第讲余数问题
数学秋季教案 四年级-8 余数问题
4.总结交流。
答案：
235÷18=13……1
1×1×1×1×1=1
答：被除数是395，除数是17。
三、巩固应用、尝试成功。
（一）拓展问题4
4.在一道除法算式中，被除数比除数的25倍多3。被除数、除数、商、余数的和是369，除数是多少？
1.学生读题，分析题目。
2.师生合作，教师提示。
师：分析这道题目，与我们之前做的例4，例5有什么不同之处呢？
生：之前的题目告诉了四个量之间的和，还已知了商和余数具体是多少，但这道题目没有给出来。
1.学生读题，明确题意。
2.教师引导。
师：在一道除法算式中，被除数，除数与商有什么关系呢？大家列举出来。
生：被除数÷除数=商；
被除数÷商=除数；
商×除数=被除数。
师：根据这些关系，结合题目中的数目，你能得出什么？
生1：已知被除数，除数和商的和，还知道了商，所以被除数+除数=674-26。
生2：因为被除数=商×除数，也就是被除数=26×除数。
3.学生独立完成，同桌之间相互交流。
4.总结交流。
答案：
现除数：(1039-7-4×5-4×5)÷（7+1）=124
原除数：124÷4=31
原被除数：31×7+5=222
答：原来的被除数是222，原来的除数是31。
四、拓展视野
5个235相乘，再来除以18，余数是多少？
1.学生读题，寻找思路。
2.师生合作。
答案：
35÷11=3（箱）……2（箱）
答：分完后还剩2箱矿泉水没人搬。
(35×3)÷(11×3)=3（箱）……6（箱）
答：每人搬运一次后，地上还剩6箱“芬达”。
余数问题
余数问题“差同减差，和同加和，余同取余，最小公倍加”这是同余问题的口诀。
所谓同余问题，就是给出“一个数除以几个不同的数”的余数，反求这个数，称作同余问题。
首先要对这几个不同的数的最小公倍数心中有数，下面以4、5、6为例，请记住它们的最小公倍数是60。
1、差同减差：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的差相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，减去这个相同的差数，称为：“差同减差”。
例：“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，因为4-1=5-2=6-3=3，所以取-3，表示为60n-3。
【60后面的“n”请见4、，下同】2、和同加和：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的和相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的和数，称为：“和同加和”。
例：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，因为4+3=5+2=6+1=7，所以取+7，表示为60n+7。
3、余同取余：用一个数除以几个不同的数，得到的余数相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的余数，称为：“余同取余”。
例：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，因为余数都是1，所以取+1，表示为60n+1。
4、最小公倍加：所选取的数加上除数的最小公倍数的任意整数倍（即上面1、2、3中的60n）都满足条件，称为：“最小公倍加”，也称为：“公倍数作周期”。
一.求被除数类 1. 同余加余，同差减差例1.某数被7除余6，被5除余3，被3除余3，求此数最小是多少？解：因为"被5除余3，被3除余3"中余数相同，即都是3（同余），所以要先求满足5和3的最小数，一.求被除数类1. 同余加余，同差减差例1.某数被7除余6，被5除余3，被3除余3，求此数最小是多少？解：因为"被5除余3，被3除余3"中余数相同，即都是3（同余），所以要先求满足5和3的最小数，[5、3]=15，15+3=18，18÷7=2……4不余6，（不对）15×2=30（30+3）÷7=4……5不余6（不对）（15×3+3）÷7=6……6（对）所以满足条件的最小数是48。
数学运算余数问题
数学运算余数问题
在数学运算中，余数问题是一个常见的问题类型。
余数是指在整数除法中，被除数减去除数与商的乘积后得到的剩余部分。
例如，在计算 10 ÷ 3 时，商是 3，除数是 3，被除数是 10。
根据余数的定义，我们可以计算得到余数为 1，因为 10 - 3 × 3 = 1。
在解决余数问题时，我们需要掌握几个关键点：
余数必须是一个非负整数，即余数大于等于0。
