数学人教版九年级上册十字相乘法解一元二次方程
课题：十字相乘法解一元二次方程
执教：新田思源实验学校胡明
教学目标：
解一元二次方程是九年级的重点内容，是初中毕业会考数学考试的重要知识点，尤其是对二次项系数为1的一元二次方程的求解最为重要。本课时着重在学生学习了一元二次方程的求解以后，对课本中几种解法的运用感觉较为麻烦，在有学习能力之余向学生介绍十字相乘（交叉相乘）法，增强学生的解题能力和学习兴趣。
教学重点：
进一步增强学生解一元二次方程的能力，提高学生学习兴趣，学会用十字相乘法解部分一元二次方程。
教学难点：
十字相乘法的应用原理，如何把二次项和常数项分成两个式子的积，交叉相乘后再相加刚好等于一次项。
学情分析：
学生已经学习了解一元二次方程的几种方法，并会用相应的方法解方程，但在具体问题求解时感觉比较麻烦，对一元二次方程的巧妙求解具有强烈的学习欲望。
教材分析：
在现行数学教材中未安排这一内容，但这种方法又比较
便捷、实用，故对教材适当作了一些处理，增加部分较简单的相关内容。
教学方法：
多媒体教学、对比教学、实例讲解、举一反三
教学过程：
一、复习引入：
1、九年级上册第一章我们学习了一元二次方程，学习了一元二次方程的各种解法。
学生活动：回顾所学习的几种解法
投影：直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法。
2、学生活动，谈感受：哪种方法最喜欢？
学生：………………
指出公式法是“万能法”，只要方程有实数解，都可用公式法求解。
3、初中阶段所学习的很多方程还可以用更简便的方法求解，引入新授。
二、新授
1、探讨方程 x 2+3x －10=0的解法
方法一：用所学方法都能求解；
方法二：探究新方法。
把二次项x 2分解成x ·x ，把常数项－10分解成5×（-2），
按以下顺序排列： ,交叉相乘 × 再相加得 -2x+5x=3x
X 5 X -2 X 5 X -2
与一次项完全相同，则方程可变形为（x+5）（x -2）=0，再根据两式相乘为零的原理有：x+5=0或x-2=0，则有x 1=-5，x 2=2，即解。
2、探究方程x 2-7x+12=0的求解：
把二次项分解成x ·x ，把常数项12分解为（-3）×（-4），
按顺序排列： ，交叉相乘 × ，再相加得（-4x ）+（-3x ）=-7x ，与一次项完全相同，则方程可变形为（x -3）（x -4）=0,得x-3=0或x-4=0，即 x 1=3,x 2=4，即解。
3、设置问题：方程2的常数项12能不能按其他方法分解，如3×4，2×6，（-2）×（-6）等。
得：不能，因为交叉相乘再相加后与一次项不相等。
4、归纳：对二次项系数为1的一元二次方程x 2+px+q=0,把二次项x 2分解为x ·x ，常数项q 分解为x 1·x 2，交叉相乘 ×
，再相加，若其结果与一次项px 刚好相等，则方程可
变形为（x + x 1）（x+ x 2）=0，则有x+ x 1=0，x+ x 2=0，得方程两根为- x 1，与- x 2。
三、实例讲解
解一元二次方程：
（1）x 2-4x-21=0
（2）x 2+x-20=0
（3）x 2+7x+10=0
（先让学生探究，再引导学生进行分析，继而解决问题） X -3 X -4 X -3
X -4 X x 1 X
四、设置问题，将知识进一步深化
对部分二次项系数不为1的一元二次方程也能利用十字相乘法求解。
如：解方程 2 x 2-3x-2=0
把二次项分解为2 x ·x ，常数项分解为1×（-2），按顺序 排列，交叉相乘再相加刚好等于-3x ，则方程可变形为（2 x+1）（x-2）=0，即：x 1=－21，x 2=2。
五、学生动手试一试
解方程：（1）x 2-x-6=0 （2）x 2+ 8x+15=0
（3）x 2+6x+8=0 （4）3x 2-x-2=0
六、课堂小结：十字相乘法的应用原理
教学后记：
在平时的教学中发现十字相乘法是一种便捷的解方程方法，从而对该类方法进行了补充，由于是课本外的内容，学生学习兴趣较高，再加上深入浅出的教学，达到了比较好的教学效果，让学生有所收获。 2X 1 X -2
用十字相乘法解一元二次方程
用“十字相乘法”解一元二次方程 回顾：1.一元二次方程 的一般形式是： 2.一元二次方程 的根的个数的判断：（1）当 时，方程无解 （2）当 时，方程一解（3）当 时，方程两解 3.根与系数的关系（韦达定理）是： 作用：有根可求系数 4.求根公式： 作用：求根 5..求一元二次方程 的根的方法有： 6.常用求根方法是“十字相乘法” 新课讲解：用“十字相乘法”对某些特殊的多项式因式分解 一、二次项系数是1型： 例1：()()22356x x x x ++=++，反过来，就得到二次三项式256x x ++的因式分解形式，即()()25623x x x x ++=++，其中常数项6分解成2,3两个因数的积，而且这两个因数的和等于一次项的系数5，即6=2×3，且2+3=5。 写成十字相乘形式是： 一般地，由多项式乘法，()()()2x a x b x a b x ab ++=+++，反过来，就得到 写成十字相乘形式是： 练习一 用“十字相乘法” 把以下多项式分解因式： （1）2x -7x+6=0 （2）2x -5x+6=0 （3） 2x +8x+16=0 （4）=++892x x 0
（5）=+-24102x x 0 （6）2x +(1+3)x+3=0 （7）=-+1522x x 0 （8）=--2832x x 0 二：二次项系数不是1型： 例2：()()4312++x x = 反过来我们就得到 因式分解的结果： ()()431241162++=++x x x x 。 我们把这个过程用以下划十字的形式来反映：（1）把二次项2 6x 拆成x x 32?，分别写在十字交叉的左边上下两角，（2）把常数项4拆成41?，写在右边上下两角。上下两数可适当换位，使交叉相乘的和等于一次项！ 1.因式分解竖式写 2.交叉相乘验一次项 3.横向写出 ∴ ()(31241162+=++x x x 二、用“十字相乘法”解某些特殊例2 解方程：0453142=--x x 解： ()()0549=+-x x ∴ 41162++x x 413x 2x 2x ?4+3x ?1=11x 51+?05409=+=-x x 或.45,921-==x x
解二元一次方程“十字交叉法”
