2007年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学(理工农医类)参考答案

2007年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）

数 学（理工农医类）

参考答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1．C 2．B 3．D 4．A 5．B 6．D 7．A 8．D

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

9．i - 10．211n - 3

11

12．(23)，

13．

725

14．1

2

三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（共13分）

解：（I ）12a =，22a c =+，323a c =+， 因为1a ，2a ，3a 成等比数列， 所以2

(2)2(23)c c +=+， 解得0c =或2c =．

当0c =时，123a a a ==，不符合题意舍去，故2c =． （II ）当2n ≥时，由于

21a a c -=， 322a a c -=，

……

1(1)n n a a n c --=-，

所以1(1)

[12(1)]2

n n n a a n c c --=+++-=

。 又12a =，2c =，故22(1)2(23)n a n n n n n =+-=-+= ，，． 当n=1时，上式也成立， 所以22(12)n a n n n =-+= ，，

16．（共14分）

解法一：

（I ）由题意，CO AO ⊥，BO AO ⊥，

BOC ∴∠是二面角B AO C --是直二面角，

又 二面角B AO C --是直二面角，

CO BO ∴⊥，又AO BO O = ， CO ∴⊥平面AOB ，

又CO ?平面COD ，

∴平面COD ⊥平面AOB ．

（II ）作DE OB ⊥，垂足为E ，连结CE （如图），则DE AO ∥，

CDE ∴∠是异面直线AO 与CD 所成的角．

在Rt COE △中，2CO BO ==，1

12

OE BO =

=，

CE ∴

又1

2

DE AO =

=

∴在Rt CDE △中，tan CE CDE DE =

==

．

∴异面直线AO 与CD 所成角的大小为． （III ）由（I ）知，CO ⊥平面AOB ，

CDO ∴∠是CD 与平面AOB 所成的角，且2

tan OC CDO OD OD

=

=． 当OD 最小时，CDO ∠最大，

这时，OD AB ⊥，垂足为D ，OA OB OD AB =

= tan 3

CDO =

CD ∴与平面AOB 所成角的最大值为arctan

3

． 解法二：

（I ）同解法一。

（II ）建立空间直角坐标系O xyz -，如图，则(000)O ，，，(00A ，，(200)C ，

，，

D ，

(00OA ∴= ，，(CD =- ，

cos OA CD

OACD OA CD

∴<>=

，

==

∴异面直线AO与CD

所成角的大小为

（III）同解法一

17．（共14分）

解：（I）因为AB边所在直线的方程为360

x y

--=，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为3-．

又因为点(11)

T-，在直线AD上，

所以AD边所在直线的方程为13(1)

y x

-=-+，

即320

x y

++=．

（II）由

360

32=0

x y

x y

--=

?

?

++

?

，

解得点A的坐标为(02)

-

，，

因为矩形ABCD两条对角线的交点为(20)

M，．

所以M为矩形ABCD外接圆的圆心．

又AM==

从而矩形ABCD外接圆的方程为22

(2)8

x y

-+=．

（III）因为动圆P过点N，所以PN是该圆的半径，又因为动圆P与圆M外切，

所以PM PN

=+

即PM PN

-=

故点P的轨迹是以M N

，

为焦点，实轴长为

因为实半轴长a=2

c=．

所以虚半轴长b．

从而动圆P

的圆心的轨迹方程为

22

1(

22

x y

x

-=≤．

18．（共13分）

解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40．

（I）该合唱团学生参加活动的人均次数为

110250340230

2.3

100100

?+?+?

==．

（II ）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为

22210504002

10041

99

C C C P C ++==． （III ）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2

次活动”为事件A ，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件B ，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件C ．易知

(1)()()P P A P B ξ==+

111110505040241001005099

C C C C C C =+=； (2)()P P C ξ==

1110402

1008

99

C C C ==； 又041

(0)99

P P ξ====

ξ的分布列：

ξ的数学期望：415082

0129999993

E ξ=?

+?+?=．

19．（共13分）

解：（I ）依题意，以AB 的中点O 为原点建立直角坐标系O xy -（如图），则点C 的

横坐标为x ．

点C 的纵坐标y 满足方程22

221(0)4x y y r r

+=≥，

解得)y x r =<<

1

(22)2

S x r =

+

2()x r =+

其定义域为{}

0x x r <<．

（II ）记222()4()()0f x x r r x x r =+-<<，， 则2()8()(2)f x x r r x '=+-． 令()0f x '=，得1

2

x r =． 因为当02r x <<时，()0f x '>；当2

r

x r <<时，()0f x '<，所以12f r ??

???

是()f x 的最大值．

因此，当1

2

x r =

时，S 22r =．

即梯形面积S 2

．

20．（共13分）

（I ）解：集合{}0123，，，不具有性质P ．

集合{}123-，，具有性质P ，其相应的集合S 和T 是{}(13)(31)S =--，，，，

{}(21)23T =-()，，，．

（II ）证明：首先，由A 中元素构成的有序数对()i j a a ，共有2

k 个． 因为0A ?，所以()(12)i i a a T i k ?= ，，，，；

又因为当a A ∈时，a A -?时，a A -?，所以当()i j a a T ∈，时，

()(12j i a a T i j k ?= ，，，，，．

从而，集合T 中元素的个数最多为

21(1)

()22

k k k k --=，

即(1)

2

k k n -≤

． （III ）解：m n =，证明如下：

（1）对于()a b S ∈，，根据定义，a A ∈，b A ∈，且a b A +∈，从而()a b b T +∈，．

如果()a b ，与()c d ，是S 的不同元素，那么a c =与b d =中至少有一个不成立，从而a b c d +=+与b d =中也至少有一个不成立．

故()a b b +，与()c d d +，也是T 的不同元素．

可见，S 中元素的个数不多于T 中元素的个数，即m n ≤，

（2）对于()a b T ∈，，根据定义，a A ∈，b A ∈，且a b A -∈，从而

()a b b S -∈，．如果()a b ，与()c d ，是T 的不同元素，那么a c =与b d =中至少有一

个不成立，从而a b c d -=-与b d =中也不至少有一个不成立，

故()a b b -，与()c d d -，也是S 的不同元素．

可见，T 中元素的个数不多于S 中元素的个数，即n m ≤， 由（1）（2）可知，m n =。