高中数学必修1第二章解答题44题
必修１第二章解答题44题
一、解答题
1、已知函数f (x )＝2x
－1
2x ＋1
.
(1)求f [f (0)＋4]的值；
(2)求证：f (x )在R 上是增函数；
(3)解不等式：0 17 . 2、函数y ＝2x －x 2的图象大致是( ) 3、函数f (x )＝4x －2x ＋1＋3的定义域为[－12，12 ]． (1)设t ＝2x ，求t 的取值范围； (2)求函数f (x )的值域． 4、(1)设f (x )＝2u ，u ＝g (x )，g (x )是R 上的单调增函数，试判断f (x )的单调性； (2)求函数y ＝221 2x x --的单调区间． 5、（12分）已知q p ==25log ,9log 2732，试用p ,q 表示lg 5. 6、一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年的剩余质量约是原来的75%，估计约经过多少 年，该物质的剩余量是原来的1 3 ？(结果保留1位有效数字)(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) 7、下列给出了x 与10x 的七组近似对应值： A ．二 B ．四 C ．五 D ．七 8、若a 、b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，求lg(ab )·(log a b ＋log b a )的值． 9、(1)计算：lg 12 －lg 58＋lg 12.5－log 89·log 34； (2)已知3a ＝4b ＝36，求2a ＋1b 的值． 10、已知f (x )＝log a (3－ax )在x ∈[0,2]上单调递减，求a 的取值范围． 11、现有某种细胞100个，其中有占总数 1 2 的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？（参考数据：lg30.477,lg 20.301==） . 12、已知函数)(log )1(log 1 1 log )(222 x p x x x x f -+-+-+=. (1)求函数f (x )的定义域；(2)求函数f (x )的值域. 13、已知)(x f = log 2 1[a x 2＋2(ab)x －b x 2＋1]，其中a ＞0，b ＞0，求使)(x f ＜0的x 的取值范围． 14、已知a ＞1，)(x f = log a (a －a x )． ⑴ 求)(x f 的定义域、值域； ⑵判断函数)(x f 的单调性 ，并证明； ⑶解不等式：)2(21 --x f ＞)(x f ． 15、已知log 2[ log 2 1( log 2x)] = log 3[ log 31( log 3y)] = log 5[ log 5 1( log 5z)] = 0，试比 较x 、y 、z 的大小． 16、设a ，b 为正数，且a 2－2ab －9b 2= 0，求lg(a 2＋ab －6b 2)－lg(a 2＋4ab ＋15b 2)的值． 17、已求函数)1,0)((log 2≠>-=a a x x y a 的单调区间. 18、已知lgx = a ，lgy = b ，lgz = c ，且有a ＋b ＋c = 0，求x c b 11+·y a c 11+·x b a 11+的值． 19、如图，A ，B ，C 为函数x y 2 1log =的图象 上的三点，它们的横坐标分别是t , t +2, t +4(t ≥1). (1)设?ABC 的面积为S 求S=f (t ) ； (2)判断函数S=f (t )的单调性； (3) 求S=f (t)的最大值. 20、要使方程x 2＋px ＋q = 0的两根a 、b 满足lg(a ＋b) = lga ＋lgb ，试确定p 和q 应满足的关系． 21、设函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 010)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 010)的值等于 ( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．2log 48 23、求下列函数的定义域与值域： (1)y＝log2(x－2)； (2)y＝log4(x2＋8)． 24、已知函数f(x)＝log a(1＋x)，g(x)＝log a(1－x)，(a>0，且a≠1)． (1)设a＝2，函数f(x)的定义域为[3,63]，求函数f(x)的最值． (2)求使f(x)－g(x)>0的x的取值范围． 25、已知图中曲线C1，C2，C3，C4分别是函数y＝log a1x，y＝log a2x，y＝log a3x，y＝log a4x的图象， 则a1，a2，a3，a4的大小关系是() A．a4 B．a3 C．a2 D．a3 26、若不等式x2－log m x<0在(0，1 2)内恒成立，求实数m的取值范围． 