2004年上海市进才中学高三数学测试题

2004年上海市进才中学高三数学测试题

一、填空题（48分）

1．已知复数,1i z +=则=||4z _______。

2．已知偶函数)(x f 的图象与x 轴有五个公共点，那么方程0)(=x f 的所有实根之和为

_______。

3．在ABC ?中，A A cos 3sin 2=，则=∠A _______。

4．李老师家藏有一套精装的四卷的天龙八部（金庸著），任意排放在书架的同一层上，则卷序自

左向右或自右向左恰为4,3,2,1的概率是__________。

5． 已知向量},{y x =，其中}8,6,4,2{}54,2,1{∈∈y x ，，

，则满足条件的不共线的向量共有 _________个。

6． 已知不等式|

|22x x a +≤对x 取一切负数恒成立，则a 的取值范围是 ______________。 7． 一张报纸，其厚度为a ，面积为b ，现将报纸对折（即沿对边中点连线折叠）7次，这时报

纸的厚度和面积分别为_________________。

8． 已知矩形ABCD 的边⊥==PA BC a AB ,2,平面,2,=PA ABCD 现有以下五个数据：

,4)5(;2)4(;3)3(;1)2(;2

1)1(=====a a a a a 当在BC 边上存在点Q ，使QD PQ ⊥时，则a 可以取_____________。（填上一个正确的数据序号即可）

9． 不等式11

<-x ax 的解集为{}21|>

上下楼造成的不满意度为n ，但高处空气清新，噪音较小，因此随楼层升高，环境不满意程度降低，设住在第n 层楼时，环境不满意程度为n

8，则此人应选________楼。 11．在正方体1111D C B A ABCD -中选出两条棱和两条面对角线，使这四条线段所在的直线两两都

是异面直线，如果你选定一条面对角线1AB ，那么另外三条线段可以是________________。 （只需写出一种情况）

12．数列 5,4,4,4,4,3,3,3,2,2,1 的第100项是_____________。

二、选择题（16分） 13．过点)2,1(C 作直线，使其在坐标轴上的截距相等，则满足条件的直线的斜率为（ ）

（A ）1- （B ）1± （C ）21或- （D ）21或±

14．已知平面α与平面β相交，直线α⊥m ，则 （ ）

（A ）β内必存在直线与m 平行，且存在直线与m 垂直

（B ）β内不一定存在直线与m 平行，不一定存在直线与m 垂直

（C ）β内不一定存在直线与m 平行，但必存在直线与m 垂直

（D ）β内必存在直线与m 平行，却不一定存在直线与m 垂直

15．已知集合},23|{},,13|{Z n n y y N Z m m x x M ∈+==∈+==，若,,00N y M x ∈∈ 则

00y x 与集合N M ,的关系是 （ ）

（A ）00y x M ∈但N ?（B ）00y x N ∈但M ?（C ）00y x M ?且N ?（D ）00y x M ∈且N ∈

16．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼

到三楼用8步走完，则上楼梯的方法有 （ ）

（A ）45种 （B ）36种 （C ）28种 （D ）25种

三、解答题（36分）

17．（8分）已知数列),(0,}{N n a a n n ∈>中其前n 项和为n S ，且21=S ，当2≥n 时，n n a S 2=。

（1）求数列}{n a 的通项公式。 （2）若n n a b 2log =，求数列}{n b 的前n 项和n T 。

18．（8分）在ABC ?中，B A C C A sin 2

32cos sin 2cos sin 22=+, 求角B 的范围。

19．（10分）有一组数据)(,,,:2121n n x x x x x x <<< 的算术平均值为10，若去掉其中最大的

一个，余下数据的算术平均值为9；若去掉其中最小的一个，余下数据的算术平均值为11。 (1) 求出第一个数1x 关于n 的表达式及第n 个数n x 关于n 的表达式。

(2) 若n x x x ,,,21 都是正整数，试求第n 个数n x 的最大值，并举出满足题目要求且n x 取到最大值的一组数据。

20．（10分）已知函数)(),(N n n f ∈，满足条件： ①2)2(=f ；②)()()(y f x f xy f ?=； ③N n f ∈)(； ④当y x >时，有)()(y f x f >。 （1）求)1(f ,)3(f 的值。

（2）由)1(f )2(f ,)3(f 的值，猜想)(n f 的解析式。 (3）证明你猜想的)(n f 的解析式的正确性。

参考答案

一、填空题

1．4 2．0 3．

3π 4．12

1 5．1

2 6．]22,(∞- 7． 128,128b a 8．①或② 9．21=a 10．

3 11．),,,,,,,,(,,111111111111C A BC DD D A D C BC DB D A CC D A CD BC 或或或 12．14

二、选择题

13．C 14．C 15．B 16．C

三、解答题

17．（1）当n =1时，211==S a ；当n =2时，有2,22221==+a a a a 得；当3≥n 时，有：

1112,22---=-=-=n n n n n n n a a a a S S a 得.故该数列从第2项起为公比q=2的等比数列，

故?????∈≥==-).,2(2)1(21N n n n a n n （2）由（1）知 ???∈≥-==).

,2(1)1(1N n n n n b n 故数列}{n b 的前n 项和 ??

???∈≥+-==),2(12)1()1(1N n n n n n T n 18． 解：由++?2cos 1sin C A 2cos 1sin A C +?＝B sin 2

3得：B A C C C A A sin 3cos sin sin cos sin sin =+++，即 B C C A A sin 3sin )(sin sin =+++，∴B C A sin 2sin sin =+，即c a b +=2。由余弦定理，得： 2

182682)(3 2)2(

2c o s 22222222=-≥-+=+-+=-+=ac ac ac ac ac c a ac c a c a ac b c a B ，∵π<

2()1(9)1(103212121n x x x n x x x n x x x n n n 由)2()1(-得：9+=n x n ，又由)3()1(-得：n

x -=111（2）由于1x 是正整数，故 1111≥-=n x ，101≤≤?n ，故199≤+=n x n 当n =10时, 11=x ，1910=x ，80932=+++x x x , 此时，62=x ,73=x ,84=x ,95=x ,116=x ,127=x ,138=x ,149=x 。

20．解：（i ）：∵)1()2()12()2(f f f f ?=?=，又2)2(=f ，∴1)1(=f 。又∵4)2()2()22()4(=?=?=f f f f ，

4)4()3()2(2=<<=f f f ，且N f ∈)3(。∴3)3(=f 。

（ii ）由3)3(,2)2(,1)1(===f f f 猜想)()(N n n n f ∈=。

（iii ）用数学归纳法证明：

（1）当n =1时，1)1(=f ，函数解析式成立；

（2）假设k n ≤时，k k f =)(，函数解析式成立；

①若)(21N m m k ∈=+，

12)()2()2()1(+==?==+k m m f f m f k f 。 ②若)(121N m m k ∈+=+，

22)1(2)1()2()]1(2[)22(+=+=+?=+=+m m m f f m f m f ， 22)22()12()2(2+=+<+<=m m f m f m f m 。∴112)12(+=+=+k m m f 。

即1+=k n 时，函数解析式成立。

综合（1）（2）可知，)()(N n n n f ∈=成立。