人教版七年级数学上册《角》
人教版七年级数学上册4.3.1《角的认识》课件
成一直线时，所成的角叫做
;
O
BA
射线 OA绕点O 旋转360度后，回到原来的位置时,
所成的角叫做
。
说明：
在不做特别说明的情况下，我们说的角 都指不大于平角的角
做作业纸
下列说法正确的是（ B ）
（A）两条具有公共点的射线叫做角 （B）平角的两边构成一条直线 （C） 射线是周角 （D）从一点引出的两条线段组成的图形叫做角
∠BOA
当以某一个字母
∠O
（如O）为顶点 的角只当一个角的内部 没有别的角时，
∠β 可用些法。
角也可以看做一条射线绕端点旋转所 组成的图形。
思 射线 OA绕点O 旋转90度后, B
终边OB和始边 OA垂直时,所
考 成的角叫做
。 Z x xk
O
A
B OA
射线 OA绕点O旋转180度后，终边OB和始边 OA
把图中的角表示成下列形式，哪些正确，
哪些不正确？
C
A
P
MO
（1）∠MPC （2）∠AOP （3）APO （4）∠OAP （5）∠O （6） ∠P
方法Z x xk
图标
记法
适用范围
备注
1、用三
个大写字
A
母表示
O
2、用一
B
个大写字
母表示
O
3、用一个
β
数字或希腊
字母来表示
⒉
∠AOB 任何角都可以用
或
此方法表示
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
你真棒
努力
判断正误： （1）两条射线组成的图形叫做角； （2）角是由一条射线旋转而成的；
七年级数学上册第四章几何图形初步《角：余角和补角(方位角)》
新2024秋季七年级人教版数学上册第四章几何图形初步《角：余角和补角（方位角）》听课记录一、教学目标（核心素养）核心素养目标：1.空间观念：通过余角和补角的概念学习，增强学生的空间想象能力，理解角之间的互补与互余关系。
2.逻辑推理：掌握余角和补角的性质，学会运用这些性质进行角的计算和推理。
3.数学运算：提高学生的数学运算能力，尤其是在处理角的加减运算时能够准确无误。
4.问题解决：能够应用余角和补角的知识解决实际问题，如计算方位角等。
二、导入教师行为：•教师首先展示一个直角，并提问：“同学们，你们知道这个角是多少度吗？”学生回答后，教师继续引导：“如果我们从这个直角中减去一个角，得到的角与原来的角之间有什么关系呢？”•教师引入余角和补角的概念，简要说明它们各自的定义和性质。
学生活动：•学生积极思考并回答教师的问题，对直角有基本的认识。
•认真倾听教师讲解余角和补角的概念，初步理解它们之间的关系。
过程点评：•导入环节通过学生熟悉的直角入手，自然引出余角和补角的概念，激发了学生的学习兴趣和好奇心。
•教师的提问和引导有助于学生建立新旧知识之间的联系，为后续学习打下基础。
三、教学过程（一）余角和补角的概念讲解教师行为：•详细讲解余角和补角的定义，强调“和为90度”与“和为180度”的关键特征。
•通过图示和实例，帮助学生直观理解余角和补角的概念及其在空间几何中的应用。
学生活动：•认真听讲，记录关键信息，尝试用自己的话复述余角和补角的定义。
•观察图示和实例，加深对余角和补角概念的理解。
过程点评：•教师讲解清晰，图文并茂，有助于学生理解和掌握余角和补角的概念。
•学生积极参与，通过复述和观察，进一步巩固了所学知识。
（二）余角和补角的性质应用教师行为：•设计一系列练习题，包括角的加减运算、判断角的余角和补角等，让学生独立完成。
•巡视课堂，及时发现并解决学生在解题过程中遇到的问题。
•邀请学生分享解题思路和答案，进行集体讨论和纠正。
人教版初一数学上册4.3.1《角》教学设计(第一课时)(电子书包教学模式).3.1《角》(第一课时)电子书包教学
4.3.1《角》教学设计（第一课时）授课钟广祥一、学情分析：角与直线、射线、线段一样都是重要而基本的几何图形。
有关角的概念、画法、表示方法等都是重要的几何基础知识，是学习后续图形与几何知识以及其它数学知识的必备基础。
学生在小学已经对角的概念有些粗浅的认识，本节课在已有的知识基础上，将对角作进一步的研究，理解它的静态和动态两种描述方法。
七年级学生好动，注意力易分散，爱发表见解，希望收到老师的表扬，通过直观演示，引起学生的兴趣，把它们的注意力集中在课堂中，通过学生动手画图，发表见解，发挥学生学习积极性。
二、教学目标分析：知识技能：（1）理解角的定义，掌握角的表示方法。
（2）体会用运动的观点理解角、平角、周角的概念。
过程与方法：通过观察、探究角的定义和四种表示方法，提高学生的识图能力，学会用运动变化的观点看问题。
情感态度与价值观：通过在图片、实例中找角，培养学生的观察、探究、抽象、概括的能力以及把实际问题转化为数学问题的能力。
感受图形世界的丰富多彩，激发学生的求知欲。
重、难点分析：1．重点：角的概念，角的表示方法。
2．难点：会用不同的方法表示一个角。
三、教法、学法分析1.教法：启发诱导、讨论法、练习法。
根据本节课的内容和学生的认知水平，本节课以学生自主学习为主，教师使用电子书包引导学生自主探究并赋以适当的点拨，注重直观、动手、探索能力的培养，采用“教师引导、启发诱导，学生探究、发现”的教学方法。
以问题为载体给学生提供探索的空间，引导学生积极探索，领会角的定义及特点。
教学环节的设计和展开，以问题解决为中心，使教学过程成为在教师指导下的一种自主探索的学习活动过程，在探索中发现新知，形成自己的观点。
2.学法：自主探究、合作交流、练习法。
为了充分体现《新课标》的要求，培养学生的动手实践能力，探索新知的能力，要充分体现学生的主体地位。
为此，在本课的学习过程中学生主要使用电子书包进行探究式的学习，充分发挥自我研学，在小组内进行交流、讨论，让学生自主学习，构建知识体系。
新人教版初中数学七年级上学期《角》知识点讲解及例题解析
《角》知识讲解及例题解析【学习目标】1．掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换；2. 借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法；3．会利用角平分线的意义进行有关表示或计算；4. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算.【要点梳理】要点一、角的概念1．角的定义：（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．图1 图2（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．要点诠释：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：要点诠释：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．3.角的画法（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．要点二、角度制及其换算角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的160为1分，记作“1′”，1′的160为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．