安徽省皖南八校2020届高三上学期第二次联考 数学(理)

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安徽省皖南八校2024届高三数学上学期第二次大联考试题含解析

安徽省皖南八校2024届高三数学上学期第二次大联考试题含解析

考生注意:1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分,考试时间120分钟.2.考生作答时,请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效.3.本卷命题范围:高考范围.一、选择题:共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合{}*2450M x x x =∈--≤N ,{}04N x x =≤≤,则M N ⋂=()A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{}04x x ≤≤ D.{}14x x ≤≤【答案】B 【解析】【分析】解不等式求出集合M ,根据集合的交集运算,即可得答案.【详解】解2450x x --≤,得:15x -≤≤,所以{}{}*151,2,3,4,5M x x =∈-≤≤=N ,{}04N x x =≤≤,所以{1,2,3,4}M N ⋂=.故选:B.2.形如a b c d我们称为“二阶行列式”,规定运算a b ad bc c d=-,若在复平面上的一个点A 对应复数为z ,其中复数z 满足1ii 12i 1z -=+,则点A 在复平面内对应坐标为()A.(3,2)B.(2,3)C.(2,3)- D.(3,2)-【答案】A 【解析】【分析】根据题意结合复数的运算可得32i z =+,结合复数的几何意义分析求解.【详解】由题意可得:()(12i)(1i)3i i -+-=-+=z z ,则()i 3i 32i =++=+z ,所以点A 在复平面内对应坐标为(3,2).故选:A.3.已知动点M 10y --=,则动点M 的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆【答案】C 【解析】【分析】根据方程表示的几何意义结合抛物线定义,即可判断出答案.10y --=1y =+,表示动点(,)M x y 到点(0,1)F 和直线1y =-的距离相等,所以动点M 的轨迹是以(0,1)F 为焦点的抛物线,故选:C.4.已知向量(2,)a m = ,(1,1)b m =+- ,且a b ⊥ ,若(2,1)c = ,则a 在c方向上的投影向量的坐标是()A.42,55⎛⎫ ⎪⎝⎭B.11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C.11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D.42,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据垂直向量的坐标运算建立方程求得参数,结合投影的定义,可得答案.【详解】a b ⊥ ,故2(1)0m m +-=,解得2m =-,所以(2,2)a =-,则a 在c方向上的投影向量为a ccc c =⋅⋅42,55⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选:A.5.中国国家馆,以城市发展中的中华智慧为主题,表现出了“东方之冠,鼎盛中华,天下粮仓,富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图,现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台1111ABCD A B C D -,上下底面的中心分别为1O 和O ,若1124AB A B ==,160A AB ∠=︒,则正四棱台1111ABCD A B C D -的体积为()A.2023B.2823C.3D.2863【答案】B 【解析】【分析】根据正四棱台性质求出侧棱长,继而求得高,根据棱台的体积公式,即可求得答案.【详解】因为1111ABCD A B C D -是正四棱台,1124AB A B ==,160A AB ∠=︒,侧面以及对角面为等腰梯形,故()1111122cos AB A B AA A AB -==∠,12AO AC ==22AB =111122AO A B ==,所以1OO ==,所以该四棱台的体积为(1111112282(1648)333ABCD D A B C V OO S S =++=⋅=++,故选:B.6.已知数列{}n a 是递增数列,且*n a ∈N ,数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1067S =,则5a 的最大值为()A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件,确定数列前4项的值,后5项与5a 的差,即可列式计算得解.【详解】数列{}n a 是递增数列,且*n a ∈N ,而数列{}n a 的前10项和为定值,为使5a 取最大,当且仅当前4项值最小,后5项分别与5a 的差最小,则12341,2,3,4a a a a ====,657585951051,2,3,4,5a a a a a a a a a a -=-=-=-=-=,因此10121051061567S a a a a =++⋅⋅⋅+=++=,解得57a =,所以5a 的最大值为7.故选:C7.已知()f x 是定义在R 上的偶函数,函数()g x 满足()()0g x g x +-=,且()f x ,()g x 在(],0-∞单调递减,则()A.()()f g x 在[)0,∞+单调递减B.()()g g x 在(],0-∞单调递减C.()()g f x 在[)0,∞+单调递减D.()()ff x 在(],0-∞单调递减【答案】C 【解析】【分析】利用函数的奇偶性与单调性一一判定选项即可.【详解】由题意知()f x 在[)0,∞+单调递增,()g x 为奇函数,在R 上单调递减.设120x x ≤<,则()()21g x g x <0≤,()()()()21f g x f g x >,所以()()f g x 在[)0,∞+单调递增,故A 错误,设120x x <≤,则()1g x >()2g x ,()()()()12g g x g g x <,()()g g x 在(],0-∞单调递增,故B 错误;设120x x ≤<,则()1f x ()2f x <,()()()()12g f x g f x >,所以()()g f x 在[)0,∞+单调递减,故C 正确;取()21f x x =-,则()()()2211ff x x=--,()()00f f =,()()11f f -=-,此时()()f f x 在(],0-∞不单调递减,故D 错误.故选:C.8.已知点P 在直线60x y +-=上,过点P 作圆22:4O x y +=的两条切线,切点分别为A ,B ,点M 在圆2214:133C x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上,则点M 到直线AB 距离的最大值为()A.B.1+ C. D.1+【答案】B 【解析】【分析】结合点P 在直线60x y +-=上,求出切点弦AB 的方程,确定其所经过的定点,确定当CQ AB ⊥时,C 到直线AB 的距离最大,M 到直线AB 的距离也最大,即可求得答案.【详解】根据题意,设点(,)P m n ,则6m n +=,过点P 作圆22:4O x y +=的切线,切点分别为A ,B ,则有OA ⊥PA ,OB PB ⊥,则点A ,B 在以OP 为直径的圆上,以OP 为直径的圆的圆心为,22m n D ⎛⎫⎪⎝⎭,半径12r OP =2=,则其方程为2222224m n m n x y +⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,变形可得220x y mx ny +--=,联立22224x y x y mx ny ⎧+=⎨+--=⎩,可得圆D 和圆O 公共弦AB 为:40mx ny +-=,又由6m n +=,则有mx +()640m y --=,变形可得()640m x y y -+-=,则有0640x y y -=⎧⎨-=⎩,可解得23x y ==,故直线AB 恒过定点22,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭,点M 在圆2214:133C x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上,14,33C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,当CQ AB ⊥时,C 到直线AB 的距离最大,M 到直线AB 的距离也最大,则点M 到直线AB 距离的最大值为111CQ +==.故选:B.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.下列说法正确的是()A.一组数据2、3、3、4、5、7、7、8、9、11的第80百分位数为8.5B.在回归分析中,可用决定系数2R 判断模型拟合效果,2R 越小,模型的拟合效果越好C.若变量ξ服从()217,N σ,(1718)0.4P ξ<≤=,则(18)0.1P ξ>=D.将总体划分为2层,通过分层抽样,得到两层的样本平均数和样本方差分别为1x ,2x 和21s ,22s ,若12x x =,则总体方差()2221212s s s =+【答案】AC 【解析】【分析】对于A ,根据百分位数的计算方程,可得答案;对于B ,结合拟合的定义,可得答案;对于C ,根据正态分布的对称性,可得答案;对于D ,利用方差的计算,可得答案.【详解】对于A ,数据2、3、3、4、5、7、7,8、9、11共10个数,因为1080%8⨯=,因此,这组数据的第80百分位数为898.52+=,故A 正确,对于B ,在回归分析中,可用决定系数2R 的值判断模型拟合效果,2R 越大,模型的拟合效果越好,故B 错误;对于C ,因为变量ξ服从()217,N σ,(1718)0.4P ξ<≤=,则(18)0.5(1718)0.50.40.1P P ξξ>=-<≤=-=,故C 正确;对于D ,不妨设两层的样本容量分别为m ,n ,总样本平均数为x ,则()()222221212m n s s x x s x x m n m n ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦++,易知只有当m n =,12x x =时,有()2221212s s s =+,故D 错误.故选:AC.10.已知函数π()sin()0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示,且(0)1f =,若()g x =()f x a +为奇函数,则a 可能取值为()A.π3B.5π12C.π6D.π12-【答案】BD 【解析】【分析】根据图像有2A =,根据(0)2sin 1f ϕ==及π2ϕ<,确定ϕ值,再根据图像确定2π11π12T ω=>,结合11π012f ⎛⎫= ⎪⎝⎭求出ω,确定()f x 解析式,又要使()()g x f x a =+为奇函数,则(0)()0g f a ==,求a 值.【详解】由图象可得2A =,再根据(0)2sin 1f ϕ==,π2ϕ<,故π6ϕ=,又2π11π12T ω=>,则24011ω<<,又11π012f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以11ππ2π126k ω⨯+=,Z k ∈,得2ω=,故π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭;要使()()g x f x a =+为奇函数,则(0)()0g f a ==,所以π2π6a k +=,Z k ∈,得ππ212k a =-,当0k =时12πa =-,当1k =时5π12a =,所以B 、D 符合,其它选项不符合.故选:BD11.若函数()e e x x f x a b cx -=++,既有极大值点又有极小值点,则()A.0ac < B.0bc < C.()0a b c +< D.240c ab +>【答案】ACD【解析】【分析】根据极值定义,求导整理方程,结合一元方程方程的性质,可得答案.