最新平面向量与空间向量知识点对比
高考数学总复习---平面向量知识与空间向量的应用
A、重心 外心 垂心
B、重心 外心 内心
10、在△OAB 中, OA =
a
a , OB = b , OP = p ,若 p = t ( a
b b
) ，t∈R，则点
P 在(
)
A、∠AOB 平分线所在直线上 C、AB 边所在直线上
B、线段 AB 中垂线上 D、AB 边的中线上
a (1,0) m(0,1), m R Q b b (1,1) n(1,1), n R 是两个向量集
合，则 P Q = A． ｛〔1，1〕 ｝
B. ｛〔-1，1〕 ｝
C. ｛〔1，0〕 ｝
D. ｛〔0，1〕 ｝
9、已知 O、N、P 在 ABC 所在平面内，且满足| OA |＝| OB |＝| OC |， NA + NB + NC = 0 ，且
PA PB PB PC PC PA ，则点
O，N，P 依次是 ABC 的 C、外心 重心 垂心 D、外心 重心 内心
平面向量与空间向量 专题强化练习
一、高考真题展示
1、设
a (4,3) ， a
在 b 上的投影为 5
2 B． 2, 7
2 2
， b 在 x 轴上的投影为 2，且 D． 2,8
b 14 ，则 b
为（
）
A． 2,14 2、设
2 C． 2, 7
a 1 e1 2 e2
。
a ( x1 , y1 ) , b ( x2 , y 2 ) ,则 a // b a b ( b 0 ) 或者
平面向量和空间向量的知识点对比
平面向量和空间向量的知识点对比知识点平面向量空间向量。
---定义既有大小又有方向的量，在平面内既有大小又有方向的量，在空间中。
表示方法通常用有向线段表示，如→AB，也可以用坐标表示(x,y)通常用有向线段表示，如→AB，坐标表示为(x,y,z)向量的模对于平面向量→a=(x,y)，|→a|=√(x^2)+y^{2}对于空间向量→a=(x,y,z)，|→a|=√(x^2)+y^{2+z^2}相等向量大小相等且方向相同的向量，在平面内大小相等且方向相同的向量，在空间中。
平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，在平面内→a=k→b(k∈ R)表示→a∥→b方向相同或相反的非零向量，在空间中→a=k→b(k∈ R)表示→a∥→b加法运算三角形法则和平行四边形法则。
<br>若→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)，则→a+→b=(x_1+x_2,y_1+y_2)三角形法则和平行四边形法则。
<br>若→a=(x_1,y_1,z_1)，→b=(x_2,y_2,z_2)，则→a+→b=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)减法运算三角形法则。
<br>若→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)，则→a-→b=(x_1-x_2,y_1-y_2)三角形法则。
<br>若→a=(x_1,y_1,z_1)，→b=(x_2,y_2,z_2)，则→a-→b=(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)数乘运算若→a=(x,y)，k∈ R，则k→a=(kx,ky)若→a=(x,y,z)，k∈ R，则k→a=(kx,ky,kz)数量积若→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)，则→a·→b=x_1x_2+y_1y_2，→a·→b=|→a||→b|cosθ（θ为→a与→b的夹角）若→a=(x_1,y_1,z_1)，→b=(x_2,y_2,z_2)，则→a·→b=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2，→a·→b=|→a||→b|cosθ（θ为→a与→b的夹角）向量的夹角设→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)，cosθ=frac{→a·→b}{|→a||→b|}=frac{x_1x_2+y_1y_2}{√(x_1)^2+y_{1^2}·√(x_2)^2+y_{2 ^2}}，θ∈[0,π]设→a=(x_1,y_1,z_1)，→b=(x_2,y_2,z_2)，co sθ=frac{→a·→b}{|→a||→b|}=frac{x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2}{√(x_1)^2+y_{1^2+z_1^2}·√(x_2)^2+y_{2^2+z_2^2}}，θ∈[0,π]向量垂直若→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)，→a⊥→bLeftrightarrow→a·→b=0Leftrightarrow x_1x_2+y_1y_2=0若→a=(x_1,y_1,z_1)，→b=(x_2,y_2,z_2)，→a⊥→bLeftrightarrow→a·→b=0L eftrightarrow x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2=0向量的应用在平面几何、物理（如力的合成与分解等）中有广泛应用在立体几何（如证明线面平行、垂直，求异面直线所成角、线面角、二面角等）、物理（如空间力的分析等）中有广泛应用。
(整理)平面向量空间向量知识点
