高等数学 不定积分及换元法
高等数学-不定积分及换元法
（使用了三角函数恒等变形）
解（二）
cscxdx
1 dx sinx
ssiinn2xxdx
1
1co2sxd(cox)s u cx os
11u2 du
1 1u2
1( 1 1 ) 21u 1u
1 2(1 1udu 1 1ud)u12l
n1uC 1u
1ln1coxsC. 2 1coxs
类似地可推出 se xc d ln s xe x t ca x n C .
1 sin2
xcos12
xdx
(csc 2 tan x
x sec2x)dx cot x C
csc2xsec2xdx
cotxtanxC
◆在括号中填入适当的函数，使等式成立
(1) d(5x )5dx
(2) d( l n x )1dx x
1 (3) d(arctanx )1x2dx
(4 ) d (1 sin 2 x )co 2 xsdx
2
3.2、换元积分法
我们有 sinxdxcosxC公式
sin5x dx该复合函数不能直接积分
形式不一致
被积函数 sin5x 不能变，变积分变量 dx凑成d(5x)形式
dx 1 d(5x)
si5 nxdx1 5s5 i5 nxd (5x) 令u5x 151sicnuods5uxC15cosuC
5
1
解 设曲线方程为yf(x), 根据题意知 dy 2 x,
dx
2xd x x 2C , f(x)x2C,
由曲线通过点（2，5）代入上式，得 c1,
所求曲线方程为 yx21.
函数f (x) 的原函数的图形称为f (x) 的积分曲线
显然，求不定积分得到一积分曲线族.
不定积分的换元积分法
不定积分的换元积分法一、引言在微积分中，不定积分是求导运算的逆运算。
通过不定积分，我们可以求得函数的原函数，进而解决各种实际问题。
换元积分法是求不定积分时常用的一种技巧，能够将复杂的积分转化为简单的积分，从而简化计算过程。
本文将详细介绍不定积分的换元积分法的原理、应用以及一些常见的例题。
二、换元积分法的原理换元积分法是基于复合函数求导链式法则的一个推广。
通过引入一个新的变量，可以将原函数转化为一个复合函数的积分。
具体步骤如下：1. 选择一个适当的变量代换，将被积函数中的自变量用新的变量表示。
2. 计算这个变量代换的导数，得到被积函数中关于新变量的导数形式。
3. 将原函数转化为一个关于新变量的积分，这样可以化简计算。
4. 完成积分后，将新变量用原来的自变量表示，得到最终结果。
三、换元积分法的应用换元积分法在解决复杂积分问题时非常有效。
它常用于以下几种情况：1. 当被积函数中存在复杂的指数函数、三角函数等时，可以通过选择适当的代换变量将其转化为简单的形式。
2. 对于具有根式形式的被积函数，通过适当的变换将其转化为有理函数形式，从而进行计算。
3. 当被积函数中存在分式或有理函数时，可以通过合理的代换将其转化为多项式形式，将计算变得更加简单。
四、例题分析以下是几个通过换元积分法求解的例题：1. 计算不定积分∫(3x^2+2x+1)dx。
首先可以将被积函数中的自变量x用一个新的变量u代替，即令u=3x^2+2x+1。
然后计算出这个变量代换的导数du=6xdx+2dx=6xdx+2。
最后将原函数转化为关于u的积分，即∫du。
完成积分后，将u用原来的自变量x表示即可得到结果。
2. 计算不定积分∫(x^3+1)^(1/2)xdx。
对于这个被积函数，可以选取u=x^3+1进行变量代换。
然后计算出du=3x^2dx。
将原函数转化为关于u的积分，即∫(u^(1/2)/3)du。
完成积分后，将u用原来的自变量x表示即可得到结果。
基本的3种不定积分方法
基本的3种不定积分方法不定积分是微积分中的一个重要概念，它是求解函数原函数的过程。
在求不定积分时，通常会遇到各式各样的函数形式，因此需要运用不同的方法来求解。
在本文中，将介绍基本的三种不定积分方法：代入法、分部积分法和换元法。
1.代入法：代入法是一种简单而常用的不定积分方法，它适用于特定的函数形式。
当被积函数是一个复合函数的时候，可以通过代入法来求积分。
具体来说，就是将整个或部分被积函数进行代入。
举个例子，如果要求解函数f(x)=2x^3的不定积分∫f(x)dx，可以通过代入法进行计算。
将x^3看作一个整体，令u=x^3，那么f(x)可以写成f(u)=2u。
所以∫f(x)dx=∫2udx=2∫udx=2∫dx^3=(2/4)x^4+C=x^4/2+C。
