高考数学压轴专题(易错题)备战高考《空间向量与立体几何》经典测试题及答案解析

【高中数学】单元《空间向量与立体几何》知识点归纳

一、选择题

1．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）

A ．

643

π B ．8316π

π+

C ．28π

D ．8216π

π+

【答案】B 【解析】 【分析】

结合三视图，还原直观图，得到一个圆锥和一个圆柱，计算体积，即可． 【详解】

结合三视图，还原直观图，得到

故体积22221183242231633V r h r l πππππ=?+?=?+??=+，故选B ． 【点睛】

本道题考查了三视图还原直观图，考查了组合体体积计算方法，难度中等．

2．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,1AB AD AA ===,而对角线1A B 上存

在一点P ，使得1AP D P +取得最小值，则此最小值为（ ）

A ．7

B ．3

C ．1+3

D ．2

【答案】A 【解析】 【分析】

把面1AA B 绕1A B 旋转至面1BA M 使其与对角面11A BCD 在同一平面上，连接1MD 并求出，就 是最小值． 【详解】

把面1AA B 绕1A B 旋转至面1BA M 使其与对角面11A BCD 在同一平面上，连接1MD ．1MD 就是1||||AP D P +的最小值，

Q ||||3AB AD ==，1||1AA =，∴0113tan 3,60AA B AA B ∠==∴∠=．

所以11=90+60=150MA D ∠o o o

221111111113

2cos 13223()72

MD A D A M A D A M MA D ∴=+-∠=+-??-

??=

故选A ． 【点睛】

本题考查棱柱的结构特征，考查计算能力，空间想象能力，解决此类问题常通过转化，转化为在同一平面内两点之间的距离问题，是中档题．

3．已知圆锥SC 的高是底面半径的3倍，且圆锥SC 的底面直径、体积分别与圆柱OM 的底面半径、体积相等，则圆锥SC 与圆柱OM 的侧面积之比为（ ）. A 10 B ．3:1

C ．2:1

D 102

【答案】A

【解析】 【分析】

设圆锥SC 的底面半径为r ，可求得圆锥的母线长，根据圆锥侧面积公式求得侧面积；由圆锥体积与圆柱体积相等可构造方程求得圆柱的高，进而根据圆柱侧面积公式求得圆柱侧面积，从而求得比值. 【详解】

设圆锥SC 的底面半径为r ，则高为3r ，∴圆锥SC 的母线长22910l r r r =+=，

∴圆锥SC 的侧面积为210rl r ππ=；

圆柱OM 的底面半径为2r ，高为h ， 又圆锥的体积23133V r r r ππ=

?=，234r h r ππ∴=，4

r h ∴=， ∴圆柱OM 的侧面积为2224rh rh r πππ?==，

∴圆锥SC 与圆柱OM 的侧面积之比为2210:10:1r r ππ=.

故选：A . 【点睛】

本题考查圆锥和圆柱侧面积的求解问题，涉及到圆锥和圆柱体积公式的应用，属于基础题.

4．鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为（ ）

A ．8(6623)+

B ．6(8823)+

C ．8(632)+

D ．6(8832)+ 【答案】A 【解析】 【分析】

该鲁班锁玩具可以看成是一个正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，然后按照表面积公式计算即可. 【详解】

由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为222+的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为22，则该几何体的表面积为

2116(222)42282322S ??

=?+-???+???????

8(6623)=++.

故选：A. 【点睛】

本题考查数学文化与简单几何体的表面积，考查空间想象能力和运算求解能力.

5．如图，在底面边长为4，侧棱长为6的正四棱锥P ABCD -中，E 为侧棱PD 的中点，则异面直线PB 与CE 所成角的余弦值是（ ）

A ．

34

B ．

234

C ．

517

D ．

317

【答案】D 【解析】 【分析】

首先通过作平行的辅助线确定异面直线PB 与CE 所成角的平面角，在PCD ?中利用余弦定理求出cos DPC ∠进而求出CE ，再在GFH ?中利用余弦定理即可得解. 【详解】

如图，取PA 的中点F ，AB 的中点G ，BC 的中点H ，连接FG ，FH ，GH ，EF ，

则//EF CH ，EF CH =，从而四边形EFHC 是平行四边形，则//EC FH ， 且EC FH =.

