函数的对称性专题练习试卷及解析
函数的对称性真题答案解析
函数的对称性真题答案解析在高中数学的学习中，函数的对称性是一个重要的概念。
了解和掌握函数的对称性对于解题和理解函数性质都有很大的帮助。
下面，我们将通过对几道函数对称性的真题进行解析，来深入了解函数对称性的应用和解题技巧。
1. 已知函数f(x)在R上满足f(1-x) = f(x) + 1，求f(0)的值。
首先，我们来分析题目中给出的函数对称性条件，即f(1-x) = f(x) + 1。
这个条件意味着函数关于直线x=1/2对称。
我们可以利用这个对称性进行解题。
假设f(x)的图像在平面直角坐标系上对称于直线x=1/2，那么对于任意x，x和1-x关于直线x=1/2的距离是相等的。
也就是说，对于任意实数x，有|x-1/2|=|1-x-1/2|。
当x=0时，左边的绝对值式子等于1/2，右边的绝对值式子也等于1/2。
所以，f(0)的值与f(1/2)的值是相等的。
进一步推导，我们可以得到f(0) = f(1/2) + 1。
再来看题目中给出的等式f(1-x) = f(x) + 1。
将x替换为1/2，得到f(1/2) = f(1/2) + 1。
这个等式显然是不成立的。
所以，我们可以得出结论，函数f(x)在R上不存在。
通过这道题目的解析，我们可以看到函数的对称性在解题中的应用。
通过观察题目中给出的条件，我们可以得到函数图像的对称轴，进而得到所求的函数值。
这种方法可以解决关于函数对称性的问题，尤其是对称于直线x=a的情况。
2. 已知函数f(x)在[-1,1]上是奇函数，且满足f(x) = f(3x)，求f(0)的值。
对于这道题目，我们需要利用函数的对称性以及函数在给定区间上等式的性质来进行解答。
首先，我们来分析题目中给出的条件。
题目中指出函数f(x)在[-1,1]上是奇函数，说明函数关于原点(0,0)对称。
另外，已知f(x) = f(3x)，表明函数满足f(x) = f(3x)的等式关系。
结合这两个条件，我们可以得到f(x)在[-1,1]上的对称轴是直线x=0，同时函数满足f(x) = f(3x)的等式关系。
新高考数学一轮复习之函数的周期性与对称性专题训练卷(含答案)
专题2.10 函数的周期性与对称性-重难点题型精练【新高考地区专用】考试时间：90分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（5分）（2020秋•解放区校级月考）函数f （x ）=|x|+x 4x 2−1的图象关于（ ） A ．y 轴对称 B ．x 轴对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称2．（5分）（2021•眉县模拟）设f （x ）是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f （x ）＝2x （1﹣x ），则f （−92）＝（ ） A ．−12B ．−14C ．14D ．123．（5分）（2020春•南阳期末）若定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）+f （2a ﹣x ）＝2b ，则其图象关于点（a ，b ）成中心对称．已知：函数f （x ）=14x−1+1，则函数f （x ）图象的中心对称点是（ ）A ．（0，1）B ．（12，1）C ．（1，0）D ．（1，12）4．（5分）（2020秋•高新区校级月考）已知定义在R 上的函数y ＝f （x ）满足条件f(x +32)=−f(x)，且函数y =f(x −34)为奇函数，下列有关命题的说法错误的是（ ） A ．函数f （x ）是周期函数 B ．函数f （x ）为R 上的偶函数 C ．f （x ）的图象关于点(−34，0)对称函数 D ．f （x ）为R 上的单调函数5．（5分）（2020•白山模拟）已知函数f （x ）＝3|x﹣a |+2，且满足f （5+x ）＝f （3﹣x ），则f （6）＝（ ）A ．29B ．11C ．3D ．56．（5分）（2020•泰安一模）已知定义在R 上的函数f （x ）的周期为4，当x ∈[﹣2，2）时，f(x)=(13)x −x −4，则f （﹣log 36）+f （log 354）＝（ ） A ．32B ．32−log 32C ．−12D ．23+log 327．（5分）（2021•中卫一模）已知符号函数sgnx ={1，x ＞00，x =0−1，x ＜0，偶函数f （x ）满足f （x +2）＝f （x ），当x ∈[0，1]时，f （x ）＝x ，则（ ） A ．sgn （f （x ））＞0B ．f(40412)=1C ．sgn （f （2k ））＝0（k ∈Z ）D ．sgn （f （k ））＝|sgnk |（k ∈Z ）8．（5分）（2021•A 卷模拟）已知定义在R 的函数满足f （x ）＝f （4﹣x ），f （x +2）+f （﹣x ）＝4，则下列结论正确的是（ ） A ．f （x ）不是周期函数 B ．f （x ）是奇函数C ．对任意n ∈Z ，恒有f （4n +1）为定值D ．对任意n ∈N *，有f （l ）+f （3）+f （5）+…+f （2n ﹣1）＝n 二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2021•重庆模拟）定义在R 上的函数f （x ）满足f(x +52)+f(x)=0，且y =f(x −54)为奇函数，则下列关于函数f （x ）的说法中一定正确的是（ ） A ．周期为52B ．图象关于点(−54，0)对称 C ．是偶函数D ．图象关于直线x =54对称10．（5分）（2021•沙坪坝区校级模拟）已知函数y ＝f （x ﹣1）的图象关于直线x ＝﹣1对称，且对∀x ∈R 有f （x ）+f （﹣x ）＝4．当x ∈（0，2]时，f （x ）＝x +2．则下列说法正确的是（ ） A ．f （x ）的周期T ＝8 B ．f （x ）的最大值为4 C ．f （2021）＝2D ．f （x +2）为偶函数11．（5分）（2021•河北模拟）已知函数f （x ）的定义域为R ，满足f （x +2）＝f （x +6），f （x ﹣2）＝f （6﹣x ），当0≤x ≤2时，f （x ）＝2x 2﹣x ，则下列说法正确的是（ ）A ．f （2 021）＝f （1）B ．函数f （x +2）是偶函数C ．当0≤x ≤6时，f （x ）的最大值为6D ．当6≤x ≤8时，f （x ）的最小值为−1412．（5分）（2020秋•市中区校级期末）设函数f （x ）的定义域为D ，∀x ∈D ，∃y ∈D ，使得f （y ）＝﹣f （x ）成立，则称f （x ）为“美丽函数”．下列所给出的函数，其中是“美丽函数”的是（ ） A ．y ＝x 2B ．y =1x−1C ．y ＝ln （2x +3）D ．y ＝x 3三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2021•湛江三模）写出一个以（1，0）为对称中心的偶函数 ，该函数的最小正周期是 ．14．（5分）（2021春•新余期末）已知定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x +2）＝f （x ），当x ∈[0，1]时，f （x ）＝e x ﹣1，则f （2020）+f （﹣2021）＝ ．15．（5分）（2020秋•西安月考）已知函数f （x ）满足f （x +4）＝f （x ）（x ∈R ），且在区间（﹣2，2]上，f(x)={|x +1|，−2＜x ≤0cos πx2，0＜x ≤2，则f （f （2021））的值为 ．16．（5分）（2021春•黄浦区校级月考）已知函数f （x ）满足：f(1)=12，对任意实数x ，y 都有f （x +y ）+f （x ﹣y ）＝2f （x ）f （y ），则f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2021）＝ ． 四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2020秋•昌江区校级期末）设f （x ）是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x ＝1对称，对任意x 1，x 2∈[0，12]，都有f （x 1+x 2）＝f （x 1）•f （x 2），且f （1）＝a ＞0．（1）求f （12）及f （14）；（2）证明f （x ）是周期函数．18．（12分）（2020秋•丰台区期中）已知函数f(x)=x+1x−5． （1）判断点（3，14）是否在f （x ）的图象上，并说明理由； （2）当f （x ）＝2时，求x 的值；（3）结合函数图象直接写出该函数的对称中心．19．（12分）（2020秋•金凤区校级月考）已知函数f （x ）对任意x ∈R 满足f （x ）+f （﹣x ）＝0，f （x ﹣1）＝f （x +1），若当x ∈[0，1）时，f （x ）＝a x +b （a ＞0且a ≠0），且f （32）=12（1）求a ，b 的值； （2）求函数f （x ）的值域．20．（12分）（2020秋•灵宝市校级月考）定义在R 上的函数f （x ）同时满足f （﹣x ）＝f （x ），f （x ）＝f （4﹣x ），且当2≤x ≤6时，f(x)=(12)|x−m|+n （Ⅰ）求函数f （x ）的一个周期； （Ⅱ）若f （4）＝31，求m ，n 的值．21．（12分）（2020•镇江二模）若存在实数x0与正数a，使x0+a，x0﹣a均在函数f（x）的定义域内，且f（x0+a）＝f（x0﹣a）成立，则称“函数f（x）在x＝x0处存在长度为a的对称点”．（1）设f（x）＝x3﹣3x2+2x﹣1，问是否存在正数a，使“函数f（x）在x＝1处存在长度为a的对称点”？试说明理由．（2）设g（x）＝x+bx（x＞0），若对于任意x0∈（3，4），总存在正数a，使得“函数g（x）在x＝x0处存在长度为a的对称点”，求b的取值范围．22．（12分）（2021春•宝山区校级期中）已知函数y＝f（x），x∈D，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数m，总存在非零常数T，恒有f（x+T）＝m⋅f（x）成立，则称函数f（x）是D上的周期为T的m级类周期函数．（1）已知y＝f（x）是[0，+∞）上的周期为1的m级类周期函数，且y＝f（x）是[0，+∞）上的严格增函数，当x∈[0，1）时，f（x）＝2x，求实数m的取值范围；（2）设函数f（x）是R上的周期为1的2级类周期图数，且当x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）．若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f(x)≥−89，求m的取值范围；（3）是否存在实数k，使函数f（x）＝cos kx是R上的周期为T的T级类周期函数，若存在，求出实数k 和T的值，若不存在，说明理由．专题2.10 函数的周期性与对称性-重难点题型精练参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2020秋•解放区校级月考）函数f （x ）=|x|+x 4x 2−1的图象关于（ ）A ．y 轴对称B ．x 轴对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称【解题思路】根据条件判断函数的奇偶性即可判断函数的图象关系． 【解答过程】解：∵函数f （x ）=|x|+x 4x 2−1， 定义域为：{x |x ≠±1}关于原点对称，且f （﹣x ）=|−x|+(−x)4(−x)2−1=|x|+x 4x 2−1=f （x ）， ∴函数f （x ）=|x|+x 4x 2−1为偶函数，图象关于y 轴对称， 故选：A ．2．（5分）（2021•眉县模拟）设f （x ）是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f （x ）＝2x （1﹣x ），则f （−92）＝（ ） A ．−12B ．−14C ．14D ．12【解题思路】由题意得 f （−92）＝﹣f （92）＝﹣f （4+12）＝﹣f （12），代入已知条件进行运算．【解答过程】解：∵f （x ）是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f （x ）＝2x （1﹣x ）， f （−92）＝﹣f （92）＝﹣f （4+12）＝﹣f （12）＝﹣2×12（1−12）=−12．故选：A ．3．（5分）（2020春•南阳期末）若定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）+f （2a ﹣x ）＝2b ，则其图象关于点（a ，b ）成中心对称．已知：函数f （x ）=14x−1+1，则函数f （x ）图象的中心对称点是（ ）A ．（0，1）B ．（12，1）C ．（1，0）D ．（1，12）【解题思路】由已知可得f （x ）+f （2﹣x ）＝1，结合已知即可求解． 【解答过程】解：∵f （x ）=14x−1+1，∴f （x ）+f （2﹣x ）=14x−1+1+141−x +1=44x +4+4x4+4x =1，则函数f （x ）图象的中心（1，12）．故选：D ．4．（5分）（2020秋•高新区校级月考）已知定义在R 上的函数y ＝f （x ）满足条件f(x +32)=−f(x)，且函数y =f(x −34)为奇函数，下列有关命题的说法错误的是（ ） A ．函数f （x ）是周期函数 B ．函数f （x ）为R 上的偶函数 C ．f （x ）的图象关于点(−34，0)对称函数 D ．f （x ）为R 上的单调函数【解题思路】由题意利用函数的周期性、奇偶性、单调性、图象的对称性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答过程】解：定义在R 上的函数y ＝f （x ）满足条件f(x +32)=−f(x)，∴f （x +3）＝f （x ）， 故函数f （x ）是周期等于3的周期函数，故A 正确；由 f(x +32)=−f(x)，∴f （x −94+32）＝﹣f （x −94），即 f （x −34）＝﹣f （x −94）． 再根据f （x ）周期为3，可得 f （x −94）＝f （x −94+3）＝f （x +34）， ∴f （x −34）＝﹣f （x +34）．由函数y =f(x −34)为奇函数，∴f （x −34）＝﹣f （﹣x −34）， ∴f （x +34）＝f （﹣x −34）．令x +34=t ，则f （t ）＝f （﹣t ），故f （t ）为偶函数，故f （x ）为偶函数，故B 正确； ∵函数y =f(x −34)为奇函数，故它的图象关于原点对称，故把f （x −34） 向左平移34个单位，得到f （x ）的图象，∴f （x ）的图象关于点(−34，0)对称，故C 正确；由于f （x ）为偶函数，故函数f （x ）在（0，+∞）和（﹣∞，0）上单调性相反， 故f （x ）在R 上不单调，故D 错误， 故选：D ．5．（5分）（2020•白山模拟）已知函数f （x ）＝3|x﹣a |+2，且满足f （5+x ）＝f （3﹣x ），则f （6）＝（ ）A ．29B ．11C ．3D ．5【解题思路】根据题意得到f （x ）关于x ＝4对称，求出a ，再代入x ＝6，求出即可 【解答过程】解：因为f （5+x ）＝f （3﹣x ），所以f （x ）的图象关于x ＝4对称， 所以x ＝4时，3|4﹣a |＝1，a ＝4，f （6）＝3|6﹣4|+2＝9+2＝11，故选：B ．6．（5分）（2020•泰安一模）已知定义在R 上的函数f （x ）的周期为4，当x ∈[﹣2，2）时，f(x)=(13)x −x −4，则f （﹣log 36）+f （log 354）＝（ ） A ．32B ．32−log 32C ．−12D ．23+log 32【解题思路】根据函数的周期性以及对数值的有关运算，把所求转化到所给区间，即可求解． 【解答过程】解：因为函数f （x ）的周期为4，当x ∈[﹣2，2）时，f(x)=(13)x −x −4，∴f （﹣log 36）＝f （log 316）=(13)log 316−log 316−4＝2+log 36； f （log 354）＝f （3+log 32）＝f （log 32﹣1）＝f （log 323）=(13)log 323−log 323−4=32−log 32+1﹣4=32−log 32﹣3；∴f （﹣log 36）+f （log 354）＝2+log 36+32−log 32﹣3=32； 故选：A ．7．（5分）（2021•中卫一模）已知符号函数sgnx ={1，x ＞00，x =0−1，x ＜0，偶函数f （x ）满足f （x +2）＝f （x ），当x ∈[0，1]时，f （x ）＝x ，则（ ） A ．sgn （f （x ））＞0B ．f(40412)=1C ．sgn （f （2k ））＝0（k ∈Z ）D ．sgn （f （k ））＝|sgnk |（k ∈Z ）【解题思路】本题先根据函数的周期性和奇偶性画出函数f （x ）的图象，再根据符号函数的性质，以及函数的周期性，利用数形结合法可对四个选项逐个判断，可得正确选项． 【解答过程】解：依题意，由f （x +2）＝f （x ）， 可知函数f （x ）是以2为周期的周期函数．∵当x∈[0，1]时，f（x）＝x，f（x）是偶函数，∴当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝﹣x．函数f（x）图象如下：根据图可得，0≤f（x）≤1，故sgn（f（x））≥0，选项A不正确；很明显，当x＝2k，k∈Z时，f（x）＝0，sgn（f（x））＝0，选项C正确；f（40412）＝f（2×1010+12）＝f（12）=12，故选项B不正确；当k＝2时，sgn（f（2））＝sgn（0）＝0，|sgn2|＝1，故选项D不正确故选：C．8．（5分）（2021•A卷模拟）已知定义在R的函数满足f（x）＝f（4﹣x），f（x+2）+f（﹣x）＝4，则下列结论正确的是（）A．f（x）不是周期函数B．f（x）是奇函数C．对任意n∈Z，恒有f（4n+1）为定值D．对任意n∈N*，有f（l）+f（3）+f（5）+…+f（2n﹣1）＝n【解题思路】利用已知的等式进行变形，由此推出函数f（x）是周期为4的偶函数，从而可判断选项A，B，再利用周期性即可得到f（4n+1）的值，即可判断选项C，D．【解答过程】解：因为f（x）＝f（4﹣x），所以f（2+x）＝f（2﹣x），又f（x+2）+f（﹣x）＝4，则f（2﹣x）+f（﹣x）＝4，故f（2+x）+f（x）＝4，所以f（x+2）+f（x+4）＝4，则f（x+4）＝f（x），所以f（x）是周期为4的函数，故选项A错误；则f （x ）＝f （4﹣x ）＝f （﹣x ）， 故f （x ）为偶函数，故选项B 错误；所以f （4n +1）＝f （1）＝2为定值，故选项C 正确；因为f （1）+f （3）+f （5）+•••+f （2n ﹣1）＝f （1）+f （1）+•••+f （1）＝nf （1）＝2n ，故选项D 错误． 