泰勒公式
泰勒公式介绍
泰勒公式介绍
泰勒公式是一种用来将任意函数表示为无限项幂级数的工具。
它由18世纪英国数学家布鲁克·泰勒提出，因此得名。
泰勒公式可以将一个连续可导的函数在某个点的邻域内展开为一个幂级数。
幂级数表达式的形式如下：
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + (f''(a)/2!)(x-a)^2 + (f'''(a)/3!)(x-a)^3 + ...
其中，f(x) 是待展开的函数，f(a) 是函数在点 a 处的值，f'(a)
是函数在点 a 处的一阶导数的值，以此类推。
泰勒公式的展开项是通过函数在给定点处的导数来确定的。
利用泰勒公式，可以用更简单的函数逼近较为复杂的函数，并且可以在给定点附近进行近似计算。
幂级数的项数可以任意取，但是通常只取前几项来进行近似计算，以便简化计算过程。
泰勒公式在数学分析、物理学和工程学等领域中有广泛的应用。
它可以用来近似计算函数的值、求解微分方程、优化问题等。
在实际应用中，通常需要根据函数的性质和所需精度选择适当的展开点和展开项数，以得到满足要求的近似解。
泰勒展开常用公式
泰勒展开常用公式摘要：1.泰勒展开的定义和背景2.泰勒展开常用公式3.泰勒展开的应用领域4.总结正文：泰勒展开是微积分学中一种重要的数学工具，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为。
泰勒展开，又称泰勒公式，是由英国数学家布鲁克·泰勒在17 世纪提出的。
泰勒展开是一种用多项式逼近函数的方法，通过它，我们可以将一个复杂的函数表示为一系列简单的多项式之和，从而简化问题。
泰勒展开常用公式如下：对于一个函数f(x)，在点x=a 的泰勒展开公式为：f(x) ≈ f(a) + f"(a)(x-a) + f""(a)(x-a)^2 / 2! + f"""(a)(x-a)^3 / 3! + ...+ f^n(a)(x-a)^n / n! + R_n(x)其中，f"(a)、f""(a)、f"""(a) 等表示函数f 在点a 的各阶导数值；n! 表示n 的阶乘；R_n(x) 是余项，表示多项式逼近的误差。
泰勒展开的应用领域非常广泛，主要包括以下几个方面：1.近似计算：通过泰勒展开，我们可以将复杂的函数近似为多项式，从而简化计算过程。
例如，在数值分析中，泰勒展开可以用于插值和逼近问题。
2.分析函数性质：泰勒展开可以揭示函数的某些性质，如奇偶性、单调性、极值等。
这些性质对于研究函数的内在规律具有重要意义。
3.求解微分方程：泰勒展开可以用于求解一些微分方程，例如常微分方程和偏微分方程。
通过对函数进行泰勒展开，可以将微分方程转化为关于多项式的代数方程，从而求解。
4.构建概率分布：在概率论中，泰勒展开可以用于构建一些常见的概率分布，如正态分布、指数分布等。
通过对概率密度函数进行泰勒展开，可以得到这些概率分布的参数。
总之，泰勒展开作为一种重要的数学工具，在理论研究和实际应用中具有广泛的应用价值。
泰勒公式通式
泰勒公式通式常用的泰勒公式：e^x=1+x+x^2/2+x。
泰勒公式，应用于数学、物理领域，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。
如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。
相关内容解释：函数（function）的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。
函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B 和对应法则f。
其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。