如果被除数小于除数，那么余数为0。
余数是除法的结果的一部分，它反映了被除数未被完全除尽的部分。
余数有特定的性质，如余数的和等于两个被除数的和除以除数的余数，余数的乘积等于两个被除数的乘积除以除数的余数等。
这些性质在解决复杂数学问题时非常有用。
在解决具体问题时，我们需要根据题目的要求和条件来选择合适的方法。
例如，我们可以通过整除的性质来确定余数的范围，或者通过循环计算来找到满足条件的余数。
同时，我们还需要注意运算的顺序和精度，以避免出现错误的结果。
总之，余数问题是一个重要的数学概念，它涉及到整数除法、模运算等多个方面。
通过掌握余数的定义、性质和解题技巧，我们可以更好地解决各种数学问题。
二年级下册数学课件(数学思维)-第8讲 余数问题｜全国通用 (21页)PPT
答：李老师原来有26张画片。
举一反三
莉莉和5名小朋友一共要做32朵花，平均每名小朋友做几朵花？ 莉莉需要多做几朵，才能完成任务？
32 ÷ 6 = 5（朵）……2（朵）
答：平均每名小朋友做5朵花，莉莉 需要多做2朵，才能完成任务。
举一反三
一个游乐项目玩一次需5元，李老师带了43元，可供几人玩？
摆一摆 用火柴棒摆正方形。
（3）用15根摆
除数大于余数法！
列式：15÷4=3（个）……3（根）
列一列 看图填空。
（19 ）÷（ 5 ）=（ 3 ）……（ 4 ） 想一想：可以互换吗？ 除数大于余数法！
19÷5=3……4
练一练
巧算余数，再填空。
（1）48÷（ 5 ）=9……3 （2）（ 35 ）÷（ 9 ）=3……8 （3）（26 ）÷6=4……2 （4）67÷（ 9 ）=7……4 （5）在算式（ ）÷8=6……（
15 ÷ 4 = 3（张）……3（人）
3 + 1 = 4（张） 答：不够，需要4张桌子。
余数不能舍， 添份才oK!
练一练
有22名小朋友要过河，每条船上最多可以坐6名小朋友， 至少需要几条船才可以把所有小朋友送过河？
22 ÷ 6 = 3（条）……4（名） 3+1=4（条）
答：最少需要4条船。
拿一拿
最大时，被除数是（ 55 ）。
）中，余数
练一练
从1~90的自然数中找符合条件的数填在下面的横线上。 （1）除以9没有余数的有：
9、18、27、36、45、54、63、72、81、90 （2）除以9余4的有：
13、22、31、40、49、58、67、76、85
余数问题教案2(教师版)
课题：余数问题班级姓名还是有两个机会有个年轻人，届逢兵役年龄，抽签的结果，正好抽中下下签，最艰苦的兵种－－海军陆战队。
年轻人为此镇日忧心重重，几乎已到了茶不思、饭不想的地步。
年轻人深具智慧的祖父，见到自己的孙子这付模样，便寻思要好好开导他。
老祖父：“孩子啊，没什么好担心的。
当了海军陆战队，到部队中，还有两个机会，一个是内勤职务，另一个是外勤职务。
如果你分发到内勤单位，也就什么好担心的了！”年轻人问道：“那，若是被分发到外勤单位呢？”老祖父：“那还有两个机会，一个是留在本岛，另一个是分发外岛。
如果你分发在本岛，也不用担心呀！”年轻人又问：“那，若是分发到外岛呢？”老祖父：“那还是有两个机会，一个是后方，另一个是分发到最前线。
如果你留在外岛的后方单位，也是很轻松的！”年轻人再问：“那，若是分发到最前线呢？”老祖父：“那还是有两个机会，一个是站站卫兵，平安退伍；另一个是会遇上意外事故。
如果你能平安退伍，又有什么好怕的！”年轻人问：“那么，若是遇上意外事故呢？”老祖父：“那还是有两个机会，一个是受轻伤，可能送回本岛；另一个是受了重伤，可能不治。
如果你受了轻伤，送回本岛，也不用担心呀！”年轻人最恐惧的部分来了，他颤声问：“那……若是遇上后者呢？”老祖父大笑：“若是遇上那种情况，你人都死了，还有什么好担心的？倒是我要担心，那种白发人送黑发人的痛苦场面，可不是好玩的喔！”人生拥有的，是不断的抉择，端看您是用什么态度，去看待这些有赖您决定的无数机会。
能够综观每件事情、每个问题的正反两面，您将发现，内心最深沉的恐惧，也在所有状况明朗了解之后，将会自行化为乌有。
感悟：【运河通道1】a是自然数，除数b是自然数（a＞b），商也是自然数时，出现的余数是小于除数的自然数的除法，叫做带余除法。
并且余数小于除数。
当余数不为零时，商叫做不完全商。
【运河通道2】余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：（1）余数小于除数。
（2）被除数=除数×商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数。
余数问题定义性质
余数问题
余数定义：
如果a是整数，b是整数（b≠0）,若a÷b=q……r,a=q×b＋r，0≤r＜b;
(1) r=0时，我们称a能被b整除；