要点诠释：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位．要点三、角的比较与运算1.角的比较角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB ＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．2.角的和、差运算如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．要点诠释：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．3.角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =12∠AOB．要点诠释：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．要点四、方位角在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．要点诠释：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示．（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”．（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向．（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．要点五、钟表上有关夹角问题钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．【典型例题】类型一、角的概念1. 利用一副三角板上的角，能画出多少个小于180°的角，试一一画出来．【思路点拨】首先发现一副三角板上有30°，45°，60°，90°这样4个不相等的角，利用这些角进行一次和差，可得小于180°的所有角．【答案与解析】解：除了可以画30°，45°，60°，90°外，还可画15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的七个度数的角，画法如图所示．【总结升华】利用一副三角板共可以画出11个度数的角，分别是：30°，45°，60°，90°，15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°．举一反三：【变式】下列说法中，正确的是（）A．两条射线组成的图形叫做角B．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角C．角可以看做是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形D．角可以看做是由一条线段绕着它的端点旋转而形成的图形【答案】C．类型二、角度制的换算2. 计算下列各题：(1)152°49′12″+20.18°； (2)82°-36°42′15″；(3)35°36′47″×9； (4)41°37′÷3．【答案与解析】解：(1)解法一：∵ 20.18°＝20°10′48″即：152°49′12″+20.18°＝173°．解法二：∵ 152°49′12″＝152.82°，∴ 152.82°+20.18°＝173°．即：152°49′12″+20.18°＝173°．(2)将82°化为81°59′60″，则∴ 82°-36°42′15″＝45°17′45″．423″＝7′3″， 324′+7′＝5°31′，∴ 35°36′47″×9＝320°31′3″．∴ 41°37′÷3=13°52′20″．【总结升华】在角度的和、差运算中应先统一单位，都化成度或分、秒表示，然后进行计算；在进行乘法运算时，往往先把度、分、秒分别乘以倍数，将结果满60″进1′，满60′进1°；对于除法运算则是从度开始除，将余数化为分和以前的分数相加再除，将余数再化成秒和以前的秒数相加再除，若除不尽往往四舍五入．举一反三：【变式】计算：(1)23°45′36″+66°14′24″；(2)180°-98°24′30″；(3)15°50′42″×3； (4)88°14′48″÷4．【答案】(1)23°45′36″+66°14′24″＝90°；(2)180°-98°24′30″＝81°35′30″；(3)15°50′42″×3＝47°32′6″；(4)88°14′48″÷4＝22°3′42″．类型三、角的比较与运算3. 如图所示表示两块三角板．(1)用叠合法比较∠1，∠α，∠2的大小；(2)量出图中各角的度数，并把图中的6个角从小到大排列，然后用“＜”或“＝”连接．【答案与解析】解：(1)如图所示，把两块三角板叠在一起，可得∠1＞∠α，用同样的方法，可得∠α＜∠2．所以∠2＝∠1＞∠α．(2)用量角器量出图中各个角的度数，分别是∠1＝∠2＝45°，∠3＝90°，∠α＝30°，∠β＝60°，∠γ＝90°，把它们从小到大排列，有∠α＜∠1＝∠2＜∠β＜∠3＝∠γ．【总结升华】比较角的大小有叠合法和度量法两种：①先将两个角的顶点与顶点重合，一条边与一条边重合再比较．②先量出每个角的度数，然后按它们的度数来比较．举一反三：【变式】如图，∠AOB的平分线OM,ON为∠MOA内的一条射线，OG为∠AOB外的一条射线.某同学经过认真分析，得到一个关系式是∠MON＝12（∠BON－∠AON），你认为这个同学得到的关系式正确吗？若正确，请把得到这个结论的过程写出来.【答案】解：正确，理由如下：∵∠AOB的平分线OM，∴∠AOM＝∠MOB又∵∠MON＝∠AOM－∠AON=∠MOB－∠AON=(∠BON－∠MON) －∠AON 即有∠MON＝∠BON－∠MON －∠AON∴ 2∠MON＝∠BON－∠AON∴∠MON＝12（∠BON－∠AON）4. 如图，∠AOB=90°，∠AOC=30°，且OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，（1）求∠MON的度数；（2）若∠AOB=α其他条件不变，求∠MON的度数；（3）若∠AOC=β（β为锐角）其他条件不变，求∠MON的度数；（4）从上面结果中看出有什么规律？【思路点拨】（1）要求∠MON，即求∠COM﹣∠CON，再根据角平分线的概念分别进行计算即可求得；（2）和（3）均根据（1）的计算方法进行推导即可．（4）根据（2）和（3）中的结论进行总结．【答案与解析】解：（1）∵∠AOB=90°，∠AOC=30°，∴∠BOC=120°∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC∴∠COM=60°，∠CON=15°∴∠MON=∠COM﹣∠CON=45°．