要特别重视六大定理
要特别重视六大定理
何松年
常言道干什么事情都要有个重点，不能眉毛胡子一把抓。同样，同学们学习每一门课程也要有个重点，学习‘实变函数’的重点就是学好六大定理。
通常说‘实变函数’三大定理，是指‘控制收敛定理’、‘Levi引理’和‘Fatou 引理’，这三个定理是‘实变函数’的核心成果，集中地体现了Lebesgue积分相对于Reimann积分的优越性，因而这三个定理是‘实变函数’中最重要的定理，三大定理之说法当之无愧！
但是，另有三个定理在‘实变函数’中具有基本的重要性，是前述三大定理的基础，它们是‘可测集构造定理’、‘鲁津定理’和‘叶果洛夫定理’。我们不妨把上述六个定理称为‘实变函数’六大定理。学习‘实变函数’一定要重视六大定理，学习‘实变函数’差不多可以说主要地就是掌握好六大定理。
前三个定理为什么重要，容易理解，我们在此着重谈谈后三个定理为什么是很重要的。
1944年，著名数学家李特尔伍德（J. E. Littlewood, 1885—1977）曾经写过一本叫《函数论讲义》的书。书中有这样一段话：“知识的范围不像有时设想的那样大。有三条原理大致可以表达为：每个可测集几乎是有限个区间的并；每个可测函数几乎是连续的；每个可测函数的收敛序列几乎是一致收敛的。实变函数论中的大多数结果是这些原理的完全直觉的应用，而学生们掌握了这些，就等于掌握了大多数情况下实变函数理论所要求的。若可以看到由一条原理可以“很好”地证实一个命题的正确性，那么自然要问“几乎”应充分接近到怎样的程度，这个问题就可以确切地解决了。”这三个原理依次对应着三个定理：‘可测集构造定理’、‘鲁津定理’和‘叶果洛夫定理’。
Littlewood的这一番话是60多年前说的，现在读来依然感到很有意思，很重要，是画龙点睛之笔。他紧紧抓住了实函数论中三个最重要的概念，指出了可测集与有限个区间的并；可测函数与连续函数；可测函数列的几乎处处收敛与一致收敛之间的区别与联系。这三条原理不仅仅指出了如何来思考与解决新的理论中的问题的途径，而且还指出了新的理论与原有理论尽管有本质上的不同，克服了原有理论中的种种缺陷，但又与原有理论从某种意义上讲是相距不远的，指出
了这两者之间十分亲密的血缘关系。大家试回想一下数学分析中学过的内容，所论集合是区间或区域，所论函数基本上是连续函数，函数列的收敛主要地是一致收敛。而实变函数论中，集合变为可测集，函数变为可测函数，收敛变为几乎处处收敛，面对这些新概念、新问题如何研究？把不熟悉的、复杂的东西与熟悉的、简单的东西去比较，找出它们的联系与差别，是人们认识新事物、研究新问题的一般方法。这三个定理的出现不正好是这种一般方法的体现吗？由此看来，这三个定理的产生难道不可以说是天经地义的吗？！
注 Littlewood 的第一条原理是对测度有限的一维集合而言的，其中‘有限个区间’可以取为互不相交的开区间。目前流行的实变函数教材中与第一条原理对应的定理的确切表述为：
可测集构造定理 设q R E ?为任一可测集，则对于任何0>ε，存在开集E G ?，满足ε<-)(E G m 。
我们顺便指出，对于高维情形，当+∞ ??--?==)()(11m i i i m i I E E I m 。 证明 由测度定义，存在一列开区间{} ,2,1,=i I i ，使得E I i i ?+∞ =1 ，并且2||1ε+<∑+∞=mE I i i 。令i i I G +∞ ==1 ，则G 为开集，E G ?，并且因为+∞ ≤ -=-mE mG E G m )(2||1ε<-∑+∞=mE I i i 。 因为级数 ∑+∞=1||i i I 收敛，所以可取m ，使得2||1ε<∑+∞+=m i i I ，又由于显然有i m i i m i I I E +∞ +==?-11 ，于是有 +-≤??? ???--?==)()()(11E G m I E E I m m i i i m i εεε=+<∑+∞ +=22||1m i i I 中值定理 首先我们来瞧瞧几大定理: 1、 介值定理:设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A 及 f(b)=B,那么对于A 与B 之间的任意一个数C,在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ 第一章 绪论 1. *x ＝ n 21k a a a .010?±，如果｜*x －x|≤0.5n k 10-?（这里n 是使此式成立的最大正整数），则称*x 为x 的具有n 位有效数字的近似值。 2．定理：设x 的近似值*x 有（1-1）的表示式： （１）如果*x 有n 位有效数字，则 n 11 10a 21|x ||x x |-**?≤ - （２）如果n 1110) 1a (21 | x ||x x |-* *?+≤ -，则*x 至少有n 位有效数字。 第二章 非线性方程根求解 1. （零点存在定理）如果f(x)在[a,b]上连续，使f(a)?f(b)<0，则必存在α∈(a,b)，使f(α)=0。 2.二分法的误差： |1 k 1k k k 2a b |x x ||x x +-*-=-≤- 3. 局部收敛性：设α是f(x)=0的根，若存在α的一个邻域?，当迭代初值属于?时，迭代法得到的序列{k x }收敛到α，则称该迭代法关于根α具有局部收敛性。 4. 