解二元一次方程：“十字交叉法” 十字相乘就是把二次项拆成两个数的积 常数项拆成两个数的积 拆成的那些数经过十字相乘后再相加正好等于一次项 看一下这个简单的例子m2+4m-12 m -2 ╳ M 6 把二次项拆成m与m的积(看左边,注意竖着写) -12拆成-2与6的积(也是竖着写) 经过十字相乘(也就是6m与-2m的和正好是4m) 所以十字相乘成功了 m2+4m-12=(m-2)(m+6) 重点：只要把2次项和常数项拆开来（拆成乘积的形式），可以检验是否拆的对，只要相加等于1次项就成了，十字相乘法实际就是分解因式。 解释说明：
十字相乘法虽然比较难学,但是一旦学会了它,用它来解题,会给我们带来很多方便,以下是我对十字相乘法提出的一些个人见解。 1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。（2）用十字相乘法来解一元二次方程。 3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。 4、十字相乘法的缺陷：1、有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。3、十字相乘法比较难学。 十字相乘法解题实例 常规题例1：把m2+4m-12分解因式 分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题解：因为 1 -2 ╳ 1 6 所以m2+4m-12=（m-2）（m+6）
例2：把5x2+6x-8分解因式 分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4， -4×2，-8×1。当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题 解：因为 1 2 ╳ 5 -4 所以5x2+6x-8=（x+2）（5x-4） 例3：解方程x2-8x+15=0 分析：把x2-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。 解：因为 1 -3 ╳ 1 -5 所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0 所以x1=3 x2=5 例4：解方程6x2-5x-25=0 分析：把6x2-5x-25看成一个关于x的二次三项式，则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。解：因为 2 -5 ╳ 3 5
(完整版)十字相乘法练习题
十字相乘法习题 1.232++x x 2.562++x x 3.11122++x x 4.17182++x x 5.342++x x 6.342+-x x 7.322-+x x 8.322--x x 9.672+-x x 10.652--x x 11.62-+x x 12.62--x x 13.22625a a +- 14.2024--x x 15.8624++x x 16. 42718x x +- 17.2223y xy x +- 18. 22149b ab a +- 19.8722--ax x a 20.10322-+mn n m 21. 223613b yb y +- 22. 9102+--a a 23. a a a 12423+-- 24. 222265x y x y x -- 25. 3)(4)(2++-+x b a b a 26. 10)2(3)2(2-+++y x y x 27. 12)4(7)4(222++++x x x x 28.2224)3(x x -- 29.6)25)(35(22--+++x x x x 30.24)4)(3)(2)(1(++-+-x x x x
31. 223x x -- 32. 2257x x +- 33. 2321a a -- 34. 23145b b +- 35.22157x x ++ 36. 2384a a -+ 37. 2576x x +- 38. 261110y y -- 39.313122+-x x 40.272442++x x 41.8652-+x x 42.1322++x x 43.61362+-y y 44.6732--a a 45.15442-+n n 46.3562-+x x 47.13852--x x 48. 2152-+x x 49.220920y y -- 50.2252310a b ab +- 51. 222231710a b abxy x y -+ 52. 53251520x x y xy -- 53. 22122+-）（x x 54. 108)2(39)2(324+---y x y x 55.8306251022++-+-y x y xy x 54. 222210173b a abxy y x +- 55. 2222)332()123(++-++x x x x
八年级因式分解：十字相乘法
x x p q px ＋qx=(p ＋ q)x x 2 pq a 1x a 2x c 1 c 2 a 1c 2+a 2c 1=b c 1c 2=c a 1a 2=a 八年级因式分解完全导学案：十字相乘法 “十字相乘法”虽然比较难学,但是学会了它, 用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运算量不大，不容易出错。它在分解因式/解一元二次方程中有广泛的应用： 十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 定义：利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 有()()()b x a x ab x b a x ++=+++2 注意：这里常数项是2，只有1×2。当常数项不是质数时，要通过多次拆分的尝 试，直到符合要求为止。通常是拆分常数项，验证一次项 x 2＋(p ＋q)x ＋pq=(x+p)(x+q) 对于一般的二次三项式ax 2+bx+c (a ≠0)此法依然好用。ax 2＋bx ＋c=(a 1x+c 1)(a 2x+c 2) 例1把m 2+4m-12分解因式 分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4 ×3，-6×2，- 12×1当-12分成-2×6时，才