【详解】由题知方程2e e ()e e 0ex x xxxa c bf x a b c -+-'=-+==,2e e 0x x a c b +-=有两不等实根1x ,2x ,令e x t =,0t >,则方程20at ct b +-=有两个不等正实根1t ,2t ,其中11e x t =,22e xt =,212120Δ4000a c abc t t a bt t a ≠⎧⎪=+>⎪⎪⎨+=->⎪⎪=->⎪⎩,24000c ab ac ab ⎧+>⎪<⎨⎪<⎩,()00bc a b c ab ac >⎧⎨+=+<⎩,故ACD 正确,B 错误.故选:ACD.12.已知一圆锥,其母线长为l 且与底面所成的角为60︒,下列空间几何体可以被整体放入该圆锥的是()1.73≈, 1.41≈)A.一个半径为0.28l 的球B.一个半径为0.28l 与一个半径为0.09l 的球C.一个边长为0.45l 且可以自由旋转的正四面体D.一个底面在圆锥底面上,体积为30.04l π的圆柱【答案】ABC 【解析】【分析】作出相应的空间图形及轴截面,再对各个选项逐一分析判断即可得出结果.【详解】如图1,球1O 与圆锥侧面、底面均相切,球2O 与球1O 、圆锥侧面相切,作圆锥的轴截面如图2,设小球1Q 半径为1r ,球1Q 与BC 边相切于点E ,60CBA ∠=︒,30DCB ∠=︒,1O E BC ⊥,所以112CO r =,132CD r ==,130.286r l ∴=>,故A 正确;设小球2O 半径为2r ,同理可知21130.09318r r l l ==>,故B 正确;将棱长为a 的正四面体放置到正方体中,如图则正四面体的外接球即正方体的外接球,易知正方体的外接球球心在体对角线的中点O 处,半径为1B D 的一半长,易知,2BC a =,所以12B D a =,故棱长为a 的正四面体外接球半径为4a ,则46a ≤则边长3a l ≤,20.453l l >,故C 正确;如图3,一圆柱内接圆锥,作圆锥的轴截面如图4,设圆柱底面半径为3r ,高为h ,因为3r CD h DB CD -=,又易知,13,22BD l CD ==,代入3r CD h DB CD -=,整理得到332h l =-,所以圆柱的体积()()2223333333332π2ππ2V r h l r l r r r ⎛⎫==⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭,令()()23333π2602V r lr r '=-=,得30r =或313r l =,则体积在10,3l ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在11,32l l ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,()333max π30.044π5V l l r =∴<,故D 错误.图1图2图3图4故选:ABC.【点睛】关键点晴,本题的关键在于将空间问题转化成平面问题来处理.三、填空题:共4小题,每小题5分,共20分.13.二项式(2)(1)n x x -+的展开式中,所有项系数和为256-,则2x 的系数为______(用数字作答).【答案】48-【解析】【分析】利用赋值法求得n ,再根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】令1x =可得二项式(2)(1)nx x -+的所有项系数和为2256n -=-,所以8n =.二项式8(1)x +的展开式的通项公式为18C rrr x T +=⋅,0r =,1, (8)所以(2)(1)nx x -+的展开式中,2x 的系数为1288C 2C -=48-.故答案为:48-14.随机变量ξ有3个不同的取值,且其分布列如下:ξ4sin α4cos α2sin 2αP1414a则()E ξ的最小值为______.【答案】54-【解析】【分析】根据分布列性质求得a 的值,即可求得()E ξ的表达式,结合三角换元以及二次函数性质,即可求得答案.【详解】依题意知11144a ++=,则12a =,则()sin cos sin 2E ξααα=++,设πsin cos 4t ααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,则t ⎡∈⎣,故22sin 2(sin cos )11t ααα=+-=-,所以2215()124E t t t ξ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭,当12t ⎡=-∈⎣时,()E ξ取最小值54-,故答案为:54-15.已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左,右焦点分别为1F ,2F ,过左焦点1F 作直线l 与双曲线交于A ,B 两点(B 在第一象限),若线段AB 的中垂线经过点2F ,且点2F 到直线l 的距离为,则双曲线的离心率为______.【答案】2【解析】【分析】根据题意,由双曲线的定义可得4AB a =,再由勾股定理列出方程即可得到,a c 关系,代入离心率计算公式,即可得到结果.【详解】设双曲线E 的半焦距为c ,0c >,22=BF AF ,根据题意得122BF BF a -=,又21AF AF -212BF AF a =-=,114AB BF AF a ∴=-=,设AB 的中点为C ,在2ACF △中,2CF =,2AC a =,23AF a ∴=,则1AF a =,13CF a =,根据2221212CF CF F F +=,可知2(3)a +)22(2)c =,142c a e =∴=.故答案为:142.16.已知函数22ln e ()21e xa f x a x x x=+-+,(0)a >有唯一零点,则a 的值为______.【答案】2【解析】【分析】设2e (0)e x a t t x=>,转化为方程ln e t t =有唯一解e t =,即2ln 2a x x =-有唯一解,设ln ()22g x a x x =-+,利用导数判断单调性并求出最小值可得答案.【详解】由题意知224e 21e ln x a x x x+=-有唯一解,0x >,故2222e e 21ln e ln e ln e e l ln n x x x a a a x a x x x x=--=--=,设2e (0)e x a t t x=>,即ln e t t =,设(e n )l t F t t =-,则11()e F t t '=-,当(0,e)t ∈时,()0F t '<,函数()F t 单调递减,当(e,)t ∈+∞时,()0F t '>,函数()F t 单调递增;min ()(e)0F t F ==,故方程ln e t t =有唯一解e t =,即2e e e x a x=有唯一解,即2ln 2a x x =-有唯一解,设ln ()22g x a x x =-+,()2a g x x '=-,0a >,当0,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0g x '>,函数()g x 单调递增;当,2a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时,()0g x '<,函数()g x 单调递减;当x 趋近于0和x 趋近于+∞时,()g x 趋近于-∞,故只需满足ln 2022a a g a a ⎛⎫=-+=⎪⎝⎭,设()ln 22a h a a a =-+,()ln 2a h a '=,当(0,2)a ∈时,()0h a '<,函数()h a 单调递减,当(2,)a ∈+∞时,()0'>h a ,函数()h a 单调递增,故min ()(2)0h a h ==,故2a =成立.【点睛】关键点点睛:本题的解题关键点是构造函数,利用导数判断单调性四、解答题:共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S,且满足1n a =+,*N n ∈.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n b 满足12n n n n b a a a +⋅=+,求数列{}n b 的前n 和n T .【答案】(1)21n a n =-,*N n ∈(2)2221n n n T n+=+【解析】【分析】(1)根据数列递推式求出首项,得出当2n ≥时,()211114n n S a --=+,和()2114n n S a =+相减并化简可得12n n a a --=,即可求得答案;(2)利用(1)的结果可得12n n n n b a a a +⋅=+的表达式,利用等差数列的前n 项和公式以及裂项法求和,即可求得答案.【小问1详解】由1n a =+得()2114n n S a =+,则()211114a a =+,解得11a =,当2n ≥时,()211114n n S a --=+,所以()()2211111144n n n n n a S S a a --=-=+-+,整理得()()()1112n n n n n n a a a a a a ----+=+,因为{}n a 是正项数列,所以10n n a a ->+,所以12n n a a --=,所以{}n a 是首项为1,公差为2的等差数列,所以12(1)21n a n n =+-=-,*N n ∈.【小问2详解】由(1)可得,21n a n =-,所以122112121(21)(21)2121n n n n b a n n a a n n n n +=+=-+=-+--+-+⋅,所以(121)111111213352121n n n T n n +-⎛⎫=+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭21121n n =+-+2221n n n =++.18.在ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且22b a ac -=.(1)求证:2B A =;(2)如图:点D 在线段AC 上,且12AD BD CD ==,求cos C 的值.【答案】(1)证明见解析(2)368【解析】【分析】(1)在ABC 中根据余弦定理、正弦定理及三角公式化简可得;(2)由第一问在BCD △中结合正弦定理可得2a c =,在ABC 中根据余弦定理可求得结果.【小问1详解】证明:由余弦定理得2222cos a c b ac B +-=,又22b a ac -=,可得22cos c ac ac B -=,即2cos c a a B -=,由正弦定理得sin sin 2sin cos C A A B -=,而sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+,代入上式,可得sin sin si )cos co i s n s n(A A B A B B A =-=-,所以πA B A +-=(舍)或A B A =-,即2B A =.【小问2详解】因为2B A =,AD BD =,所以=A ABD CBD ∠∠=∠,在BCD △中,由正弦定理得sin sin sin sin CD CBD A a BD C C c∠∠===∠∠,而12BD CD =,可得2a c =,代入22b a ac -=,可得=b ,由余弦定理得222222(2)co 2s 8c c a b c C ab +-+-===.19.如图,在四棱锥P ABCD -中,棱PA ⊥平面ABCD ,底面四边形ABCD 是矩形,6PA AD ==,点N 为棱PD 的中点,点E 在棱AD 上,3AD AE =.(1)求证:PC AN ⊥;(2)已知平面PAB 与平面PCD 的交线l 与直线BE 所成角的正切值为12,求二面角N BE D --的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)27【解析】【分析】(1)利用线线垂直证线面垂直,再由线面垂直的性质证线线垂直即可;(2)建立合适的空间直角坐标系,利用空间向量求二面角即可.【小问1详解】因为PA ⊥平面ABCD ,CD ⊂平面ABCD ,所以PA CD ⊥,又因为四边形ABCD 是矩形,所以AD CD ⊥,因为,PA AD A PA CD ⋂=⊂、平面PAD ,所以CD ⊥平面PAD ,因为AN ⊂平面PAD ,所以CD AN ⊥.因为N 为PD 中点,PA AD =,所以PD AN ⊥,因为PD CD D ⋂=,所以AN ⊥平面PCD ,因为PC ⊂平面PCD ,所以AN PC ⊥.【小问2详解】在矩形ABCD 中,//AB CD ,CD ⊂平面PCD ,AB ⊂/平面PCD ,所以//AB 平面PCD .又AB ⊂平面PAB ,平面PAB ⋂平面PCD l =,所以//AB l .所以l 与直线BE 所成角即为ABE ∠.在Rt ABE △中,123AE AD ==,AB AE ⊥,所以4tan A AE A E B B ∠==.