收敛速度：设i x 为第i 次迭代值，α是f(x)=0的根，令α-=εi i x ，且假设迭代收敛，即α=∞ →i i x lim 。若存在实数P ≥1，使 c | |||lim p i 1i i =εε+∞ →≠0 ，则称此方法关于根α具有P 阶收敛速度。C 称为渐近误差常数，渐近误差常数C 与f(x)有关。C ≠0保证了P 的唯一性。对于特殊的函数，C 可能为零，此时，由这个函数针对此方法迭代产生的序列收敛得更快。一般情况下，P 越大，收敛就越快。当P=1时，我们称为线性收敛。P>1，称为超线性收敛。P=2，称为平方收敛。 5.牛顿迭代法：) x (f ) x (f x x k k k 1k '- =+ 定理3：如果方程f(x)=0的根α是单根，且在α的某领域内f(x)具有二阶的连续导数,则Newton 迭代法必是局部收敛的 且 ) (f 2)(f lim 2i 1 i i α'α''- =εε+∞ →（即具有二阶收敛速度） 定理4：如果α是方程f(x)=0的r 重根（r>1），且f(x)在α的某邻域内具有r 阶连续导数，则Newton 法具有局部收敛性，且具有线性收敛速度。 定理5：如果α是方程f(x)=0的r 重根（r>1），且f(x)在α的某邻域内具有r+2阶连续导数，则修正Newton 迭代公式：)x ()x (f r x x i i i 1i '?-=+，具有局部收敛性，且具有二阶收敛速度。 绪论 (1)水文地质学的研究任务是什么? 本课程是煤及煤层气工程专业/岩土工程专业的专业基础课，主要任务是为后续的专业课奠定有关现代水文地质学的基本概念、基本原理。通过该课程的学习，学生能够正确理解水文地质学的基本概念、基本原理，在此基础上能够初步掌握解决工程/煤田水文地质问题的分析方法与思路。 (2)地下水的主要功能包括哪些? >>宝贵的资源①理想的供水水源②重要的矿水资源③良好的景观资源 >>敏感的环境因子地下水是极其重要的环境因子。地下水的变化往往会打破原有的环境平衡状态，使环境发生变化。 (人类活动主要通过三种方式干扰地下水，造成一系列不良后果(图14-1)： ①过量开发与排除地下水→地下水位下降→地表径流衰减、沼泽湿地消失、土地沙化、海(咸) 水入侵等； ②过量补充地下水→地下水位升高→土地的次生盐渍化、次生沼泽化； ③地下水位下降导致的粘土压密释水释放有害离子、化肥农药的不适当使用、废弃物的无序排 放──地下水恶化、污染； ④地下水位的变动会破坏其与周围岩土构成的统一的力学平衡，而产生某种效应──地面沉降 与地裂缝、岩溶塌陷、地下洞室垮塌或突水、滑坡、岩崩、水库诱发地震、渗透变形。) >>活跃的地质营力地下水的主要作用是传递应力、传输热量和化学组分、侵蚀(化学溶蚀、机械磨蚀和冲蚀)等。 >>重要的信息载体由于地下水是应力传递者，同时又是在流动，所以地下水水位，水量，水温，水化学等的变化或异常可以提供埋藏在地下的许多信息，如找矿、地震预报、地质演变。(3)试分析我国地下水分区的特点，并探讨分区的自然背景。 略。 第一章地球上的水及其循环 (1)试比较水文循环与地质循环。 水文循环与地质循环是很不相同的自然界水循环： >>水文循环通常发生于地球浅层圈中，是H2O分子态水的转换、更替较快；水文循环对地球的气候、水资源、生态环境等影响显着，与人类的生存环境有直接的密切联系；水文循环是水文学与水文地质学研究的重点。 >>水的地质循环发生于地球浅层圈与深层圈之间，常伴有水分子的分解和合成，转换速度缓慢。研究水的地质循环，对深入了解水的起源、水在各种地质作用过程乃至地球演化过程中的作用，具有重要意义。 (水文循环特点──速度快、途径短、转化迅速。 内因──固、液、气三相可相互转化。 动力条件──太阳辐射和重力的共同作用。 形式──蒸发、径流、降水。) (2)试述我国水资源的特点，并分析其对水文地质工作需求的影响。 我国水资源具有以下特点： (1)降水偏少，年总降水量比全球平均降水量少22%； (2)人均水资源量偏低； (3)空间分布不均匀，东部丰富，西部贫乏； (4)季节及年际变化大，旱涝灾害频繁； (5)水质污染比较严重。 合理有效地利用及保护水资源，是中国具有战略意义的头等大事。 (3)地球上水的循环按其循环途径长短、循环速度的快慢以及涉及层圈的范围，可分为水文循 第十二章 数项级数 1、级数的收敛性 定义1 给定一个数列{}n u ，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 ???++???++n u u u 21 （1） 称为数项级数或无穷级数（也常简称级数），其中n u 称为数项级数（1）的通项. 数项级数（1）也常写作: ∑∞ =1 n n u 或简单写作 ∑n u . 数项级数（1）的前n 项之和，记为 n n k k n u u u u S +???++==∑=211 ， （2） 称它为数项级数（1）的第n 个部分和，也简称部分和. 定义 2 若数项级数（1）的部分和数列{}n S 收敛于S （即S S n n =∞ →lim ），则称数项级 数（1）收敛，称S 为数项级数（1）的和，记作 ???++???++=n u u u S 21或∑=n u S . 若{}n S 是发散数列，则称数项级数（1）发散. 定理12.1（级数收敛的柯西准则）级数（1）收敛的充要条件是：任给正数ε，总存在正整数N ，使得当m >N 以及对任意的正整数，都有 p m m m u u u ++++???