2.分部积分法：分部积分法是求解一些函数积分时常用的方法。
它基于求导法则d(uv)/dx=u(dv/dx)+v(du/dx)的逆过程。
根据此法则，可以将一个积分转化为一个简化的形式。
具体的计算步骤如下：步骤1：将被积函数f(x)表示为两个函数的乘积，即f(x)=u(x)v'(x)。
步骤2：计算出u(x)的导数du/dx和v(x)的不定积分∫v'(x)dx。
步骤3：将上述结果带入分部积分公式∫f(x)dx=uv-∫v(x)du/dx中，即∫f(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)du/dx。
举个例子，如果要求解函数f(x)=xln(x)的不定积分∫f(x)dx，可以通过分部积分法来计算。
将f(x)表示为f(x)=ln(x)×x，令u=ln(x)，v'=x，则du/dx=1/x，∫v'(x)dx=∫xdx=(1/2)x^2、将上述结果带入分部积分公式∫f(x)dx=uv-∫v(x)du/dx中，得到∫f(x)dx=xln(x)-(1/2)x^2+C。
3.换元法：换元法是不定积分中常用的一种方法，它通过引入一个新的变量来简化被积函数的形式。
不定积分求解方法换元法
不定积分求解方法换元法一、基本思想换元法的基本思想是通过引入一个新的变量，使被积函数中的一部分可以化简为对新变量的导数形式。
这样可以将原函数转化为一个更简单的函数，然后再进行积分。
二、具体步骤1.选择合适的变量代换。
在进行变量代换时，可以根据问题的特点和被积函数的形式灵活选择。
常用的变量代换有：（1）令u=f(x)代替被积函数中的一部分。
（2）令u=g(x)代替被积函数的整体。
（3）令x=h(u)代替被积函数中的一部分。
2.求解变量代换的导数和逆变换。
求解变量代换的导数是为了将原函数的微元dx转化为新的变量的微元du。
而逆变换是为了将积分结果转化为原函数形式。
3.将被积函数转化为新变量的导数形式。
将原函数中的dx全部用du表示，然后将被积函数进行替换，得到新变量的导数形式。
4.进行积分。
将被积函数转化为新变量的导数形式之后，进行积分即可。
此时的积分可能会更加简单，容易求解。
5.最后进行逆变换。
将得到的积分结果重新转化为原函数形式，即完成了不定积分的求解。
三、实例应用下面通过几个实例来具体说明换元法的应用。
例1. 计算不定积分∫(x^2+1)√x dx。
解：首先令u = x^(3/2)，则du = (3/2)x^(1/2)dx。
将被积函数进行替换，得到∫(u-1)du。
再进行积分，得到u^2/2-u+C。
最后进行逆变换，得到(x^(3/2))^2/2-x^(3/2)+C=x^3/4/2-x^3/2+C。
例2. 计算不定积分∫(e^x/(1+e^x))dx。
解：将分母1+e^x视为u，即u=1+e^x，则du = e^xdx。
将被积函数进行替换，得到∫du/u。
再进行积分，得到ln，u， + C。
最后进行逆变换，得到ln，1+e^x， + C。
例3. 计算不定积分∫(sinx)/(1+cos^2x)dx。
解：将分母1+cos^2x视为u，即u=1+cos^2x，则du = -2cosxsinxdx。
基本的3种不定积分方法
基本的3种不定积分方法基本的三种不定积分方法是：代入法、分部积分法和换元法。
这些方法都用于求解函数的不定积分，即求函数的原函数。
1.代入法：代入法是基本的一种不定积分方法。
它通过选取适当的变量代换，将被积函数转化为更容易求解的形式。
首先，通过观察被积函数的形式，选取一个变量代换来简化函数。
例如，如果被积函数中有一个较为复杂的根式，我们可以选取一个新的变量，使得根式可以被表示为新变量的幂函数。
然后对新变量进行求导和求逆，并用新变量替代原变量进行积分。
举个例子，如果我们计算不定积分∫(x/(1+x²)) dx，我们可以选取u=1+x²，使得被积函数可以表示为 du/dx。
然后我们对等式两边同时求导，得到 du=2xdx，进而得到∫(x/(1+x²)) dx = ∫(1/u) du。
通过代入法，我们将原来的被积函数转化为了一个更简单的函数进行积分。
2.分部积分法：分部积分法是另一种常用的求不定积分的方法。
它是导数乘积的逆运算，通过将一个积分分解为两个函数的乘积，以便其中一个函数的导数形式可以被简化。
分部积分法的公式为∫(u dv) = uv - ∫(v du)。