平面向量§2.1.1、向量的物理背景与概念1、 了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、 既有大小又有方向的量叫做向量. §2.1.2、向量的几何表示1、 带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.2、 向量AB 的大小，也就是向量AB 的长度（或称模），记作AB u u u r ；长度为零的向量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量.3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行. §2.1.3、相等向量与共线向量1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. §2.2.1、向量加法运算及其几何意义 1、 三角形加法法则和平行四边形加法法则.2、b a +≤b a +.§2.2.2、向量减法运算及其几何意义1、 与a 长度相等方向相反的向量叫做a 的相反向量.2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则.§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义1、 规定：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：a λ，它的长度和方向规定如下：⑴= ⑵当0>λ时, λ的方向与的方向相同；当0<λ时, λ的方向与的方向相反. 2、 平面向量共线定理：向量()0≠a a 与 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使λ=. §2.3.1、平面向量基本定理1、 平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量，有且只有一对实数21,λλ，使2211e e a λλ+=. §2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示 1、 ()y x j y i x a ,=+=. §2.3.3、平面向量的坐标运算1、 设()()2211,,,y x y x ==，则： ⑴()2121,y y x x b a ++=+，⑵()2121,y y x x b a --=-， ⑶()11,y x λλλ=， ⑷1221//y x y x =⇔. 2、 设()()2211,,,y x B y x A ，则： ()1212,y y x x AB --=. §2.3.4、平面向量共线的坐标表示 1、设()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，则 ⑴线段AB 中点坐标为()222121,y y x x ++， ⑵△ABC 的重心坐标为()33321321,y y y x x x ++++.§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义1、 θ=⋅.2、 在θ.3、 2=.4、=.5、 0=⋅⇔⊥b a b a .§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1、 设()()2211,,,y x b y x a ==，则：⑴2121y y x x +=⋅2121y x +=⑶121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=r r r r⑷1221//0a b a b x y x y λ⇔=⇔-=r r r r2、 设()()2211,,,y x B y x A ，则：()()212212y y x x -+-=.3、 两向量的夹角公式cos a ba bθ⋅==r r r r4、点的平移公式平移前的点为(,)P x y （原坐标），平移后的对应点为(,)P x y '''（新坐标），平移向量为(,)PP h k '=u u u r ， 则.x x h y y k '=+⎧⎨'=+⎩函数()y f x =的图像按向量(,)a h k =r平移后的图像的解析式为().y k f x h -=-§2.5.1、平面几何中的向量方法 §2.5.2、向量在物理中的应用举例空间向量空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳.1、直线的方向向量和平面的法向量 ⑴．直线的方向向量：若A 、B 是直线l 上的任意两点，则AB u u u r 为直线l 的一个方向向量；与AB u u u r平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量. ⑵．平面的法向量：若向量n r 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n α⊥r ，如果n α⊥r，那么向量n r叫做平面α的法向量.⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）： ①建立适当的坐标系．②设平面α的法向量为(,,)n x y z =r．③求出平面内两个不共线向量的坐标123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==r u r．④根据法向量定义建立方程组0n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r r r r .⑤解方程组，取其中一组解，即得平面α的法向量.（如图）1、 用向量方法判定空间中的平行关系 ⑴线线平行设直线12,l l 的方向向量分别是a b r r 、，则要证明1l ∥2l ，只需证明a r ∥b r ，即()a kb k R =∈r r. 即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线。
高中数学第二章空间向量与立体几何1从平面向量到空间向量ppt课件
→ —→ (2)〈AB，C1A1〉； 解答 〈A→B，C—1→A1〉＝π－〈A→B，A—1→C1〉＝π－π4＝34π.