以{},,AB AD AP 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系,则(4,0,0)B ,(0,2,0)E ,(0,3,3)N 所以(4,2,0)BE =- ,(4,3,3)BN =-.设平面BNE 的法向量为(,,)m x y z = ,则4204330m BE x y m BN x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ,取23,6z x y =⇒=-=-,可得(3,6,2)m =-- .又(0,0,6)AP = 为平面BDE 的一个法向量,所以122cos ,67m 7m AP AP m AP ⋅===⨯ .由图可知,二面角N BE D --为锐角,所以二面角N BE D --的余弦值为27.20.人工智能(AI )是一门极富挑战性的科学,自诞生以来,理论和技术日益成熟.某公司研究了一款答题机器人,参与一场答题挑战.若开始基础分值为m (*m ∈N )分,每轮答2题,都答对得1分,仅答对1题得0分,都答错得1-分.若该答题机器人答对每道题的概率均为12,每轮答题相互独立,每轮结束后机器人累计得分为X ,当2X m =时,答题结束,机器人挑战成功,当X 0=时,答题也结束,机器人挑战失败.(1)当3m =时,求机器人第一轮答题后累计得分X 的分布列与数学期望;(2)当4m =时,求机器人在第6轮答题结束且挑战成功的概率.【答案】(1)分布列见解析,()3E X =(2)111024【解析】【分析】(1)利用离散型随机变量的分布列与期望公式计算即可;(2)根据超几何分布分类讨论计算即可.【小问1详解】当3m =时,第一轮答题后累计得分X 所有取值为4,3,2,根据题意可知:()1114224P X ==⨯=,()11132222P X ==⨯⨯=,()1112224P X ==⨯=,所以第一轮答题后累计得分X 的分布列为:X 432()P X 141214所以()1114323424E X =⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】当4m =时,设“第六轮答题后,答题结束且挑战成功”为事件A ,此时情况有2种,分别为:情况①:前5轮答题中,得1分的有3轮,得0分的有2轮,第6轮得1分;情况②:前4轮答题中,得1分的有3轮,得1-分的有1轮,第5.6轮都得1分;所以()3232335411111111C C 4244441024P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.21.如图,已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左右顶点分别为A 、B ,P 是椭圆M 上异于A 、B 的动点,满足14PA PB k k ⋅=-,当P 为上顶点时,ABP 的面积为2.(1)求椭圆M 的方程;(2)若直线AP 交直线:4l x =于C 点,直线CB 交椭圆于Q 点,求证:直线PQ 过定点.【答案】(1)2214x y +=(2)证明见解析【解析】【分析】(1)设椭圆上顶点0(0,)P b ,根据题意求出,a b 即可得解;(2)分直线PQ 斜率是否存在,设()11,P x y ,()22,Q x y ,(4,)C t ,先根据斜率不存在求出定点M ,方法1,联立直线AC 与椭圆方程,求出,P Q 两点的坐标,然后证明,,P M Q 三点共线即可.方法2,当直线PQ 斜率存在时,设直线PQ 为y kx m =+,联立方程,利用韦达定理求出12x x +,12x x ,再结合已知,求出,k m 的关系,即可得出结论.方法3,易得3BQ PA k k =,根据椭圆的对称性可得3PB QA k k =,再利用斜率公式构造对偶式,进而可求出PQ 的方程,从而可得出结论.【小问1详解】设椭圆上顶点0(0,)P b ,则002214P A P B b b b k k a a a =⋅==--⋅-,又01222ABP S ab =⨯=△,两式联立可解得2a =,1b =,所以椭圆M 的方程为2214x y +=;【小问2详解】设()11,P x y ,()22,Q x y ,(4,)C t ,当直线PQ 斜率不存在时,12x x =,12y y =-则直线:(2)6t AC y x =+,:(2)2t BC y x =-所以()()11112,622t y x t y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩,可解得11x =,此时直线PQ 方程为1x =,过定点(1,0);下面证明斜率存在时,直线PQ 也经过(1,0),法1(设而求点):联立直线AC 与椭圆方程:22(2),61,4t y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得()2222944360t x t x t +++-=,()()42216494360t t t ∆=-+->,由韦达定理有212429t x t --=+,即2121829t x t -=+,所以()1126269t t y x t =+=+,所以P 点坐标为2221826,99t t t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭,同理可得Q 点坐标为222222,11t t t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭,设点(1,0)M ,则222936,99t t MP t t ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭ ,22232,11t t MQ t t ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭因为2222229326309191t t t t t t t t ---⋅-=++++,所以//MP MQ ,所以直线PQ 过定点(1,0)M ,证毕.法2(直曲联立):当直线PQ 斜率存在时,设直线PQ 为y kx m =+,由6PA t k =,2BQ t k =,可知3BQ PA k k =,而14PA PB k k ⋅=-,可得34BQ PB k k =-⋅,即()()21122112322224y y y y x x x x ⋅==-----,整理得()121212346120x x y y x x +-++=①,联立直线PQ 与椭圆方程:2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,整理得()222418440k x kmx m +++-=,所以()()()222222644414416410k m k m k m∆=-+-=+->,则2241k m +>,由韦达定理有122841km x x k +=-+,21224441m x x k -=+②,所以()()()2222121212122441m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+⋅③,将②③代入①得2222224448346120414141m m k km k k k --⨯+⨯+⨯+=+++,可得(2)()0k m k m ++=,所以2m k =-或m k =-,当2m k =-时,直线PQ 为2y kx k =-,经过(2,0)B ,舍去,所以m k =-,此时直线PQ 为y kx k =-,经过定点(1,0),直线PQ 过定点得证.法3(构造对偶式):由6PA t k =,2BQ t k =,可知3BQ PA k k =,又14PA PB k k ⋅=-,由椭圆对称性易知14QA QB k k =-⋅,所以3PB QA k k =,可得21211221121221121212322362326322y y x x x y x y y y y y x y x y y y x x ⎧=⨯⎪-+-=--⎧⎪⇒⎨⎨-=--⎩⎪=⨯⎪-+⎩①②,由①②可得122121x y x y y y =--,直线PQ 为()121112y y y y x x x x --=--,令0y =得,1221211x y x y x y y -==-,所以直线PQ 过定点(1,0),证毕.【点睛】方法点睛:求解直线过定点问题常用方法如下:(1)“特殊探路,一般证明”:即先通过特殊情况确定定点,再转化为有方向、有目的的一般性证明;(2)“一般推理,特殊求解”:即设出定点坐标,根据题设条件选择参数,建立一个直线系或曲线的方程,再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即为所求点;(3)求证直线过定点()00,x y ,常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.22.已知函数()e e x x f x a -=-,(R a ∈).(1)若()f x 为偶函数,求此时()f x 在点()()0,0f 处的切线方程;(2)设函数()()(1)g x f x a x =-+,且存在12,x x 分别为()g x 的极大值点和极小值点.(ⅰ)求实数a 的取值范围;(ⅱ)若(0,1)a ∈,且()()120g x kg x +>,求实数k 的取值范围.【答案】(1)20y +=(2)(i )(0,1)(1,)⋃+∞;(ii )(,1]-∞-【解析】【分析】(1)根据偶函数的定义,求出a 的值,然后利用导数求切线方程.(2)(ⅰ)对()g x 进行求导,将()g x 既存在极大值,又存在极小值转化成()0g x =必有两个不等的实数根,利用导数得到()g x 的单调性和极值,进而即可求解;(ⅱ)对()g x 进行求导,利用导数分析()g x 的极值,将()()120g x kg x +>恒成立转化成11ln 11a a k a -⎛⎫<-⋅ ⎪+⎝⎭,构造函数,利用导数分类讨论求解即【小问1详解】()f x 为偶函数,有()e e ()e e x x x x f x a f x a ---=-==-,则1a =-,所以()e e x x f x -=--,()e ex x f x -'=-+所以(0)2f =-,(0)0f '=所以()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为20y +=.【小问2详解】(ⅰ)()()(1)e e (1)x x g x f x a x a a x -=-+=--+,()()2e 1e 1e (1)e 1()e e (1)e e x x x x x x x x a a a g x a a ----++'=+-+==,因为函数()g x 既存在极大值,又存在极小值,则()0g x '=必有两个不等的实根,则0a >,令()0g x '=可得0x =或ln x a =-,所以ln 0a -≠,解得0a >且1a ≠.令{}min 0ln ,m a =-,{}max 0ln ,n a =-,则有:x (,)m -∞m (,)m n n (,)n +∞()g x '+0-0+()g x 极大值 极小值可知()g x 分别在x m =和x n =取得极大值和极小值,符合题意.综上,实数a 的取值范围是(0,1)(1,)⋃+∞.(ⅱ)由(0,1)a ∈,可得ln 0a ->,所以10x =,2ln x a =-,()11g x a =-,()21(1ln )g x a a a =-++且有()()210g x g x <<,由题意可得[]11(1)ln 0a k a a a -+-++>对(0,1)a ∀∈恒成立,由于此时()()210g x g x <<,则0k <,所以()()()1ln 11k a a k a +>--,则11ln 11a a k a -⎛⎫<-⋅ ⎪+⎝⎭,令ln 11()11x h x x k x -⎛⎫=--⋅ ⎪+⎝⎭,其中01x <<,则2222212(1)211112()1(1)(1)(1)x x x x k k h x x k x x x x x ⎛⎫+--++ ⎪⎛⎫⎝⎭'=--⋅== ⎪+++⎝⎭,令2210x x k ++=,则()2224144k k k -∆=-=.①当0∆≤,即1k ≤-时,()0h x '≥,()h x 在(0,1)上是严格增函数,所以()(1)0h x h <=,即11ln 11a a k a -⎛⎫<-⋅ ⎪+⎝⎭,符合题意;(2)当0∆>,即10k -<<时,设方程2210x x k ++=的两根分别为3x ,4x 且34x x <,则3420x x k +=->,341x x =,则3401x x <<<,则当31x x <<时,()0h x '<,则()h x 在()3,1x 上单调递减,所以当31x x <<时,()(1)0h x h >=,即11ln 11a a k a -⎛⎫>-⋅ ⎪+⎝⎭,不合题意.综上所述,k 的取值范围是(,1]-∞-.。

