列n S n ìüíýîþ是首项为19，公差为1-的等差数列，故B 正确；对于C ，因为()222010100n S n n n =-+=--+，*N n Î，所以当10n =时，n S 取得最大值，故C 正确；对于D ，由2210n a n =-+>，得*10N 1n n ££Î，，由2210n a n =-+<，得*N 11n n ³Î，，所以当*1,N 8n n ££Î时，120n n n n b a a a ++=>，当9n =时，9910110b a a a =<，当10n =时，101011120b a a a =>，当*11,N n n ³Î时，120nn n n b a a a ++=<，因为()9910113113b a a a ==´´-=-，()()101133b =´-´-=，所以当8n =或10n =时，数列{b n }的前n 项和取最大值.故D 正确.故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知a ，b 都是正数，且230a b ab +-=，则a b +的最小值为______．【答案】1【解析】【分析】由题意可得213b a+=，从而得12(3)3a ba b b a +=++，利用基本不等式求解即可.【详解】解：因为a ，b 都是正数，且230a b ab +-=，所以213b a+=，所以1211211()()(3(3(313333a b a b a b b a b a +=++=++³+=+=+，当且仅当2a bb a=，即b =时，等号成立，将b =，代入230a b ab +-=，得a b ==时，等号成立.故答案为：1+13. 已知函数()21ln 22xf x x ax =-+在区间()2,+¥上没有零点，则实数a 的取值范围是______．【答案】[)2,-+¥【解析】【分析】根据题意转化为()21ln 022x f x x ax =-+>在区间()2,¥+上恒成立，得到ln22xa x x>-在区间()2,¥+上恒成立，设()ln2,22x g x x x x =->，利用导数求得函数的单调性和最值，即可求解.【详解】因为函数()21ln 22x f x x ax =-+在区间()2,¥+上没有零点，且x 趋向正无穷时，()f x 趋向正无穷，所以()21ln 022xf x x ax =-+>在区间()2,¥+上恒成立，所以ln22xa xx>-在区间()2,¥+上恒成立，设()ln2,22x g x x x x =->，可得2221ln 1ln 222()122x xx g x x x ---=-=¢，因为2x >，ln 02x >，可得21ln 202x x --<，所以()0g x ¢<，所以()g x 在区间()2,¥+上单调递减，所以()()22g x g <=-，所以2a ³-，所以，实数a 的取值范围为[2,)-+¥.故答案为：[2,)-+¥.14. 已知函数e 1()e 1x x f x -=+，()(1)2g x f x =-+，则()g x 的对称中心为______；若12321()()()(n n a g g g g n n n n-=+++×××+（*n ÎN ），则数列{}n a 的通项公式为______．【答案】 ①. (1,2) ②. 42n a n =-【解析】【分析】利用中心对称的定义求出()g x 图象的对称中心，利用函数()g x 的对称性及倒序相加法求出通项.【详解】函数e 1()e 1x x f x -=+的定义域为R ，e 11e ()()e 1e 1x x x x f x f x -----===-++，由()(1)2g x f x =-+，得(1)()2g x f x +=+，则(1)(1)()()224g x g x f x f x -+++=-+++=，因此函数()g x 图象的对称中心是(1,2)；由(1)(1)4g x g x -+++=，得()(2)4g x g x +-=，当*n ÎN 时，11((24g g n n+-=，12321()()()(n n a g g g g n n n n -=+++×××+，2122231((((n n n n a g g g g n n n n---=+++×××+，于是24(21)n a n =-，即42n a n =-，所以数列{}n a 的通项公式为42n a n =-.故答案为：(1,2)；42n a n =-四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知在ABC V 中，角A ，B ，C ，所对的边分别为a ，b ，c，)2cos cos cos b B a C c A =+．（1）求角B ；（2）过点A 作AD BC ∥，连接CD ，使A ，B ，C ，D 四点组成四边形ABCD，若AB =，2AC =，CD =，求AD 长．【答案】（1）π6B =（2）1AD =或2．【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角即可求解；（2）利用余弦定理来求解边边角三角形，得到两解.【小问1详解】由)2cos cos cos b B a C c A =+，结合由正弦定理边化角可得)2sin cos sin cos sin cos B B A C C A ×=+，故()2sin cos B B A C ×=+，而()sin sin 0B A C =+>，所以cos B =B ∈(0,π)，所以π6B =．【小问2详解】在ABC V中，2AB AC ==,由正弦定理可得sin sin B ACB AB AC Ð=´=因为AD BC ∥，所以DAC ACB Ð=Ð，即sin DAC Ð=在ACD V 中，因为CD AC <3cos 4DAC Ð===，又因为2AC =，CD =，结合定理可得3cos 4DAC Ð==．的解得1AD =或2．16. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，22n n a S =+，（*n ÎN ）.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记2log n n c a =，数列n n c a ìüíýîþ的前n 项和为n T ，若关于n 的不等式()()221n n n T n l +-£+恒成立，求实数l 的取值范围．【答案】（1）2n n a = （2）3,2éö+¥÷êëø．【解析】【分析】（1）利用条件，再写一式，两式相减，可证得数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，即可求出数列{}n a 的通项公式；（2）求出数列的通项，利用错位相减法求出n T ，再将题意转化为可得()max12nn n l éù+£êúëû，记()12n nn n b +=，求出n b 的最大值，即可得出答案．【小问1详解】由22n n a S =+，可得1122n n a S ++=+，两式相减可得：1122n n n a a a ++-=，所以12n n a a +=，令1n =，可得1122a a =+，所以12a =，所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，其通项公式为1222n n n a -=´=.【小问2详解】2log 2n n c n ==Q ，2n n n c n a \=．可得212222n n n T =++×××+，则2311122222n n n T +=++×××+，两式相减得：231111122111111222222212nnn n n n n T ++éùæö-êúç÷èøêúëû=+++×××+-=--111211222nn n n n +++æö=--=-ç÷èø，所以222n n n T +=-，因()()()22221n nn n n n T n l ++-=£+，则()12nn n l +£，原题意等价于关于n 的不等式()12nn n l +£恒成立，可得()max12nn n l éù+£êúëû，记()12n nn n b +=，令11n n n n b b b b +-³ìí³î，则()()()()()11112221122n n nn n n n n n n n n+-ì+++³ïïí+-ï³ïî，解得2n =或3，则1234b b b b <=>>×××，即当2n =或3n =时，n b 取到最大值32，可得32l ³，所以实数l 的取值范围3,2éö+¥÷êëø．17. 已知函数()223,02ln ,0x x x f x x x ì+-£=í-+>î（1）请在网格纸中画出()f x 的简图，并写出函数的单调区间（无需证明）；（2）定义函数()()2241,2012,022f x x x xg x x x ì--+-££ï=í-<£ïî在定义域内的0x ，若满足()00g x x =，则称0x 为函数()g x 的一阶不动点，简称不动点；若满足()()00g g x x =，则称0x 为函数()gx 的二阶不动点，简称为稳定点.①求函数()g x 的不动点；②求函数()g x 的稳定点.【答案】（1）作图见解析，单增区间为[]1,0-，()0,¥+，()f x 的单减区间为(],1-¥- （2）①23-；②32-，23-和1.【解析】【分析】（1）根据分段函数解析式，画出相应的函数图像，结合函数图像写出单调区间.（2）结合分段函数解析式，由不动点，稳定点的定义计算分析求解.【小问1详解】()f x 的单增区间为[−1,0]，(0,+∞)，()f x 的单减区间为(],1-¥-.【小问2详解】易知()222,2012,022x x g x x x ---££ìï=í-<£ïî①当020x -££时，()0022g x x =--，令()00g x x =得0022x x --=，解得023x =-；当002x <£时，()200122g x x =-，令()00g x x =得200122x x -=，解得01x =综上所述：函数()g x 的不动点为23-.②当021x -£<-时，()0022g x x =--，且()002g x <£，则()()()()2200000122222242g g x g x x x x =--=---=+令()()00g g x x =得，200024x x x +=，解得032x =-或00x =（舍）；当010x -££时，()0022g x x =--，且()020g x -££，则()()()()000022222242g g x g x x x =--=----=+令()()00g g x x =，得0042x x +=，解得023x =-；当002x <£时，()200122g x x =-，且()020g x -<£，则()()2220000112222222g g x g x x x æöæö=-=---=-+ç÷ç÷èøèø，令()()00g g x x =，得2002x x -+=，解得01x =或02x =-（舍）综上所述：函数()g x 的稳定点有3个，分别是32-，23-和1.18. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，某摩天轮最高点距离地面高度为100m ，转盘直径为90m ，均匀设置了依次标号为1～48号的48个座舱．开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动min t 后距离地面的高度为m H ，转一周需要24min ．（1）求在转动一周的过程中，H 关于t 的函数解析式；（2）若甲、乙两人分别坐在1号和9号座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h （单位：m ）关于t 的函数解析式，并求t 为何值时高度差h 最大．（参考公式：sin sin 2cos sin22q jq jq j +--=，cos cos 2sinsin22q jj qq j +--=）【答案】（1）π5545cos12H t =-，[]0,24t Î．（2）π2π45cos 123h t æö=-ç÷èø，[]0,24t Î；8min t =或20mint =【解析】【分析】（1）据题意，设(),π2sin 0H A t B j w j w æö=++>çè£÷ø，由条件确定,,,A B w j 的值；（2）由题意，1号与9号座舱的角度差为π3，不妨假设1号座舱出发早于9号座舱，min t 时1号与9号的高度分别为1H ，9H ，进而求出高度差π2π45cos 123h t æö=-ç÷èø，由余弦函数性质即可求.【小问1详解】设(),π2sin 0H A t B j w j w æö=++>çè£÷ø，则2π12πT w ==，令0t =时，则sin 1j =-，π2j =-，又10010A B A B +=ìí-+=î，解得4555A B =ìí=î，所以πππ45sin 555545cos 12212H t t æö=-+=-ç÷èø，[]0,24t Î．【小问2详解】由题意得：1号与9号座舱的角度差为π3．不妨假设1号座舱出发早于9号座舱，min t 时1号与9号的高度分别为1H ，9H ，则1ππ45sin 55122H t æö=-+ç÷èø，9ππππ5π45sin 5545sin 551223126H t t æöæö=--+=-+ç÷ç÷èøèø，所以高度19πππ5π45sin sin 122126h H H t t æöæö=-=---ç÷ç÷èøèø，由参考公式得，上式π2πππ2π90cos sin 45cos 1236123t t æöæö=-=-ç÷ç÷èøèø从而高度差π2π45cos 123h t æö=-ç÷èø，[]0,24t Î；当π2πcos 1123t æö-=ç÷èø，即π2ππ123t k -=，N k Î时，解得812t k =+，N k Î，又[]0,24t Î，所以8min t =或20min t =，此时高度差h 的最大值为45m ．19. 已知 a ÎR ，函数()ln af x x x=+，()ln 2g x ax x =--.（1）当()f x 与()g x 都存在极小值，且极小值之和为0时，求实数a 的值；为（2）若()()()12122f x f x x x ==¹，求证：12112x x a+>.【答案】（1）1 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）分别对()f x ，()g x 求导，讨论0a £和0a >，得出()f x 和()g x 的单调性，即可求出()f x ，()g x 的极小值，即可得出答案.（2）令1211,m n x x ==，由()()()12122f x f x x x ==¹可得1ln ln m na m n -=-，要证12112x x a +> ，不妨设0n m <<，所以只要证()2lnm n m n m n ->+，令()1m t t n =>，()()()21ln 11t h t t t t -=->+，对()h t 求导，得出()h t 的单调性，即可证明.小问1详解】()f x ，()g x 定义域均为(0,+)¥，()221,a a xf x x x x-+¢=-+=，当0a £时，则()0f x ¢>，()f x 在(0,+)¥单调递增，无极值，与题不符；当0a >时，令()=0f x ¢，解得：=x a ，所以()f x 在()0,a 单调递减，在(),a +¥单调递增，∴在=x a 取极小值，且()1ln f a a =+；又()1g x a x¢=-，当0a £时：()0g x ¢<，()g x 在(0,+)¥单调递减，无极值，与题不符；当0a >时：令()=0g x ¢，解得：1x a=，所以()g x 在10,a æöç÷èø单调递减，在1,a æö+¥ç÷èø单调递增，∴在1x a =取极小值，且11ln g a a æö=-+ç÷èø；由题：，解得：=1a .【小问2详解】【令1211,m n x x ==，因为12x x ¹，所以m n ¹，由()()()12122f x f x x x ==¹可得：()()1122+ln =2ln =21ln =22+ln =2ax x am m an n a x x -Þ-ìïìïïííïîïïîL L ，（1）-（2）得：()ln ln a m n m n -=-，所以1ln ln m n a m n-=-，要证：12112x x a +> ，只要证：2m n a +> ，只要证：2ln ln m n m n m n-+>-，不妨设0n m <<，所以只要证：()2lnm n m n m n->+，即证：21ln 1m m n m n næö-ç÷èø>+，令()1m t t n =>，只要证：()()21ln 11t t t t ->>+，令()()()21ln 11t h t t t t -=->+， ()()()()()()()222221211114111t t t h t t t t t t t +---¢=-=-=+++，所以()h t 在()1,t Î+¥上单调递增，∴，即有()()21ln 11t t t t ->>+成立，所以12112x x a +>成立.。