27、设函数)1 x f. x =x + ) lg( (2+ (1)确定函数f (x)的定义域； (2)判断函数f (x)的奇偶性； (3)证明函数f (x)在其定义域上是单调增函数； 28、已知函数f (x )＝1 2 1log 1ax x --的图象关于原点对称，其中a 为常数． (1)求a 的值； (2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋12 log (1)x - 29、比较1. 12 1、12 1.4、13 1.1的大小，并说明理由． 30、点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，点(－2，14 )在幂函数g (x )的图象上，问当x 为何值时，有： (1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x ) 31、如图，幂函数y ＝x 3m －7(m ∈N )的图象关于y 轴对称，且与x 轴、y 轴均无交点，求此函数的解析 式． 32、已知函数f (x )＝(m 2＋2m )·2 1 m m x +-，m 为何值时，函数f (x )是：(1)正比例函数； (2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数． 33、已知,3234+?-=x x y 当其值域为[1,7]时，求x 的取值范围 34、（14分）已知函数()x f 满足()() ()1,01 log 1 2 ≠>--= -a a x x a a x f a ， （Ⅰ）求()x f 的解析式并判断其单调性； (Ⅱ)对定义在()1,1-上的函数()x f ，若()() 0112 <-+-m f m f ，求m 的取值范围； （Ⅲ）当()2,∞-∈x 时，关于x 的不等式()04<-x f 恒成立，求a 的取值范围. 35、（14分）已知函数f(x)是11 102-+= x y （x ∈R ）的反函数，函数g (x )的图象与函数2 1 +- =x y 的图象关于直线x =－2成轴对称图形，设F(x )=f (x )+g (x ). （1）求函数F(x )的解析式及定义域； （2）试问在函数F(x )的图象上是否存在两个不同的点A,B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直？若存在，求出 A,B 坐标；若不存在，说明理由. 36、比较下列各组数值的大小： （1）3.37.1和1.28.0；（2）7.03.3和8.04.3；（3）25log ,27log ,2 3 98 37、解方程：（1）192327x x ---?= （2）649x x x += 38、（14分）若()1log 3,()2log 2x x f x g x =+=，试比较()f x 与()g x 的大小. 39、已知函数()log ()x a f x a a =-(1)a >，求()f x 的定义域和值域； 40、（12分）已知a ，b ∈R + ，函数)()(1 1R x b a b a x f x x x x ∈++= ++. （1）判断函数f (x )的单调性，并证明你的结论； （2）比较b a b a ++2 2与ab 的大小. 41、（12分）已知函数x x a b y 22 ++=(a 、b 是常数且a>0，a ≠1)在区间[－ 2 3 ，0]上有y max =3， y min =2 5 ，试求a 和b 的值. 42、（14分）某商品在近30天内每件的销售价格p （元）与时间t （天）的函数关系是 20, 025,, 100, 2530,. t t t N p t t t N +<<∈?=? -+≤≤∈?该商品的日销售量Q （件）与时间t （天）的函数关系是 40+-=t Q ),300(N t t ∈≤<，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天 是30天中的第几天？ 43、（12分）（Ⅰ）求x x x x f -+--= 4lg 3 2 )(的定义域； （Ⅱ）求212)(x x g -=的值域． 44、（12分）已知函数f (x )=lg (a x 2+2x +1) （1）若f (x )的定义域是R ，求实数a 的取值范围及f (x )的值域； （2）若f (x )的值域是R ，求实数a 的取值范围及f (x )的定义域. 以下是答案 一、解答题 1、(1)解 ∵f (0)＝20 －1 20＋1 ＝0， ∴f [f (0)＋4]＝f (0＋4)＝f (4)＝24 －124＋1＝15 17 . (2)证明 设x 1，x 2∈R 且x 1 >12x >0,22x －12x >0， 即f (x 1) (3)解 由0 17 得f (0) 又f (x )在R 上是增函数，∴0 2、A [当x →－∞时，2x →0，所以y ＝2x －x 2→－∞， 所以排除C 、D. 当x ＝3时，y ＝－1，所以排除B.故选A.] 3、解 (1)∵t ＝2x 在x ∈[－12，12 ]上单调递增， ∴t ∈[ 2 2 ，2]． (2)函数可化为：f (x )＝g (t )＝t 2 －2t ＋3， g (t )在[2 2，1]上递减，在[1，2]上递增， 比较得g (2 2 ) f (x )max ＝ g (2)＝5－2 2. ∴函数的值域为[2,5－22]． 4、解 (1)设x 1 又由y ＝2u 的增减性得，即f (x 1) (2)令u ＝x 2－2x －1＝(x －1)2 －2， 则u 在区间[1，＋∞)上为增函数． 