故选：C ．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2021•重庆模拟）定义在R 上的函数f （x ）满足f(x +52)+f(x)=0，且y =f(x −54)为奇函数，则下列关于函数f （x ）的说法中一定正确的是（ ） A ．周期为52B ．图象关于点(−54，0)对称 C ．是偶函数D ．图象关于直线x =54对称【解题思路】根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案． 【解答过程】解：依次分析选项：对于A ，函数f （x ）满足f(x +52)+f(x)=0，即f （x +52）＝﹣f （x ），则有f （x +5）＝﹣f （x +52）＝f （x ），函数f （x ）是周期为5的周期函数，A 错误； 对于B ，y =f(x −54)为奇函数，即函数f （x ）的图象关于(−54，0)对称，B 正确；对于C ，y =f(x −54)为奇函数，即函数f （x ）的图象关于(−54，0)对称，则f(−52−x)=−f(x)， 又f(x +52)=−f(x)，∴f(−52−x)=f(x +52)，所以f （x ）为偶函数，C 正确；对于D ，y =f(x −54)为奇函数，函数f （x ）的图象关于(−54，0)对称，函数f （x ）是周期为5的周期函数，则f （x ）的图象关于点(54，0)对称，D 错误； 故选：BC ．10．（5分）（2021•沙坪坝区校级模拟）已知函数y ＝f （x ﹣1）的图象关于直线x ＝﹣1对称，且对∀x ∈R 有f （x ）+f （﹣x ）＝4．当x ∈（0，2]时，f （x ）＝x +2．则下列说法正确的是（ ） A ．f （x ）的周期T ＝8B ．f （x ）的最大值为4C．f（2021）＝2D．f（x+2）为偶函数【解题思路】利用对称关系以及恒等式对等式进行变形，可以得到函数f（x）的周期，即可判断选项A，由上述过程中可得f（x+2）＝f（﹣x+2），即可判断选项D，求出函数f（x）在[﹣2，2]上的函数解析式，利用函数y＝f（x）的图象关于直线x＝﹣2对称，研究一个周期中的最大值，即可判断选项B，利用函数的周期性以及对称性求解f（2021），即可判断选项C．【解答过程】解：因为函数y＝f（x﹣1）的图象关于直线x＝﹣1对称，故f（x）的图象关于直线x＝﹣2对称，因为对∀x∈R有f（x）+f（﹣x）＝4，所以函数y＝f（x）的图象关于点（0，2）中心对称，所以f（﹣2+x+2）＝f[﹣2﹣（x+2）]，即f（x）＝f（﹣4﹣x）＝4﹣f（﹣x），又f（﹣4﹣x）+f（x+4）＝4，即f（﹣4﹣x）＝4﹣f（x+4），所以f（x+4）＝f（﹣x），所以f[（x+4）+4]＝f[﹣（x+4）]＝f（x），所以f（x+8）＝f（x），所以f（x）的周期为8，故选项A正确；又f（x+2）＝f（﹣x+2），故函数f（x+2）为偶函数，故选项D正确；因为当x∈（0，2]时，f（x）＝x+2，且f（x）+f（﹣x）＝4，则当x∈[﹣2，0）时，﹣x∈（0，2]，所以f（﹣x）＝﹣x+2＝4﹣f（x），所以f（x）＝x+2，故当x∈[﹣2，2]时，f（x）＝x+2，又函数y＝f（x）的图象关于直线x＝﹣2对称，所以在同一个周期[﹣6，2]上，f（x）的最大值为f（2）＝4，故f（x）在R上的最大值为4，故选项B正确；因为f（2021）＝f（252×8+5）＝f（5）＝f（1+4）＝f（﹣1）＝﹣1+2＝1，所以选项C错误．故选：ABD．11．（5分）（2021•河北模拟）已知函数f（x）的定义域为R，满足f（x+2）＝f（x+6），f（x﹣2）＝f（6﹣x），当0≤x≤2时，f（x）＝2x2﹣x，则下列说法正确的是（）A．f（2 021）＝f（1）B．函数f（x+2）是偶函数C．当0≤x≤6时，f（x）的最大值为6D．当6≤x≤8时，f（x）的最小值为−1 4【解题思路】根据对任意实数x 满足f （x +2）＝f （x +6），f （x ﹣2）＝f （6﹣x ），可以得出函数的奇偶性和周期性，再根据当0≤x ≤2时，f （x ）＝2x 2﹣x 可得函数的单调性．逐次判断各选项即可．【解答过程】解：∵对任意实数x 满足f （x +2）＝f （x +6），∴f （x +4）＝f （x ）即函数f （x ）是周期函数，周期为4．∵f （x ﹣2）＝f （6﹣x ）⇒f （x ﹣2）＝f （4+2﹣x ）＝f （2﹣x ），那么f （﹣x ）＝f （x ），∴函数f （x ）是偶函数，f （x ﹣2）＝f （6﹣x ），可得函数f （x ）关于x ＝2对称轴，又∵当0≤x ≤2时，f （x ）＝2x 2﹣x ，故函数对应图像大致如图，∴函数f （x ）在区间[14，2]上单调递增． ∴函数f （x ）在区间[0，14]上单调递减． ∴当0≤x ≤2时，函数f （x ）的最小值为f （14）=−18，最大值为f （2）＝6． 且f （2021）＝f （1）成立，函数f （x +2）是偶函数成立，当0≤x ≤6时，f （x ）的最大值为6，当6≤x ≤8时，f （x ）的最小值为−14不成立，故正确答案为ABC ．故选：ABC ．12．（5分）（2020秋•市中区校级期末）设函数f （x ）的定义域为D ，∀x ∈D ，∃y ∈D ，使得f （y ）＝﹣f （x ）成立，则称f （x ）为“美丽函数”．下列所给出的函数，其中是“美丽函数”的是（ ）A ．y ＝x 2B ．y =1x−1C ．y ＝ln （2x +3）D ．y ＝x 3【解题思路】根据题意，分析可得“美丽函数”的值域关于原点对称，据此分析选项可得答案．【解答过程】解：根据题意，若∀x ∈D ，∃y ∈D ，使得f （y ）＝﹣f （x ）成立，则f （x ）的值域关于原点对称，依次分析选项：对于A ，函数y ＝x 2的值域为[0，+∞），不关于原点对称；对于B ，函数y =1x−1的值域为{y |y ≠0}，关于原点对称；对于C ，函数f （x ）＝ln （2x +3）的值域为R ，关于原点对称；对于D ，函数y ＝x 3的值域为R ，关于原点对称．其中是“美丽函数”的是BCD ；故选：BCD ．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2021•湛江三模）写出一个以（1，0）为对称中心的偶函数 f （x ）＝cos π2x ，该函数的最小正周期是 4 ．【解题思路】从具有对称性和周期性以及奇偶性的函数进行考虑，即可得到答案．【解答过程】解：选择一个具有对称性和周期性以及奇偶性的函数进行分析，故以（1，0）为对称中心的偶函数可以为f(x)=cos π2x ，该函数的最小正周期为2ππ2=4．故答案为：f(x)=cos π2x ；4．14．（5分）（2021春•新余期末）已知定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x +2）＝f （x ），当x ∈[0，1]时，f （x ）＝e x ﹣1，则f （2020）+f （﹣2021）＝ e ﹣1 ．【解题思路】根据题意，分析可得f （x ）是偶函数且周期为2的周期函数，则有f （2020）＝f （0），f （﹣2021）＝f （2021）＝f （1），结合函数的解析式计算可得答案．【解答过程】解：根据题意，偶函数f （x ）满足f （x +2）＝f （x ），则f （x ）是偶函数且周期为2的周期函数，则f （2020）＝f （0），f （﹣2021）＝f （2021）＝f （1），又由x ∈[0，1]时，f （x ）＝e x ﹣1，则f （0）＝e 0﹣1＝0，f （1）＝e 1﹣1＝e ﹣1，故f （2020）+f （﹣2021）＝f （0）+f （1）＝e ﹣1；故答案为：e ﹣1．15．（5分）（2020秋•西安月考）已知函数f （x ）满足f （x +4）＝f （x ）（x ∈R ），且在区间（﹣2，2]上，f(x)={|x +1|，−2＜x ≤0cos πx 2，0＜x ≤2，则f （f （2021））的值为 1 ．【解题思路】根据函数的周期性，进行转化求解即可．【解答过程】解：由f （x +4）＝f （x ）得函数是周期为4的周期函数，则f （2021）＝f （505×4+1）＝f （1）＝cos π2=0， f （0）＝|0+1|＝1，即f （f （2021））＝1．故答案为：1．16．（5分）（2021春•黄浦区校级月考）已知函数f （x ）满足：f(1)=12，对任意实数x ，y 都有f （x +y ）+f （x ﹣y ）＝2f （x ）f （y ），则f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2021）＝ −12 ．【解题思路】对恒等式进行赋值，令y ＝1，结合f （1）=12，则有f （x +1）+f （x ﹣1）＝f （x ），再进行赋值化简，即可确定函数f （x ）的周期为6，进而运用周期进行计算，然后用赋值法求出相应函数值，即可得到答案．【解答过程】解：∵任意实数x ，y 都有f （x +y ）+f （x ﹣y ）＝2f （x ）f （y ），∴令y ＝1，则有f （x +1）+f （x ﹣1）＝2f （x ）f （1），又∵f （1）=12，则f （x +1）+f （x ﹣1）＝f （x ），①将x 代换为x +1，则有f （x +2）+f （x ）＝f （x +1），②①+②，可得f （x +2）＝﹣f （x ﹣1），将x 代换为x +1，则有f （x +3）＝﹣f （x ），再将x 代换为x +3，则有f （x +6）＝f （x ），∴f （x ）为周期函数，周期为6，∴f （x ）+f （x +1）+f （x +2）+f （x +3）+f （x +4）+f （x +5）＝0，∴f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2021）＝[f （1）+f （2）+…+f （6）]+[f （7）+f （8）+…+f （12）]+⋯+[f(2017)+f(2018)+⋯+f(2022)]−f(2022)=−f(2022)=−f(1)=−12．故答案为：−12．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2020秋•昌江区校级期末）设f （x ）是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x ＝1对称，对任意x 1，x 2∈[0，12]，都有f （x 1+x 2）＝f （x 1）•f （x 2），且f （1）＝a ＞0． （1）求f （12）及f （14）； （2）证明f （x ）是周期函数．【解题思路】（1）已知任意x 1，x 2∈[0，12]，都有f （x 1+x 2）＝f （x 1）•f （x 2），令x 1＝x 2=12，求出f （12），根据12=14+14进行求解；（2）已知f （x ）为偶函数，再根据f （x ）关于x ＝1对称，进行证明；【解答过程】解；（1）∵f （1）＝f （12+12）＝f （12）•f （12）＝f 2（12）＝a ，∴f （12）＝±√a又∵f （12）＝f （14+14）＝f 2（14）＞0，∴f （12）=a 12同理可得f （14）=a 14（2）∵f （x ）是偶函数，∴f （﹣x ）＝f （x ）又∵f （x ）关于x ＝1对称，∴f （x ）＝f （2﹣x ）∴f （x ）＝f （﹣x ）＝f [2﹣（﹣x ）]＝f （2+x ） （x ∈R ）这表明f （x ）是R 上的周期函数，且2是它的一个周期．18．（12分）（2020秋•丰台区期中）已知函数f(x)=x+1x−5．（1）判断点（3，14）是否在f （x ）的图象上，并说明理由；（2）当f （x ）＝2时，求x 的值；（3）结合函数图象直接写出该函数的对称中心．【解题思路】（1）把点的坐标代入函数解析式，可得结论．（2）令f （x ）＝2，解方程求得x 的值．（3）把f （x ）变形，可得出该函数的对称中心．【解答过程】解：（1）∵函数f(x)=x+1x−5，故 f(3)=3+13−5=−42=−2≠14， ∴点（3，14）不在f （x ）的图象上．（2）当f （x ）＝2时，即 f(x)=x+1x−5=2，解得x ＝11．（3）函数f(x)=x+1x−5=x−5+6x−5=1+6x−5， 故函数的对称中心为（5，1）．19．（12分）（2020秋•金凤区校级月考）已知函数f （x ）对任意x ∈R 满足f （x ）+f （﹣x ）＝0，f （x ﹣1）＝f （x +1），若当x ∈[0，1）时，f （x ）＝a x +b （a ＞0且a ≠0），且f （32）=12 （1）求a ，b 的值；（2）求函数f （x ）的值域．【解题思路】（1）由f （x ）+f （﹣x ）＝0可知函数为奇函数，由f （x ﹣1）＝f （x +1），可得函数为周期函数，利用函数的周期性和奇偶性进行求值；（2）利用指数函数的单调性及函数的奇偶性求f （x ）的值域．【解答过程】解：（1）∵f （x ）+f （﹣x ）＝0∴f （﹣x ）＝﹣f （x ），即f （x ）是奇函数．∵f （x ﹣1）＝f （x +1），∴f （x +2）＝f （x ），即函数f （x ）是周期为2的周期函数，∴f （0）＝0，即b ＝﹣1．又f （32）＝f （−12）＝﹣f （12）＝1−√a =12， 解得a =14．∴a =14，b ＝﹣1；（2）当x ∈[0，1）时，f （x ）＝a x +b ＝（14）x ﹣1∈（−34，0]， 由f （x ）为奇函数，知当x ∈（﹣1，0）时，f （x ）∈（0，34）， ∴当x ∈R 时，f （x ）∈（−34，34）． 20．（12分）（2020秋•灵宝市校级月考）定义在R 上的函数f （x ）同时满足f （﹣x ）＝f （x ），f （x ）＝f （4﹣x ），且当2≤x ≤6时，f(x)=(12)|x−m|+n（Ⅰ）求函数f （x ）的一个周期；（Ⅱ）若f（4）＝31，求m，n的值．【解题思路】（Ⅰ）根据函数周期的定义即可求函数f（x）的一个周期；（Ⅱ）利用函数的奇偶性和周期性进行求值即可．【解答过程】解：（Ⅰ）∵f（﹣x）＝f（x），f（x）＝f（4﹣x），∴f（x）＝f（4﹣x）＝f（x﹣4），即f（4+x）＝f（x），即4是函数f（x）的一个周期；（Ⅱ）∵函数的周期是4，∴f（2）＝f（6），即(12)|2−m|+n=(12)|6−m|+n，∴|2﹣m|＝|6﹣m|，解得m＝4，又f（4）＝31，∴f（4）=(12)|4−4|+n=1+n＝31，解得n＝30．21．（12分）（2020•镇江二模）若存在实数x0与正数a，使x0+a，x0﹣a均在函数f（x）的定义域内，且f（x0+a）＝f（x0﹣a）成立，则称“函数f（x）在x＝x0处存在长度为a的对称点”．（1）设f（x）＝x3﹣3x2+2x﹣1，问是否存在正数a，使“函数f（x）在x＝1处存在长度为a的对称点”？试说明理由．（2）设g（x）＝x+bx（x＞0），若对于任意x0∈（3，4），总存在正数a，使得“函数g（x）在x＝x0处存在长度为a的对称点”，求b的取值范围．【解题思路】（1）由f（1+a）＝f（1﹣a）得（1+a）3﹣3（1+a）2+2（1+a）﹣1＝（1﹣a）3﹣3（1﹣a）2+2（1﹣a）﹣1，化简即可求出正数a；（2）令g（x）＝c，则x+bx=c，即x2﹣cx+b＝0必须有两正根，且两根的算术平均数为x0，即可求b的取值范围．【解答过程】解：（1）∵f（1+a）＝f（1﹣a），∴（1+a）3﹣3（1+a）2+2（1+a）﹣1＝（1﹣a）3﹣3（1﹣a）2+2（1﹣a）﹣1，∴a（a+1）（a﹣1）＝0，∵a＞0，∴a＝1；（2）令g（x）＝c，则x+bx=c，即x2﹣cx+b＝0（*）．由题意，方程（*）必须有两正根，且两根的算术平均数为x0，∴c＞0，b＞0，c2﹣4b＞0，c2=x0，∴0＜b＜x02对一切意x0∈（3，4）均成立，∴b的取值范围为（0，9]．22．（12分）（2021春•宝山区校级期中）已知函数y＝f（x），x∈D，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数m，总存在非零常数T，恒有f（x+T）＝m⋅f（x）成立，则称函数f（x）是D上的周期为T的m级类周期函数．（1）已知y＝f（x）是[0，+∞）上的周期为1的m级类周期函数，且y＝f（x）是[0，+∞）上的严格增函数，当x∈[0，1）时，f（x）＝2x，求实数m的取值范围；（2）设函数f（x）是R上的周期为1的2级类周期图数，且当x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）．若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f(x)≥−89，求m的取值范围；（3）是否存在实数k，使函数f（x）＝cos kx是R上的周期为T的T级类周期函数，若存在，求出实数k 和T的值，若不存在，说明理由．【解题思路】本题是新定义的题型，读懂题目是关键．（1）借助题干中的新定义以及增函数性质解题；（2）借助题干中的新定义以及二次函数性质求解；（3）借助题干中的新定义以及三角函数性质求解．【解答过程】解：（1）∵y＝f（x）是[0，+∞）上的周期为1的m级类周期函数，当x∈[0，1）时，f（x）＝2x，∴当x∈[1，2）时，f（x）＝mf（x﹣1）＝2x﹣1，∴当x∈[m，m+1）时，f（x）＝mf（x﹣1）＝m2f（x﹣2）＝）＝……＝m n f（x﹣n）＝m n2x﹣n，即当x∈[m，m+1）时，f（x）＝m n2x﹣n，n∈N+，∵y＝f（x）是[0，+∞）上的严格增函数，∴m＞0且m n2n﹣n，＞m n﹣12n﹣（n﹣1），∴m≥2．（2）由题意知f（x﹣1）＝2f（x），f（x）＝2f（x+1），x∈（﹣1，0]时，f（x）＝x（x+1）∈[−14，0]，x∈（﹣2，﹣1]时，x+1∈（﹣1，0]，f（x）＝2f（x+1）＝2（x+1）（x+2）＝2（x+32）2−12∈[−12，0]，x∈（﹣3，﹣2]时，x+1∈（﹣2，﹣1]，f（x）＝4f（x+1）＝4（x+2）（x+3）＝4（x+52）2﹣1∈[﹣1，0]，故存在x∈（﹣3，﹣2]，4（x+2）（x+3）=−89，解得x=−73或x=−83，∴若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f(x)≥−89，则m≥−73，（3）假设存在实数k，使函数f（x）＝cos kx是R上的周期为T的T级类周期函数，则cos k（x+T）＝T cos kx对一切实数恒成立，当k＝0时，T＝1，当k≠0时，∵x∈R，∴k（x+T）∈R，∴cos kx∈[﹣1，1]，cos k（x+T）∈[﹣1，1]，∴若cos k（x+T）＝T cos kx对一切实数恒成立，则T＝±1，当T＝1时，cos（kx+k）＝cos kx，∴k＝2nπ，n∈Z且n≠0，当T＝﹣1时，cos（kx﹣k）＝﹣cos kx，∴k＝（2n+1）π，n∈Z，综上所述，当T＝1时，k＝2nπ，n∈Z；当T＝﹣1时，k＝（2n+1）π，n∈Z．。
