有向图最长路径算法
运筹学最长路径算法
运筹学最长路径算法
最长路径算法（Longest Path Algorithm）是运筹学中用于求解
最长路径问题的一种算法。
最长路径问题是指在有向带权图中，求解某个顶点到另一个顶点的最长路径。
最长路径算法是基于拓扑排序的，首先对有向图进行拓扑排序，然后按照拓扑排序的顺序，依次计算每个顶点的最长路径值。
具体步骤如下：
1. 对有向图进行拓扑排序，得到一个顶点的线性序列。
2. 初始化最长路径值为0。
3. 对拓扑排序的每个顶点v，依次遍历它的所有后继顶点u。
4. 对于每个后继顶点u，更新u的最长路径值为max(u的最长
路径值, v的最长路径值 + 边(v,u)的权重)。
5. 最后得到目标顶点的最长路径值即为所求。
最长路径算法可以用来解决很多实际问题，例如任务调度问题、项目管理等。
通过求解最长路径，可以找到完成所需时间最长的路径，从而对任务或项目进行合理安排。
需要注意的是，如果有负权边存在，则最长路径算法不能正确求解，因为负权边会导致无限循环。
对于带有负权边的图，可以采用Bellman-Ford算法或其他算法来求解最长路径问题。
计算拓扑序列
所谓拓扑序列，就是有向图的最长路径问题，如果图中存在环，则最长路径是无法求得的，所以有拓扑序列的有向图不可以存在环。
具体定义如下：给出有向图G=（V，E），若结点的线形序列V1,V2,...Vn满足条件：对于i,j(1≤j<i≤n)，Vi和Vj之间没有边。
求线形序列V1,V2,...Vn的过程就称为拓扑排序，这个线形序列就称为拓扑序列。
【拓扑排序主要思想】有向图可以拓扑排序的条件是：图中没有环。
具体方法：⑴ 从图中选择一个入度为0的点加入拓扑序列。
⑵ 从图中删除该结点以及它的所有出边（即与之相邻点入度减1）。
反复执行这两个步骤，直到所有结点都已经进入拓扑序列。
【实例：士兵排队问题】有n个士兵(1≤n≤26)，依次编号为A,B,C,...，队列训练时，指挥官要把一些士兵从高到矮排成一行。
但现在指挥官不能直接获得每个人的身高信息，只能获得“p1比p2高”这样的比较结果，记作（p1>p2）。
例如A>B，B>D，F>D，对应的排队方案有三个：AFBD，FABD，ABFD【输入】k行，每行a b，表示a>b【输出】一个可行的排队方案【输入样例】A BB DF D【输出样例】ABFDprogram soldier_sort;varw:array['A'..'Z','A'..'Z'] of 0..1;d:array['A'..'Z'] of integer; {记录顶点入度的数组}s:set of 'A'..'Z';a,b,ch:char;m,n:string;i,j,k:integer;beginassign(input,'tuopu.in');reset(input);assign(output,'tuopu.out');rewrite(output);s:=[];while not eof(input) dobeginreadln(a,ch,b);s:=s+[a,b]; {计算士兵名集合}w[a,b]:=1;d[b]:=d[b]+1; {累计顶点b的入度}end;m:='';for a:='A' to 'Z' doif a in sthen m:=m+a; {产生士兵名字符集}k:=length(m); {求得士兵人数}n:=''; {拓扑序列初始为空}for i:=1 to k dobeginj:=1;while (d[m[j]]>0) and (j<=k) do {搜索第i个入度为0的士兵的顶点序号j} j:=j+1;if j>k {若不存在入度为0的顶点，则无法拓扑排序失败} then beginwriteln('Fault!');break;end;n:=n+m[j]; {入度为0的顶点进入拓扑序列n}a:=m[j]; {删去顶点j}d[a]:=maxint;for j:=1 to k do {与a相连的顶点入度减1}if w[a,m[j]]>0then d[m[j]]:=d[m[j]]-1;end;{for}writeln(n);close(input);close(output);end.。
c++ 最长路算法