2024届泰安市高三数学上学期期中考试卷附答案解析

2024届泰安市高三数学上学期期中考试卷（试卷满分150分，考试时间120分钟）2023.11一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}1,2,3A =，{}3,5B =，则{}2,,C x x a b a A b B ==+∈∈中的元素个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．62．设:12,:21xp x q <<>，则p 是q 成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3tan 42tan162tan 42︒︒︒-+︒的值为（）A B ．C D ．34．函数y ＝1＋x ＋2sin x x 的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．5．有四个关于三角函数的命题：1p ：∃x ∈R,2sin 2x +2cos 2x =122p :∃x 、y ∈R,sin(x-y)=sinx-siny3p :∀x ∈[]0,π=sinx 4p :sinx=cosy ⇒x+y=2π其中假命题的是A ．1p ，4p B ．2p ，4p C ．1p ，3p D ．2p ，3p6．已知1a =，2e 2b=，1ln 55c =，则（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b c a <<7．已知函数()1f x -的图象关于()1,1-对称，()1f x +为偶函数，则下列函数是奇函数的是（）A ．()1y f x =-B ．()21y f x =+-C ．()41y f x =++D ．()31y f x =++8．在下列四组函数中，函数()f x 与()g x 的图象上存在关于x 轴对称的点的是（）A ．()2f x x =+，()g x =B ．()113x f x +⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1e xg x =+C ．()2f x x =-，()ln g x x =D ．()2xf x =，()lg g x x=二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．已知110a b <<，则下列结论正确的是（）A ．22a b >B ．22ac bc >C ．若0d c <<，则ad bc<D ．b aa b>10．已知函数()()πsin 0,||2f x A x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，则（）A ．()πsin 2cos 23A x x ωϕ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭B ．函数()f x 的一个对称中心为29π,06⎛⎫⎪⎝⎭C ．2π-是函数()f x 的一个周期D ．将函数π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移π4个单位长度可得函数()f x 的图象11．设数列{}n a 的前n 项和为nS ，若()*4,N n n a S n n =+∈，则下列结论正确的是（）A ．{}1n a +是等比数列B ．{}n a 是单调递减数列C ．11143nn S n⎡⎤⎛⎫=---⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦D ．221209n n a a -+≥-12．已知)(()e 2x f x x =+，()(2)ln g x x x =+，则下列结论正确的是（）A ．函数()g x 在(0,)+∞上存在极大值B ．()f x '为函数()f x 的导函数，若方程0()f x m -='有两个不同实根，则实数m 的取值范围是2(2e ,2)--C ．若对任意e x ≥，不等式2)2)ln ((()f ax f x x x ≤+恒成立，则实数a 的最大值为2e+D ．若12))0)(((f x g x n n ==>，则12ln (2)n x x +的最大值为1e三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．在ABC中，若60,45,A B BC ∠=︒∠=︒=AC =14．已知α是第四象限角，且πsin 45α⎛⎫+=⎪⎝⎭，则πtan 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭.15．已知函数()()4sin 22cos f x x x a x a R =-+∈在(),-∞+∞上单调递增，则a 的取值范围是.16．已知数列{}n a 满足()112n n n a a a n +-=+≥，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若202201S =，201202S =，则203S =.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知函数()3213432f x x x ax =-+，R a ∈，()f x '是()f x 的导函数.(1)已知()0f x '<的解集为A ，集合{}16|B x x =≤<，若{}|15A B x x ⋂=≤<，求a 的值；(2)若()f x 在()2,+∞上存在单调减区间，求a 的取值范围.18．已知函数()π4cos sin 3f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(1)解不等式()1f x ≥；(2)设()π4cos 112g x f x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，求()g x 在π5,π66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值.19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11S =且1120n n n a S S +++=，*n ∈N .(1)求n a ；(2)记12=nn S nn S b a =，求数列{}n b 的前n 项和.20．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2sin cos 2cos 2C A B =-.(1)若c =，求cos C ；(2)延长BC 至点D ，使得AD BD =，若2a =，求ACD 面积的最大值.21．某公司在年初购买了一批价值1000万元的设备，设备的价值在使用过程中逐年减少，前5年每年年底的价值比年初减少m 万元，从第6年开始，每年年底的价值为年初的80%，已知第7年年底的设备价值为608万元，设备运行一段时间后需要运行养护维修，前3年不需要养护，第4年的养护费为19万元，此后每年在上一年的基础上上升25%.(1)求第n 年年底设备价值的表达式；(2)当设备价值低于当年设备花费的养护费时，公司就于当年年底淘汰该批设备，问公司在第几年年底淘汰该批设备？（参考数据lg 20.301≈，lg 30.477≈）.22．已知函数()()ln f x x x t =+的导函数为()f x '，且曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程为10x y ++=.(1)证明：当12x >-时，()0f x ¢>；(2)设()()()()321[]ln 4214142g x mx m x x m m x f ⎛⎫>⎪'⎝=+++++⎭-有两个极值点.()1212,x x x x <，过点()()11,x g x -和()()22,x g x 的直线的斜率为k ，证明：0k >.1．B【分析】利用集合中元素的互异性，对a ，b 的取值进行分类讨论即可.【详解】由题意，2x a b =+，当1,57a b x ==⇒=，当1,35a b x ==⇒=，当2,59a b x ==⇒=，当2,37a b x ==⇒=，当3,511a b x ==⇒=，当3,39a b x ==⇒=，由集合中元素满足互异性，所以{}5,7,9,11C =.故选：B 2．A【详解】试题分析：由指数函数的性质可知，当必有，所以的充分条件，而当时，可得，此时不一定有，所以的不必要条件，综上所述，的充分而不必要条件，所以正确选项为A.考点：充分条件与必要条件.【方法点睛】判断p 是不是q 的充分（必要或者充要）条件，遵循充分必要条件的定义，当p 成立时，q也成立，就说p 是q 的充分条件，否则称为不充分条件；而当q 成立时，p 也成立则p 是q的必要条件，否则称为不必要条件；当p 能证明q 的同时q 也能证明p ，则p 是q的充分条件．3．C【分析】根据正切和差角公式即可求解.tan 42tan162tan 42tan 42tan18tan 42︒︒︒︒=︒+︒︒+-+︒()()tan 42tan 18421tan18tan 42︒︒︒︒︒︒++-)tan 421tan18tan 42︒-︒︒︒=,故选：C 4．D【解析】由题意比较函数的性质及函数图象的特征，逐项判断即可得解.【详解】当x ＝1时，y ＝1＋1＋sin1＝2＋sin1>2，排除A 、C ；当x→＋∞时，y→＋∞，排除B.故选：D.【点睛】本题考查了函数图象的识别，抓住函数图象的差异是解题关键，属于基础题.5．A【详解】22,sin cos 1.22x x x R ∀∈+=故1p 是假命题；令5,,sin sin ,63x y x y ππ===但.2x y π+≠故4p是假命题.6．B【分析】根据题意，构造函数()ln 1f x x x =-+，0x >，即可判断,a b 的大小关系，然后,b c 作差，即可得到结果.【详解】因为2e 2b=，则ln 22b =，且ln 55c =，则ln 2ln 55ln 22ln 5ln 32ln 250251010b c ---=-==>，则b c >；构造函数()ln 1f x x x =-+，0x >，则()111xf x x x -'=-=，令()0f x ¢>，则01x <<，令()0f x '<，则1x >，所以当()0,1x ∈，()f x 单调递增，当()1,x ∈+∞，()f x 单调递减，则1x =时，()f x 有极大值，即最大值，所以()()10f x f <=，即0x >时，ln 1x x <-，且1a =-，ln 22b ==，则1<，所以b a <；即c b a <<.故选：B7．C【分析】利用函数的对称性和奇偶性逐项判断即可.【详解】因为函数()1f x -的图象关于()1,1-对称，所以()f x 关于()0,1-对称，即()()2f x f x +-=-①，因为()1f x +为偶函数，所以()()()()112f x f x f x f x +=-+⇒=-，则()()2f x f x -=+②，由①②得()()22f x f x ++=-，()()242f x f x +++=-，所以()()4f x f x =+，,4为()f x 周期，对于C ，令()()()411g x f x f x =++=+，则()()()()11(12)g x f x f x f x g x +=+-=--=-=--，则()g x 为奇函数，C 正确；对于A ，令()()1h x f x =-，则()()()134()()()4h x f x f x h x h x h x -=--=--=--⇒-+=-，所以()()1h x f x =-不为奇函数，A 错误；对于B ，令()()21m x f x =+-，则()()()()2132324()m x f x f x f x m x -=-+-=---=--+=--，即()()4m x m x +-=-，所以()()21m x f x =+-不为奇函数，B 错误；对于D ，令()()31x f x ϕ=++，则()()()()311131()x f x f x f x x ϕϕ-=-++=--+=++=所以()()31x f x ϕ=++不为奇函数，D 错误；故选C.8．D 【分析】函数()y f x =的图象关于x 轴对称的函数为()y f x =-，则函数()f x 与()g x 的图象上存在关于x轴对称，即函数()y f x =-与()y g x =的图象有交点，分别作出函数()y f x =-与()y g x =的图象，由图即可得解.【详解】对于A ，函数()2f x x =+的图象关于x 轴对称的函数为()2y f x x =-=--，如图作出函数()y f x =-与()y g x =，由图可知函数()y f x =-与()y g x =的图象没有交点，所以A 选项不符题意；对于B ，函数()113x f x +⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于x 轴对称的函数为()113x y f x +⎛⎫=⎝-⎪⎭=- ，如图作出函数()y f x =-与()y g x =，由图可知函数()y f x =-与()y g x =的图象没有交点，所以B 选项不符题意；对于C ，函数()2f x x =-的图象关于x 轴对称的函数为()2y f x x =-=，如图作出函数()y f x =-与()y g x =，由图可知函数()y f x =-与()y g x =的图象没有交点，所以C 选项不符题意；对于D ，函数()2xf x =的图象关于x 轴对称的函数为()2xf x y -=-=，如图作出函数()y f x =-与()y g x =，由图可知函数()y f x =-与()y g x =的图象有交点，所以D 选项符合题意.故选：D.9．AC【分析】根据不等式的性质即可结合选项逐一求解.【详解】由110a b <<可得0b a <<，对于A,由于0b a <<，所以22a b >，A 正确，对于B ，当0c =时，22ac bc =，故B 错误，对于C ，0d c <<，则0d c ->->，又0b a <<，所以ad bc ->-，故ad bc <，C 正确，对于D ，当4,2a b ==时，16,16b aa b ==，故D 错误，故选：AC10．BCD【分析】根据函数图象可得A 及函数的最小正周期，即可求出ω，再利用待定系数法求出ϕ，再根据正弦函数的性质逐一判断即可.【详解】由图可知，35ππ3π2,46124A T ==-=，所以2ππT ω==，所以2ω=，故()()2sin 2f x x ϕ=+，又ππ2sin 2126f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以πsin 16ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π62k ϕ+=+，所以ππ,Zk k ϕ=+∈23，又π||2ϕ<，所以π3ϕ=，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故A 错误；对于B ，因为29ππ2sin 0239π63f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的一个对称中心为29π,06⎛⎫⎪⎝⎭，故B 正确；对于C ，因为函数()f x 的最小正周期为π，所以2π-是函数()f x 的一个周期，故C 正确；对于D ，将函数π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移π4个单位长度，得()πππ2sin 22sin 2463y x x f x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 正确.故选：BCD.11．ACD【分析】构造法得1113a +=-、111()31n n a a -++=-判断A ，并可得1()13n n a =--，应用分组求和、等比数列前n 项和公式求n S ，根据221n n a a -+通项公式判断单调性判断B 、C 、D.【详解】由题设()()1111441413a S a a =+=+⇒=-，则1113a +=-，当2n ≥，则()141n n n a a a -=-+，则111()31n n a a -++=-，所以{}1n a +是首项、公比均为13-的等比数列，则11()3nn a +=-，故1()13n n a =--，则212418()1339a a =-<=--=->33128()1327a =--=-，故{}n a 不递减，211[1(]1111133()(()[()1]1333431()3n n n n S n n n -⋅--=-+-++--=-=⋅----- ，221221111()1(12[()1]339n n n n n a a --=--+-=-++-在*N n ∈上递增，所以221209n n a a -+≥-，综上，A 、C 、D 对，B 错.故选：ACD 12．BCD【分析】利用导数探讨()g x 的单调性判断A ；求出()f x '并利用导数探讨其性质，结合函数零点判断B ；利用函数()f x 的单调性脱去法则“f”，再利用()g x 的单调性求出最小值判断C ；由已知结合同构思想得12e x x =，再利用导数求出ln ()nn n ϕ=的最小值判断D.【详解】对于A ，2()1ln g x x x '=++，令2()1ln u x x x =++，则22212()x u x x x x -'=-+=，当2x >时，()0u x '>，函数()g x '递增，当02x <<时，()0u x '<，函数()g x '递减，于是()(2)2ln 20g x g ''≥=+>，因此()g x 在(0,)+∞上单调递增，在(0,)+∞上无极值点，A 错误；对于B ，()e 2e (1)e 2x x x f x x x '=++=++，令()(1)e 2x t x x =++，则()e (1)e (2)e x x xt x x x '=++=+，当<2x -时，()0t x '<，函数()t x 递减，当2x >-时，()0t x '>，函数()t x 递增，则2min ()(2)2e t x t -=-=-，即2min ()2e f x -'=-，显然当1x <-时，恒有()2f x '<，方程0()f x m -='有两个不同实根，即直线y m =与函数()y f x '=的图象有两个交点，因此22e 2m --<<，B 正确；对于C ，由选项B 知，()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，则函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，于是e x ∀≥，不等式22(((ln ()l 2))2)n f ax f x x x ax x x x ≤+⇔≤+，则有e x ∀≥，(2)ln a x x ≤+，由选项A 知，函数()(2)ln g x x x =+在[e,)+∞上单调递增，因此()(e)2e g x g ≥=+，即2e a ≤+，所以实数a 的最大值为2e +，C 正确；对于D ，若12))0)(((f x g x n n ==>，则1122(e 2)(2)ln x x x x n +=+=，即1122(e 2)ln e (2)ln x x x x n +=+=，由0n >，得120,1x x >>，由选项A 知，函数()(2)ln g x x x =+在(1,)+∞上单调递增，于是12e x x =，1>0x ，因此1121ln ln ln (2)(e 2)x n n n x x x n ==++，令ln ()n n n ϕ=，则21ln ()n n n ϕ-'=，当0e n <<时，()0n ϕ'>，函数)(n ϕ递增，当e n >时，()0n ϕ'<，函数)(n ϕ递减，从而max 1()(e)e n ϕϕ==，所以12ln (2)n x x +的最大值为1e ，D 正确.故选：BCD【点睛】结论点睛：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，（1）若[],x a b ∀∈，总有()f x k <成立，故()max f x k <；（2）若[],x a b ∀∈，总有()f x k >成立，故()min f x k >；（3）若[],x a b ∃∈，使得()f x k <成立，故()min f x k <；（4）若[],x a b ∃∈，使得()f x k >，故()max f x k>.13．【分析】由正弦定理求解．【详解】由sin sin AC BC B A =得sin sin BC B AC A ==故答案为：14．2-【分析】利用诱导公式与同角三角函数的基本关系进行求解即可.【详解】由题意，得ππππsin sin cos 44245ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即πcos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭因为α是第四象限角，即()3π2π+2π2π,Z 2k k k α<<+Î，所以()5ππ7π2π+2π,Z 444k k k α<-<+Î，则πsin 45α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以πsin π4tan 2π4cos 4ααα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-==- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，故答案为：-215．⎡⎣-【分析】求导()42cos 22sin f x x a x '=--，根据()f x 在(),-∞+∞上单调递增，由()0f x '≥在(),-∞+∞上恒成立求解.【详解】解：因为函数()()4sin 22cos f x x x a x a R =-+∈，所以()42cos 22sin f x x a x '=--，因为()f x 在(),-∞+∞上单调递增，所以()42cos 22sin 0f x x a x '=--≥在(),-∞+∞上恒成立，即22sin sin 10x a x -+≥在(),-∞+∞上恒成立，令[]sin 1,1t x =∈-，则()2210g t t at =-+≥在[]1,1-上恒成立，当14a ≤-时，()130g a -=+≥，无解；当14a ≥时，()130g a =-≥，无解；当114a -<<时，21048a a g ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭，解得a -≤≤所以a的取值范围是⎡⎣-，故答案为；⎡⎣-16．100【分析】根据已知递推公式得出30n n a a ++=，360n n a a +++=，则6n n a a +=，由此可以求出60S =，根据202201S =，201202S =即可求得.【详解】由()112n n n a a a n +-=+≥，得12n n n a a a ++=+，则120n n a a -++=，所以30n n a a ++=，则360n n a a +++=，所以6n n a a +=，可知1425360,0,0a a a a a a +=+=+=，所以60S =，因为2016333=⨯+，所以2011992002012020S a a a ==+++，2022022011a S S =-=-，则199********a a a +=⇒=，所以200201201a a +=，又2002011992011a a a a =+=+所以2012012011201100a a a ++=⇒=，所以200203101101a a =⇒=-，203202203100S S a =+=.故答案为：10017．(1)52a =-(2)12a <【分析】（1）根据题意，将集合,A B 化简，再由交集的结果，列出方程，即可得到结果；（2）将问题转化为()0f x '<在()2,+∞上有解，结合二次函数的对称轴，即可得到结果.【详解】（1）()234f x x x a '=-+ ，{}2|340A x x x a ∴=-+<.{}|16B x x =≤< ，{}|15A B x x =≤< ，∴5为方程2340x x a -+=的根.410a ∴=-，52a ∴=-.（2）由题知()0f x '<在()2,+∞上有解，()234f x x x a '=-+ 的对称轴为322x =<，()f x '∴在()2,+∞上单调递增，()20f '∴<，12a ∴<.18．(1)()πππ,πZ 124k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(2)最小值为4-，最大值为5【分析】（1）由两角和的正弦公式和倍角公式化简函数解析式，结合正弦函数的性质，解不等式；.（2）化简函数解析式，由定义域结合函数解析式求值域.【详解】（1）()ππ4cos sin cos cos sin 33f x x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 22cos sin x x x =+sin 22x x=π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.∴()1f x ≥即π1sin 232x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，ππ5π2π22π636k x k ∴+≤+≤+，Z k ∈，ππππ124k x k ∴-+≤≤+，Z k ∈.∴不等式()1f x ≥的解集为()πππ,πZ 124k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）()π2sin 24cos 12g x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭2cos 24cos 1x x =+-24cos 4cos 3x x =+-.π5,π66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，cos x ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，设cos x t =，则t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.令()y g x =，则221443442y t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，∴当12t =-时，min 4y =-.当1t =时，max 5y =.∴()g x 在π5,π66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为4-，最大值为5.19．(1)()()1,12,22123n n a n n n =⎧⎪=-⎨≥⎪--⎩(2)()611429n n -⋅+-【分析】（1）根据,n n a S 的关系可得1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，即可求解121n S n =-，进而可得n a ，（2）根据错位相减法即可求解.【详解】（1）1120n n n a S S +++= ，1120n n n n S S S S ++∴-+=，又0n S ≠1112n n S S +∴-=.∴数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为2，首项为111S =的等差数列.121n n S ∴=-,即121n S n =-.当2n ≥时，()()122123n n n a S S n n --=-=--，111a S ==故()()1,12,22123n n a n n n =⎧⎪=-⎨≥⎪--⎩.（2）1n =时，1111122S S b a ==2n ≥时，()()()12111222132422123n n S n n n n S n b n a n n ---===----.设{}n b 的前n 项和为n T ，则()1212434324n n T n -=--⨯+- ，()()1214244524324n n n T n n -=⨯-+---⨯+⋅ .()()121322444324n nn T n -∴-=--⋅+++--⋅ ()()14142223414n nn --=--⋅-⋅-2112433nn ⎛⎫=+-⋅ ⎪⎝⎭.()611429n n n T -⋅+=-∴（2n ≥）当1n =时，也符合，所以()611429n n T n -⋅+=-20．(1)20(2)4【分析】（1）利用二倍角公式、正弦定理边角互化、余弦定理分析运算即可得解.（2）利用余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形面积公式、基本不等式分析运算即可得解.【详解】（1）解：由题意，0a >，0b >，0c >，∵()222sin cos 2cos 212sin 12sin C A B A B =-=---222sin 2sin B A =-，∴22222c b a =-，∵=c ，∴2252b a =，2b a=∴222222532cos 220+-+-==a a a a b c C ab .（2）解：如上图，由（1）知22222c b a =-，∵2a =，∴2242=+c b ，∴在ABC 中，222cos 28c a b cB ac +-==，又知0πB <<，∴sin 8B =.∵AD BD =，∴在ABD △中，222cos 222AB BD AD ABc B BD AB BD BD +-===⋅，∴82=c cBD ，∴4=BD .∴11sin sin 22=-=⋅-⋅ ACD ABD ABC S S S BD BA B BC BA B2264642sin 488c c c B +-==≤=，当且仅当c =c =∴ACD 的面积最大值为4.21．(1)5100010,59500.8,6n n n n a n --≤⎧=⎨⋅≥⎩(2)公司应在第14年年底淘汰该批设备【分析】（1）根据等差数列等比数列的定义，即可根据首项和公差公比求解，（2）根据数列的单调性，结合对数运算即可求解.【详解】（1）设第n 年年底设备价值为n a 万元，*n ∈N ，因为前5年每年年底的价值比年初减少m 万元，所以当5n ≤时，{}n a 为等差数列，公差为m -，首项为1000m -，所以()()()1000110005n a m n m mn n =-+--=-≤.又因为从第6年开始每年年底的价值为年初的80%，所以当6n ≥时，{}n a 为等比数列，公比为0.8，首项为10005m -，所以()()5100050.86n n a m n -=-≥.因为7608a =，即()2100050.8608m -⨯=，解得10m =.综上，5100010,59500.8,6n n n n a n --≤⎧=⎨⋅≥⎩.（2）设第n 年养护费为n b 万元，*n ∈N ，由题意，3n ≤时0n b =，419b =，当4n ≥时，{}n b 成等比数列，公比为125% 1.25+=，4191.25n n b -=⨯.由（1）知，5n ≤时，{}n a 递减，55950a b =>，当6n ≥时，令n n a b ≥，即549500.8191.25n n --⨯≥⨯，整理得295504n -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，即54lg 502lg 229log50lg 5lg 413lg 2n --≤==--.解得13.26n ≤.∴公司应在第14年年底淘汰该批设备.22．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）点()()1,1f --在曲线和切线上，所以先求出点，然后代入()()ln f x x x t =+，计算出2t =，再对()()ln 2f x x x =+进行求二阶导数，分析在12x >-时的情况即可.（2）现根据()()ln 2f x x x =+的表达式化简()g x ，在对其求导，当导函数为零时，对应的方程在1,m⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭有两个不同实根1x ，2x ，结合二次方程根的分布化简，得到()()1222ln(21)221g x g x m m +=-+--的表达式，利用换元法，转化为：()()22ln 201p x x x x =+-<≤，分析()p x 的单调性讨论其正负即可.【详解】（1）由题知，()10f -=，()ln 10t ∴--=，2t ∴=.()()ln 2f x x x ∴=+，()()ln 22x f x x x '∴=+++，设()()()ln 222x h x x x x =++>-+，则()()212022h x x x '=+>++.()h x ∴单调递增，∴当12x >-时，()()131ln 0223f x h x h ⎛⎫'=>-=-> ⎪⎝⎭.（2）()()()()22ln 4412ln 22xg x x x mx x x ⎡⎤=+++-+-⎣⎦+()()()222ln 21ln 22x x mx x x ⎤⎡=++-+-⎣⎥⎦+()2ln 12x mx x =+-+，()()2412m g x mx x '∴=-++()()224412mx m mx x +-=++.由题知()0g x '=，即2440mx m +-=在1,m ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭有两个不同实根12,x x 121212440044m m x x m x x m ⎧>⎪⎪->⎪∴⎨+=⎪⎪-=⎪⎩，即1212112044m x x m x x m ⎧<<⎪⎪+=⎨⎪-⎪=⎩()()()()1212121222ln 1ln 122x x g x g x mx mx x x ∴+=+-++-++()()()121221212121244ln 124x x x x m x x m x x x x x x ++⎡⎤=+++-⎣⎦+++24(1)2ln(21)2ln(21)22121m m m m m -=--=-+---，112m << ，0211m ∴<-<，设()()22ln 201p x x x x =+-<≤，则()2220p x x x '=-≤，()p x ∴单调递减，∴当()0,1x ∈时，()()10p x p >=，()22ln 212021m m ∴-+->-，即()()120g x g x +>，又12x x < ，()()12210g x g x k x x +∴=>-.【点睛】方法点睛：切线问题：可分为在某点的切线和过某点的切线两种；“在某点”时，此点即为切点，直接代入导数求出斜率，然后用点斜式即可书写切线方程；“过某点”时，此点不一定为切点，需要重新假设切点进行切线的计算.。