泰勒公式是高等数学中的一个非常重要的内容，它将一些复杂的函数逼近近似地表示为简单的多项式函数，常用的泰勒公式如下所示：1、e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……2、ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1)3、sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……(-∞<x<∞)4、cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+……(-∞<x<∞)5、arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……(|x|<1)6、arccos x = π- ( x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……) (|x|<1)7、arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -……(x≤1)8、sh x = x+x^3/3!+x^5/5!+……+(-1)^(k-1)*(x^2k-1)/(2k-1)!+……(-∞<x<∞)9、ch x = 1+x^2/2!+x^4/4!+……+(-1)k*(x^2k)/(2k)!+……(-∞<x<∞)10、arcsh x = x - 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 - ……(|x|<1)11、arcth x = x + x^3/3 + x^5/5 + ……(|x|<1)扩展资料泰勒公式介绍：泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。
数学分析泰勒公式
数学分析泰勒公式泰勒公式是数学分析中的重要定理之一，它描述了一个函数在特定点附近的局部行为。
泰勒公式的内容非常丰富，有多个版本，包括泰勒级数展开、拉格朗日余项等等。
本文将主要介绍泰勒公式的一般形式及其应用。
泰勒公式的一般形式如下：设函数f(x)在区间[a,b]上具有n+1阶连续导数，在(a,b)内存在一点c，那么对于(a,b)内的任意x，都存在一个介于x和c之间的点ξ，使得f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)/1!+f''(c)(x-c)²/2!+...+f⁽ⁿ⁾(c)(x-c)ⁿ/n!+R⁽ⁿ⁺¹⁾(x)其中f'(c)表示f(x)在点c处的一阶导数，f''(c)表示f(x)在点c处的二阶导数，依此类推，f⁽ⁿ⁾(c)表示f(x)在点c处的n阶导数。
R⁽ⁿ⁺¹⁾(x)是泰勒公式的余项，用于估计f(x)与泰勒级数展开之间的误差。
其具体形式为：R⁽ⁿ⁺¹⁾(x)=(x-c)ⁿ⁺¹/(n+1)!*f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)其中ξ位于x和c之间。
泰勒公式的一般形式给出了一个函数在特定点附近的局部近似表示。
当x靠近c的时候，余项R⁽ⁿ⁺¹⁾(x)往往趋近于0，这意味着f(x)可以很好地由前面几项和来近似表示。
特别地，当n较大时，泰勒公式给出了一个无穷级数展开，称为泰勒级数展开。
泰勒级数展开形式如下：f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)/1!+f''(c)(x-c)²/2!+...+f⁽ⁿ⁾(c)(x-c)ⁿ/n!+...通常将f(x)在c处展开的泰勒级数称为f(x)的泰勒级数展开式，并记作：f(x)=Σf⁽ⁿ⁾(c)(x-c)ⁿ/n!泰勒级数展开具有很好的性质，例如，它可以用于计算函数在特定点的值、求函数在特定点附近的最值、近似求解方程等等。
例如，对于常见的指数函数、三角函数、对数函数等，它们可以通过泰勒级数展开来进行计算和近似。
taylor公式(泰勒公式)通俗+本质详解
泰勒公式，也称为泰勒展开式，是微积分中非常重要的定理之一。
它是以17世纪英国数学家布饶·泰勒（Brook Taylor）的名字命名的，用于将一个函数在某一点附近用多项式逼近的方法。
泰勒公式可以说是微积分中的瑰宝，它不仅在数学领域有着重要的应用，而且在物理、工程等其他领域也有着广泛的应用。
让我们来深入了解泰勒公式的本质。
泰勒公式的本质是利用函数在某一点的导数来逼近函数的值。
具体来说，对于一个光滑的函数f(x)，在点a处的泰勒展开式可以表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)²/2! + f'''(a)(x-a)³/3! + ...其中f'(a)、f''(a)等分别表示函数f(x)在点a处的一阶、二阶导数等。
这意味着，通过泰勒公式，我们可以用函数在某一点的导数来逼近函数在该点附近的取值。
泰勒公式的通俗理解可以通过一个简单的例子来说明。
