费米分布函数电子的总数
固体物理学：第五章 第一节 费米分布函数和自由电子气比热容
N(E)是能态密度函数。
二、基态（T=0K）下的分布函数 和自由电子气的费米能
在零温下，分布函数：
其中 function)
称为亥维赛单元函数(Heaviside step
在基态下，所有能量小于或等于费米能的态都被占 据，而所有能量高于费米能的态都空着，费米面就 是价电子的最高能量，有
第五章 金属电子论
§5.1 费米分布函数和自由电子气比热容
一、费米分布函数
金属的物理性质主要取决于导带电子。在单电子近似 下，导带电子可以看作是一个近似独立的粒子系统。 系统中的电子具有一系列确定的本征态，这些态由能 带理论确定。 系统的宏观状态，可以用电子在这些本征态的分布来 描述，其平衡态分布函数就是费米分布函数：
温度高于德拜温度，晶格比热容其主导作用。 只有在低温下，电子对金属的比热容才有显著贡献。
在T趋近于0时，电子比热容按照T的线性函数趋于0， 而晶格比热容按照T3趋于0：
令
得到一个温度
以铜为例，取 得到
低于此温度电子比热容占优势。
测金属的低温比热容，一般做Cv/T和T2的曲线，我们 将得到一个直线，斜率即系数b，截距就是γ。
，估算值和计算值只差一个常数
从5.1.27，得到自由电子气的比热容：
利用
得到
因此
与经典气体不同，电子气的比热容与温度成正比。在室温 附近，它只是经典比热的1%左右，电子对比热容的贡献 微乎其微。这是因为大多数低于费米能的电子不参与热激 发，只有费米面附近的电子才对比热有贡献。 金属的总比热容应该包括晶格比热容和电子比热容：
它给出在温度T时，一个能量为E的量子态被电子占据的概率。 EF是费米能，也就是系统的化学势。它与系统温度和电子浓度有关。
费米狄拉克分布函数解析图像和应用
费米狄拉克分布函数解析图像和应用文件管理序列号：[K8UY-K9IO69-O6M243-OL889-F88688]各能级被电子占据的数目服从特定的统计规律这个规律就是费米-狄拉克分布规律。
一般而言，电子占据各个能级的几率是不等的。
占据低能级的电子多而占据高能级的电子少。
统计物理学指出，电子占据能级的几率遵循费米的统计规律：在热平衡．．．状态下，能量为E 的能级被一个电子占据的几率为： f(E)称为电子的费米(费米-狄拉克)分布函数，k 、TE fermi 称为费米能级，它与物质的特性有关。
只要知道了费米能级E fermi 的数值，在一定温度下，电子在各量子态上的统计分布就完全确定了。
费米分布函数的一些特性:【根据f(E)公式来理解】第一，费米能级E fermi 是一种用来描述电子的能级填充水平的假想能级．．．．，E f 越大，表示处于高能级的电子越多；E f 越小，则表示高能级的电子越少。
(E f 反映了整体平均水平)第二，假定费米能级E f 为已知，则f(E)f(E)式可画出f(E)的曲线如图所示，但要注意因变量f(E)不像普通习惯画在纵轴，而是破天荒的画在横轴。
的能级都空着。
因而费米能级E f 是在绝对零度时电子所具有的最大能量，是能级在绝对零度时能否被占据的一个界限，因而它是一个很重要的参数。
费米分布函数变化曲线T 3>T 2>T 1>T 0第五，在T≠0K时即不处于绝对零度的前提下，若E-E f＞5kT，则f(E)＜0.007；在T≠0K 前提下，若E-E f＜-5kT，则f(E)＞0.993。
(k、T分别为波耳兹曼常数和绝对温度)可见，温度T高于绝对零度的前提下，能量比E f高5kT的能态被电子占据的几率只有0.7%，几率很小，能级几乎是空的；而能级比E f低5kT的能态被电子占据的几率是99.3%，几率很大，该能级范围几乎总有电子。
一般可以认为，在T不为绝对零度但也不很高时，能量小于E f的能态基本上为电子所占据，能量大于E f的能态基本上没有被电子占据；而电子占据费米能级E f这个能级的概率是(不论任何温度下)都是1/2。
电子在各量子态中的分布
k BT 范围内
第五章 金属电子论
§5.4 电子热容
π 2 (k BT ) 2 3 电子的平均能量为 E = E F + 5 4 EF