安徽省皖南八校2019-2020学年高三上学期第二次联考数学(理)试题(学生版)

安徽省皖南八校2019-2020学年高三上学期第二次联考数学(理)试题(学生版)

“皖南八校"2020届高三第二次联考数学(理科)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合{}2A x x =≥,{}03B x x =≤≤,则()R AC B =( ) A. [2,)+∞B. (3,)+∞C. [0,3]D. (,2)[2,)-∞⋃+∞ 2.已知12i z i -=+,则z =( ) A. 1355i - B. 1355i + C. 1355i -- D. 1355i -+ 3.某地某所高中2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍,为了更好地对比该校考生的升学情况,统计了该校2016年和2019年的高考升学情况,得到如图所示:则下列结论正确的( )A. 与2016年相比,2019年一本达线人数有所减少B. 与2016年相比,2019年二本达线人数增加了1倍C. 与2016年相比,2019年艺体达线人数相同D. 与2016年相比,2019年不上线的人数有所增加4.已知两个单位向量12,e e 满足12|2|7e e -=,则12,e e 的夹角为( )A. 23πB. 34πC. 3πD. 4π 5.函数22sin ()cos x x f x x x=+在[2,2]ππ-上的图象大致为( ) A. B. C. D.6.已知斐波那契数列的前七项为:1、1、2、3、5、8,13.大多数植物的花,其花瓣数按层从内往外都恰是斐波那契数,现有层次相同的“雅苏娜”玫瑰花3朵,花瓣总数为99,假设这种"雅苏娜”玫瑰花每层花瓣数由内向外构成斐波那契数列,则一朵该种玫瑰花最可能有( )层.A. 5B. 6C. 7D. 87.如图,正方体1111ABCD A B C D -中,点E ,F 分别是,AB AD 的中点,O 为正方形ABCD 的中心,则( )A. 直线EF ,AO 是异面直线B. 直线EF ,1BB 是相交直线C. 直线EF 与1BC 所成的角为30︒D. 直线EF ,1BB8.执行如图所示的程序框图,输出的S 的值为( )A. 0B. 2C. 4D. 2- 9.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-,且在区间[1,2]上是减函数,令ln 2a =,121()4b -=,12log 2c =,则(),(),()f a f b f c 的大小关系为( ) A. ()()()f b f c f a <<B. ()()()f a f c f b <<C. ()()()f c f b f a <<D. ()()()f c f a f b <<10.已知2F 是双曲线22:193x y C -=的右焦点,动点A 在双曲线左支上,点B 为圆22:(2)1E x y ++=上一点,则2AB AF +的最小值为( )A. 9B. 8C.D.11.关于函数()cos sin f x x x =+有下述四个结论:①()f x 的最小值为;②()f x 在[,2]ππ上单调递增;③函数()1y f x =-在[,]-ππ上有3个零点;④曲线()y f x =关于直线x π=对称.其中所有正确结论的编号为( )A. ①②B. ②③C. ②④D. ③④12.已知三棱锥P ABC -满足PA ⊥底面ABC ,在ABC ∆中,6AB =,8AC =,AB AC ⊥,D 是线段AC 上一点,且3AD DC =,球O 为三棱锥P ABC -的外接球,过点D 作球O 的截面,若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为40π,则球O 的表面积为( )A. 72πB. 86πC. 112πD. 128π二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知曲线()(1)ln f x ax x =-在点(1,0)处的切线方程为1y x =-,则实数a 的值为_______.14.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若22S =,410S =,则5a =_______.15.《易经》是中国传统文化中的精髓,如图是易经八卦(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦),每一卦由三根线组成(""表示一根阳线,""表示一根阴线),从八卦中任取两卦,这两卦的六根线中恰有两根阳线,四根阴线的概率为_______.16.点,A B 是抛物线2:2(0)C y px p =>上的两点,F 是抛物线C 的焦点,若120AFB ︒∠=,AB 中点D 到抛物线C 的准线的距离为d ,则||d AB 的最大值为_______. 三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.在ABC ∆中,,,a b c 分别为角,,A B C 所对边,cos2cos22sin (C B A -=sin A -sin )C .(1)求角B 的大小;(2)若1c =,ABC ∆b . 18.如图(1),在平面四边形ABCD 中,AC 是BD 的垂直平分线,垂足为E ,AB 中点为F ,3AC =,2BD =,90BCD ︒∠=,沿BD 将BCD ∆折起,使C 至C '位置,如图(2).(1)求证:AC BD '⊥;(2)当平面BC D '⊥平面ABD 时,求直线AC '与平面C DF '所成角的正弦值.19.设椭图2222:1(0)x yC a b a b +=>>的左焦点为1F ,右焦点为2F ,上顶点为B ,离心率为3,O 是坐标原点,且1OB F B ⋅=(1)求椭圆C 的方程;(2)已知过点1F 的直线l 与椭圆C 的两交点为M ,N ,若22MF NF ⊥,求直线l 的方程.20.已知函数1()4cos()23x f x x e π=--,()f x '为()f x 的导函数,证明: (1)()f x '在区间[,0]π-上存在唯一极大值点;(2)()f x 区间[,0]π-上有且仅有一个零点.21.11月,2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地-安徽凤阳举办,其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛(每人各投一次为一轮),在相同的条件下,每轮甲乙两人在同一位置,甲先投,每人投一次球,两人有1人命中,命中者得1分,未命中者得-1分;两人都命中或都未命中,两人均得0分,设甲每次投球命中的概率为12,乙每次投球命中的概率为23,且各次投球互不影响. (1)经过1轮投球,记甲的得分为X ,求X 的分布列;(2)若经过n 轮投球,用i p 表示经过第i 轮投球,累计得分,甲的得分高于乙的得分的概率.①求,,p p p 123;②规定00p =,经过计算机计算可估计得11(1)i i i i p ap bp cp b +-=++≠,请根据①中,,p p p 123的值分别写出a ,c 关于b 的表达式,并由此求出数列{}n p 的通项公式.请考生在第22、23两题中任选一题作答,并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致,在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做,则按所做的第一题计分选修4-4:坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数),以O 为极点,x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为cos()14πρθ-=.(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程; (2)设直线l 与x 轴的交点为A ,与y 轴的交点为B ,P 是曲线C 上一点,求PAB ∆面积的最大值. 选修4-5:不等式选讲23.已知0,0a b >>,2 3.a b +=证明:(1)2295a b +≥; (2)33814.16a b ab +≤。

安徽省皖南八校2020届高三上学期第二次联考数学(理)试卷(有答案)

安徽省皖南八校2020届高三上学期第二次联考数学(理)试卷(有答案)

安徽省皖南八校 2020 届高三上学期第二次联考数学(理)试题、单选题1.已知集合 A x x 2 , B x 0 x 3 ,则 A (C R B) ( ) A . [2, )B.(3, ) C . [0,3] 【答案】 B D.( ,2) [2, )【解析】 先求出B 的补集, 再求交集。

详解】由题意 C R B {x |x 0或x 3} ,∴ A (C R B) {x|x 3}。

故选: B 。

点睛】详解】1 i (1 i)(2 i) 2 i 2i 1 13 z i , 2 i (2 i)(2 i) 5 5 5 13 ∴z i 。

55 故选: B 。

点睛】 本题考查复数的除法运算,考查共轭复数的概念。

属于基础题。

3.某地某所高中 2019 年的高考考生人数是 2016 年高考考生人数的统计了该校 2016 年和 2019 年的高考升学情况, 得到如图 所示:则下列结论正确的( )2.已知z 1 i,则 z 2i( ) 1 313 A . iB .i 5 555【答案】BC .13 i55D .1 3i 55z ,再由共轭复数定义求出 z 。

1.2 倍,为了更好地对比该校考生的升学情况, 本题考查集合的运算,属于基础题。

解析】 由复数除法计算出A.与2016 年相比,2019 年一本达线人数有所减少B.与2016 年相比,2019 年二本达线人数增加了 1 倍C.与2016 年相比,2019 年艺体达线人数相同D.与2016 年相比,2019 年不上线的人数有所增加【答案】D【解析】设2016 年参考人数为 a ,依据表格计算两年的一本达线人数、二本达线人数、艺体达线人数、不上线的人数,然后比较得出结论。

【详解】设2016 年参考人数为 a ,则2016 年一本达线人数0.28a ,2019 年一本达线人数0.24 1.2a 0.288a 0.28a ,A 错;2016 年二本达线人数0.32a ,2019 年二本达线人数0.4 1.2a 0.48a ,增加了0.16a ,不是一倍, B 错;2016 年艺体达线人数0.08a ,2019 年艺体达线人数0.08 1.2a 0.096a ,C错;2016 年不上线的人数0.32a ,20196 年不上线的人数0.28 1.2a 0.336a 0.32a ,D正确。

安徽省皖南八校2020届高三第二次联考数学(理)试题

安徽省皖南八校2020届高三第二次联考数学(理)试题

安徽省皖南八校2020届高三第二次联考数学(理)试题一、选择题 本大题共12道小题。

1.已知集合{}2A x x =≥,{}03B x x =≤≤,则()R A C B =I ( ) A.[2,+∞) B. (3,+∞)C. [0,3]D. (-∞,2)∪[2,+∞)答案及解析:1.B 【分析】先求出B 的补集,再求交集。