其中 u 和 v 分别为两个待定函数，du 和 dv 分别为其导数。
具体应用分部积分法时，我们首先选择一个函数 u 作为被积函数的导数，然后选取另一个函数 dv，使得 dv 尽可能简单。
然后我们计算出u 的导数 du 和 v 的不定积分。
例如，对于不定积分∫(x sinx) dx，我们可以选取 u=x，dv=sinx。
然后计算出 du=dx 和v=∫sinx dx=-cosx。
最后根据分部积分法公式，我们得到∫(x sinx) dx = -xcosx + ∫cosx dx = -xcosx + sinx + C。
通过分部积分法，我们将原来的被积函数分解为两个函数的乘积，以便其中一个函数可以更容易地被积分。
3.换元法：换元法是一种常用的不定积分方法。
关于不定积分计算的总结
关于不定积分计算的总结不定积分是微积分中的重要内容，是求函数的原函数或者反函数的一种方法。
在不定积分的计算中，我们常常使用的有基本积分公式、换元法、分部积分法等方法。
下面是对不定积分计算的总结以及一些常用的技巧和注意事项。
1.基本积分公式在不定积分的计算中，经常用到一些基本积分公式，如常数积分公式、幂函数积分公式、三角函数积分公式、指数函数积分公式等。
熟练掌握这些基本积分公式对于不定积分的计算是非常有帮助的。
2.换元法换元法是不定积分计算中最常用的一种方法。
当不定积分中的被积函数是合成函数时，我们可以通过换元法将其转化为一个简单的积分。
常见的换元法包括代数换元法和三角换元法。
代数换元法指的是将一个复杂的函数使用一个变量替换，使得原函数化为一个简单函数的不定积分。
例如，当我们遇到形如∫f(ax+b)dx时，我们可以令u=ax+b，然后通过求导得到dx=du/a，从而将原函数化为∫f(u)du/a。
三角换元法指的是将一个复杂的函数使用三角函数替换，通过使用三角函数的性质来简化计算。
例如，当我们遇到形如∫f(x)√(a^2-x^2)dx 时，我们可以令x=a*sin(u)，然后通过三角函数的关系式sin^2(u)+cos^2(u)=1得到√(a^2-x^2)=a*cos(u)，从而将原函数化为∫f(a*sin(u))*a*cos(u)du。
3.分部积分法分部积分法是不定积分中的另一种常用方法。
当不定积分中的被积函数是一个积的形式时，我们可以通过分部积分法将其转化为一个简单的积分。
分部积分法的公式为∫u*dv = u*v - ∫v*du，其中u和v分别是原函数中的两个因子。
通过不断应用这个公式，我们可以将原函数逐步化简。
4.求解特殊函数在不定积分的计算中，我们常常会遇到一些特殊的函数，例如指数函数、对数函数和三角函数的混合函数等。
对于这些特殊函数，我们需要掌握它们的一些特殊性质和积分公式。
例如，指数函数e^x、对数函数ln(x)以及三角函数sin(x)和cos(x)的不定积分公式。
不定积分求解方法
不定积分求解方法不定积分是微积分中的一个重要概念，它是定积分的反运算。
在实际问题中，我们常常需要对某些函数进行不定积分求解，以便得到函数的原函数表达式。
下面，我将介绍几种常见的不定积分求解方法，希望能够对大家有所帮助。
一、换元法。
换元法是不定积分中常用的一种方法。
当被积函数中含有复杂的函数形式时，可以通过引入新的变量来简化积分。
具体步骤如下：1. 选择合适的代换变量，通常选择被积函数中的一部分作为代换变量。
2. 对代换变量进行求导，得到微分形式。
3. 将原函数中的变量用代换变量表示，并将被积函数中的原函数用代换变量表示。
4. 进行变量代换，将原不定积分转化为新的不定积分。
5. 求解新的不定积分，得到结果后，将代换变量重新换回原来的变量。
二、分部积分法。
分部积分法是求解不定积分中常用的另一种方法。
当被积函数为两个函数的乘积形式时，可以通过分部积分法将原不定积分转化为另一个不定积分，从而简化求解过程。
具体步骤如下：1. 选择一个函数作为u，选择另一个函数的导数作为dv。
2. 对u进行求导，得到du；对dv进行不定积分，得到v。
3. 将原函数中的乘积形式表示为uv的形式。
4. 使用分部积分公式进行求解，得到结果。
三、有理函数的不定积分。
对于有理函数的不定积分求解，可以通过分解成部分分式的形式，将原函数表示为几个简单函数的和的形式，从而进行逐个求解。
具体步骤如下：1. 对有理函数进行因式分解，将其表示为几个一次或二次多项式的和的形式。
2. 对每一个简单函数进行不定积分求解，得到结果。
