判定平行四边形五种方法

判别平行四边形的基本方法如何判别一个四边形是平行四边形呢?下面举例予以说明.

一、运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”判别

例1 如图1,在平行四边形ABCD中,E、F在对角线AC上,

且AE=CF,试说明四边形DEBF是平行四边形.

分析:由于已知条件与对角线有关，故考虑运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行判别.为此,需连接BD.

解：连接BD交AC于点O.

因为四边形ABCD是平行四边形,

所以AO=CO,BO=DO. 又AE=CF,

所以AO-AE=CO-CF,即EO=FO.

所以四边形DEBF是平行四边形.

二、运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判别

例2 如图2，是由九根完全一样的小木棒搭成的图形，请你指出图中所有的平行四边形，并说明理由.

分析:设每根木棒的长为1个单位长度，则图中各四边形的边长便可求得，故应考虑运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”进行判别.

解：设每根木棒的长为1个单位长度，则AF=BC=1,AB=FC=1,

所以四边形ABCF是平行四边形.

同样可知四边形FCDE、四边形ACDF都是平行四四边形.

因为AE=DB=2,AB=DE=1,所以四边形ABDE也是平行四边形.

三、运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判别

例3 如图3，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF,DF=BE,DF∥BE，试说明四边形ABCD是平行四边形.

分析: 题目给出的条件都不能直接判别四边形ABCD是平行四边形，但仔细观察可知，由已知条件可得△ADF≌△CBE，由此就可得到判别平行四边形所需的“一组对边平行且相等” 的条件.

解：因为DF∥BE，所以∠AFD=∠CEB.

因为AE=CF,所以AE+EF=CF+EF，即AF=CE.又DF=BE, 所以△ADF≌△CBE，所以AD=BC，∠DAF=∠BCE，

所以AD∥BC.所以四边形ABCD是平行四边形

. 图1

图2

A

B C D

E

F

图3

四、运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判别 例4 如图4，在平行四边形ABCD 中，∠DAB 、∠BCD 的平分线分别交BC 、AD 边于点E 、F ，则四边形AECF 是平行四边形吗？为什么？

分析：由平行四边形的性质易得AF ∥EC ，又题目中给出的是有关角的条件，借助角的条件可得到平行线，故本题应考虑运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”进行判别.

解：四边形AECF 是平行四边形.

理由：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD ∥BC ，∠DAB =∠BCD ，

所以AF ∥EC .又因为∠1=

21∠DAB ，∠2=2

1

∠BCD ， 所以∠1=∠2.因为AD ∥BC ，所以∠2=∠3，

所以∠1=∠3，所以AE ∥CF . 所以四边形AECF 是平行四边形.

判定平行四边形的五种方法

平行四边形的判定方法有：（1）证两组对边分别平行；（2）证两组对边分别相等；（3）证一组对边平行且相等；（4）证对角线互相平分；（5）证两组对角分别相等。下面以近几年的中考题为例说明如何证明四边形是平行四边形。 一、 两组对边分别平行

如图1，已知△ABC 是等边三角形，D 、E 分别在边BC 、AC 上，且CD =CE ，连结DE 并延长至点F ，使EF =AE ，连结AF 、BE 和CF

(1)请在图中找出一对全等三角形，并加以证明；

(2)判断四边形ABDF 是怎样的四边形，并说明理由。

解：（1）选证△BDE ≌△FEC 证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴BC =AC ，∠ACD =60°