根据(1)可知y ＝在[1，＋∞)上为增函数． 同理可得函数y 在(－∞，1]上为单调减函数． 即函数y 的增区间为[1，＋∞)，减区间为(－∞，1]． 5、解： 5log 3 2,3log 5 232==q p , lg 5=2 log 5log 5 log 10 log 5log 33333+= 4151552233 2 +=+=pq pq p q q . 6、解 设这种放射性物质最初的质量是1，经过x 年后，剩余量是y ，则有y ＝0.75x . 依题意，得13＝0.75x ，即x ＝lg 13lg 0.75 ＝－lg 3lg 3－lg 4＝lg 32lg 2－lg 3 ＝0.477 1 2×0.301 0－0.477 1 ≈4. ∴估计约经过4年，该物质的剩余量是原来的1 3. 7、A [由指数式与对数式的互化可知， 10x ＝N ?x ＝lg N ， ∴第一组、第三组对应值正确． 又显然第六组正确， ∵lg 8＝3lg 2＝3×0.301 03＝0.903 09， ∴第五组对应值正确． ∵lg 12＝lg 2＋lg 6＝0.301 03＋0.778 15＝1.079 18， ∴第四组、第七组对应值正确． ∴只有第二组错误．] 8、解 原方程可化为2(lg x )2－4lg x ＋1＝0. 设t ＝lg x ，则方程化为2t 2 －4t ＋1＝0， ∴t 1＋t 2＝2，t 1·t 2＝1 2. 又∵a 、b 是方程2(lg x )2－lg x 4 ＋1＝0的两个实根， ∴t 1＝lg a ，t 2＝lg b ， 即lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝1 2 . ∴lg(ab )·(log a b ＋log b a ) ＝(lg a ＋lg b )·(lg b lg a ＋lg a lg b ) ＝(lg a ＋lg b )· lg b 2＋ lg a 2 lg a ·lg b ＝(lg a ＋lg b )· lg a ＋lg b 2 －2lg a ·lg b lg a ·lg b ＝2×22 －2× 12 12 ＝12， 即lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝12. 9、解 (1)方法一 lg 12－lg 58 ＋lg 12.5－log 89·log 34 ＝lg(12×85×12.5)－2lg 33lg 2·2lg 2lg 3＝1－43＝－13 . 方法二 lg 12－lg 5 8＋lg 12.5－log 89·log 34 ＝lg 12－lg 58＋lg 252－lg 9lg 8·lg 4lg 3 ＝－lg 2－lg 5＋3lg 2＋(2lg 5－lg 2)－2lg 33lg 2·2lg 2 lg 3 ＝(lg 2＋lg 5)－43＝1－43＝－1 3. (2)方法一 由3a ＝4b ＝36得：a ＝log 336，b ＝log 436， 所以2a ＋1b ＝2log 363＋log 364＝log 36(32 ×4)＝1. 方法二 因为3a ＝4b ＝36，所以136a ＝3, 136b ＝4， 所以(136a )2 ·136b ＝32 ×4， 即2136a b +＝36，故2a ＋1 b ＝1. 10、解 由a >0可知u ＝3－ax 为减函数，依题意则有a >1. 又u ＝3－ax 在[0,2]上应满足u >0， 故3－2a >0，即a <3 2 . 综上可得，a 的取值范围是1 2. 11、解：现有细胞100个，先考虑经过1、2、3、4个小时后的细胞总数， 1小时后，细胞总数为11310010021002 2 2 ?+??=?； 2小时后，细胞总数为13139100100210022224??+???=?； 3小时后，细胞总数为191927100100210024248??+???=?； 4小时后，细胞总数为1271278110010021002 8 2 8 16 ??+???=?； 可见，细胞总数y 与时间x （小时）之间的函数关系为： 31002x y ??=? ? ?? ，x N * ∈ 由10310010x ???> ?，得8310x ??>，两边取以10为底的对数，得3lg 8x >， ∴8lg3lg 2 x > -， ∵8845.45lg3lg 20.4770.301=≈--， ∴45.45x >. 答：经过46小时，细胞总数超过1010个. 12、解：(1)函数的定义域为(1，p ). (2)当p ＞3时，f (x )的值域为(－∞，2log 2(p +1)－2)； 当1＜p ≤3时，f (x )的值域为(－∞，1+log2(p +1)). 13、要使)(x f ＜0，因为对数函数y = log 2 1x 是减函数，须使a x 2＋2(ab)x －b x 2＋1＞1，即 a x 2＋2(ab)x －b x 2＞0，即a x 2＋2(ab)x ＋b x 2＞2b x 2，∴(a x ＋b x )2＞2b x 2， 又a ＞0，b ＞0，∴a x ＋b x ＞2b x ，即a x ＞(2－1)b x ，所以( b a )x ＞2－1． 当a ＞b ＞0时，x ＞log b a (2－1)；当a = b ＞0时，x ∈R ；当b ＞a ＞0时，x ＜log b a (2－1)． 