数列求和习题精选精讲
数列求和
一、利用常用求和公式求和
1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2
)1(2
)
(11-+
=+=
2、等比数列求和公式：??
???≠--=--==)
1(11)
1()1(1
11q q q a a q q a q na S n n
n
[例1] 已知3log 1log
23
-=
x ，求???++???+++n
x x x x 32的前n 项和.
解：由2
12log
log
3
log
1log
3
3
2
3
=
?-=?-=
x x x
由等比数列求和公式得：n
n x x x
x S +???+++=32
=
x
x x n
--1)1(＝
2
11)
2
11(21
-
-n
＝1－
n
2
1
[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1
)32()(++=
n n
S n S n f 的最大值.
解：由等差数列求和公式得 )1(2
1+=
n n S n ， )2)(1(2
1++=
n n S n
∴ 1
)32()(++=
n n
S n S n f ＝
64
342
++n n n ＝
n
n 64341+
+＝
50
)8(12
+-
n n 50
1≤
∴ 当 8
8-
n ，即n ＝8时，50
1)(max =
n f
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.
[例3] 求和：1
32
)12(7531--+???++++=n n x
n x x
x S ………………………①
解：由题可知，{1
)12(--n x
n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1
-n x
}的通项之积：设
n
n x n x x x x xS )12(75314
3
2
-+???++++=…②（设制错位）
①－②得 n
n n x n x
x x x
x S x )12(222221)1(1
432
--+???+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式
得：n
n n x n x
x
x S x )12(1121)1(1
----?
+=--。∴ 2
1
)
1()1()12()12(x x x n x n S n
n n -+++--=
+
[例4] 求数列
??????,2
2,,2
6,2
4
,
22
3
2
n
n 前n 项的和.解：由题可知，{n
n 2
2}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{
n
2
1}的通项之积
设n
n n S 2
2262
422
3
2
+
???++
+=
…………………………………①
1
4
3
2
222
62
42221++
???++
+
=n n n S …………② ①－②得1
4
3
2
2
22
22
22
22
22
2)2
11(+-
+
???++
+
+
=
-n n
n n S
1
1
2
22
12+--
-
=n n n ∴ 12
24-+-
=n n n S
三、倒序相加法求和
这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +. [例6] 求
89sin 88sin 3sin 2sin
1sin 2222
2
++???+++的值
解：设
89sin 88sin 3sin
2sin
1sin
222
2
2
++???+++=S …………. ①
将①式右边反序得：
1sin 2sin
3sin
88sin 89sin 22
2
22
+++???++=S ……② 又因为
1
cos sin ),90cos(sin 2
2=+-=x x x x ，
①+
②得 ：
)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 22
2
2222
++???++++=S ＝89 ∴ S ＝44.5
四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
[例7] 求数列的前n 项和：231,
,71,
41,
111
2
-+???+++-n a
a
a
n ，… 解：设)231(
)71(
)41(
)11(1
2
-++???++++++=-n a
a
a
S n n
将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(1
2
-+???+++++???+++
=-n a
a
a S n n （分组）
当a ＝1时，2
)13(n
n n S n -+
=＝
2
)13(n
n +（分组求和）当1≠a 时，2
)13(111
1n n a
a S n
n -+-
-
=
＝2
)13(11n
n a a a n
-+
---
[例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.
解：设k k
k
k k k a k ++=++=2
3
32)12)(1(∴ ∑=++=
n
k n k k k S 1
)12)(1(＝)32(2
3
1
k k k
n
k ++∑=
将其每一项拆开再重新组合得： S n ＝k k k n
k n k n k ∑
∑∑
===+
+1
2
1
3
1
32
＝)21()21(3)21(22
2
2
3
3
3
n n n +???++++???++++???++
= 2
)1(2
)
12)(1(2
)
1(2
2++
+++
+n n n n n n n ＝
2
)
2()1(2
++n n n
五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）)()1(n f n f a n -+= （2）
n n n n tan )1tan()
1cos(cos 1
sin -+=+
（3）111)
1(1+-
=
+=
n n
n n a n （4）)1
211
21
(
21
1)
12)(12()
2(2
+-
-+
=+-=
n n n n n a n
（5）])
2)(1(1)
1(1
[
21)2)(1(1
++-
+=+-=
n n n n n n n a n
n
n n
n n
n
n n S n n n n n n n n n a 2
)1(11,2
)1(12
12
1)
1()1(22
1
)1(2
1
+-
=+-
?=
?