符合本题 解：因为1 -2 1 6 所以m2+4m-12=（m-2）（m+6） 例2把5x2+6x-8分解因式 分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。 当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题 解：因为1 2 5 -4 所以5x2+6x-8=（x+2）（5x-4） 例3把14x2-67xy+18y2分解因式 分析：把14x2-67xy+18y2看成是一个关于x的二次三项式, 则14可分为1×14,2×7, 18y2可分为y.18y , 2y.9y , 3y.6y 解: 因为2 -9y 7 所以14x2-67xy+18y2= (2x-9y)(7x-2y) 练习：将下列二次三项式分解因式： 1、7x2-13x+6 2、–y2-4y+12 3、15x2+7xy-4y2 4、10(x+2)2-29(x+2)+10
十字相乘法——高中常用的解方程方法
十字相乘法 1．2() +++型的因式分解 x p q x pq 这类式子在许多问题中经常出现，其特点是： (1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和． 22 x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++ ()()()()()因此，2()()() +++=++ x p q x pq x p x q 运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式 例1．把下列各式因式分解： (1) 276 x x ++ -+(2) 21336 x x 小结： 例2．把下列各式因式分解： (1) 2524 -- x x +-(2) 2215 x x 说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同．
2．一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解 大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++． 反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++ 我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212 ,,,a a c c 写成112 2 a c a c ?，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，如果它正好等 于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解成 1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行． 这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解． 例3. (1)22157x x ++ (2) 2384a a -+ 例4. (1) 2576x x +- (2) 261110y y --
解一元二次方程(十字相乘法)专项训练
解一元二次方程（十字相乘法）专项训练 一、一元二次方程的解法归类： 1.直接开平方法：适合)0()(2≥=+k k h x 的形式。 如：07)5(2=--x 解：57,57,75,7)5(212+-=+= ±=-=-x x x x 2.配方法：→万能方法（比较适合二次项系数等于1，而且一次项系数是偶数的方程） 关键步骤：方程两边都加上一次项系数一半的平方。 如：1562 =+x x 解：362,362,623,24)3(,915962122--=-=±=+=++=++x x x x x x 注：代数式的配方，应先提取二次项系数，将二次项系数变成1，再进行配方。因为代数式没有两边，无法进行两边都加上一次项系数一半的平方，所以必须加多少再减多少，而且配方与常数项无关，所以常数项必须放到括号以外。如： 4 55)23(37427)23(37)49493(37)3(379322222+--=++--=+-+ --=+--=++-x x x x x x x x 3.公式法：→万能方法（系数比较大的方程不太适合） 如：0122 =-+x x 解：∵,1,1,2-===c b a ∴,9)1(24142=-??-=-ac b ∴4 3 1±-= x 4.因式分解法：①提公因式法：如1)2)(1(+=-+x x x 解：3,1,0)3)(1(,0)12)(1(,0)1()2)(1(21=-==-+=--+=+--+x x x x x x x x x ②运用平方差公式：))((2 2b a b a b a -+=- 如0)12(22=--x x 解：1,3 1 ,0)1)(13(,0)12)(12(21===--=--+-x x x x x x x x ③运用完全平方公式：222)(2b a b ab a +=++， 2 22)(2b a b ab a -=+- 如：016)1(8)1(2=++-+x x 解：3,0)3(,0)41(212 2===-=-+x x x x ④十字相乘法：如：0652 =++x x 解：3,2,0)3)(2(21-=-==++x x x x x 2 x 3 x x x 523=+ 0)3)(2(=++x x 又如：035682 =-+x x 解：4 7,25,0)74)(52(21=- ==-+x x x x x 2 5 x 4 7- x x x 62014=+- 0)74)(52(=-+x x
初中数学十字相乘法练习(20200710023442)