++21<ε. （6） 定理12.2 若级数∑n u 与 ∑n υ 都收敛，则对任意常数,,d c 级数 ()∑+n n d cu υ亦收 敛，且 ()∑∑∑+=+. n n n n d u c d cu υυ 定理12.3 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的收敛性. 定理12.4 在收敛级数的项中任意加括号，即不改变级数的收敛性，也不改变级数的和。 正向级数 定理12.5 正项级数 ∑n u 收敛的充要条件：部分和数列{}n S 有界，即存在某个正数M ， 对一切正整数n 有n S 员工管理六原则 1、充分了解企业得员工 每个人对自己都就是如此简单,而对她人却就是如此复杂。作为管理者,要能充分得认识您得员工不就是一件很容易得事。但就是管理者如果能充分理解自己得员工,工作开展起来会顺利得多。俗话说“士为知己者死”。一个能够充分了解自己员工得管理者,无论在工作效率,还就是人际关系上她都将会就是个一流得管理者。 了解员工,有一个从初级到高级阶段得程度区别,分为三个阶段: 第一阶段:了解员工得出身、学历、经验、家庭环境以及背景、兴趣、专长等。同时还要了解员工得思想,以及其干劲、热诚、诚意、正义感等。 第二阶段:当手下员工遇到困难,您能实现预料她得反应与行动。并能恰如其分得给员工雪里送炭,这就表明您对员工得认识更进一步。 第三阶段:知人善任。能使每个员工在其工作岗位上发挥最大得潜能。给自己得员工足以考验其能力得挑战性工作,并且在其面临此种困境时,给予恰当得引导。 总之,管理者与员工彼此间要相互了解,在心灵上相互沟通与默契,这一点对企业得管理者来说尤为重要。 2、聆听员工得心声 企业得管理者都有强烈得自我主张,这种倾向有助于果断、迅速得解决问题,但另一方面也会使管理人员一意孤行,听不进她人意见,导致决策失误。 在企业得管理中,聆听员工得心声,也就是团结员工,调动积极性得重要途径。一个员工得思想除了问题,会失去工作热情,要她卓越得完成您交给她得任务就是不可能得。这时,作为管理者,应耐心得得去听取她得心声,找出问题得症结,解决她得问题或耐心开导,才能有助于您得管理目标得实现。对待犯错误得人员,也应当采取聆听得办法,不应一味责难它们,而应给她们解释得机会。只有了解个别情况后,才能对她们对症下药,妥善处理。 3、德才兼备,量才使用 “尺有所短,寸有所长”,每个人在能力、性格、态度、知识、修养等方面各有长处与短处。用人得关键就是适用性。为此,作为管理者在用人时,先要了解每个人得特点,就是个员工十个样,有得工作起来利落迅速;有得谨慎小心;有得擅长处理人际关系;有得却喜欢独自埋头在统计资料里默默工作。在许多企业得人事考核表上,都有一些关于处理事务得正确性、速度等评估项目,能够取得满分这才称得上就是优秀得职员。作为一个管理者,不仅要瞧到人士考核表上得评分,更重要得就是在实践中观察,结合每个员工得长处给于就是当得工作。在从她们工作过程中观察其处事态度、速度与准确性,从而真正测出其下属得潜能。也只有如此,管理者才能灵活、有效、成功地管理她得员工、使事业蒸蒸日上。 4、淡化权利,强化权威 对员工得管理最终要落实到员工对管理者,或下属对上司得服从。这种领导服从关系可以来自权利或权威两个方面。管理者地位高,权力大,谁不服从就会受到制裁,这种服从来自权力。管理者得德行、气质、智慧、知识与经验等人格魅力,使员工资源服从其领导,这种服从来自一个企业得管理者要成功得管理自己得员工,特别就是管理比自己更优秀得员工,人格魅力形成得权威比行政权力更重要。 5、多表彰员工 成就感能够激励员工热情工作,满足个人内在需要。要公开奖励标准,使员工了解每一个人获得奖励得原因。以公开得方式给予表扬、奖励。表扬与奖励如果不公开,不但会失去它本身得效果,而且会引起一些员工得无端猜测,影响工作。奖励得时效也很重要,要多奖励刚刚发生得事情,而不就是已经被遗忘得事情,否则会大大减弱奖励得影响力。 一．名词解释 1地下水:指赋存和运动于地表以下土层和岩石空隙中的水。 2.渗入水：地下水起源主要是降水渗入地下形成叫渗入水。 3.饱和水汽含量：空气中所能容纳的最大水汽数量随着气温升高而增大，某一温度下，空气中可容纳的最大水汽数量。 4.流域：指分水线或分水岭以内河系集水面积的范围，在流域范围内的全部降水都顺着地表由高到低汇注于该河系之中。 5.河系：汇入某河干流的全部支流的总和称为河系。 6.流量[径流总量]：指单位时间[某一时间段]内通过河流某一断面的[总]水量。 7.结合水：由于静电引力作用而吸附在岩石颗粒上的水叫结合水。 8.吸着水：强结合水，是最靠近颗粒表面受静电引力最大的的那部分水。 9.薄膜水：弱结合水，是外层受静电引力较小的水。 10.矿物水:存在于矿物晶体内部或晶格之间的水又叫化学结合水。 11.给水性：指饱水岩石在重力作用下能自由给出一定水量的性能。 12.透水性：指岩石可以被水透过的性能。凝结作用：由气态水转化为液态水的过程。 13.地下水系统：是一个具有隔水或相对隔水边界的沉积单元或构造单元。 14.渗透：地下水在岩石空隙中的运动。裂隙率：衡量裂隙多少的指标用Kr表示。 15.渗流：一种假想水流，即用假想水流模型去代替真实水流。 16.流线：是渗流场内某一瞬时的一条线，线上各水质点在此瞬时均与此线相切。 