【详解】由题意{|03}R C B x x x =<>或,∴(){|3}R A C B x x =>I 。

故选:B 。

【点睛】本题考查集合的运算,属于基础题。

2.已知F 2是双曲线22:193x y C -=的右焦点,动点A 在双曲线左支上,点B 为圆22:(2)1E x y ++=上一点,则2AB AF +的最小值为( ) A. 9B. 8C.D. 答案及解析:2.A答案第2页,总24页……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【分析】由212AF AF a =+,AB 的最小值是AE r -,转化为求1AF AE +的最小值即为1EF .【详解】双曲线22193x y -=中3a =,3b =9323c =+=1(23,0)F -,圆E 半径为1r =,(0,2)E -, ∴21126AF AF a AF =+=+,1AB AE BE AE ≥-=-(当且仅当,,A E B 共线且B 在,A E 间时取等号.∴2AB AF +11615AF AE AF AE ≥++-=++2215(23)259EF ≥+=+=,当且仅当A是线段1EF 与双曲线的交点时取等号. ∴2AB AF +的最小值是9. 故选:A .【点睛】本题考查双曲线的标准方程,在涉及到双曲线上的点到焦点的距离时,常常与定义联系,双曲线上点到一个焦点的距离可能转化为到另一个焦点的距离,圆外一点到圆上点的距离的最大值为圆外的点到圆心距离加半径,最小值为圆外的点到圆心距离减半径. 3.已知两个单位向量12,e e u r u u r 满足12|2|7e e -u r u u r 12,e e u r u u r的夹角为( )A.23π B.34π C.3π D.4π 答案及解析:3.A 【分析】由已知模求出12e e ⋅u r u u r,再利用向量夹角公式计算。

安徽省皖南八校2020届高三上学期第二次联考数学理

安徽省皖南八校2020届高三上学期第二次联考数学理

安徽皖南八校2020届高三上学期第二次联考数学理一、单选题1.已知集合2A x x ,03B x x ,则()R AC B ()A .[2,)B .(3,)C .[0,3]D .(,2)[2,)【答案】B2.已知12i zi ,则z()A .1355iB .1355iC .1355iD .1355i【答案】B 3.某地某所高中2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍,为了更好地对比该校考生的升学情况,统计了该校2016年和2019年的高考升学情况,得到如图所示:则下列结论正确的()A .与2016年相比,2019年一本达线人数有所减少B .与2016年相比,2019年二本达线人数增加了1倍C .与2016年相比,2019年艺体达线人数相同D .与2016年相比,2019年不上线的人数有所增加【答案】D4.已知两个单位向量12,e e 满足12|2|7e e ,则12,e e 的夹角为()A .23B .34C .3D .4【答案】A5.函数22sin ()cos x x f x xx 在[2,2]上的图象大致为()A .B .C .D .【答案】D6.已知斐波那契数列的前七项为:1、1、2、3、5、8,13.大多数植物的花,其花瓣数按层从内往外都恰是斐波那契数,现有层次相同的“雅苏娜”玫瑰花3朵,花瓣总数为99,假设这种"雅苏娜”玫瑰花每层花瓣数由内向外构成斐波那契数列,则一朵该种玫瑰花最可能有()层.A .5B .6C .7D .8【答案】C 7.如图,正方体1111ABCDA B C D 中,点E ,F 分别是,AB AD 的中点,O 为正方形ABCD 的中心,则()A .直线EF ,AO 是异面直线B .直线EF ,1BB 是相交直线C .直线EF 与1BC 所成的角为30D .直线EF ,1BB 所成角的余弦值为33【答案】C8.执行如图所示的程序框图,输出的S 的值为()A .0B .2C .4D .2【答案】B 9.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f xf x ,且在区间[1,2]上是减函数,令ln 2a,121()4b,12log 2c,则(),(),()f a f b f c 的大小关系为()A .()()()f b f c f aB .()()()f a f c f bC .()()()f c f b f a D .()()()f c f a f b 【答案】C10.已知2F 是双曲线22:193xyC 的右焦点,动点A 在双曲线左支上,点B 为圆22:(2)1E xy上一点,则2ABAF 的最小值为()A .9B .8C .53D .63【答案】A 11.关于函数()cos sin f x x x 有下述四个结论:①()f x 的最小值为2;②()f x 在[,2]上单调递增;③函数()1yf x 在[,]上有3个零点;④曲线()yf x 关于直线x对称.其中所有正确结论的编号为()A .①②B .②③C .②④D .③④【答案】D 12.已知三棱锥PABC 满足PA底面ABC ,在ABC 中,6AB ,8AC ,AB AC ,D 是线段AC 上一点,且3AD DC ,球O 为三棱锥P ABC 的外接球,过点D 作球O 的截面,若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为40,则球O 的表面积为()A .72πB .86C .112D .128【答案】C二、填空题13.已知曲线()(1)ln f x ax x 在点(1,0)处的切线方程为1yx ,则实数a 的值为_______.【答案】214.已知正项等比数列n a 的前n 项和为n S ,若22S ,410S ,则5a _______.【答案】32315.《易经》是中国传统文化中的精髓,如图是易经八卦(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦),每一卦由三根线组成(""表示一根阳线,""表示一根阴线),从八卦中任取两卦,这两卦的六根线中恰有两根阳线,四根阴线的概率为_______.【答案】31416.点,A B 是抛物线2:2(0)C ypx p上的两点,F 是抛物线C 的焦点,若120AFB,AB 中点D 到抛物线C 的准线的距离为d ,则||dAB 的最大值为_______.【答案】33三、解答题17.在ABC 中,,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边,cos 2cos 22sin (C BA sin Asin )C .(1)求角B 的大小;(2)若1c ,ABC 的面积为332,求b .【答案】(1)3;(2)31.18.如图(1),在平面四边形ABCD 中,AC 是BD 的垂直平分线,垂足为E ,AB 中点为F ,3AC,2BD,90BCD,沿BD 将BCD 折起,使C 至C 位置,如图(2).(1)求证:AC BD ;(2)当平面BC D平面ABD 时,求直线AC 与平面C DF 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析;(2)48585.19.设椭图2222:1(0)x y C abab的左焦点为1F ,右焦点为2F ,上顶点为B ,离心率为33,O 是坐标原点,且1 6.OB F B(1)求椭圆C 的方程;(2)已知过点1F 的直线l 与椭圆C 的两交点为M ,N ,若22MF NF ,求直线l 的方程.【答案】(1)22132xy;(2)210xy 或210xy .20.已知函数1()4cos()23xf x xe,()f x 为()f x 的导函数,证明:(1)()f x 在区间[,0]上存在唯一极大值点;(2)()f x 在区间[,0]上有且仅有一个零点.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.21.11月,2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地-安徽凤阳举办,其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛(每人各投一次为一轮),在相同的条件下,每轮甲乙两人在同一位置,甲先投,每人投一次球,两人有1人命中,命中者得1分,未命中者得-1分;两人都命中或都未命中,两人均得0分,设甲每次投球命中的概率为12,乙每次投球命中的概率为23,且各次投球互不影响.(1)经过1轮投球,记甲的得分为X ,求X 的分布列;(2)若经过n 轮投球,用i p 表示经过第i 轮投球,累计得分,甲的得分高于乙的得分的概率.①求,,p p p ;②规定p ,经过计算机计算可估计得11(1)i ii i p ap bp cp b ,请根据①中,,p p p的值分别写出a ,c 关于b 的表达式,并由此求出数列n p 的通项公式.【答案】(1)分布列见解析;(2)①1231743,,636216p p p ;②116177iiip p p ,11156nnp .【解析】(1)经过1轮投球,甲的得分X 的取值为1,0,1,记一轮投球,甲投中为事件A ,乙投中为事件B ,,A B 相互独立,计算概率后可得分布列;(2)由(1)得1p ,由两轮的得分可计算出2p ,计算3p 时可先计算出经过2轮后甲的得分Y 的分布列(Y 的取值为2,1,0,1,2),然后结合X 的分布列和Y 的分布可计算3p ,由0p ,代入11(1)iii i p ap bp cp b,得两个方程,解得,a c ,从而得到数列{}n p 的递推式,变形后得1{}nn p p 是等比数列,由等比数列通项公式得1nn p p ,然后用累加法可求得n p .【详解】(1)记一轮投球,甲命中为事件A ,乙命中为事件B ,,A B 相互独立,由题意1()2P A ,2()3P B ,甲的得分X 的取值为1,0,1,(1)()P XP AB 121()()(1)233P A P B ,(0)()()()()()()P X P AB P AB P A P B P A P B 12121(1)(1)23232,121(1)()()()(1)236P XP AB P A P B ,∴X 的分布列为:X-11P131216(2)由(1)116p ,2(0)(1)(1)((0)(1))p P X P XP XP XP X111117()2662636,同理,经过2轮投球,甲的得分Y 取值2,1,0,1,2:记(1)P Xx ,(0)P X y ,(1)P X z ,则2(2)P Y x ,(1)P Yxyyx ,2(0)P Yxzzxy ,(1)P Yyzzy ,2(2)P Yz由此得甲的得分Y 的分布列为:Y-2-112P1913133616136∴3111111131143()()3362636636636216p ,∵11(1)iii i p ap bp cp b,00p ,∴1212321p ap bp p ap bp cp ,71136664371721636636a b a bc,∴6(1)717b a b c,代入11(1)i ii i p ap bp cp b得:116177iiip p p ,∴111()6iii i p p p p ,∴数列1{}n n p p 是等比数列,公比为16q,首项为1016p p ,∴11()6n n np p .∴11210()()()n nn nn p p p p p p p 111111()()(1)66656n n n .22.在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为2cos sin xy(为参数),以O 为极点,x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为cos()14.(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程;(2)设直线l 与x 轴的交点为A ,与y 轴的交点为B ,P 是曲线C 上一点,求PAB 面积的最大值.【答案】(1)2221x y,2x y;(2)2.23.已知0,0a b,2 3.ab证明:(1)2295ab;(2)33814.16a bab【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.。

安徽省皖南八校2020届高三8月摸底联考数学理科试题含答案

安徽省皖南八校2020届高三8月摸底联考数学理科试题含答案

“皖南八校”2020届高三摸底联考数学(理科)2019.8 考生注意:1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两郜分。