c++ 最长路算法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：长路径问题是图论中一个经典问题，在计算机科学领域中有着广泛的应用。
C++语言是一种高效且强大的编程语言，对于解决这类问题非常适用。
本文将介绍C++中的最长路径算法，包括算法原理、实现步骤以及应用场景等内容。
一、最长路径算法的原理最长路径算法是在图中寻找两个顶点之间的最长路径，即找到一条路径使得路径上的边权值之和最大。
在一个加权有向图中，最长路径算法可以用来解决许多实际问题，比如工程规划、网络路由等。
最长路径算法的原理是基于动态规划的思想。
我们可以使用动态规划来求解从源点到其他各个顶点的最长路径。
具体步骤如下：1. 初始化图中的各个顶点到源点的距离为负无穷大。
2. 从源点开始，按拓扑序进行遍历。
3. 对于每个顶点v，遍历其所有的邻接顶点u，更新u的距离为max(dist[u], dist[v] + weight(u, v))。
4. 重复以上步骤，直到所有顶点的距离不再变化为止。
通过以上步骤，我们可以求解出源点到其他各个顶点之间的最长路径。
下面我们来看一个简单的C++实现，实现一个求解最长路径的函数。
```cpp#include <iostream>#include <vector>#define INF INT_MAXusing namespace std;for (int i = 0; i < V; i++) {for (auto edge : adjList[i]) {int u = edge.first;int weight = edge.second;if (dist[i] + weight > dist[u]) {dist[u] = dist[i] + weight;}}}return dist;}adjList[0].push_back({1, 5});adjList[0].push_back({2, 3});adjList[1].push_back({3, 6});adjList[2].push_back({3, 2});adjList[2].push_back({4, 7});adjList[3].push_back({4, 4});adjList[4].push_back({5, 5});在以上代码中，我们定义了一个函数`longestPath`来计算最长路径，其中传入参数为邻接表、顶点数和源顶点。
数据结构的应用的拓扑排序与关键路径算法
数据结构的应用的拓扑排序与关键路径算法拓扑排序与关键路径算法是数据结构中重要的应用之一。
拓扑排序通过对有向图的节点进行排序，使得对于任意一条有向边(u,v)，节点 u 在排序中都出现在节点 v 之前。
关键路径算法则是用来确定一个项目的关键活动和最短完成时间。
拓扑排序的实现可以通过深度优先搜索或者广度优先搜索来完成。
深度优先搜索是递归地访问节点的所有未访问过的邻居节点，直到没有未访问过的邻居节点为止，然后将该节点添加到拓扑排序的结果中。
广度优先搜索则是通过使用队列来实现的，将节点的邻居节点逐个入队并进行访问，直到队列为空为止。
无论使用哪种方法，拓扑排序都可以通过判断节点的入度来进行。
拓扑排序在很多实际问题中都有广泛应用。
比如在任务调度中，拓扑排序可以用来确定任务间的依赖关系和执行顺序；在编译原理中，拓扑排序可以用来确定程序中变量的定义和使用顺序。
关键路径算法用于确定项目中的关键活动和最短完成时间。
它通过计算每个活动的最早开始时间和最晚开始时间，以及每个活动的最早完成时间和最晚完成时间来实现。
具体步骤如下：1. 构建有向加权图，其中节点表示项目的活动，有向边表示活动间的先后关系，边的权重表示活动的持续时间。
2. 进行拓扑排序，确定活动的执行顺序。
3. 计算每个活动的最早开始时间，即从起始节点到该节点的最长路径。
4. 计算每个活动的最晚开始时间，即从终止节点到该节点的最长路径。
5. 根据每个活动的最早开始时间和最晚开始时间，可以确定关键活动，即最早开始时间与最晚开始时间相等的活动。
6. 计算整个项目的最短完成时间，即从起始节点到终止节点的最长路径。
拓扑排序与关键路径算法在工程管理、任务调度、生产流程优化等领域都有重要应用。
它们能够帮助我们有效地组织和管理复杂的项目，提高工作效率和资源利用率。
在实际应用中，我们可以借助计算机编程以及各种图算法库来实现这些算法，从而更快速、准确地解决实际问题。