高中数学《函数的对称性与周期性》基础知识及专项练习题(含答案)
高中数学《函数的对称性与周期性》基础知识及专项练习题（含答案）一、基础知识（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）()()f a x f a x −=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）（2）()()()f a x f b x f x −=+⇔关于2a b x +=轴对称 在已知对称轴的情况下，构造形如()()f a x f b x −=+的等式只需注意两点，一是等式两侧f 前面的符号相同，且括号内x 前面的符号相反；二是,a b 的取值保证2a b x +=为所给对称轴即可。
例如：()f x 关于1x =轴对称()()2f x f x ⇒=−，或得到()()31f x f x −=−+均可，只是在求函数值方面，一侧是()f x 更为方便（3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=−+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称。
① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即()()f x a f x a +=−+，要与以下的命题区分：若()f x 是偶函数，则()()f x a f x a +=−+⎡⎤⎣⎦：()f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有()()f x a f x a +=−+⎡⎤⎣⎦② 本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于x a =对称。
3、中心对称的等价描述：（1）()()f a x f a x −=−+⇔()f x 关于(),0a 轴对称（当0a =时，恰好就是奇函数）（2）()()()f a x f b x f x −=−+⇔关于,02a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭轴对称 在已知对称中心的情况下，构造形如()()f a x f b x −=−+的等式同样需注意两点，一是等式两侧f 和x 前面的符号均相反；二是,a b 的取值保证2a b x +=为所给对称中心即可。
二次函数的图象和性质——对称性 专题训练卷(含答案详解)
1.2.8二次函数的图象和性质——对称性1．函数f(x)＝x3＋1的奇偶性为()．A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数2．已知函数f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3是偶函数，则f(x)在(－∞，0)上()．A．递增B．递减C．先增后减D．先减后增3．函数f(x)＝x2＋2x＋2，x∈(1,4]的值域是()．A．(5,26] B．(4,26]C．(3,26] D．(2,26]4．f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是()．A．f(－x)＋f(x)＝0B．f(－x)－f(x)＝－2f(x)C．f(x)·f(－x)≤0D．()1 ()f xf x=--5．若偶函数f(x)在区间(－∞，－1]上是递增函数，则()．A．f(－1)＜f(－1.5)＜f(2)B．f(－1.5)＜f(－1)＜f(2)C．f(2)＜f(－1.5)＜f(－1)D．f(2)＜f(－1)＜f(－1.5)6．若函数y＝x(ax＋1)是奇函数，则实数a＝__________. 7．已知函数f(x)＝x3＋ax＋1，f(1)＝3，则f(－1)＝__________.8．已知f(x)是偶函数，其定义域为R，且在[0，＋∞)上是递增函数，则74f⎛⎫- ⎪⎝⎭与f(2)的大小关系为__________．9．已知二次函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b为常数)满足f(0)＝f(1)，方程f(x)＝x有两个相等的实数根．(1)求函数f(x)的解析式；(2)当x∈[0,4]时，求函数f(x)的值域．10．求函数f(x)＝x2－2ax－1在闭区间[0,2]上的最大值和最小值．参考答案1.答案：D解析：函数定义域为R，且f(－x)＝－x3＋1，∴f(x)≠f(－x)，且f(x)≠－f(－x)．因此，此函数既不是奇函数也不是偶函数．2.答案：A解析：由f(x)是偶函数知2m＝0，即m＝0.此时f(x)＝－x2＋3，开口向下，对称轴为y轴，所以在(－∞，0)上单调递增．选A．3.答案：A解析：由于f(x)＝(x＋1)2＋1，对称轴为直线x＝－1，因此f(x)在(1,4]上是单调递增的，所以当x∈(1,4]时，f(1)＜f(x)≤f(4)，即5＜f(x)≤26，故选A．4.答案：D解析：()1()f xf x=--当f(－x)＝0时不成立，故选D．5.答案：C解析：f(x)是偶函数，且在(－∞，－1]上是递增函数．而f(2)＝f(－2)，且－2＜－1.5＜－1，所以f(－2)＜f(－1.5)＜f(－1)．即f(2)＜f(－1.5)＜f(－1)，故选C．6.答案：0解析：由于f(x)＝x(ax＋1)＝ax2＋x，又f(x)是奇函数，必有a＝0.7.答案：－1解析：由f(x)＝x3＋ax＋1得f(x)－1＝x3＋ax.∵f (x)－1为奇函数，∴f(1)－1＝－[f(－1)－1]，即f(－1)＝－f(1)＋2＝－3＋2＝－1.8.答案：74f⎛⎫- ⎪⎝⎭＜f(2)解析：∵f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则7744f f⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而724<，∴74f⎛⎫- ⎪⎝⎭＜f(2)．9.解：(1)∵f(x)＝x有两个相等的实数根．∴x2＋(a－1)x＋b＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(a－1)2－4b＝0.①又f(0)＝f(1)，∴a＋b＋1＝b.②由①，②知a＝－1，b＝1，∴f(x)＝x2－x＋1.(2)∵213()24f x x⎛⎫=-+⎪⎝⎭，x∈[0,4]，∴12x=时，f(x)有最小值34.又f(0)＝1，f(4)＝13，∴f(x)的最大值为13.∴f(x)的值域为3,13 4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.10.解：∵f(x)＝x2－2ax－1＝(x－a)2－a2－1，∴f(x)的图象是开口向上，对称轴为x＝a的抛物线，如下图所示．当a＜0时〔如图(1)〕，f(x)的最大值为f(2)＝3－4a，f(x)的最小值为f(0)＝－1；当0≤a≤1时〔如图(2)〕，f(x)的最大值为f(2)＝3－4a，f (x)的最小值为f(a)＝－a2－1；当1＜a＜2时〔如图(3)〕，f(x)的最大值为f(0)＝－1，f(x)的最小值为f(a)＝－a2－1；当a≥2时〔如图(4)〕，f(x)的最大值为f(0)＝－1，f(x)的最小值为f(2)＝3－4a.。
函数的对称性(一)：高考数学一轮复习基础必刷题
函数的对称性（一）：高考数学一轮复习基础必刷题一、单选题1．设函数()y f x =的图象与2x a y +=的图象关于直线y x =对称，(2)(4)1f f +=，则=a （）A ．1-B ．1C ．2D ．42．已知函数()y f x =是定义在R 上的函数，那么函数()4y f x =-+的图象与函数()6y f x =-的图象之间（）A ．关于点()10，对称B ．关于直线1x =对称C ．关于点()50，对称D ．关于直线5x =对称3．已知函数f (x )=|x -m |与函数g (x )的图象关于y 轴对称.若g (x )在区间(1，2)内单调递减，则m 的取值范围为（）A ．[-1，+∞)B ．(-∞，-1]C ．[-2，+∞)D ．(-∞，-2]4．已知函数()f x 的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，且当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin f x x =，则56f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π（）A ．2B ．C ．12D ．12-5．函数()22x xf x e e --=-的图象关于（）A ．点()2,0-对称B ．直线2x =-对称C ．点()2,0对称D ．直线2x =对称6．已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +是偶函数，()42f =，()f x 在(),2-∞上单调递增，则不等式()412f x ->的解集为（）A ．15,44⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．15,,44⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()(),117,-∞-⋃+∞D ．()1,17-7．已知定义在R 上的函数()y f x =满足下列三个条件：①当10x -≤≤时，()12e ex x f x x =-+；②()1y f x =+的图象关于y 轴对称；③R x ∀∈，都有()()22f x f x +=-.则23f ⎛⎫⎪⎝⎭、52f ⎛⎫⎪⎝⎭、113f ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系是（）A ．2511323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．2115332f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．5211233f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．5112233f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭8．已知定义在R 上的函数()1y f x =+是偶函数，且在[)1,+∞上单调递增，则满足()()22f x f x >+的x 的取值范围为（）A ．()2,+∞B ．()(),02,-∞+∞C ．2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．()2,2,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ 第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题9．已知,m n R ∈，函数||2y x n =-+是定义在2[4,5]m m -上的偶函数，则m n +的值是______________.10．已知函数()f x 满足：①()00f =；②()()4f x f x -=；③在()2,3上单调递减，写出一个同时满足条件①②③的函数()f x =_________．11．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()60f x f x ++=，且函数()1y f x =-的图象关于()1,0对称，则()2022f =___________.三、解答题12．已知函数2()21f x x ax =--，且(2)(2)f x f x +=-.(1)求函数()y f x =的解析式；(2)若()()g x f x mx =+在[1,1]-上时单调函数，求实数m 的取值范围.13．作出函数y =－x 2+｜x ｜+1的图象，并求出函数的值域.14．设,a b ∈R ，若函数()f x 定义域内的任意一个x 都满足()(2)2f x f a x b +-=，则函数()f x 的图象关于点(,)a b 对称；反之，若函数()f x 的图象关于点(,)a b 对称，则函数()f x 定义域内的任意一个x 都满足()(2)2f x f a x b +-=.已知函数41()1x g x x -=+.(1)证明：函数()g x 的图象关于点(1,4)-对称；(2)已知函数()h x 的图象关于点(1,2)对称，当[0,1]x ∈时，2()1h x x mx m =-++.若对任意的1[0,2]x ∈，总存在2[2,4]x ∈，使得()()12h x g x ≤成立，求实数m 的取值范围.参考答案：1．B 【解析】【分析】利用反函数的知识列方程，化简求得a 的值.【详解】依题意函数()y f x =的图象与2x a y +=的图象关于直线y x =对称，221x a x a +=⇒=-，422x a x a +=⇒=-，由于(2)(4)1f f +=，所以1211a a a -+-=⇒=.故选：B 2．A 【解析】设(),P m n 是()4y f x =-+图象上的任意一点，则()4n f m =-+，由此能推出点()2,P m n '--在()6y f x =-的图象上，根据,P P '的对称性可得两函数的对称性.【详解】设(),P m n 是()4y f x =-+图象上的任意一点，则()4n f m =-+，作等量变换()62n f m =---⎡⎤⎣⎦，即()62n f m -=--⎡⎤⎣⎦，则点()2,P m n '--在()6y f x =-的图象上，(),P m n ，()2,P m n '--关于点()10，对称，∴函数()4y f x =-+的图象与函数()6y f x =-的图象之间关于点()10，对称，故选：A 3．D 【解析】函数()f x 与()g x 的图象关于y 轴对称,得到()=()g x f x x m -=+，再利用绝对值函数性质列出不等式求解.函数()f x x m =-与函数()g x 的图象关于y 轴对称,()=()g x f x x m \-=+，()g x 在区间(12)，内单调递减，则22m m -³\£-，，故选：D ．【点睛】利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合思想求解.4．D 【解析】【分析】图象关于02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，求出直线56x π=关于2x π=的对称直线，纵坐标互为相反数.【详解】因为函数()f x 的图象关于02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，则直线56x π=关于2x π=的对称直线为52266x πππ=⨯-=，所以51=sin 6662f f πππ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D 5．C 【解析】计算得出()()220f x f x ++-=，即可得出结论.【详解】()22x x f x e e --=-Q ，()()22222x x x x f x e e e e -++--∴+=-=-，()()22222x x x x f x e e e e ------=-=-，所以，()()220f x f x ++-=，因此，函数()f x 的图象关于点()2,0对称.故选：C.6．A 【解析】【分析】由题意判断出函数()f x 关于2x =对称，结合函数的对称性与单调性求解不等式.【详解】∵()2f x +是偶函数，∴函数()f x 关于2x =对称，∴()()042f f ==，又∵()f x 在(),2-∞上单调递增，∴()f x 在()2,+∞单调递减，∴()412f x ->可化为0414x <-<，解得1544x <<，∴不等式()412f x ->解集为15,44⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：A7．A 【解析】推导出函数()f x 为偶函数，结合已知条件可得出5122f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11133f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2233f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用导数可知函数()f x 在[]1,0-上为减函数，由此可得出23f ⎛⎫⎪⎝⎭、52f ⎛⎫ ⎪⎝⎭、113f ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系.【详解】因为函数()1y f x =+的图象关于y 轴对称，则()()11f x f x +=-，故()()()()()21111f x f x f x f x -=--=-+=，()()()()()()21111f x f x f x f x +=++=-+=-，又因为R x ∀∈，都有()()22f x f x +=-，所以，()()f x f x =-，所以，5331112222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，11551223333f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2233f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为当10x -≤≤时，()12e e xx f x x =-+，()12e 20e x x f x ⎛⎫'=-+≤- ⎪⎝⎭，当且仅当0x =时，等号成立，且()f x '不恒为零，故函数()f x 在[]1,0-上为减函数，因为21110323-<-<-<-<，则112323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<-<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故2511323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A.8．B 【解析】【分析】根据()1y f x =+的奇偶性和单调性可得()f x 的对称轴和单调性，结合函数值的大小关系可得到自变量满足的不等式，解不等式求得结果.【详解】()1y f x =+Q 为定义在R 上的偶函数，且在[)1,+∞上单调递增，()f x ∴关于1x =对称，()f x ∴在(],1-∞上单调递减，由()()22f x f x >+得：2121x x ->+-，解得：0x <或2x >，即满足()()22f x f x >+的x 的取值范围为()(),02,-∞+∞ .