第十一讲 十字相乘法探究解决： （1）请直接填写下列结果 （x+2）（x+1）= ；（x+2）（x-1）= ；（x-2）（x+1）= ；（x-2）（x-1）= 。把上述式子左右对调，你有什么发现？ 二次项系数为1的二次三项式 直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x 进行分解。 特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积； （3）一次项系数是常数项的两因数的和。 （4）归纳： ab x b a x )(2（）（）将x 2+3x+2分解因式，看下图，你有什么启发？ x 2 +3x +2 2x + x = 3x 例 x 2 + 6x – 7= （x+7）(x-1) 步骤： ①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，和相加 ③检验确定，横写因式-x + 7x = 6x 例1. 用十字相乘法分解因式： （1）x 2-8x+15 （2）x 2+4x+3 （3）-x 2 -6x+16 练习 1．把下列各式分解因式： （1）1522x x = ； (2) 1032x x 。（3） x 2-2x-3= 。2．若6 52m m (m ＋a )(m ＋b )，则a 和b 的值分别是或。3. 分解因式(1)24142x x (2)36152a a (3)5 42x x (4)22x x (5)1522y y (6) 24 102x x x x 12 x 7x 1
例2．已知，如图，现有a a 、b b 的正方形纸片和a b 的矩形纸片各若干块，试选用这些纸片（每种纸片至 少用一次）在下面的虚线方框中拼成一个矩形（每两个纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使拼出的矩形面积为22 252a ab b ，并标出此矩形的长和宽。反馈练习 1．若652m m (m ＋a )(m ＋b )，则a 和b 的值分别是或． 2．3522x x (x －3) (__________)．3.如图，正方形卡片 A 类、 B 类和长方形卡片 C 类各若干张，如果要拼一个长为(a ＋2b)、宽为(a ＋b)的大长方形， 则需要C 类卡片张．4．分解因式： （1）22157x x ； (2) 2384a a ；（3）15 22x x (4) 2576x x (5) 261110y y （6）10 32x x 5．先阅读学习，再求解问题： A a a B b b C b a 第3题图
十字相乘法——高中常用的解方程方法
十字相乘法 1．2()x p q x pq +++型的因式分解 这类式子在许多问题中经常出现，其特点是： (1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和． 22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++ 因此，2()()()x p q x pq x p x q +++=++ 运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式 例1．把下列各式因式分解： (1) 276x x -+ (2) 21336x x ++ 小结： 例2．把下列各式因式分解： (1) 2524x x +- (2) 2215x x -- 说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同．
2．一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解 大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++． 反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++ 我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212 ,,,a a c c 写成112 2 a c a c ?，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，如果它正好等 于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解成 1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行． 这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解． 例3. (1)22157x x ++ (2) 2384a a -+ 例4. (1) 2576x x +- (2) 261110y y --
2公式法,十字相乘法
一元二次解法：（1）公式法 【知识要点】 1．计算方法 一，先将方程变为标准形式)0(02 ≠=++a c bx ax ，确认a ，b ，c 。 如何变： ① 通过移项或通分（如例一，例二，例三）注意：尽量使a 为正整数，方便计算 ② 通过公式计算展开（如例四，例五） 注意：符号 ③ 通过待定系数法结合①②（如例六） 注意：除了X ，其他均看做已知数 二，再计算△，当△=042≥-ac b ，有实数根。如△＜0，则方程无解 三，根据求根公式，将a,b,c , △代入公式，即得：-=2b x a ±。 【典型例题】 领练：例一 例①4722=-x x 例② 02 122412=+-x x 例③05422=-+-x x 例④x x x x 6)1()12()12(2 2++=--+ 例⑤2(3)2(1)7x x x --+=- 例⑥())1(03212 ≠=+++-m m mx x m
测试：例二 1，x x 4212=- 2，11)2(5)31)(13(+-=-+x x x 3，(2)(3) 56x x --= 4，02222=-+-n m mx x 二，熟练掌握△，不解方程，能够判断方程根的情况。 方程有两个实数根→△≥0 方程有两个相等的实数根→△＝0 方程有两个不相等的实数根→△＞0 方程没有实数根→△＜0 例三，变式训练 ①不解方程，请判别下列方程根的情况； （1）22340t t +-= ; （2） 2 16924x x += ; （3）25(1)70y y +-= ; ②方程242()0x a b x ab ---=的根的情况是 ; ③如果关于x 的方程222(41)210x k x k -++-=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范 围是 . ④已知0,0,p q <<则一元二次方程20x px q ++=的根的情况是 ;