综上所述，拓扑排序与关键路径算法是数据结构的重要应用之一。
离散数学有向图算法应用实例分析
离散数学有向图算法应用实例分析离散数学是计算机科学中的重要学科之一，它研究的是离散对象和离散结构及其相互关系的数学理论。
有向图是离散数学中的一个重要概念，它由一组节点和一组有方向的边组成，边表示节点间的关系。
在离散数学中，有向图算法是应用非常广泛而强大的工具。
下面我们将通过几个实例来分析离散数学有向图算法的应用。
实例一：拓扑排序拓扑排序是有向图中的一种重要算法，它用于对有向图进行排序。
该算法可以帮助我们找到适合的执行顺序，以满足所有任务的依赖关系。
假设我们有一个项目需要完成，并且任务之间存在一定的依赖关系。
我们可以使用有向图来表示任务，节点表示任务，有向边表示依赖关系。
通过拓扑排序算法，我们可以确定任务的合理执行顺序。
实例二：最短路径算法最短路径算法是有向图应用中的另一个重要领域。
它用于解决从一个节点到另一个节点的最短路径问题。
在许多实际应用中，比如地图导航、网络路由等，最短路径算法都能够提供有效的解决方案。
以地图导航为例，我们可以将道路抽象成有向图，节点表示地点，边表示道路，边的权重表示道路的长度。
通过最短路径算法，我们可以找到从起点到终点的最短路径，并提供有效的导航指引。
实例三：网络流算法网络流算法是有向图算法中的又一重要应用。
它主要用于解决网络中货物、信息等流动的问题。
通过网络流算法，我们可以找到网络中的最大流或最小割，从而优化网络资源的利用。
以货物流动为例，我们可以将供应链抽象成有向图，节点表示供应链中的各个环节，边表示货物流动的路径，边的容量表示货物的承载能力。
通过网络流算法，我们可以确定供应链中的最大流量，并优化流动路径，提高资源的利用效率。
通过以上几个实例，我们可以看到离散数学中的有向图算法在实际应用中的重要性和广泛性。
它们可以帮助我们解决各种问题，并提供有效的解决方案。
因此，对于计算机科学专业的学生来说，深入学习和理解离散数学有向图算法是至关重要的。
总结：离散数学有向图算法是计算机科学中的重要工具之一。
拓扑排序求最长路径
拓扑排序求最长路径1. 什么是拓扑排序？拓扑排序是对有向无环图（DAG）进行排序的一种算法。
在有向图中，如果存在一条从节点A到节点B的有向边，那么节点A就必须在节点B之前进行排序。
拓扑排序通过将图中的节点按照一定的顺序进行排列，使得任意两个节点之间不存在环。
拓扑排序可以应用于许多问题，比如任务调度、依赖关系分析等。
2. 拓扑排序算法2.1. 算法原理拓扑排序算法基于深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）实现。
其基本思想是通过遍历图中的所有节点，并记录每个节点的入度（即指向该节点的边数）。
然后从入度为0的节点开始遍历，并将其加入结果列表中。
然后将与该节点相邻的节点的入度减1，并将新入度为0的节点加入结果列表。
重复此过程直到所有节点都被加入结果列表。
2.2. 算法步骤以下是拓扑排序算法的详细步骤：1.初始化一个空结果列表result和一个空队列queue。
2.遍历图中所有节点，并统计每个节点的入度。
3.将入度为0的节点加入队列queue。
4.当队列queue不为空时，执行以下步骤：–从队列queue中取出一个节点node，并将其加入结果列表result。
–遍历与节点node相邻的所有节点，并将它们的入度减1。
–如果某个节点的入度减为0，则将其加入队列queue。
5.如果结果列表result的长度等于图中的节点数，则说明拓扑排序成功；否则，说明图中存在环。
以下是使用Python语言实现拓扑排序算法的示例代码：from collections import defaultdict, dequedef topological_sort(graph):# 统计每个节点的入度in_degree = defaultdict(int)for node in graph:for neighbor in graph[node]:in_degree[neighbor] += 1# 初始化结果列表和队列result = []queue = deque()# 将入度为0的节点加入队列for node in graph:if in_degree[node] == 0:queue.append(node)# 拓扑排序while queue:node = queue.popleft()result.append(node)for neighbor in graph[node]:in_degree[neighbor] -= 1if in_degree[neighbor] == 0:queue.append(neighbor)if len(result) == len(graph):return resultelse:return None3. 拓扑排序求最长路径在有向无环图中，求最长路径可以通过拓扑排序算法来实现。