故选：B.9．5-【解析】根据偶函数及绝对值函数性质直接求解即可.【详解】由已知||2y x n =-+是定义在2[4,5]m m -上的偶函数，故2450m m +-=，即1m =，或5m =-，且函数图象关于y 轴对称，又245m m <-，故5m =-，因为||2y x n =-+关于直线x n =对称，故0n =，5m n +=-，故答案为：5-.10．24x x -+（答案不唯一）【解析】【分析】根据条件①②③结合二次函数的基本性质可得出一个满足条件的函数()f x 的解析式.【详解】由题意可知，()f x 的图象关于直线2x =对称，且在()2,3上单调递减，且()00f =，可取()24f x x x =-+满足条件.故答案为：24x x -+（答案不唯一）.11．0【解析】【分析】求出函数的周期为12，即可得到()()20220f f =-，又()00f =即可得解.【详解】()()60f x f x ++=Q ，()()6f x f x ∴+=-，()()()126f x f x f x ∴+=-+=，所以函数()f x 是以12为周期的函数，()()()()202212168660f f f f ∴=⨯+==-又函数()1y f x =-的图象关于()1,0对称，利用函数图像平移知，函数()y f x =的图象关于()0,0对称，即()00f =，所以()20220f =故答案为：012．(1)2()41y f x x x ==--.(2)[6,)(,2]+∞-∞ 【解析】【分析】（1）利用函数的对称性和二次函数的性质进行求解即可；（2）根据二次函数的性质，结合分类讨论法进行求解即可.(1)解：因为(2)(2)f x f x +=-，所以函数()y f x =的对称轴为：2x =，函数2()21f x x ax =--的对称轴为：x a =，所以有2a =，即2()41y f x x x ==--.(2)解：2()()(4)1g x f x mx x m x =+=+--，该函数的对称轴为：42m x -=-，当412m -≤-时，函数在[1,1]-上单调递减，解得2m ≤；当412m --≤-时，函数在[1,1]-上单调递增，解得6m ≥，综上所述：实数m 的取值范围为[6,)(,2]+∞-∞ .13．作图见解析，值域为（－∞，5]4．【解析】【分析】可先判断函数的奇偶性，若函数具备奇偶性，则只需作出其一半的图象即可，另一半利用奇偶函数的对称性可作出,由图象可得结果．【详解】y =221,0,1,0.x x x x x x ⎧-++≥⎨--+<⎩因为函数为偶函数，先画出当x ≥0时的图象，然后再利用对称性作出当x ＜0时的图象．由图象可知：函数的值域为（－∞，5]4．【点睛】本题考查函数的图象和性质，利用偶函数性质根据对称画出函数图象是解题的关键，属于基础题.14．(1)证明见解析(2)[0,2]【解析】【分析】（1）根据题意可知对任意的(,1)(1,)x ∈-∞--+∞ ，()(2)8g x g x +--=，根据对称中心的定义即可证明结果；（2）由题意，对任意的1[0,2]x ∈，总存在2[2,4]x ∈，使得()()12h x g x ≤成立，则max max ()()h x g x ≤，根据函数()g x 的单调性可知max ()3g x =，再根据函数的对称性，结合二次函数的性质，采用分类讨论即可求出函数()h x 的最大值，进而求出结果.(1)解：41()1x g x x -=+ ，49(2)1x g x x +∴--=+.4149()(2)811x x g x g x x x -+∴+--=+=++.即对任意的(,1)(1,)x ∈-∞--+∞ ，都有()(2)8g x g x +--=成立.∴函数()g x 的图像关于点(1,4)-对称.(2)解：若对任意的1[0,2]x ∈，总存在2[2,4]x ∈，使得()()12h x g x ≤成立，则max max ()()h x g x ≤.415()411x g x x x -==-++ ，易知()g x 在[2,4]上单调递增.max ()(4)3g x g ∴==.[0,1]x ∈ 时，2()1h x x mx m =-++，(1)2h ∴=，即函数()h x 的图象过对称中心(1,2).当02m≤，即0m ≤时，函数()h x 在(0,1)上单调递增.由对称性知，()h x 在(1,2)上单调递增.∴函数()h x 在(0,2)上单调递增.max ()(2)4(0)33h x h h m ∴==-=-≤，0m ∴≥，即0m =.当012m <<，即02m <<时，函数()h x 在0,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,12m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.由对称性，知()h x 在1,22m ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在2,22m ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.∴函数()h x 在0,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,222m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在2,22m ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.max ()(0)h x h ∴=或22m h ⎛⎫- ⎪⎝⎭.02m << ，(0)13h m ∴=+<，易知22433224m m mh h m ⎛⎫⎛⎫-=-=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.即02m <<时符合条件.当12m≥，即2m ≥时，函数()h x 在(0,1)上单调递减.由对称性，知()h x 在(1,2)上单调递减.∴函数()h x 在(0,2)上单调递减.max ()(0)13h x h m ∴==+≤，2m ∴≤，即2m =.综上，实数m 的取值范围为[0,2].。
函数对称性：高考数学一轮复习基础必刷题
函数对称性：高考数学一轮复习基础必刷题一、单选题1．函数91()3x x f x +=的图像（）A ．关于直线1x =对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于x 轴对称2．已知定义域为R 的函数()f x 的图象关于点()1,0成中心对称，且当1≥x 时，()2f x x mx n =++，若()17f -=-，则3m n +=（）A ．7B ．2C ．2-D ．12-3．设函数()1=+xf x x ，则下列函数中为奇函数的是（）A ．()11f x --B ．()11f x -+C ．()11f x +-D ．()11f x ++4．函数f (x )的图象向左平移一个单位长度，所得图象与y =ex 关于x 轴对称，则f (x )=（）A ．-ex -1B ．-ex +1C ．-e -x -1D ．-e -x +15．已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +是偶函数，()42f =，()f x 在(),2-∞上单调递增，则不等式()412f x ->的解集为（）A ．15,44⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．15,,44⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()(),117,-∞-⋃+∞D ．()1,17-6．我们知道，函数()y f x =的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数.据此，我们可以得到函数()323f x x x =+图象的对称中心为（）A ．()1,2-B ．()1,2--C ．()1,4D ．()1,4-7．已知函数2()e e x x f x -=-，则下列说法正确的是（）A ．()f x 关于直线1x =-对称B ．()f x 关于点(1,0)对称C ．()f x 关于点(1,0)-对称D ．()f x 关于直线1x =对称8．函数()()3ln 33x f x x -=-的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题9．已知偶函数()f x 在R 上有四个零点，则这四个零点之和为___________.10．已知()f x 是偶函数，且方程()30f x -=有五个解，则这五个解之和为______．11．已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，且满足()32f x fx ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，又()11f -=，()02f =-，则()()()()1232021f f f f +++⋅⋅⋅+=______．三、解答题12．已知指数函数()y f x =的图象经过点()2,9P ，(1)求函数()f x 的解析式；(2)设函数()()1g x f x =，证明：函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于y 轴对称．13．已知函数()2()22f x x a x a =+--，a R ∈.(1)若()f x 的图象关于直线1x =对称，求a 的值；(2)求使()0f x >的自变量x 的取值范围.14．已知函数2()log (2)f x x =+，函数()y g x =的图像与()y f x =的图像关于y 轴对称.（1）求()g x 的解析式；（2）解关于x 的不等式2()(23)f x g x x >-.参考答案：1．B 【解析】【分析】利用分离常数法化简函数式，可知函数()f x 为偶函数，进而判断对称性.【详解】解：因为()()231911333333x xx x x x xxf x -++===+=+，()()33x x f x f x --=+=易知()f x 为偶函数，所以函数()f x 的图象关于y 轴对称.故选：B.2．C 【解析】【分析】由已知结合函数对称性可求出()3f ，进而求得结果.【详解】解：因为定义域为R 的函数()f x 的图象关于点()1,0成中心对称，且当1≥x 时，()2f x x mx n =++，若()17f -=-，则()()317f f =--=.故()23337f m n =++=，即32m n +=-.故选：C.3．A 【解析】【分析】求出函数()f x 图象的对称中心，结合函数图象平移变换可得结果.【详解】因为()1111111x x f x x x x +-===-+++，所以，()()112112121f x f x x x +--=-+-=+--+，所以，函数()f x 图象的对称中心为()1,1-，将函数()f x 的图象向右平移1个单位，再将所得图象向下平移1个单位长度，可得到奇函数的图象，即函数()11f x --为奇函数.故选：A.4．A 【解析】【分析】先求出与y =ex 的图象关于x 轴对称的图象所对函数解析式，再右移一个单位即可得解.【详解】与y =ex 的图象关于x 轴对称的图象所对函数解析式为y =-ex ，将所得图象右移一个单位后的图象所对函数解析式为y =-ex -1，而按上述变换所得图象对应的函数是f (x )，所以f (x )=-ex -1.故选：A 5．A 【解析】【分析】由题意判断出函数()f x 关于2x =对称，结合函数的对称性与单调性求解不等式.【详解】∵()2f x +是偶函数，∴函数()f x 关于2x =对称，∴()()042f f ==，又∵()f x 在(),2-∞上单调递增，∴()f x 在()2,+∞单调递减，∴()412f x ->可化为0414x <-<，解得1544x <<，∴不等式()412f x ->解集为15,44⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A6．A 【解析】【分析】依题意设函数()323f x x x =+图象的对称中心为(),a b ，则()()y g x f x a b ==+-为奇函数，再根据奇函数的性质得到方程组，解得即可；【详解】解：依题意设函数()323f x x x =+图象的对称中心为(),a b ，由此可得()()()()()()3232232333363y g x f x a b x a x a b x a x a a x a a b ==+-=+++-=++++++-为奇函数，由奇函数的性质可得3233030a a a b +=⎧⎨+-=⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩，则函数()323f x x x =+图象的对称中心为()1,2-；故选：A 7．B 【解析】【分析】由题可得2(2)e e x x f x --=-，24(2)e e x x f x --+--=-，然后逐项分析即得.【详解】∵2()e e x x f x -=-，∴2(2)e e x x f x --=-，24(2)e e x x f x --+--=-，∴242(2)e e ()e e x x x x f x f x --+-=≠--=--，故A 错误；()22(2)e e e e ()x x x x f x f x --=-=---=-，故B 正确；()242(2)e e ()e e x x x x f x f x --+---=-=--≠-，故C 错误；22(2)e e ()e e x x x x f x f x ---=-=-≠，故D 错误.故选：B.8．C 【解析】【分析】根据给定函数探讨其对称性可排除选项A ，B ；再由4x >时的函数值符号即可判断作答.【详解】函数()()3ln 33x f x x -=-定义域为(,3)(3,)-∞⋃+∞，其图象可由函数3ln ||()(0)x g x x x =≠的图象右移3个单位而得，而3ln ||()()()x g x g x x --==--，即函数3ln ||()x g x x=是奇函数，其图象关于原点对称，因此，函数()f x 图象关于点(3,0)对称，选项A ，B 不满足；又当4x >时，ln |3|0x ->，3(3)0x ->，即有()0f x >，则当4x >时，()f x 图象在x 轴上方，D 不满足，所以函数()()3ln 33x f x x -=-的部分图象大致为C.故选：C 9．0【解析】【分析】根据给定条件利用偶函数的图象关于y 轴对称的性质计算作答.【详解】因函数()f x 是R 上的偶函数，则函数()f x 的图象关于y 对称，而x 轴垂直于y 轴，即x 轴也关于y 轴对称，又函数()f x 在R 上有四个零点，即函数()f x 的图象与x 轴有4个交点，从左到右依次设为：1234(,0),(,0),(,0),(,0)A x B x C x D x ，于是得点A 与D 关于y 轴对称，点B 与C 关于y 轴对称，即14230,0x x x x +=+=，则12340x x x x +++=，所以四个零点之和为0.故答案为：010．15【解析】【分析】根据函数的奇偶性和图象变换，得到函数()3=-y f x 的图象关于3x =对称，进而得出方程其中其中一个解为3x =，另外四个解满足14236x x x x +=+=，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 是偶函数，可函数()f x 的图象关于0x =对称，根据函数图象的变换，可得函数()3=-y f x 的图象关于3x =对称，又由方程()30f x -=有五个解，则其中一个解为3x =，不妨设另外四个解分别为1234,,,x x x x 且1234x x x x <<<，则满足2314322x x x x ++==，即14236x x x x +=+=，所以这五个解之和为66315++=.故答案为：15.11．2【解析】【分析】利用()32f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭可得函数周期3T =，再结合函数()f x 的图象关于点3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，即()32f x f x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，分析可得()()211f f ==，()32f =-，即()()()1230f f f ++=，结合函数周期性，即得解【详解】()32f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ，()()3f x f x ∴=+，周期3T =，又()11f -=，()02f =-，()()121f f ∴-==，()()032f f ==-， 函数()f x 的图象关于点3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，()32f x f x ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭，又()32f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()()113111222f f f f ⎛⎫⎛⎫∴-=--=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()1231120f f f ∴++=+-=，202136732=⨯+ ，()()()()()()1232021122f f f f f f ∴+++⋅⋅⋅+=+=．故答案为：2．12．(1)()3xf x =(2)证明见解析【解析】【分析】（1）设指数函数()xy f x a ==(0a >且1)a ≠，由函数图象过点()2,9P 即可求解；（2）任取函数()y f x =的图象上一点()00,P x y ，证明()00,P x y 关于y 轴的对称点为()00,P x y '-在函数()y g x =的图象上即可.(1)解：由题意，设指数函数()xy f x a ==(0a >且1)a ≠，因为函数()y f x =的图象经过点()2,9P ，所以29a =，解得3a =，所以函数()3xf x =；(2)证明：由（1）知()()1133x x y g x f x -====，任取函数()y f x =的图象上一点()00,P x y ，则003xy =，因为()00,P x y 关于y 轴的对称点为()00,P x y '-，且()00033x x y --==，所以()00,P x y '-在函数()y g x =的图象上，所以函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于y 轴对称．13．(1)4(2)答案见解析【解析】【分析】（1）先求出函数的对称轴，得到212a x -==，解出即可；（2）分三种情况当2a =-时，当2a >-时，当2a <-时来解不等式.(1)解法一：因为()2()22f x x a x a =+--，所以，()f x 的图象的对称轴方程为22a x -=.由212a -=，得4a =.解法二：因为函数()f x 的图象关于直线1x =对称，所以必有()()02f f =成立，所以284a a -=-，得4a =.(2)不等式()0f x >，即为()2220x a x a +-->，()()20x x a +->，当2a =-时，不等式的解集为{}2,x x x R ≠-∈，当2a >-时，不等式的解集为{}2x x x a <-<或，当2a <-时，不等式的解集为{}2x x x a >-<或.14．(1)2()log (2)g x x =-+(x <2)；(2)1{|02x x -<<或12}x <<.【解析】【分析】(1)在函数()y g x =图象上任取点，该点关于y 轴对称点必在()y f x =的图像，代入即可得解；(2)由(1)及所给条件，列出对数不等式，由对数函数单调性等价转化成不等式组并求解即得.【详解】(1)设(,)P x y 为函数()y g x =的图像上任意一点，点P 关于y 轴的对称点为1(,)P x y -，则点1P 必在函数()y f x =的图像上，则2log (2)y x =-+，即2()log (2)g x x =-+，所以()g x 的解析式为2()log (2)g x x =-+(x <2)；(2)由2()(23)f x g x x >-及(1)可得222log (2)log (223)x x x +>-+，因为2log y x =是增函数，于是有222022302223x x x x x x +>⎧⎪-+>⎨⎪+>-+⎩，即22202320220x x x x x +>⎧⎪--<⎨⎪->⎩，解得102x -<<或12x <<，所以不等式2()(23)f x g x x >-的解集为1{|02x x -<<或12}x <<.。