2021-2022学年高三上学期数学(文)期中试题及答案

2021-2022学年上学期期中考试高三数学（文科）试题考试时间：120分钟分数：150分本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知全集U={1,2,3,4,5,6,7}，集合A={1,3,5,6}，则U C A =( )A.{1,3,5,6}B.{2,3,7}C.{2,4,7}D.{2,5,7}2. 131ii +- = ( )A. 1+2iB. -1+2iC. 1-2iD. -1-2i3. 已知实数x , y 满足约束条件100x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩,则z=y-x 的最大值为 ( )A. 1B. 0C. -1D. -2 4. “p ⌝为假命题”是“p q ∧为真命题”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为（） A. 32π B. 16π C. 12π D. 8π(5题图) （6题图）是否开始k=1,s=1k<5?输出s结束 k=k+1s=2s-k6. 执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（） A. -10 B. -3 C. 4 D. 57. 已知x 与y 之间的几组数据如表：x 0 1 2 3 y267则y 与x 的线性回归方程y b x a ∧∧∧=+必过点 ( )A. (1,2)B. (2,6)C. (315,24) D. (3,7)8. 下列函数中，在定义域内与函数3y x =的单调性与奇偶性都相同的是（）A. sin y x =B. 3y x x =-C. 2x y =D.2lg(1)y x x =++9. 对于使()f x N ≥成立的所有常数N 中，我们把N 的最大值叫作()f x 的下确界．若,a b ∈(0, +∞),且2a b +=，则133a b +的下确界为（） A. 163 B. 83 C. 43 D. 2310.如图所示的数阵中，每行、每列的三个数均成等差数列．如果数阵中111213212223313233a a a a a a aa a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭所有数的和等于36，那么22a = （）A. 8B. 4C. 2D. 111.三棱锥P-ABC 的侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，侧面面积分别是6，4，3，则三棱锥的体积是（）A. 4B. 6C. 8D.1012.函数()f x 的定义域为R ，f(0)=2,对x R ∀∈，有()()1f x f x '+>，则不等式()1x xe f x e >+ 的解集为（） A. {}|0x x > B. {}|0x x < C. {}|11x x x <->或 D. {}|10x x x <->>或1第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13.已知-向量a 与b 的夹角为60°，且a =（-2，-6），10b =，则ab =14.已知数列{}n a 是等比数列，且1344,8a a a ==，则5a 的值为15.抛物线2(0)y ax a =<的焦点坐标为 16.将边长为2的等边∆ABC 沿x 轴正方向滚动，某时刻A 与坐标原点重合（如图），设顶点(,)A x y 的轨迹方程是y=f(x)，关于函数y=f(x)有下列说法：①f(x)的值域为[0，2]； ②f(x)是周期函数且周期为6 ; ③()(4)(2015)f f f π<<;④滚动后，当顶点A 第一次落在x 轴上时，f(x)的图象与x 轴所围成的面积为833π+．其中正确命题的序号为三．解答题(本大题共6道题,共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(本小题12分）在∆ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为,,a b c .已知3cos 3cos c b C c B =+（I ）求sin sin C A 的值 (II)若1cos ,233B b =-=，求∆ABC 的面积。

福建省师范大学附属中学高三数学上学期期中试卷文(含解析)(最新整理)

12019届福建师范大学附属中学高三上学期期中考试数学（文）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．设集合则=A ．B ．C ．D ．2．命题“，”的否定是A ．，B ．，C ．, D ．，3．已知是虚数单位，复数在复平面上所对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为A ．B ．C ．D ．只装订不密封准考证号考场号座位号5．已知函数,为图象的对称轴，将图象向左平移个单位长度后得到的图象，则的解析式为A ．B ．C ．D ．6．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，抛物线上一点，若，则的面积为A ．B ．C ．D ．7．函数的部分图象大致为A ．B ．C ．D ．8．直线与圆相交于、两点。