十字相乘法的运算方法
十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两 十字相乘法 个因数a1,a2的积a1.a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1乘c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果:ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2),在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。基本式子：x^2+（p+q)x+pq=(x+p)(x+q)所谓十字相乘法,就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解.比如说:把x*2+7x+12进行因式分解. 上式的常数12可以分解为3×4,而3+4又恰好等于一次项的系数7,所以 上式可以分解为:x^2+7x+12=(x+3)(x+4) 又如:分解因式:a^2+2a-15,上式的常数-15可以分解为5*(-3).而5+(-3)又恰好等于一次项系数2,所以a^2+2a-15=(a+5)(a-3). 讲解： x^2-3x+2=如下： x 1 ╳ x 2 左边x乘x=x^2 右边-1乘-2=2 中间-1乘x+-2乘x（对角）=-3x 上边的【x+（-1）】*下边的【x+（-2）】 就等于（x-1）*（x-2） x^2-3x+2=（x-1）*（x-2）例题 例1 把2x^2-7x+3分解因式. 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数. 分解二次项系数(只取正因数)： 2＝1×2＝2×1； 分解常数项： 3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3). 用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 1 1 ╳ 2 3 1×3+2×1 =5 1 3 ╳ 2 1 1×1+2×3
解一元二次方程之十字相乘法专项练习题
解一元二次方程十字相乘法专项练习题 1?二次项系数为1的一元二次方程的十字相乘法 2.二次项系数不为1的一元二次方程的十字相乘法 2 2 2 2x 5x 2 =0 2x —5x— 3 =0 2x 7x 3 =0 2 6x X-2 = 0 6X2-5X-25 =0 6x2 - 7x 3 =0 解一元二次方程2 (I)a—7a+6=0 ; ⑶18x2—21x+5=0 ; ⑸2X2+3X+1=0 ; ⑺6x2—13x+6=0 ; (9)6x2—11x+3=0 ; 2 (II)10x —21x+2=0 ; 2 (13)4n +4n —15=0 ; (15)5x2—8x —13=0 ; (17)15x2+x —2=0 ; 字相乘法专项练习题 2 (2)8x +6x —35=0 ; ⑷ 20 —9y — 20y2=0 ； 2 ⑹ 8x2+6x —35=0 ; X2 3x 2 =0 2 x 5x 6 =0 x x - 2 =0 x212x 32 =0 x2 - 3x 2 =0 x -5x 6 =0 x -4^-12 =0 x2 2x — 3 =0 x 5x - 6 =0 x 2x - 63 =0 x2— 2x — 3 =0 x -5^-6 =0 x2 - 3x - 10 =0 x2 - 2x - 15=0 2 2x -7x 3 =0 2 5x 6x -8 =0
(8)3a2—7a —6=0 ; (10) 6y2+19y+10=0 ; (12)8m2—22m+15=0 ;(14)6a2+a —35=0; (16)4x2+15x+9=0 ; (18)6y2+19y+10=0 ;
十字相乘法解一元二次方程学案
补充：十字相乘法解一元二次方程（林） 第一部分：用十字相乘法因式分解 一、复习导入 1、计算 （1）(x+2)(x+1)=_____________________________________ （2）(x+2)(x-1)=_____________________________________ （3）(x-2)(x+1)= _____________________________________ （4）(x-2)(x-1)= _____________________________________ （5）（x+a ）(x+b)= _____________________________________ 2、观察以上结果回答： （1）x 2+3x +2=_____________________________________ (2)x 2+x -2=_____________________________________ (3)x 2-x -2=_____________________________________ (4)x 2-3x +2=_____________________________________ (5)2()=x a b x ab +++ _____________________________________ 也就是说，对于二次三项式q px x ++2，如果常数项q 可以分解成__________________________，并且一次项 系数p ___________________________时,我们就可以用上面的方法分解因式。 二、典例分析 例1：分解因式 （1）267x x +- （2）232x x ++ 利用十字交叉线来分解系数，把___________分解因式的方法叫做十字相乘法。“十字相乘法”是乘法公式(x+a)(x+b)=x 2 +(a+b)x+ab 的反向运算，它适用于分解__________。 十字相乘法因式分解解题步骤 ① _____________________________________ 口诀： ② _____________________________________ ③ _____________________________________