函数的周期性、对称性(解析版)
函数的周期性、对称性一、单选题1.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =x -e 2+ln ex e -x ，若f e 2020 +f 2e2020+⋅⋅⋅+f 2018e 2020 +f 2019e 2020 =20192a +b ，其中b >0，则12a+a b 的最小值为()A.34B.54C.2D.22【答案】A【解析】因为f x =x -e 2+ln exe -x，所以f x +f e -x =x -e 2+ln ex e -x +(e -x )-e2+ln e (e -x )e -(e -x )=lnex e -x +ln e (e -x )x =ln exe -x ⋅e (e -x )x=ln e 2=2，令S =f e 2020 +f 2e 2020 +⋅⋅⋅+f 2018e 2020 +f 2019e2020 则2S =f e 2020 +f 2019e 2020 +f 2e 2020 +f 2018e 2020 +⋅⋅⋅+f 2019e 2020 +f e2020 =2×2019所以S =2019所以20192a +b =2019，所以a +b =2，其中b >0，则a =2-b .当a >0时12|a |+|a |b =12a +2-b b =12a +2b -1=12a +2b ⋅(a +b )2-1=1252+b 2a +2a b-1≥1252+2b 2a ⋅2a b -1=54当且仅当b 2a =2a b, 即 a =23,b =43 时等号成立；当a <0时 12|a |+|a |b =1-2a +-a b =1-2a +b -2b =1-2a +-2b +1=121-2a +-2b ⋅(a +b )+1=12-52+b -2a +-2ab +1≥12-52+2b -2a ⋅-2a b +1=34，当且仅当 b -2a =-2a b, 即 a =-2,b =4 时等号成立；因为34<54，所以12|a |+|a |b 的最小值为34.故选：A .2.(2023春·重庆·高三统考阶段练习)已知函数f (x )=ln x 2+1-x +1，正实数a ,b 满足f (2a )+f (b -4)=2，则4b a +a2ab +b 2的最小值为( )A.1B.2C.4D.658【答案】B【解析】f x +f -x =ln x 2+1-x +1+ln x 2+1+x +1=2，故函数f x 关于0,1 对称，又f x 在R 上严格递增；f (2a )+f (b -4)=2,∴2a +b -4=0即2a +b =4.4b a +a 2ab +b 2=4b a +a b 2a +b =4b a +a4b ≥24b a ⋅a 4b=2.当且仅当a =169,b =49时取得.故选：B .3.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x 的定义域为R ，f 2x +2 为偶函数，f x +1 为奇函数，且当x ∈0,1 时，f x =ax +b .若f 4 =1，则3i =1f i +12=( )A.12B.0C.-12D.-1【答案】C【解析】因为f 2x +2 为偶函数，所以f -2x +2 =f 2x +2 ，用12x +12代替x 得：f -x +1 =f x +3 ，因为f x +1 为奇函数，所以f -x +1 =-f x +1 ，故f x +3 =-f x +1 ①，用x +2代替x 得：f x +5 =-f x +3 ②，由①② 得：f x +5 =f x +1 ，所以函数f x 的周期T =4，所以f 4 =f 0 =1，即b =1，因为f -x +1 =-f x +1 ，令x =0得：f 1 =-f 1 ，故f 1 =0，f 1 =a +b =0，解得：a =-1，所以x ∈0,1 时，f x =-x +1，因为f -x +1 =-f x +1 ，令x =12，得f 12 =-f 32 ，其中f 12 =-12+1=12，所以f 32 =-12，因为f -2x +2 =f 2x +2 ，令x =14得：f -2×14+2 =f 2×14+2 ，即f 32 =f 52 =-12，因为T=4，所以f 72 =f72-4=f-12，因为f-x+1=-f x+1，令x=32得：f-12=-f52 =12，故f 72 =12，3 i=1fi+12=f32 +f52 +f72 =-12-12+12=-12.故选：C4.(2023·四川资阳·统考模拟预测)已知函数f x 的定义域为R，f x-2为偶函数，f x-2+f-x=0，当x∈-2,-1时，f x =1a x-ax-4(a>0且a≠1)，且f-2=4．则13k=1f k=( )A.16B.20C.24D.28【答案】C【解析】因为f x-2是偶函数，所以f-x-2=f(x-2)，所以f(x)=f(-x-4)，所以函数f(x)关于直线x=-2对称，又因为f x-2+f-x=0，所以-f x-2=f-x，所以f(x)=-f(-x-2)，所以f(x)关于点(-1,0)中心对称，由f(x)=f(-x-4)及f(x)=-f(-x-2)得f(-x-4)=-f(-x-2)所以f(-x-4)=-f(-x-2)=f(-x)所以函数f(x)的周期为4，因为当x∈-2,-1时，f x =1a x-ax-4(a>0且a≠1)，且f-2=4，所以4=1a-2+2a-4，解得：a=2或a=-4，因为a>0且a≠1，所以a=2.所以当x∈-2,-1时，f x =12x-2x-4，所以f(-2)=4,f(-1)=0，f(-3)=f(-1)=0，f(0)=-f(-2)=-4，f(1)=f(1-4)=f(-3)=0，f(2)=f(-2)=4，f(3)=f(-1)=0，f(4)=f(0)=-4，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=8，所以13k=1f k=f(1)+3×8=24,故选：C.5.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7．若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则22k=1f k =( )A.-21B.-22C.-23D.-24【答案】D【解析】因为y =g (x )的图像关于直线x =2对称，所以g 2-x =g x +2 ，因为g (x )-f (x -4)=7，所以g (x +2)-f (x -2)=7，即g (x +2)=7+f (x -2)，因为f (x )+g (2-x )=5，所以f (x )+g (x +2)=5，代入得f (x )+7+f (x -2) =5，即f (x )+f (x -2)=-2，所以f 3 +f 5 +⋯+f 21 =-2 ×5=-10，f 4 +f 6 +⋯+f 22 =-2 ×5=-10.因为f (x )+g (2-x )=5，所以f (0)+g (2)=5，即f 0 =1，所以f (2)=-2-f 0 =-3.因为g (x )-f (x -4)=7，所以g (x +4)-f (x )=7，又因为f (x )+g (2-x )=5，联立得，g 2-x +g x +4 =12，所以y =g (x )的图像关于点3,6 中心对称，因为函数g (x )的定义域为R ，所以g 3 =6因为f (x )+g (x +2)=5，所以f 1 =5-g 3 =-1.所以∑22k =1f (k )=f 1 +f 2 +f 3 +f 5 +⋯+f 21 +f 4 +f 6 +⋯+f 22 =-1-3-10-10=-24.故选：D6.(2023·全国·高三专题练习)设函数f x =x 3+ax 2+bx +2a ,b ∈R ，若f 2+x +f 2-x =8，则下列不等式正确的是( )A.f e +f 32>8 B.f e +f 2-3 >8C.f ln7 +f 2+3 >8 D.f ln5 +f 3ln2 <8【答案】C【解析】由题(2+x )3+a (2+x )2+b (2+x )+2+(2-x )3+a (2-x )2+b (2-x )+2=8，化简整理得(6+a )x 2+2(2a +b +3)=0，于是6+a =0，2a +b +3=0⇒a =-6，b =9，所以f (x )=x 3-6x 2+9x +2，进而f (x )=3x 2-12x +9=3(x -1)(x -3)，据此，f (x )在(-∞，1)，(3，+∞)上单调递增，f (x )在(1，3)上单调递减，因为f (2+x )+f (2-x )=8，即f (x )+f (4-x )=8．对于A ，由f (e )+f (4-e )=8，又1<4-e <32<3，所以f (4-e )>f 32，即f (e )+f 32<8，故A 错误；对于B ，f (2-3)=(2-3)3-6(2-3)2+9(2-3)+2=4，因为1<2<e<3，所以f(2)>f(e)，而f(2)=23-6×22+9×2+2=4，所以f(e)+f(2-3)<8，故B错误；对于C，f(2+3)=(2+3)3-6(2+3)2+9(2+3)+2=4，而1<ln7<2，所以f(ln7)>f(2)=4，所以f(ln7)+f(2+3)>8，故C正确；对于D，由f(ln5)+f(4-ln5)=8，因为1<3ln2<4-ln5<3，所以f(3ln2)>f(4-ln5)，所以f(ln5)+f(3ln2)>8，故D错误.故选：C．7.(2023·全国·高三专题练习)定义在R上的奇函数f x 满足f2-x=f x ，且在0,1上单调递减，若方程f x =-1在0,1上所有实根之和是( )上有实数根，则方程f x =1在区间-1,11A.30B.14C.12D.6【答案】A【解析】由f2-x=f x 知函数f x 的图象关于直线x=1对称，∵f2-x=f x ，f x 是R上的奇函数，∴f-x=f x+2=-f x ，∴f x+4=f x ，∴f x 的周期为4，考虑f x 的一个周期，例如-1,3，由f x 在0,1上是增函数，上是减函数知f x 在1,2f x 在-1,0上是减函数，f x 在2,3上是增函数，对于奇函数f x 有f0 =0，f2 =f2-2=f0 =0，故当x∈0,1时，f x <f2 =0，时，f x <f0 =0，当x∈1,2当x∈-1,0时，f x >f0 =0，当x∈2,3时，f x >f2 =0，方程f x =-1在0,1上有实数根，则这实数根是唯一的，因为f x 在0,1上是单调函数，则由于f2-x上有唯一实数，=f x ，故方程f x =-1在1,2在-1,0上f x >0，和2,3则方程f x =-1在-1,0上没有实数根，和2,3从而方程f x =-1在一个周期内有且仅有两个实数根，当x∈-1,3，方程f x =-1的两实数根之和为x+2-x=2，当x∈-1,11，方程f x =-1的所有6个实数根之和为x+2-x+4+x+4+2-x+x+8+2-x+8=2+8+2+8+2+8=30.故选：A.8.(2023·全国·高三专题练习)对于三次函数f x =ax3+bx2+cx+d a≠0，给出定义：设f'x 是函数y=f x 的导数，f″x 是f'x 的导数，若方程f″x =0有实数解x0，则称点x0,f x0为函数y =f x 的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数g x =13x3-12x2+3x-512，则g12019+g22019+⋯+g20182019=( )A.2016B.2017C.2018D.2019【答案】C【解析】函数g x =13x3-12x2+3x-512，函数的导数g'x =x2-x+3，g'x =2x-1，由g'x0=0得2x0-1=0，解得x0=12，而g12 =1，故函数g x 关于点12,1对称，∴g x +g1-x=2，故设g12019+g22019+...+g20182019=m，则g20182019+g20172019+...+g12019=m，两式相加得2×2018=2m，则m=2018，故选C.9.(2023春·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习)定义在R上的函数f x 满足f-x+f x =0 ,f x =f2-x，且当x∈0,1时，f x =x2.则函数y=7f x -x+2的所有零点之和为( ) A.7 B.14 C.21 D.28【答案】B【解析】依题意，f x 是奇函数.又由f x =f2-x知，f x 的图像关于x=1对称.f x+4=f1+x+3=f1-x+3=f-2-x=-f2+x=-f2--x=-f-x=f x ，所以f x 是周期为4的周期函数.f2+x=f1+1+x=f1-1+x=f-x=-f x =-f2-x，所以f x 关于点2,0对称.由于y=7f x -x+2=0⇔f x =x-2 7从而函数y=7f x -x+2的所有零点之和即为函数f x 与g x =x-27的图像的交点的横坐标之和.而函数g x =x-27的图像也关于点2,0对称.画出y=f x ，g x =x-27的图象如图所示.由图可知，共有7个交点，所以函数y=7f x -x+2所有零点和为7×2=14.故选：B10.(2023·全国·高三专题练习)已知定义在R上的可导函数f x 的导函数为f (x)，满足f (x)<f(x)且f x+3为偶函数，f(x+1)为奇函数，若f(9)+f(8)=1，则不等式f x <e x的解集为( )A.-3,+∞B.1,+∞C.(0,+∞)D.6,+∞【答案】C【解析】因为f x+3为偶函数，f(x+1)为奇函数，所以f x+3=f-x+3，f(x+1)+f(-x+1)=0.所以f x =f-x+6，f(x)+f(-x+2)=0，所以f(-x+6)+f(-x+2)=0.令t=-x+2，则f(t+4)+f(t)=0.令上式中t取t-4，则f(t)+f(t-4)=0，所以f(t+4)=f(t-4).令t取t+4，则f(t)=f(t+8)，所以f(x)=f(x+8).所以f x 为周期为8的周期函数.因为f(x+1)为奇函数，所以f(x+1)+f(-x+1)=0，令x=0，得：f(1)+f(1)=0，所以f(1)=0，所以f(9)+f(8)=1，即为f(1)+f(0)=1，所以f(0)=1.记g x =f xe x，所以gx =f x -f xe x.因为f (x)<f(x)，所以g x <0，所以g x =f xe x在R上单调递减.不等式f x <e x可化为f xe x<1，即为g x <g0 .所以x>0.故选：C11.(2023·全国·高三专题练习)设函数f x 的定义域为R，f x+1为奇函数，f x+2为偶函数，当x∈1,2时，f(x)=ax2+b．若f0 +f3 =6，则f 92 =( )A.-94B.-32C.74D.52【答案】D【解析】[方法一]：因为f x +1 是奇函数，所以f -x +1 =-f x +1 ①；因为f x +2 是偶函数，所以f x +2 =f -x +2 ②．令x =1，由①得：f 0 =-f 2 =-4a +b ，由②得：f 3 =f 1 =a +b ，因为f 0 +f 3 =6，所以-4a +b +a +b =6⇒a =-2，令x =0，由①得：f 1 =-f 1 ⇒f 1 =0⇒b =2，所以f x =-2x 2+2．思路一：从定义入手．f 92 =f 52+2 =f -52+2 =f -12 f -12 =f -32+1 =-f 32+1 =-f 52-f 52 =-f 12+2 =-f -12+2 =-f 32所以f 92 =-f 32 =52．[方法二]：因为f x +1 是奇函数，所以f -x +1 =-f x +1 ①；因为f x +2 是偶函数，所以f x +2 =f -x +2 ②．令x =1，由①得：f 0 =-f 2 =-4a +b ，由②得：f 3 =f 1 =a +b ，因为f 0 +f 3 =6，所以-4a +b +a +b =6⇒a =-2，令x =0，由①得：f 1 =-f 1 ⇒f 1 =0⇒b =2，所以f x =-2x 2+2．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数f x 的周期T =4．所以f 92=f 12 =-f 32 =52．故选：D ．二、多选题12.(2023春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习)已知定义域为R 的函数f x 在-1,0 上单调递增，f 2+x =f 2-x ，且图象关于3,0 对称，则f x ( )A.周期T =4B.在0,2 单调递减C.满足f 2021 <f 2022 <f 2023D.