（2）r≠0时，r为a除以b的余数，qa除以b的商。
余数的性质：
（1）．被除数=除数×商＋余数；除数=（被除数－余数）÷商；商=（被除数－余数）÷除数
（2）余数小于除数
同余定理（一）
如果a和b除以c余数相同，就称a和b对于除数c来说同余，且有a 与b的差能被c整除，（a、b、c均为自然数）
同余定理（二）
a与b的和除以c余数，等于a、b分别除以c的余数之和（或者这个和除以c的余数）。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23＋16）除以5的余数等于3＋1=4注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23＋19）除以5的余数等于（3＋4）除以5的余数。
同余定理（三）
a与b的乘积除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之积，（或这个积再除以c的余数）
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。
五年级奥数：第14讲 余数问题
五年级奥数：第14讲余数问题在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。
当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。
余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：（1）余数小于除数。
（2）被除数=除数×商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数。
（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。
例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。
（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。
例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。
注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。
例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。
（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c 的余数）。
例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。
注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。
例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。
性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。
例1 5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。
分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。
5122-66=5056，5056应是除数的整数倍。
将5056分解质因数，得到5056=26×79。
由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。
例2 被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。
第6课 余数问题
第4课余数问题设n是一个正整数，我们知道，任何一个整数被n除的的余数必然为0，1，2，…，n-1中的一个.因此，按照被n除得的余数，可以将所有的整数分成n类：余数为0、余数为1、余数为2、…、余数为n-1.例如，当n=2时，整数分为2类：奇数和偶数.如果两个数a和b被n除所得的余数相同，我们称a和b关于模n同余，记作a≡b(mod n).根据定义，a和b关于模n同余也可以用下面两种方式叙述：(1)若n|(a-b)，则a、b对模n同余；(2)若a=b+nk(k是整数)，则a、b对模n同余.