满分150分,考试时间120分钟。

2. 考生作答时,请将答案答在答题卡上。

第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;第Ⅱ卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效.............,在试题卷....、草稿纸上作答无效........。

3. 本卷命题范围:必修①~⑤。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2|50A x x x =-<,{}2|40B x x =-≤,则A B =I ( ) A . {}|05x x ≤<B . {}|02x x ≤<C . {}|05x x <<D . {}|02x x <≤2. 《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古典小说四大名著.若在这四大名著中,任取2种进行阅读,则取到《红楼梦》的概率为( ) A .23B .12C .13D .143. 若71tan 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则tan α=( ) A . 3B . -3C . 2D . -24. 已知()3,2AB =--uu u r ,(),1AC m =uu u r,3BC =uu u r ,则BA AC ⋅=uu r uuu r ( )A . 7B . -7C . 15D . -155. 函数()()222cos x x x f x x-+=+的部分图象大致为( )A .B .C .D .6. 公元263年左右,我国数学家刘徽创立了“割圆术”,并利用“割圆术”得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14,这就是著名的“徽率”.下图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图,则输出n 1.732≈,sin150.2588≈o ,sin 7.50.1305≈o )A . 24B . 32C . 38D . 467. 下列函数中,以2π为周期且在区间3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减的是( ) A . ()cos 2f x x =B . ()sin 2f x x =C . ()2sin cos f x x x =D . ()22sin 1f x x =-8. 已知5log 0.5a =,3log 0.3b =,0.30.5c =,则( ) A . a b c <<B . b a c <<C . a c b <<D . b c a <<9. 某几何体的三视图如图,则该几何体的体积为( )A . 82π-B . 8π-C . 122π-D . 12π-10. 数列{}n a 满足21112n n n a a a +++=,11a =,8115a =,1n n nb a a +=,数列{}n b 的前n 项和为n S ,则满足1123n S >的最小的n 的值为( ) A . 9B . 10C . 11D . 121l . 在长方体1111ABCD A B C D -中,11BC CC ==,13AD B π∠=,则直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为( ) A .3B .6C .7D .1412. 设函数()f x 的定义域为R ,且满足()()12f x f x +=,当[)0,1x ∈时,()2f x x x =-.若(),x t ∈-∞时,()f x 的最大值为1,则实数t 的取值范围是( )A .514,24⎛ ⎝⎦B .514,24⎡-⎢⎣⎭C .⎛⎝⎦D .⎡⎢⎣⎭ 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13. 若x ,y 满足约束条件2311x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥-⎩,则2z x y =-的取值范围是______.14. 某校高三年级有400名学生,在一次数学测试中,成绩都在[]80,130(单位:分)内,其频率分布直方图如图,则这次测试数学成绩不低于100分的人数为______.15. 已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭,2sin 2cos21αα=-,则sin α=______. 16. 已知点P 是函数32y x x=+的图象上的一点,则点P 到直线210x y ++=的距离的最小值为______.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17.(本小题满分10分)在等比数列{}n a 中,()3214a a a =-,且4a ,54a -,5a 成等差数列. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若2log n n n b a a =+,求数列{}n b 的前n 项和n T . 18.(本小题满分12分)在锐角ABC ∆中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知()cos sin sin cos b A c B B B =-. (1)求角C ;(2)若a =4c =,求b 的值. 19.(本小题满分12分)在四棱锥P ABCD -中,PD ⊥平面ABCD ,四边形ABCD 是矩形,E ,F ,G 分别是棱BC ,AD ,PA 的中点.(1)求证:PE P 平面BFG ;(2)若1PD AD ==,2AB =,求点C 到平面BFG 的距离. 20.(本小题满分12分)影响消费水平的原因很多,其中重要的一项是工资收入.研究这两个变量的关系的一个方法是通过随机抽样的方法,在一定范围内收集被调查者的工资收入和他们的消费状况.下面的数据是某机构收集的某一年内上海、江苏、浙江、安徽、福建五个地区的职工平均工资与城镇居民消费水平(单位:万元).y bx a =+$$$,其中()()()121n iii ni i x x y y b x x==--=-∑∑$1221ni ii ni i x y nx yx nx==-=-∑∑,a y bx =-$$;(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过1万,则认为得到的线性回归方程是可靠的,试问所得的线性回归方程是否可靠?(b $的结果保留两位小数) (参考数据:6.9 4.6 6.4 4.4 6.2 3.984.08⨯+⨯+⨯=,2226.9 6.4 6.2127.01++=) 21.(本小题满分12分)已知圆C 的圆心C 的坐标为()1,2,且圆C 与直线l :270x y --=相切,过点()2,0A 的动直线m 与圆C 相交于M ,N 两点,直线m 与直线l 的交点为B . (1)求圆C 的标准方程; (2)求MN 的最小值;(3)问:()AM AN AB +⋅uuu r uuu r uu u r是否是定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.22.(本小题满分12分) 已知函数()2k f x x k x =+-,当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()f x 的取值范围是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. (1)求k 的值;(2)若不等式()22x x f m ≥⋅对x R ∈恒成立,求实数m 的取值范围; (3)若函数()()221321x xtg x f t =-+--有3个零点,求实数t 的取值范围.“皖南八校”2020届高三摸底联考·数学(理科)参考答案一、选择题: 1-5:DBCBC 6-10:ADBAD11、12:DA7. D 周期为2π的有C 、D ,又在3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递减,选D . 8. B ()()5533log 1log 2log 3log 10a b -=---3535log 21log 10log 10log 100=--+=->. ∴a b >,∵0c >,0a <,∴b a c <<.9. A 该几何体是一个棱长为2的正方体左右两旁各去掉半径为1的半个圆柱得到的,体积为32282ππ-=-.11. D 长方体中,11BC CC ==,1BC 11AD BC ==13AD B π∠=,知AB =,∴在11AB D ∆中,111AB B D ==,11cos 14B AD ∠==.又∵11BC AD P ,∴11B AD ∠是1AB 与1BC 所成的角.二、填空题:13. []1,7- 14. 220 15..三、解答题:17. 解:(1)设{}n a 的公比为q ,由()1314a a a =-,得()21114a q a q a =-,∴2440a a -+=,∴2q =,∵4a ,54a -,5a 成等差数列,∴()45624a a a +=-,∴()1118162164a a a +=-, ∴11a =, ∴12n n a -=.(2)12log 21n n n n b a a n -=+=+-,123n n T b b b b =+++⋅⋅⋅+()()()()2110212221n n -=++++++⋅⋅⋅++-()()()2112220121n n -=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+-()112122n n n --=+- ()1212n n n -=-+. 18. 解:(1)在ABC ∆中,由()cos sin sin cos b A c B B B =-及正弦定理,得()sin cos sin sin sin cos B A C B B B =-.∵sin 0B >,()cos cos cos cos sin sin A B C B C B C =-+=-+, ∴cos cos sin sin sin sin cos sin B C B C B C B C -+=-. ∴cos cos cos sin B C B C =.∵B ,C 都是锐角,∴tan 1C =,∴4C π=.(2)法一:在ABC ∆中,由余弦定理,得2161822b b =+-⨯,∴2620b b -+=,∴3b =±.当3b =时,a ,b ,c 中,b 最大,222cos 02a c b B ac +-==>,B 是锐角,当3b =a ,b ,c 中,a 最大,222cos 02b c a A bc +-==<,A 是钝角,与A 是锐角不符.∴3b =+.法二:在ABC ∆中,由正弦定理,得sin 3sin sin 424a C A B ===.∵A 是锐角,∴cos 4A =,∵()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+34==.∴sin 3sin c Bb C== 19.(1)证明:连接DE ,∵在矩形ABCD 中,E ,F 分别是BC ,AD 中点,∴DF BE =,DF BE P ,∴四边形BEDF 是平行四边形,∴DE BF P . ∵G 是PA 的中点,∴FG PD P .∵,PD DE ⊄平面BFG ,,FG BF ⊂平面BFG , ∴PD P 平面BFG ,DE P 平面BFG . ∵PD DE D =I ,∴平面PDE P 平面BFG . ∵PE ⊂平面PDE ,∴PE P 平面BFG .(2)解:法一:∵PD ⊥平面ABCD ,FG PD P ,∴FG ⊥平面ABCD . 过C 在平面ABCD 内,作CM BF ⊥,垂足为M ,则FG CM ⊥.∵FG BF F =I ,∴CM ⊥平面BFG ,∴CM 长是点C 到平面BFG 的距离. 在矩形ABCD 中,F 是AD 中点,1AD =,2AB =,BCM FBA ∆∆:. ∴CM BCBA FB=.∵FB ==,1BC AD ==,∴CM =,即点C 到平面BFG . 法二:设C 到平面BFG 的距离为d ,在矩形ABCD 中,1122AF AD ==,2AB =,∴2BF ==. ∵PD ⊥平面ABCD ,BF ⊂平面ABCD ,∴PD BF ⊥,∵FG PD P ,∴FG BF ⊥,1122FG PD ==,∴BFG ∆的面积为128BF FG ⨯=. ∵BCF ∆的面积为112BC AB ⨯=,C BFG G BCF V V --=,∴11113832d ⨯=⨯⨯,∴17d =C 到平面BFG的距离为17. 20. 解:(1) 6.9 6.4 6.2 6.53x ++==, 4.6 4.4 3.94.33y ++==.284.083 6.5 4.30.230.88127.013 6.50.26b -⨯⨯==≈-⨯, 4.30.88 6.5 1.42a =-⨯=-,∴所求线性回归方程为0.88 1.42y x =-$.(2)当9.8x =时,0.889.8 1.427.204y =⨯-=$,7.204 6.60.6041-=<, 当 5.6x =时,0.88 5.6 1.42 3.508y =⨯-=$,3.8 3.5080.2921-=<, 所以得到的线性回归方程是可靠的.21. 解:(1)∵圆C 与直线l :270x y --=相切,圆心为()1,2,∴半径r ==∴圆C 的方程为()()221220x y -+-=.(2)∵MN ==d 是圆心C 到直线m 的距离,∴d 最大时,MN 最小.∵当()2,0A 是弦MN 中点时,d 最大,且max d AC ===∴MN的最小值为=(3)设MN 中点为P ,则CP MN ⊥即CP AB ⊥,∴0CP AB ⋅=uu r uu u r, 且2AM AN AP +=uuu r uuu r uu u r ,∴()()22AM AN AB AP AB AC CP AB +⋅=⋅=+⋅uuu r uuu r uu u r uu u r uu u r uuu r uu r uu u r 222AC AB CP AB AC AB =⋅+⋅=⋅uuu r uu u r uu r uu u r uuu r uu u r .当m 与x 轴垂直时,m 方程为2x =,代入圆C 方程得2y =MN 中点P 的坐标为()2,2,直线2x =与直线l 的交点B 坐标为52,2⎛⎫- ⎪⎝⎭,∴50,2AB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭uu u r .∵()1,2AC =-uu u r ,∴5AC AB ⋅=-uuu r uu u r ,∴()10AM AN AB +⋅=-uuu r uuu r uu u r ; 当MN 与x 轴不垂直时,设m 方程为()2y k x =-,由()2270y k x x y =-⎧⎪⎨--=⎪⎩,得475,2121k k B k k -⎛⎫- ⎪--⎝⎭, ∴55,2121k AB k k --⎛⎫= ⎪--⎝⎭uu u r , ∴()551,2,2121k AC AB k k --⎛⎫⋅=-⋅ ⎪--⎝⎭uuu r uu u r ()5125105212121k k k k k -=-==----, ∴()10AM AN AB +⋅=-uuu r uuu r uu u r , ∴()AM AN AB +⋅uuu r uuu r uu u r 是定值,定值为-10. 22. 解:(1)当0k ≤时,()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数,11022f ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭,与已知不符. 当0k >且0x >时,()2f x k ≥,当且仅当x =. ()f x在(是减函数,在)+∞上是增函数.1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦时,20f k =-=,1k =,此时()12f x x x =+-,()11222f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭符合题意.1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦时,由题意知102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()122f =或()20f =,1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,求得43k =而1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦,不合题意. ∴1k =.(2)()22x x f m ≥⋅可化为12222x x x m +-≥⋅, ∴2212111222x x x m ⎛⎫⎛⎫≤-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∵x R ∈,∴()10,2x∈+∞,∴0x =,112x =时,2112x ⎛⎫- ⎪⎝⎭取最小值0. ∴0m ≤即m 的取值范围是(],0-∞.(3)由题意知210x -≠,0x ≠, 令21x u -=,则()0,u ∈+∞,函数()g x 有3个零点,化为()232210u t u t -+++=有两个不等的实数解,且两解1u ,2u 满足101u <<,21u ≥, 设()()23221h u u t u t =-+++,则()()021010h t h t =+>⎧⎪⎨=-<⎪⎩或()()001032012h h t ⎧⎪>⎪=⎨⎪+⎪<<⎩, ∴0t >即t 的取值范围是()0,+∞.。