若，则的取值范围是A ．B ．C ．D ．9．某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为2，四条用虚线表示的线段长度均相等,则该几何体的表面积为A ．B ．C ．D ．210．若四边形是边长为2的菱形，,分别为的中点，则A ．B ．C ．D ．11．在中，,，点在边上，且，则A ．B ．C ．D ．12．已知椭圆的左右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形,则椭圆的离心率为A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知直线1:260l ax y++=和直线()22:110l x a y a+-+-=垂直，则实数a的值为__________．14．已知向量，，若,则向量与向量的夹角为_____．15．设函数，则函数的零点个数是_______.16．半径为4的球的球面上有四点A，B，C，D，已知为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为_____________________．三、解答题17．已知等差数列的公差为1，且成等比数列.3（1）求数列的通项公式；(2)设数列,求数列的前项和。

2023-2024学年山东省潍坊市高三(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年山东省潍坊市高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量a →=（1，k ），b →=（2，1），若a →∥b →，则实数k ＝（） A ．12B ．−12C ．2D ．﹣22．若“∃x ∈R ，sin x ＜a ”为真命题，则实数a 的取值范围为（） A ．a ≥1B ．a ＞1C ．a ≥﹣1D ．a ＞﹣13．已知集合A ＝{1，3，a 2}，B ＝{1，a +2}，则满足A ∪B ＝A 的实数a 的个数为（） A ．0B ．1C ．2D ．34．北京故宫博物院展示着一件来自2200年前的宝物——秦诏文权（如图1）．此文权下部呈圆台形，上部为鼻钮，被誉为最美、最具文化、最有政治和历史意义的文物之一．某公司仿照该文权制成一纸镇（如图2），已知该纸镇下部的上、下底面半径分别为3，4，高为3，则该纸镇下部的侧面积与体积分别为（）A ．21π 37πB ．21π 111πC ．7√10π 37πD ．7√10π 111π5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且公差不为0，若a 4，a 5，a 7构成等比数列，S 11＝66，则a 7＝（） A ．5B ．6C ．7D ．86．已知a ＝20.5，b ＝log 25，c ＝log 410，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a7．设函数f （x ）={x +1，x ≤0√x −1，x ＞0，则方程f （f （x ））＝0的实根个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．18．已知cos(π4−α)=35，sin(5π4+β)=−1213，其中α∈(π4，3π4)，β∈(0，π4)，则tanαtanβ=（）A ．−5663B ．5663C ．﹣17D ．17二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，直线l ⊂平面ABB 1A 1，直线m ⊂平面BCC 1B 1，直线n ⊂平面ABCD ，则直线l ，m ，n 的位置关系可能是（）A ．l ，m ，n 两两垂直B ．l ，m ，n 两两平行C ．l ，m ，n 两两相交D ．l ，m ，n 两两异面10．已知函数f(x)=2sin(2x +π3)，把f （x ）的图象向左平移π3个单位长度得到函数g （x ）的图象，则（）A ．g （x ）是奇函数B ．g （x ）的图象关于直线x =−π4对称C ．g （x ）在[0，π2]上单调递增D ．不等式g （x ）≤0的解集为[kπ+π2，kπ+π]，k ∈Z11．已知a ，b 为方程2x 2﹣8x +m ＝0（m ＞0）的两个实根，则（） A ．a 2+b 2≥8 B ．ab ≥4 C ．√a +√b ≤2√2D ．1a+2+12b≥3+2√21212．已知正项数列{a n }满足：a 1＝1，a n =na n+12na n+1+1，则（）A ．a 2=√5−12B ．{a n }是递增数列C ．a n+1−a n ＞1n+1D ．a n+1＜1+∑ n k=11k三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知点A （2，1），向量OA →绕原点O 顺时针旋转π2得到向量OB →，则点B 的坐标为．14．诺沃尔（Knowall ）在1740年发现了一颗彗星，并推算出在1823年、1906年…人类都可以看到这颗彗星，即该彗星每隔83年出现一次．从现在开始到公元3000年，人类可以看到这颗彗星的次数为．15．已知函数f（x）是R上的偶函数，f（x+2）为奇函数，若f（0）＝1，则f（1）+f（2）+…+f（2023）＝．16．右图为几何体Ω的一个表面展开图，其中Ω的各面都是边长为1的等边三角形，将Ω放入一个球体中，则该球表面积的最小值为；在Ω中，异面直线AB与DE的距离为．四、解答题：本大题共6道小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知函数f(x)=log12x，F（x）＝f（x+1）+f（1﹣x）．（1）判断F（x）的奇偶性，并证明；（2）解不等式|F（x）|≤1．18．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）+B（其中A，ω，φ，B均为常数，ω＞0，A＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数y=f(x+5π12)+f(x)在[−π3，π2]上的值域．19．（12分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AD＝2CD＝2，AA1=A1D=√5，A1C=√6．（1）证明：平面AA1D1D⊥平面ABCD；（2）求二面角A1﹣CD﹣D1的余弦值．20．（12分）为方便居民休闲娱乐，某市计划在一块三角形空地上修建一个口袋公园，如图所示．在公园内部计划修建景观道路CD （道路的宽度忽略不计），已知CD 把三角形空地分成两个区域，△ACD 区域为儿童娱乐区，△BCD 区域为休闲健身区．经测量，AC ＝BC ＝100米，AB =100√3米．若儿童娱乐区每平方米的造价为100元，休闲健身区每平方米的造价为50元，景观道路每米的造价为2500元．（1）若∠ADC =π4，求景观道路CD 的长度；（2）求∠ADC 为何值时，口袋公园的造价最低？21．（12分）设S n 为数列{a n }的前n 项和，s n =3n+1−32．（1）求{a n }的通项公式；（2）若数列{S 2n +15a n}的最小项为第m 项，求m ；（3）设b n =2a n (a n −2)2，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：T n ＜132．22．（12分）已知函数f （x ）＝e x +aln （x +1）（a ∈R ）．（1）当a ＝﹣2时，求曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；（2）若f （x ）在定义域上存在极值，求a 的取值范围；（3）若f （x ）≥1﹣sin x 恒成立，求a ．2023-2024学年山东省潍坊市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量a →=（1，k ），b →=（2，1），若a →∥b →，则实数k ＝（） A ．12B ．−12C ．2D ．﹣2解：因为a →=（1，k ），b →=（2，1），且a →∥b →，所以2k ﹣1＝0，解得k =12．故选：A ．2．若“∃x ∈R ，sin x ＜a ”为真命题，则实数a 的取值范围为（） A ．a ≥1B ．a ＞1C ．a ≥﹣1D ．a ＞﹣1解：“∃x ∈R ，sin x ＜a ”，故a ＞（sin x ）min ，a ＞﹣1．故选：D ．3．已知集合A ＝{1，3，a 2}，B ＝{1，a +2}，则满足A ∪B ＝A 的实数a 的个数为（） A ．0B ．1C ．2D ．3解：A ∪B ＝A ，则B ⊆A ，当a +2＝3，即a ＝1时，集合A 不满足元素的互异性，舍去，当a +2＝a 2，即a ＝2或a ＝﹣1，当a ＝2时，A ＝{1，3，4}，B ＝{1，4}，满足题意，当a ＝﹣1时，集合B 不满足元素的互异性，舍去，综上所述，a ＝2，故满足A ∪B ＝A 的实数a 的个数为1．故选：B ．4．北京故宫博物院展示着一件来自2200年前的宝物——秦诏文权（如图1）．此文权下部呈圆台形，上部为鼻钮，被誉为最美、最具文化、最有政治和历史意义的文物之一．某公司仿照该文权制成一纸镇（如图2），已知该纸镇下部的上、下底面半径分别为3，4，高为3，则该纸镇下部的侧面积与体积分别为（）A ．21π 37πB ．21π 111πC ．7√10π 37πD ．7√10π 111π解：由题意得，S 侧＝π（3+4）×√32+(4−3)2=7√10π，V =13π×（42+32+4×3）×3＝37π．故选：C ．5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且公差不为0，若a 4，a 5，a 7构成等比数列，S 11＝66，则a 7＝（） A ．5B ．6C ．7D ．8解：等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且公差d 不为0，若a 4，a 5，a 7构成等比数列，S 11＝66，故S 11=11(a 1+a 11)2=11a 6=66，解得a 6＝6，故{a 6=6a 52=a 4⋅a 7，整理得{a 1+5d =6(a 1+4d)2=(a 1+3d)(a 1+6d)，解得{a 1=−4d =2，故a 7＝a 1+6d ＝8．故选：D ．6．已知a ＝20.5，b ＝log 25，c ＝log 410，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a解：因为a =20.5=√2，c =log 410=log 2√10＜log 25，所以b ＞c ，c =log 410=log 2√10＞log 22√2=32＞√2，所以 c ＞a ，所以a ＜c ＜b ．故选：B ．7．设函数f （x ）={x +1，x ≤0√x −1，x ＞0，则方程f （f （x ））＝0的实根个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．1解：令t ＝f （x ），则方程f （f （x ））＝0，即f （t ）＝0，当t ≤0时，t +1＝0，∴t ＝﹣1；当t ＞0时，√t −1=0，∴t ＝1；当t ＝﹣1时，若x ≤0，则x +1＝﹣1，∴x ＝﹣2，符合题意；若x ＞0，则√x −1=−1，∴x ＝0，不合题意；当t ＝1时，若x ≤0，则x +1＝1，∴x ＝0，符合题意；若x ＞0，则√x −1=1，∴x ＝4，符合题意，即方程f （f （x ））＝0的实根个数为3．故选：B ．8．已知cos(π4−α)=35，sin(5π4+β)=−1213，其中α∈(π4，3π4)，β∈(0，π4)，则tanαtanβ=（）A ．−5663B ．5663C ．﹣17D ．17解：cos(π4−α)=35，∵α∈(π4，3π4)，∴π4−α∈（−π2，0），∴sin （π4−α）=−√1−cos 2(π4−α)=−45，sin （α−π4）=45，cos α＝cos[（α−π4）+π4]＝cos （α−π4）cos π4−sin （α−π4）sin π4=35×√22−45×√22=−√210，则sin α=√1−(√210)2=7√210，则tan α=sinαcosα=−7， sin(5π4+β)=−1213，∵β∈(0，π4)，∴5π4+β∈(5π4，3π2)， ∴cos （5π4+β）=−√1−sin 2(5π4+β)=−513，sin β＝sin [(5π4+β)−5π4]=sin(5π4+β)cos 5π4−cos(5π4+β)sin 5π4=−1213×(−√22)−513×√22=7√226，cos β=√1−(7226)2=17√226，则tan β=sinβcosβ=717，则tanαtanβ=−7717=−17．故选：C ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，直线l ⊂平面ABB 1A 1，直线m ⊂平面BCC 1B 1，直线n ⊂平面ABCD ，则直线l ，m ，n 的位置关系可能是（）A ．l ，m ，n 两两垂直B ．l ，m ，n 两两平行C ．l ，m ，n 两两相交D ．l ，m ，n 两两异面解：如图，当l 为BB 1，m 为BC ，n 为CD 时，满足直线l ⊂平面ABB 1A 1，直线m ⊂平面BCC 1B 1，直线n ⊂平面ABCD ，l ，m ，n 两两相交且垂直，当l 为A 1B ，m 为B 1C 1，n 为AC 时，三条直线两两异面，故ACD 正确；三条直线不可能两两平行，若l ∥n ，则l ∥AB ∥n ，而AB 与平面BCC 1B 1相交，则AB 与M 不平行，故B 错误．故选：ACD ．10．已知函数f(x)=2sin(2x +π3)，把f （x ）的图象向左平移π3个单位长度得到函数g （x ）的图象，则（）A ．g （x ）是奇函数B ．g （x ）的图象关于直线x =−π4对称C ．g （x ）在[0，π2]上单调递增D ．不等式g （x ）≤0的解集为[kπ+π2，kπ+π]，k ∈Z解：由题意g （x ）＝2sin[2（x +π3）+π3]＝2sin （2x +π）＝﹣2sin2x ，A 中，可得g （x ）为奇函数，所以A 正确；B 中，函数g （x ）的对称轴方程满足2x =π2+k π，k ∈Z ，解得x =π4+k 2π，k ∈Z ，当k ＝﹣1时，x =−π4，所以函数g （x ）的图象关于x =−π4对称，所以B 正确； C 中，x ∈[0，π2]，则2x ∈[0，π]，显然g （x ）不单调，所以C 不正确；D 中，令g （x ）≤0，则2k π≤2x ≤π+2k π，k ∈Z ，解得k π≤x ≤π2+k π，k ∈Z ，即x ∈[k π，π2+k π]，k ∈Z ，所以D 不正确．故选：AB ．11．已知a ，b 为方程2x 2﹣8x +m ＝0（m ＞0）的两个实根，则（） A ．a 2+b 2≥8 B ．ab ≥4 C ．√a +√b ≤2√2D ．1a+2+12b≥3+2√212解：因为已知a ，b 为方程2x 2﹣8x +m ＝0（m ＞0）的两个实根，所以Δ＝64﹣8m ≥0，即m ≤8，又因为m ＞0，所以0＜m ≤8，由韦达定理可得：a +b ＝4，ab =m2＞0，所以a ＞0，b ＞0．对于选项A ，由a+b 2≤√a 2+b 22，当且仅当a ＝b 时等号成立可得：a 2+b 2≥8，当且仅当a ＝b 时等号成立，故A 正确；对于选项B ，由a +b ＝4≥2√ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立可得：ab ≤4，当且仅当a ＝b 时等号成立，故B 不正确；对于选项C ，由a+b 2≤√a 2+b 22，当且仅当a ＝b 时等号成立可得：√a+√b2≤√a+b 2，即√a +√b ≤2√2，当且仅当a ＝b 时等号成立，故C 正确；对于选项D ，1a+2+12b =（1a+2+12b）[（2a +4）+2b ]×112=112（2+2b a+2+a+2b +1）≥112（3+2√2b a+2⋅a+2b ）=112（3+2√2），当且仅当2b a+2=a+2b，即a =√2b ﹣2时等号成立，故D 正确．故选：ACD ．12．已知正项数列{a n }满足：a 1＝1，a n =na n+12na n+1+1，则（）A ．a 2=√5−12B ．{a n }是递增数列C ．a n+1−a n ＞1n+1D ．a n+1＜1+∑ n k=11k解：由a 1＝1，a n =na n+12na n+1+1，可得a 1=a 22a 2+1=1，解得a 2=1+√52（负的舍去），故A 错误；由a n +1﹣a n =na n+12+a n+1−na n+12na n+1+1=a n+1na n+1+1＞0，即a n +1＞a n ，则{a n }是递增数列，故B 正确；由a n+1na n+1+1−1n+1=a n+1−1(n+1)(na n+1+1)＞0，则a n +1﹣a n ＞1n+1，故C 正确；由a n+1na n+1+1−1n=−1n(na n+1+1)＜0，则a n +1﹣a n ＜1n ，所以a n +1＝a 1+（a 2﹣a 1）+（a 3﹣a 2）+...+（a n +1﹣a n ）＜1+1+12+...+1n，故D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知点A （2，1），向量OA →绕原点O 顺时针旋转π2得到向量OB →，则点B 的坐标为（1，﹣2）．解：点A （2，1），向量OA →绕原点O 顺时针旋转π2后等于OB →，则OA →=（2，1），OB →=（1，﹣2），则点B 的坐标为（1，﹣2）．故答案为：（1，﹣2）．14．诺沃尔（Knowall ）在1740年发现了一颗彗星，并推算出在1823年、1906年…人类都可以看到这颗彗星，即该彗星每隔83年出现一次．从现在开始到公元3000年，人类可以看到这颗彗星的次数为 12 ．解：由题意可知：彗星出现的年份构成一个公差为d ＝83，首项为a 1＝1740的等差数列，所以a n＝a1+（n﹣1）d＝1740+83（n﹣1）＝83n+1657，令2023≤a n≤3000，即2023≤83n+1657≤3000，解得36683≤n≤134383，又n∈N*，所以n＝5、6、 (16)所以从现在开始到公元3000年，人类可以看到这颗彗星的次数为16﹣5+1＝12次．故答案为：12．15．已知函数f（x）是R上的偶函数，f（x+2）为奇函数，若f（0）＝1，则f（1）+f（2）+…+f（2023）＝﹣1．解：f（x+2）是奇函数，故f（x+2）＝﹣f（﹣x+2）且f（2）＝0，因为f（x）为偶函数，故f（x+2）＝﹣f（﹣x+2）＝﹣f（x﹣2），则f（x+4）＝﹣f（x），f（x+8）＝﹣f（x+4）＝f（x），即函数周期为8，因为f（x+2）＝﹣f（﹣x+2），故f（3）+f（1）＝0，f（4）+f（0）＝0，即f（4）＝﹣1，f（5）＝﹣f（1），f（6）＝﹣f（2）＝0，f（7）＝﹣f（3），f（8）＝f（0）＝1，故f（1）+f（2）+…+f（8）＝0，f（1）+f（2）+…+f（2023）＝﹣f（8）＝﹣1．故答案为：﹣1．16．右图为几何体Ω的一个表面展开图，其中Ω的各面都是边长为1的等边三角形，将Ω放入一个球体中，则该球表面积的最小值为2π；在Ω中，异面直线AB与DE的距离为√63．解：把平面展开图还原为空间几何体为正八面体，如图所示：球表面积最小，则正八面体的八个顶点在球面上，∴正八面体外接球的球心为正方形ACFD的中心O，半径R＝OA=12AF=12√12+12=√22，∴S表＝4πR2＝4π×12=2π；∵平面ABC∥平面DEF，∴异面直线AB与DE的距离为平面ABC与平面DEF的距离，又∵O到平面ABC的距离与O到平面DEF的距离相等，∴直线AB与DE的距离为O到平面ABC的距离2倍，∵V O﹣ABC＝V B﹣AOC，∴13S△ABC•h=13S△AOC•OB，∴√34h=12×√22×√22×√22，∴h=√66，∴异面直线AB与DE的距离为√6 3．故答案为：2π；√6 3．四、解答题：本大题共6道小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知函数f(x)=log12x，F（x）＝f（x+1）+f（1﹣x）．（1）判断F（x）的奇偶性，并证明；（2）解不等式|F（x）|≤1．解：（1）F（x）为偶函数；证明：∵f(x)=log12x，由{x+1＞01−x＞0，得x∈（﹣1，1），∴F（x）＝f（x+1）+f（1﹣x）=log12(x+1)+log12(1−x)的定义域为（﹣1，1），又F（﹣x）=log12(1−x)+log12(x+1)=F（x），∴F（x）为偶函数；（2）∵F（x）=log12(x+1)+log12(1−x)=log12(1−x2)≥log121=0，∴|F（x）|≤1⇔0≤F（x）=log12(1−x2)≤1，∴1≥1﹣x2≥12，解得−√22≤x≤√22，∴原不等式的解集为[−√22，√22]．18．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）+B（其中A，ω，φ，B均为常数，ω＞0，A＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示．（1）求f （x ）的解析式；（2）求函数y =f(x +5π12)+f(x)在[−π3，π2]上的值域．解：（1）由图知A =3−02=32，B =3+02=32，且{ω⋅(−π3)+φ=−π2+2kπ，k ∈Z ω⋅π2+φ=π2+2kπ，k ∈Z ，|φ|＜π2，解得ω=65，φ=−π10，所以f （x ）=32sin （65x −π10）+32；（2）y ＝f （x +5π12）+f （x ）=32sin[65（x +5π12）−π10]+32+32sin （65x −π10）+32=32[sin （65x −π10+π2）+32sin （65x x −π10）+3=32 [cos （65x x −π10）+sin （65x x −π10）]+3=3√22 s in （65x x −π10+π4）+3=3√22 s in （65x x +3π20）+3，因为x ∈[−π3，π2]，所以65x +3π20∈[−π4，3π4]，所以sin （65x +3π20）∈[−√22，1]，所以y ∈[3√22•−√22+3，3√22×1+3]＝[32，3√22+3]．即函数y 的值域为[32，3√22+3]． 19．（12分）在四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是矩形，AD ＝2CD ＝2，AA 1=A 1D =√5，A 1C =√6．（1）证明：平面AA 1D 1D ⊥平面ABCD ；（2）求二面角A 1﹣CD ﹣D 1的余弦值．（1）证明：取AD 的中点O ，连接OC ，因为AA 1=A 1D =√5，得A 1O ⊥AD ，因为A 1D =√5，OD ＝1，所以A 1O ＝2，又OD ＝DC ＝1，所以OC =√2，在△A 1OC 中，OC =√2，A 1C =√6，A 1O ＝2，所以A 1C 2=A 1O 2+OC 2，故△A 1OC 为直角三角形，A 1O ⊥OC ，因为OC ∩AD ＝O ，故A 1O ⊥平面ABCD ，因为A 1O ⊂平面AA 1D 1D ，所以平面AA 1D 1D ⊥平面ABCD ；（2）解：如图，以O 为坐标原点，分别以DC →，OD →，OA 1→的正方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系：故A 1（0，0，2），C （1，1，0），D （0，1，0），D 1（0，2，2），则CD →=(−1，0，0)，A 1C →=（1，1，﹣2），DD 1→=(0，1，2)，设平面A 1CD 的一个法向量为m →=（x 1，y 1，z 1），则{m →⋅CD →=−x 1=0m →⋅A 1C →=x 1+y 1−2z 1=0，令y 1＝2，则m →=（0，2，1），设平面CDD 1C 1的一个法向量为n →=（x 2，y 2，z 2），则{n →⋅CD →=x 2=0n →⋅DD 1→=y 2+2z 2=0，令y 2＝2，则n →=（0，2，﹣1），所以cos ＜m →，n →＞=|m →⋅n →||m →||n →|=3√5×√5=35，由图可知二面角A 1﹣CD ﹣D 1为锐角，所以二面角A1﹣CD﹣D1的余弦值为3 5．20．（12分）为方便居民休闲娱乐，某市计划在一块三角形空地上修建一个口袋公园，如图所示．在公园内部计划修建景观道路CD（道路的宽度忽略不计），已知CD把三角形空地分成两个区域，△ACD区域为儿童娱乐区，△BCD区域为休闲健身区．经测量，AC＝BC＝100米，AB=100√3米．若儿童娱乐区每平方米的造价为100元，休闲健身区每平方米的造价为50元，景观道路每米的造价为2500元．（1）若∠ADC=π4，求景观道路CD的长度；（2）求∠ADC为何值时，口袋公园的造价最低？解：（1）在△ABC中，AC＝BC＝100，AB＝100√3，所以AC2+AB2﹣BC2＝1002﹣（100√3）2﹣1002＝30000，则cosA=AC2+AB2−BC22AC⋅AB=√32，A∈（0，π），所以A=B=π6，在△ACD中，∠ADC=π4，由正弦定理得ACsin∠ADC=CDsinA，即CD=AC⋅sinAsin∠ADC=10Osinπ6sinπ4=50√2，所以景观道路CD的长度为50√2米．（2）设∠ADC=θ(π6＜θ＜5π6)，在△ACD中，CD=50sinθ，所以S△ADC=12AC⋅CD sin∠ACD=12×100×50sin(5π6−θ)sinθ=2500sin(5π6−θ)sinθ，又S△ABC=12AC⋅AB•sin A=12×100×100√3×12=2500√3，所以S△BCD＝2500√3−2500sin(5π6−θ)sinθ，所以投资总额y＝2500CD+100S△ACD+50S△BCD＝2500×50sinθ+100×2500sin(5π6−θ)sinθ+50[2500√3−2500sin(5π6−θ)sinθ]＝2500×50[√3+1+sin(5π6−θ)sinθ]＝2500×50（3√32+2+cosθ2sinθ），因为2+cosθ2sinθ=3cos2θ2+sin2θ24sinθ2cosθ2=34tanθ2+tanθ24≥2√34tanθ2⋅tanθ24=√34，当且仅当tan θ2=√3，即θ=2π3时取等号，此时y 取得最小值，即公园造价最低，所以∠ADC =2π3，口袋公园的造价最低． 21．（12分）设S n 为数列{a n }的前n 项和，s n =3n+1−32．（1）求{a n }的通项公式；（2）若数列{S 2n +15a n }的最小项为第m 项，求m ；（3）设b n =2a n (a n −2)2，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：T n ＜132．（1）解：当n ＝1时，a 1＝S 1=32−32=3；当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1=3n+1−32−3n−32=3n ，因为a 1＝3满足上式，所以a n ＝3n ．（2）解：S 2n +15a n =32n+1−32+153n =32n+1+272⋅3n =32•（3n +93n ）≥32•2√3n ⋅93n =9，当且仅当3n =93n ，即n ＝1时，等号成立，所以m ＝1．（3）证明：b n =2a n (a n −2)2=2⋅3n(3n −2)2，当n ＝1时，b 1=2⋅31(31−2)2=6；当n ≥2时，b n =2⋅3n 32n −4⋅3n +4＜2⋅3n 32n −4⋅3n +3=2⋅3n (3n −1)(3n −3)=3n 3n −3−3n 3n −1=11−3−n+1−11−3−n ，所以T n ＝b 1+b 2+b 3+…+b n ＜6+（11−3−1−11−3−2）+（11−3−2−11−3−3）+…+（11−3−n+1−11−3−n ）＝6+11−3−1−11−3−n =152−11−3−n ＜152−1=132，命题得证． 22．（12分）已知函数f （x ）＝e x +aln （x +1）（a ∈R ）．（1）当a ＝﹣2时，求曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；（2）若f （x ）在定义域上存在极值，求a 的取值范围；（3）若f （x ）≥1﹣sin x 恒成立，求a ．解：（1）当a ＝﹣2时，f （x ）＝e x ﹣2ln （x +1），可得f ′(x)=e x −2x+1，此时f′(0)=e0−21=−1，又f（0）＝e0﹣2ln1＝1，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣1＝﹣（x﹣0），即x+y﹣1＝0；（2）易知f′(x)=e x+ax+1(x＞−1)，当a≥0时，f′（x）≥0恒成立，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，不符合题意；当a＜0时，f′(x)=e x−a(x+1)2＞0，所以当a＜0时，f′（x）在定义域上单调递增，又f′(a2)=e a2+aa2+1，因为aa2+1≥−12，e a2＞1，所以f′（a2）＞0；当a＜﹣1时，易知f′（0）＝1+a＜0，所以函数f（x）在（0，a2）上存在极值点；当a＝﹣1时，f′(x)=e x−1x+1，易知f′（0）＝0，所以x＝0为f（x）的极值点；当﹣1＜a＜0时，f′(a2−1)=e a2−1+1 a ，因为e a2−1＜1，1a＜−1，所以f′（a2﹣1）＜0，则函数f（x）在（a2﹣1，a2）上存在极值点，综上所述，满足条件的a的取值范围为（﹣∞，0）；（3）若f（x）≥1﹣sin x恒成立，即sin x+e x+aln（x+1）≥1恒成立，不妨设g（x）＝sin x+e x+aln（x+1），函数定义域为（﹣1，+∞），可得g′(x)=cosx+e x+ax+1，不妨设h（x）＝cos x+e x+ax+1，函数定义域为（﹣1，+∞），可得h′（x）＝﹣sin x+e x−a(x+1)2，若a＝﹣2，当x∈（﹣1，0]时，cosx+e x≤2，−2x+1≤−2，所以g'（x）≤0，当x∈[0，+∞）时，e x≥1，h′（x）≥0，所以g′（x）≥g′（0）＝cos0+e0﹣2＝0，则x＝0时，函数g（x）在x∈（﹣1，+∞）上取得唯一极小值点，此时g（x）≥g（0）＝1，所以a＝﹣2时，f（x）≥1﹣sin x恒成立；若a＜﹣2，易知e x﹣sin x＞0，−a(x+1)2＞0，所以h′（x）＞0，即函数g'（x）单调递增，又g′(−a)=e−a+cos(−a)+a−a+1＞e2−1−1＞0，因为g'（0）＝2+a＜0，所以存在x1∈（0，﹣a），使得g'（x1）＝0，当0＜x＜x1时，g′（x1）＜0，g（x）单调递减，所以g（x1）＜g（0）＝1，不符合题意；若﹣2＜a＜0，由（2）知g′（x）单调递增，当﹣1＜x＜﹣1−a2＜0时，ax+1＜−2，g′(x)＜1+1+ax+1＜0，又g′（0）＝2+a＞0，所以存在x2∈（﹣1，0），使得g′（x2）＝0，当x2＜x＜0 时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x2）＜g（0）＝1，不符合题意；若a≥0，易知cos x+e x＞0，ax+1≥0，所以g′（x）＞0，g（x）单调递增，又g（0）＝1，所以当﹣1＜x＜0时，g（x）＜g（0）＝1，不符合题意，综上所述，满足条件的a的值为﹣2．。