3. 将每个简单函数的不定积分结果相加，得到原有理函数的不定积分结果。
四、倒代换法。
倒代换法是一种特殊的不定积分求解方法，适用于一些特殊形式的不定积分。
具体步骤如下：1. 选择合适的代换变量，通常选择被积函数中的一部分作为代换变量。
2. 对代换变量进行求导，得到微分形式。
3. 将原函数中的变量用代换变量表示，并将被积函数中的原函数用代换变量表示。
医学高等数学课件 第3-1不定积分的第二类换元、分部积分法
一、第二类换元积分法 二、分部积分法
一、第二类换元积分法
第一类换元法解决的问题
f [(x)](x)dx f (u)d u u (x)
难求
易求
若若所所求求积积分分 ff(u(x)d)dux难难求求，，作变量替换 x (t)
代入原式中有f [(x)](x)dx 易求,
∴ 原式= sin x d e x
ex sin x ex cos x dx
再令 u cos x , v ex , 则
ex sin x ex cos x ex sin x dx
故
原式 =
1 2
e
x
(sin
x
cos
x)
C
说明: 也可设
为三角函数 , 但两次所设类型
必须一致 .
解题技巧:
x
x
1 x
dx
x ln x x C
例6.求
解: 令 u arcsin x , dv dx , 则
原式 = x arcsin x
x dx
1 x2
x arcsin x
1 2
1 d(1x2 ) 1 x2
x arcsin x 1 x2 C
2、当被积函数由三个及以上函数的乘积组成时， 则首先要通过适当的恒等变换，将其化成两个函 数乘积的形式，再用分部积分公式求解
a2
1
cos 2
2t
d
t
a2
t sin 2t C
24
sin 2t 2sin t cost 2 x a2 x2 aa
a2 arcsin x 1 x a2 x2 C
2
a2
公式1： a2 x2 dx a2 arcsin x x a2 x2 C (a 0)
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(13) sec x tan xdx sec x C (14) csc x cot xdx csc x C
3.2 不定积分的计算
◆不定积分的计算方法 直接积分法、换元积分法、分部积分法 第一类换元积分法 第二类换元积分法
一、直接积分法
例题：
(1)
dx
(2) x2 xdx 不能漏写
cos 2x
dx sin2 x cos2 x
练习：
cos2
1 x sin
2
dx x
解 原式
cos2 x sin2 x sin2 x cos2 x dx
cos2 x sin
cos2 x sin2
2 xdx x
1 sin 2
x
1 cos2
x
dx
(csc2 tan x
x cot
sec2 x)dx xC
高等数学
第三章 不定积分
不定积分的概念与性质
不定积分的计算
2020/6/3
3.1 不定积分的概念与性质
一、原函数 二 原函数与不定积分的概念 三 不定积分的性质 四 基本积分表
一、原函数的概念
引例：已知物体的运动方程为 s s(t),则物体
运动的即时速度为 v(t) s(t);如果已知物体的
x 1
C
(8)
1 dx arcsin x C 1 x2 arccos x C
(9) sin xdx cos x C
(10) cos xdx sin x C
(4)
1 x
dx
ln
x
C
(11) sec2 xdx tan x C (12) csc2 xdx cot x C
(5) exdx ex C (6) axdx ax C
2）如果 F(x) G(x) f (x，) 则 F(x) G(x) C（常数。）
结论：如果函数 f (x) 在区间 I 内有原函数F(x) ，则 f (x)
有无穷多个原函数，且所有的原函数可用式子F(x) C 表示。
◆原函数存在的充分条件
如果函数f(x)在区间I内连续，则函数f(x)在该区间内 一定有原函数。
验证积分的方法：积分后的结果求导看是否等于被积函数
例 题 1、求
1 dx
1 x2
解 由于 (arctan x) ' 1 , 1 x2
所以 arctan x是 1 的一个原函数， 1 x2
故
dx
1 x2 arctan x C
2、求
1dx x
解 因为 ln | x | 1
x
所以
1 x
dx
ln
|
x
|
C,
(x 0).