在0,2023 上可能有1012个零点【答案】ABD【解析】A 选项：由f (2+x )=f (2-x )知f (x )的对称轴为x =2，且f (4+x )=f (-x )，又图象关于3,0 对称，即f (3+x )=-f (3-x )，故f (6+x )=-f (-x )，所以-f (4+x )=f (6+x )，即-f (x )=f (2+x )，所以f (x )=f (x +4)，f (x )的周期为4，正确；B 选项：因为f (x )在-1,0 上单调递增，T =4，所以f (x )在3,4 上单调递增，又图象关于3,0 对称，所以f (x )在2,3 上单调递增，因为关于x =2对称，所以f (x )在1,2 上单调递减，f (1)=f (3)=0，故f (x )在0,2 单调递减，B 正确；C 选项：根据周期性，f (2021)=f (1)，f (2022)=f (2)，f (2023)=f (3)，因为f (x )关于x =2对称，所以f (1)=f (3)=0，f (2)<f (1)，故f (2022)<f (2021)=f (2023)，错误；D 选项：在0,4 上，f (1)=f (3)=0，f (x )有2个零点，所以f (x )在0,2020 上有1010个零点，在2020,2023 上有2个零点，故f (x )在0,2023 上可能有1012个零点，正确，故选：ABD ．13.(2023春·广东广州·高三统考阶段练习)已知函数f x 、g x 的定义域均为R ，f x 为偶函数，且f x +g 2-x =1，g x -f x -4 =3，下列说法正确的有( )A.函数g x 的图象关于x =1对称 B.函数f x 的图象关于-1,-1 对称C.函数f x 是以4为周期的周期函数 D.函数g x 是以6为周期的周期函数【答案】BC【解析】对于A 选项，因为f x 为偶函数，所以f -x =f x ．由f x +g 2-x =1，可得f -x +g 2+x =1，可得g 2+x =g 2-x ，所以，函数g x 的图象关于直线x =2对称，A 错；对于B 选项，因为g x -f x -4 =3，则g 2-x -f -2-x =3，又因为f x +g 2-x =1，可得f x +f -2-x =-2，所以，函数f x 的图象关于点-1,-1 对称，B 对；对于C 选项，因为函数f x 为偶函数，且f x +f -2-x =-2，则f x +f x +2 =-2，从而f x +2 +f x +4 =-2，则f x +4 =f x ，所以，函数f x 是以4为周期的周期函数，C 对；对于D 选项，因为g x -f x -4 =3，且f x =f x -4 ，∴g x -f x =3，又因为f x +g 2-x =1，所以，g x +g 2-x =4，又因为g 2-x =g 2+x ，则g x +g x +2 =4，所以，g x +2 +g x +4 =4，故g x +4 =g x ，因此，函数g x 是周期为4的周期函数，D 错.故选：BC .14.(2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习)设定义在R 上的函数f x 与g x 的导函数分别为f x 和g x ，若f x +2 -g 1-x =2，f x =g x +1 ，且g x +1 为奇函数，则下列说法中一定正确的是( )A.g 1 =0 B.函数g x 的图象关于x =2对称C.2021k =1f k g k =0D.2022k =1g k =0【答案】AC【解析】因为g x +1 为奇函数，所以g x +1 =-g -x +1 ，取x =0可得g 1 =0，A 对，因为f x +2 -g 1-x =2，所以f x +2 +g 1-x =0；所以f x +g 3-x =0，又f x =g x +1 ，g x +1 +g 3-x =0，故g 2+x +g 2-x =0，所以函数g x 的图象关于点(2,0)对称，B 错，因为f x =g x +1 ，所以f x -g x +1 =0，所以f x -g x +1 =c ，c 为常数，因为f x +2 -g 1-x =2，所以f x -g 3-x =2，所以g x +1 -g 3-x =2-c ，取x =1可得c =2，所以g x +1 =g 3-x ，又g x +1 =-g -x +1 ，所以g 3-x =-g -x +1 ，所以g x =-g x -2 ，所以g x +4 =-g x +2 =g (x )，故函数g (x )为周期为4的函数，因为g x +2 =-g x ，所以g 3 =-g 1 =0，g 4 =-g 2 ，所以g (1)+g (2)+g (3)+g (4)=0，所以2022k =1g k =g (1)+g (2)+g (3)+g (4) +g (5)+g (6)+g (7)+g (8) +⋅⋅⋅+g (2017)+g (2018)+g (2019)+g (2020) +g (2021)+g (2022)，所以2022k =1g k =505×0+ g (2021)+g (2022)=g (1)+g (2)=g (2)，由已知无法确定g (2)的值，故2022k =1g k 的值不一定为0，D 错；因为f x +2 -g 1-x =2，所以f x +2 =2-g x +1 ，f x +6 =2-g x +5 ，所以f x +2 =f (x +6)，故函数f (x )为周期为4的函数，f (x +4)g (x +4)=f (x )g (x )所以函数f (x )g (x )为周期为4的函数，又f (1)=2-g (0)，f (2)=2-g (1)=2，f (3)=2-g (2)=2+g (0)，f (4)=2-g (3)=2，所以f (1)g (1)+f (2)g (2)+f (3)g (3)+f (4)g (4)=0+2g (2)+2g (4)=0，所以2021k =1f k g k =505f (1)g (1)+f (2)g (2)+f (3)g (3)+f (4)g (4) +f (2021)g (2021)2021k =1f kg k =f (1)g (1)=0 ，C 对，故选：AC .15.(2023·全国·高三专题练习)设函数y =f (x )的定义域为R ，且满足f (x )=f (2-x )，f (-x )=-f (x -2)，当x ∈(-1,1]时，f (x )=-x 2+1，则下列说法正确的是( )A.f (2022)=1B.当x ∈4,6 时，f (x )的取值范围为-1,0C.y =f (x +3)为奇函数D.方程f (x )=lg (x +1)仅有5个不同实数解【答案】BCD【解析】依题意，当-1<x<0时，0<f x <1，当0≤x≤1时，0≤f x ≤1，函数y=f(x)的定义域为R，有f(x)=f(2-x)，又f(-x)=-f(x-2)，即f(x)=-f(-x-2)，因此有f(2-x)=-f(-x-2)，即f(x+4)=-f(x)，于是有f(x+8)=-f(x+4)=f(x)，从而得函数f(x)的周期T=8，对于A，f2022=-f0 =-1，A不正确；=f252×8+6=f6 =f-2对于B，当4≤x≤5时，0≤x-4≤1，有0≤f(x-4)≤1，则f(x)=-f(x-4)∈[-1,0]，当5≤x≤6时，-4≤2-x≤-3，0≤(2-x)+4≤1，有0≤f[(2-x)+4]≤1，f(x)=f(2-x)=-f[(2-x)+4]∈[-1,0]，当x∈4,6，B正确；时，f(x)的取值范围为-1,0对于C，f(x+3)=-f[(x+3)+4]=-f(x-1)=-f[2-(x-1)]=-f(-x+3)，函数y=f(x+3)为奇函数，C正确；对于D，在同一坐标平面内作出函数y=f(x)、y=lg(x+1)的部分图象，如图：方程f(x)=lg(x+1)的实根，即是函数y=f(x)与y=lg(x+1)的图象交点的横坐标，观察图象知，函数y=f(x)与y=lg(x+1)的图象有5个交点，因此方程f(x)=lg(x+1)仅有5个不同实数解，D正确.故选：BCD16.(2023·全国·高三专题练习)已知定义在R上的单调递增的函数f x 满足：任意x∈R，有f1-x+f1+x=2，f2+x=4，则( )+f2-xA.当x∈Z时，f x =xB.任意x∈R，f-x=-f xC.存在非零实数T，使得任意x∈R，f x+T=f xD.存在非零实数c，使得任意x∈R，f x -cx≤1【答案】ABD【解析】对于A，令x=1-t，则f t +f2-t=2，=2，即f x +f2-x又f2+x=4-2-f x=f x +2；=4-f2-x+f2-x=4，∴f x+2令x=0得：f1 +f1 =2，f2 +f2 =4，∴f1 =1，f2 =2，则由f x+2=f x +2可知：当x∈Z时，f x =x，A正确；对于B ，令x =1+t ，则f -t +f 2+t =2，即f -x +f 2+x =2，∴f -x =2-f 2+x =2-4-f 2-x =f 2-x -2，由A 的推导过程知：f 2-x =2-f x ，∴f -x =2-f x -2=-f x ，B 正确；对于C ，∵f x 为R 上的增函数，∴当T >0时，x +T >x ，则f x +T >f x ；当T <0时，x +T <x ，则f x +T <f x ，∴不存在非零实数T ，使得任意x ∈R ，f x +T =f x ，C 错误；对于D ，当c =1时，f x -cx =f x -x ；由f 1-x +f 1+x =2，f 2+x +f 2-x =4知：f x 关于1,1 ，2,2 成中心对称，则当a ∈Z 时，a ,a 为f x 的对称中心；当x ∈0,1 时，∵f x 为R 上的增函数，f 0 =0，f 1 =1，∴f x ∈0,1 ，∴f x -x ≤1；由图象对称性可知：此时对任意x ∈R ，f x -cx ≤1，D 正确.故选：ABD .17.(2023·全国·高三专题练习)设函数f (x )定义域为R ，f (x -1)为奇函数，f (x +1)为偶函数，当x ∈(-1,1)时，f (x )=-x 2+1，则下列结论正确的是( )A.f 72 =-34B.f (x +7)为奇函数C.f (x )在(6,8)上为减函数D.方程f (x )+lg x =0仅有6个实数解【答案】ABD【解析】f (x +1)为偶函数，故f (x +1)=f (-x +1)，令x =52得：f 72 =f -52+1 =f -32，f (x -1)为奇函数，故f (x -1)=-f (-x -1)，令x =12得：f -32 =-f 12-1 =-f -12，其中f -12 =-14+1=34，所以f 72 =f -32 =-f -12 =-34，A 正确；因为f (x -1)为奇函数，所以f (x )关于-1,0 对称，又f (x +1)为偶函数，则f (x )关于x =1对称，所以f (x )周期为4×2=8，故f (x +7)=f (x -1)，所以f (-x +7)=f (-x -1)=-f x -1 =-f x -1+8 =-f x +7 ，从而f (x +7)为奇函数，B 正确；f (x )=-x 2+1在x ∈(-1,0)上单调递增，又f (x )关于-1,0 对称，所以f (x )在-2,0 上单调递增，且f (x )周期为8，故f (x )在(6,8)上单调递增，C 错误；根据题目条件画出f (x )与y =-lg x 的函数图象，如图所示：其中y =-lg x 单调递减且-lg12<-1，所以两函数有6个交点，故方程f (x )+lg x =0仅有6个实数解，D 正确.故选：ABD18.(2023·全国·高三专题练习)已知f (x )是定义域为(-∞,+∞)的奇函数，f (x +1)是偶函数，且当x ∈0,1 时，f (x )=-x (x -2)，则( )A.f x 是周期为2的函数B.f 2019 +f 2020 =-1C.f x 的值域为-1,1D.y =f x 在0,2π 上有4个零点【答案】BCD【解析】对于A ，f x +1 为偶函数，其图像关于x 轴对称，把f x +1 的图像向右平移1个单位得到f x 的图像，所以f (x )图象关于x =1对称，即f (1+x )=f (1-x )，所以f (2+x )=f (-x )，f x 为R 上的奇函数，所以f (-x )=-f x ，所以f (2+x )=-f (x )，用2+x 替换上式中的x 得， f (4+x )=-f (x +2)，所以，f (4+x )=f (x )，则f x 是周期为4的周期函数.故A 错误.对于B ，f x 定义域为R 的奇函数，则f 0 =0，f x 是周期为4的周期函数，则f 2020 =f 0 =0；当x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，则f 1 =-1×1-2 =1，则f 2019 =f -1+2020 =f -1 =-f 1 =-1，则f 2019 +f 2020 =-1.故B 正确.对于C ，当x ∈0，1 时，f x =-x x -2 ，此时有0<f x ≤1，又由f x 为R 上的奇函数，则x ∈-1,0 时，-1≤f x <0，f (0)=0，函数关于x =1对称，所以函数f x 的值域-1,1 .故C 正确.对于D ，∵f (0)=0，且x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，∴x ∈[0,1]，f (x )=-x (x -2)，∴x ∈[1,2]，2-x ∈[0,1]，f (x )=f (2-x )=-x (x -2)①∴x ∈[0,2]时，f (x )=-x (x -2)，此时函数的零点为0，2；∵f (x )是奇函数，∴x ∈[-2,0],f (x )=x (x +2)，②∴x ∈2,4 时，∵f (x )的周期为4，∴x -4∈-2,0 ，f x =f x -4 =x -2 x -4 ，此时函数零点为4；③∴x ∈4,6 时，∴x -4∈0,2 ，f x =f x -4 =-(x -4)(x -6)，此时函数零点为6；④∴x ∈6,2π 时，∴x -4∈2,4 ，f x =f x -4 =x -6 x -8 ，此时函数无零点；综合以上有，在(0,2π)上有4个零点.故D 正确；故选：BCD19.(2023春·广东广州·高三广州市禺山高级中学校考阶段练习)已知f x 是定义域为(-∞,+∞)的奇函数，f x +1 是偶函数，且当x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，则( )A.f x 是周期为2的函数B.f 2019 +f 2020 =-1C.f x 的值域为[-1，1]D.f x 的图象与曲线y =cos x 在0,2π 上有4个交点【答案】BCD【解析】根据题意，对于A ，f x 为R 上的奇函数，f x +1 为偶函数，所以f (x )图象关于x =1对称，f (2+x )=f (-x )=-f (x )即f (x +4)=-f (x +2)=f (x )则f x 是周期为4的周期函数，A 错误；对于B ，f x 定义域为R 的奇函数，则f 0 =0，f x 是周期为4的周期函数，则f 2020 =f 0 =0；当x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，则f 1 =-1×1-2 =1，则f 2019 =f -1+2020 =f -1 =-f 1 =-1，则f 2019 +f 2020 =-1；故B 正确．对于C ，当x ∈0，1 时，f x =-x x -2 ，此时有0<f x ≤1，又由f x 为R 上的奇函数，则x ∈-1，0 时，-1≤f x <0，f (0)=0，函数关于x =1对称，所以函数f x 的值域[-1，1]．故C 正确．对于D ，∵f (0)=0，且x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，∴x ∈[0,1],f (x )=-x (x -2)，∴x ∈[1,2],2-x ∈[0,1],f (x )=f (2-x )=-x (x -2)，∴x ∈[0,2],f (x )=-x (x -2)，∵f (x )是奇函数，∴x ∈[-2,0],f (x )=x (x +2)，∵f (x )的周期为4，∴x ∈[2,4],f (x )=(x -2)(x -4)，∴x ∈[4,6],f (x )=-(x -4)(x -6)，∴x ∈[6,2π],f (x )=(x -6)(x -8)，设g (x )=f (x )-cos x ，当x ∈[0,2],g (x )=-x 2+2x -cos x ，g ′(x )=-2x +2+sin x ，设h(x)=g′(x),h′(x)=-2+cos x<0在[0,2]恒成立，h(x)在[0,2]单调递减，即g′(x)在[0,2]单调递减，且g′(1)=sin1>0,g′(2)=-2+sin2<0，存在x0∈(1,2),g′(x0)=0，x∈(0,x0),g′(x)>0,g(x)单调递增，x∈(x0,2),g′(x)<0,g(x)单调递减，g(0)=-1,g(1)=1-cos1>0,g(x0)>g(1)>0,g(2)=-cos2>0，所以g(x)在(0,x0)有唯一零点，在(x0,2)没有零点，即x∈(0,2]，f x 的图象与曲线y=cos x有1个交点，当x∈2，4时，，g x =f x -cos x=x2-6x+8-cos x，则g′x =2x-6+sin x，h x =g′x =2x-6+sin x，则h′x =2+cos x>0，所以g′x 在2，4上单调递增，且g′3 =sin3>0,g′2 =-2+sin2<0，所以存在唯一的x1∈2，3⊂2，4，使得g′x =0，所以x∈2,x1，g′x <0，g x 在2,x1单调递减，x∈x1，4，g′x >0，g x 在x1，4单调递增，又g3 =-1-cos3<0，所以g x1<g(3)<0，又g2 =-cos2>0,g4 =-cos4>0，所以g x 在2,x1上有一个唯一的零点，在x1，4上有唯一的零点，所以当x∈2，4时，f x 的图象与曲线y=cos x有2个交点，，当x∈4，6时，同x∈[0,2]，f x 的图象与曲线y=cos x有1个交点，当x∈[6,2π],f(x)=(x-6)(x-8)<0,y=cos x>0，f x 的图象与曲线y=cos x没有交点，所以f x 的图象与曲线y=cos x在0,2π上有4个交点，故D正确；故选：BCD．20.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f2x+1的图像关于直线x=1对称，函数y=f x+1关于点1,0对称，则下列说法正确的是( )A.f1-x=f1+xB.f x 的周期为4C.f1 =0D.f x =f32-x【答案】AB【解析】f2x的图像关于直线x=32对称，f x 的图像关于x=3对称，又关于点2,0中心对称，所以周期为4，所以B正确而D错误；又f 3-x =f 3+x ，其中x 换x +1得f 2-x =f 4+x =f x ，再将x 换x +1得f 1-x =f 1+x ，但无法得到f (1)=0 所以A 正确C 错误.故选：AB .21.