∵CD =CE ，∴BD =AE ，△EDC 是等边三角形 ∴DE =EC ，∠CDE =∠DEC =60° ∴∠BDE =∠FEC =120°

又∵EF =AE ，∴BD =FE ，∴△BDE ≌△FEC （2）四边形ABDF 是平行四边形

理由：由（1）知，△ABC 、△EDC 、△AEF 都是等边三角形

∵∠CDE =∠ABC =∠EF A =60° ∴AB ∥DF ，BD ∥AF

A

F

B

D

C

E 图1

A

B

C D

E F

图4

1

3

2

点评：当四边形两组对边分别被第三边所截，易证

截得的同位角相等，内错角相等或同旁内角相等时，可证四边形的两组对边分别平行，从而四边形是平

行四边形。

二、一组对边平行且相等

例2已知：如图2，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE=CG，连结BG并延长交

DE于F

(1)求证：△BCG≌△DCE；

(2)将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判

断四边形E′BGD是什么特殊四边形？并说明理由。

分析：（2）由于ABCD是正方形，所以有AB∥DC，又通过旋转CE=AE′已知CE=CG，所以E′A=CG，这

样就有BE′=GD，可证E′BGD是平行四边形。

解：（1）∵ABCD是正方形，

∴∠BCD=∠DCE=90°又∵CG=CE，△BCG≌△DCE

（2）∵△DCE绕D顺时针

旋转90°得到△DAE′，

∴CE=AE′，∵CE=CG，∴CG=AE′，

∵四边形ABCD是正方形

∴BE′∥DG，AB=CD

∴AB-AE′=CD-CG，即BE′=DG

∴四边形DE′BG是平行四边形

点评：当四边形一组对边平行时，再证这组对边相

等，即可得这个四边形是平行四边形

三、两组对边分别相等

例3如图3所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC 为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE，等

边△BCF。

求证：四边形DAEF是平行四边形；

分析：利用证三角形全等可得四边形DAEF的两组

对边分别相等，从而四边形DAEF是平行四边形。

解：∵△ABD和△FBC都是等边三角形

∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠FBA=60°

∴∠DBF=∠ABC

又∵BD=BA，BF=BC ∴△ABC≌△DBF

∴AC=DF=AE 同理△ABC≌△EFC

∴AB=EF=AD

点评：题设中存在较多线段相等关系时，可证四边

形的两组对边分别相等，从而可证四边形是平行四

边形。

四、对角线互相平分

例4已知：如图4，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O，AE⊥BD于E，BF⊥AC于F，CG⊥BD于G，DH⊥AC于H，求证：四边形EFGH是平行四边形。

图4

分析：因为题设条件是从四个顶点向对角线引垂线，这些条件与四边形EFGH的对角线有关，若能证出OE=OG，OF=OH，则问题可获得解决。

证明：∵AE⊥BD，CG⊥BD，

∴∠AEO=∠CGO，

∵∠AOE=∠COG，OA=OC

∴△AOE≌△COG，

∴OE=OG

同理△BOF≌△DOH

∴OF=OH

∴四边形EFGH是平行四边形

点评：当已知条件与四边形两对角线有关时，可证两对角线互相平分，从而证四边形是平行四边形。

五、两组对角相等

例5 将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起四边形ABCD是平行四边形吗？理由。

(1)如图2，将Rt△BCD沿射线BD方向平移到

Rt△B1C1D1的位置，四边形ABC1D1是平行四边形

吗？说出你的结论和理由： 。 分析：因为题设与四边形内角有关，故考虑四边形的两组内角相等解决问题。 解：（1）四边形ABCD 是平行四边形，理由如下： ∠ABC =∠ABD +∠DBC =30°+90°=120°， ∠ADC =∠ADB +∠CDB =90°+30°=120° 又∠A =60°，∠C =60°，

∴∠ABC =∠ADC ，∠A =∠C

（2）四边形ABC 1D 1是平行四边形，理由如下： 将Rt △BCD 沿射线方向平移到Rt △B 1C 1D 1的位置时，有Rt △C 1BB 1≌Rt △ADD 1

∴∠C 1BB 1=∠AD 1D ，∠BC 1B 1=∠DAD 1 ∴有∠C 1BA =∠ABD +∠C 1BB 1=∠C 1D 1B 1+∠AD 1B =∠AD 1C 1，∠BC 1D 1=

∠BC 1B 1+∠B 1C 1D 1=∠D 1AD +∠DAB =∠D 1AB 所以四边形ABC 1D 1是平行四边形 点评：（2）也可这样证明：由（1）知ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，将