因为F 是PA 的中点，G 是AB 的中点，

所以FG 为ABP ?的中位线，所以//FG PB ，则GFH ∠是异面直线PB 与CE 所成的角.由题意可得3FG =，1

222

HG AC =

=.

在PCD ?中，由余弦定理可得2223636167

cos 22669

PD PC CD DPC PD PC +-+-∠===???，

则2222cos 17CE PC PE PC PE DPC =+-?∠=，即17CE =.

在GFH ?中，由余弦定理可得222cos 2FG FH GH GFH FG FH +-∠=?317

2317

==

??. 故选：D 【点睛】

本题考查异面直线所成的角，余弦定理解三角形，属于中档题.

6．《乌鸦喝水》是《伊索寓言》中一个寓言故事，通过讲述已知乌鸦喝水的故事，告诉人们遇到困难要运用智慧，认真思考才能让问题迎刃而解的道理，如图2所示，乌鸦想喝水，发现有一个锥形瓶，上面部分是圆柱体，下面部分是圆台，瓶口直径为3厘米，瓶底直径为9厘米，瓶口距瓶颈为23厘米，瓶颈到水位线距离和水位线到瓶底距离均为3

32

厘米，现将1颗石子投入瓶中，发现水位线上移

3

厘米，若只有当水位线到达瓶口时乌鸦才能喝到水，则乌鸦共需要投入的石子数量至少是（ ）

A ．2颗

B ．3颗

C ．4颗

D ．5颗

【答案】C 【解析】 【分析】

利用图形中的数据，分别算出石子的体积和空瓶的体积即可. 【详解】

如图，9,3,33AB cm EF GH cm LO cm ===

=

所以60A ∠=?，原水位线直径6CD cm =，投入石子后，水位线直径5IJ cm = 则由圆台的体积公式可得石子的体积为：

()22319133MN CN IM CN IM cm ππ??++?= 空瓶的体积为：(

)

22

2

1

3

LN CN EL CN EL EL KL ππ?++?+??

633363993888

πππ

=

+=

所以需要石子的个数为：

()99329783,491913π

π

=∈ 所以至少需要4颗石子 故选：C 【点睛】

本题考查的是圆台和圆柱体积的算法，掌握其公式是解题的关键.

7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于（ ）

A ．

23

B ．

13

C ．

12

D ．

34

【答案】B 【解析】

分析：先还原几何体，再根据锥体体积公式求结果.

详解：几何体如图S-ABCD ，高为1，底面为平行四边形，所以四棱锥的体积等于

21111=33??， 选B.

点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断求解.

8．在以下命题中：

①三个非零向量a r ，b r ，c r 不能构成空间的一个基底，则a r ，b r ，c r

共面；

②若两个非零向量a r ，b r 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a r ，b r

共线； ③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若222OP OA OB OC =--u u u r u u u r u u u u r u u u u r

，则P ，

A ，

B ，

C 四点共面

④若a r ，b r

是两个不共线的向量，且(,,,0)c a b R λμλμλμ=+∈≠r r r ，则{},,a b c r r r 构成空

间的一个基底

⑤若{}

,,a b c r r r 为空间的一个基底，则{}

,,a b b c c a +++r r r r r r

构成空间的另一个基底；

其中真命题的个数是（ ） A ．0 B ．1

C ．2

D ．3

【答案】D 【解析】 【分析】

根据空间向量的运算法则，逐一判断即可得到结论. 【详解】

①由空间基底的定义知，三个非零向量a r ，b r ，c r 不能构成空间的一个基底，则a r ，b r

，

c r

共面，故①正确；

②由空间基底的定义知，若两个非零向量a r ，b r

与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a r

，b r

共线，故②正确；

③由22221--=-≠，根据共面向量定理知,,,P A B C 四点不共面，故③错误；

④由c a b λμ=+r r r ，当1λμ+=时，向量c r 与向量a r ，b r

构成的平面共面，则{}

,,a b c r r r 不

能构成空间的一个基底，故④错误；

⑤利用反证法：若{}

,,a b b c c a +++r r r r r r

不构成空间的一个基底， 设()()(

)1a b x b c x c a +=++-+r r r r r r ，整理得()1c xa x b =+-r r r ，即,,a b c r r r 共面，又因{}

,,a b c r r r 为空间的一个基底，所以{

}

,,a b b c c a +++r r r r r r

能构成空间的一个基底，故⑤正确.