假设我们要计算sin(x)在x=0处的近似值，我们可以利用泰勒公式展开sin(x)：sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + ...如果我们只取前面几项，就可以得到sin(x)在x=0处的近似值。
这就是泰勒公式在实际问题中的应用，通过泰勒公式，我们可以用多项式函数来近似表示复杂的函数，从而简化计算和分析。
对于泰勒公式的书写方式，我个人建议采用序号标注的方式，如下所示：1. 泰勒公式的本质是利用函数在某一点的导数来逼近函数的值。
2. 泰勒公式可以通过一个多项式来近似表示一个光滑的函数。
3. 通过泰勒公式，我们可以用函数在某一点的导数来逼近函数在该点附近的取值。
我想共享一下我的个人观点和理解。
泰勒公式的重要性不仅在于它可以简化复杂函数的计算和分析，还在于它揭示了光滑函数在某一点附近的局部性质。
泰勒展开的公式
泰勒展开的公式摘要：1.泰勒公式的定义2.泰勒公式的用途3.泰勒公式的证明方法4.泰勒公式的实际应用正文：1.泰勒公式的定义泰勒公式，又称泰勒级数，是由英国数学家布鲁克·泰勒在18 世纪初提出的一种数学公式。
泰勒公式可以将一个可微函数在某一点附近的值表示为该点的函数值、导数值和高阶导数值的有限和。
具体来说，设函数f(x) 在点a 附近可微，则泰勒公式可以表示为：f(x) ≈ f(a) + f"(a)(x-a) + f""(a)(x-a)^2 / 2! + f"""(a)(x-a)^3 / 3! +...+ f^n(a)(x-a)^n / n! + Rn(x)其中，f"(a)、f""(a)、f"""(a) 等分别表示函数f(x) 在点a 处的一阶导数、二阶导数、三阶导数等，n! 表示n 的阶乘，Rn(x) 表示泰勒公式的余项。
2.泰勒公式的用途泰勒公式在数学和实际应用中有着广泛的用途，主要包括以下几点：（1）求函数的近似值：通过泰勒公式，可以将复杂的函数在某一点附近近似为多项式，从而简化问题。
（2）证明其他数学定理：泰勒公式可以作为证明其他数学定理的工具，例如证明函数的凹凸性、极限等。
（3）数值计算：在数值计算中，泰勒公式可以用于求解微分方程、插值和逼近等问题。
3.泰勒公式的证明方法泰勒公式的证明方法有多种，其中较为常见的是利用洛必达法则进行证明。
具体证明过程较为繁琐，这里不再赘述。
4.泰勒公式的实际应用泰勒公式在实际应用中有很多例子，下面举一个简单的例子来说明。
例如，我们要求函数f(x) = sin(x) 在点x=π/2 附近的值。
首先，我们知道sin(x) 在x=π/2 处的值为1，其次，我们可以求出sin(x) 在x=π/2 处的一阶导数为cos(π/2)=0，二阶导数为-sin(π/2)=-1，以此类推。
泰勒公式大全
泰勒公式大全泰勒公式是微积分中的重要概念，它可以将一个函数在某一点附近展开成无限项的多项式，从而方便我们进行计算和研究。
本文将按照不同的类别介绍泰勒公式的各种形式和应用。
一、泰勒公式的基本形式泰勒公式的基本形式是：$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$其中，$f(x)$是要展开的函数，$a$是展开点，$f^{(n)}(a)$表示$f(x)$在$a$处的$n$阶导数，$n!$表示$n$的阶乘。
二、泰勒公式的常用形式1. 麦克劳林公式当$a=0$时，泰勒公式就变成了麦克劳林公式：$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$这个公式在计算中非常常用，因为它可以将很多函数展开成简单的多项式形式。
2. 带余项的泰勒公式在实际计算中，我们往往只需要保留泰勒公式的前几项，而不需要展开到无穷项。
这时，我们可以使用带余项的泰勒公式：$$f(x)=\sum_{n=0}^{m}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+R_m(x)$$其中，$m$表示展开的项数，$R_m(x)$表示余项，它的表达式为：$$R_m(x)=\frac{f^{(m+1)}(\xi)}{(m+1)!}(x-a)^{m+1}$$其中，$\xi$是$a$和$x$之间的某个值，$m+1$阶导数的值在$a$和$\xi$之间取值。
三、泰勒公式的应用1. 近似计算泰勒公式可以将一个复杂的函数近似成一个简单的多项式，从而方便我们进行计算。
比如，我们可以使用麦克劳林公式将$\sin x$和$\cos x$展开成多项式形式，从而计算它们的值。
2. 函数的性质研究泰勒公式可以帮助我们研究函数的性质，比如函数的最值、极值、拐点等。