单位体积中自由电子气的总能量为
N N 3 π 2 (k B T ) 2 E = E = [ EF + ] V V 5 4 EF
对热容的贡献为： 对热容的贡献为
，
γ =
N 1 2m 3 / 2 ∞ E 1 / 2 dE 电子密度 n = = 2 ( 2 ) ∫0 ( E − µ ) / k BT V 2π ℏ e +1
式中的积分无法严格积出， 式中的积分无法严格积出，通常只能近似求解 可以看出 µ 与
n
和T有关 有关
µ ( n, T ) 针对某种金属 n 是一定的，所以 µ 是一定的，
2 π 2 nk B
∂E N π 2 kB T Ce = )V = 2 EF ∂T V 4
2
2 EF
=
π2
2
nk B
2
T ≈ γT EF
Ce
成正比， 与T成正比，且随 T → 0K , 成正比
Ce → 0
这与经典理论的结果完全不同。 这与经典理论的结果完全不同。
对于金属，除自由电子对热容有贡献外， 对于金属，除自由电子对热容有贡献外， 晶格振动对热容也有贡献， 晶格振动对热容也有贡献， 在低温度下，可用德拜理论，总的热容可表示为： 在低温度下，可用德拜理论，总的热容可表示为
解出 ：
ℏ2kF EF = 2m
2
其中
k F = (3π n)
2
1/ 3
N n= V
kF
称为费米波矢
电子的状态在 空间中都落在能量不同的等能面上 电子的状态在 k 空间中都落在能量不同的等能面上 对于自由电子气，其等能面都是球面 对于自由电子气， 其中能量等于费米能 的等能面称为费米面 其中能量等于费米能 E F 的等能面称为费米面 显然自由电子气的费米面为球面。 显然自由电子气的费米面为球面。 费米波矢 k F 就是球形费米面的半径 在绝对零度 费米面内所含有的全部量子态都被电子占满， 费米面内所含有的全部量子态都被电子占满， 费米面以外的状态全是空的
固体物理学：第五章 第一节 费米分布函数和自由电子气比热容
费米能 Ef
费米能大小是几个eV （铜: 7eV） 温度 300K对应能量 0.026 eV << Ef
一个量子态只能容纳一个电子，所以费米分布函数实际上给出 了一个量子态的平均粒子占据数，如果体系有N个电子，则：
随着温度升高，费米能略有下降，假设 在0K和300K之间Ef相对下降约为
电子气与经典气体统计性质的差异，称为简并性。泡利原理 使得电子气具有极大的零温能和零温压强，是简并的特点。 下面的条件是简并的判据：
只要温度T比费米温度Tf低得多，电子气就是简并的，判据 5.1.22和5.1.8定义了临界的电子浓度，当
它的大小大约在 50,000 K， 室温T相对而言就很低了
所以分布函数在室温下，与基态时相差不大，仅仅是 费米面附近KBT范围内的电子被激发到费米面上，而 在费米面下留下些空穴。室温和零温下的费米能相差 也很小。
因为
分布函数为
温度的影响：
有
它近似是一个关于EF对称的δ函数。 分布函数的这些特点使得我们可以采用近似方法得到 非零温下的费米能：
对于很多金属，实验测量得到的γ值，与自由电子 模型的符合的很好。也有些材料，两者的偏差是来 自于自由电子气模型过于简单。
理论和实验的电子比热容系数
对于过渡族金属，除了未满的s带之外，还存在未满的 d带，d带是内层电子的窄能带，加之5个d轨道形成的 能带严重交叠，有特别大的特密度。同时d带和s带也 有很大的重叠，费米能位于d带中。因此过渡金属 N(EF)很大，具有很高的电子比热容
费米分布函数对所有量子态求和等于系统中总电子数，由于能 量状态是准连续分布的，可以由求和变为积分：
平均占有数——费米分布函数电子的总数
kBT CV N 0 ( 0 )kB 2 EF
细节
。。。
§费密统计和电子热容量
—— 能带理论是一种单电子近似，每一个电子的运动近似看 作是独立的，具有一系列确定的本征态 —— 一般金属只涉及导带中的电子，所有电子占据的状态都 在一个能带内
1. 费密分布函数
电子气体服从泡利不相容原理和费米 — 狄拉克统计 —— 热平衡下时，能量为E 的本征态被电子占据的几率
2 h 0 EF (3n 2 )2/3 2m
