二项式定理的常见题型及解法特全版

Cxy
3 7
4
4
，和第 5 项
C
二、通项公式的应用
1 ．确定二项式中的有关元素
例 4．已知 (
a x 9 9 ) 的展开式中 x 3 的系数为 ，常数 a 的值为 x 2 4
r 3 r 9
解： Tr 1 令
r 9 a x C ( ) 9r ( ) r C9r (1) r 2 2 a 9r x 2 x 2
9 令 18 3x 9, 则 r 3 ，从而可以得到 x 的系数为：
C
3 9
1 21 21 ( ) 3 ， 填 2 2 2
（备用题） ： （05 年山东卷）已知 (3x
1
3
x
2
) n , n N 的展开式中各项系数和为 128，则展
开式中
1 的系数是( x3

1 的展开式中没有 常数项， 且 2≤n≤8， n N* ， ．． 3 x
n
分析：本小题主要考查二项式定理中求特定项问题。依题 ( x
1 n ) 对 n N * , 2 剟n 3 x
8 中，
只有 n 5 时，其展开式既不出现常数项，也不会出现与 x 、 x 2 乘积为常数的项。故填 5。 （备用题） （05 年湖北卷） (
C
1
5
11
(1) 5 462
（2） 一般的系数最大或最小问题 例 12．求 ( x
2 x
4
) 8 展开式中系数最大的项；
解：记第 r 项系数为 Tr ，设第 k 项系数最大，则有
Tk Tk 1 Tk Tk 1
又 Tr
C
r 1 8
.2 r 1 ，那么有
k 1 k 1 k 2 C 8 .2 k 2 C 8 .2 k 1 k 1 k C 8 .2 k C 8 .2

2
3
n
C C
n
1 n
2
3
3
小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质。 、 （05 年天津卷）设 n N ，则 Cn Cn 6 Cn 6 Cn 6
1 2 3 2 n n 1

。
解 Cn Cn 6 Cn 6 Cn 6
1 2 3 2 n
x 1 2 ) 5 的展开式中整理后的常数项等于 2 x
。
解：因为 (
x 1 x 1 10 2)5 ＝ ( ) ， 2 x 2 x
5
所以常数项为正中间的项 T6 C10 ( 练习题： 1） 、 （08 年山东卷） （X （A）-1320
x 1 5 63 2 ) ． 2 x 2
n 1