综上：①②⑤正确. 故选：D. 【点睛】

本题考查空间向量基本运算，向量共面，向量共线等基础知识，以及空间基底的定义，共面向量的定义，属于基础题．

9．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，且ABC ?为等边三角形，2AP AB ==，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．

272

π B ．

283

π C ．

263

π D ．

252

π 【答案】B 【解析】 【分析】

计算出ABC ?的外接圆半径r

，利用公式R =可得出外接球的半径，进而可

得出三棱锥P ABC -的外接球的表面积. 【详解】

ABC ?

的外接圆半径为

2sin

3

AB r π

=

=

PA ⊥Q 底面ABC ，所以，三棱锥P ABC -

的外接球半径为

3R ===， 因此，三棱锥P ABC -

的外接球的表面积为2

2

284433R πππ?=?= ??

. 故选：B. 【点睛】

本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，选择合适的公式计算外接球的半径，考查计算能力，属于中等题.

10．某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2，高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是( )

A．16

9

π

B．

8

9

π

C．

16

27

π

D

．

8

27

π

【答案】A

【解析】

【分析】

根据条件求出圆柱的体积，利用基本不等式研究函数的最值即可．

【详解】

解：设圆柱的半径为r，高为x，体积为V，

则由题意可得

3

23

r x

-

=，

3

3

2

x r

∴=-，

∴圆柱的体积为23

()(3)(02)

2

V r r r r

π

=-<<，

则3

333

3

163331616

442

()(3)()

9442939

r r r

V r r r r

ππ

π

++-

=-=

g g g g

…．

当且仅当

33

3

42

r r

=-，即

4

3

r=时等号成立．

∴圆柱的最大体积为

16

9

π

，

故选：A．

【点睛】

本题考查圆柱的体积和基本不等式的实际应用，利用条件建立体积函数是解决本题的关键，是中档题．

11．如图，在棱长为2的正方体1111

ABCD A B C D

-中，点M是AD的中点，动点P在底面ABCD内（不包括边界），若1B P P平面1A BM，则1C P的最小值是（）

A ．305

B ．230

5 C ．

27

5

D ．

47

5

【答案】B 【解析】 【分析】

在11A D 上取中点Q ，在BC 上取中点N ，连接11,,,DN NB B Q QD ，根据面面平行的判定定理可知平面1//B QDN 平面1A BM ，从而可得P 的轨迹是DN （不含,D N 两点）；由垂直关系可知当CP DN ⊥时，1C P 取得最小值；利用面积桥和勾股定理可求得最小值. 【详解】

如图，在11A D 上取中点Q ，在BC 上取中点N ，连接11,,,DN NB B Q QD

//DN BM Q ，1//DQ A M 且DN DQ D =I ，1BM A M M =I

∴平面1//B QDN 平面1A BM ，则动点P 的轨迹是DN （不含,D N 两点）

又1CC ⊥平面ABCD ，则当CP DN ⊥时，1C P 取得最小值

此时，22512CP ==+ 2

21223025C P ??∴≥+= ???

本题正确选项：B 【点睛】

本题考查立体几何中动点轨迹及最值的求解问题，关键是能够通过面面平行关系得到动点的轨迹，从而找到最值取得的点.

12．已知,m l 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列可以推出αβ⊥的是（ ）

A ．,,m l m l βα⊥?⊥

B ．,,m l l m αβα⊥?=?

C ．//,,m l m l αβ⊥⊥

D ．,//,//l m l m αβ⊥

【答案】D 【解析】 【分析】

A ，有可能出现α，β平行这种情况.

B ，会出现平面α，β相交但不垂直的情况.

C ，根据面面平行的性质定理判断.