17.迹线：是渗流场某一时间段内水质点的运动的轨迹。 18.稳定流：水在渗流场内运动各运动要素不随时间改变时叫稳定流。 19.非稳定流：运动要素随时间变化的水流运动。 20.流网：由一系列等水头线与流线所组成的网络。 21.层流：在岩石空隙中渗透时水质点有秩序的互不混杂的运动。 22.紊流：水流质点无秩序的互相混杂的流动。 23.容水性：指岩石能够容纳一定水量的性能。承压水的测压水面是一个（虚构）的面。 24.水力梯度：又叫水力坡度，是沿渗透途径水头损失与相应渗透长度的比值。 25.渗透系数：是表征含水层透水性能的一个重要水文地质参数。 26.矿水：一种特殊形式的地下水，当化学成分和气体含量达到一定数值时才叫矿水。 27.地热异常：热流值或地温高于全球平均值。孔隙度：衡量孔隙多少的指标。 28.红层：因为颜色主要为红色所以叫红层，包括泥岩页岩砂岩砾 岩，其中泥岩占得比例较大，从成分来说以泥质硅质钙质为普遍。 29.洪积扇：由洪积物组成的从沟口向平原呈扇状展开的近半椎体的堆积物。 30.浓缩作用：地下水因蒸发失去水分造成盐类积累浓缩的作用。 31.补给[储存]资源：经常与外界交换的水量[保持与含水系统中的水量]。 32.地下径流模数：表示一平方公里含水层面积上地下水的流量。 33.溶率作用：是形成地下水化学成分的基本作用，它是水和岩石 相互作用时岩石中一部分物质溶于水中的作用。 34.地下水动态：指地下水的质量和数量在各种因素影响下随时间的变化情况。 35.地下水均衡：某一时间段内某一地段内地下水水量的收支状况， 均衡是动态变化的内因，动态是均衡的外部表现。 36.地下径流模数：表示一平方公里含水层面积上地下水的流量。37.持水性：指重力释水后，岩石能够保持住一定水量的性能。 38.总硬度：水中含钙离子镁离子的总量称为总硬度。 39.总矿化度：表示地下水中含盐量的多少，是表征水矿化程度的 指标。 40.绝对湿度[相对湿度]：表示某一地区某一时刻空气中水汽的含 量[空气中水汽含量的饱和程度]。 41.地热增温率:指常年温带以下深度每增加100米时地温的增加 值以°C/100m表示 42.暂时硬度：指水加热沸腾后由于脱碳酸作用而水中析出的那部 分钙镁离子含量 43.永久硬度：水加热沸腾后仍留在水中的钙离子镁离子的含量叫 水的永久硬度 44.居留时间：指地下水自从补给进入含水层中至被排泄出含水层 所经过的时间。 45.地热田：指某一地段地温较高并且具有开发价值的地热系统。 46.混合溶蚀效应：两种或两种以上已经丧失其侵蚀性的饱和溶液， 在岩层中混合后重新变成不饱和溶液从而对碳酸盐岩进行新 的溶蚀作用这种现象叫混合溶蚀效应。 47.正水头：假如测压水位高于该点地形高程时则当钻孔打穿了隔 水层顶板后水涌出地表，这种压力水头叫正水头。 48.负水头：如测压水位低于该点地形标高时，则当钻孔内的水不 能喷出地表的水头 49.均衡期：进行均衡计算的时间段可以是若干个月，年。 50.均衡区：进行水均衡计算所选定的地区，最好是一个完整的水 文地质单元。 51.地下水动态：指地下水的数量和质量在各种因素的影响下随时 间的变化情况。 52.冻结层下水：埋葬在冻土以下的含水层中常保持液态随深度加 大水温逐渐升高 53.冻结层上水：分布在多年冻土上部的融冻层中受气候影响，冬 季冻结夏季融化。 54.矿水：一种特殊地下水，当其化学成分和气体含量达到一定数 值时才叫矿水。 55.洪流：是季节性雨水或融雪水从山区汇集的暂时性水流广泛分 布于山区山前地带 56.冲积物：是河流沉积的产物，在新生代各种成因类型的沉积中 常是富水的。 57.橫节理：与流线垂直的节理。斜节理：与流动构造斜交的节理。 纵节理:与流线平行的节理。 58熔岩洞：巨厚熔岩流上部已冷凝中间继续流动，由于熔岩补充 不足和逐渐冷缩，便形成熔岩坑道，有出口的为熔岩洞。 59.冰锥:因冰冻膨胀受压，地表水或地下水涌溢至地表或在地下冻 结形成的锥形或丘形体。 二．填空 1.自然界的水循环包括（水文）循环和（地质）循环。渗流 所占据的空间称为（渗流场）。 2.自然界中水的转化是通过（循环）来实现的。中 温热水的温度为（40-60）度。 3毛细水按照形成特点分为（支持毛细水、悬挂毛细水、孔角毛细 水）。 4.矿井地下水系统按照空间分布和作用方式分为（矿床地下水亚系 统、人类工程亚系统）。 5.(天然) 情况下，绝大多数地下水流服从达西定律。 6.在各项同性介质中，地下水沿着(垂直于等水头线)方向运动，流 线与等水头线构成（正交网格）。 7.通过粘性土发生的渗透称为（越流）。岩石的空隙可分为（孔 隙、裂隙、溶穴）。 8. 地下水指赋存和运动于（地表以下）土层和岩石空隙中的水。 9.根据地下水流量过程线，由降雨引起的地下水动态变化分为（缓 变性、突变型、滞后性）。 10.地热向地表传输的形式主要有（热流传导、热对流传导、热辐 射传导）。 11.最常用的俩种研究岩溶水的方法和手段是（示踪试验、碳酸盐 岩溶蚀速度的测定）。 12.与流面平行的节理称为（层节理）。酸性侵蚀主要是铁置换 了水中（氢离子）造成的。 13.三角洲的形态结构分为（三角洲平台、三角洲斜坡、原始三角 洲）。 14.岩溶水介质的演化遵循（溶隙—溶道—溶道系统）的演化过程。 15.岩溶水的垂直剖面上不均一，索科洛夫将厚层缓倾斜灰岩地区 划分为（包气带、水平循环带、深部循环带、水位季节变动带） 四个水动力带。 