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f (x )及其导函数f (x )的定义域均为R ，记g (x )=f (x )，若f 32-2x ，g (2+x )均为偶函数，则( )A.f (0)=0B.g -12 =0C.f (-1)=f (4)D.g (-1)=g (2)【答案】BC【解析】[方法一]：对称性和周期性的关系研究对于f (x )，因为f 32-2x为偶函数，所以f 32-2x =f 32+2x 即f 32-x =f 32+x ①，所以f 3-x =f x ，所以f (x )关于x =32对称，则f (-1)=f (4)，故C 正确；对于g (x )，因为g (2+x )为偶函数，g (2+x )=g (2-x )，g (4-x )=g (x )，所以g (x )关于x =2对称，由①求导，和g (x )=f (x )，得f 32-x=f 32+x ⇔-f 32-x =f 32+x ⇔-g 32-x =g 32+x ，所以g 3-x +g x =0，所以g (x )关于32,0 对称，因为其定义域为R ，所以g 32=0，结合g (x )关于x =2对称，从而周期T =4×2-32 =2，所以g -12 =g 32 =0，g -1 =g 1 =-g 2 ，故B 正确，D 错误；若函数f (x )满足题设条件，则函数f (x )+C (C 为常数)也满足题设条件，所以无法确定f (x )的函数值，故A 错误.故选：BC .[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.由方法一知g (x )周期为2，关于x =2对称，故可设g x =cos πx ，则f x =1πsin πx +c ，显然A ，D 错误，选BC .故选：BC .[方法三]：因为f 32-2x，g (2+x )均为偶函数，所以f 32-2x =f 32+2x 即f 32-x =f 32+x ，g (2+x )=g (2-x )，所以f 3-x =f x ，g (4-x )=g (x )，则f (-1)=f (4)，故C 正确；函数f (x )，g (x )的图象分别关于直线x =32,x =2对称，又g (x )=f (x )，且函数f (x )可导，所以g 32 =0,g 3-x =-g x ，所以g (4-x )=g (x )=-g 3-x ，所以g (x +2)=-g (x +1)=g x ，所以g -12=g 32 =0，g -1 =g 1 =-g 2 ，故B 正确，D 错误；若函数f (x )满足题设条件，则函数f (x )+C (C 为常数)也满足题设条件，所以无法确定f (x )的函数值，故A 错误.故选：BC .【整体点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．22.(2023·全国·高三专题练习)定义f x 是y =f x 的导函数y =f x 的导函数，若方程f x =0有实数解x 0，则称点x 0,f x 0 为函数y =f x 的“拐点”.可以证明，任意三次函数f x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 都有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是其对称中心，请你根据这一结论判断下列命题，其中正确命题是( )A.存在有两个及两个以上对称中心的三次函数B.函数f x =x 3-3x 2-3x +5的对称中心也是函数y =tan π2x 的一个对称中心C.存在三次函数h x ，方程h x =0有实数解x 0，且点x 0,h x 0 为函数y =h x 的对称中心D.若函数g x =13x 3-12x 2-512，则g 12021+g 22021 +g 32021 +⋅⋅⋅+g 20202021 =-1010【答案】BCD【解析】对于A .设三次函数f x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 ，易知y =f x 是一次函数，∴任何三次函数只有一个对称中心，故A 不正确；对于B .由f x =x 3-3x 2-3x +5，得f x =3x 2-6x -3,f x =6x -6，由6x -6=0，得x =1，函数f x 的对称中心为1,0 ，又由π2x =k π2,k ∈Z ，得x =k ,k ∈Z ，∴f x 的对称中心是函数y =tan π2x 的一个对称中心，故B 正确；对于C .设三次函数h x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 ，所以h x =3ax 2+2bx +c ,h x =6ax +2b联立3ax 02+2bx 0+c =0,6ax 0+2b =0,得3ac -b 2=0，即当3ac -b 2=0时，存在三次函数h x ，方程h x =0有实数解x 0，且点x 0,h x 0 为函数y =h x 的对称中心，故C 正确.对于D .∵g x =13x 3-12x 2-512，∴g x =x 2-x ,g x =2x -1，令g x =2x -1=0，得x =12，∵g 12 =13×12 3-12×12 2-512=-12，∴函数g x =13x 3-12x 2-512的对称中心是12,-12，∴g x +g 1-x =-1，设T =g 12021+g 22021 +g 32021 +⋯+g 20202021 ，所以2T =g 12021 +g 20202021 +g 22021 +g 20192021 +⋯+g 20202021 +g 12021 =-2020所以g 12021 +g 22021 +g 32021+⋯+g 20202021 =-1010，故D 正确.故选:BCD .三、填空题23.(2023·全国·高三专题练习)设f x 的定义域为R ，且满足f 1-x =f 1+x ,f x +f -x =2，若f 1 =3，则f 1 +f 2 +f 3 +⋯+f 2022 f 2023 +f 2028 +f 2030=___________.【答案】2024【解析】因为f x +f -x =2,f 1 =3，所以f -1 =-1,f 0 =1,f 2 =f 0 =1，由f 1-x =f 1+x ，得f -x =f x +2 ,f x =f 2-x ，有f x +2 +f 2-x =2，可得f x +f 2-x -2 =2，有f x +f 4-x =2，又由f x +f -x =2，可得f 4-x =f -x ，可知函数f x 的周期为4，可得f 2023 =f -1 =-1,f 2028 =f 0 =1,f 2030 =f 2 =1，有f 2023 +f 2028 +f 2030 =1，因为f x +f -x =2,f 1 =3，所以f -1 =-1,f 0 =1由f 1-x =f 1+x 得f -x =f x +2 ，所以f x +f x +2 =2,f x +1 +f x +3 =2，即f x +f x +1 +f x +2 +f x +3 =4，所以f -1 +f 0 +f 1 +f 2 + f 3 +f 4 +⋯+f 2021 +f 2022 =4×506=2024所以f 1 +f 2 +f 3 +⋯+f 2022 =2024-f 0 -f -1 =2024-1--1 =2024.故f 1 +f 2 +f 3 +⋯+f 2022 f 2023 +f 2028 +f 2030 =2024.故答案为：202424.(2023·全国·高三专题练习)对于定义在D 上的函数f x ，点A m ,n 是f x 图像的一个对称中心的充要条件是：对任意x ∈D 都有f x +f 2m -x =2n ，判断函数f x =x 3+2x 2+3x +4的对称中心______.【答案】-23，7027【解析】因为f x =x 3+2x 2+3x +4，由于f x +f -23×2-x =x 3+2x 2+3x +4+-23×2-x 3+2-23×2-x 2+3-23×2-x +4=7027×2=14027.即m =-23，n =7027.所以-23，7027是f x =x 3+2x 2+3x +4的一个对称中心.故答案为：-23，7027 .25.(2023·全国·高三专题练习)对于三次函数f x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 ，现给出定义：设f x 是函数y =f x 的导数，f x 是f x 的导数，若方程f x =0有实数解x 0，则称点x 0，f x 0 为函数f x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g x =2x 3-3x 2+1，则g 1100+g 2100+⋯+g 99100 =____.【答案】4912【解析】依题意得，g x =6x 2-6x ,g x =12x -6，令g x =0，得x =12， ∵g 12 =12,∴函数g x 的对称中心为12,12，则g 1-x +g x =1，∵1100+99100=2100+98100=⋯=49100+51100=1，∴g 1100 +g 99100 =g 2100 +g 98100 =⋯=g 49100 +g 51100 =1∴g 1100 +g 2100+⋯+g 99100 =g 1100 +g 99100 +g 2100 +g 98100 +⋯+g 49100 +g 51100 +g 12=49+12=4912，故答案为4912.26.(2023·四川成都·成都七中校考模拟预测)已知S n 为数列a n 的前n 项和，数列a n 满足a 1=-2，且S n =32a n+n ，f x 是定义在R 上的奇函数，且满足f 2-x =f x ，则f a 2021 =______．【答案】0【解析】∵S n =32a n +n ，∴S n -1=32a n -1+n -1n ≥2 ，两式相减得，a n =32a n -32a n -1+1，即a n -1=3a n -1-1 ，∴a n -1a n -1-1=3，即数列a n -1 是以-3为首项，3为公比的等比数列，∴a n -1=-3⋅3n -1=-3n ，∴a n =-3n +1.∵f x 是定义在R 上的奇函数，且满足f 2-x =f x ，∴令x =2，则f 2 =f 0 =0，又f2-x=f x =-f(-x)，∴f(2+x)=-f(x)，∴f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=-[-f(-x)]=f(x)，即f(x+4)=f(x)，即f x 是以4为周期的周期函数.∵a2021=-32021+1=-4-12021+1=-C020*******⋅-10+C1202142020⋅-11+⋯+C2020202141⋅-12020+C2021202140⋅-12021+1=-C020*******⋅-10+C1202142020⋅-11+⋯+C2020202141⋅-12020+2其中C020*******⋅-10+C1202142020⋅-11+⋯+C2020202141⋅-12020能被4整除，∴f a2021=f-32021+1=f2 =0.故答案为：0．27.(2023·全国·高三专题练习)已知定义域为R的奇函数f x 满足f x+1=f3-x，当x∈0,2时，f x =-x2+4，则函数y=f x -a a∈R在区间-4,8上的零点个数最多时，所有零点之和为__________．【答案】14【解析】由于定义域为R的奇函数f x 满足f x+1=f3-x，∴f-x=-f x ，f x+4=f-x，∴f x+4=-f x ，∴f x+8=-f x+4=f x ，∴函数f x 为周期函数，且周期为8，当x∈0,2时，f x =-x2+4，函数y=f x -a a∈R在区间-4,8上的零点的个数，即为函数y=f x 与y=a 的交点的个数，作出函数 y=f x ,x∈-4,8上的函数的图象，显然，当a=0 时，交点最多，符合题意，此时，零点的和为-4+-2+0+2+4+6+8=14 .28.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f(x)满足f(x+3)=f(1-x)+9f(2)对任意x∈R恒成立，又函数f x +9 的图象关于点(-9,0)对称，且f (1)=2022，则f (45)=_________．【答案】-2022【解析】因为函数f (x )满足f (x +3)=f (1-x )+9f (2)对任意x ∈R 恒成立，所以令x =-1，即f (2)=f (2)+9f (2)，解得f (2)=0，所以f (x +3)=f (1-x )对任意x ∈R 恒成立，又函数f x +9 的图象关于点(-9,0)对称，将函数f x +9 向右平移9个单位得到f (x )，所以f (x )关于点(0,0)，即f (x )为R 上的奇函数，所以f (x )=-f -x ，又f (x +3)=f (1-x )对任意x ∈R 恒成立，令x =-x -3，得f (-x )=f (x +4)，即-f (x )=f (x +4)，再令x =x +4，得-f (x +4)=f (x +8)，分析得f (x )=f (x +8)，所以函数f (x )的周期为8，因为f (1)=2022，所以在f (x +3)=f (1-x )中，令x =0，得f (3)=f (1)=2022，所以f (45)=f 6×8-3 =f -3 =-f 3 =-2022.故答案为：-2022.29.(2023·全国·高三专题练习)已知f x 是定义在R 上的函数，若对任意x ∈R ，都有f (x +8)=f (x )+f (4)，且函数f (x -2)的图像关于直线x =2对称，f (2)=3，则f (2022)=_______.【答案】3【解析】因为函数f (x -2)的图像关于直线x =2对称，所以函数f (x )的图像关于直线x =0对称，即函数f x 是偶函数，则有f x =f -x ；因为对任意x ∈R ，都有f (x +8)=f (x )+f (4)，令x =-4，得f -4+8 =f -4 +f 4 ⇒f -4 =f 4 =0，所以对任意x ∈R ，都有f (x +8)=f (x )+f (4)=f x ，即函数f x 的周期为8，则f 2022 =f 252×8+6 =f 6 =f 6-8 =f -2 =f 2 =3，故答案为：3.30.(2023·全国·高三专题练习)已知定义在R 上的函数f (x )和函数g (x )满足2f (x )=g (x )-g (-x )，且对于任意x 都满足f (x )+f (-x -4)+5=0，则f (2021)+f (2019)=________．【答案】5050【解析】由题意知：f (x )定义域为R ，2f (-x )=g (-x )-g (x )，可得：f (x )+f (-x )=0，f (x )为奇函数，又f (-x -4)=-f (x )-5=-f (x +4)，则f (x +4)=f (x )+5，可得：f (2021)+f (2019)=f (1+4×505)+f (-1+4×505)=f (1)+5×505+f (-1)+5×505=5050.故答案为：5050．31.(2023·全国·高三专题练习)已知定义域为R 的奇函数f x ，当x >0时，有f x =-log 34-x ,0<x ≤54f x -3 ,x >54，则f 2 +f 4 +f 6 +⋅⋅⋅+f 2022 =______．【答案】0【解析】R上的奇函数f x ，则有f-x=-f(x)，而当x>0时，有f x =-log34-x,0<x≤5 4f x-3,x>5 4，于是有f(2)=f(-1)=-f(1)=1，f(4)=f(1)=-1，f(6)=f(3)=f(0)=0，因∀x>54，f(x)=f(x-3)，则有∀n∈N∗,f(6n-4)=f(2)=1,f(6n-2)=f(1)=-1，f(6n)=f(3)=0，所以f2 +f4 +f6 +⋅⋅⋅+f2022=337f2 +f4 +f6=0.故答案为：032.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =x3-3x2+9x+4，若f a =7,f b =15，则a+b=___________.【答案】2【解析】因为f x =3x2-6x+9，对称轴为x=1，所以f x 的对称中心为1,f1，即1，11，因为f x =3x2-6x+9=3(x-1)2+6>0，所以f x 在R上单调递增，所以方程f a =7,f b =15的解a,b均有且只有一个，因为f a +f b =2f1 =22，所以a,7,b,15关于对称中心1，11对称，所以a+b=2，故答案为：233.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x 的定义域为R，且f x 为奇函数，其图象关于直线x=2对称．当x∈0,4时，f x =x2-4x，则f2022=____.【答案】4【解析】∵f x 的图象关于直线x=2对称，∴f(-x)=f(x+4)，又f x 为奇函数，∴f(-x)=-f x ，故f(x+4)=-f x ，则f(x+8)=-f(x+4)=f x ，∴函数f x 的周期T=8，又∵2022=252×8+6，∴f2022= f6 =f(-2)=-f2 =-(4-8)=4.故答案为：4.34.(2023·全国·高三专题练习)若函数f(x)=1-x2x2+ax+b，a,b∈R的图象关于直线x=2对称，则a+b=_______．【答案】7【解析】由题意f(2+x)=f(2-x)，即f(x)=f(4-x)，所以f(0)=f(4)f(1)=f(3)，即b=-15(16+4a+b)0=-8(9+3a+b)，解得a=-8b=15，此时f(x)=(1-x2)(x2-8x+15)=-x4+8x3-14x2-8x+15，f(4-x)=-(4-x)4+8(4-x)3-14(4-x)2-8(4-x)+15=-(x4-16x3+96x2-256x+256)+8(64-48x+12x2-x3)-14(16-8x+x2)-32+8x+15= -x4+8x3-14x2-8x+15=f(x)，满足题意．所以a=-8,b=15，a+b=7．故答案为：7．35.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =3x-5x-2，g x =2x+22x-2+1，记f(x)与g(x)图像的交点横，纵坐标之和分别为m与n，则m-n的值为________.【答案】-2.【解析】f(x)=3x-5x-2=3+1x-2在(-∞,2)和(2,+∞)上都单调递减，且关于点(2,3)成中心对称，g(x)=2x+22x-2+1=4×2x-2+22x-2+1=4-22x-2+1在(-∞,+∞)上单调递增，g(4-x)+g(x)=4-222-x+1+4-22x-2+1=8-2(2x-2+1)+2(22-x+1)(22-x+1)(2x-2+1)=8-2(2x-2+22-x+2)2+2x-2+22-x=8-2=6，所以g(x)的图像也关于点(2,3)成中心对称，所以f(x)与g(x)图像有两个交点且关于点(2,3)对称，设这两个交点为(x1,y1)、(x2,y2)，则x1+x2=2×2=4，y1+y2=2×3=6，所以m=4，n=6，所以m-n=4-6=-2.故答案为：-2.。
高中函数的对称性(含练习题及解析)