（2）∵∠AOB=α，∠AOC=30°，∴∠BOC=α+30°∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC∴∠COM=+15°，∠CON=15°∴∠MON=∠COM﹣∠CON=．（3）∵∠AOB=90°，∠AOC=β，∴∠BOC=90°+β∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC∴∠COM=45°+，∠CON=．∴∠MON=∠COM ﹣∠CON=45°． （4）从上面的结果中，发现：∠MON 的大小只和∠AOB 得大小有关，与∠A0C 的大小无关．【总结升华】能够结合图形表示角之间的和差关系，根据角平分线的概念运用几何式子表示角之间的倍分关系．举一反三：【变式】如图，已知O 是直线AC 上一点，OD 平分∠AOB ，OE 在∠BOC 内，且∠BOE ＝12∠EOC ，∠DOE ＝70°，求∠EOC 的度数.【答案】解：设∠EOC=x °，则∠BOE ＝12∠EOC ＝12x °，根据题意可得：1180127022x xx --+= ，解得： 80x = .∠EOC ＝2∠BOE ＝80°. 类型四、方位角5.已知小岛A 位于基地O 的东南方向，货船B 位于基地O 的北偏东50°方向，那么∠AOB 的度数等于 ． 【答案】85°． 【解析】解：如图：∵∠2=50°，∴∠3=40°， ∵∠1=45°，∴∠AOB=∠1+∠3=45°+40°=85°， 故答案为：85°．【总结升华】本题主要考查了方位角的概念，根据方位角的概念，画图正确表示出A ，B 的方位，注意东南方向是45度是解答此题的关键． 类型五、钟表上有关夹角问题6. 在7时到7时10分之间的什么时刻，时针与分针成一条直线? 【答案与解析】解：设7时x 分钟，时针与分针成一条直线，由题意得：16302x x -=，5511x =． 答：7时5511分钟时针与分针成一条直线．【总结升华】时钟上的分针与时针绕着中心顺时针均匀转动，在不同时刻，两针之间形成一定的角度．如果把单位时间分针和时针转过的度数当作它们的速度则： ① 分针的速度为36060＝6°/分；②时针的速度为3060°分＝0.5°/分． 故分针速度是时针速度的12倍． 举一反三：【变式】某人下午6点多外出购物，表上的时针和分针的夹角恰为110°，下午7点前回家时，发现表上的时针和分针的夹角又是110°，试算出此人外出用了多长时间? 【答案】解：设此人外出用了x 分钟，则分针转了6x 度，时针转了0.5x 度．根据题意得：6x-0.5x ＝110×2，解之得x ＝40． 答：此人外出购物用了40分钟的时间．。
人教七年级数学上册《角》课件(共15张PPT)
5
4 3
D
A
∠1
∠3
∠BAC
2 1
C
∠4
∠ABC
E
平角和周角
分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成 角的度数 。
巴黎时20°
90°
除了“度”之外，还有其它的度量单位吗？
1°的60分之一为1分，记作“1′”，即1°＝60′
1′的60分之一为1秒，记作“1″”，即1′＝60″
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
⒊角的度量单位是度、分、秒，是六十 进制。
探索与思考：
如果一个角（小于平角）内有一条射线， 则图中共有多少个角？有两条射线呢？三条？ n条？
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月21日星期四2022/4/212022/4/212022/4/21 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/212022/4/212022/4/214/21/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/212022/4/21April 21, 2022
例1 计算： ⑴ 1.45°等于多少分？等于多少秒？ ⑵ 1800″等于多少分？等于多少度？
用度、分、秒表示： ⑴0.75°＝ 45 ′＝ 2700″ ⑵(1－45)°＝ 16 ′＝ 960″ ⑶16.24°＝ 16 ° 14 ′ 24″ ⑷34.37°＝ 34 ° 22 ′ 12″
用度表示：
⑴1800″＝ 0.5°
射边线
人教版七年级数学上册第四章4.3《角》例题与讲解
4.3 角1．角的定义及其表示方法(1)角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．角也可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．当终边和始边成一条直线时，形成等角；当终边和始边重合时，形成周角．(2)角的表示方法：有四种表示角的方法：①用一个阿拉伯数字表示单独的一个角，在角内用一段弧标注； ②用一个大写英文字母表示单独的一个角，当角的顶点处有两个或两个以上的角时，不能用这种方法表示角；③用一个小写希腊字母表示单独的一个角；④用三个大写英文字母表示任意一个角，这时表示顶点的字母一定要写在中间． 破疑点 角的理解 (1)角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线张开的幅度大小有关，角可以度量，可以比较大小，可以进行运算；(2)如果没有特别说明，所说的角都是指小于平角的角．【例1－1】 下列说法正确的是( )．A ．平角是一条直线B ．一条射线是一个周角C ．两边成一条直线时组成的角是平角D ．一个角不是锐角就是钝角解析：要做对这类题目，一定要理解概念，严格按照概念进行判断，才能得出正确的结论．平角、周角都是特殊角，虽然它们与一般角形象不符，但是它们仍然是角，它们都具有一个顶点和两条边，只不过平角的两边成一条直线，周角的两边重合成一条射线罢了． 答案：C【例1－2】 如图，以点B 为顶点的角有几个？请分别把它们表示出来．分析：.射线BA 与BD ，BA 与BC ，BD 与BC 各组成一个角．表示顶点的字母必须写在中间．当一个顶点处有多个角时，不能用一个表示顶点的大写字母表示，所以不能把∠ABC 错写成“∠B ”．书写力求规范，如用数字或希腊字母表示角时要在靠近顶点处加弧线注上阿拉伯数字或小写的希腊字母．注意：角的符号一定要用“∠”，而不能用“＜”． 解：以B 为顶点的角有3个，分别是∠ABC ，∠ABD ，∠DBC .2.角的度量与换算(1)角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．(2)角度的换算：角的度量单位是度、分、秒，把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份就是1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份就是1秒的角，记作1″.谈重点 角度的换算 (1)度、分、秒的换算是60进制，与时间中的时、分、秒的换算相同；(2)角的度数的换算有两种方法：①由度化成度、分、秒的形式(即从高位向低位化)，用乘法，1°＝60′，1′＝60″；②由度、分、秒化成度的形式(即从低位向高位化),1″＝⎝⎛⎭⎫160′，1′＝⎝⎛⎭⎫160°，用除法．