Rt △BCD 沿射线BD 方向平移到Rt △B 1C 1D 1的位置时，始终有AB ∥C 1D 1，故ABC 1D 1是平行四边形。

判断平行四边形的策略

在学习了“平行四边形”这部分内容后，对于平行四边形的判定问题，可从以下几个方面去考虑：

一、考虑“对边”关系

思路1：证明两组对边分别相等

例1 如图1所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC 的垂直平分线DE 交BC 于D ，交AB 于E ，F 在DE 上，并且AF ＝CE .求证：四边形ACEF 是平行四边形. 证明：∵DE 是BC 的垂直平分线， ∴DF ⊥BC ，DB = DC . ∴∠FDB = ∠ACB = 90°.

∴DF ∥AC .∴CE = AE =

2

1

AB . ∴∠1 = ∠2 .

又∵EF ∥AC ，AF = CE = AE ， ∴∠2 =∠1 =∠3 =∠F . ∴△ACE ≌△EF A .

=

=

∴AC = EF .

∴四边形ACEF 是平行四边形. 思路2：证明两组对边分别平行

例 2 已知：如图2，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 是AB 的中点，D 在BC 上，延长ED 到F ，使ED = DF = EB . 连结FC .

求证：四边形AEFC 是平行四边形.

证明：∵AB ＝AC ，∴∠B =∠ACB . ∵ED = EB ，∴∠B =∠EDB . ∴∠ACB =∠EDB . ∴EF ∥AC .

∵E 是AB 的中点，∴BD = CD .

∵∠EDB =∠FDC ，ED = DF ，

∴△EDB ≌△FDC . ∴∠DEB =∠F .

∴AB ∥CF .

∴四边形AEFC 是平行四边形. 思路3：证明一组对边平行且相等

例3 如图3，已知平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，AE = CF ，M 、N 分别是DE 、BF 的中点.

求证：四边形ENFM 是平行四边形. 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD = BC ，∠A =∠C .

又∵AE = CF ，∴△ADE ≌△CBF .

∴∠1 =∠2，DE = BF . ∵M 、N 分别是DE 、BF 的中点， ∴EM = FN .

∵DC ∥AB ，∴∠3 =∠2. ∴∠1 =∠3. ∴EM ∥FN .

∴四边形ENFM 是平行四边形.

二、考虑“对角”关系

思路：证明两组对角分别相等

例4 如图4，在正方形ABCD 中，点E 、 F 分别是AD 、BC 的中点.

求证：（1）△ABE ≌△CDF ；

（2）四边形BFDE 是平行四边形. 证明：（1）在正方形ABCD 中，AB = CD ，AD = BC ，∠A =∠C =

90°，∵AE =

21AD ，CF =2

1

BC ， ∴AE = CF . ∴△ABE ≌△CDF .

（2）由（1）△ABE ≌△CDF 知，∠1 =∠2，∠3 =∠4. ∴∠BED =∠DFB .

∵在正方形ABCD 中，∠ABC =∠ADC ， ∴∠EBF =∠EDF .

∴四边形BFDE 是平行四边形. 三、考虑“对角线”的关系

思路：证明两条对角线相互平分

例5 如图5，在平行四边形ABCD 中， P 1、P 2是对角线BD 的三等分点.

求证：四边形AP 1CP 2是平行四边形. 证明：连结AC 交BD 于O .

∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA = OC ，OB = OD . ∵BP 1 = DP 2 ，∴OP 1 = OP 2 .

∴四边形AP 1CP 2是平行四边形. 平行四边形的识别浅

析

平行四边形是初中数学中的基本图形，正确识别平行四边

形，是进一步学习矩形、菱形和正方形的基础。识别平行四边形是利用边、角和对角线的特点，而且只需要两个条件，为了更加清楚哪些条件能或不能识别平行四边形，我们把这些条件总结如下。