通过对泰勒公式的各项系数进行分析，我们可以得到函数在展开点附近的一些性质。
3. 数值逼近泰勒公式可以用来进行数值逼近，比如我们可以使用带余项的泰勒公式来逼近函数的值。
8个泰勒公式总结
8个泰勒公式总结1. 一阶泰勒公式一阶泰勒公式是数学中用来近似计算函数值的重要公式。
它基于函数在某一点的导数，可以将函数在该点附近的近似值表示为一个线性函数。
一阶泰勒公式可以表示为：f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x-a)其中，f(x)是函数在点x处的值，f(a)是函数在点a处的值，f'(a)是函数在点a处的导数。
2. 二阶泰勒公式二阶泰勒公式是泰勒公式的推广，可以更精确地近似计算函数值。
它基于函数在某一点的导数和二阶导数，可以将函数在该点附近的近似值表示为一个二次函数。
二阶泰勒公式可以表示为：f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x-a) + (1/2)f''(a)(x-a)^2其中，f(x)是函数在点x处的值，f(a)是函数在点a处的值，f'(a)是函数在点a处的一阶导数，f''(a)是函数在点a处的二阶导数。
3. 多项式泰勒公式多项式泰勒公式是泰勒公式的另一种表现形式。
它通过将函数展开成一系列幂函数的和，来近似计算函数值。
多项式泰勒公式可以表示为：f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x-a) + (1/2)f''(a)(x-a)^2 + ... + (1/n!)f^(n)(a) (x-a)^n其中，f(x)是函数在点x处的值，f(a)是函数在点a处的值，f'(a)是函数在点a处的一阶导数，f''(a)是函数在点a处的二阶导数，f^(n)(a)是函数在点a处的n阶导数，n!表示n的阶乘。
4. 常用的泰勒公式展开函数在实际计算中，有一些常见的函数的泰勒公式展开式被广泛使用。
这些函数包括正弦函数、余弦函数、指数函数等。
正弦函数的泰勒公式展开式为：sin(x) ≈ x - (1/3!)x^3 + (1/5!)x^5 - (1/7!)x^7 + ...余弦函数的泰勒公式展开式为：cos(x) ≈ 1 - (1/2!)x^2 + (1/4!)x^4 - (1/6!)x^6 + ...以及指数函数的泰勒公式展开式为：e^x ≈ 1 + x + (1/2!)x^2 + (1/3!)x^3 + ...5. 泰勒级数泰勒级数是指将一个函数展开成一系列幂函数的和的无穷级数。
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泰勒公式一 带有佩亚诺型余项的泰勒公式由微分概念知：f 在点0x 可导，则有 ).())(()()(0000x x x x x f x f x f -+-'+=ο． 即在点0x 附近，用一次多项式))(()(000x x x f x f -'+逼近函数)(x f 时，其误差为(0x x -)的高阶无穷小量．然而在很多场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，并要求误差为nx x ))((0-ο，其中n 为多项式的次数．为此，我们考察任一n 次多项式.)()()()(0202010nn n x x a x x a x x a a x p -++-+-+= (1)逐次求它在点0x 处的各阶导数，得到 00)(a x p n =，20!2)(a x p n ="，n n n a n x p !)(,0)(= ，即.!)(,!2)(,!1)(),(0)(020100n x p a x p a x p a x p a n n n n n n ="='==由此可见，多项式)(x p n 的各项系数由其在点0x 的各阶导数值所唯一确定．对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数．由这些导数构造一个n 次多项式,)(!)()(!2)()(!1)()()(00)(200000n n n x x n x fx x x f x x x f x f x T -++-''+-'+= （2）称为函数f 在点0x 处的泰勒(Taylor)多项式，)(x T n 的各项系数=k k x fk (!)(0)(1，2，…，n )称为泰勒系数．