安徽省皖南八校2020-2021学年高三上学期第二次联考理科数学试题

安徽省皖南八校2020-2021学年高三上学期第二次联考理科数学试题

安徽省皖南八校2020-2021学年高三上学期第二次联考理科数学试题一、单选题1.若集合{}2,1,0,1A =--,{}220B x x x =+<,则AB =( )A .{}1-B .{}1,0-C .{}2,1,0--D .{}1,0,1-2.若{} n a 是公比为e 的正项等比数列,则{}31ln n a -是( ) A .公比为3e 的等比数列 B .公比为3的等比数列 C .公差为3e 的等差数列 D .公差为3的等差数列二、未知3.数系的扩张过程以自然数为基础,德国数学家克罗内克(Kronecker ,1823-1891)说“上帝创造了整数,其它一切都是人造的”.设i 为虚数单位,复数(2)43z i i -=+,则z 的共轭复数是( ) A .2i +B .2i -C .12i -D .12i +40y ±=,且与椭圆2228x y +=有共同焦点,则双曲线的方程为( )A .222213y x -=B .2213y x -=C .2214y x -=D .2219y x -=5.(6,13)A 和(12,11)B 是平面上圆C 上两点,过A ,B 两点作圆C 的切线交于x 轴上同一点,则圆C 的面积为( ) A .838πB .212πC .858πD .434π6.如图,四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 是边长为1的正方形,1PA =.过BD 作与侧棱PC 垂直的平面BDE ,交PC 于点E .则CE 的长为( )A .3B C .2D .37.已知正实数a ,b ,满足a b >,则( ) A .ln(1)0a b -+< B .3a b a b π--<C .11a b a b+>+ D .11a b a b->- 8.魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中,称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”(如图),刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π∶4.在某一球内任意取一点,则此点取自球的一个内接正方体的“牟合方盖”的概率为( )A .12B .23C .9πD .99.如图,在平面直角坐标系xOy 中,点(,)M x y 为阴影区域内的动点(不包括边界),这里||,||x y ππ<<,则下列不等式恒成立的是( )A .sin()0x y ->B .sin()0x y -<C .cos()0x y ->D .cos()0x y -< 10.设正实数a ,b ,c ,满足2ln 2a c e b b ce ===,则a ,b ,c 的大小关系为( ) A .a b c <<B .a c b <<C .c a b <<D .b a c <<11.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,如果*n ∀∈N 都有112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,数列{}n b 满足*9,2n nb S n +=∈N ,数列{}nc 满足12,n n n n c b b b n *++=∈N .设n T 为{}n c 的前n 项和,则当n T 取得最大值时,n 的值等于( ) A .17B .18C .19D .2012.已知直线(1)(0)y a x a =->与曲线()cos ((,))f x x x ππ=∈-相切于点A 、与曲线的另一交点为B ,若A 、B 两点对应的横坐标分别为1212,()x x x x <,则()111tan x x -=( ) A .1- B .2C .1D .2-13.已知角6πα+的终边与单位圆交于点43,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭,则cos 26πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为_________.14.若21nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+展开式的各项系数之和为32,则展开式中的含4x 项的系数为________.(用数字作答).15.如图所示,已知M ,N 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上关于原点对称的两点,点M 与点Q 关于x 轴对称,2516ME MQ =,直线NE 交双曲线右支于点P ,若2NMP π∠=,则e =_____________.16.已知(,0)(0),(1,0)a x x b =>=||||||a b a a +-=,则a =___________.17.已知三角形ABC 三内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且2sin cos 2A Cb A +=. (1)求角B ; (2)若4A π=,角B 的平分线交AC 于点D ,2CD =,求BCD S △.18.8月10日,2020年《财富》世界500强排行榜正式发布.中国大陆(含香港)公司数量达到124家,历史上第一次超过美国(121家).2008年中国加入世贸组织时中国大陆进入世界500强的企业12家,以后逐年增加,以下是2016——2020年(年份代码依次为1,2,3,4,5)中国大陆进入世界500强的企业数量.(1)已知可用线性回归模型拟合y 与x 的关系,求y 关于x 的回归方程.并预测2021年中国大陆进入世界500强的企业数量,结果取整;(2)2020年《财富》榜单显示共有7家互联网公司上榜,中国大陆4家、美国3家.现某财经杂志计划从这7家公司中随机选取3家进行深度报道,记选取的3家公司中,中国大陆公司个数为ξ,求ξ的分布列与期望.参考数据:51566ii y==∑,511750i i i x y ==∑.参考公式:回归方程y a bx =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()1122211,nnii i ii i nniii i xx y y x ynx yb a y bx xx xnx ====--⋅-⋅===---∑∑∑∑.19.已知函数1()()x f x x m e m x -⎛⎫=-+⋅∈⎪⎝⎭R . (1)求证:当0m =时,函数()f x 在(,0)-∞内单调递减;(2)若函数()f x 在区间(1,2)内有且只有一个极值点,求m 的取值范围.20.已知抛物线C :22(0)y px p =>,点P 为y 轴左侧一点,A ,B 为抛物线C 上两点,当直线AB 过抛物线C 焦点F 且垂直于x 轴时,AOB 面积为2. (1)求抛物线C 标准方程;(2)若直线,PA PB 为抛物线C 的两条切线,设PAB △的外心为M (点M 不与焦点F 重合),求sin PFM ∠的所有可能取值.21.已知在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)以原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为(sin cos )1ρθθ+=.(1)求圆C 普通方程和直线l 直角坐标方程; (2)点P 极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭,设直线l 与圆C 的交点为A ,B 两点A ,B 中点为Q 求线段PQ 的长.22.已知0,2x y >>=,证明:(1)222x y +≥;(21+.三、解答题23.如图,正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直,,//AD CD AB CD ⊥,122AB AD CD ===,点M 是线段EC 的中点.(1)求证://BM 面ADEF ;(2)求平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角的余弦值.。

安徽省皖南八校2020届高三上学期第二次联考 数学(理)