电子的平均能量 —— 5
结论：在绝对零度下，电子仍具有相当大的平均能量 —— 电子满足泡利不相容原理，每个能量状态上只能容许两 个自旋相反的电子
—— 所有的电子不可能都填充在最低能量状态
电子的费密能量
总的电子数
f (E ) e 1
E EF k BT
1
—— 费米分布函数
物理意义：能量为E的本征态上电子的数目 —— 平均占有数 （费米能量？或）化学势 μ —— 体积不变时，系统增加一个电子所需的自由能 电子的总数
N f (Ei )
i
—— 对所有的本征态求和
两本书的差别
黄昆：
f (E ) e
1
E EF k BT
1
—— 温度升高 费密能(=化学势)下降
2 k BT 2 E F E [1 ( 0 ) ] 12 E F
0 F
胡安：
f (E ) e
1
E k BT
1
—— 化学势 费密能 = 0温化学势
2 k BT 2 T E F [1 ( ) ] 12 E F 0 EF
经典电子论的成就 解释金属的特征 —— 电导、热导、温差电、电磁输运等 经典电子论的困难 按照经典能量均分定理，N个电子的能量 对热容量的贡献 大多数金属
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各能级被电子占据的数目服从特定的统计规律这个规律就是费米-狄拉克分布规律。
一般而言，电子占据各个能级的几率是不等的。
占据低能级的电子多而占据高能级的电子少。
统计物理学指出，电子占据能级的几率遵循费米的统计规律：在热平衡．．．状态下，能量为E 的能级被一个电子占据的几率为： ]/)exp[(11)(kT E E E f F -+=f(E) 称为电子的费米(费米-狄拉克)分布函数，k 、T 分别为波耳兹曼常数和绝对温度。
E fermi 称为费米能级，它与物质的特性有关。
只要知道了费米能级E fermi 的数值，在一定温度下，电子在各量子态上的统计分布就完全确定了。
费米分布函数的一些特性: 【根据f(E)公式来理解】第一， 费米能级E fermi 是一种用来描述电子的能级填充水平的假想能级．．．．， E f 越大，表示处于高能级的电子越多；E f 越小，则表示高能级的电子越少。
(E f 反映了整体平均水平)第二，假定费米能级E f 为已知，则f(E)是能量E 与温度T 的函数。
根据f(E)式可画出 f(E) 的曲线如图所示，但要注意 因变量f(E)不像普通习惯画在纵轴，而是破天荒的画在横轴。
0 1/2 1 f(E) E E f T 0 T 1 T 2 T 3 在T 不为绝对零度前提下，若E ＜E f ，则 f(E) ＞1/2；若E = E f ，则 f(E)=1/2；若 E ＞E f ，则 f(E) ＜1/2。
上述结果文字描述，在系统的温度高于绝对零度前提下，如果某能级的能量比费米能级低E f ，则该能级(范围)被电子占据的几率大于50%；若能级的能量比费米能级E f 高，则该能级被电子占据的几率小于50%。
而当能级的能量恰等于费米能级E f 时，该能级被电子占有的几率费米分布规律不适用于非平衡状态随着温度的升高，能量略低于E f的量子态被电子占据的概率降低，而略高于E f的量子态被电子占据的概率增大。
半导体物理2.1状态密度及费米分布函数
状态密度及费米分布函数
N f (E)g(E)dE Ec f(E):电子的分布函数 g(E):状态密度
导带
价带
状态密度 ：单位能量间隔内的状态数目 g(E) dZ
dE
K空间状态密度为 V ，考虑电子自旋后为 2V
K空间状态密度为 V ，考虑电子自旋后为 2V
gv(E )
gvl(E ) gvh(E )
4V h3
(2m
* hd
)3
/
2(Ev
E )1 / 2
(mh*d )3/ 2 (ml*h )3/ 2 (mh*h )3/ 2 空穴状态密度有效质量
Si : mh*h 0.49m0 , ml*h 0.16m0 m*hd 0.55m0
Ge : mh*h 0.28m0 , ml*h 0.044m0 m*hd 0.29m0
f
T=0
f(E)
1