1利用定义或定理直接识别平行四边形

1.1两组对边分别平行，如图1,AB ∥CD ,AD ∥BC 。 1.2两组对边分别相等，如图1,AB =CD ,AC =BC 。 1.3两组对角分别相等，

如图1,∠ABC =∠ADC ,∠BAD =∠BCD 。

1.4一组对边平行且相等，如图1,AB ∥CD ,AB =CD 。 1.5两条对角线互相平分，如图1,OA =OC ,OB =OD 。 2利用定义和定理间接识别平行四边形

2.1一组对边平行且一组对角相等，如图1,AB ∥CD ,∠ABC =∠ADC 。

证明：∵AB ∥CD ∴∠ABC +∠BCD =180° 又∵∠ABC =∠ADC ∴∠ADC ＋∠BCD ＝180° ∴AD ∥BC ∴四边形ABCD 是平行四边形(两组对边分别平行)

2.2一组对边平行且两条对角线交点平分一条对角线，如图1, AB ∥CD ，OA =OC 。

图1

C

A

证明：∵AB ∥CD ∴∠BAC =∠DCA 在⊿AOB 和⊿COD 中，∠BAC =∠DCA ，OA =OC ，∠AOB =∠COD ∴⊿AOB ≌⊿COD (ASA ) ∴AB =CD ∴四边形ABCD 是平行四边形（一组对边平行且相等）

2.3两组邻角互补，而且两组邻角要有一个公共角， 如图1,∠DAB +∠ABC =180°,∠ABC +∠BCD =180°。 证明：∵∠DAB +∠ABC =180° ∴AD ∥BC 又∵∠ABC +∠BCD =180°

∴AB ∥CD ∴四边形ABCD 是平行四边形（两组对边平

行）

3不能识别为平行四边形

3.1两组不同的邻角互补，

如图2,∠A +∠B =180°, ∠C +∠D =180°,可以画出梯形。 3.2识别平行四边形的条件涉及的边、角相等关系都是对边对角，涉及邻边邻角相等的都不能做为平行四边形识别的条件。两组邻边相等，如图3, AB =AD ,CB =CD ,不一定是平行四边形。两对邻角相等，如图4, ∠A =∠D ,∠B =∠C ,可以画出等腰梯形。

3.3一组对边平行且另一组对边相等，

如图4,AD ∥BC ,AB =CD ,也可以画出等腰梯形。 3.4

形。反例作图方法,如图5：①作∠ABC ,在边BA A ,在边BC 上确定点C ,②过点A 、B 、C 作⊙O 1,③以点圆心，以线段AB 长为半径作⊙C ,④以AC 为弦作⊙O 1圆⊙O 2,交⊙C 于D 、E 两点，则四边形ABCD 形，而四边形ABCE AB =CE ,∠ABC =∠AEC 。

3.5一组对边相等，对角线交点平分一条对角线，不一定是平行四边形。反例作图方法,如图6：

①作线段AB ,②过线段AB 的中点O 作直线CD ,③

过点B 作BE ⊥CD ,垂足为E ,④以点E 为圆心，小于线段OE 的长为半径作⊙E ,交CD 于F 、G 两点，⑤以点A 为圆心，BF 长为半径作⊙A ,交直线CD 于H 、I 两点，则四边形AGBH 和四边形AFBI 为

平行四边形，而四边形AGBI 和四边形AHBF 即为符合条件的非平行四边形，如在四边形AGBI 中，AI =BG ,OA =OB 。

说明一个四边形是平行四边形的思

路

图4图2

C B C

D 图6 D C

山东于秀坤

平行四边形是最基本、最重要的一类特殊四边形．如何说明一个四边形是平行四边形呢？要说明一个四边形是平行四边形，一般可以根据题目中所给的条件，分别通过下列的思路进行说明．

一、当已知条件出现在四边形的一组对边上时，考虑采用“两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形”或“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”．

例1 如图1，在△ABC中，AD是角的平分线，DE//AC交AB于点E，EF//BC交AC于点F，试说明AE=CF．

图1

分析：由AD是角的平分线，可知∠1=∠2，由DE//AC，可知∠2=∠3，所以∠1=∠3，即可得AE=ED，要说明AE=CF，可转化为说明ED=EC，因此，只需说明四边形EDCF是平行四边形就可以了．