度及度、分、秒之间的转化必须逐级进行转化，“越级”转化容易出错．【例2】 (1)将70.23°用度、分、秒表示；(2)将26°48′36″用度表示．分析：(1)70.23°实际是70°＋0.23°，这里70°不要变，只要将0.23°化为分，然后再把所得的分中的小数部分化为秒．将0.23°化为分，只要用0.23乘以60′即可．(2)将26°48′36″用度表示，应先将36″化成分，然后再将分化成度就可以了．将36″化成分，可以用⎝⎛⎭⎫160′乘以36.解：(1)将0.23°化为分，可得0.23×60′＝13.8′，再把0.8′化为秒，得0.8×60″＝48″.所以70.23°＝70°13′48″.(2)把36″化成分，36″＝⎝⎛⎭⎫160′×36＝0.6′，48′＋0.6′＝48.6′，把48.6′化成度，48.6′＝⎝⎛⎭⎫160°×48.6＝0.81°. 所以26°48′36″＝26.81°.3．角的比较与运算(1)角的比较： ①度量法：用量角器量出角的度数，然后按照度数比较角的大小，度数大的角大，度数小的角小；反之，角大度数大，角小度数小． ②叠合法：把两个角的顶点和一边分别重合，另一边放在重合边的同旁，通过另一边的位置关系比较大小．解技巧 角的比较 ①在度量法中，注意三点：对中、重合、度数；②在叠合法中，要注意顶点重合，一边重合，另一边落在重合这边的同侧．(2)角的和差：角的和、差有两种意义，几何意义和代数意义．几何意义对于今后读图形语言有很大帮助，代数意义是今后角的运算的基础．①几何意义：如图所示，∠AOB 与∠BOC 的和是∠AOC ，表示为∠AOB ＋∠BOC ＝∠AOC ；∠AOC 与∠BOC 的差为∠AOB ，表示为∠AOC －∠BOC ＝∠AOB .②代数意义：如已知∠A ＝23°17′，∠B ＝40°50′，∠A ＋∠B 就可以像代数加减法一样计算，即∠A ＋∠B ＝23°17′＋40°50′＝64°7′，∠B －∠A ＝40°50′－23°17′＝17°33′.(3)角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，射线OC 是∠AOB 的平分线，则有∠1＝∠2＝12∠AOB 或∠AOB ＝2∠1＝2∠2.警误区 角的平分线的理解 角的平分线是一条射线，不是线段，也不是直线，它必须满足下面的条件：①是从角的顶点引出的射线，且在角的内部；②把已知角分成了两个角，且这两个角相等．【例3】 如图所示，OE 平分∠BOC ，OD 平分∠AOC ，∠BOE ＝20°，∠AOD ＝40°，求∠DOE 的度数．解：∵OE平分∠BOC，∴∠BOE＝∠COE.∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠COD.又∵∠BOE＝20°，∠AOD＝40°，∴∠COE＝20°，∠COD＝40°.∴∠DOE＝∠COE＋∠COD＝20°＋40°＝60°.4．余角和补角(1)余角和补角的概念：①余角：如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角；②补角：如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．(2)性质：余角的性质：同角(等角)的余角相等．用数学式子表示为：∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°，又因为∠2＝∠4，所以∠1＝∠3.补角的性质：同角(等角)的补角相等．用数学式子表示为：∠1＋∠2＝180°，∠3＋∠4＝180°，又因为∠2＝∠4，所以∠1＝∠3.(3)方位角：在航海、航空、测绘中，经常会用到一种角，它是表示方向的角，叫做方位角．通常以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向．通常要先写北或南，再写偏东还是偏西．警误区余角和补角的理解余角和补角是成对出现的，它们之间互相依存，只能说∠1的余角是∠2，∠2的余角是∠1，或者说∠1与∠2互余，而不能说∠1是余角．【例4】如图所示，直线AB，CD，EF相交于点O，且∠AOD＝90°，∠1＝40°，求∠2的度数．解：因为∠AOD＋∠AOC＝∠AOD＋∠BOD＝180°，所以∠AOD＝∠AOC＝∠BOD＝90°.又因为∠1＋∠FOC＝180°，∠DOF＋∠FOC＝180°，所以∠DOF＝∠1＝40°.所以∠2＝∠BOD－∠DOF＝90°－40°＝50°.5．运用整体思想解决角的计算问题整体思想就是根据问题的整体结构特征，不拘泥于部分而是从整体上去把握解决问题的一种重要的思想方法．整体思想突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理．整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用．【例5】如图所示，∠AOB ＝90°，ON 是∠AOC 的平分线，OM 是∠BOC 的平分线，求∠MON 的大小．分析：解决问题的关键是把∠AOC －∠BOC 视为一个整体，代入求值．解：因为ON 是∠AOC 的平分线，OM 是∠BOC 的平分线，所以∠NOC ＝12∠AOC ，∠MOC ＝12∠BOC ， 所以∠MON ＝∠NOC －∠MOC ＝12∠AOC －12∠BOC ＝12(∠AOC －∠BOC )＝12∠AOB ＝12×90°＝45°. 6.钟表问题对于钟表问题要掌握基本的数量关系，如走一大格为30度，一小格为6度，分针每分钟转6度，时针每分钟转0.5度，分针是时针转速的12倍等．若已知具体时间，求时针与分针的夹角，只需知道它们相距的格数，便可求得；若是已知时针与分针的夹角求相应的时间，则一般需要建立方程求解．【例6】上午9点时，时针与分针成直角，那么下一次时针与分针成直角是什么时候？解：设经过x 分钟，时针与分针再次成直角，则时针转过(0.5x )°，分针转过(6x )°，如图所示，可列方程360－6x －(90－0.5x )＝90，解得x ＝32811.即过32811分钟，时针与分针再一次成直角．7.角中的实验操作题实验操作题是近年来悄然兴起的一种新形式的考题，它集阅读、作图、实验于一体，要求在规定的条件下进行实验，在动手操作中找出答案．这类题目主要是能画出整个过程中的状态示意图，进而求出点的转动角度．【例7】如图，把作图用的三角尺(含30°，60°的那块)从较长的直角边水平状态下开始，在平面上转动一周，求B 点转动的角度(在点的位置没有发生变化的情况下，一律看作点没有转动)．解：如图，从位置①到位置②，B 点转过90°；从位置②到位置③，B 点转过120°；从位置③到位置④，由题意B点看作不动．于是在整个过程中B点转过的角度为90°＋120°＝210°.8.归纳猜想在角的问题中的运用归纳猜想，是一种很重要的数学思想方法，数学史上的许多重要发现：如哥德巴赫猜想、四色猜想、角谷猜想、费马定理等都是由数学家的探究、猜想、总结而得到的．学习数学必须不断地去探索、猜想，不断地总结规律，才会有新发现．