* 电子的费米统计分布函数
1
fe
(E)
1
exp
EE KT
f
E-Ef>>KT
fe (E)
exp
E Ef KT
* 空穴的费米统计分布函数
fh (E) fe (E) 1
1
1
fh (E)
1
1
exp
E Ef KT
1
exp
Ef KT
E
1
fh
(E)
1
exp
Ef KT
E
m*ed 1.08m0 m*ed 0.56m0
半导体的价带：极值在k=0，分重空穴和轻空穴两支能带
重空穴能带的状态密度:
gvh(E )
费米系统的微观状态数
费米系统的微观状态数是指费米子在特定条件下所占据的微观状态的数量。
费米系统的微观状态数与系统的尺寸、温度、粒子数等参数有关。
下面将对费米系统的微观状态数进行简要的说明。
费米系统的微观状态数可以按照统计物理中的费米分布来计算。
费米分布是一种描述粒子在给定粒子数和能量条件下分布的统计分布。
在费米系统中，粒子被视为费米子，其占据的微观状态的数量遵循费米分布。
当系统处于费米温度下时，费米子占据的微观状态的数量遵循费米分布函数，即每个费米子占据一个微观状态的概率与其能量成反比。
具体来说，对于一个具有相同能量的费米子，它们在系统中占据不同微观状态的数量的概率相等。
为了计算费米系统的微观状态数，我们需要知道系统的尺寸、粒子的数目以及能量边界条件。
这些参数将影响微观状态的数目，因为它们决定了系统内可利用的粒子位置和相互作用的可能性。
假设我们有一个由有限数量的粒子组成的二维矩形系统，其中每个粒子具有相同的能量和动量。
我们还需要考虑粒子之间的相互作用，例如库仑相互作用。
根据这些参数，我们可以使用统计物理中的费米统计方法来计算费米系统的微观状态数。
具体来说，我们可以使用费米子占据的微观状态的能量作为变量，并使用费米分布函数来计算每个能量范围内的微观状态的数量。
这个过程需要考虑到系统的边界条件和粒子的数目，以确保计算的准确性。
总之，费米系统的微观状态数是一个复杂的问题，需要考虑系统的尺寸、温度、粒子数、相互作用等多个因素。
通过使用适当的统计物理方法和计算方法，我们可以得到准确的微观状态数，为研究费米系统提供重要的基础数据。
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2.
的确定 之间状态数 之间的电子数
回忆态密度
金属中总的电子数
N f ( E ) N ( E ) dE
0
—— 取决于费密统计分 布函数和电子的能 态密度函数
N (E )
2V
2
2
(
2m
2
) 3/ 2 E 1/ 2
费米能级
金属中总的电子数
自由电子的能态密度
自由电子的费密能级
结论有多可靠？
晶格周期性的影响：能带纳入考虑 紧束缚模型观点的能带：s, p, d, f 电子
这是一个什么问题？
这是一个统计物理问题（3d，1d，2d？）
这是一个量子力学问题
1 V
e
r r ik r
1 V
e
i r r p r h
这是一个量子统计（量子多体）问题
凝练的理论问题
出发点（自由） 什么系综？
kBT CV N 0 ( 0 )kB 2 EF
细节
。。。
§费密统计和电子热容量
—— 能带理论是一种单电子近似，每一个电子的运动近似看 作是独立的，具有一系列确定的本征态 —— 一般金属只涉及导带中的电子，所有电子占据的状态都 在一个能带内
1. 费密分布函数
电子气体服从泡利不相容原理和费米 — 狄拉克统计 —— 热平衡下时，能量为E 的本征态被电子占据的几率
量子力学对金属中电子的处理 —— 索末菲在自由电子模型基础上，提出电子在离子产生 的平均势场中运动，电子气体服从费密 — 狄拉克分布 —— 计算了电子的热容，解决了经典理论的困难
原子中的电子能级 → Pauli不相容原理 → Fermi-Dirac分布 那么，金属中的自由电子气呢？ → 费米面！
教材page 61，（2. 2. 1）中19/125怎么来的？
固体物理
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章
So lid S ta te Phy si cs
