椭圆综合问题

椭圆综合问题(七十一)

1.(优质试题·绵阳二诊)若点O 和点F 分别为椭圆x 24+y 2

3=1的中心和左焦点,点P 在椭圆

上的任意一点,则OP →·FP →

的最大值为( ) A.21

4 B .6 C .8 D .12

答案 B

解析 由题意得F(-1,0),设P(x ,y),则OP →·FP →

=(x ,y)·(x +1,y)=x 2+x +y 2,又点P 在椭圆上,故x 24+y 23=1,所以x 2+x +3-34x 2=14x 2+x +3=1

4(x +2)2+2,又-2≤x ≤2,所

以当x =2时,14

(x +2)2+2取得最大值6,即OP →·FP →

的最大值为6.

2.(优质试题·四川成都七中模拟)若直线l 过抛物线C :y 2=4x 的焦点F 交抛物线C 于A ,B 两点,则1|AF|+1|BF|的取值范围为( )

A .{1}

B .(0,1]

C .[1,+∞)

D .[1

2,1]

答案 A

解析 由题意知抛物线C :y 2=4x 的焦点F 的坐标为(1,0),准线方程为x =-1.设过点F 的直线l 的斜率k 存在,则直线的方程为y =k(x -1).代入抛物线方程,得k 2(x -1)2=4x ,化简得k 2x 2-(2k 2+4)x +k 2=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1x 2=1.根据抛物线性质可知,|AF|=x 1+1,|BF|=x 2+1,∴1|AF|+1|BF|=1x 1+1+1

x 2+1=x 1+x 2+2x 1+x 2+2=1.当直线l 的斜率不存

在时,直线的方程为x =1,把x =1代入y 2=4x 得y =±2,∴1|AF|+1

|BF|=1.故选A.

3.(优质试题·云南曲靖一中月考)已知点P 为圆C :x 2+y 2-2x -4y +1=0上的动点,点P 到某直线l 的最大距离为6.若在直线l 上任取一点A 作圆的切线AB ,切点为B ,则|AB|的最小值是________. 答案 2 3

解析 由C :x 2+y 2-2x -4y +1=0,得(x -1)2+(y -2)2=4,由圆上动点P 到某直线l 的最

大距离为6,可知圆心C(1,2)到直线l 的距离为4.若在直线l 上任取一点A 作圆的切线AB ,切点为B ,则要使|AB|最小,需AC ⊥l ,∴|AB|的最小值是42-22=2 3.

4.(优质试题·河南百校联盟质检)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)

椭圆综合问题

的四个顶点组成的四边形的面积为22,且经过点(1,2

2

). (1)求椭圆C 的方程;

(2)椭圆C 的下顶点为P ,如图所示,点M 为直线x =2上的一个

动点,过椭圆C 的右焦点F 的直线l 垂直于OM ,且与C 交于A ,B 两点,与OM 交于点N ,四边形AMBO 和△ONP 的面积分别为S 1,S 2.求S 1S 2的最大值. 答案 (1)x 22+y 2=1 (2)22

解析 (1)∵(1,

22)在椭圆C 上,∴1a 2+1

2b

2=1,又∵椭圆四个顶点组成的四边形的面积为22,∴12×2a ×2b =22,ab =2,解得a 2=2,b 2

=1,∴椭圆C 的方程为x 22+y 2=1.

(2)由(1)可知F(1,0),设M(2,t),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).

则当t ≠0时,直线OM 的方程为y =t 2x.所以k AB =-2t ,直线AB 的方程为y =-2

t (x -1),

即2x +ty -2=0(t ≠0),由?????y =-2t (x -1),

x 2+2y 2-2=0,得(8+t 2)x 2-16x +8-2t 2=0.

则Δ=(-16)2-4(8+t 2)(8-2t 2)=8(t 4+4t 2)>0, x 1+x 2=16

8+t 2,x 1x 2=8-2t 2

8+t 2

.

|AB|=

1+k AB 2·Δ

8+t 2

1+4t 2·22t 2(t 2+4)8+t 2=22(t 2

+4)8+t 2

. 又|OM|=

t 2

+4,∴S 1=12|OM|·|AB|=

1

2

t 2

+4·22(t 2+4)8+t 2

=2(t 2+4)

t 2+4

8+t 2

.