D ，根据面面垂直的判定定理判断. 【详解】

对于A ，m l ⊥，m β?，若l β⊥，则//αβ，故A 错误； 对于B ，会出现平面α，β相交但不垂直的情况，故B 错误；

对于C ，因为//m l ，m α⊥，则l α⊥，又因为l βαβ⊥?∥，故C 错误； 对于D ，l α⊥，m l m α?⊥∥，又由m βαβ?⊥∥，故D 正确. 故选：D 【点睛】

本题考查空间中的平行、垂直关系的判定，还考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

13．我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为

1

4

圆周，则该不规则几何体的体积为（ ）

A ．12

π+

B ．

136

π+ C ．12π+

D ．

1233

π+ 【答案】B 【解析】 【分析】

根据三视图知该几何体是三棱锥与1

4

圆锥体的所得组合体，结合图中数据计算该组合体的体积即可． 【详解】

解：根据三视图知，该几何体是三棱锥与1

4

圆锥体的组合体， 如图所示；

则该组合体的体积为21111111212323436

V ππ=

????+???=+； 所以对应不规则几何体的体积为136

π

+． 故选B ．

【点睛】

本题考查了简单组合体的体积计算问题，也考查了三视图转化为几何体直观图的应用问题，是基础题．

14．圆锥SD （其中S 为顶点，D 为底面圆心）的侧面积与底面积的比是2:1，则圆锥

SD 与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为（ ） A ．9:32 B ．8:27 C ．9:22 D ．9:28 【答案】A 【解析】 【分析】

根据已知条件求得圆锥母线与底面圆半径r 的关系，从而得到圆锥的高与r 关系，计算圆锥体积，由截面图得到外接球的半径R 与r 间的关系，计算球的体积，作比即可得到答案. 【详解】

设圆锥底面圆的半径为r,圆锥母线长为l ，则侧面积为πrl ， 侧面积与底面积的比为2

πrl 2l

r r

π==,则母线l=2r,圆锥的高为223l r r -=, 则圆锥的体积为

23

13πh 3r r =, 设外接球的球心为O,半径为R,截面图如图，则3r R -,BD=r, 在直角三角形BOD 中，由勾股定理得222OB OD BD =+,即)

2

223R r r R =+

-,

展开整理得,3所以外接球的体积为33

344333393

R ππ==,

故所求体积比为

3

3

3

9

3

3232

93

r

r

π

π

=

故选：A

【点睛】

本题考查圆锥与球的体积公式的应用，考查学生计算能力，属于中档题.

15．已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P-ABC的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则（）

A．PA，PB，PC两两垂直B．三棱锥P-ABC的体积为

8

3

C．||||||6

PA PB PC

===D．三棱锥P-ABC的侧面积为35

【答案】C

【解析】

【分析】

根据三视图，可得三棱锥P-ABC的直观图，然后再计算可得.

【详解】

解：根据三视图，可得三棱锥P-ABC的直观图如图所示，

其中D为AB的中点，PD⊥底面ABC.

所以三棱锥P-ABC的体积为

114

222

323

????=，

2AC BC PD ∴===

，AB ∴=

=，

||||||DA DB DC ∴===||||||PA PB PC ∴====

222

PA PB AB +≠Q ，PA ∴、PB 不可能垂直，

即,PA ,PB PC 不可能两两垂直，

1

22PBA S ?=?=Q 122PBC PAC S S ??===Q

∴

三棱锥P -ABC 的侧面积为

故正确的为C. 故选：C. 【点睛】

本题考查三视图还原直观图，以及三棱锥的表面积、体积的计算问题，属于中档题.

16．在正四面体A BCD -中，P 是AB 的中点，Q 是直线BD 上的动点，则直线PQ 与

AC 所成角可能为（ ）

A ．

12

π

B ．

4

π

C ．

512

π D ．

2

π 【答案】C 【解析】 【分析】

根据题意，取BC 的中点M ，连接MQ ，则//AC MQ ，所以QPM ∠为异面直线PQ 与

AC 所成角，在利用余弦定理可得MQ =，易知PQ MQ =，所以在等腰三

角形PMQ 中()

cos 04QPM x ∠=

≤≤，即可求出

cos 123QPM ∠∈??

，，进而求出结果.