晶体结构 晶体的结合 晶格的热振动 金属电子论 电子的能带论 半导体电子论 固体磁性 固体超导
1 电子的费米统计 2 电子输运
电子是量子的么？
常温常压下是的，确切来说，~106K以下 都是 像声子那样，有经典模型对应么？
有！ 就是经典自由电子气体，不幸的是我们是在常 温常压下检验它，所以它表现得很糟
交代一下内容逻辑顺序
金属中的电子是怎样存在着的？
矩形盒子：金属电子论
经典理想电子气体：Drude model 量子理想电子气体：Pauli exclusion principle
原子呢？晶格结构呢？
下一章。。。电子的能带论
2 h 0 EF (3n 2 )2/3 2m
电子的平均能量 —— 平均动能
E Kin
3 0 EF 5
结论：在绝对零度下，电子仍具有相当大的平均能量 —— 电子满足泡利不相容原理，每个能量状态上只能容许两 个自旋相反的电子
—— 所有的电子不可能都填充在最低能量状态
电子的费密能量
总的电子数
f (E ) e 1
E EF k BT
1
—— 费米分布函数
物理意义：能量为E的本征态上电子的数目 —— 平均占有数 （费米能量？或）化学势 μ —— 体积不变时，系统增加一个电子所需的自由能 电子的总数
N f (Ei )
i
—— 对所有的本征态求和
两本书的差别
黄昆：
f (E ) e
2 2 h k ˆ ˆ ˆk H ck c 2m k
主要讨论方法和技巧（分 T = 0 和 T > 0 ）
Tr (e ( H N ) ),
0 F
主要结论
f (E) e
1 k BT
1
E EF k BT
12Leabharlann 2 k BT 2 E F E [1 ( 0 ) ] 12 E F
费米分布函数
f (E ) e 1
E EF k BT
1
电子填充能量
几率
f (EF ) 1 / 2
f (E ) 0
f (E ) 1
费米分布函数
f (E ) e 1
E EF k BT
1
f (E ) 1 f (E ) 0
3) 在较低温度时，分布函数在 处发生很大变化
引入函数 —— 能量E以下的量子态总数 能态密度 应用分部积分
因为
f N Q ( E )( ) dE E 0
1
E EF k BT
1
—— 温度升高 费密能(=化学势)下降
2 k BT 2 E F E [1 ( 0 ) ] 12 E F
0 F
胡安：
f (E ) e
1
E k BT
1
—— 化学势 费密能 = 0温化学势
2 k BT 2 T E F [1 ( ) ] 12 E F 0 EF
把《统计物理》放旁边
量子统计物理学好没有？
费米子。。。
1 电子的费米统计和比热容
出发点是什么？
经典理想电子气体Drude模型的问题：比热容不符合实验 泡利不相容原理：从原子级别到固体级别 量子理想电子气体Sommerfeld模型：费米-狄拉克分布
中间推导过程 … …
态密度复习 粒子数密度条件 计算费米能： EF 是温度的函数？ （化学势） 能量，比热的低温行为
经典电子论的成就 解释金属的特征 —— 电导、热导、温差电、电磁输运等 经典电子论的困难 按照经典能量均分定理，N个电子的能量 对热容量的贡献 大多数金属
3 N k BT / 2 3NkB / 2
C
E x p e r im e n ta l V
/C
C la s s ic a l V
0 .0 1
k空间的费米面
的费米面内所有状态均被电子占有
一部分电子被激发到费密面外附近
以下推导，我们在做一件什么事情？
f (E ) e
1
E EF k BT
1
约束：
N f ( E ) N ( E ) dE
0
积分方程！
求解积分方程： E F E F T ? 分两步走: (1) T=0; (2) T>0
金属电子论
自由电子模型 —— 不考虑电子与电子、电子与离子之间的相互作用 特鲁特(Drude) — 洛伦兹金属电子论 （在2电子输运中介绍） —— 平衡态下电子具有确定平均速度和平均自由程
—— 电子气体服从麦克斯韦 — 玻尔兹曼统计分布规律， 对电子进行统计计算, 得到金属的直流电导、金属电子的 弛豫时间、平均自由程和热容