三、不定积分的性质
由不定积分的定义，可知
d
1、
dx
f (x)dx
f (x),
d[ f ( x)dx] f ( x)dx,
2、 F( x)dx F( x) C, 或 dF ( x) F ( x) C.
结论：微分运算与积分的运算是互逆的.
3. kf ( x)dx k f ( x)dx (k 0)
4.[ f ( x) g( x)]dx f ( x)dx g( x)dx
设曲线通过点（2，5），且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的两倍，求此曲线方程.
解 设曲线方程为y f ( x), 根据题意知 dy 2x,
dx
2xdx x2 C, f ( x) x2 C,
由曲线通过点（2，5）代入上式，得 c 1,
速度方程为 v v(t),则物体运动的位移如何计
算呢?
? v(t)
例 设曲线通过点（2，5），且其上任一点处的切 线斜率等于该点横坐标的两倍，求此曲线方程.
解 设曲线方程为 y f ( x), 根据题意知 dy 2x,
dx
1、定义 如果在区间 I 内的每一点处,有 F(x) f (x)
5
积分常数
x3 x3dx x31 C
3 1
1 C
2x2
x 2 dx
5 1
x2 C
2
x
7 2
C
5 2
1
7
(3)、2xe xdx
原式
(2e)xdx (2e)x ln( 2e )
C
2xex C ln 2 1
3
1
5
(5) [
3sin x]dx
2(1 x2 ) 3 1 x2 x
或 dF(x) f (x)dx, 则称 F(x) 是 f (x) 在区间 I 内的
一个原函数。
例如:因为 sin x cos x x R
所以 sin x 是 cos x 在 , 内的一个原函数.
问题： (1)原函数是否唯一？
(2)若不唯一它们之间有什么关系?
2、原函数的性质
1）如果有 F(x) f (x)，则 F (x) C f (x)
所求曲线方程为 y x2 1.
函数f ( x) 的原函数的图形称为f ( x) 的积分曲线
显然，求不定积分得到一积分曲线族.
.
◆基本积分表 P94
1
(7) 1 x2
dx
arctan x C arccot x C
(1) 0dx C
(2) kdx kx C
(3) x dx
1
1
( 1)
csc2 x sec2 x dx
cot x tan x C
◆在括号中填入适当的函数，使等式成立
(1) d( 5x ) 5dx
二、不定积分的概念
函数f(x)在区间I内的所有的原函数构成的集合，称
为函数
f(x)在区间I内的不定积分，记作
。
f (x)dx
即
f ( x)dx F( x) C f (x)为被积函数
积 分 号
被积 积分 表变 达量
式
任 意 常 数
注：鉴于原函数不唯一，积分方法不同得到的原函数 形式不一定相同，只要相差一个常数即可。
3 2
1 1 x2
dx
1 3
1
1
x
2
dx5Biblioteka 1dx x3sin
xdx
3 arctan x 1 arcsin x
2
3
5ln | x |3cos x
C
(sin x 3 1 )dx 2 cos2 x sin2 x
1 cos x 3 tan x cot x C 2
[x2 ( 2)x 2]dx 3x 1 x3 1 (2)x 2ln | x | C 3 ln 2 ln 3 3
x4
(6)
dx 1 x2
x4 11
dx 1 x2
(x2 1)(x2 1) 1
1 x2
dx
(x2
1
1 1 x2
)dx
x2dx
dx
1 dx
1 x2
1 x3 x arctan x C 3
(7) tan 2 xdx
(sec2 x 1)dx
sec2 xdx dx
tan x x C