由上面对多项式系数的讨论，易知)(x f 与其泰勒多项式)(x T n 在点0x 有相同的函数值和相同的直至n 阶导数值，即.,,2,1,0),()(0)(0)(n k x T x fk n k == （3）下面将要证明))(()()(0nn x x x T x f -=-ο，即以(2)式所示的泰勒多项式逼近)(x f 时，其误差为关于nx x )(0-的高阶无穷小量．定理6．8 若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有+=)()(x T x f n 即),)((0nx x -ο).)(()(!)()(!2)())(()()(000)(200000n n n x x x x n x fx x x f x x x f x f x f -+-+-''+-'+=ο （4）证 设 n R (,)()(),()()0nn n x x x Q x T x f x -=-=现在只要证 .0)()(lim0=→x Q x R nn x x由关系式(3)可知， 0)()()(0)(0'0===x R x R x R n n n n并易知 !.)(,0)()()(0)(0)1(0'0n x Q x Q x Q x Q n n n n n n =====-因为)(0)(x fn 存在，所以在点0x 的某邻域U(0x )内f 存在n —1阶导函数)(x f ．于是，当)(0x U x ∈且0x x →时，允许接连使用洛必达法则，n —1次，得到.0)]()()([lim !1)(2)1())(()()(lim)()(lim )()(lim )()(lim 0)(00)1()1(000)(0)1()1()1()1(''00000=---=-----====--→--→--→→→x f x x x f x f n x x n n x x x f x f x fx Q x R x Q x R x Q x R n n n x x n n n x x n nn n x x n n x x n x x 定理所证的(4)式称为函数f 在点0x 处的泰勒公式，)()()(x T x f x R n n -=称为泰勒公式的余项，形如))((0nx x -ο的余项称为佩亚诺(Peano)型余项．所以(4)式又称为带有佩亚诺型余项的泰勒公式．注1 若)(x f 在点0x 附近满足),)(()()(0nn x x x p x f -+=ο， (5)其中)(x p n 为(1)式所示的n 阶多项式，这时并不意味着)(x p n 必定就是f 的泰勒多项式)(x T n ．例如 ,),()(1++∈=N n x D xx f n 其中D )(x 为狄利克雷函数．不难知道，)(x f 在0=x 处除了0)0(='f 外不再存在其他任何阶导数(为什么?)．因此无法构造出一个高于一次的泰勒多项式)(x T n ，但因 ,0)(lim )(lim00==→→x xD xx f x n x 即)()(nx x f ο=，所以若取 .00000)(2≡⋅++⋅+⋅+=nn x x x x p 时，(5)式对任何+∈N n 恒成立．注2 满足(5)式要求(即带有佩亚诺型误差)的n 次逼近多项式)(x p n 是唯一的． 综合定理6．8和上述注2，若函数f 满足定理6．8的条件时，满足(5)式要求的逼近多项式)(x p n 只可能是f 的泰勒多项式)(x T n ．以后用得较多的是泰勒公式(4)在00=x 时的特殊形式：).(!)0(!2)0()0()0()()(2n nn x x n f x f x f f x f ο+++''+'+=它也称为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林(Maclaurin)公式．例1 验证下列函数的麦克劳林公式：)1( );(!!212n nxx n x x x e ο+++++= (2) );()!12()1(!5!3sin 212153m m m x m x x x x x ο+--+++-=-- )3( ;)()!2()1(!4!21cos 12242++-+++-=m m m x m x x x x ο (4) )()1(32)1ln(132n nn x nx x x x x ο+-+++-=+- ； )5( );(!)1()1(!2)1(1)1(2n n x x n n x x x οααααααα++--++-++=+(6))(1112n n x x x x xο+++++=- ． 