河南省新乡市第一中学2015-2016学年高二数学下学期第十四次周练试题理

2017届高三周五练（5） 理数

A ．基础过关

1．下列求导运算正确的是（ ）

2

11)1

(x x

x A +

='+

B 2ln 1

)(log 2x x =' C.e x x 3log 3)3(?=' D x x x sin 2)cos (2

-=' 2．设曲线y=

1

1

x x +-在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（ ） A ．2 B ．﹣2 C ．﹣12 D ．1

2

3．设函数()y f x =的图像如右图，则导函数'()y f x =的图像可能是下图中的（）

4．若f(x)＝－

12

x 2

＋bln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是( ) A ．[－1，＋∞) B ．(－1，＋∞) C ．(－∞，－1] D ．(－∞，－1) 5．若函数

在(0，1)内有极小值，则实数a 的取值范围是( )

A ．(0，3)

B ．(－∞，3)

C ．(0，+∞)

D ．

6．已知函数在区间[－1，2]上是减函数，那么b+c( )

A ．有最大值

B ．有最大值－

C ．有最小值

D ．有最小值－

7．函数y=e -x

sin2x 的导数为_________________

8．已知函数2

()2ln (0)f x x x x =->，若方程0)(=+m x f 在区间1,e e ??????

内有两个不相等的实根，则实数m 的

取值范围为_________________ 9．已知函数2

1()ln (0)2

=

->f x x a x a ，()f x 在2=x 处的切线与直线2310++=x y 垂直，求()f x 的单调增区间为____________()f x 在区间[1,e]上的最大值为___________

B ．滚动综合 1．已知M={（x ，y ）|

=3}，N={（x ，y ）|ax+2y+a=0}且M ∩N=?，则a=（ ）

A ．﹣6或﹣2

B ．﹣6

C ．2或﹣6

D ．﹣2

2．设复数i z +=1（i 是虚数单位），则复数z

z 1

+

的虚部是（ ） A ．21 B ．i 21 C ．23 D ．i 2

3

3．已知ξ服从正态分布2

(1,),N a R σ∈，则“()0.5P a ξ>=”是“关于x 的二项式3

2

1()ax x +

的展开式的常数项为3”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．既不充分又不必要条件

D ．充要条件

4．如图所示，将图（1）中的正方体截去两个三棱锥，得到图（2）中的几何体，则该几何体的侧视图为（ ）

5．如图，矩形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A （0,—1），B （π,—1），C （π,1），D （0,1），正弦曲线x x f sin )(=和余弦曲线x x g cos )(=在矩形ABCD 内交于点F ，向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是 （ ）

A ．π21+

B ．π221+

C ．π1

D ．π21

6．执行如图所示的程序框图,如果输入的3x t ==,则输出的M 等于

A.3

B.

113 C.196

D.376

7．在ABC ?中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且BC 边上的高为2a ，则c b

b c

+最大值为（ ） A ．2 B ．2 C ．22 D ．4

8．函数()y f x =为定义在R 上的减函数，函数(1)y f x =-的图象关于点(1,0)对称，,x y 满足不等式

2

2

(2)(2)0f x x f y y -+-≤，(1,2),(,)M N x y ，O 为坐标原点，

则当14x ≤≤时，OM ON ?u u u u r u u u r

的取值范围为（ ） A ．[12,)+∞ B ．[0,3] C ．[0,12] D ．[3,12]

9．直线ax ＋by ＝1与圆2

2

1

4

x y ＋＝相交于不同的A ，B 两点（其中a ，b 是实数），且OA OB ?u u u r u u u r ＞0（O 是坐标原点），

则22

a b ＋－2a 的取值范围为（ ）

A ．（1，9＋2

B ．（0，8＋2

C ．（1，1＋2

D ．（4，8）

姓名_____________考号_____________

10．在ABC ?中，三边c b a ,,所对应的角分别是C B A ,,，已知c b a ,,成等比数列.

（1）若

3

3

2tan 1tan 1=+C A ，求角B 的值； （2）若ABC ?外接圆的面积为π4，求ABC ?面积的取值范围.

11．某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动，活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在仼一位置，若指针停在A 区域返券60元；停在B 区域返券30元；停在C 区域不返券. 例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和.

（1）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；

（2）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X （元） ，求随机变量X 的分布列和数学期望.

附加题：已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为1

2，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线

75120x +=相切.

（1）求椭圆C 的方程：

（2）设(4,0)A -，过点(3,0)R 作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点，连接,AP AQ 分别交直线16

3

x =

于,M N 两点，若直线,MR NR 的斜率分别为12,k k ，试问：12k k 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明

理由.