河南省南阳市2021-2022学年高三上学期期中考试数学文科试卷

2021年秋期高中三年级期中质量评估数学试题(文)注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。

写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷和草稿纸上无效。

4.考试结束，只交答题卡。

第I卷选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A＝{x∈N*|x2－3x－4<0}，则集合A的真子集有A.7个B.8个C.15个D.16个2.设iz＝4＋3i，则z＝A.－3－4iB.－3＋4iC.3－4iD.3＋4i3.意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－l)＋F(n－2)(n≥3，n∈N*)，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用。

若此数列的各项除以2的余数构成一个新数列{a n}，则数列{a n}的前2021项的和为A.2020B.1348C.1347D.6724.已知命题p：“∃x0∈R，0x e－x0－1≤0”，则¬p为A.∀x∈R，e x－x－1≥0B.∀x∈R，e x－x－1>0C.∃x0∈R，0x e－x0－1≥0D.∃x0∈R，0x e－x0－1>05.已知f(x)＝14x2＋sin(2＋x)，f'(x)为f(x)的导函数，则y＝f'(x)的图象大致是6.设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则A.a>c>bB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b7.设变量x ，y 满足约束条件x 1x 2y 30x y 0≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≥⎩，则目标函数z ＝2x －y 的最小值为A.－1B.0C.1D.38.若实数a ，b 满足a>0，b>0，则“a>b ”是“a ＋lna>b ＋lnb ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.已知x>1，y>0，且1211x y+=-，则x ＋2y －1的最小值为 A.9 B.10 C.11 D.2＋26 10.已知OA 、OB 是两个夹角为120°的单位向量，如图示，点C 在以O 为圆心的AB 上运动。