16.泉按其出露原因可分为（侵蚀泉、接触泉、溢流泉、断层泉）。 17.地下水含水系统按岩石空隙特征可分为（孔隙水、裂隙水、岩 溶水）。 18.上层滞水是指分布在（包气带）中，局部（隔水层）之上，含 水层空隙中的（重力水）。 19.控制岩溶发育最活跃最关键的因素是（水的流动性）。 20.水文循环按循环途径不同可分为（大循环和小循环）。 21.地下水含水系统的补给来源有（大气降水、地表水、人工补给、 凝结水、含水层间补给）。 22.岩石中的空隙是地下水的（储存场所和运动通道）。 23.地下水主要的阴离子有（Clˉ，SO42ˉ、HCO3ˉ），阳离子有（Na ﹢、K﹢、Ca2﹢、Mg2﹢）。 24.地下水用于供水水源有以下优点（普遍分布、时间调节性、水 质好）。 25.岩石的水理性质包括（容水性、持水性、给水性、透水性）。 26.达西定律的数学表达式为Q=KwI，各项代号含义为（渗流量、 渗透系数、过水断面、水力坡度）。 27.地下水化学成分的形成作用包括（溶滤作用、浓缩作用、脱碳 酸作用、脱硫酸作用、混合作用、阳离子交替吸附作用、人类 活动作用）。 28.水质点做有序的流动称（层流），服从达西定律。即：V=KI。 29.饱水带中，任一特定均质土层，渗透系数K是（常数）。 30.地下水起源有（渗入水、凝结水、初生水、埋藏水）。 31.包气带自上而下分为（土壤水带、中间带、毛细水带）。 32.一般情况下，含水裂隙随深度增大而（减少）。滨海三 角洲沉积一般属于（半咸水沉积）。 33.河流通过流水的动能进行（侵蚀）、搬运和（沉积），流速大时 以(侵蚀)为主流速小时以（沉积）为主。 34.裂隙按照开裂程度分为（开裂隙、闭裂隙、隐裂隙），按照成因 分为（成岩裂隙、构造裂隙、风华裂隙、应力释放裂隙、人工 裂隙）。 35.断层构造带分为（构造岩带、断层影响带），（断层影响带）透 水性强。 36.洪积物是从山坡上冲刷下来的（残积）、坡积物，碎屑成分（大 小混杂），磨圆度及分选性（较差）。 37.岩溶水的运动特征是（层流和紊流并存、在压流和无压流并存、 统一水流和孤立水流并存、明流与伏流并存）。 38.湖积物的分布通常呈（环带）状，滨岸较粗，以（砂、砾）为 主，中心为细粒的（粉砂、粘土、淤泥）。 39.砂层和粘性土的孔隙度随着埋深的加大和时间的延续而（降 低）。 40.裂隙组合形式有（网状组合裂隙、脉状组合裂隙、网脉状组合 裂隙）。 41.岩石按照力学性质分为（弹脆性岩石、柔塑性岩石、中间过渡 性岩石）。 42.典型的风化带自上而下分为（全风化带、半风化带、微风化带）。 43.岩溶水按照优势含水介质类型分为（溶孔溶隙水、管道流、溶 孔溶隙-管道双重介质流）。 44.岩溶水按照埋藏条件分为（裸露型岩溶水、覆盖型岩溶水、埋 藏型岩溶水）。 45.水文地质调查分为（普查、初步勘探、详细勘探）阶段。 46.矿区水文地质图分（综合水文地质图、专门性水文地质图）。 48.在重力作用下岩石能够保持住的水，主要是（结合水）。地 下水在岩石空隙中的运动称为（渗透）。 50.地下水化学分析的种类包括（简分析、全分析、专项分析）。 51.地下水动态是地下水均衡的（外部表现），地下水均衡是地下水 动态的（内在原因）。 52.对岩石的透水性起决定性作用的是（空隙的大小）。 53.地下水的温度主要受（低温）控制。地下水中常 见的气体有（O2、N2、CO2、H2S）。 54.稳定流条件下，流线与迹线（重合）。淡水的总矿化度为（小 于1）。 PH值5-7为（弱酸性水）。 55.若含水层的地下水处于超采的负均衡状态，导致地下水水位连 年下降，为减缓水位下降速率，应该（压缩地下水开采量，增加 地表水利用量或调整开采层次，开采深层地下水）。 56.巷道大涌水点,水量未稳定前应(每天)观测一次,如果发生突然 涌水,应每隔(1-2小时)观测一次. 水位长期观测点一般(5-10天)观测一次。 57.（大气降水）和（地表水）是地下水最重要的补给来源。 58.地下水天然动态类型分为（蒸发型、径流型、蒸发-径流型）。 59.从空间分布来看，大气降水属于（面状）补给，地表水属于（线 状、点状）补给。 60.影响地下水动态的因素是（气候因素、水文因素、地质因素、 人为因素）。 61.非均质包气带中，降水入渗主要是通过（优势路径）补给潜水。 62.均质包气带浅部自地表向下分为(完全饱和带、传输带、湿润带、 湿润前锋带)。 63.（红层断裂带脉状水）是红层地层的找水主要方向。 64.岩石的水理性质是指与水分的（储容和运移）有关的岩石性质。 65.岩石中水的存在形式有（气态水、结合水、重力水、毛细水、 固态水、矿物水）。 66.地表水补给地下水必须满足俩个条件（俩者之间必须具有水力 联系和地表水位必须高于地下水位）。 67.随着地下水中某种离子浓度的增加，吸附能力将（增大）。 68.地下水的侵蚀性主要表现为含侵蚀性（CO2水）对混凝土的侵 蚀。 69.由一系列（等水头线）和（流线）组成的网格称为流网。 70.水流质点无秩序，互相混杂的运动称为（紊流运动）。容易产 生悬挂毛细水的土层剖面是（上细下粗）。 71.达西定律对下列条件适用（层流、稳定流和非稳定流）。 72.砂砾类松散岩石的透水性主要取决于（颗粒直径大小）。 73.地下水流网中流线与等势线（相交）。脱碳酸作用 的结果，使地下水的（矿化度降低）。 74.