图论中的最长路径问题与最短路径问题
图论中的最长路径问题与最短路径问题在图论中，最长路径问题和最短路径问题是两个重要且常见的问题。
最长路径问题旨在寻找图中两个顶点之间的最长路径，而最短路径问题则是寻找图中两个顶点之间的最短路径。
本文将分别介绍这两个问题，并讨论它们的应用和解决方法。
首先，我们来讨论最长路径问题。
最长路径问题在实际应用中有着广泛的应用，例如交通规划、通信网络以及电路设计等。
在图中，路径是由一系列顶点连接而成的。
最长路径问题的目标是找到两个顶点之间的路径中具有最大权值的路径。
最长路径问题可以通过深度优先搜索（DFS）算法来解决。
深度优先搜索是一种用于遍历或搜索图的算法，它从一个顶点开始，沿着路径尽可能地往下搜索，直到达到无法再继续搜索的顶点为止。
在深度优先搜索的过程中，我们可以记录下每个顶点的最大路径长度，最终找到两个顶点之间的最长路径。
接下来，我们将讨论最短路径问题。
最短路径问题在实际应用中同样具有重要性，例如导航系统、网络路由以及货物运输等。
最短路径问题的目标是找到两个顶点之间的路径中具有最小权值之和的路径。
最短路径问题可以通过使用迪杰斯特拉算法（Dijkstra algorithm）来解决。
迪杰斯特拉算法是一种用于解决单源最短路径问题的贪婪算法。
它从一个起始顶点开始，逐步地计算到达其他顶点的最短路径长度。
通过不断更新路径长度，并选择当前路径长度最小的顶点进行下一步计算，最终可以确定出起始顶点到其他顶点的最短路径。
最长路径问题和最短路径问题在实际应用中有着广泛的应用。
最长路径问题可以帮助我们优化电路设计，提高通信网络的稳定性，也可以提供交通规划的参考。
而最短路径问题可以帮助我们制定最优的导航路线，提高货物运输的效率，也可以优化网络路由的选择。
综上所述，最长路径问题和最短路径问题是图论中两个重要的问题。
通过深度优先搜索和迪杰斯特拉算法，我们可以解决这两个问题，并在实际应用中获得丰富的应用场景。
无论是最长路径问题还是最短路径问题，它们都展示了图论在实际生活中的重要性和广泛的应用前景。
有向图最长路径算法
知识回顾 Knowledge Review
祝您成功！
算法 计算最长路径
循环节点数次
计算该点最早开始时间及最晚开始时间的差值
Y
==0?
N
该点为最长路径上的点 该点不是最长路径上的点
测试
计算如下所示有向图的最长路径。
2
3
4
6
12
2
3
3
4
4
4
2 92
7
10
434558测试
依图输入节点数与边的个数
测试
依图输入各边信息
测试
计算结果如下所示。
End.
由于网图中的有些过程可以并行进行，以致于由始点到终点的路 径可能不止一条，路径的长度也可能不同，于是完成不同路径所 需的时间也便不同。但只有各条路径上的所有活动都完成了，这 个工程才算完成。因此，求出网图中最长路径就显得有了它的现 实意义。
任务要求 即软件结构
将有向图输入到程序 计算有向图最长路径路线及长度 输出计算结果
算法 计算节点最晚开始时间
循环节点数次 遍历该节点的所有出边 使出边的尾点的最晚开始时间为 原有值与出边加边权重中的较大者
算法 计算节点最早开始时间
循环节点数-1次 依计算节点最晚开始时间时的堆栈顺序
遍历该节点的所有入边
使节点的最早开始时间为 原有最早时间与(该点所有出边的尾点的最早开始时
间-边重)的较小值