【答案】5【分析】先根据①①可知函数的对称中心和对称轴，再分别画出()f x 和()g x 的部分图像，由图像观察交点的个数．【详解】根据题意，①(2)()0f x f x -+=，得函数()f x 的图像关于点()1,0对称，①(2)()0f x f x ---=，得函数()f x 的图像关于1x =-对称，则函数()f x 与()g x 在区间[3,3]-上的图像如图所示，由图可知()f x 与()g x 的图像在[]3,3-上有5个交点．由图知()f x 与()h x 的图象在区间()2,6-有四个交点，设交点横坐标分别为1234,,,x x x x ，且1422x x +=，2322x x +=，所以12348x x x x +++=，所以()f x 与()h x 的图象所有交点的横坐标之和为8， 3．定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x -=，且当1≥x 时()23,141log ,4x x f x x x -+≤<⎧=⎨-≥⎩，若对任意的[,1]x t t ∈+，不等式()()21f x f x t -≤++恒成立，则实数t 的最大值为（ ）A ．1-B ．23-C ．13-D ．13【答案】C 【分析】若对任意的[,1]x t t ∈+，不等式()()21f x f x t -≤++恒成立，即对[,1]x t t ∈+，不等式()()1f x f x +t ≤+恒成立，-1x x t ≥+，进而可得答案.【详解】当14x ≤<时，3y x =-+单调递减，()()241log 41f x f >=-=-，当4x ≥时，()f x 单调递减，()()41f x f ≥=-，故()f x 在[)1,+∞上单调递减，由()(2)f x f x -=，得()f x 的对称轴为1x =， 若对任意的[,1]x t t ∈+，不等式()()21f x f x t -≤++恒成立，即对[,1]x t t ∈+，不等式()()1f x f x +t ≤+恒成立，-1x x t ∴≥+，即()()221x x t -≥+，即()22110t x t ++-≤，()()()22211011321110t t t t t t t ⎧++-≤⎪⇒-≤≤-⎨+++-≤⎪⎩，故实数t 的最大值为13-. 4．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，(1)(1)f x f x +=-，当01x ≤≤时，()1xf x e =-，则23x ≤≤时，()f x 的解析式为（ ）6．已知函数()f x 满足对任意的x ∈R 都有11222⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x 成立，则 127...888f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝ ． 【答案】7 【解析】设，则，因为11222⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x ，所以，,故答案为7.7．已知函数21()ln |2|45f x x x x =---+，则使不等式(21)(2)f t f t +>+成立的实数t 的取值范围是___________.【答案】111(,)(,1)322⋃ 【分析】由函数解析式知函数()f x 的图象关于直线2x =对称，利用定义证得2x >时，函数()f x 是减函数，2x <时，函数为增函数，利用对称性和单调性解不等式即可.【详解】∵f(x)=1x 2−4x+5−ln |x −2|=1(x−2)2+1−ln |x −2|，21(2)ln ||1f t t t ∴-=-+，。
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函数的对称性专题练习试卷及解析1.2015年北京市西城区高三第一次模拟考试数学理科试题第8题已知抛物线和214y x =21516y x =-+所围成的封闭曲线如图所示，给定点(0,)A a ，若在此封闭曲线上恰有三对不同的点，满足每一对点关于点A 对称，则实数的取值a 范围是 ( )A. (1,3)B. (2,4)C. 3(,3)2 D. 5(,4)22.2012年天津市河北区高三第一次模拟数学理科试题第8题下图展示了一个由区间到实(0,1)数集的映射过R 程：如图1，在区间中数轴(0,1)上的点对应实M 数m ；如图2，将线段围成一AB 个圆，使两端点A 、B 恰好重合；如图3，将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在轴y 上，点A 的坐标为(0,1)，射线与轴交于AM x 点(,0)N n ．则n 就是m 的象，记作()f m n =．下列说法：① ()f x 的定义域为(0,1)，值域为R ； ②()f x 是奇函数；③ ()f x 在定义域上是单调函数； ④11()42f =； ⑤ ()f x 的图象关于点1(,0)2对称． 其中正确命题的序号是（ ）A. ②③⑤B. ①③⑤C. ①③④D. ③④⑤3.2015年皖北协作区高三年级联考数学文科试卷第9题 定义在上的函R 数的图像关于()f x 直线32x =对称，且对任意实数x 都有3()(),(1)1,(0)22f x f x f f =-+-==-，则(2013)(2014)(2015)f f f ++=（ ）A. 0B. 2-C. 1D. 24.2015年北京市朝阳区高三第一学期期末统一考试数学理科试题第14题 已知函数1sin ()()x xxf x x R πππ-=∈+，下列命题：①函数既有最大()f x 值又有最小值； ②函数的图象是()f x 轴对称图形；③函数在区间上()f x [,]ππ-共有7个零点； ④函数在区间上()f x (0,1)单调递增．其中真命题是______．（填写出所有真命题的序号）5.2013年湖北省武汉二中高二下学期期中考试理科数学试题第15题已知定义在上R 的函数满足：222,[0,1)()2,[1,0)x x f x x x ⎧+∈=⎨-∈-⎩，且(2)()f x f x +=，25()2x g x x +=+，则方程在区间()()f x g x =[8,3]-上的所有实根之和为________．6.2012年广东省肇庆市封开县南丰中学高三复习测试D 数学试题第15题已知函数()()5sin 2f x x φ=+，若对任意x R ∈，都有()()f x f x αα+=-，则_____4f a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭7.2015年广东省江门市普通高中高三调研测试理科数学试题第21题 已知函数32()1f x x ax =+-（a R ∈是常数）．(1)设3a =-，1x x =、2x x =是函数的极值()y f x =点，试证明曲线关()y f x =于点1212(,())22x x x xM f ++对称； (2)是否存在常数a ，使得[1,5]x ∀∈-，|()|33f x ≤恒成立？若存在，求常数的值或取值范围；若不存在，请说明理由．（注：，对于曲线上任()y f x =意一点P ，若点关于的对P M 称点为Q ，则Q 在曲线()y f x =上．）8.2014年高中数学全国各省市理科导数精选22道大题练习题第19题 已知函数的图(),xf x e x R =∈象与的图象关()g x 于直线y x =对称.(1)若直线与的图1y kx =+()g x 像相切, 求实数k 的值； (2)判断曲线与曲()y f x =线公共点的个2112y x x =++数. (3)设a b <，比较与的大小()()2f a f b +()()f b f a b a--，并说明理由.9.2013年上海市虹口区高考一模数学试卷第23题如果函数的定()y f x =义域为R ，对于定义域内的任意x ，存在实数使得a ()()f x a f x +=-成立，则称此函数具有“()P a 性质”．(1)判断函数是否sin y x =具有“()P a 性质”，若具有“()P a 性质”求出所有的值；若不具有“()P a 性质”，请说明理由．(2)已知()y f x =具有“(0)P 性质”，且当0x ≤时2()()f x x m =+，求在上的最大()y f x =[0,;1]amp 值．(3)设函数()y g x =具有“(1)P ±性质”，且当1122x -≤≤时，()g x x =．若与交点个数()y g x =y mx =为2013个，求m 的值．答案和解析1.2015年北京市西城区高三第一次模拟考试数学理科试题第8题 答案：D分析：转化为方程有解问题求解，由选项可知实数的最大取值a 范围是(1,4)，则必有一对关于轴对称的点y 满足；联立214y x =和21516y x =-+，解得4x =或4-，则另外一对是抛物线214y x =，(4,0)x ∈-上的一点和21516y x =-+，(0,4)x ∈，再将这两点关于y 轴对称，共3对，设 20001(,),(4,0)4P x x x ∈-，则点关于点的P A 对称点2001(,2)4Q x a x --在21516y x =-+，(0,4)x ∈上，所以22200011325,25(5,8)41616a x x a x -=-+=+∈，则5(,4)2a ∈，故选D .2.2012年天津市河北区高三第一次模拟数学理科试题第8题 答案：B 分析：3.2015年皖北协作区高三年级联考数学文科试卷第9题 答案：A分析：由3()()2f x f x =-+得3()()2f x f x +=-， 即3(3)()()2f x f x f x +=-+=， 即函数的周期是3， 则(2013)(2014)(2015)(6713)(67131)(67132)f f f f f f ++=⨯+⨯++⨯+(0)(1)(2)f f f =++，因为函数的图象关于直线对32x =称， 所以33()()22f x f x +=-， 则3131()()2222f f +=-， 则(2)(1)f f =，因为(2)(23)(1)1f f f =-=-=，所以(0)(1)(2)(0)2(2)220f f f f f ++=+=-+=， 故(2013)(2014)(2015)0f f f ++=， 故选A ．4.2015年北京市朝阳区高三第一学期期末统一考试数学理科试题第14题 答案：①②③分析：设11()sin ,()g x x h x πππππ-==+，则且为周期函()[1,1]g x ∈-()g x 数，()h x ∈，当且仅当12x =时，()h x ，且当x →-∞或x →+∞时，()0h x →，则在平面直角坐标系内作出()()()f x g x h x =⋅的图像如图所示，由图易得既有()f x 最大值又有最小值，①正确；111(1)11sin sin (1)sin sin ()(1)0x x x xf x f x ππππππππππππππππππππ---------=-=-=++++，所以是以为对()f x 12x =称轴的周对称图形，②正确； 由①得不存在零点11()x xh x ππ-=+，则的零点即为()sin g x x π=()f x 的零点，因为在内有个()sin g x x π=[,]ππ-7零点，所以在内有个()f x [,]ππ-7零点，③正确； 由图象易得在()f x (0,1)上不单调，④错误，综上所述，真命题的序号为①②③．5.2013年湖北省武汉二中高二下学期期中考试理科数学试题第15题 答案：11-分析：由可知函数周(2)()f x f x +=()f x 期为2，作出两函数图象如下，观察图像可知两函数有个交5点，其中一个为3-，另外个关于点4(2,2)-对称，所以所有交点横坐标之和为222(3)11-⨯⨯+-=-．6.2012年广东省肇庆市封开县南丰中学高三复习测试D 数学试题第15题 答案：0 分析：7.2015年广东省江门市普通高中高三调研测试理科数学试题第21题 答案：见解析分析：(1)32()31f x x x =--，2()36f x x x '=-解()0f x '=得10x =，22x =，1212(,())22x x x xM f ++即(1,3)M - 曲线上任意一()y f x =点关于对称的32000(,31)P x x x --M 点为32000(2,35)Q x x x --+-直接计算知，323200000(2)(2)3(2)135f x x x x x -=----=-+-，点Q 在曲线()y f x =上，所以，曲线关于点对()y f x =M 称(2)|()|33f x ≤即32|1|33x ax +-≤，3233133x ax -≤+-≤0x =时，不等式恒成立；0x ≠时，不等式等价于33223234x x a x x+--≤≤ 作31223232()x g x x x x +=-=--，32223434()x g x x x x -==-+，1364()1g x x '=-+，2368()1g x x'=--，解1()0g x '=、2()0g x '=得14x =、2x =1(1)31g -=-，1(4)6g =-，31232()x g x x +=-在的最大值为[1,0)(0,5]-⋃6-；2(1)35g -=，291(5)25g =-，32234()x g x x -=在的最小值为[1,0)(0,5]-⋃9125- 综上所述，a 的取值范围为91[6,]25--8.2014年高中数学全国各省市理科导数精选22道大题练习题第19题 答案：见解析分析：(1)由题意知()ln g x x =，设直线与相切1y kx =+()ln g x x =与点00(,)P x y ，则 00220001ln ,1()kx x x e k e k g x x-+=⎧⎪⇒==⎨'==⎪⎩.∴2k e -=(2)证明曲线与曲()y f x =线有唯一公共2112y x x =++点，过程如下. 令2211()()11,22x h x f x x x e x x x R =---=---∈， 则()1,()xh x e x h x ''=--的导数()1xh x e ''=-且(0)0,(0)0,(0)0h h h '''=== 当0x <时，()0()h x y h x '''<⇒=单调递减，当 0x >时，()0()h x y h x '''>⇒=单调递增.()(0)0y h x h ''⇒=≥=， 所以在上单调()y h x =R 递增，最多有一个零点0x = ∴曲线与曲线只()y f x =2112y x x =++有唯一公共点(0,1). (3) 解法一：∵()()()()(2)()(2)()22()f a f b f b f a b a f a b a f b b a b a +--+⋅+--⋅-=-⋅-(2)(2)(2)(2)2()2()a b b a ab a e b a e b a b a e e b a b a --+⋅+--⋅-++--⋅==⋅⋅-⋅-令()2(2),0xg x x x e x =++-⋅>，则()1(12)1(1)xxg x x e x e '=++-⋅=+-⋅.()g x '的导函数()(11)0x x g x x e x e ''=+-⋅=⋅>，且(0)0g '=，因此()0g x '>，()g x 在上单调递增(0,)+∞，而(0)0g =∴在(0,)+∞上()0g x >，∴(2)(2)02()b a ab a b a e e b a --++--⋅⋅>⋅- ∴当a b <时，()()()()2f a f b f b f a b a+->- 解法二： ()()()()()()2()22()a b b a f a f b f b f a b a e e e e b a b a +--⋅+-⋅--=-⋅-以b 为主元，并将其视为x ，构造函数()()()2()()xaxah x x a e e e e x a =-⋅+-⋅->，则()(1)x a h x x a e e '=--⋅+，且()0h a '=∵()()xh x x a e ''=-⋅且0x a ->，∴()h x '在上单调递增(,)a +∞，∴当x a >时，∴()h x 在上单调递增(,)a +∞， ∴当x a >时，()()0h x h a >= ∴当a b <时，()()()()2f a f b f b f a b a+->-9.2013年上海市虹口区高考一模数学试卷第23题 答案：见解析分析：(1)由sin()sin()x a x +=-得sin()sin x a x +=-，根据诱导公式得2()a k k Z ππ=+∈．∴sin y x =具有“()P a 性质”，其中2()a k k Z ππ=+∈．(2)∵()y f x =具有“(0)P 性质”，∴()()f x f x =- ．设0x ≥，则0x -≤，∴22()()()()f x f x x m x m =-=-+=-22()0()()0x m x f x x m x ⎧+≤=⎨-≥⎩， 当0m ≤时，∵ ()y f x =在[0,1]递增，∴ 1x =时2max (1)y m =-，当102m <<时，∵ ()y f x =在[0,]m 上递减，在[,1]m 上递增，且22(0)(1)(1)f m f m =<=-，∴1x =时2max (1)y m =-， 当12m ≥时，∵()y f x = 在[0,]m 上递减，在[,1]m 上递增，且22(0)(1)(1)f m f m =≥=-，∴0x = 时2max y m =综上所述： 当12m <时， 2max (1)(1)y f m ==-；当12m ≥时，2max (0)y f m ==. (3)∵()y g x =具有“(1)P ±性质”， ∴(1)(),(1)()g x g x g x g x +=--+=-，∴(2)(11)(1)()g x g x g x g x +=++=--=，从而得到是以()y g x =2为周期的函数．又设1322x ≤≤，则11122x -≤-≤， ()(2)(11)(1)11(1)g x g x g x g x x x g x =-=-+-=-+=-+=-=-． 再设11()22n x n n z -≤≤+∈， 当112(),2222n k k z k x k =∈-≤≤+则11222x k -≤-≤， ()(2)2g x g x k x k x n =-=-=-；当21()n k k z =+∈，11212122k x k +-≤≤++则13222x k ≤-≤， ()(2)21g x g x k x k x n =-=--=-； ∴对于，11()22n x n n z -≤≤+∈，都有()g x x n =-， 而11111,(1)(1)(1)()22n x n g x x n x n g x +-≤+≤++∴+=+-+=-=，∴()y g x =是周期为的函1数．①0m >时，要使得与有个y mx =()y g x =2013交点，只要与在有一y mx =()y g x =[1006,;1007]amp 个交点．∴ y mx =过20131(,;)22amp ，从而得12013m = ②当0m <时，同理可得12013m =- ③当0m =时，不合题意． 综上所述12013m =±.。