运用n(n－1)2这个式子，能解决很多类似的问题，能达到一石数鸟，这都是大家善于借鉴的结果．在学习过程中，注意不断总结、归纳规律，积累经验，运用总结出来的方法、技巧解决问题．【例8】(1)若在n个人的聚会上，每个人都要与另外所有的人握一次手，问握手总次数是多少？(2)如图①中共有多少条线段？如图②中共有多少个角(指小于平角的角)?解：(1)每个人可与另外(n－1)个人握一次手，n个人就有(n－1)·n次握手，其中各重复一次，所以，握手总次数是n(n－1)÷2次．(2)图①中每两个点构成一条线段(类似于两个人握一次手)，所以共有n(n－1)÷2条线段．图②中每条射线都与另外(n－1)条射线构成一个角(类似于握手)，所以共有n(n－1)÷2个角．9.方位角的应用(1)如图，画两条互相垂直的直线AB和CD相交于点O，其中一条为水平线，则图中四条射线所指方向就是东西南北四大方向，具体是：向上的射线OA表示正北方向，向下的射线OB表示正南方向，向右的射线OD表示正东方向，向左的射线OC表示正西方向．这四大方向简称为上北下南左西右东．建立这四条方向线后，对于点P，如果点P在射线OA上，则称点P在正北方向；如果点P在射线OB上，则称点P在正南方向；如果点P在射线OC上，则称点P在正西方向；如果点P在射线OD上，则称点P在正东方向．(2)在图中，东西和南北方向线把平面分成四个直角，如果点P在正北方向线OA与正东(或正西)方向线OD(或OC)的夹角内，且射线OP与正北方向线OA的夹角是m°，则称点P在北偏东(或西)m°方向；如果点P在正南方向线OB与正东(或正西)方向线OD(或OC)的夹角内，且射线OP与正南方向线OB的夹角为m°，则称点P在南偏东(或西)m°方向．例如图中的射线OA，OB，OC，OD分别称为：北偏东40°、北偏西65°、南偏西45°、南偏东20°.对于偏向45°的方位角，有时也可以说成东南(北)方向或西南(北)方向．如图中的OC，除了说成南偏西45°外，还可以说是西南方向，但不要说成南西方向．【例9】如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是西偏北50°.(1)若∠AOC＝∠AOB，则OC的方向是________；(2)OD是OB的反向延长线，OD的方向是____；(3)∠BOD可看作是OB绕点O逆时针方向至OD，作∠BOD的平分线OE，OE的方向是____；(4)在(1)、(2)、(3)的条件下，∠COE＝____.解析：(1)∵OB的方向是西偏北50°，∴∠1＝90°－50°＝40°，∴∠AOB＝40°＋15°＝55°∵∠AOC＝∠AOB，∴∠AOC＝55°，∴∠FOC＝∠AOF＋∠AOC＝15°＋55°＝70°，∴OC的方向是北偏东70°.(2)∵OB的方向是西偏北50°，∴∠1＝40°，∴∠DOH＝40°，∴OD的方向是南偏东40°.(3)∵OE是∠BOD的平分线，∴∠DOE＝90°.∵∠DOH＝40°，∴∠HOE＝50°，∴OE的方向是南偏西50°.(4)∵∠AOF＝15°，∠AOC＝55°，∴∠COG＝90°－∠AOF－∠AOC＝90°－15°－55°＝20°.∵∠EOH＝50°，∠HOG＝90°，∴∠COE＝∠EOH＋∠HOG＋∠COG＝50°＋90°＋20°＝160°.答案：(1)北偏东70°(2)南偏东40°(3)南偏西50°(4)160°。
人教版七年级数学上册第四章4.3角(教案)
本节课将围绕以上核心素养目标，结合教材内容，设计教学活动，点与重点
1.教学重点
-角的概念及其度量：理解角的定义，掌握角的度量方法，能够准确表示角的度数。
-角的分类：区分锐角、直角、钝角、平角、周角，并能够识别生活中各种角的例子。
在导入新课环节，通过提问方式引导学生回顾日常生活中的角，这样有助于激发他们的学习兴趣。但在讲授过程中，我发现有些学生对角的定义还不够明确，因此在今后的教学中，我需要更加细致地讲解基本概念。
在新课讲授环节，我采用了理论介绍、案例分析和重点难点解析相结合的方式。学生们对案例分析很感兴趣，但部分同学在理解角的性质时仍显得吃力。我意识到，对于这部分内容，需要通过更多具体的例子和实际操作来帮助学生理解。
人教版七年级数学上册第四章4.3角（教案）
一、教学内容
人教版七年级数学上册第四章4.3节，主要教学内容包括：
1.角的概念：了解角的定义，认识角的符号表示，掌握角的度量和单位。
2.角的分类：掌握锐角、直角、钝角、平角、周角的概念，学会分类判断。
3.角的度量：学习使用量角器测量角的度数，掌握角的度数表示方法。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解角的基本概念。角是由两条射线共享一个公共端点形成的图形。它是研究几何图形的基础，广泛应用于日常生活和各类工程中。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了角在三角板中的应用，以及它如何帮助我们解决实际问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调角的度量方法和角的分类这两个重点。对于难点部分，我会通过动态演示和实际操作来帮助大家理解。
人教版数学七年级上学期：《角》课时练习(含答案)
4.3角4.3.1角能力提升1.下列说法中正确的是()A.两条射线组成的图形叫做角B.角是一条线段绕它的一个端点旋转而成的图形C.有公共端点的两条线段组成的图形叫做角D.角是一条射线绕着它的端点旋转而成的图形2.如图,O是直线AB上一点,图中小于180°的角的个数为()A.7B.9C.8D.103.下午2点30分时(如图),时钟的分针与时针所成角的度数为()A.90°B.105°C.120°D.135°(第2题图)(第3题图)4.若∠1=75°24',∠2=75.3°,∠3=75.12°,则()A.∠1=∠2B.∠2=∠3C.∠1=∠3D.以上都不对5.由2点15分到2点30分,钟表的分针转过的角度是()A.30°B.45°C.60°D.90°6.(1)32.6°=°';(2)10.145°=°'″;(3)50°25'12″=°.7.小明说:我每天下午3:00准时做“阳光体育”活动.则下午3:00这一时刻,时钟上分针与时针所夹的角等于.8.指出图中所示的小于平角的角,并把它们表示出来.★9.如图,从点O引出的5条射线OA,OB,OC,OD,OE组成的图形中共有几个角?创新应用★10.观察下图,回答下列问题.(1)在∠AOB内部任意画1条射线OC,则图①中有个不同的角;(2)在∠AOB内部任意画2条射线OC,OD,则图②中有个不同的角;(3)在∠AOB内部任意画3条射线OC,OD,OE,则图③中有个不同的角;(4)在∠AOB内部任意画10条射线OC,OD,…,则共形成个不同的角.参考答案能力提升1.D2.B3.B时钟上每一大格是30°,2点30分时时针与分针之间是3.5个格,所以夹角为3.5×30°=105°.4.D因为∠1=75°24'=75.4°,所以∠1,∠2和∠3都不相等.5.D6.(1)3236(2)10842(3)50.427.90°8.解:满足条件的角有6个,它们是∠A,∠D,∠ABE,∠ABF,∠DCE,∠DCF.9.