安徽省皖南八校2020届高三上学期第二次联考 数学(理)

f (x) 1有三个零点,③正确;
22
2
2
f (2 x) cos(2 x) sin(2 x) cos x sin x cos x sin x f (x) ,∴曲线 y f (x) 关于直线 x 对称,④正确.
11.关于函数 f (x) cos x sin x 有下述四个结论:① f (x) 的最小值为 2 ;② f (x) 在[ , 2 ]
上单调递增;③函数 y f (x) 1在[, ] 上有 3 个零点;④曲线 y f (x) 关于直线 x 对称.
其中所有正确结论的编号为( )
A.①②
B.②③
C. f (c) f (b) f (a)
D. f (c) f (a) f (b)
【答案】C
【解析】由 f (x) 满足 f (x 2) f (x) ,且在区间[1,2]上是减函数,确定 f (x) 在[1, 0]上是增函
数,再由奇函数性质得 f (x) 在[0,1] 上递增,在[1,1] 上单调递增.然后把自变量的值都转化到[1,1]
错;
2016 年艺体达线人数 0.08a ,2019 年艺体达线人数 0.081.2a 0.096a ,C 错; 2016 年不上线的人数 0.32a ,20196 年不上线的人数 0.281.2a 0.336a 0.32a ,D 正确。
故选:D。
【点睛】
本题考查统计表格的应用,解题关键是读懂表格给出的数据,并能加以应用。
是递增,
∵ f (x) 是奇函数,∴ f (x) 在[0,1] 上递增,从而在[1,1] 上单调递增, f (0) 0 ,
a
ln
2
(0,1)

b
(
1
)
1 2
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上,比较大小. 【详解】
设 1 x1 x2 0 ,则1 x1 2 x2 2 2 ,又 f (x) 在[1, 2] 上递减,∴ f (x1 2) f (x2 2) ,而 f (x1 2) f (x1) , f (x2 2) f (x2 ) ,∴ f (x1) f (x2 ) ,即 f (x1) f (x2 ) ,∴ f (x) 在[1, 0]
4
4
f
(x)
cos x
sin
x
1,函数
y
f
(x) 1无零点,当 cos x
0 ,即 x [
,
] 时,注意到
f
(x)
22
是偶函数,研究
x
[0,
]
时,
f
(x)
cos
x
sin
x
2 sin(x
) ,只有
f
(0)
f
(
)
1
,因此
2
4
2
在 x[
, ]时
f
(0)
f( )
f
(
) 1,函数
y
x sin x x2 cos x
f
(x) ,∴
f
(x) 是偶函数,排除 A、C,
f
(
)
4
2

f (3 ) 4 2 3
,易知
f (3 ) 2
f ( ) ,B 不符,只有 D 满足。
2
故选:D。 【点睛】
·3·
本题考查由函数解析式选择函数图象,解题时可先研究函数的性质,如奇偶性、单调性、对称性、
·5·
D. 2
【详解】
程序运行时,变量 S,i 的值依次为: S 4,i 1; S 2,i 2 ; S 4,i 3 ; S 2, i 4 ;…, i 是奇数时, S 4 , i 是偶数时 S 2 ,输出时 i 2020 , S 2 .
故选:B. 【点睛】 本题考查程序框图,解题时模拟程序运行,观察变量的变化规律,就可得出结论.
∴ AB AF2 AF1 6 AE 1 AF1 AE 5 EF1 5 (2 3)2 22 5 9 ,当且仅当 A 是线段 EF1 与双曲线的交点时取等号. ∴ AB AF2 的最小值是 9.
·7·
故选:A. 【点睛】 本题考查双曲线的标准方程,在涉及到双曲线上的点到焦点的距离时,常常与定义联系,双曲线上 点到一个焦点的距离可能转化为到另一个焦点的距离,圆外一点到圆上点的距离的最大值为圆外的 点到圆心距离加半径,最小值为圆外的点到圆心距离减半径.
C. f (c) f (b) f (a)
D. f (c) f (a) f (b)
【答案】C
【解析】由 f (x) 满足 f (x 2) f (x) ,且在区间[1,2]上是减函数,确定 f (x) 在[1, 0]上是增函
数,再由奇函数性质得 f (x) 在[0,1] 上递增,在[1,1] 上单调递增.然后把自变量的值都转化到[1,1]
由题意 CR B {x | x 0或x 3} ,∴ A (CR B) {x | x 3}。
故选:B。
【点睛】
本题考查集合的运算,属于基础题。
2.已知
z
1i 2i
,则
z


A. 1 3 i 55
B. 1 3 i 55
【答案】B
C. 1 3 i 55
D. 1 3 i 55
【解析】由复数除法计算出 z ,再由共轭复数定义求出 z 。
【答案】C
【解析】按共面不共面判断 A 、 B ,由异面直线所成角定义计算角判断 C 、 D 。
【详解】
·4·
∵ O 为正方形 ABCD 的中心, F 是 A1D1 中点,∴ OF // A1B1 // AB ,即 OF , AE 共线,从而 EF , AO
共线,A 错;
F 平面 BEB1 , BB1 平面 BEB1 , E BB1 , E 平面 BEB1 ,∴ EF , BB1 是异面直线,B 错; 又 E 是 AB 中点,可得 FO // EB 且 FO EB , EFBO 是平行四边形,则 EF // BO , OBC1 是异
C.②④
D.③④
【答案】D
【解析】根据各个选项研究函数的性质,如最值,单调性,零点,对称性等.
【详解】
f (x) cos x sin x 1,①错;当 x [ , 2 ] 时, f (x) cos x sin x 2 cos(x ) ,在 4
[ , 2 ] 上不是单调函数,实际上它在[ , 7 ]上递减,在[7 , 2 ] 递增,②错;当 cos x 0 时,
周期性等,排除一些选项,然后研究函数特殊值、特殊点再排除一些选项,最后只剩一个正确选项
为止。
6.已知斐波那契数列的前七项为:1、1、2、3、5、8,13.大多数植物的花,其花瓣数按层从内往外
都恰是斐波那契数,现有层次相同的“雅苏娜”玫瑰花 3 朵,花瓣总数为 99,假设这种"雅苏娜”玫瑰
花每层花瓣数由内向外构成斐波那契数列,则一朵该种玫瑰花最可能有( )层.
错;
2016 年艺体达线人数 0.08a ,2019 年艺体达线人数 0.081.2a 0.096a ,C 错; 2016 年不上线的人数 0.32a ,20196 年不上线的人数 0.281.2a 0.336a 0.32a ,D 正确。
故选:D。
【点睛】
本题考查统计表格的应用,解题关键是读懂表格给出的数据,并能加以应用。
【详解】
z
1i 2i
(1 i)(2 i) (2 i)(2 i)
2i
2i 5
1
1 5
3i 5

∴z 13i。 55
故选:B。
【点睛】
本题考查复数的除法运算,考查共轭复数的概念。属于基础题。
3.某地某所高中 2019 年的高考考生人数是 2016 年高考考生人数的 1.2 倍,为了更好地对比该校考
f (x) 1有三个零点,③正确;
22
2
2
f (2 x) cos(2 x) sin(2 x) cos x sin x cos x sin x f (x) ,∴曲线 y f (x) 关于直线 x 对称,④正确.
6 。D 错。 3
故选:C。
【点睛】
本题考查异面直线的判断,考查求异面直线所成的角,解题方法可根据异面直线的判断定理证明,
求异面直线所成的角可根据定义作出这个角,然后解三角形得结论。
8.执行如图所示的程序框图,输出的 S 的值为( )
A. 0
B. 2
C. 4
【答案】B
【解析】模拟程序运行,寻找规律,得出结论.
【详解】
双曲线 x2 y2 1中 a 3 , b 93
3,c
9 3 2 3 , F1(2 3, 0) ,圆 E 半径为 r 1,
E(0, 2) ,
∴ AF2 AF1 2a AF1 6 , AB AE BE AE 1(当且仅当 A, E, B 共线且 B 在 A, E
间时取等号.
11.关于函数 f (x) cos x sin x 有下述四个结论:① f (x) 的最小值为 2 ;② f (x) 在[ , 2 ]
上单调递增;③函数 y f (x) 1在[, ] 上有 3 个零点;④曲线 y f (x) 关于直线 x 对称.
其中所有正确结论的编号为( )
A.①②
B.②③
x2 9
y2 3
1 的右焦点,动点
A 在双曲线左支上,点 B 为圆
E : x2 ( y 2)2 1 上一点,则 AB AF2 的最小值为( )
A. 9
B. 8
C. 5 3
D. 6 3
【答案】A
【解析】由 AF2 AF1 2a , AB 的最小值是 AE r ,转化为求 AF1 AE 的最小值即为 EF1 .
故选:C.
·6·
【点睛】 本题考查函数的奇偶性与单调性.解题关键是确定函数的单调性,难点在于由 f (x) 满足
f (x 2) f (x) ,且在区间[1,2]上是减函数,确定 f (x) 在[1, 0]上是增函数,然后就是这类问
题的常规解法,确定出[1,1] 上单调性,转化比较大小.
10.已知 F2 是双曲2 满足 | e1 2e2 | 7 ,则 e1, e2 的夹角为( )
2
A. 3
3
B.
4
C.
3
·2·
D.
4
【答案】A
【解析】由已知模求出 e1 e2 ,再利用向量夹角公式计算。
【详解】
∵ e1, e2 是单位向量,
∴ e1
cos
2 2e2
A.5
B.6
C.7
D.8
【答案】C
【解析】每朵玫瑰花的花瓣总数为 33,计算斐波那契数列的前 n 项和,比较即得。
【详解】
由题意每朵玫瑰花的花瓣总数为 33,而斐波那契数列的前 n 项和依次为1, 2, 4, 7,12, 20, 33, ,因此
一朵该种玫瑰花最可能有 7 层。 故选:C。 【点睛】
本题考查数列的前 n 项和的概念。属于数列应用的基础题。
【答案】D 【解析】设 2016 年参考人数为 a ,依据表格计算两年的一本达线人数、二本达线人数、艺体达线人数、
不上线的人数,然后比较得出结论。
【详解】 设 2016 年参考人数为 a ,则
2016 年一本达线人数 0.28a ,2019 年一本达线人数 0.241.2a 0.288a 0.28a ,A 错; 2016 年二本达线人数 0.32a ,2019 年二本达线人数 0.4 1.2a 0.48a ,增加了 0.16a ,不是一倍,B
面直线 EF 与 BC1 所成的角,设正方体棱长为 1, BC1O 中, BC1
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