同余具有以下性质：(1)反身性：a≡a(mod n).;(2)对称性：若a≡b(mod n),则b≡a (mod n)；(3)传递性：若a≡b(mod n), b≡c (mod n)；则a≡c(mod n)(4)可加性：若a≡b(mod n)，c≡d(mod n)，则a±c≡b±d(mod n); ac≡bd(mod n);(5)可乘性：若a≡b(mod n)，c是整数，则ac≡bc(mod n)，a n≡b n(mod n)根据(5), 若a≡b(mod n)，c≡d(mod n),则ac≡bd(mod n).反过来未必成立，即若ac≡bc(mod n)，不一定有a≡b(mod n)，但是有下面的：(6)若ac≡bc(mod n)，且(c,n)=1，则a≡b(mod n).例1、已知a、b是整数，a除以7余3，b除以7余5，当a2>4b时，求a2-4b除以7的余数是多少？(92年，天津)例2、一个自然数N被10除余9，被9除余8，被8除余7，被7除余6，被6除余5，被5除余4，被4除余3，被3除余2，被2除余1，求N的最小值.(91年，北京)例3、证明：任意三个连续自然数的两两之积的和不可能等于30000.(95年，俄罗斯)例4、任意给出n+1个整数，证明：其中必有2个的差被n整除.例5、证明：连续的n个整数中必有一个是n的倍数.例6、设a是整数，求证：5|a5-a.例7、设p 以及2p +1都是素数，且p >3，证明：4p +1是合数.练习：证明以下结论：(1)完全平方数被3除，余数是0或者1；(2) 完全平方数被5除，余数是0，1或4；(3) 完全平方数被4除，余数是0或者1；(4) 完全平方数被8除，余数是0，1或4.例8、求证：(1)8|(551999+17); (2) 8|(32n +7) ; (3)17|(191000-1)例9、m 、n 是正整数，证明：3m +3n +1不可能是完全平方数.例10、今天是星期二，明天起算第一天，则第333200921+++ 天是星期几？例11、n>1且为整数，由n 个1组成的正整数称为“重1数”，如11，111，1111，等等.求证：重1数中没有完全平方数.练习：1、已知2222222101100994321+-++-+-= S ，S 被103除的余数是_______.2、(1)20082009+20092008的末位数字是______;(2)19492009的末两位数是_______.3、证明：连续2个整数的积被3除，余数是0或者2.4、a除以5余1，b除以5余4，如果3a>b，那么3a-b除以5的倍数是_____.5、1+22+33+44+…+99≡_____(mod3)6、一个数除以3余2，除以4与1，这个数除以12的余数为______.7、整数11…1(1000个1)被6除的余数为________.8、273747被7除的余数是______.9、一枚棋子放在五边形的0位上，现沿顺时针方向按照下面的规律移动：第一次移动1格，第二次移动2格,…,第n次移动n格.求证：无论移动多少次，棋子总不可能停在第2、第4格上.432110、20082009表示成7进制数的个位数字是多少？11、是否存在这样的正整数n，使得3n2+7n-1能整除n3+n2+n+1?请说明理由.12、求证：任意11个整数中，一定有6个数的和被6整除.13、任给7个不同的整数，证明：其中必有2个数，其和或差是10的倍数.14、黑板上有1，2，…，1987这些数，作这样的变换：将黑板上的数擦去一些，并添上被擦去的数的和被7除所得的余数.经过若干次后，黑板上只有2个数，一个是987，求另一个数.15、用数字1，2，3，4，5，6，7各11个，随意排成一个77位的整数，求证：所得的数不是完全平方数.16、任意取一个被9整除的2009位数，其数码之和为a，a的数码之和为b，b的数码之和为c，求c.。
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第十讲余数问题常考的余数问题基本可以分成四类：带余除法、余数周期问题、同余问题、“物不知其数”。
解题时关键要分清楚它到底是想考你什么，这样才能拿出正确的破解方法。
下面我简单谈谈这四类问题：㈠带余除法。
一般地，如果.α是整数，b是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q和r，使得α÷b＝q……r或α＝b×q＋r当r=0时，我们称α能被b整除。
当r≠0时，我们称α不能被b整除，r为α除以b的余数，q为α除以b的不完全商(也简称为商)。
带余除法最关键就是理清被除数、除数、商、余数的关系，特别需要注意的是，余数肯定小于除数。
出题者常常会在这里设置陷阱。
㈡余数周期。
这其中又分为递推数列（给一串数，要求第χ个数除以某个数的余数）和n次幂（求一个数的n次方除以某个数的余数）相关的余数问题，处理这两类问题一个最直接的做法就是找规律，因为它们除以某数的余数都是有周期的。