A 基础过关

1 B 2B 3D 4C 5D 6D

7 y ′=e -x (2cos2 x -sin 2x )

8211,2e ??+

???

9（0，1），

2

1 滚动综合

1A 2A 3A 4B 5B 6C 7C 8C 9B 10．（1）3

π

=B ；（2）]33,0(∈?ABC S .

【解析】

试题分析：（1）先将切化弦变形得

3

3

2sin sin )sin(=

+C A C A ，利用等比数列性质和正弦定理得C A B sin sin sin 2=，进而得

332sin sin 2=B B ，即2

3

sin =B ，由b

不是最大边得3π=B ；（2）易得外接圆半径2R =，利用余弦定理和均值不等式得21cos ≥

B ，即3

0π

≤

1sin 21===

?，利用23

sin 0≤

3

3

2sin sin )sin(sin cos sin cos tan 1tan 1=+=+=+C A C A C C A A C A ，

又∵c b a ,,成等比数列，得ac b =2，由正弦定理有C A B sin sin sin 2=，

∵B C A -=+π，∴B C A sin )sin(=+，得332sin sin 2=B B ，即2

3

sin =

B ， 由ac b =2知，b 不是最大边，∴3

π

=

B .

（2）∵ABC ?外接圆的面积为π4，∴ABC ?的外接圆的半径2=R ，

由余弦定理B ac c a b cos 22

2

2

-+=，得ac

b c a B 2cos 2

22-+=，又ac b =2，

∴21cos ≥B .当且仅当c a =时取等号，又∵B 为ABC ?的内角，∴30π

≤

b

2sin =，得B b sin 4=.

∴ABC ?的面积B B b B ac S ABC 32sin 8sin 2

1

sin 21===?，

∵3

0π

≤

3

sin 0≤

考点：1、正弦定理；2、余弦定理；3、均值不等式. 11．（1）

1

2

；（2）40. 【解析】 试题分析：（1）返券金额不低于30元包括指针停在A 区域和B 区域，而指针停在哪个区域的事件是互斥的，先根据几何概型求出停在各个区域的概率，再利用互斥事件的概率公式得到结果；（2）若某位顾客恰好消费280元，该顾客可转动转盘2次，随机变量X 的可能取值为0,30,60,90,120，求出各种情况的概率，写出分布列，利用离散型分布列的期望公式求得其数学期望.

试题解析：设指针落在,,A B C 区域分别记为事件,,.A B C 则()()()111,,,632

P A P B P C === （1）若返券金额并不低于30元，则指针落在A 或B 区域.()()111

632

P P A P B ∴=+=+=

即

消

费

128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是

12

.

（2）由题意得.该顾客可转动转盘2次，随机变量X 的可能值为0,30,60,90,120.

()()11111111115(0);302;602;224233263318P X P X P X ==

?===??===??+?= ()()111111

902;120.3696636

P X P X ==??===?=

所以，随机变量X 分布列为 P

0 30 60

90 120

X

14 13

518 19 1

36

其数学期望030609012040.4318936

EX =?+?+?+?+?=

考点：互斥事件的概率加法公式和离散型随机变量的分布列.

【方法点晴】本题主要考查了互斥事件的概率加法公式和离散型随机变量的分布列.本题解答的关键是根据几何概型求出返券分别为0元、30元和60元的概率，求离散型随机变量的分布列基本步骤是：写出随机变量的可能取值，求出随机变量取各值的概率，并注意检查是否满足概率和为1，写出分布列，根据期望公式求出期望.本题中,第二问中求概率时，应利用相互独立事件的概率分别求得X 取各值的概率.

附加题．（1）2211612x y +=；

（2）12

7

-． 【解析】

试题分析：（1）利用椭圆的离心率公式和直线与圆相切的条件及222a b c =+，列出方程组，求得,a b 的值，即可得到椭圆的方程；（2）设1122(,),(,)P x y Q x y ，直线PQ 的方程为3x my =+代入椭圆的方程，运用韦达定理和三点共线斜率相等及横线的斜率公式，化简整理，即可得到定值．

试题解析：（1）由题意得2221

2

412

23752

c a a b b c a b c ?=?=??

??=∴=??+??=??=+??

，故椭圆C 的方程为2211612x y +

=．

（2）设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 的方程为3x my =+，

()()

()()()2121212124477749x x my my m y y m y y ++=++=+++Q

考点：椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的位置关系的应用．

【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等知识的综合应用，解答中注意运用椭圆的离心率公式和椭圆中关系式222a b c =+的灵活运用，同时考查了洗了了之积为定值的证明，注意直线方程与椭圆的联立，利用根与系数的关系，合理化简运算，着重考查了学生的推理与运算能力，属于中档试题．