解：因为∠1=∠2，∠2=∠3，所以∠1=∠3，所以AE=ED，又因为DE//AC，EF//BC，所以四边形EDCF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）．

所以ED=CF，所以AE=CF．

二、当已知条件出现在四边形是对角上时，考虑“采用两组对角分别相等的四边形是平行四边形”．

例2 如图2，AE、CF分别是的内角∠DAB、∠BCD的平分线，试说明四边形AECF是平行四边形．

图2

解：在ABCD中，因为∠DAB=∠BCD，又因为

∠1=

21∠DAB ，∠2=2

1

∠BCD ， 所以，∠1=∠2，

因为AB //CD ，所以∠3=∠1，∠4=∠2， 所以∠3=∠4，所以∠5=∠6， 所以四边形AECF 是平行四边形．

三、当已知条件出现在四边形的对角线上时，考虑采用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”

例3 如图3，在□ABCD 中，AC 、BD 相交于O ，EF 过O 分别交AD 、BC 于E 、F ，GH 过O 分别AB 、CD 交于G 、H ．试说明四边形EGFH 是平行四边形．

图3

解：在□ABCD 中，因为AB //CD ，所以∠1=∠2， 因为OA =OC ，∠3=∠4，所以△AOG ≌△COH ，所以

OG =OH ，

同理OE =OF ，

所以四边形EGFH 是平行四边形．

构造平行四边形解题

山东 邹殿敏

平行四边形是一种特殊的四边形，它的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分．许多几何问题可以通过添加辅助线，构造平行四边形加以解决．

一、求线段的长

例１如图1，在正△ABC 中，P 为边AB 上一点，Q 为边AC 上一点，且AP =CQ ．今量得A 点与线段PQ 的中点M 之间的距离是19cm ，则P 点到C 点的距离等于 cm ．

分析：作QD //AB ，交BC 于点D ，连接PD ，MD ．由△ABC 为正三角形，易知BP =BD ，AP =DQ ，所以四边形APDQ 为平行四边形．所以

AD =2AM =2×19=38（PC =AD ．所以PC =38cm ．

二、证明线段相等问题

例2 如图2，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB =

CB 到E ，使EB =AD ，连接AE ．求证：AE =AC ．

分析：连接BD ．由AD 与BE 平行且相等，是平行四边形，所以BD =AE ．因为AC =BD ，所以AE 三、证明线段和差问题

例3 如图3，△ABC 中，D ，F

是AB 边上两点，且AD =BF ，作DE //BC ，FG //BC ，分别交AC 于点E ，G ．求证：DE +FG =BC ．

分析：作GH //AB 交BC 于点H ．则四边形BHGF 是平行四边形．所以GH =BF =AD ，FG =BH ．因为DE

//BC ，GH //AB ，所以∠1=∠C ，∠A =∠2．所以△ADE ≌△GHC ．所以DE =HC ．因为BH +CH =BC 例4 如图中DC 线上一点，且BC

，BD 于点F ，G 连接AC 交BD AB =2OF ．

“BF =CF ，AO =OC 所以OF 为△CAB 的中位线，从而得出AB =2OF ． 五、证明两直线平行问题

例5 如图5

，△ABC 中，E ，F 分别是AB ，BC 边的中点，M ，N 是AC 的三等分点，EM ，FN 的延长线交于点D ．求证：AB //CD ．

分析：连接BD 交AC 于点O ，连接BM ，BN ．

由AE =BE ，AM =MN 可得ED //BN ；由BF =CF ，MN =NC 可得BM //FD ．所以四边形BMDN 是平行四边形．所以OB =OD ，OM =ON ．所以OA =OC ．由此可得出四边形ABCD 是平行四边形．所以AB //CD ．

例6外作正方形分析：MN =AM ，FN =AH =AC 所以∠AFN =∠BAC ．因为AF =AB ，所以△AFN ≌△图3

∠1=∠2．

因为∠1+∠3=90°，所以∠2+∠3=90°，所以∠ADB=90°．从而得出MA⊥BC．