例如，求3130÷13的余数。
例如尖子班作业1。
㈢同余问题。
1、什么是“同余”整数α和b除以整数c，得到的余数相同，我们就说整数α、b对于模c同余。
记作：α≡b （mod c）例如：15÷4＝3 (3)23÷4＝5 (3)15和23对于除数4同余。
记作：15 ≡23 （mod4）可以理解为15和23除以4的余数相同。
2、“同余”的四个常用性质是什么同余性质1：如果α≡ b (mod m)，则m︱（α－b）若两数同余，他们的差必是除数的倍数。
例如，73 ≡23 (mod 10)则10︱（73－23）73与23的差是10的倍数。
同余性质2：如果α≡ b (mod m)，c ≡d (mod m),则α± c ≡ b ± d (mod m)两数和的余数等于余数的和。
两数差的余数等于余数的差。
例如，73 ≡3 (mod 10)84 ≡4 (mod 10)73+84 ≡3+4≡7 (mod 10)84－73≡4－3≡1 (mod 10)同余性质3：如果α≡ b (模m)，c ≡d (模m),则α× c ≡b×d (模m)两数积的余数等于余数的积。
例如，73 ≡3 (模10)84 ≡4 (模10)73×84 ≡3×4≡2 (模10)同余性质4：如果α≡ b (模m)则αn≡b n (模m)某数乘方的余数，等于余数的乘方。
例如，40≡1 （mod13）4031≡131≡1 （mod13）很多人分不清同余问题和“物不知其数”问题的区别。
举个例子：“一个自然数除429、791、500所得的余数分别是a＋5、2a、a，求这个自然数和a的值。
”这是同余问题，已知被除数和余数，求除数。
这种问题就是想办法把余数都化为相同的数，然后两两做差求最大公约数，就是“物不知其数”问题。
4、“物不知其数”。
与同余问题相对应的是“物不知其数”，例如：“一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数。
”这种问题有两个万能方法：逐级满足和中国剩余定理。
但是考试往往不考这两个方法，这两个方法往往也比较繁琐。
考试题里不妨去研究研究题中给的除数和对应的余数的关系（和或差），若他们的和或差相同，那么就有简单的解题方法（即所谓“加同补”、“减同余”），实在没有，再考虑逐级满足和中国剩余定理。
我们在解决“物不知其数”题目，有“四大绝招”把余数问题转化为“整除问题”：绝招一：减同余。
例2、例3绝招二：加同补。
例4、作业4 、学案3绝招三：中国剩余定理。
绝招四：逐级满足法。
例1 （3130＋3031）被13除所得的余数是多少分析：⑴31被I3除所得的佘数为5，当n取l，2，3，…时，5n被I3除所得佘数分别是5，12，8，l，5，⒓，8，l，…，以4为周期循环出现，所以530被I3除的余数与52被13除的余数相同，余12。
即3130除以13的余数为12。
⑵30被13除所得的余数是4，当n取l，2，3，…时，4n被13除所得的佘数分别是4，3，12，9，10，1，4，3，12，9，10，……，以6为周期循环出现，所以431被I3除所得的余数等于41被13除所得的佘数，即4，故3031除以13的余数为4。
所以，（3130＋3031）被13除所得的余数是I2＋4－13＝3解：⑴31≡5 （模13）3130≡530 ≡52≡12（模13）⑵30≡4 （模13）3031≡431≡41≡4 （模13）⑶3130＋3031≡12＋4≡3 （模13）答：（3130＋3031）被13除所得的余数是3。
点睛：用到同余的性质“某数乘方的余数等于余数的乘方”“两数和的余数等于余数的和”。
例2 一个大于1的数去除290，235，200时，得余数分别为α，α十2，α十5，则这个自然数是多少分析：根据题意，这个自然数去除290，233，195时，得到相同的余数(都为α)。
既然余数相同，根据同余性质“若两数同余，他们的差必是除数的倍数。
”可知其中任意两数的差都是除数的倍数。
290－233＝57 233－195＝38 290－195＝95除数是57、38、95的公约数，（57，38，95）＝19答：这个自然数是19。
例3 学前班有几十位小朋友，老师买来176个苹果，216块饼干，324粒糖，并将它们尽可能地平均分给每位小朋友。
余下的苹果、饼干、糖的数量之比是1︰2︰3，问学前班有多少位小朋友分析：⑴设分完后余下苹果χ个，余下饼干2χ个，余下糖3χ粒。
176÷人数＝A个……χ216÷人数＝B个……2χ324÷人数＝C个……3χ⑵176×2－216＝136；176＋216－324＝68；176×3－324＝204（136，68，204）＝68学前班有几十位小朋友，并且人数是68的约数，68的约数中是几十的只有68和34两个。