1 0 1 0 1 3 2 n n 1 Cn Cn 6 Cn 6 Cn 6 Cn ，所 6 6
以
1 0 1 1 1 2 2 n n (C n Cn 6 Cn 6 Cn 6 1) [(1 6) n 1] (7 n 1) 6 6 6
3 r 9 3 ，即 r 8 2
依题意，得
9 ，解得 a 1 4 2 ．确定二项展开式的常数项
8 C9 (1) 8 2 4 a 98
例 5． ( x
1
3
x
)10 展开式中的常数项是
1
3 5 5 r 6
r 解： Tr 1 C10 ( x )10r (
小结：这类题目一般为容易题目，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种“先化简 在展开”的思想在高考题目中会有体现的。
2 ． “ (a b) n ”型的展开式
例 2．求 (3 x
1 x
) 4 的展开式； 1 x 1 x
分析： 解决此题， 只需要把 (3 x
) 4 改写成 [3 x (
1
3
x
）12 展开式中的常数项为（ （B）1320
） （C）-220 ） (D)220
2） 、 （08 年全国二 7） (1 x )6 (1 A． 4 B． 3 答案：1） （C） ；2） （B） 。 例 4、 （08 年四川卷） C．3
3
x )4 的展开式中 x 的系数是（
D．4
4
1 2 x 1 x
系数最大的项为第 3 项 T3 7 x 和第 4 项 T4 7 x 。
（3） 系数绝对值最大的项 例 13．在（ x y ) 7 的展开式中，系数绝对值最大项是 ；
5 2
7 2
解：求系数绝对最大问题都可以将“ (a b) n ”型转化为 " (a b) n " 型来处理， 故此答案为第 4 项
解： Tr 1
C
5
r
10
( x )10r ( 3
1 x
) r , 展开式的中间项为 C10 ( x ) 5 ( 3
5
1 x
)5
即： 252 x 6 。 当 n 为奇数时， (a b) 的展开式的中间项是
n
C
n 2 n
n 1 2 n
n 2
a
n 1 2
n 2
b
n 1 2
1 1 2 C4 4C3 6 24 12 6 ． x 2 项的系数是 C42 2C3
3 ．求单一二项式指定幂的系数 1 9 2 ) 展开式中 x 9 的系数是 例 6． （03 全国） ( x ； 2x 1 r 1 1 1 r r r 2 9 r ) = C 9 x182 r ( ) r ( ) r = C 9 ( ) r x183 x 解： Tr 1 C 9 ( x ) ( 2x 2 x 2
x
r ) r (1) r C10 x
令5
5 r 0 ，即 r 6 。 6
6 6
所以常数项是 (1) C10 210 例1 、 （08 年江西卷） (1 3 x )6 (1 A．1 B．46 C．4245
4
1 10 ) 展开式中的常数项为（ x
D．4246
）
解：先求 (1 3 x )6 的展开式中的通项．
r r 6 2 3
）
(D)1 项
r C12 x 6 r 6
r r 解： Tr 1 C12 ( x )12r (3 x ) r C12 x
．欲求原式展开式中含 x 的正
整数次幂的项数，即求使 x 的指数６－ 的指数为正整数，即共三项，故选Ｂ． 3．
r 为正整数的 r 的个数，而当 r=0,6,12 时，x 6
令 76 7 6 T7 (1) 6 C7 3 21, 故选 C。
三、求几个二项式的和（积）的展开式中的条件项的系数
例 7． ( x 1) ( x 1) 2 ( x 1) 3 ( x 1) 4 ( x 1) 5 的展开式中， x 2 的系数等于 解： x 的系数是四个二项展开式中 4 个含 x 的，则有
一、求二项展开式
1． “ (a b) n ”型的展开式
例 1．求 (3 x
1 x
) 4 的展开式； (3x 1) 4 x2
解：原式= (
3x 1 x
)4 =
=
1 0 1 2 3 4 [ (3x) 4 C 4 (3x) 3 C 4 (3x) 2 C 4 (3x) C 4] 2 C4 x 1 = 2 (81x 4 84 x 3 54 x 2 12 x 1) x 12 1 = 81x 2 84 x 54 x x2
二项式定理的常见题型及解法
二项式定理的问题相对较独立，题型繁多，解法灵活且比较难掌握。二项式定理既是排列组 合的直接应用， 又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系。 二项式定理 在每年的高考中基本上都有考到，题型多为选择题，填空题，偶尔也会有大题出现。本文将 针对高考试题中常见的二项式定理题目类型一一分析如下，希望能够起到抛砖引玉的作用。
求系数最大或最小项
（1） 特殊的系数最大或最小问题
11
例 11． （00 上海） 在二项式 ( x 1) 的展开式中， 系数最小的项的系数是 解： Tr 1
；
C
r
11
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x11r (1) r
r
要使项的系数最小，则 r 必为奇数，且使 C11 为最大，由此得 r 5 ，从而可
知最小项的系数为
(B)-7
) (C)21 (D)-21
(A)7
分析：由已知条件可得： (3 1) n 128 ，n=7，
r Tr 1 (1) r C7 (3x) 7 r (
1
3
x2
r 7r ) r (1) r C7 3 x
5 7 r 3
.
5r =-3，则有：r=6 3 1 所以二项展开式中 3 系数是： x
3 2
3
C
6 7
(2) 6 ；
4 7
② 第一个因式中取出 1，则第二个因式中必出 x ，其系数为
C
(2) 4
x 3 的系数应为： C 7 (2) 6 C 7 (2) 4 1008,填 1008 。
6
4
四、利用二项式定理的性质解题
1．
求中间项
例 9．求（
x3
1 x
)10 的展开式的中间项；
8! 8! 2 (k 1)!.(9 K )! ( K 2)!.(10 K )! 即 8! 8! 2 K!(8 K )! ( K 1)!.(9 K )!
2 1 K 1 K 2 2 1 9K K
解得 3 k 4 ，
展开式中 x 的系数为______。