2023-2024学年山东省淄博市高三(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年山东省淄博市高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x |x ＜3，x ∈N }，则A ∩B ＝（） A ．{1，2}B ．{1，2，3}C ．{0，1，2，3}D ．{0，1，2}2．已知复数z 满足（1+2i ）z ＝3﹣2i （i 为虚数单位），则z 的虚部为（） A ．−15B ．−85C ．−15iD ．−85i3．“|x |＞2”的一个充分不必要条件是（） A ．﹣2＜x ＜2B ．﹣4＜x ≤﹣2C ．x ＞﹣2D ．x ＞24．数列{a n }满足a 1=12，a n+1=1+a n1−a n(n ∈N ∗)，则a 2023＝（） A ．12B ．3C ．﹣2D ．−135．已知O 为△ABC 的外心，且AO →=λAB →+(1−λ)AC →．若向量BA →在向量BC →上的投影向量为34BC →，则cos∠AOC 的值为（） A ．1B ．√32C ．√22D ．126．杭州亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目，共设杭州赛区、宁波赛区、温州赛区、金华赛区、绍兴赛区、湖州赛区，现需从6名管理者中选取4人分别到温州，金华、绍兴、湖州四个赛区负责志愿者工作，要求四个赛区各有一名管理者，且6人中甲不去温州赛区，乙不去金华赛区，则不同的选择方案共有（） A ．108种B ．216种C ．240种D ．252种7．已知函数y ＝xf （x ）是R 上的偶函数，f （x ﹣1）+f （x +3）＝0，当x ∈[﹣2，0]时，f （x ）＝2x ﹣2﹣x +x ，则（）A ．f （x ）的图象关于直线x ＝2对称B ．4是f （x ）的一个周期C ．f(2023)=52D ．f(12)＞f(0．50.2)8．设函数f （x ）={x +|lnx|−2，x ＞0，sin(ωx +π4)−12，−π≤x ≤0有7个不同的零点，则正实数ω的取值范围为（） A ．[134，174) B ．[174，214) C ．[4912，6512)D ．[6512，7312)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．教育部办公厅“关于进一步加强中小学生体质健康管频率理工作的通知”中指出，各地要加强对学生体质健康0.06重要性的宣传，中小学校要通过体育与健康课程、大课间、课外体育锻炼、体育竞赛、班团队活动，家校协同联动等多种形式加强教育引导，让家长和中小学生007科学认识体质健康的影响因素．了解运动在增强体质、促进健康、预防肥胖与近视、锤炼意志、健全人格等方面的重要作用，提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，某学校共有2000名男生，为了了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了100名男生的体重情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则（）A ．样本的众数为6712B ．样本的80%分位数为7212C ．样本的平均值为66D ．该校男生中低于60公斤的学生大约为300人10．正数a ，b 满足a ＜b ，a +b ＝2，则（） A ．1＜b ＜2B ．2a ﹣b ＞1C ．√a +√b ＜2D ．1a+2b≥311．甲罐中有3个红球，4个黑球，乙罐中有2个红球，3个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，以A 表示事件“由甲罐取出的球是红球”再从乙罐中随机取出一球，以B 表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则（） A ．P(A)=37B ．P(B)=1742 C ．事件A 与事件B 相互独立D ．P(B|A)=1212．已知偶函数f(x)=cos(2ωx +φ)−√3sin(2ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的周期为π，将函数f （x ）的图象向右平移π6个单位长度，得到函数y ＝g （x ）的图象，下列结论正确的是（）A ．g(x)=2cos(2x −π6)B ．函数g （x ）的图象关于直线x =π6对称C ．不等式g （x ）≥1的解集为{x|kπ≤x ≤kπ+π3，k ∈Z} D ．g(x)=12f 2(x 2)在(0，π2)上有两个相异实根三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．在（x 2√x ）8的展开式中，含x 2项的系数为． 14．已知向量a →=(−2，sinα)，b →=(cosα，1)，且a →⊥b →，则sin2α3−2sin 2α= ．15．若项数为n 的数列{a n }，满足：a i ＝a n +1﹣i （i ＝1，2，3，…，n ），我们称其为n 项的“对称数列”．例如：数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的“对称数列”．设数列{c n }为2k +1项的“对称数列”，其中c 1，c 2，…，c k +1是公差为﹣2的等差数列，数列{c n }的最小项等于﹣10，记数列{c n }的前2k +1项和为S 2k +1，若S 2k +1＝﹣50，则k 的值为． 16．若对任意的x 1，x 2∈[1，π2]，x 1＜x 2，x 2sinx 1−x 1sinx 2x 1−x 2＞a 恒成立，则实数a 的最大值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①a 2﹣c 2＝bc ；②b +bcosA =√3asinB ；③sinA =√3sinC ．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 18．（12分）已知函数f(x)=(1x+1)ln(1+x)．（1）求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；（2）求函数f （x ）的单调增区间．19．（12分）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，为弘扬奥林匹克和亚运精神，增强锻炼身体意识，某学校举办一场羽毛球比赛．已知羽毛球比赛的单打规则是：若发球方胜，则发球方得1分，且继续在下一回合发球；若接球方胜，则接球方得1分，且成为下一回合发球方．现甲、乙二人进行羽毛球单打比赛，若甲发球，甲得分的概率为35，乙得分的概率为25；若乙发球，乙得分的概率为45，甲得分的概率为15．每回合比赛的结果相互独立．经抽签决定，第一回合由甲发球．（1）求第三回合甲发球的概率；（2）设前三个回合中，甲的总得分为X ，求X 的分布列及期望．20．（12分）已知公差为d 的等差数列{a n }和公比q ＞0的等比数列{b n }中，a 1＝b 1＝1，a 2+b 3＝8，a 3+b 2＝9．（1）求数{a n }列{b n }和的通项公式；（2）删去数列{b n }中的第a i 项（其中i ＝1，2，3，⋯），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c n }，求数列{c n }的前n 项和S n ．21．（12分）为传承和发扬淄博陶瓷，某陶瓷公司计划加大研发力度．为确定下一年度投资计划，需了解年研发资金x i （亿元）与年销售额y i （亿元）的关系．该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型：①y ＝α+βx 2，②y ＝e λx +t ，其中α，β，λ，t 均为常数，e 为自然对数的底数．现该公司收集了近12年的年研发资金x i 和年销售额y i 的数据，i ＝1，2，⋯，12，并对这些数据作了初步处理，得到了散点图及一些统计量的值．令u i =x i 2(i =1，2，⋯，12)，v i ＝lny i （i ＝1，2，⋯，12），经计算得如下数据：（1）设{u i }和{y i }的相关系数为r 1，{x i }和{v i }的相关系数为r 2，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；（2）根据（1）的选择及表中数据，建立y 关于x 的回归方程（计算过程中保留到0.001，最后结果精确到0.01）；（3）为进一步了解人们对新款式瓷器喜爱程度（分为“比较喜欢”和“不太喜欢”）是否跟年龄（分为“小于30岁”和“不小于30岁”）有关，公司从该地区随机抽取600人进行调查，调查数据如表：根据小概率α＝0.001的独立性检验，分析该地区对新款式瓷器喜爱程度是否与年龄有关．附：①相关系数r =∑(x i −x)(y −y)ni=1√∑(x i −x)2∑n i=1(y i −y)2i=1，回归直线y =a +bx 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b =∑x i y i −nxy ni=1∑x i 2−x2ni=1=∑(x i−x)(y i −y)ni=1∑ n i=1(x i −x)2，a =y −b x ；②χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ；③参考数据：308＝4×77．22．（12分）已知函数f（x）＝x2（lnx﹣a），a为实数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在x＝e处取得极值，f′（x）是函数f（x）的导函数，且f′（x1）＝f′（x2），x1＜x2，证明：2＜x1+x2＜e．2023-2024学年山东省淄博市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x |x ＜3，x ∈N }，则A ∩B ＝（） A ．{1，2}B ．{1，2，3}C ．{0，1，2，3}D ．{0，1，2}解：因为B ＝{x |x ＜3，x ∈N }＝{0，1，2}，A ＝{0，1，2，3}，因此A ∩B ＝{0，1，2}．故选：D ．2．已知复数z 满足（1+2i ）z ＝3﹣2i （i 为虚数单位），则z 的虚部为（） A ．−15B ．−85C ．−15iD ．−85i解：∵（1+2i ）z ＝3﹣2i ， ∴z =3−2i 1+2i =(3−2i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−15−85i ， ∴z 的虚部为−85．故选：B ．3．“|x |＞2”的一个充分不必要条件是（） A ．﹣2＜x ＜2B ．﹣4＜x ≤﹣2C ．x ＞﹣2D ．x ＞2解：由|x |＞2解得：x ＜﹣2或x ＞2，找“|x |＞2”的一个充分不必要条件，即找集合{x |x ＜﹣2或x ＞2}的真子集， ∵{x |x ＞2}⫋{x |x ＜﹣2或x ＞2}，∴“|x |＞2”的一个充分不必要条件是{x |x ＞2}．故选：D ．4．数列{a n }满足a 1=12，a n+1=1+a n1−a n(n ∈N ∗)，则a 2023＝（） A ．12B ．3C ．﹣2D ．−13解：因为a 1=12，a n+1=1+an 1−a n(n ∈N ∗)，所以a 2=1+a 11−a 1=1+121−12=3，a 3=1+a 21−a 2=1+31−3=−2， a 4=1+a31−a 3=1−21+2=−13，a 5=1+a 41−a 4=1−131+13=12，a 6=1+a 51−a 5=1+121−12=3，所以数列{a n }是周期为4的周期数列，所以a 2023＝a 505×4+3＝a 3＝﹣2．故选：C ．5．已知O 为△ABC 的外心，且AO →=λAB →+(1−λ)AC →．若向量BA →在向量BC →上的投影向量为34BC →，则cos∠AOC 的值为（） A ．1B ．√32C ．√22D ．12解：因为AO →=λAB →+(1−λ)AC →=λAB →+AC →−λAC →，所以CA →+AO →=λAB →+λCA →=λ(CA →+AB →)，即CO →=λCB →，所以O 在BC 上，故△ABC 的外接圆以O 为圆心，BC 为直径，所以△ABC 为直角三角形，且AC ⊥AB ，O 为BC 中点，过A 作BC 的垂线AQ ，垂足为Q ，因为向量BA →在向量BC →上的投影向量为34BC →，所以OA →在BC →上的投影向量为OQ →=BQ →−BO →=34BC →−12BC →=14BC →，因为|OA →|=12|BC →|，所以cos ∠AOC =|OQ||OA|=|OQ →||OA →|=14|BC →|12|BC →|=1412=12．故选：D ．6．杭州亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目，共设杭州赛区、宁波赛区、温州赛区、金华赛区、绍兴赛区、湖州赛区，现需从6名管理者中选取4人分别到温州，金华、绍兴、湖州四个赛区负责志愿者工作，要求四个赛区各有一名管理者，且6人中甲不去温州赛区，乙不去金华赛区，则不同的选择方案共有（） A ．108种B ．216种C ．240种D ．252种解：根据题意，可分为四类：①当甲乙都未选中，则不同的选择方案有A44=24种；②当甲选中，乙未选中，则不同的选择方案有C43C31A33=72种；③当甲未选中，乙选中，则不同的选择方案有C43C31A33=72种；④当甲乙都选中，则由C42种选法，先安排甲，再安排乙，若甲去了金华赛区，则有A33=6；若甲未去金华赛区，则有C21C21A22=8，则不同的安排方案有C42×(6+8)=84种，由分类计数原理，可得共有24+72+72+84＝252种不同的安排方案．故选：D．7．已知函数y＝xf（x）是R上的偶函数，f（x﹣1）+f（x+3）＝0，当x∈[﹣2，0]时，f（x）＝2x﹣2﹣x+x，则（）A．f（x）的图象关于直线x＝2对称B．4是f（x）的一个周期C．f(2023)=52D．f(12)＞f(0．50.2)解：∵函数y＝xf（x）是R上的偶函数，∴﹣xf（﹣x）＝xf（x），∴﹣f（﹣x）＝f（x），即y＝f（x）为奇函数，对于A：∵f（x﹣1）+f（x+3）＝0，∴f（x）+f（x+4）＝0，从而f（﹣x）+f（﹣x+4）＝0，∴﹣f（x）+f（﹣x+4）＝0即f（﹣x+4）＝f（x），即f（x）的图象关于直线x＝2对称，A正确；对于B：∵f（﹣x+4）＝f（x），∴﹣f（x﹣4）＝f（x），即f（x﹣4）+f（x）＝0，∴f（x﹣8）+f（x﹣4）＝0，∴f（x）＝f（x﹣8），∴f（x）是以8为周期的函数，B错误；对于C：f(2023)=f(253×8−1)=f(−1)=12−2−1=−52，C错误；对于D：当x∈[﹣2，0]时，y＝2x，y＝﹣2﹣x，y＝x均为单调递增函数，∴f（x）＝2x﹣2﹣x+x在[﹣2，0]上单调递增，又y＝f（x）为奇函数，∴y＝f（x）在[0，2]上单调递增，又0＜12=0．51＜0．50.2＜2，∴f(12)＜f(0．50.2)，D错误．故选：A．8．设函数f（x）={x+|lnx|−2，x＞0，sin(ωx+π4)−12，−π≤x≤0有7个不同的零点，则正实数ω的取值范围为（）A．[134，174)B．[174，214)C．[4912，6512)D．[6512，7312)解：∵当0＜x＜1时，f（x）＝x﹣lnx﹣2，f′(x)=1−1x＜0恒成立，f（x）单调递减，且f（e﹣2）＝e﹣2＞0，f（1）＝﹣1＜0，此时f（x）有且只有一个零点；当x≥1时，f（x）＝x+lnx﹣2单调递增，且f（1）＝﹣1＜0，f（2）＝ln2＞0，此时f（x）有且只有一个零点，∴当﹣π≤x≤0时，f(x)=sin(ωx+π4)−12有5个零点，即方程sint=12在[−ωπ+π4，π4]上有5个实根，则−5π−π6＜−ωπ+π4≤−4π+π6，即4912≤ω＜6512．故选：C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．教育部办公厅“关于进一步加强中小学生体质健康管频率理工作的通知”中指出，各地要加强对学生体质健康0.06重要性的宣传，中小学校要通过体育与健康课程、大课间、课外体育锻炼、体育竞赛、班团队活动，家校协同联动等多种形式加强教育引导，让家长和中小学生007科学认识体质健康的影响因素．了解运动在增强体质、促进健康、预防肥胖与近视、锤炼意志、健全人格等方面的重要作用，提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，某学校共有2000名男生，为了了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了100名男生的体重情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则（）A ．样本的众数为6712 B ．样本的80%分位数为7212C ．样本的平均值为66D ．该校男生中低于60公斤的学生大约为300人解：对于选项A ，样本的众数为65+702=6712，故正确；对于选项B ，∵0.03×5+0.05×5+0.06×5＝0.7＜0.8， 0.03×5+0.05×5+0.06×5+0.04×5＝0.9＞0.8， ∴样本的80%分位数在（70，75]之间， 70+0.8−0.70.04×5×5＝7212，故正确；对于选项C ，样本的平均值为57.5×0.03×5+62.5×0.05×5+67.5×0.06×5+72.5×0.04×5+77.5×0.02×5＝66.75，故错误；对于选项D ，该校男生中低于60公斤的学生大约为2000×0.03×5＝300人，故正确；故选：ABD ．10．正数a ，b 满足a ＜b ，a +b ＝2，则（） A ．1＜b ＜2 B ．2a ﹣b ＞1C ．√a +√b ＜2D ．