⑶检验：176÷34＝5个 (6)216÷34＝6个 (12)324÷34＝9个……18 34人符合题意。
检验：176÷68＝2个 (40)216÷68＝3个……1268人不符合题意。
答：学前班有34位小朋友。
例4 200以内除以3余I，除以4余2，除以5余3的自然数有多少个分别是多少分析：⑴通过观察我们发现，除数和余数的差都为2。
被除数补上2之后，除以3、4、5都能整除；也就是说，被除数补上2之后是3、4、5的公倍数。
[3，4，5]＝60，补上2之后是60的倍数。
200以内60的倍数有60、120、180共3个。
相应的，符合要求的自然数也有3个，分别是：58、118、178。
例5 （1998年小学数学奥林匹克预赛）某数除以11余8，除以13余10，除以17余12，那么这个数的最小可能值是。
分析：⑴观察到11－8＝13－10＝3，某数补上3之后是11和13的公倍数。
][11，13] ＝11×13＝143设某数为143n－3。
⑵143n≡7n （模17）3≡3 （模17）143n－3≡7n－3 （模17）只有当n＝7时，7×7－3＝46，45÷17余12。
⑶n最小等于7，那么这个数的最小可能值是143×7－3＝998答：这个数的最小可能值是998 。
例6 （2000年“祖冲之杯”小学数学邀请赉试题）三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19，23，31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是，，。
分析：⑴设所得的商为α，余数为b（19α＋b）＋（23α＋b）＋（31α＋b）＝200173α＋3b＝2001 b＜19⑵2001÷73＝27 (30)α＝27，b＝10这三个数分别是19×27＋10＝523；23×27＋10＝631；31×27＋10＝847；答：这三个数分别是523、631、847。
超常挑战三个连续自然数依次可以被5整除、被7整除、被11整除，那么这三个自然数最小为多少分析：⑴设这三个自然数分别为χ－1，χ，χ＋1 。
2χ－7既是5的倍数也是7的倍数，是5和7的公倍数。
[5，7]＝35，⑵设2χ－7＝35K，（K为自然数）当K＝1时，2χ－7＝35χ＝21χ－1＝20是5的倍数；χ＝21是7的倍数；χ＋1＝22是11的倍数。
家庭作业1、着名的裴波那契数列是这样的：l、2、3、5、8、13、21、……，这串数列当中第2010个数除以3所得的余数为多少分析：⑴斐波那契数列的构成规则是从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和。
根据“两数和的余数等于余数的和”将裴波那契数列转换为被3除所得余数的数列：I、l、2、0、2、2、1、0、I、l、2、0、2、2、1、0、……⑵裴波那契数列被3除的余数——每8个余数为一个周期循环出现。
由于2010÷8＝251……2，所以第2010项被3除所得的余数与第2项被3除所得的余数相同，余数为1。
2. 一个数去除70、103所得的余数为α、2α＋2，求α的值。
解：⑴用数学表达式表述题意70÷n＝A……a ……①103÷n＝B……2a＋2 ……②⑵把①式转化为（70×2＋2）÷n＝2A……2a＋2 70×2＋2＝142142与103除以n的余数相同，根据同余的性质定理（1），n能整除142与103的差。
142－103＝39，n能整除39，n是39的约数。
⑶39的约数有1、3、13、39，经检验，n＝13。
70÷13＝5 (5)103÷13＝7……12（12＝2×5＋2）所以，n＝53. 一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自然数是多少解：设这个大于10的自然数为n。
根据同余的性质定理（二），两数和的余数等于余数的和。
用n去除90、164后所得的两个余数的和等于用n去除220所得的余数，而90＋164＝254。
254和220除以n所得的余数相同，于是254－220＝34是n的倍数，n是34的约数。
34的约数有1、2、17、34，因为n是大于10的自然数，所以n只能是17或34。
当n＝34时，90÷34＝2......22；164÷34＝4......28；220÷34＝6 (16)22＋28≠16 所以，n≠34当n＝17时，90÷17＝5......5；164÷17＝9......11；220÷17＝12 (16)5＋11＝16 所以，n＝17答：符合要求的自然数是17。
.4. 一个小于200的数，它除以11余8，除以13余10，这个数是多少解：先把已知条件用数学表达式写出来，设所求的自然数为N。