国家公务员行测：十字相乘法简介
公务员考试中的数学运算部分主要考察考生的算术式子的计算比较和数学应用题的分析运算能力。考生必须具备熟练的数学运算技能和扎实的数学基础知识，掌握一定的数学思想和方法，才能达到准确、迅速求解的要求。利用十字相乘法解公务员考试中的一些习题是很有效的。下面我们简单介绍一下这种方法，并结合例题分析。 十字相乘法的具体原理如下： 一个集合中的个体，可以有两个（或三个）不同的取值，一部分取值为A,另一部分的取值为B,平均值为C,求取值为A的个体与取值为B的个体的比例，假设A有X，B有（1-X）。 则 AX+B(1-X)=C X=(C-B)÷/(A-B) 1-X=(A-C)÷(A-B) 因此X ：(1-X) = (C-B) ：（A-C） 上面计算过程可抽象为 A C-B C B A-C 这就是十字相乘法，使用时要注意：1、用来解决两者之间的比例关系问题，2、得出的比例关系是基数的比例关系，3、总均值放中间，对角线上，大数减小数，结果放在对角线上。 例：某高校2006年度毕业学生7650名，比上年度增长2%，其中本科毕业生比上年度减少2%，而研究生毕业数量比上年度增加10%，那么，这所高校今年的本科生有（）。 A 3920 B4410 C4900 D5490 解析：方法一：按照我们常规的思维方法，大家都能想到的是方程法，这样我们 设这所高校今年的本科生有x 人，则据题意可列如下方程： ， 解得x= 4900. 我们看到题目的数字比较大，大家动笔计算起来很是复杂，这样虽然是算对了，但是会费很多的时间，这样在公务员考试有限的时间中，会给考生一些压力，并导致答不完题目。下面我们用上面介绍的十字相乘法解答，大家可以对照一下。 方法二：7650÷（1+2%）=7500，即2005年毕业生一共有7500人。
八年级数学十字相乘法因式分解
八年级数学十字相乘法因式分解人教四年制 【同步教育信息】 一. 本周教学内容： 1. pq x q p x +++)(2 型式子的因式分解。 2. 十字相乘法因式分解。 二. 教学重点、难点： 1. 重点： pq x q p x +++)(2型式子因式分解。 2. 难点： 常数项分解成两个数时，如何确定符号。 三. 教学要点： 1. q p x q p x ?+++)(2型二次三项式子的特点是： （1）二次项的系数是1。 （2）常数项是两个数之积。 （3）一次项系数是常数的两个因数之和。 对这个式子先去括号，得到： pq x q p x +++)(2)()(22pq qx px x pq qx px x +++=+++= ))(()()(q x p x p x q p x x ++=+++= 利用此式的结果可以直接将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式。 2. 十字相乘法： 将))((2211c x a c x a ++计算得： 211221221211221221)(c c x c a c a x a a c c x c a x c a x a a +++?=+++= 反之：))(()(22112112212 21c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++ 利用这个等式，我们可以用下面的写法，尝试把某些二次三项式如c bx ax ++2 分解因式，先把a 分解成21a a a =，把c 分解成21c c c =，并且排列如下： 2 2 1 1c a c a 这里按斜线交叉相乘的积的和就是1221c a c a +，如果它正好等于二次三项式 c bx ax ++2中一次项的系数b ，那么c bx ax ++2就可以分解成))((2211c x a c x a ++，其中1a 、1c 是上图中上面一行的两个数，2a 、2c 是下面一行的两个数。 例如：把二次三次式101132 ++x x 分解因式。 我们知道：313?=，5210?=写成 5 3 2 1 后发现113251=?+?，所以)53)(2(101132 ++=++x x x x
一元二次方程的解法----十字相乘法教案
一元二次方程的解法——十字相乘法 班级________姓名________学号________ 一、学习目标： 1、利用十字相乘法分解因式 2、利用十字相乘法解一元二次方程 二、典例精析 例1、用十字相乘法分解因式 （1）x2＋5x＋6（2）x2—5x＋6 （3）x2＋5x—6 （4）x2—5x—6 （5）x2—5xy＋6y2 (6)(x＋y)2—5（x＋y）—6 练习：（1）x2—7x＋10 （2）y2＋y—2 （3）x2—12x—13 （4）m2—5m＋4 例2、用十字相乘法解一元二次方程 （1）x2＋5x＋6=0 （2）y2＋y—2=0 （3）（x＋3)(x—1)=5 （4）t(t＋3)=28 练习：（1）x2＋7x＋12 =0(2) x2—5x＋6=0 （3）(x＋2)(x—1)=10 例3、用十字相乘法解关于x的方程： (1)(x—2)2—2 (x—2) —3=0 * (2)(x2—3x)2—2(x2—3x) —8=0 练习：（1）0 24 )1 (5 )1 (2= - + - +x x（2）0 ) (2 2 2 2 2= - - +n m x n m x ★例4、已知x2—5xy＋6y2 =0（y≠0），求 y x x y +的值。 四、课后作业 1、m2＋7m—18=(m＋a) (m＋b),则a,b的符号为（） A、a,b异号 B、a,b异号且绝对值大的为负 C、a, b同号 D、a,b同号且绝对值大的为正