【详解】

取BC 的中点M ，连接MQ ，则//AC MQ ，所以QPM ∠为异面直线PQ 与AC 所成角，如下图所示：

设正四面体A BCD -的棱长为4，()04BQ x x =≤≤，，

在BMQ ?中，2

2

2

2

2cos 6042MQ BM BQ BM BQ x x =+-??=+-， 在正四面体A BCD -中，易知PQ MQ =， 所以在等腰三角形PMQ 中，()2

cos 0442QPM x x x

∠=

≤≤+-，

所以33cos 123QPM ??∠∈????

，，

所以异面直线PQ 与AC 所成角可能为512π

. 故选：C. 【点睛】

本题主要考查了异面直线成角，余弦定理的应用，考查了空间几何中的动态问题，考查学生的应用能力和空间想象能力，属于中档题.

17．如图长方体中，过同一个顶点的三条棱的长分别为2、4、6，A 点为长方体的一个顶点，B 点为其所在棱的中点，则沿着长方体的表面从A 点到B 点的最短距离为（ ）

A 29

B ．35

C 41

D ．213【答案】C 【解析】 【分析】

由长方体的侧面展开图可得有3种情况如下：①当B 点所在的棱长为2；②当B 点所在的棱长为4；③当B 点所在的棱长为6，分别再求出展开图AB 的距离即可得最短距离. 【详解】

由长方体的侧面展开图可得：

（1）当B 点所在的棱长为2，则沿着长方体的表面从A 到B 的距离可能为

()

2

2461101++=()

2

241661++=()2

246165++=

（2）当B 点所在的棱长为4，则沿着长方体的表面从A 到B 的距离可能为

()2

2226213++=；

()2

2262217++=；()2

2262217++=.

（3）当B 点所在的棱长为6，则沿着长方体的表面从A 到B 的距离可能为

()

2

223441++=；

()

2

224335++=；()2

223453++=.

综上所述，沿着长方体的表面从A 点到B 点的最短距离为41. 故选：C . 【点睛】

本题考查长方体的展开图，考查空间想象与推理能力，属于中等题.

18．某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的体积为（ ）

A ．

152

π

B ．12π

C ．

112

π D ．

212

π

【答案】A 【解析】 【分析】

由三视图可知，该几何体为由18的球体和1

4

的圆锥体组成，结合三视图中的数据，利用球和圆锥的体积公式求解即可. 【详解】

由三视图可知，该几何体为由18的球体和1

4的圆锥体组成， 所以所求几何体的体积为11

+84

V V V =球圆锥，

因为31149=3=8832V ππ??球， 221111

=34344312

V r h πππ??=???=圆锥， 所以915322V πππ=+=，即所求几何体的体积为152

π

. 故选：A 【点睛】

本题考查三视图还原几何体及球和圆锥的体积公式；考查学生的空间想象能力和运算求解能力；三视图正确还原几何体是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.

19．如图1，已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M ，N ，Q 分别是线段AD 1，B 1C ，C 1D 1上的动点，当三棱锥Q-BMN 的正视图如图2所示时，三棱锥俯视图的面积为

A ．2

B ．1

C ．

32 D ．

52

【答案】C 【解析】 【分析】

判断俯视图的形状，利用三视图数据求解俯视图的面积即可． 【详解】

由正视图可知：M 是1AD 的中点，N 在1B 处，Q 在11C D 的中点， 俯视图如图所示：

可得其面积为：1113

222111122222

?-??-??-??=，故选C ． 【点睛】

本题主要考查三视图求解几何体的面积与体积，判断它的形状是解题的关键，属于中档题.

20．已知,αβ是不同的两个平面，直线a α?，直线b β?，条件:p a 与b 没有公共点，条件://q αβ，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件

【答案】B 【解析】

∵a 与b 没有公共点时，a 与b 所在的平面β可能平行，也可能相交（交点不在直线b

上）

∴命题p：a与b没有公共点?命题q：α∥β，为假命题又∵α∥β时，a与b平行或异面，即a与b没有公共点

∴命题q：α∥β?命题p：a与b没有公共点，为真命题；故p是q的必要不充分条件

故选B