渗入-径流型地下水循环的长期结果，使地下水向（溶滤淡化） 方向发展。 75.在天然条件下，控制一个地区地下水动态的主要轮廓的影响因 素是（气象因素）。 76.含水层是（含有重力水的 / 能够透水的）岩层。【作为选择 时前者优先】 分类号 编号 本科生毕业论文（设计） 题目拉格朗日中值定理证明中的辅助函数的构造及应用 作者姓名常正军 专业数学与应用数学 学号 2 9 1 0 1 0 1 0 2 研究类型数学应用方向 指导教师李明图 提交日期 2 0 1 3 - 3 - 1 5 论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交毕业论文，是本人在指导教师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 论文作者签名：年月日 摘要拉格朗日中值定理是微积分学三大基本定理中的主要定理，它在微积分中占据极其重要的地位，有着广泛地应用。关于它的证明，绝大多数教科书采用作辅助函数的方法，然后利用罗尔中值定理的结论证明拉格朗日中值定理来证明。罗尔中值定理是其的特殊形式，而柯西中值定理是其的推广形式，鉴于微分中值定理的广泛地应用，笔者将从以下几个不同的角度探讨拉格朗日中值定理中辅助函数的构造，以及几个方面的应用加以举例。 关键词：拉格朗日中值定理辅助函数的构造证明及应用 Abstract Lagrange mean value theorem is the main theorem of calculus three basic theorem, It occupies an important status and role in the calculus, has wide application. Proof of it, the vast majority of textbooks by using the method of auxiliary function, and then use the conclusion of Rolle's theorem to prove the Lagrange mean value theorem. Rolle mean value theorem is a special form of it, and Cauchy's theorem is extended form of it, given the widely application of the differential mean value theorem. This paper will discuss the construction of auxiliary function of the Lagrange mean value theorem from several following different angles, and several applications for example. Keyword: Lagrange mean value theorem The construction of auxiliary function Proof and Application 东北大学继续教育学院 水文地质学基础试卷（作业考核线上）卷 学习中心：安徽省公路工程技工学校院校学号姓名杨琪 （共页） ．下面对孔隙大小描述正确的是： ) 孔隙大小主要对地下水的储容影响很大。 ) 孔隙大小主要对地下水的流动影响大，它取决于孔隙通道最宽大的部分—孔腹。 ) 孔隙大小主要对地下水的流动影响大，它取决于孔隙通道最细小的部分—孔喉。 ) 孔隙大小的影响因素就是由颗粒大小决定的。 ．描述含水层、隔水层与弱透水层错误的是： ) 含水层、隔水层与弱透水层都含水。 ) 含水层、隔水层与弱透水层是根据透水能力来划分的。 ) 弱透水层是渗透性相当差的岩层。 )粘土层一定是隔水层。 . 下面对水力梯度的描述错误的是：) 水力梯度可以理解为水流通过单位长度渗透途径为克服摩擦阻力所耗失的机械能。 ) 水力梯度为沿渗透途径的水头损失值。 ) 水力梯度可以理解为驱动力，即克服摩擦阻力使水以一定速度流动的力量。 ）水力梯度就是地下水在渗透过程中，不断克服阻力而消耗的机械能。 . 下面哪类物质不是地下水中－的来源： ) 沉积岩中所含岩盐或其它氯化物的溶解。 ) 大气降水。 ) 来自岩浆岩中含氯矿物。 ) 来自火山喷发物的溶滤。 .关于地下水补给入渗方式正确的描述是： )在粘性土中都是捷径式下渗。 ) 地下水补给入渗方式要么是活塞式下渗，要么是捷径式下渗。 )活塞式下渗是年龄较新的水推动其下的年龄较老的水，始终是“老”水先到达含水层。 捷径式下渗时“新”水可以超前于“老”水到达含水层。 )对于捷径式下渗，入渗水必须先补充包气带水分亏缺，然后才可下渗补给含水层。 .关于地下水流动系统的正确表述是： )地下水流动系统中都是平面二维流。 )地下水流动系统中的径流方向基本一致。 )地下水流动系统中可以发育多个层次不同的径流系统。 2016考研数学中值定理证明思路总结中值定理这块一直都是很多考生的“灾难区”，一直没有弄清楚看到一个题目到底怎么思考处理，因此也是考研得分比较低的一块内容，如果考生能把中值定理的证明题拿下，那么我们就会比其他没做上的同学要高一个台阶，也可以说这是一套“拉仇恨”的题目。下面小编就和大家来一起分析一下这块内容。 