综上所述，使)(x f ＜0的x 的取值范围是： 当a ＞b ＞0时，x ＞log b a (2－1)；当a = b ＞0时，x ∈R ；当b ＞a ＞0时，x ＜log b a (2－1)． 14、为使函数有意义，需满足a －a x ＞0，即a x ＜a ，当注意到a ＞1时，所求函数的定义域为(－∞， 1)， 又log a (a －a x )＜log a a = 1，故所求函数的值域为(－∞，1)． ⑵设x 1＜x 2＜1，则a －a 1 x ＞a －a 2 x ，所以)x (1f －)x (2f = log a (a －a 1 x )－log a (a －a 2 x )＞0， 即)x (1f ＞)x (2f ． 所以函数)(x f 为减函数． ⑶易求得)(x f 的反函数为)(1 x f -= log a (a －a x ) (x ＜1)， 由)2(2 1 --x f ＞)(x f ，得log a (a －a ) 2(2-x )＞log a (a －a x )， ∴a ) 2(2-x ＜a x ，即x 2 －2＜x ，解此不等式，得－1＜x ＜2， 再注意到函数)(x f 的定义域时，故原不等式的解为－1＜x ＜1． 15、由log 2[ log 21( log 2x)] = 0得，log 21( log 2x)= 1，log 2x =21 ，即x = 221 ； 由log 3[ log 31( log 3y)] = 0得，log 31( log 3y) = 1，log 3y =31 ，即y =331 ； 由log 5[ log 51( log 5z)] = 0得，log 5 1( log 5z) = 1，log 5z =51 ，即z = 551． ∵y =33 1= 36 2= 96 1，∴x = 22 1= 26 3= 86 1，∴y ＞x ， 又∵x = 22 1 = 210 5= 32 10 1，z = 551= 5 10 2= 25 10 1，∴x ＞z ． 故y ＞x ＞z ． 16、由a 2－2ab －9b 2= 0，得(b a )2－2(b a )－9 = 0， 令b a = x ＞0，∴x 2－2x －9 = 0，解得x =1＋10，(舍去负根)，且x 2 = 2x ＋9， ∴lg(a 2 ＋ab －6b 2 )－lg(a 2 ＋4ab ＋15b 2 ) = lg 22221546b ab a b ab a ++-+= lg 15 46 22++-+x x x x = lg 15 4)92(6 )92(+++-++x x x x = lg )4(6)1(3++x x = lg )4(21++x x = lg ) 4101(21101++++= lg 1010 =－21． 17、解：由2x x ->0得0 因为0<2x x -=4 141)21(2 ≤+ --x ， 所以，当0 1log )(log 2 a a x x ≥- 函数)(log 2x x y a -=的值域为?? ????+∞,41log a ; 当a >1时, 4 1log )(log 2 a a x x ≤- 函数)(log 2x x y a -=的值域为?? ? ? ? ∞-41log ,a 当0 ? ??21,0上是减函数，在?? ????1,2 1上是增函数； 当a >1时，函数)(log 2x x y a -=在?? ? ??21,0上是增函数，在?? ????1,2 1上是减函数 18、由lgx = a ，lgy = b ，lgz = c ，得x = 10a ，y = 10b ，z = 10c ，所以 x c b 11+·y a c 11+·x b a 11+=10 )()()( c a c b b a b c a c a b +++++=10 1 11---= 10 3 -= 1000 1 ． 19、解：（1）过A,B,C,分别作AA 1,BB 1,CC 1垂直于x 轴，垂足为A 1,B 1,C 1， 则S=S 梯形AA 1B 1B +S 梯形BB 1C 1C －S 梯形AA 1C 1C . )44 1(log )2(4log 2 3223 1t t t t t ++=++= （2）因为v =t t 42 +在),1[+∞上是增函数,且v ≥5, [)∞++ =.541在v v 上是减函数，且1 ? ??=59,1log 3在u 上是增函数， 所以复合函数S=f (t ) [)+∞++=,1)44 1(log 2 3在t t 上是减函数 （3）由（2）知t =1时，S 有最大值，最大值是f (1) 5log 25 9 log 33-== 20、由已知得，???=-=+. , q ab p b a 又lg(a ＋b) = lga ＋lgb ，即a ＋b = ab ， 再注意到a ＞0，b ＞0，可得－p = q ＞0， 所以p 和q 满足的关系式为p ＋q = 0且q ＞0． 21、C [∵f (x 1x 2…x 2 010)＝log a (x 1x 2…x 2 010)＝8， f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 010)＝lo g a (x 21x 22…x 2 2 010) ＝2log a (x 1x 2…x 2 010)＝2×8＝16.] 22、解