解:图形中有∠AOB,∠AOC,∠AOD,∠AOE,∠BOC,∠BOD,∠BOE,∠COD,∠COE,∠DOE,共10个角.创新应用10.(1)3(2)6(3)10(4)66(1)2+1=3;(2)3+2+1=6;(3)4+3+2+1=10;(4)11+10+9+…+3+2+1=66.第2课时线段的性质能力提升1.如图所示,要在直线PQ上找一点C,使PC=3CQ,则点C应在()A.P,Q之间B.点P的左边C.点Q的右边D.P,Q之间或在点Q的右边2.如果线段AB=5 cm,BC=3 cm,那么A,C两点间的距离是()A.8 cmB.2 cmC.4 cmD.不能确定3.C为线段AB的一个三等分点,D为线段AB的中点,若AB的长为6.6 cm,则CD的长为()A.0.8 cmB.1.1 cmC.3.3 cmD.4.4 cm4.如图所示,C是线段AB的中点,D是CB上一点,下列说法中错误的是()A.CD=AC-BDB.CD=BCC.CD=AB-BDD.CD=AD-BC5.下面给出的4条线段中,最长的是()A.dB.cC.bD.a6.已知A,B是数轴上的两点,点A表示的数是-1,且线段AB的长度为6,则点B表示的数是.7.已知线段AB=7 cm,在线段AB所在的直线上画线段BC=1 cm,则线段AC=. 8.如图所示,设A,B,C,D为4个居民小区,现要在四边形ABCD内建一个购物中心,试问把购物中心建在何处,才能使4个居民小区到购物中心的距离之和最小?请说明理由.9.如图所示,点C是线段AB上一点,点M是线段AC的中点,点N是线段BC的中点.(1)如果AB=20 cm,AM=6 cm,求NC的长;(2)如果MN=6 cm,求AB的长.10.在桌面上放了一个正方体的盒子,如图所示,一只蚂蚁在顶点A处,它要爬到顶点B处找食物,你能帮助蚂蚁设计一条最短的爬行路线吗?要是食物在顶点C处呢?★11.已知线段AB=12 cm,直线AB上有一点C,且BC=6 cm,M是线段AC的中点,求线段AM 的长.创新应用★12.在同一条公路旁,住着5人,他们在同一家公司上班,如图,不妨设这5人的家分别住在点A,B,D,E,F所示的位置,公司在点C处,若AB=4 km,BC=2 km,CD=3 km,DE=3 km,EF=1 km,他们全部乘出租车上班,车费单位报销.出租车收费标准是:起步价6元(3 km以内,包括3 km),超过3 km超出的部分每千米1.5元(不足1 km,以1 km计算),每辆车能容纳3人.(1)若他们分别乘出租车去上班,公司应支付车费多少元?(2)如果你是公司经理,你对他们有没有什么建议?参考答案能力提升1.D注意本题中的条件是在直线PQ上找一点C,所以C可以在P,Q之间,也可以在点Q的右侧.2.D A,B,C三点位置不确定,可能共线,也可能不共线.3.B如图,AD=AB=3.3cm,AC=AB=2.2cm,所以CD=AD-AC=3.3-2.2=1.1(cm).4.B5.A6.-7或5点B可能在点A的左侧,也有可能在点A的右侧.若点B在点A的左侧,则点B表示的数比点A表示的数小6,此时点B表示的数为-7;若点B在点A的右侧,则点B表示的数比点A表示的数大6,此时点B表示的数为5.7.8 cm或6 cm分两种情况:①点C在线段AB内,②点C在线段AB的延长线上.8.解:连接AC,BD,交点P即为购物中心的位置.理由:根据公理“两点之间,线段最短”,要使购物中心到A,B,C,D的距离和最小,购物中心既要在AC上,又要在BD上.9.解:(1)因为M为AC的中点,所以MC=AM.又因为AM=6cm,所以AC=2×6=12(cm).因为AB=20cm,所以BC=AB-AC=20-12=8(cm).又因为N为BC的中点,所以NC=BC=4(cm).(2)因为M为AC的中点,所以MC=AM.因为N为BC的中点,所以CN=BN.所以AB=AC+BC=2(MC+CN)=2MN=2×6=12(cm).10.解:如图所示,是该正方体的侧面展开图.食物在B处时的最短路线为线段AB,食物在C处时的最短路线为线段AC.11.解:(1)当点C在线段AB上时,如图①,图①因为M是AC的中点,所以AM=AC.又因为AC=AB-BC,AB=12cm,BC=6cm,所以AM=(AB-BC)=×(12-6)=3(cm).(2)当点C在线段AB的延长线上时,如图②,图②因为M是AC的中点,所以AM=AC.又因为AC=AB+BC,AB=12cm,BC=6cm,所以AM=AC=(AB+BC)=×(12+6)=9(cm).故AM的长度为3cm或9cm.创新应用12.解:(1)在A处乘车的车费为6+(4+2-3)×1.5=10.5(元);在B处乘车的车费为6元;在D处乘车的车费为6元;在E处乘车的车费为6+(3+3-3)×1.5=10.5(元);在F处乘车的车费为6+(1+3+3-3)×1.5=12(元),合计45元.(2)A,B同乘一辆车,从A开出,D,E,F同乘一辆车,从F开出,合计22.5元.。
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4．3 角第1课时角教学目标1．理解角的概念，能用运动的观点理解角、平角、周角的概念．2．掌握角的表示方法，会用不同方法表示同一个角．3．认识角的度量单位度、分、秒，会进行简单的换算和角度计算．教学重点1．角的定义和用不同的方法表示一个角．2．会进行角度的换算．教学难点角的表示方法．角度的换算．教学设计(设计者：)教学过程设计一、创设情境明确目标A．以前我们曾经认识过角，那你们能从这两个图形中指出哪些地方是角吗？B．在我们的生活中存在着许许多多的角，一起看一看，你能从教室中常用的物品里找出角吗？二、自主学习指向目标自学教材第132至133页，完成下列问题：1．角的概念：(1)有公共端点的__两条射线__组成的图形叫做角，这个公共端点是角的__顶点__，这两条__射线__是角的两条边．(2)角也可以看作由一条射线绕它的端点__旋转__而形成的图形，旋转开始时的射线叫做角的__始边__，旋转终止时的射线叫做角的__终边__．2．角的表示：如图所示，把图中用数字表示的角，改用三个大写字母表示分别是__∠1＝∠ADE，∠2＝∠EDB，∠3＝∠CED，∠4＝∠ABC，∠5＝∠AED__．可用一个大字写字母表示的角是__∠A，∠B，∠C__．3．角的度量：(1)常用的角的度量单位有__度__、__分__、__秒__；1°＝__60__′，1′＝__60__″.(2)1周角＝__2__平角＝__4__直角＝__360__°.(3)把下列各题结果化成度．①72°36′＝__72.6__°；②37°14′24″＝__37.24__°.三、合作探究达成目标探究点一角的概念及表示方法活动一：阅读教材第132页，思考：1．举出生活中给我们以角的形象的例子．2．什么是角？什么是角的边？请画图说明．3．画图说明如何表示一个角．4．如何从旋转的角度描述角？在旋转的过程中，有哪些特殊的角？5．如图所示，图中共有多少个角？能用一个字母表示的角有几个？把它们表示出来，能用三个字母表示的角是：能用一个字母表示的角是：【展示点评】有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．