1.具体考点分析 首先我们必须弄清楚这块证明需要的理论基础是什么，相当于我们的工具，那需要哪些工具呢? 第一：闭区间连续函数的性质。 最值定理：闭区间连续函数的必有最大值和最小值。 推论：有界性(闭区间连续函数必有界)。 介值定理：闭区间连续函数在最大值和最小值之间中任意一个数，都可以在区间上找到一点，使得这一点的函数值与之相对应。 零点定理：闭区间连续函数，区间端点函数值符号相异，则区间内必有一点函数值为零。 第二：微分中值定理(一个引理，三个定理) 费马引理：函数f(x)在点ξ的某邻域U(ξ)内有定义，并且在ξ处可导，如果对于任意的x∈U(ξ)，都有f(x)≤f(ξ) (或f(x)≥f(ξ) )，那么f'(ξ)=0。 罗尔定理：如果函数f(x)满足： (1)在闭区间[a,b]上连续 (2)在开区间(a,b)内可导 在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)， 那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ 柯西中值定理：如果函数f(x)及F(x)满足 (1)在闭区间[a,b]上连续 (2)在开区间(a,b)内可导 (3)对任一x∈(a,b)，F'(x)≠0 那么在(a,b) 内至少有一点ξ，使等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ)成立。 第三：积分中值定理： 如果函数f(x) 在积分区间[a, b]上连续，则在[a, b]上至少存在一个点ξ，使下式成立 求极限的方法 具体方法 ⒈利用函数极限的四则运算法则来求极限 定理1①：若极限)(lim 0 x f x x →和)(lim x g x x →都存在，则函数)(x f ±)(x g ，)()(x g x f ? 当0x x →时也存在且 ①[])()()()(lim lim lim 0 .0 x g x f x g x f x x x x x →→→±=± ②[])()()()(lim lim lim 0 x g x f x g x f x x x x x x →→→?=? 又若0)(lim 0 ≠→x g x x ，则 ) () (x g x f 在0x x →时也存在，且有 )()()() (lim lim lim 0 x g x f x g x f x x x x x x →→→= 利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如 ∞ ∞、00 等情况，都不能直接用四则运算法则，必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。 " 例1：求24 22 lim ---→x x x 解：原式=()()()022 22lim lim 22 =+= -+-- - →→x x x x x x ⒉用两个重要的极限来求函数的极限 ①利用1sin lim =→x x x 来求极限 1sin lim 0 =→x x x 的扩展形为： 令()0→x g ，当0x x →或∞→x 时，则有 ()()1sin lim 0=→x g x g x x 或()()1sin lim =∞ →x g x g x 例2：x x x -→ππ sin lim 解：令t=x -π.则sinx=sin(-π t)=sint, 且当π→x 时0→t 故 1sin sin lim lim 0 ==-→→t t x x t x ππ ~ 例3：求() 11 sin 21 lim --→x x x 解：原式=()()()()()()()211sin 1111sin 1221 21lim lim =--?+=-+-+→→x x x x x x x x x ②利用e x x =+∞→)1 1(lim 来求极限 e x x =+∞ →)1 1(lim 的另一种形式为e =+→α α α1 )1(lim .事实上，令 .1 x =α∞→x .0→?α所以=+=∞ →x x x e )11(lim e =+→ααα1 0)1(lim 例4: 求x x x 1 )21(lim +→的极限 解：原式=221 210)21()21(lim e x x x x x =?? ?+????+→ 利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。 ⒊利用等价无穷小量代换来求极限 所谓等价无穷小量即.1) () (lim =→x g x f x x 称)(x f 与)(x g 是0x x →时的等价无穷小量，记作)(x f )(~x g .)(0x x →. 人物访谈6大原则 分类：人物访谈作者：总裁学习网点击量： 18时间：2013-04-15 简介：实录性人物访谈，始于1996年采访施蛰存、王元化、蔡尚思等著名学者，十一年来采访文化政要各类名人近百人，其中不少访谈发表后颇多好评，如关于袁庚、任仲夷、施蛰存、雷宇、牧惠、黎子流等的访谈，也有的引起风波，遭遇受访人强烈反弹。 何以我的人物访谈，不能像大陆有些记者学人的人物访谈风平浪静?这可能与我独特的人物访谈理念有关，我做人物访谈有6项原则。 1.