由???y =-2

t (x -1),

y =t 2x

得x N

=4t 2

+4,∴S 2

=12×1×4t 2

+4=2

t 2

+4

.

∴S 1S 2=

2(t 2+4)

t 2+4

8+t 2

·2

t 2+4=22t 2+4

8+t 2

=22t 2+4+

4t 2+4

<

2

2

. 当t =0时,直线l :x =1,|AB|=2,S 1=1

2×2×2=2,

S 2=12×1×1=12,S 1S 2=22.

综上,S 1S 2的最大值为

2

2

. 5.(优质试题·山东潍坊期末)已知点F 1为圆(x +1)2+y 2=16的圆心,N 为圆F 1上一动点,F 2(1,0),点M ,P 分别是线段F 1N ,F 2N 上的点,且满足MP →·F 2N →=0,F 2N →=2F 2P →. (1)求动点M 的轨迹E 的方程;

(2)过点F 2的直线l(与x 轴不重合)与轨迹E 交于A ,C 两点,线段AC 的中点为G ,连接OG 并延长交轨迹E 于B 点(O 为坐标原点),求四边形OABC 的面积S 的最小值. 答案 (1)x 24+y 2

3

=1 (2)3

解析 (1)由题意,MP 垂直平分F 2N ,∴|MF 1|+|MF 2|=4,∴动点M 的轨迹是以F 1(-1,0),F 2(1,0)为焦点的椭圆,且长轴长为2a =4,焦距2c =2,所以a =2,c =1,b 2=3. 轨迹E 的方程为x 24+y 2

3

=1.

(2)设A(x 1,y 1),C(x 2,y 2),G(x 0,y 0),直线AC 的方程为x =my +1,与椭圆方程联立,可得(4+3m 2)y 2+6my -9=0,∴y 1+y 2=-

6m

4+3m 2,y 1y 2

=-9

4+3m 2.由弦长公式可得|AC|=1+m 2

|y 1-y 2|=12(1+m 2

)4+3m 2,又y 0

=-3m 4+3m 2,∴G(44+3m 2,-3m 4+3m 2

). 直线OG 的方程为y =-

3m 4x ,代入椭圆方程得x 2=16

4+3m 2

, ∴B(

44+3m 2

,-

3m 4+3m

2

),B 到直线AC 的距离d 1=4+3m 2-11+m

2

,O 到直线AC 的距离

d 2=11+m

2

∴S OABC =1

2

|AC|(d 1+d 2)=6

13-1

3(4+3m 2)

≥3,当m =0时取得最小值3.

∴四边形OABC 的面积的最小值为3.

6.(优质试题·河南新乡一调)设O 为坐标原点,已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率为3

2,

抛物线C 2:x 2=-ay 的准线方程为y =1

2.

(1)求椭圆C 1和抛物线C 2的方程;

(2)设过定点M(0,2)的直线l 与椭圆C 1交于不同的两点P ,Q ,若O 在以PQ 为直径的圆的外部,求直线l 的斜率k 的取值范围.

答案 (1)x 24+y 2=1 (2)k ∈(-2,-32)∪(3

2

,2)

解析 (1)由题意得a 4=1

2,∴a =2,故抛物线C 2的方程为x 2=-2y.

又e =32,∴c =3,∴b =1,从而椭圆C 1的方程为x 24

+y 2

=1.