→ —→ (3)〈AB，A1D1〉.
解答
〈A→B，A—1→D1〉＝〈A→B，A→D〉＝π2.
引申探求 →→
在本例中，求〈AB1，DA1〉. 解答
如图，衔接B1C，那么B1C∥A1D， →→
梳理
间向量的夹角
(1)文字表达：a，b是空间中两个非零向量，过空间恣意一点O，作
→ OA
＝a，O→B＝b，那么∠AOB 叫作向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉 .
(2)图形表示：
角度
表示
〈a，b〉＝__0_
〈a，b〉是_锐__角__
〈a，b〉是_直__角__ 〈a，b〉是_钝__角__〈a，b〉 Nhomakorabea_π__
第二章 空间向量与立体几何
§1 从平面向量到空间向量
学习目的 1.了解空间向量的概念. 2.了解空间向量的表示法，了解自在向量的概 念. 3.了解空间向量的夹角. 4.了解直线的方向向量与平面的法向量的概念.
内容索引
问题导学 题型探求 当堂训练
问题导学
知识点一 空间向量的概念
思索1
类比平面向量的概念，给出空间向量的概念. 答案 在空间中，把具有大小和方向的量叫作空间向量.
答案 解析
研讨长方体的模型可知，一切顶点两两相连得到的线段中，长度为1 的线段只需4条，故模为1的向量有8个.
12345
5.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的 是②__③____.(填序号)答案
No Image
12345
规律与方法
在空间中，一个向量成为某直线的方向向量的条件包含两个方面：一是 该向量为非零向量；二是该向量与直线平行或重合.二者缺一不可. 给定空间中恣意一点A和非零向量a，就可以确定独一一条过点A且平行 于向量a的直线.
2-1从平面向量到空间向量 课件(北师大版选修2-1)
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
(3)空间中，若一个向量所在直线 平行于 一个平面，则称这个 向量平行于该平面． (4)把平行于同一平面的一组向量称作共面向量，
不平行于同一个平面 的一组向量称为不共面向量．
(5)平行于一个平面的向量 垂直 该平面的法向量．
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：空间两个向量能否异面？空间两个向量是否确定唯一 的平面？ 提示 空间两个向量不能异面，是因为空间任意两个向量都可 转化为共面向量；空间两个向量不能确定唯一的平面，因为同 向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量． 因此，空间两向量可以平移到以空间任意点 O 为起点的同一个 平面内，所以空间两向量确定的平面不是一个，而是一组互相 平行的平面的集合．但在研究解决具体问题时，一般只要在其 中一个平面内考虑即可．
课前探究学习 课堂讲练互动 活页限时训练
解 (1)假命题，有向线段只是空间向量的一种表示形式，但不 能把二者完全等同起来．(2)假命题，不相等的两个空间向量的 模也可以相等，只要它们的方向不相同即可．(3)假命题，当两 个向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两 → → 个向量相等却不一定有相同的起点和终点． (4)真命题， 与AB BA 仅是方向相反，它们的长度是相等的．
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(4)与平面向量一样，空间向量的大小也叫作向量的长度或模， → 用 |AB| 或 |a| 表示． (5)向量夹角的定义：如图所示，两非零向量 a，b， → → 在空间中任取点 O，作OA＝a，OB＝b，则 ∠AOB 叫作向量 a，b 的夹角，记作〈a，b〉 ． (6)向量夹角的范围：规定 0≤〈a，b〉≤π ． π (7)特殊角： 〈a， ＝ 2 时， 当 b〉 向量 a 与 b 垂直 ， 记作 a⊥b ； 当〈a，b〉＝0 或π 时，向量 a 与 b 平行 ，记作 a∥b ．
6-2平面向量场与空间向量场_712106810
f ( x, y ) P ( x, y )dx g ( y ). 两边对y求导, 有 Q( x, y ) f y ( x, y ) P( x, y )dx g ( y ). y 于是g ( y ) Q( x, y ) P( x, y )dx, 解出g , 从而得f . y
Recall:有势场u : 无源场u : 无旋场u : 保守场u : 调和场u :
f , s.t., u f u 0 u 0 积分与路径无关 (有势场&无源场) f , f 0, s.t., u f
目标 : 一定条件下,保守场,有势场和无旋场三者相互等价. Remark:从定义上来看,保守场和有势场都不好验证,但 无旋场很容易验证.