【小组讨论】角有哪几种表示方法？应注意什么问题？【反思小结】角的表示方法有4种，分别是用三个大写字母，一个大写字母，一个数字，一个希腊字母．用三个大写字母表示角时，顶点写在中间；用一个大写字母表示角时，顶点处只能有一个角．【针对训练】见“学生用书”． 探究点二度、分、秒的换算活动二：例：把38.15°化成用度、分、秒表示，把32°12′48″化成用度表示． 【展示点评】由低级单位向高级单位转化，所用公式为1″＝(160)′，1′＝(160)°.【小组讨论】1.度、分、秒之间的换算关系是什么？ 2．如何进行度、分、秒之间的计算？【反思小结】度、分、秒互化以60为进制．化大单位为小单位用乘法，反之用除法．【针对训练】见“学生用书”． 四、总结梳理 内化目标1．角的定义． 2．角的表示方法． 3．度、分、秒换算． 五、达标检测反思目标1．用度、分、秒表示42.34°＝__42°20′24″__． 2.13直角＝__30__度＝__16__平角＝__112__周角． 3．如图所示，图中能用一个大写字母表示的角是__∠B ，∠C __；以A 为顶点的角有__6__个，它们分别是__∠BAE ，∠BAD ，∠BAC ，∠EAD ，∠EAC ，∠DAC __．4．下列关于角的说法正确的是( D ) A ．两条射线组成的图形叫做角 B ．延长一个角的两边C ．角的两边是射线，所以角不可以度量D ．角的大小与这个角的两边长短无关 5．下列说法中不正确的是( B )A．∠AOB的顶点是O点B．射线BO，射线AO分别是∠AOB的两条边C．∠AOB的边是两条射线D．∠AOB与∠BOA表示同一个角6．如图所示，回答下列问题：①图中能用一个字母表示的角有：__两__个，分别是__∠A，∠C__；②以B为顶点的角有：__∠ABE，∠ABC，∠EBC__．六、布置作业巩固目标课外作业见“学生用书”第2课时角的比较与运算(一)教学目标1．会比较两个角的大小．2．能用符号语言表示角的和与差，并能解决简单的问题．3．掌握角的平分线及角的等分线．教学重点比较角的大小，分析角的和差关系，理解角平分线．教学难点角的和、差关系及运用．教学设计(设计者：)教学过程设计一、创设情境明确目标老师手中现有两个角，你知道哪个角大吗？你是怎样比较出来的？二、自主学习指向目标自学教材第134至135页，完成下列问题：1．如图，找一找，图中共有几个角？它们之间有什么关系？解：3个角大小关系：∠AOC>∠AOB>∠BOC数量关系：∠AOC＝∠AOB＋∠BOC2．如图，比较图中四个角的大小，并用“<”连接__∠A<∠B<∠D<∠C__．第2题图第3题图3．角的平分线：在角的内部，从角的顶点引一条射线把这个角分成两个相等的角，那么，这条射线叫做角的平分线．如图：∵OB 平分∠AOC(已知) ∴∠AOB ＝__∠BOC __＝12__∠AOC __，∠AOC ＝2∠AOB ＝__2∠BOC __. 三、合作探究 达成目标探究点一比较角的大小与认识角的和差活动：说一说：角的大小比较有哪些方法？画一画：两个角的大小比较有几种情况，并用几何语言表示出来．思考：观察教材图 4.3－7，说一说图中共有几个角？它们之们有什么关系？用符号语言表示出来．小组合作：用一副三角板可画出哪些不同度数的角？并画出相应的图形． 【展示点评】可以类比线段的大小比较，思考角的大小比较方法．【小组讨论】角的比较有哪些方法？用一副三角板画出的这些角有什么规律？【反思小结】角的大小的比较方法有：度量法、叠合法；有三种情况：大于、等于、小于；用一副三角板可画出15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°的角，这些角是15的整数倍．【针对训练】见“学生用书”． 探究点二角的平分线及简单应用做一做：在透明纸上画∠AOC ，沿着顶点对折，使角的两边重合． (1)∠AOC 被折痕OB 分成的两个角有什么样的大小关系？(2)在图中，射线OB 把∠AOC 分成两个________角，即∠AOB________∠BOC. (3)∠AOC 、∠AOB 和∠BOC 有什么关系？这个关系怎样用式子来表示？射线OB 叫做什么？【展示点评】根据所在射线是∠AOC 的平分线． 【小组讨论】说说你对角平分线的认识．【反思小结】角的平分线是一条射线，一个角的平分线有一条，三等分线有两条，四等分线有三条，依次类推，在应用角平分线进行计算时，一定要结合图形进行．【针对训练】见“学生用书”． 四、总结梳理 内化目标1．角的大小比较方法．2．角的和差． 3．角的平分线． 五、达标检测反思目标1．在小于平角的∠AOB 的内部取一点C ，并作射线OC ，则一定存在( C ) A ．∠AOC ＞∠BOCB ．∠AOC ＝∠BOCC ．∠AOB ＞∠AOCD ．∠BOC ＞∠AOC2．射线OC 在∠AOB 的内部，下列四个式子中不能判定OC 是∠AOB 的平分线的是( D )A ．∠AOB ＝2∠AOC B ．∠BOC ＝∠AOCC ．∠AOC ＝12∠AOBD ．∠AOC ＋∠BOC ＝∠AOB3．OC 是∠AOB 内部的一条射线，若∠AOC ＝12__∠AOB __，则OC 平分∠AOB ；若OC 是∠AOB 的角平分线，则__∠AOB __＝2∠AOC.4．如图，用“＝”或“>”或“<”填空： (1)∠AOC__＝__∠AOB ＋∠BOC ； (2)∠AOC__>__∠AOB ；(3)∠BOD －∠BOC__＝__∠DOC ； (4)∠AOD__<__∠AOC ＋∠BOD.5．如图，OC 平分∠AOB ，OD 平分∠AOC ，则图中相等的角有__两__组，∠AOD ＝__∠COD __，∠AOC ＝__12__∠AOB.6．如图所示，已知∠COD ＝25°，∠AOC ＝∠BOD ＝90°，则∠AOD ＝__65°__，∠AOB ＝__155°__．六、布置作业巩固目标课外作业见“学生用书”．第3课时角的比较与运算(二)教学目标1．会进行度、分、秒单位互化．2．会进行角的和、差、倍、分的计算．教学重点角的度、分、秒单位互化．教学难点角的和、差、倍、分的计算．教学设计(设计者：)教学过程设计一、创设情境明确目标我们知道，平角为180°，如果把平角等分6份，则每份有30°，那么，如果把平角等分8份，每份有多少呢？我们今天就解决这个问题．二、自主学习指向目标自学教材第136页，完成下列问题：1．把一个周角360等分，每一份就是__1__度的角，记作__1°__．2．把一度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作__1′__．3．把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作__1″__．4．(2014·济南)如图，点O在直线AB上，若∠1＝40°，则∠2的度数是( C ) A．50°B．60°C．140° D．150°三、合作探究达成目标探究点一角的和差的运算活动一：阅读教材例1，回答下列问题：1．AB为直线，那么∠AOB叫______角；∠AOB＝______°.2．∠AOB与∠AOC、∠BOC之间有什么关系？