访谈的目的不是为了美化、颂扬、讨好受访人，而是为了探求历史真相、追求人间真理，因此，访谈稿是在对历史负责的前提下尊重受访人，如遇与对历史负责有冲突之处，将不以受访人及其追随者满意为准，访谈稿将竭力为存历史真相而保留不利于受访人和采访者的原始材料(这一原则深受袁庚等智者的赞同，但遇到一些以为采访者必以受访人之是非为是非的人，就难免发生争执。) 2.为了切实“有一分证据说一分话”，凡访谈必公开录音、照相，甚至录像，据此整理出访谈稿，尽力原汁原味地保持受访人的回忆情节及语言风格。我深信再好的记忆力，也顶不上录音机，包括受访人，事后也须以现场录音为准，而不能以受访人自居而随意否定现场录音——受访人可以事后改变意见，但不能否认曾有的现场录音之真实性。 3.依据国际新闻采访惯例，“新闻采访稿无须经受访人审阅，文责自负”，对于受访人没有要求事后须审阅的访谈稿，或本人没有承 诺送受访人审查的访谈稿，一般不给受访人审读。经验证明，访谈稿送受访人审订，虽可以避免极个别的词语误听误会，或进一步扩展意见之便，但却可能使受访人删除一些非常重要的历史真相和深刻而敏感的思想闪光。因为再伟大的人在接受采访时，也总有一种趋利避讳美化自己宣扬自己的潜意识，这一“自我保护”在访谈时会因情绪高涨有所放松，情不自禁流露出许多常态下被掩饰的真情和潜意识，而到审稿时，则在高度“理性”下加倍强化“自我保护”，不惜删改一些真相真情真思想。访谈稿以不送受访人审查为上策，除非一些开明者承诺，采访者对受访人删节的真话有权再恢复。当然，这亟需让读者明白，访谈稿只是受访人的“思想时点数”，只代表受访人在访谈时的思想，并不能说是受访人始终如一的思想。 4.我的人物访谈一律是对话互动，不是只纪录受访人一人之说的“单口历史”(因此与纯粹的“口述历史”采访规则有所不同)。虽然访谈稿中多是受访人主讲，但主导访谈的是采访者——不同的采访者访问同一个受访人，因访谈目标不同、问题不同、倾向不同而会得到不同的访谈稿——所以，访谈稿具有采访者深刻的个性，其版权完全属于采访者——受访人接受采访者的采访，就是将自己的谈话授权给采访者传播。须知，没有经过录音或文字纪录的谈话，是没有版权的。 5.因访谈稿版权完全属于采访者，特殊情况下(如因时间紧张采访者在现场将时间让与受访人多说话)，采访者有权在事后整理文字时，对自己的某些“缩写对话”酌情作一些不改变意思、语气和语境的精确恢复或延伸，以便让受访人的话语得到更清晰的解读或注释。 第一章绪论 综合思考题 分析“将今论古”、“以古论今、论将来”和“活动论”这三大地质学思维方法论，以及对指导地质理论研究的重要性。 1）“将今论古”：经典地质学的思维方式和理论支柱，国际地层序列、国际地质年代表以及其它许多地质成果均建立在此基础上。 2）“以古论今、论将来”：认识过去，可以帮助我们了解现在、预测未来。 3）“活动论”：大陆和海洋的位置不是固定不变的，是不断活动和演变的，以水平运动为主，大陆漂移、海底扩张、板块学说建立的基础，大陆动力学也是活动论的表现。 2.分析我国具有的独特地域特色和研究优势。 我国地域辽阔，地球各个演化时期地质信息和物质记录丰富，有地球上最古老和最年轻的造山带，有各种类型的盆地构造，有分布十分广泛的花岗岩，有丰富的矿产与能源。具有独特的地域特色和研究优势，形成了一些重要的地学研究和教学基地。包括青藏高原、西北黄土高原、大别-秦岭高压-超高压变质带、云南澄江动物群、辽西热河动物群、陆相生油盆地、滇黔桂喀斯特地貌、华南花岗岩与矿产等等 3.为什么到大自然中去实践是地质学研究的基础和前提。 地质现象是地质作用的结果或产物。通过对地质现象的观察，可以找出地质作用的特点和放射性同位素规律。 第二章矿物学 一、基本概念Important conception 放射性同位素；稳定同位素；克拉克值；矿物；晶体，准晶体；同质多象；条痕，解理，断口；摩氏硬度计；矿物集合体；三类岩石 放射性同位素:主要有U238,U235,U234,Th232,Rb87,K40等。 稳定同位素：主要有O16,O17,O18,C12,C13,S32,S33,S36,H1。 放射性同位素主要用来测定火成岩石的绝对年龄;稳定同位素主要用来确定岩石的物质环境与来源。如地壳,地幔,水圈,大气圈,生物圈,月球,陨石等。 克拉克值:中上地壳中50种元素的平均含量.美国科学家克拉克采集了世界各地的样品5159个；用取得的化学分析数据,求出了16km厚的地壳内50种元素的平均百分重量,后人称克拉克值.国际通用.单位ppm=10-6,即克/吨。目前还用ppb=10-91克=5克拉。 矿物定义：是由地质作用形成的，在正常情况下呈结晶质的元素或无机化合物，是组成岩石的矿石的基本单元。 准晶体定义：是一种新的凝聚态固体，其内部原子或离子既不像非晶质那样完全无序分布，又不像晶体那样呈三维周期性平移有序排列（粒径一般只达微米级）。 二、基本特征Basic features 1. 矿物的六项基本特征 特征1.（最基本特征）天然产出，有序结构，固体 中值定理 首先我们来看看几大定理： 1、介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值 f(a)=A及f(b)=B，那么对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ中值定理证明
数值分析公式、定理等
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