+-+=
?
++=
-则
[例9] 求数列
???++
???++
,1
1,
,3
21,
2
11n n 的前n 项和.
解：设n n n n a n -+=++=
11
1
，则
1
13
212
11++
+
???++
++
=
n n S n )1()23()12(n n -++???+-+-＝11-+n
[例10] 在数列{a n }中，11
211++???+++
+=
n n n n a n ，又1
2+?=
n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.
解： ∵ 2112
11
n
n n
n n a n =
++???++++=
∴ )11
1
(
82
122
+-
=+?=
n n n n b n ∴数列{b n }的前n 项和：
)]111()4131()3121()211[(8+-+???+-+-+-=n n S n
＝)111(8+-n ＝ 1
8+n n
[例11] 求证：
1
sin 1
cos 89
cos 88cos 1
2
cos 1cos 11
cos 0cos 12
=
+
???++
解：设
89
cos 88cos 1
2
cos 1cos 11
cos 0cos 1+???++=S
∵
n
n n n tan )1tan()
1cos(cos 1
sin -+=+
89
cos 88cos 1
2
cos 1cos 11
cos 0cos 1+
???++
=
S
＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1
sin 1
-+-+-+-
＝)0tan 89(tan 1
sin 1
-＝
1cot 1
sin 1?＝
1
sin 1
cos 2
∴ 原等式成立
例2. 计算：
六、合并法求和
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n . [例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.
解：设S n ＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°∵ )180
cos(cos
n n --= （找特殊性质项）
∴S n ＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···+（cos89°+ cos91°）+ cos90°＝ 0 （合并求和） [例13] 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.
解：设S 2002＝2002321a a a a +???+++，由n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1可得
,
2,3,1654-=-=-=a a a ,2,3,1,2,3,1121110987-=-=-====a a a a a a ……
2,3,1,2,3,1665646362616-=-=-====++++++k k k k k k a a a a a a ∵ 0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a
∴ S 2002＝2002321a a a a +???+++=
)
()()(66261612876321++++???+++???+???+++???+++k k k a a a a a a a a a a 2002200120001999199819941993)(a a a a a a a +++++???+++???+=2002200120001999a a a a +++＝46362616+++++++k k k k a a a a ＝5
[例14] 在各项均为正数的等比数列中，若103
23
13
65log
log
log
,9a a a a a +???++=求的值。
解：设103
23
13
log
log
log
a a a S n +???++=
由等比数列的性质 q p n m a a a a q p n m =?+=+和对数的运算性质 N M N M a
a
a
?=+log
log log
得：
)
log
(log
)log
(log
)log
(log
63
53
93
23
103
13
a a a a a a S n ++???++++=
＝
)(log
)(log
)(log
653
923
1013
a a a a a a ?+???+?+?＝9log
9log
9log
3
3
3+???++＝10
七、利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.
[例15] 求
1
1111111111个n ???+???+++之和.解：由于)110
(9
199999
111111
1
-=????=???k
k k
个个
∴
1
1111111111个n ???+???+++＝)110
(9
1)110
(9
1)110
(9
1)110(9
13
2
1
-+
???+-+
-+
-n
＝
)1111(91
)10101010(91
1
3
2
1
个n n
+???+++-+???+++＝9110)110(1091n n
---?＝)91010(8111
n n --+ [例16] 已知数列{a n }：∑∞
=+-+++=
1
1))(1(,)
3)(1(8n n n n a a n n n a 求的值.
解：∵ ])
4)(2(1)
3)(1(1)[
1(8))(1(1++-
+++=-++n n n n n a a n n n ＝
]
)
4)(3(1)
4)(2(1[
8+++
++?n n n n ＝)4
13
1(
8)4
121(
4+-
+++-
+?n n n n
∑∑∑
∞
=∞
=∞
=++-
+++-
+=-+1
1
1
1)4
13
1(
8)4
12
1(
4))(1(n n n n n n n n n a a n ＝4
18)4
13
1(
4?
++
? ＝
3
13