证 这里只验证其中两个公式，其余请读者自行证明． (2) 设x x f sin )(=，由于)2sin()()(πk x x f k +=，因此 .,2,1,)1()0(,0)0(1)12()2(n k f fk k k =-==--n k x k x f xx f x x f k k k ,,2,1,)1()!1()1()(,,11)()1ln()(1)(' =+--=+=+=--代人公式(6)，便得到x sin 的麦克劳林公式．由于这里有)()(212x T x T m m =-，因此公式中的余项可以写作)(12-m xο，也可以写作)(2m x ο)．关于公式3)中的余项可作同样说明．)4(设因此.,,2,1,)!1()1()0(1)(n k k fk k =--=-代人公式(6)，便得)1ln(x +的麦克劳林公式利用上述麦克劳林公式，可间接求得其他一些函数的麦克劳林公式或泰勒公式，还可用来求某种类型的极限． 例2 写出22)(x ex f -=的麦克劳林公式，并求)0()98(f与)0()99(f ．解 用)2(2x -替换公式1)中的x ，便得).(!2)1(!22212224222n n n nx x n x x x eο+⋅-+⋅+-=-根据定理6．8注2，知道上式即为所求的麦克劳林公式．由泰勒公式系数的定义，在上述)(x f 的麦克劳林公式中，98x 与99x 的系数分别为.0)0(!991,!4921)1()0(!981)99(4949)98(=⋅-=f f 由此得到.0)0(,!492!98)0()99(49)98(=⋅-=f f例3 求x ln 在2=x 处的泰勒公式．解 由于),221ln(2ln )]2(2ln[ln -++=-+=x x x 因此).)2(()1(21)1()2(221)2(212ln 122n n nn x x n x x x -+-⋅-++-⋅--+=-ο根据与例1的相同的理由，上式即为所求的泰勒公式． 例 4 求极限4202cos limx e x x x -→-.解 本题可用洛必达法则求解(较繁琐)，在这里可应用泰勒公式求解．考虑到极限式的分母为4x ，我们用麦克劳林公式表示极限的分子(取4=n ，并利用例2)：),(821),(2421cos 54225422x xxex x x x xοο++-=++-=-).(12cos 5422x x ex x ο+-=--因而求得.121)(121limcos lim4544202-=+-=-→-→x x x x e x x x x ο 二 带有拉格朗日型余项的泰勒公式上面我们从微分近似出发，推广得到用n 次多项式逼近函数的泰勒公式（4）。
它的佩亚诺型余项只是定性地告诉我们：当0x x →时，逼近误差是较nx x )(0-高阶的无穷小量。
现在我们将泰勒公式构造一个定量形式的余项，以便于对逼近误差进行具体的计算或估计。
定理 6.9 （泰勒定理）若函数f 在],[b a 上存在直至n 阶的连续导函数，在),(b a 内存在)1(+n 阶导函数，则对任意给定的],[,0b a x x ∈，至少存在一点),(b a ∈ξ，使得.)()!1()()(!)()(!2)())(()()(10)1(00)(200000++-++-++-''+-'+=n n n n x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ （7）证 作辅助函数],)(!)())(()([)()()(n n t x n t f t x t f t f x f t F -++-'+-= .)()(1+-=n t x t G所要证明的(7)式即为)()!1()()(0)1(0x G n f x F n +=+ξ或)!1()()()()1(00+=+n f x G x F n ξ.不妨设x x <0,则)(t F 与)(t G 在],[0x x 上连续,在),(0x x 内可导,且,)(!)()()1(n n t x n t f t F --='+.0))(1()(≠-+-='n t x n t G又因0)()(==x G x F ，所以由柯西中值定理证得,)!1()()()()()()()()()()1(0000+=''=--=+n f G F x G x G x F x F x G x F n ξξξ其中),(),(0b a x x ⊂∈ξ.（7）式同样称为泰勒公式，它的余项为,)()!1()()()()(10)1(++-+=-=n n n n x x n f x T x f x R ξ),10)((00<<-+=θθξx x x称为拉格朗日型余项．所以(7)式又称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式。