1a+2b≥3解：因为a +b ＝2，所以a ＝2﹣b ，由题意得2﹣b ＜b 且2﹣b ＞0，故1＜b ＜2，A 正确；因为a ＜b ，即a ﹣b ＜0，所以2a ﹣b ＜1，B 错误；因为（√a+√b 2）2≤a+b2=1，显然等号无法取得，故√a +√b ＜√2，C 正确；1a+2b=a+b 2a+a+b b=32+b 2a+a b≥32+√2，当且仅当b =√2a 且a +b ＝2，即a ＝2√2−2，b ＝4﹣2√2时取等号，D 错误．故选：AC ．11．甲罐中有3个红球，4个黑球，乙罐中有2个红球，3个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，以A 表示事件“由甲罐取出的球是红球”再从乙罐中随机取出一球，以B 表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则（） A ．P(A)=37B ．P(B)=1742 C ．事件A 与事件B 相互独立D ．P(B|A)=12解：由题意P(A)=37，故A 正确； P(B)=37×36+47×26=1742，故B 正确； P(AB)=37×36=314，因为P(A)P(B)=37×1742=1798≠P(AB)，所以事件A 与事件B 不相互独立，故C 错误； P(B|A)=P(AB)P(A)=31437=12，故D 正确．故选：ABD ．12．已知偶函数f(x)=cos(2ωx +φ)−√3sin(2ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的周期为π，将函数f （x ）的图象向右平移π6个单位长度，得到函数y ＝g （x ）的图象，下列结论正确的是（）A ．g(x)=2cos(2x −π6)B ．函数g （x ）的图象关于直线x =π6对称C ．不等式g （x ）≥1的解集为{x|kπ≤x ≤kπ+π3，k ∈Z} D ．g(x)=12f 2(x 2)在(0，π2)上有两个相异实根解：f(x)=cos(2ωx +φ)−√3sin(2ωx +φ)=2cos(2ωx +π3+φ)，则T =2π2|ω|=π，ω＞0，解得，ω＝1，又f （x ）为偶函数，所以π3+φ=kπ，k ∈Z ，即φ=−π3+kπ，k ∈Z ，又|φ|＜π2，所以φ=−π3，所以f （x ）＝2cos2x ，其向右平移π6个单位长位得y =g(x)=2cos(2x −π3)，A 错误；g(π6)=2cos(2×π6−π3)=2，所以函数g （x ）的图象关于直线x =π6对称，B 正确；令g(x)=2cos(2x −π3)≥1，解得kπ≤x ≤kπ+π3，k ∈Z ，C 正确：； g(x)=12f 2(x2)，即2cos(2x −π3)=12(2cosx)2，整理得sin2x =√33，根据y ＝sin2x 的图象明显可得方程sin2x =√33在(0，π2)有两个相异实根，D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．在（x 2√x ）8的展开式中，含x 2项的系数为 1120 ．解：（x 2√x ）8的展开式的通项公式为 T r +1=C 8r•（﹣2）r •x 8−3r2，令8−3r 2=2，求得 r ＝4，可得含x 2项的系数为C 84×（﹣2）4＝1120，故答案为：1120．14．已知向量a →=(−2，sinα)，b →=(cosα，1)，且a →⊥b →，则sin2α3−2sin 2α=47．解：因为a →=(−2，sinα)，b →=(cosα，1)，且a →⊥b →，所以a →⋅b →=−2cos α+sin α＝0，所以tan α＝2，所以sin2α3−2sin 2α=2sinαcosα3(sin 2α+cos 2α)−2sin 2α=2sinαcosαsin 2α+3cos 2α=2tanαtan 2α+3=2×222+3=47．故答案为：47．15．若项数为n 的数列{a n }，满足：a i ＝a n +1﹣i （i ＝1，2，3，…，n ），我们称其为n 项的“对称数列”．例如：数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的“对称数列”．设数列{c n }为2k +1项的“对称数列”，其中c 1，c 2，…，c k +1是公差为﹣2的等差数列，数列{c n }的最小项等于﹣10，记数列{c n }的前2k +1项和为S 2k +1，若S 2k +1＝﹣50，则k 的值为 5或4．．解：由于c 1，c 2，⋯，c k +1是公差为﹣2的等差数列，故c 1，c 2，⋯，c k +1单调递减，所以c k +1＝﹣10，故c 1﹣2k ＝﹣10，则c 1＝﹣10+2k ，c k ＝c k +1+2＝﹣8．又S 2k +1＝﹣50，故2（c 1+c 2+⋯+c k ）+c k +1＝﹣50，即c 1+c 2+⋯+c k ＝﹣20，由等差数列前n 项和公式有k(−10+2k−8)2=−20，化简得k 2﹣9k +20＝0，解得k ＝5或k ＝4．故答案为：5或4．16．若对任意的x 1，x 2∈[1，π2]，x 1＜x 2，x 2sinx 1−x 1sinx 2x 1−x 2＞a 恒成立，则实数a 的最大值为 ﹣1 ．解：∵x 1＜x 2，x 2sinx 1−x 1sinx 2x 1−x 2＞a ，对任意的x 1，x 2∈[1，π2]恒成立，∴sinx 1x 1+a x 1＜sinx 2x 2+a x 2对任意的x 1，x 2∈[1，π2]恒成立．令f(x)=sinx x +a x ，x ∈[1，π2]，即对任意的x 1，x 2∈[1，π2]，当x 1＜x 2时，f （x 1）＜f （x 2），则f(x)=sinx x +a x ，x ∈[1，π2]为单调递增函数，即f ′(x)=xcosx−sinx−a x 2≥0在[1，π2]上恒成立，令g （x ）＝x cos x ﹣sin x ﹣a ，x ∈[1，π2]， g ′（x ）＝cos x ﹣x sin x ﹣cos x ＝﹣x sin x ＜0，即g （x ）＝x cos x ﹣sin x ﹣a 在[1，π2]上单调递减，可得g(x)min =g(π2)=π2cos π2−sin π2−a ≥0，即﹣1﹣a ≥0，解得a ≤﹣1．即实数a 的最大值为﹣1．故答案为：﹣1．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①a 2﹣c 2＝bc ；②b +bcosA =√3asinB ；③sinA =√3sinC ．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．证明：选①②当条件，③当结论由②得sinB +sinBcosA =√3sinAsinB ，因为sin B ＞0，所以1+cosA =√3sinA ，即sin(A −π6)=12，0＜A ＜π，所以A =π3，则a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝b 2+c 2﹣bc ，由①知，a 2＝c 2+bc ，代入可得，b ＝2c ，所以a =√3c ，即sinA =√3sinC ；选①③作条件，②当结论，由③得：a=√3c，因为a2＝c2+bc，所以3c2＝c2+bc，则b＝2c，所以cosA=b2+c2−a22bc=12，0＜A＜π，所以A=π3，由③知，sinA=√3sinC，所以sinC=sinA√3=12，所以C=π6，所以B=π2，所以，b+bcosA=2c+c=3c=√3×√3c=√3a=√3asinB；选②③作条件，①当结论，由②得：sinB+sinBcosA=√3sinAsinB，而sin B＞0，所以1+cosA=√3sinA，即√3sinA−cosA=1，根据辅助角公式可得，sin(A−π6)=12，所以，A=π3，由③，sinA=√3sinC，所以sinC=sinA3=12，得：C=π6，所以B=π2，所以sinA=√3sinC，sin B＝2sin C，则a=√3c，b＝2c，即：a2﹣c2＝bc．18．（12分）已知函数f(x)=(1x+1)ln(1+x)．（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调增区间．解：（1）因为f(x)=(1x+1)ln(1+x)，定义域为（﹣1，0）∪（0，+∞），所以f′(x)=−1x2ln(1+x)+(1x+1)11+x=x−ln(x+1)x2，又f′（1）＝1﹣ln2，f（1）＝2ln2，所以切线方程为y＝（1﹣ln2）（x﹣1）+2ln2，即y＝（1﹣ln2）x+3ln2﹣1．（2）函数f（x）定义域为（﹣1，0）∪（0，+∞），f′(x)=x−ln(x+1)x2，设g（x）＝x﹣ln（x+1），x∈（﹣1，0）∪（0，+∞），所以g′(x)=1−1x+1=xx+1，当x∈（﹣1，0）时，g′（x）＜0，函数单调递减，当x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，函数单调递递增，所以g （x ）min ＞g （0）＝0，所以g （x ）＝x ﹣ln （x +1）＞0恒成立，所以f ′(x)=x−ln(x+1)x 2＞0在（﹣1，0）∪（0，+∞）上恒成立，所以函数f （x ）在（﹣1，0）和（0，+∞）上单调递增，所以函数f （x ）单调增区间为（﹣1，0）和（0，+∞）．19．（12分）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，为弘扬奥林匹克和亚运精神，增强锻炼身体意识，某学校举办一场羽毛球比赛．已知羽毛球比赛的单打规则是：若发球方胜，则发球方得1分，且继续在下一回合发球；若接球方胜，则接球方得1分，且成为下一回合发球方．现甲、乙二人进行羽毛球单打比赛，若甲发球，甲得分的概率为35，乙得分的概率为25；若乙发球，乙得分的概率为45，甲得分的概率为15．每回合比赛的结果相互独立．经抽签决定，第一回合由甲发球．（1）求第三回合甲发球的概率；（2）设前三个回合中，甲的总得分为X ，求X 的分布列及期望．解：（1）若第三回合甲发球，则前三回合发球的顺序分别为甲甲甲，或者甲乙甲，故第三回合甲发球的概率为35×35+(1−35)×15=1125．（2）设甲在第i 回合得分记为事件A i ，乙在第i 回合得分记为事件 B i ，i ∈{1，2，3}，则P(A 1A 2A 3)=(35)3=27125，此时甲得3分， P(A 1A 2B 3)=(35)2×25=18125，此时甲得2分， P(A 1B 2A 3)=35×25×15=6125，此时甲得2分， P(A 1B 2B 3)=35×25×45=24125，此时甲得1分， P(B 1A 2A 3)=25×15×35=6125，此时甲得2分， P(B 1A 2B 3)=25×15×25=4125，此时甲得1分， P(B 1B 2A 3)=25×45×15=8125，此时甲得1分， P(B 1B 2B 3)=25×45×45=32125，此时甲得0分，故X 的分布列为：故E(X)=0×32125+1×36125+2×30125+3×27125=176125． 20．（12分）已知公差为d 的等差数列{a n }和公比q ＞0的等比数列{b n }中，a 1＝b 1＝1，a 2+b 3＝8，a 3+b 2＝9．（1）求数{a n }列{b n }和的通项公式；（2）删去数列{b n }中的第a i 项（其中i ＝1，2，3，⋯），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c n }，求数列{c n }的前n 项和S n ．解：（1）由已知得{a 2+b 3=1+d +q 2=8a 3+b 2=1+2d +q =9，解得d ＝3，q ＝2，∴a n =3n −2，b n =2n−1；（2）由已知得数列{c n }：b 2，b 3，b 5，b 6，b 8，b 9，…，当n 为偶数时，S n =(b 2+b 5+b 8+⋯+b 3(n 2)−1)+(b 3+b 6+b 9+⋯+b 3(n 2)) =2(1−8n 2)1−8+4(1−8n 2)1−8=6(8n2−1)7，当n 为奇数（n ≥3）时，S n =b 2+(b 3+b 6+⋯+b3(n−12))+(b 5+b 8+b 11+⋯+b 3(n−12)+2) =2+4(1−8n−12)1−8+16(1−8n−12)1−8=20(8n−12−1)7+2，当n ＝1时，S 1＝2，符合上式，故S n ={6(8n2−1)7，n 为偶数20(8n−12−1)7+2，n 为奇数．21．（12分）为传承和发扬淄博陶瓷，某陶瓷公司计划加大研发力度．为确定下一年度投资计划，需了解年研发资金x i （亿元）与年销售额y i （亿元）的关系．该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型：①y ＝α+βx 2，②y ＝e λx +t ，其中α，β，λ，t 均为常数，e 为自然对数的底数．现该公司收集了近12年的年研发资金x i 和年销售额y i 的数据，i ＝1，2，⋯，12，并对这些数据作了初步处理，得到了散点图及一些统计量的值．令u i =x i 2(i =1，2，⋯，12)，v i ＝lny i （i ＝1，2，⋯，12），经计算得如下数据：（1）设{u i }和{y i }的相关系数为r 1，{x i }和{v i }的相关系数为r 2，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；（2）根据（1）的选择及表中数据，建立y 关于x 的回归方程（计算过程中保留到0.001，最后结果精确到0.01）；（3）为进一步了解人们对新款式瓷器喜爱程度（分为“比较喜欢”和“不太喜欢”）是否跟年龄（分为“小于30岁”和“不小于30岁”）有关，公司从该地区随机抽取600人进行调查，调查数据如表：根据小概率α＝0.001的独立性检验，分析该地区对新款式瓷器喜爱程度是否与年龄有关．附：①相关系数r =∑(x i −x)(y −y)ni=1√∑(x i −x)2∑ n i=1(y i −y)2i=1，回归直线y =a +bx 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b =∑x i y i −nxy ni=1∑x i 2−x2ni=1=∑(x i−x)(y i −y)ni=1∑n i=1(x i −x)2，a =y −b x ；②χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ；③参考数据：308＝4×77．解：（1）r 1=∑(u i −u)(y −y)12i=1√∑(u i −u)2i=1∑(y i −y)2i=1=3125000×200=2150025000=4350=0.86，r 2=∑(x i −x)(v i −v)12i=1√∑(x i −x)2i=1∑(v i −v)2i=1=14√770×0.308=1477×0.2=1011≈0.91，则|r1|＜|r2|，因此从相关系数的角度，模型y＝eλx+t的拟合程度更好．（2）先建立v关于x的线性回归方程，由y＝eλx+t，得lny＝t+λx，即v＝t+λx，由于λ=∑(x i−x)(v i−v)12i=1∑(x i−x)212i=1=14770≈0.018，t=v−λx=4.20−0.018×20=3.84，所以v关于x的线性回归方程为v=0.02x+3.84，所以lny=0.02x+3.84，则y=e0.02x+3.84．（3）零假设为H0：对新款式瓷器喜爱程度与年龄无关，χ2=(200×150−100×150)2350×250×300×300≈0.029＜10.828，根据小概率α＝0.001独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，即H0成立，该地区对新款式瓷器喜爱程度与年龄无关．22．（12分）已知函数f（x）＝x2（lnx﹣a），a为实数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在x＝e处取得极值，f′（x）是函数f（x）的导函数，且f′（x1）＝f′（x2），x1＜x2，证明：2＜x1+x2＜e．解：（1）函数f（x）＝x2（lnx﹣a）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝2x（lnx﹣a）+x＝x（2lnx﹣2a+1），令f′（x）＝0，所以lnx=2a−12，得x=e2a−12，当x∈(0，e 2a−12)，f′（x）＜0，当x∈(e 2a−12，+∞)，f′（x）＞0，所以函数f（x）递减区间为(0，e 2a−12)，递增区间为(e2a−12，+∞)．（2）证明：因为函数f（x）在x＝e处取得极值，所以x=e 2a−12=e，得a=32，所以f(x)=x2(lnx−32)，f′（x）＝x（2lnx﹣2）＝2x（lnx﹣1），令g（x）＝2x（lnx﹣1），g′（x）＝2lnx，因为当x＝1时，g′（x）＝0，所以当x∈（0，1），g′（x）＜0，当x∈（1，+∞），g′（x）＞0，所以函数g（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，又当x∈（0，e）时，g（x）＝2x（lnx﹣1）＜0，当x∈（e，+∞）时，g（x）＝2x（lnx﹣1）＞0，所以0＜x1＜1＜x2＜e．①先证x1+x2＞2，需证x2＞2﹣x1，因为x2＞1，2﹣x1＞1，下面证明g（x1）＝g（x2）＞g（2﹣x1），设t（x）＝g（2﹣x）﹣g（x），x∈（0，1），则f′（x）＝﹣g′（2﹣x）﹣g′（x），t′（x）＝﹣2ln（2﹣x）﹣2lnx＝﹣2ln[（2﹣x）x]＞0，所以t（x）在（0，1）上为增函数，所以t（x）＜t（1）＝g（1）﹣g（1）＝0，所以t（x1）＝g（2﹣x1）﹣g（x1）＜0，则g（2﹣x1）＜g（x1）＝g（x2），又因为g（x）在（1，+∞）单调递增，所以2﹣x1＜x2，即得x1+x2＞2，②下面证明：x1+x2＜e，因为x1∈（0，1），g（x1）＝2x1（lnx1﹣1）＜﹣2x1，当x∈（1，e）时，设h（x）＝g（x）﹣（2x﹣2e）＝2xlnx﹣4x+2e，因为在（1，e）上h′（x）＝2lnx﹣2＜0，所以h（x）在（1，e）上单调递减，所以h（x）＞h（e）＝2e﹣4e+2e＝0，所以h（x2）＞0，g（x2）＞2x2﹣2e，因为g（x1）＝g（x2），所以2x2﹣2e＜g（x2）＝g（x1）＜﹣2x1，即x1+x2＜e，所以2＜x1+x2＜e．。