Pdx Qdy
( x, y )
( x0 , y0 )
Pdx Qdy
因积分与路径无关, 对后一积分任意取定一条以 ( x0 , y0 )为起点,以( x, y )为终点的逐段光滑曲线L, 对前一积分,其积分曲线从( x0 , y0 )先沿L至( x, y ), 再沿平行于oy轴的直线段L1从( x, y )到( x, y y ). 于是
(1) (2),(1) (3)
L Pdx Qdy 0.
Proof : (1) (2) 任取D中逐段光滑的有向闭曲线 L,在L上任取两点A, B, 将L分成有相同起点A和相 同终点B的两条逐段光滑的有向曲线L1和L2 (如图). 因v是保 x, y y) (其中0 1) Q( x, y) (当y 0时.)
高中数学中的空间向量重点知识点归纳
高中数学中的空间向量重点知识点归纳在高中数学中，空间向量是一个十分重要的概念，它不仅在几何学中有广泛的应用，还在物理学等学科中起到关键作用。
掌握空间向量的相关知识对于解决现实生活和学习中的问题具有重要意义。
本文将对高中数学中空间向量的重点知识点进行归纳总结。
1. 空间向量的概念空间向量是指空间中的有方向的线段，它由起点和终点确定，并且可以平移。
空间向量常用字母表示，如AB、CD等。
空间向量具有大小和方向两个重要特征，可以用坐标表示，也可以用向量的箭头和尾巴表示。
2. 向量的坐标表示向量的坐标表示是指用数值表示向量在坐标系中的位置。
在三维直角坐标系中，空间向量可以用三个有序实数表示。
通常我们用尖括号 < a, b, c > 表示一个向量，其中a、b、c分别表示向量在x、y、z轴上的分量。
例如向量AB可以表示为< x2-x1, y2-y1, z2-z1 >，其中A的坐标为(x1, y1, z1)，B的坐标为(x2, y2, z2)。
3. 向量的运算(1) 向量的加法向量的加法是指将两个向量相连接形成一个新的向量的运算。
假设有向量AB和向量BC，将它们的起点和终点相连得到一条新的向量AC，表示为向量AC = 向量AB + 向量BC。
向量的加法满足“平行四边形法则”，即将两个向量的起点相连得到的向量与两个向量终点相连得到的向量是相等的。
(2) 向量的数量乘法向量的数量乘法是指将向量与一个实数相乘得到一个新的向量。
假设有向量AB，将其与实数k相乘得到一个新的向量kAB。
当k>1时，新向量与原向量的方向相同；当0<k<1时，新向量与原向量的方向相反；当k<0时，新向量与原向量的方向相反。
(3) 向量的点积向量的点积是指将两个向量进行数量乘法后再求和得到一个实数的运算。
假设有向量AB和向量AC，将它们的数量乘法相加得到一个实数AB·AC，表示为AB·AC = |AB| |AC| cosθ，其中θ表示两个向量之间的夹角，|AB|和|AC|分别表示两个向量的模长。
2.1从平面向量到空间向量课件(北师大版高中数学选修2-1)
例3 对空间任意一点O和不共线的三点 A、B、C，试问满足向量关系式 OP xOA yOB zOC （其中
x y z 1 ）的四点P、A、B、
C是否共面？
例4
已知A、B、M三点不共线，对于平面
ABM外的任一点O，确定在下列各条件下， 点P是否与A、B、M一定共面？
2.共面向量定理:如果两个向量
p与向量 不共线,则向量
a ,b
a , 共面的充要 b 条件是存在实数对 x, y使 P xa yb
B b M a A
p
A
P
O
推论:空间一点P位于平面MAB内的充要
条件是存在有序实数对x,y使 MP xMA yMB 或对空间任一点O,有 OP OM xMA yMB
向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量 叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b 零向量与任意向量共线. 量 使 的充要条件是存在实数λ a, b(b o), a // b a b
2.共线向量定理:对空间任意两个向
a 知非零向量 的直线,那么对任一点O,点P在 直线 上的充要条件是存在实数t,满足等式 l a OP=OA+t 其中向量a叫做直线的方向向量.