________________________________________________________________________计算过程为：【小组讨论】怎样进行角的度数的加减运算？【反思小结】在进行加法运算时，度和度加，分和分加，秒和秒加，若所得的分或秒等于或大于60，则进一位；在进行减法运算时，度和度减，分和分减，秒和秒减，若不够减，则借一位．【针对训练】见“学生用书”．探究点二角的乘除的运算活动二：把一个周角7等分，每一份是多少度的角？(精确到分)思考：1．1°＝________′；1′＝________″.2．360°÷7＝______余3，请问余数3是3______．3．3°×60＝______′；180′÷7＝______余______′.解答过程为：【小组讨论】在进行角的乘除运算时，应注意一些什么问题？【反思小结】在进行乘除运算时，角的度数的每一部分分别相乘或相除，还要注意最后的结果中若分或秒大于或等于60，则进一位．【针对训练】见“学生用书”．四、总结梳理内化目标1．角的和差关系．2．复杂图形中角的和差运算．五、达标检测反思目标1．如图，OC是∠AOB的平分线，OD平分∠AOC，且∠COD＝25°，则∠AOB＝( A )A．100°B．75°C．50° D．20°第1题图第2题图2．如图，∠BAD＝__∠1__＋__∠2__；∠CAE＝__∠2__＋__∠3__如果∠BAD ＝∠CAE，那么图中有相等的两角是：∠__1__＝∠__3__．3．已知∠AOB＝38°，∠BOC＝25°，那么∠AOC的度数是__63°或13°__4．如图，∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOD＝146°，则∠BOC＝__34°__．第4题图第5题图5．如图，AB、CD相交于点O，OB平分∠DOE，若∠DOE＝60°，求∠AOC的度数？解：30°六、布置作业巩固目标课外作业见“学生用书”．第4课时余角和补角教学目标1．了解一个角的余角和补角的概念，能求出一个角的余角和补角．2．经历探究互为余角和补角的性质的过程，并能简单应用．3．了解方位角，能运用方位角确定物体的具体方位．教学重点余角、补角的概念及其性质．教学难点灵活运用余角、补角的概念及其性质解题．教学设计(设计者：)教学过程设计一、创设情境明确目标(1)在一副三角板中，每块都有一个角是90°，那么其余两个角的和是多少？它们有什么关系呢？(2)观察方格如图中的两个角，你能猜想∠1＋∠2等于多少度？它们有什么关系呢？二、自主学习指向目标自学教材第137至138页，完成下列问题：1．余角：(1)定义：如果两个角的和等于__90°__(直角)，那么这两个角互为__余角__．(2)表示：如果∠α、∠β互为余角，那么∠α＋∠β＝__90°__．(3)性质：等角的余角__相等__．2．补角：(1)定义：如果两个角的和等于__180°__(平角)，那么这两个角互为__补角__．(2)表示：如果∠α、∠β互为补角，那么∠α＋∠β＝__180°__．(3)性质：等角的补角__相等__．3．方位角：(1)方位角是表示__方向__的角，是确定物体位置的重要因素之一，具体表示时，是先说__偏北(南)__，再说偏东(或偏西)．(2)表示下列各方位角：射线OA__南偏西25°__射线OB__北偏西70°__射线OC__南偏东60°__三、合作探究达成目标探究点一余角、补角的概念活动一：阅读教材第137页，思考：1．余角和补角的概念．请举出一些互为余角、补角的例子．2．请用符号表示两个互为余角、补角的角．3．写出下列各角的余角和补角：30°；45°；50°；36°；89°；90°【展示点评】和等于90°的两个角互为余角；和等于180°的两个角互为补角．【小组讨论】判断两个角是否互为余角、补角的依据是什么？和这两个角的位置有关吗？【反思小结】互余、互补是指两个角的数量关系，即∠1＋∠2＝90°或∠1＋∠2＝180°，同时强调∠1是∠2的余角(或补角)，那么∠2也是∠1的余角(或补角)，与这两个角的位置无关．【针对训练】见“学生用书”．探究点二余角和补角的性质活动二：例：如图∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，如果∠1＝∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？归纳结论．答：∠2与∠4相等．因为∠1与∠2互补，∠3与∠4互补( )所以∠2＝180°－∠1，∠4＝180°－∠3( )因为∠1＝∠3( )所以∠2＝∠4( )补角性质：________________________________________________________________________思考：根据补角的性质你能否归纳出余角的性质？【展示点评】同角(等角)的补角相等，同角(等角)的余角相等．【小组讨论】你能用数学语言叙述余角和补角的性质吗？【反思小结】以等角的余角相等为例说明，若∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，如果∠1＝∠3，则∠2＝∠4.【针对训练】见“学生用书”．探究点三方位角活动三：例：如图．货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上，同时，在它北偏东40°，南偏西10°，西北(即北偏西45°)方向上又分别发现了客轮B，货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法画出表示客轮B，货轮C和海岛D方向的射线．【展示点评】用角度表示方向，其他方向跟地图上一样，分为上北下南，左西右东，处于四个直角平分线上的方向分别为东南，东北，西南，西北．【小组讨论】用角度表示方向，用得最多的是“偏”字，如何理解这个“偏”字？【反思小结】这里的“偏”就是旋转的意思，北偏东40°，就是以正北方向的射线为一边，绕中心向正东旋转40°所成角的终边所在的方向．一般在表示方向时，始边只能指正北或正南的方向的射线，这是一种规定，例如不说西偏北，或东偏南多少度，但北偏东45°习惯上称东北方向，而不叫北东方向．【针对训练】见“学生用书”．四、总结梳理内化目标1．余角、补角的定义．2．余角、补角的性质．3．方位角的表示．五、达标检测反思目标1．若∠1＝60.5°，∠2＝29.5°，则∠1与∠2的关系为__互余__．2．若∠α＝50°，则它的余角是__40°__，它的补角是__130°__；若∠β＝110°，则它的补角是__70°__，它的补角的余角是__20°__．3.如图，O是直线BD上一点，∠BOC＝36°，∠AOB＝108°，则与∠AOB互补的角有__∠AOD，∠AOC__.4．和北偏西40°的射线OA组成平角AOB的射线OB是( A )A．南偏东40°的射线B．南偏东50°的射线C．南偏东60°的射线D．东南方向的射线5．下列说法中错误的是( D )A．互余的两个角都是锐角B．两角互余、互补与这两角的大小有关，与两角的位置无关C．互为补角的两个角不可能都是钝角D．互补的两个角一定一个是锐角，另一个是钝角六、布置作业巩固目标课外作业见“学生用书”．。