2、在下列各式中，（1）x2＋7x＋6（2）x2＋4x＋3（3）x2＋6x＋8（4）x2＋7x ＋10 （5）x2＋15x＋44有相同因式的是（） A、（1）（2） B、（3）（5） C、（2）（5） D、（1）（2）、（3）（4）、（3）（5） 3、x2＋2x—3，x2—4x＋3，x2＋5x—6的公因式是（） A、x—3 B、3—x C、x ＋1 D、x—1 4、若y2＋py＋q=（y—4）（y＋7），则p= ，q= . 5、分解因式： （1）x2＋7 x—8 （2）y2—2y—15 （3）（x＋3y）2—4(x＋3y)—32 6、用十字相乘法解一元二次方程 （1）x2—3x—10 =0 （2）x2＋3x—10 =0 （3）x2—6x—40 =0 （4）x2—10x＋16 =0 （5）x2—3x—4 =0 （6）m2—3m—18=0 7、用十字相乘法解关于x的一元二次方程： （1）(x＋1)(x＋3)=15 （2）(x＋2)(x—3)=14 （3）0 3 42 2= + -a ax x(5) (x—2)2＋3(x—2) —4=0 （4）x2—3xy—18y2=0 * (6) (x2—x)2—4(x2—x) —12=0 8、已知：△ABC的两边长为2和3，第三边的长是x2—7x＋10=0的根，求△ABC的周长. 9、已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程： () x x x x x x n x n n 2 2 2 2 101 202 2303 10 -=<> +-=<> +-=<> +--=<> …… （1）请解上述一元二次方程<1>、<2>、<3>、
(完整版)解一元二次方程之十字相乘法专项练习题
解一元二次方程十字相乘法专项练习题 (1) a2－7a+6=0；(2)8x2+6x－35=0； (3)18x2－21x+5=0；(4) 20－9y－20y2=0； (5)2x2+3x+1=0；(6)2y2+y－6=0； (7)6x2－13x+6=0；(8)3a2－7a－6=0； (9)6x2－11x+3=0；(10)4m2+8m+3=0； (11)10x2－21x+2=0；(12)8m2－22m+15=0； (13)4n2+4n－15=0；(14)6a2+a－35=0； (15)5x2－8x－13=0；(16)4x2+15x+9=0； (17)15x2+x－2=0；(18)6y2+19y+10=0； (19) 2(a+b) 2+(a+b)(a－b)－6(a－b) 2=0；(20)7(x－1) 2+4(x－1)－20=0
参考答案： (1)(a-6)(a-1)， (2)(2x+5)(4x-7) (3)(3x-1)(6x-5)， (4)-(4y-5)(5y+4) (5)(x+1)(2x+1)， (6)(y+2)(2y-3) (7)(2x-3)(3x-2)， (8)(a-3)(3a+2) (9)(2x-3)(3x-1)， (10)(2m+1)(2m+3) (11)(x-2)(10x-1)， (12)(2m-3)(4m-5) (13)(2n+5)(2n-3)， (14)(2a+5)(3a-7) (15)(x+1)(5x-13)， (16)(x+3)(4x+3) (17)(3x-1)(5x=2)， (18)(2y+5)(3y+2) (19)(3a-b)(5b-a)， (20)(x+1)(7x-17) 解一元二次方程十字相乘法专项练习题 9.21 一、十字相乘分解因式： 分解因式：232++x x 232+-x x 322-+x x 322--x x 652++x x 652+-x x 652-+x x 652--x x 22-+x x 1242--x x 6322-+x x 1582+-x x 32122++x x 9102++x x 1032--x x 1522--x x 分解因式： 2522++x x 3522--x x 20322--x x 7522-+x x 3 722++x x 3 722+-x x 6722+-x x 6722+-x x 6 732-+x x 3 832-+x x 2532+-x x 2352--x x 8652-+x x 25562--x x 3762+-x x
十字相乘法的用法
十字相乘法 “十字相乘法”虽然比较难学,但是学会了它, 用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运算量不大，不容易出错。它在分解因式/解一元二次方程中有广泛的应用： 十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 例1把m2+4m-12分解因式 分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题 解：因为 1 -2 1 ╳ 6 所以m2+4m-12=（m-2）（m+6） 例2把5x2+6x-8分解因式 分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题 解：因为 1 2 5 ╳ -4 所以5x2+6x-8=（x+2）（5x-4） 例3解方程x2-8x+15=0 分析：把x2-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15， 3×5。 解：因为 1 -3 1 ╳ -5 所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0 所以x1=3 x2=5
例4、解方程 6x2-5x-25=0 分析：把6x2-5x-25看成一个关于x的二次三项式， 则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。 解：因为 2 -5 3 ╳ 5 所以原方程可变形成（2x-5）（3x+5）=0 所以 x1=5/2 x2=-5/3 用十字相乘法解一些比较难的题目： 例5把14x2-67xy+18y2分解因式 分析：把14x2-67xy+18y2看成是一个关于x的二次三项式, 则14可分为1×14,2×7, 18y2可分为y.18y , 2y.9y , 3y.6y 解: 因为 2 -9y 7 ╳ -2y 所以 14x2-67xy+18y2= (2x-9y)(7x-2y) 例6 把10x2-27xy-28y2-x+25y-3分解因式 分析：在本题中，要把这个多项式整理成二次三项式 的形式 解法一、10x2-27xy-28y2-x+25y-3 =10x2-（27y+1）x -（28y2-25y+3） 4y -3 7y ╳ -1 =10x2-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1） 2 -（7y – 1） 5 ╳ 4y - 3
(最新)用十字相乘法解一元二次方程
