概率统计A(A卷)2010-2011答案
南 京 林 业 大 学 试 卷 答 案
课程 概率论与数理统计A （A 卷） 2010~2011学年第 2 学期
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1. 设随机事件A 与B 互不相容，且0)(>A P ,0)(>B P ,则 ( B )
A. 0)(>B A P
B.0)(=A B P
C. )()(A P B A P =
D. )()()(B P A P AB P = 2. 设下列函数的定义域均为),(+∞-∞，则其中可作为概率密度的是( B )
A. x
e x
f =)( B. x
e x
f -=
2
1)( C. x e x f -=)( D. x e x f -=)( 3. 已知随机变量X 的概率密度为=)(x f ??
???<<, ,0,
42,21
其他x 则=)(X E ( B )
A. 6
B. 3
C.
2
1
D. 1 4. 设随机变量n Z ～),(p n B ，,,2,1 =n 其中10<
=??
????????≤--∞
→x p np np Z P n n )1(lim ( B ) A.
2
2
e
21t x
-
?
πdt B.
2
2e
21t x
-
∞
-?πdt
C.
2
2e
21t -
∞
-?
π
dt D.
2
2e
21t -
∞
+∞
-?
π
dt
5. 在一元线性回归分析中，通过对样本观测值计算得
6.1=x ，3=y ，?3b
=， 则y 关于x 的线性回归方程为(B)
A. )6.1(33-=+x y
B. )6.1(33-=-x y
C. )6.1(33+=-x y
D. )6.1(33+=+x y
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1. 设随机事件A 与B 相互独立，且31)()(=
=B P A P ，则=)(B A P 9
5
. 2. 设随机变量Y X ,互相独立,且X 服从正态分布)4,0(N ,Y 服从正态分布)9,0(N ,则随机变
量2
22Y X -的方差为 290 。
3. 设X 是在[0,1]上取值的连续型随机变量,且,75.0)29.0(=≤X P 若X Y -=1,有
,25.0)(=≤k Y P 则=k 71.0
4. 设n X X X ,,,21 为来自总体X 的样本，且X ～N (0,1)，则统计量
∑=n
i i X 12~)(2n χ. 5. 已知(1.96)0.9750Φ=，(1.645)0.95Φ=，设来自总体X ～)09.0,(μN 的容量为9的样本，
样本均值为4=X ，则μ的置信水平为0.9的双侧置信区间为)1645.4,8355
.3(. 三、(本题12分) 对敌机进行三次独立的炮击,三次炮击的命中率分别为0.4,0.5和0.7, 敌机被
击中一、二、三弹而被击落的概率分别是0.2,0.6和1,,求炮击三次而击落敌机的概率。 解: 设=i B {第i 次炮击击中敌机}(3,2,1=i ),设=i A {敌机中i 弹}(3,2,1=i ),
设B ={炮击三次而击落敌机},故
3211()(B B B P A P =321B B B +)321B B B +
+=)()()(321B P B P B P )()()(321B P B P B P )()()(321B P B P B P +
3.05.0
4.0??=3.0
5.0
6.0??+36.0
7.05.06.0=??+ 6分
同理41.0)(2=A P ,14.0)(3=A P
由全概率公式 458.0114.06.041.02.036.0)(=?+?+?=B P 12分
四、(本题12分) 设),(Y X 的联合密度函数为???≥=+-其它，，0
,),()(y x e y x f y x ，求随机变量
Y X Z +=的概率分布密度。
解：先求Z 的概率分布函数)(z F 。
)(z F )(z Z P ≤=)(z Y X P ≤+=
（1） 当0 dxdy y x f 0),(。 2分 （2） 当0≥z 时，)(z F )(z Y X P ≤+=??=D dxdy y x f ),( = ? z dx 0dy e x z y x ? -+-0 ) (dx e e z z x x )1(0?---= dx e e z z x )(0 ?---=dx e z x ?-=0 dx e z z ?--0 dx e z x ?-=0 z ze --。 所以?? ???<≥-=--?000 ),(0z z e z dx e y x F z z x ，， 10分 所以Z 的概率密度函数=)(z f ???<≥='-00 ),(z z ze y x F z ，，。 12分 五．（本题12分） 设),(Y X 在单位圆122≤+y x 内服从均匀分布，问Y X ,是否独立？ 解：),(Y X 的联合密度函数为?????≤+=其它 ，，01 1 ),(22y x y x f π， 2分 下面求),(Y X 的边缘密度。 当1- ∞+∞ -==0),()(dy y x f x f X 当11≤≤-x 时， ? ∞+∞ -= dy y x f x f X ),()(21112 1 22 x dy x x -= =? ---π π， 所以?? ???≤≤--=其它 01112 )(2 x x x f X π ，同理?? ???≤≤--=其它 01112 )(2 y y y f Y π 10分 因为≠),(y x f )(x f X )(y f Y ，所以Y X ,不独立。 12分 六（12分）一生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的,假定每箱平均重50千克,标准差 为5千克,若用最大载重量为5吨的汽车承运,问每辆车最多可以装多少箱,才能保障不超载的概率大于0.977)977.0)2((=Φ。 解:设),,2,1(n i X i =是装运的第i 箱重量,n 是所求箱数,由条件可以把21,X X n X 视为独立同分布随机变量,而n 箱总重量为++=21X X T n n X + , 2分 n T D n T E n n 5)(,50)(==,由中心极限定理,得 }5000{≤n T P }5505000550{n n n n T P n -≤-=977.0)101000(>-Φ=n n )2(Φ=。 10分 ,0199.98,2101000<>-n n n 故最多可以装98箱。 12分 七. (12分)设总体X 的概率密度为?? ???≤>=-0 ,00,2),(32x x e q x q x f q x ，其中0q >为未知参数。又 设样本为21,X X ,n X ，样本的观察值为21,x x ,n x ， (1) 试求q 的极大似然估计（记为?q ）； (2) 问?q 是否为q 的无偏估计，试说明理由。（已知： q x d e q x q x 60 33=? ∞ - ） 解:(1) 极大似然函数21,(x x L ,),q x n q x i n i i e q x -=∏ = 321 2 取对数21,(ln x x L ,),q x n ∑∑==---=n i i n i i x q q n n x 111ln 32ln )ln (2 求导+-q n 301 1 2=∑=n i i x q ,得q 的极大似然估计记为?q ∑==n i i x n 1 31 6分 (2) EX x n E n i i 31)31(1=∑=,而??∞-∞∞-===03332),(q dx e q x dx q x xf EX q x 从而q EX x n E n i i ==∑=3 1 )31(1,所以是无偏估计。 12分 八、（本题10分）自动包装机加工袋装食盐，每袋盐的净重),(~2σμN X ，按规定包装机正常工作时每袋盐的标准重量为500克。为检查机器的工作情况，某天随机抽取4袋，测得样本均值 3.495=x 克，样本均方差7.3=s 克.问在显著性水平05.0=α下，包装机该天的工作是否正 常？(1824.3)3(025.0=t ，3534.2)3(05.0=t ) 解：5000=μ：H ；5001≠μ：H 原假设为真时, ()1~500 --n t n S X ,所以拒绝域为 )1(500->-n t n S X α， 5分 由于 1824.3)3(5405.2500 025.0=<=-t n s x ,落在拒绝域外， 因此在05.0=α水平下，可以认为包装机该天的工作正常. 10分