(2)显然直线x =0不满足条件,故可设直线l :y =kx +2,P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2). 由?????x 2

4+y 2=1,

y =kx +2,

得(1+4k 2)x 2+16kx +12=0. ∵Δ=(16k)2-4×12(1+4k 2)>0, ∴k ∈(-∞,-

32)∪(3

2

,+∞), x 1+x 2=-16k

1+4k 2,x 1x 2

=12

1+4k 2

, 根据题意,得0<∠POQ<π2

?OP →·OQ →

>0,

∴OP →·OQ →=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+2)(kx 2+2)=(1+k 2

)x 1x 2+2k(x 1+x 2)+4=12(1+k 2

)1+4k 2+

2k ×-16k

1+4k 2+4=16-4k 2

1+4k 2

>0,

∴-2

32)∪(3

2

,2). 7.(优质试题·陕西咸阳模拟)已知椭圆C :x 2a 2+y 2

b 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,离

心率为1

2

,点A 在椭圆C 上,|AF 1|=2,∠F 1AF 2=60°,过F 2与坐标轴不垂直的直线l 与椭

圆C 交于P ,Q 两点. (1)求椭圆C 的方程;

(2)若P ,Q 的中点为N ,在线段OF 2上是否存在点M(m ,0),使得MN ⊥PQ ?若存在,求实数m 的取值范围;若不存在,请说明理由. 答案 (1)x 24+y 2

3

=1 (2)存在 理由略

解析 (1)由e =1

2

得a =2c.由|AF 1|=2得|AF 2|=2a -2.

由余弦定理得|AF 1|2+|AF 2|2-2|AF 1|·|AF 2|cos ∠F 1AF 2=|F 1F 2|2,即a 2-3a +3=c 2,解得c =1,a =2,b 2=a 2-c 2=3.

所以椭圆C 的方程为x 24+y 2

3=1.

(2)存在这样的点M 符合题意. 设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),N(x 0,y 0).

由F 2(1,0),设直线PQ 的方程为y =k(x -1), 由?????x 2

4+y 2

3=1,y =k (x -1),

得(4k 2+3)x 2-8k 2x +4k 2-12=0, 得x 1+x 2=8k 2

4k 2+3,故x 0=x 1+x 22=4k 24k 2+3

.

又点N 在直线PQ 上,所以y 0=

-3k

4k 2+3,所以N(4k 2

4k 2+3,-3k

4k 2+3

). 因为MN ⊥PQ ,所以k MN =0--3k 4k 2

+3

m -4k 24k 2+3=-1k ,整理得m =k 24k 2+3=14+3k 2

∈(0,1

4). 所以在线段OF 2上存在点M(m ,0),使得MN ⊥PQ ,m 的取值范围为(0,1

4

).

椭圆综合问题

1.(优质试题·山西五校联考)设点F 为椭圆C :x 24m +y 2

3m =1(m>0)的左焦点,直线y =x 被椭

圆C 截得的弦长为442

7.

(1)求椭圆C 的方程;

(2)圆P :(x +437)2+(y -337)2=r 2

(r>0)与椭圆C 交于A ,B 两点,M 为线段AB 上任意一

点,直线FM 交椭圆C 于P ,Q 两点,AB 为圆P 的直径,且直线FM 的斜率大于1,求|PF|·|QF|的取值范围.

答案 (1)x 24+y 23=1 (2)(94,12

5

]

解析 (1)由?????y =x ,x 24m +y 23m =1,

得x 2=y 2=12m

7

,故2x 2+y 2=2

24m 7=442

7

,解得m =1,故椭圆C 的方程为x 24+y 2

3

=1.

(2)设A(x 1

,y 1

),B(x 2

,y 2

),则???x 1

+x 2

=-837,

y 1

+y 2

=63

7

.

又?

??x 124+y 12

3=1,x 224+y 22

3

=1,

所以(x 1+x 2)(x 1-x 2)4+(y 1+y 2)(y 1-y 2)3=0,

则(x 1-x 2)-(y 1-y 2)=0,故k AB =

y 1-y 2x 1-x 2

=1.

所以直线AB 的方程为y -

337=x +43

7,即y =x +3,代入椭圆C 的方程并整理得7x 2+83x =0,则x 1=0,x 2=-

83

7

. 又F(-1,0),直线FM 的斜率大于1,则直线FM 的斜率k ∈[3,+∞).