A E B C
D
(1) AC x( AB BC CC )
' '
(2) AE AA x AB y AD
'
A
D C
B
练习
A
在立方体AC1中,点E是面A’C’ 的中心,求下 列各式中的x,y. ' D ( 2) AE AA x AB y AD
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0≤＜ a,b ＞≤ π
0≤＜ a,b ＞≤ π
结合律、交换律
平面向量 a 与一个实数的乘积是一个向量，记作 λa.
空间向量 a 与一个实数的乘积是一个向量，记作 λa.
向量 a a 0 与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数
，使 空间两个向量 a a 0 与 b 共线， 当且仅当有唯一一个实数
常用公式
AB x2 x1, y2 y1 .
AB x2 x1, y2 y1, z2 z1 .
（a+b）（a-b ） =a2－b2 = |a| 2－ |b| 2, (a ?b) 2 =a2?2ab+b2
设 A x1, y1 , B x 2, y2 ，则：
(1)|a|= a a (2 ）a⊥b a· b=0 (3) cos a, b a b (a 0,b 0)
| a || b |
=
x1 x2 y1 y2 z1z2
x12 y12 z12 x22 y22 z22
a xi y j zk x, y, z
设 a x1, y1, z1 ,b x2 , y2 , z2 ，则：
=
x1x2 y1 y2
x12 y12
x22 y22
a xi y j x, y
设 a x1, y1 , b x2 , y2 ，则：
a b x1 x2 , y1 y2 ，
坐标运算
a b x1 x2, y1 y2 ， a x1, y1 ，
a / /b a b x1y2 x2 y1 0
ab
ab 0
x1 x2 y1 y 2 0
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内容
定义
表示方法
相同点 模的大小
夹角 加减运算律
数乘
共线向量定理
数量积 数量积的运算律
平面向量与空间向量知识点对比
平面向量
既有大小，又有方向 （1）用有向线段 AB 表示； （2）用 a, b,c 或 a,b,c 表示
用| AB | 或| a | 表示
空间向量
既有大小，又有方向 （1）用有向线段 AB 表示； （2）用 a, b,c 或 a,b,c 表示 自由向量（与起点无关）
，
ba
平面向量数量积是一个数，间向量数量积是一个数，即为 a b
a b cos
交换律、分配律
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数量积的性质
（1）|a|= a a (2 ）a⊥b a·b=0 (3) cos a, b a b ( a 0,b 0)
| a || b |
向量的正交分解及 坐标表示
a b x1 x2, y1 y2 , z1 z2
a b x1 x2, y1 y2, z1 z2
a
x1 , y1 ，
a // b a b x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 .
ab
ab 0
x1 x 2 y1 y 2 z1z 2 0
设 A x1, y1 , B x 2, y 2 ，则：
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