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2019届高三数学上学期期中试题文一、选择题（共60分，每小题5分，每个小题有且仅有一个正确的答案） 1. 集合2{230}M x x x =--≥，{13}N x x =≤≤，则R C M N = ( )A. {10}x x -<≤B. {03}x x <<C. {13}x x ≤<D. {03}x x <≤2. 复数5112i z i=--+（其中i 为虚数单位）在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知命题:p x R ∀∈,都有210x x ++>，命题:q x R ∃∈,使得sin cos 2x x +=，则下列命题中是真命题的是（） A. p 且qB. p 或qC. p ⌝或qD. p ⌝且q ⌝4. 已知2tan =θ，则=+θθθ2cos cos sin ( )A ．51 B ．52 C. 53D ．555. 设1312a ⎛⎫=⎪⎝⎭,1213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1ln 3c =，则 ( ) A. c a b << B. b a c << C. a b c << D. c b a <<6. 如图所示，已知BC 3AC =，OA a =，OB b =，OC c =，则下列等式中成立的是（）A. 3122c b a =- B ．2c b a =- C ．2c a b =- D ．3122c a b =-7. 有3个不同的社团，甲、乙两名同学各自参加其中1个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则这两位同学参加同一个社团的概率为（） A ．13 B ．12 C ．23 D ．348. 设n S 为等比数列{n a }的前n 项和，47270a a +=，则42S S ＝（） A ．10 B ．9 C ．－8 D ．－5 9. 曲线()2xf x x e =-在点(0,(0))f 处的切线方程是（）A ．210x y --=B ．10x y -+=C ．0x y -=D ．10x y --= 10. 正方体1111D C B A ABCD -中，已知点E 、F 分别为棱AB 与BC 的中点，则直线EF 与直线1BC 所成的角为（）A ．30° B．45° C．60° D．90°11. 已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，抛物线上一点()2,M m 满足6MF =，则抛物线C 的方程为（）A ．22y x = B ． 24y x = C. 28y x = D ．216y x =12. 函数()sin()f x A x ωϕ=+(,,A ωϕ是常数，0,0,2A πωϕ>>≤)的部分图像如图所示，若方程()f x a =在[,]42ππ-上有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（） A.⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,22 B.⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,22—C. ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡226，—D. ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡226，二、填空题（共20分，每小题5分）13. 已知向量)3,2(=a，)2,1(-=b ，若 b n a m + 与 ba 2-共线，则n m等于___________. 14. 已知函数223,(2)()1,(2)x x x f x x x ⎧--≤=⎨-+>⎩，若()()g x f x b =-恰有一个零点，则实数b 的取值范围是________.15. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2c B a b =+，若ABC ∆的面积3S c =，则ab 的最小值为____________．16. 设函数x x x f sin 1)(-=在0x x =处取极值，则)2cos 1)(1020x x ++（=____________.三、解答题（共70分）（17-21为必做题，22、23为选做题）17. （本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足25a =，613a =.（1）求{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）令1n nb S =，求数列{}n b 的前n 项和. 18. （本小题满分12分）已知函数()2sin [cos()cos ]3f x x x x π=⋅-+,[0,]2x π∈，（1）求()6f π；（2）求()f x 的最大值与最小值.19. （本小题满分12分）如今，中国的“双十一”已经从一个节日变成了全民狂欢的“电商购物日”.某淘宝电商分析近8年“双十一”期间的宣传费用x （单位：万元）和利润y （单位：十万元）之间的关系，得到下列数据：（1）请用相关系数r 说明y 与x 之间是否存在线性相关关系（当0.81r >时，说明y 与x 之间具有线性相关关系）；（2）根据（1）的判断结果，建立y 与x 之间的回归方程，并预测当24x =时，对应的利润ˆy为多少（ˆˆˆ,,b a y 精确到0.1）. 附参考公式：回归方程中ˆˆˆy bx a =+中ˆb 和ˆa 最小二乘估计分别为1221ˆni ii nii x ynx y b xnx ==-=-∑∑,ˆˆay bx=-，相关系数()()12211ni i i n ni ii i x ynx yr x x yy ===-=--∑∑∑参考数据：()()88882221111241,356,8.25,6i i ii i i i i i x y x x x y y ======-≈-=∑∑∑∑．20.（本小题满分12分）如图，在三棱锥P -ABC 中，x2 3 4 568911y1 2 3 3 4 5 6 8======为AC的中点.4,AB BC PA PB PC AC O（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且2MC MB =，求点C 到平面POM 的距离.21. （本小题满分12分）已知函数2()2ln f x x x =-+. （1）求函数()f x 的最大值；（2）若函数()f x 与()ag x x x=+有相同的极值点 ① 求实数a 的值； ② 若对121,[,3]x x e∀∈，不等式12()()11f xg x k -≤-恒成立，求实数a 的取值范围.选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）.（1）若1a =-，求C 与l 交点的直角坐标；（2）若C 上的点到l 求a .23. [选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数()12f x x x =+--. （1）求不等式()1f x ≥的解集；（2）若不等式2()f x x x m ≥-+的解集非空，求实数m 的取值范围.高xx 第五期半期考试数学（文）答案一、选择题1-6：C C B C D A 7-12：A A D C D B 二、填空题 13. 21-14. )1[)4,(∞+---∞， 15. 48 16. 2 三、解答题 17. 解：（1）由 115513a d a d +=⎧⎨+=⎩得：13,2a d ==所以21n a n =+， 21()22n n n a a S n n +==+ 11111()(2)22n n b S n n n n ===-++ 记{}n b 的前n 项和为n T ，则1111111111(1)232435112n T n n n n =-+-+-++-+--++ 1111(1)2212n n =+--++31142224n n =--++18. 解：（1）,23)6cos(=-π，1sin 62π= 所以,3)2323(212)6(=+⨯=πf （2）()2sin cos cos 3f x x x x π⎡⎤⎛⎫=⋅-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦12sincos cos 2x x x x ⎡⎤⎛⎫=⋅+⎢⎥⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦)3sin 21cos22x x =-26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 因为02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以52666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，.又因为sin y z =在区间62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上是递增，在区间526ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上递减.所以，当262x ππ-=，即3x π=时，()f x ；当266x ππ-=-，即0x =时，()fx 有最小值0.19.解：（1）由题意得6,4x y ==． ··························· 2分又88211241,6i i ii i x y x ====≈=∑∑，所以()()8188221182418640.990.818.256i i i i i i i x yx yr x x y y ===--⨯⨯=≈≈>⨯--∑∑∑， ············ 5分所以y 与x 之间具有线性相关关系. ··························· 6分因为81822218241864ˆ0.7356868i ii ii x yx ybxx ==--⨯⨯==≈-⨯-∑∑， ····················· 8分（2）因为ˆˆ40.760.2ay bx =-≈-⨯=-， ······················ 10分所以回归直线方程为ˆ0.70.2yx =-，当24x =时，ˆ0.70.20.7240.216.6yx =-=⨯-=，即利润约为166万元. （12分） 20. 解：（1）因为4,O PA PC AC ===为AC 的中点，所以PO AC ⊥，且23OP =．连结OB ，因为22AB BC AC ==，所以ABC ∆为等腰直角三角形，且1,22OB AC OB AC ⊥==，由222OP OB PB +=知，OP OB ⊥，由,OP OB OP AC ⊥⊥，知OP ⊥平面ABC ；（2）作CH OM ⊥，垂足为H ，又由（1）可得OP CH ⊥，所以CH ⊥平面POM ，故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．由题设可知012422,,4523OC AC CM BC ACB ====∠=，所以25sin 45,OC MC ACB OM CH OM ∠===．所以点C 到平面POM 的距离为455．21.解：（1）由已知可得函数()f x 的定义域为(0,)+∞. 2'222()2x f x x x x-=-=，令'()0f x >，即2220x x->，解得01x <<；令'()0f x <，得1x >。