设FM :y =k(x +1),由?????y =k (x +1),

x 24+y 23=1,

得(3+4k 2)x 2+8k 2x +4k 2-12=0,

设P(x 3,y 3),Q(x 4,y 4),则有x 3+x 4=-8k 2

3+4k 2,x 3x 4=4k 2-12

3+4k 2.

又|PF|=

1+k 2|x 3+1|,|QF|=

1+k 2|x 4+1|,

所以|PF|·|QF|=(1+k 2)|x 3x 4+(x 3+x 4)+1|

=(1+k 2

)|4k 2-123+4k 2-8k 23+4k

2

+1| =(1+k 2)·93+4k 2=94(1+1

3+4k 2).

因为k ≥3,所以94<94(1+13+4k 2)≤12

5.

即|PF|·|QF|的取值范围是(94,12

5

].

椭圆综合问题

2.(优质试题·湖南师大附中月考)如图所示,已知F 1(0,-2),F 2(0,2),动点M 到点F 2的距离是4,线段MF 1的中垂线交MF 2于点P. (1)当点M 变化时,求动点P 的轨迹G 的方程;

(2)若斜率为2的动直线l 与轨迹G 相交于A ,B 两点,Q(1,2)为定点,求△QAB 面积的最大值. 答案 (1)y 24+x 2

2=1 (2) 2

椭圆综合问题

解析 (1)如图,连接PF 1, ∵|MF 2|=4,∴|PM|+|PF 2|=4. 又∵|PM|=|PF 1|,

∴|PF 1|+|PF 2|=4>|F 1F 2|=22,

由椭圆的定义可知,动点P 的轨迹G 是以F 1,F 2为焦点的椭圆,其方程为y 24+x 2

2=1.

(2)设直线l 的方程为y =2x +m , 代入椭圆方程得(2x +m)2+2x 2=4, 即4x 2+22mx +m 2-4=0.

由Δ=8m 2-16(m 2-4)=8(8-m 2)>0,得m 2<8. 又点Q 不在直线l 上,所以m ≠0,所以0

设点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=-2m

2,x 1x 2=m 2-44.

所以|AB|=1+2|x 1-x 2|=3

(x 1+x 2)2

-4x 1x 2=3·

m 2

2

-(m 2-4)=3×4-m 2

2

.

又点Q 到直线l 的距离d =

|m|3

, 则S △QAB =12|AB|d =1

2×3×

4-m 22×|m|3=

24

m 2(8-m 2).

因为

m 2

(8-m 2

)≤m 2+8-m 22

=4,则S △QAB ≤2,

当且仅当m 2=4,即m =±2时取等号. 故△QAB 面积的最大值为 2.

3.已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率为12,且经过点P(1,3

2).过它

椭圆综合问题

的两个焦点F 1,F 2分别作直线l 1与l 2,l 1交椭圆于A ,B 两点,l 2交椭圆于C ,D 两点,且l 1⊥l 2. (1)求椭圆的标准方程;

(2)求四边形ACBD 的面积S 的取值范围. 答案 (1)x 24+y 23=1 (2)[288

49

,6]

解析 (1)由c a =1

2?a =2c ,所以a 2=4c 2,b 2=3c 2,将点P 的坐标代入椭圆方程得c 2=1,故

所求椭圆方程为x 24+y 2

3

=1.

(2)若l 1与l 2中有一条直线的斜率不存在,则另一条直线的斜率为0,此时四边形的面积S =6.

若l 1与l 2的斜率都存在,设l 1的斜率为k ,则l 2的斜率为-1

k ,

则直线l 1的方程为y =k(x +1).

设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),联立得方程组?????y =k (x +1),

x 24+y 23=1,

消去y 并整理,得(4k 2+3)x 2+8k 2x +4k 2-12=0.① ∴x 1+x 2=-8k 24k 2+3,x 1·x 2=4k 2-12

4k 2+3

∴|x 1-x 2|=

12

k 2+1

4k 2+3

,∴|AB|=

1+k 2

|x 1-x 2|=12(k 2

+1)4k 2+3

.②

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