用十字相乘法解一元二次方程 我们知道()()22356x x x x ++=++，反过来，就得到二次三项式2 56x x ++的因式分解形式，即()()25623x x x x ++=++，其中常数项6分解成2,3两个因数的积，而且这两个因数的和等于一次项的系数5，即6=2×3，且2+3=5。 一般地，由多项式乘法，()()()2x a x b x a b x ab ++=+++，反过来，就得到 这就是说，对于二次三项式2x px q ++，如果能够把常数项q 分解成两个因数a 、b 的积，并且a+b 等于一次项的系数p ，那么它就可以分解因式，即 ()()()22x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++。运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式。 把2x px q ++分解因式时： 如果常数项q 是正数，那么把它分解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数p 的符号相同。 如果常数项q 是负数，那么把它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数p 的符号相同。 对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项的系 由上面例子启发我们，应该如何把二次三项式2 ax bx c ++进行因式分解。 我们知道， ()() ()1122212122112212122112 a x c a x c a a x a c x a c x c c a a x a c a c x c c ++=+++=+++ 反过来，就得到 ()()()212122112 1122 a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++ 我们发现，二次项的系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，并且把1a ，2a ，1c ，2c 排列如下： 1a 1c 2a 2c 这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1a 2c +2a 1c ，如果它们正好等于2 ax bx c ++的一次
初中数学十字相乘法练习
第十一讲 十字相乘法 探究解决： （1）请直接填写下列结果 （x+2）（x+1）= ； （x+2）（x-1）= ； （x-2）（x+1）= ；（x-2）（x-1）= 。 把上述式子左右对调，你有什么发现？ 二次项系数为1的二次三项式的二次三项式 直接利用公式直接利用公式————))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解进行分解。。 特点特点：：（（11）二次项系数是1； （（2）常数项是两个数的乘积常数项是两个数的乘积；； （3）一次项系数是常数项的两因数的和一次项系数是常数项的两因数的和。。 （4）归纳归纳：：=+++ab x b a x )(2（ ）（）（）（ ）） 将x 2+3x+2分解因式，看下图，你有什么启发？ x 2 +3x +2 2x + x = 3x 例 x 2 + 6x – 7= （x+7）(x-1) 步骤步骤 步骤： ①竖分竖分竖分二次项与常数项 ②交叉交叉 交叉相乘，和相加 ③检验确定，横写横写横写因式 -x + 7x = 6x 例1. 用十字相乘法分解因式： （1）x 2-8x+15 （2）x 2+4x+3 （3）-x 2-6x+16 练习 1．把下列各式分解因式： （1）1522??x x = ； (2) =?+1032x x 。 （3） x 2-2x-3= 。 2．若=??652m m (m ＋a )(m ＋b )，则 a 和b 的值分别是 或 。 3. 分解因式(1)24142++x x (2)36152+?a a (3)542?+x x (4)22?+x x (5)1522??y y (6)24102??x x x x 1 2×x ??7× x 1?
十字相乘法的方法
十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。（2）用十字相乘法来解一元二次方程。 3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。 4、十字相乘法的缺陷：1、有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。3、十字相乘法比较难学。 5、十字相乘法解题实例： 1)、用十字相乘法解一些简单常见的题目 例1把m²+4m-12分解因式 分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题 解：因为1 -2 1 ╳6 所以m²+4m-12=（m-2）（m+6） 例2把5x²+6x-8分解因式 分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题 解：因为1 2 5 ╳-4 所以5x²+6x-8=（x+2）（5x-4） 例3解方程x²-8x+15=0 分析：把x²-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。 解：因为1 -3 1 ╳-5 所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0 所以x1=3 x2=5 例4、解方程6x²-5x-25=0 分析：把6x²-5x-25看成一个关于x的二次三项式，则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。 解：因为2 -5 3 ╳5 所以原方程可变形成（2x-5）（3x+5）=0 所以x1=5/2 x2=-5/3 2)、用十字相乘法解一些比较难的题目 例5把14x²-67xy+18y²分解因式 分析：把14x²-67xy+18y²看成是一个关于x的二次三项式,则14可分为1×14,2×7, 18y²可分为y.18y , 2y.9y , 3y.6y 解: 因为2 -9y 7 ╳-2y 所以14x²-67xy+18y²= (2x-9y)(7x-2y) 例6 把10x²-27xy-28y²-x+25y-3分解因式