最后一条出边地址eachnode边尾序号边尾序号边权重边权重边尾序号边尾序号边权重边权重边尾序号边尾序号边权重边权重节点节点11序号序号末出边地址末出边地址节点节点22节点节点33节点节点44节点节点nn转换输入信息循环节点数次循环节点数次输入边头边尾边权重输入边头边尾边权重将边尾序号赋值给临时结构体将边尾序号赋值给临时结构体将边权重赋值给临时结构体将边权重赋值给临时结构体将该边头点结构体原指向边地址同仁给临时结构体将该边头点结构体原指向边地址同仁给临时结构体将临时结构体地址赋值给边头结构体中邻接边将临时结构体地址赋值给边头结构体中邻接边计算节点最晚开始时间循环节点数次循环节点数次遍历该节点的所有出边遍历该节点的所有出边使出边的尾点的最晚开始时间为使出边的尾点的最晚开始时间为原有值与出边加边权重中的较大者原有值与出边加边权重中的较大者计算节点最早开始时间循环节点数循环节点数11次次依计算节点最晚开始时间时的堆栈顺序依计算节点最晚开始时间时的堆栈顺序遍历该节点的所有入边遍历该节点的所有入边原有最早时间与原有最早时间与该点所有出边的尾点的最早开始时该点所有出边的尾点的最早开始时使节点的最早开始时间为使节点的最早开始时间为原有最早时间与原有最早时间与该点所有出边的尾点的最早开始时该点所有出边的尾点的最早开始时边重的较小值的较小值计算最长路径循环节点数次循环节点数次计算该点最早开始时间及最晚开始时间的差值计算该点最早开始时间及最晚开始时间的差值yynn该点为最长路径上的点该点为最长路径上的点该点不是最长路径上的点该点不是最长路径上的点计算如下所示有向图的最长路径
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
程序结构
开始
输入节点数/边数
输入各边信息
将有向图信息 存为邻接表
前向计算各节点 最晚开始时间
判断是 否有回
环
Y
反向计算各节点 最早开始时间
判断各节点是否 为关键节点
输出最长路径及 其长度
N 结束
数据结构
使用两种结构体表征各节点及各边属性。
typedef struct //节点结构体 {
int nodeid; //节点序号 int getin; //节点入度 line *last; //最后一条出边地址 }eachnode
算法 计算最长路径
循环节点数次
计算该点最早开始时间及最晚开始时间的差值
Y
==0?
N
该点为最长路径上的点 该点不是最长路径上的点
测试
计算如下所示有向图的最长路径。
2
3
4
6
12
2
3
3
4
4
4
2 92
7
10
4
3
4
5
5
8
测试
依图输入节点数与边的个数
测试
依图输入各边信息
测试
计算结果如下所示。
End.
typedef struct line //边结构体 {
int nodeclose; //该边指向节点 int weight; //该边权重 struct line *next; //此节点下一
//出边地址 }line;
数据结构
节点1
序号 入度 末出边地址
节点2 节点3 节点4
……
节点N
边头为1的边
有向图 最长路径的求解
－－拓扑排序法
问题 的提出
我们通常把程序流程、生产过程、施工工程等都视为一个工程。 工程通常分为若干个称为“活动”的子工程。完成了这些子工程， 总的工程随即完成。
而在实际操作中，我们往往把某一工程的抽象为一个有向的带权 的无环图。其中节点即代表其事件，边表示“活动”，权表示持 续的时间。
By 张春阳
知识回顾 Knowledge Review
祝您成功！
由于网图中的有些过程可以并行进行，以致于由始点到终点的路 径可能不止一条，路径的长度也可能不同，于是完成不同路径所 需的时间也便不同。但只有各条路径上的所有活动都完成了，这 个工程才算完成。因此，求出网图中最长路径就显得有了它的现 实意义。
任务要求 即软件结构
将有向图输入到程序 计算有向图最长路径路线及长度 输节点数次 遍历该节点的所有出边 使出边的尾点的最晚开始时间为 原有值与出边加边权重中的较大者
算法 计算节点最早开始时间
循环节点数-1次 依计算节点最晚开始时间时的堆栈顺序
遍历该节点的所有入边
使节点的最早开始时间为 原有最早时间与(该点所有出边的尾点的最早开始时
间-边重)的较小值
边尾序号 边权重 下条边头为1的边
……
……
……
边头为1的边
边尾序号 边权重 下条边头为1的边
......
边头为1的边
边尾序号 边权重
下条边头为1的边
……
算法 转换输入信息
循环节点数次 输入边头边尾边权重 将边尾序号赋值给临时结构体 将边权重赋值给临时结构体 将该边头点结构体原指向边地址同仁给临时结构体 将临时结构体地址赋值给边头结构体中邻接边